Fonds Grothendieck, cote n° 80, pages 41–60

sa page 6, en haut à gauche ; la suite numérotée commencée page 31 (lot 2) continue sur les rectos, les pages paires étant les versos. Le texte poursuit le « Th. » de la page 39 : le foncteur \mathcal{X} \mapsto (K, (D_i), \omega) est pleinement fidèle Pour le voir, on va montrer comment la carte \mathcal{X} peut être reconstruite à partir de l'arrangement 1-dimensionnel orienté. Par le théorème général des cartes, il revient au même, quand les sommets de K sont d'ordre \geqslant 4 (a fortiori \geqslant 3), de construire, à partir de (K, (D_i)_{i \in I}, \omega), :

1°) Pour ~~tout~~ s \in S (ens. des sommets de K), l'ens (19) \qquad \vec{\mathfrak{Z}}_s \subset \mathcal{C}_{\vec{A}_s} des deux ordres circulaires (inverses l'un de l'autre) canoniques sur l'ens \vec{A}_s des arêtes de K d'origine s, qu'on peut identifier à : l'ens \vec{I}_s des ps. droites orientées \vec{D}_i passant par s. la formule est encadrée. Le signe entre \vec{\mathfrak{Z}}_s et \mathcal{C} est lu \subset (on pourrait lire \in) ; il est suivi d'un « A » raturé. \mathfrak{Z} rend sa lettre en forme de 3 surmontée d'une flèche, \mathcal{C}_E son C bouclé (l'ensemble des ordres circulaires sur E). « (inverses l'un de l'autre) » est écrit au-dessus de « circulaires » ; « arêtes » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; « \vec{D}_i » est ajouté au-dessus de « orientées » ; le \vec{I}_s récrit un premier signe

2°) Pour ~~toute arête orientée~~ \vec{a} \in \vec{A} de K, d'origine s et d'extrémité s', la bijection canonique (20) \qquad \psi_{\vec{a}} : \vec{\mathfrak{Z}}_s \xrightarrow{\ \sim\ } \vec{\mathfrak{Z}}_{s'} (qui donne lieu à la formule (21) \qquad \psi_{\overleftarrow{a}} = (\psi_{\vec{a}})^{-1} \text{)} l'indice du premier \psi de (21) est une flèche inversée sur a ; nous le rendons \overleftarrow{a}. La parenthèse ouverte avant « qui donne lieu » n'est fermée qu'au bout de (21), par nous

Quand je dis « canonique », j'entends : provenant de la donnée de la carte \mathcal{X}. Inversement, si on a pu, à partir de (K, (D_i)_{i \in I}, \omega), construire intrinsèquement des données (19) et (20) satisfaisant (21), on trouve une immersion cellulaire combinatoire de K dans une \mathcal{X} (peut-être pas le plan projectif !).

Pour savoir que (D_i)_{i \in I} y forme bien un système de ps. droites, il faudra d'abord savoir qu'ils se déduisent de la structure de carte de la façon habituelle, ce qui s'exprime par la condition (\forall\, s \in S) (22) \qquad \text{si } \rho \in \vec{\mathfrak{Z}}_s \text{, et si } \nu_s \text{ est le nb de } D_i \text{ passant par } s \text{, on a } \rho^{\nu_s}(\vec{D}_i) = (-\vec{D}_i) pour toute droite orientée \vec{D}_i passant par s. la condition est écrite sur trois lignes, sous une accolade ; « \vec{D}_i » est ajouté au-dessus de « orientée » NB Si \nu_s = 2, alors la condition (22) implique déjà la connaissance (22) de \mathfrak{Z}_s \subset \mathcal{C}_{\vec{I}_s}.

~~Enfin il~~ Il faudra de plus que \mathcal{X} soit le plan projectif, ce qui s'exprime par la condition d'EP (23) \qquad \underbrace{c_0 - c_1}_{1 - c(K)} + c_2 = 1 \qquad \text{soit} \qquad c_2 = c(K) sous c(K) : « degré de connexion de K », écrit au-dessous d'un mot biffé. EP : Euler-Poincaré, son abréviation la connaissance de \mathcal{X}, i.e. l'étude de NB On aura a priori c_2 \leqslant c(K), et la formule (23) exprime qu'on a … bien sûr i.e. l'identité… les deux notes marginales sont écrites en oblique dans la marge gauche ; la première s'enchaîne à la ligne biffée « Enfin … », la seconde est en face de (23)

c_0 = \operatorname{card} S, c_1 = \operatorname{card} A (nb de sommets et nb d'arêtes) ne dépendent que de K, tandis que c_2 (nb de faces) dépend bien sûr de \mathcal{X}.

Construction des \vec{\mathfrak{Z}}_s satisfaisant (22). On va d'abord définir, pour \nu_s \geqslant 3 (24) \qquad \mathfrak{Z}^{1}_s \subset \mathcal{C}_{I_s} les deux ordres circulaires opposés l'un à l'autre, sur l'ens I_s des ps. droites passant par s. Soit \Delta D une ps. droite qui ne passe pas par s. ~~Alors l'un des ps. droites passant par s est un~~ l'exposant de \mathfrak{Z}^{1}, ici et jusqu'à la page 45, est un petit trait crochu, lu « 1 » (peut-être un accent ou un autre signe) ; au-dessus de « ps. droite qui ne », une petite insertion est raturée. Les deux dernières lignes sont biffées d'un trait chacune ; en marge, en face, un renvoi oblique « polygonales »

sa page 7, en haut à gauche (25) \qquad I_s \xrightarrow{\ \varphi = \varphi_{s,\Delta}\ } \text{ens.\ } S_\Delta \text{ des sommets de } K \text{ sur } \Delta caractérisée par D_i \cap \Delta = \lbrace \varphi(D_i) \rbrace « canonique » est écrit au-dessus de I_s ; un premier symbole est raturé après I_s et devant « ens. », et un numéro raturé devant la seconde formule Cette application est injective, i.e. \varphi_{s,\Delta} : I_s \hookrightarrow S_\Delta Comme sur S_\Delta (ens des sommets d'un polygone) il y a une structure polygonale, il y a sur I_s une structure polygonale induite, soit \mathfrak{Z}^{1}_{s,\Delta}. On aura alors (A1) \qquad \mathfrak{Z}^{1}_{s,\Delta} \text{ est indépendant du choix de } \Delta \in I \setminus I_s \text{, soit } \mathfrak{Z}^{1}_s . Condition portant sur les sommets s tels que \nu_s \geqslant 3. à prouver que c'est vrai quand on part d'une \mathcal{X} (et qu'on trouve bien le \mathfrak{Z}_s déduit de \vec{\mathfrak{Z}}_s…) item pour la variante la première note marginale est à gauche de (A1), la seconde, séparée du texte par un trait, court en oblique le long du bord droit jusqu'à (27)

On Considérons l'application (26) \qquad \vec{I}_s \longrightarrow I_s \qquad \text{de degré } 2 ~~Il faut~~ On aura alors (27) \qquad \begin{cases} \text{si } \vec{u} \in \vec{\mathfrak{Z}}_s \ (\subset \mathcal{C}_{\vec{I}_s}) \text{, } u \text{ par passage au quotient dans (26),} \\ \text{on a } u \in \mathcal{C}_{I_s} \text{, et on a } u \in \mathfrak{Z}^{1}_s . \end{cases} « on aura » est écrit au-dessus de deux mots biffés ; « \in \mathcal{C}_{\vec{I}_s} » est ajouté au-dessus de \vec{\mathfrak{Z}}_s, et un \varphi est biffé devant \vec{u}. Au second u de la deuxième ligne, de petits signes en exposant et en indice sont illisibles C'est là une condition restrictive importante sur la structure polygonale \vec{\mathfrak{Z}}_s qu'on veut déterminer, qui limite le choix à 2^{\nu_s - 1} possibilités,

comme on voit ainsi. On fixe u_0 \in \mathfrak{Z}^{1}_s, et une origine i_0 \in I_s, d'où i_1, \ldots, i_{\nu_s - 1} définis par i_\nu = u_0^\nu i_0. Soit \omega_\nu l'une des deux orientations de D_{i_\nu} i.e. l'un fibre i_\nu dans (26), donc u et comme ce premier essai est encadré et barré de quatre longs traits obliques

On fixe u_0 \in \mathfrak{Z}^{1}_s, i.e. une orientation du polygone dont l'ens des sommets est I_s, pour dire que pour i \in I_s, on doit se donner une bijection d_i de \vec{I}_i, la fibre de \vec{I}_s en i, i.e. de l'ens des deux orientations de D_i, sur \omega_j où j = u_0(i) est le sommet suivant de i — ce qui, pour i fixé, fait 2 choix, donc en tout, a priori, 2^{\nu_s} choix. Mais on veut que la permutation u de \vec{I}_s obtenue soit une permutation circulaire, i.e. ~~trans~~ transitive ; si on fixe i_0 \in I_s, cela signifie que les choix de \alpha_{i_0}, \alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_{\nu_s - 2}} (28) \qquad \omega_{i_0} \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{i_0}\ } \omega_{i_1} \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{i_1}\ } \omega_{i_2} \ \cdots\ \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{i_{\nu_s - 2}}\ } \omega_{i_{\nu_s - 1}} \qquad (\nu = \nu_s) déterminent le choix du dernier \alpha_{i_{\nu - 1}} : \omega_{i_{\nu - 1}} \xrightarrow{\ \sim\ } \omega_{i_\nu} = \omega_{i_0} (i.e. qu'on ait l'opposé) par la condition qu'il soit distinct ~~des composés~~ de l'inverse du composé des bij. précédentes. ~~Dans le cas~~ à gauche du texte, un dessin : un heptagone aux côtés fléchés, sommets en pointillé, avec « u_0(i) = i+1 » et une flèche courbe au centre. « d_i » est ajouté au-dessus de « bijection », « de \vec{I}_i » est lu. Au-dessus de « circulaire, i.e. transitive », une insertion : « ( par i_\alpha = u_0^\alpha(i_0)) ». « \nu = \nu_s » est écrit dans la marge gauche, en face de (28)

sa page 8, en haut à gauche Soit \vec{\Delta} une ps-droite orientée ne passant pas par s, donc l'orientation de \vec{\Delta} en définit une de I_s \hookrightarrow S_\Delta, i.e. un générateur u_0, noté u_{s,\vec{\Delta}}, de \mathfrak{Z}^{1}_s = \mathfrak{Z}^{1}_{s,\Delta}. Si \nu_s = 2, on prendra u_{s,\vec{\Delta}} la transposition dans I_s (de card 2), c'est ici (i.e. ici \operatorname{card} \mathfrak{Z}^{1}_s = 1, et non 2). « ps- » est ajouté au-dessus de « droite » ; dans « (u_{s,\vec{\Delta}}) » l'indice récrit un premier indice raturé

On ~~doit~~ doit définir un \vec{u}_{s,\vec{\Delta}} au-dessus de u_{s,\vec{\Delta}}, ce qui fait (en exigeant que ce soit une permutation circulaire) (2^{\nu_s - 1} a priori possibilités) (le compte est bon, même pour \nu_s = 2). On est ramené ici, pour une ps. droite D_i passant par s, désignant par D_j son « successeur » pour u_{s,\vec{\Delta}}, à décider la bijection \omega_i \xrightarrow{\ \sim\ } \omega_j induite par \vec{\Delta}, donc pour le choix d'une orientation sur D = D_i, disons \vec{D}_i, il faut décider l'orientation correspondante de D_j — en utilisant l'orientation de \vec{\Delta}. au-dessus de « possibilités », une insertion : « un choix à déterminer parmi », qui renvoie au nombre 2^{\nu_s - 1}

(29) figure : un triangle formé de \vec{\Delta} (horizontale, fléchée vers la droite) et de deux ps. droites se coupant en s au sommet ; à gauche \vec{D}_i = \vec{D}, fléchée vers le bas, à droite D_j = D' avec une flèche vers le bas à côté. Les côtés sont marqués a (de s à t), b (de s à u) et c (de t à u sur \Delta) ; les pieds sont t_i = t et t_j = u

La figure montre que l'orientation à choisir sur D' = D_j est décrite par la condition que l'arête a joignant s à t = \varphi(i) (intersection de D et \vec{\Delta}), dans le sens de l'orientation ~~donnée~~ de \vec{D}, et celle b joignant s à u = \varphi(j) (int. de D' et \Delta) dans le sens de l'orientation cherchée de D', et enfin l'arête c joignant t à u dans le sens

de l'orientation de \vec{\Delta}, soit un syst. d'orientations opposé à l'orientation ~~des triangles~~ W_{\lbrace i, j, \Delta \rbrace} de l'arrangement des trois ps. droites \Delta, D, D' (ce qui caractérise l'orientation de \vec{D}', parmi les deux de D', en termes de celles de \Delta, D). i.e. (orientations qu'ils bordent) = triangles … « de l' » est écrit au-dessus de « triangles » biffé ; l'indice de W est lu \lbrace i, j, \Delta \rbrace

(A2) Cette prescription — qui définit, pour s, \vec{\Delta} fixés, une permutation \vec{u}_{s,\vec{\Delta}} de \vec{I}_s au-dessus de la permutation u_{s,\vec{\Delta}} de I_s — est bien une permutation circulaire ~~i.e.~~ i.e. (\vec{u}_{s,\vec{\Delta}})^{\nu_s} (qui, a priori, est soit l'identité, soit la transposition sur chaque fibre de (26)) ~~n'est~~ est la transposition.

~~(A3) Si \vec{\Delta}'~~

NB On aura (30) \qquad \vec{u}_{s,-\vec{\Delta}} = \vec{u}_{s,\vec{\Delta}}^{\,-1} , \qquad \vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta} = \lbrace \vec{u}_{s,\vec{\Delta}}, \vec{u}_{s,-\vec{\Delta}} \rbrace \subset \mathcal{C}_{\vec{I}_s} après la première égalité, deux mots à droite, « pour », sont d'une lecture incertaine

(A3) Soit \Delta' une autre ps. droite ne passant pas par s, alors \vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta'} = \vec{\mathfrak{Z}}_{s,\Delta} \qquad (\text{soit } \vec{\mathfrak{Z}}_s)

Bien entendu, les conditions (A1) à (A3) sont satisfaites pour un arrangement 1-dim. orienté de ps. droites provenant d'un arrangement 2-dimensionnel, ce qui permet donc de

sa page 9, en haut à gauche construire les \vec{\mathfrak{Z}}_s (s \in S), et ~~les~~ l'application surjective (31) \qquad \vec{I} \setminus \vec{I}_s \longrightarrow \vec{\mathfrak{Z}}_s de l'ens des ps. dr. orientées ne passant pas par s, dans \vec{\mathfrak{Z}}_s, application compatible avec l'action du groupe des signes \pm 1. « (s \in S) » est écrit au-dessus de la ligne, un indice raturé après \vec{\mathfrak{Z}}_s ; « surjective » est ajouté au-dessus de « application »

Soit maintenant \vec{a} une arête de K, joignant s à s', on veut définir \psi_{\vec{a}} : \vec{\mathfrak{Z}}_s \longrightarrow \vec{\mathfrak{Z}}_{s'} ~~ici besoin de~~ l'existence d'au moins une ps. droite qui ne passe ni par s ni par s'. Considérons la ligne biffée porte au-dessus deux mots non biffés, « a priori, d'abord » (lecture), qui la remplacent sans doute \vec{J} = \vec{I} \setminus (\vec{I}_s \cup \vec{I}_{s'}) (32)

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \vec{J} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \vec{\mathfrak{Z}}_s \arrow[rr, dashed, "\psi_{\vec{a}}"] & & \vec{\mathfrak{Z}}_{s'} \end{tikzcd}

on obtient deux quotients de \vec{J} — on a donc la condition que c'est le même, i.e.

(A4) si \vec{\Delta}, \vec{\Delta}' sont deux ps. droites orientées ne passant pas par les extrémités s, s' de l'arête a, qui induisent la même orientation en s, elles induisent aussi la même orientation en s'.

Reste à traiter le cas (très particulier !) où \nexists ps. droite ~~\Delta~~ qui ne passe par s ni par s'. Soit \Theta la ps. droite déterminée par a, considérons donc une ps. droite D (\neq \Theta) passant par s, une D' (\neq \Theta) passant par s', ~~soit~~ où donc D \neq D', soit t l'intersection de D et D'. Soit, ~~b un des deux~~ K' = K_{\lbrace \Theta, D, D' \rbrace}, le « \nexists » est son \exists barré ; « (\neq \Theta) » est ajouté deux fois au-dessus de la ligne

(33) figure : un triangle de sommets s, s' (sur \Theta, horizontale, avec \vec{a} fléchée de s vers s') et t au sommet ; le côté b de s à t et le côté b' de t à s' sont fléchés dans le sens s \to t \to s', plusieurs petites flèches le long de chacun. Une double flèche verticale, dans la marge, descend vers le texte qui suit

soit b une des arêtes qui joignent s à t, et prenons l'unique arête b' de K' qui joigne t à s', et telle que \lbrace a, b, b' \rbrace soit compatible avec l'orientation de K' ! Alors b et b' ne sont pas des arêtes de K, mais ils sont des arêtes de K, se décomposent en succession d'arêtes de K. : comme \vec{\psi}_{\vec{a}} : \vec{\mathfrak{Z}}_s \to \vec{\mathfrak{Z}}_{s'}, comme on connaît, quand on a un ordre circulaire \in \mathfrak{Z}_s, la restriction de l'ordre sur la partie de \vec{I}_s, deux droites \Theta, D'… la note marginale est écrite en oblique, en lignes serrées, dans la marge gauche en face de ces lignes

On suppose que K n'est pas réduit à ~~une sécante~~ (famille de) n \geqslant 3 ps. droites concourantes et une seule sécante (ce qui signifie que les n ps. droites passant par le sommet privilégié s sont toutes des bigônes). Dans ce cas, la ps. dr. \Theta est l'unique ps. droite qui ne soit pas un bigône, donc D et D' n'en sont pas de K, définir les \psi_{\vec{c}} pour des arêtes portées par D, ou par D'. On définit donc NB Obs. que K (4 ps. ) 3 ps. droites (cas déjà traité !) « réduit à » est écrit au-dessus de « une sécante » biffé ; « ps. dr. » récrit « droite » biffé. La note marginale d'en bas, oblique, commence sous l'autre et déborde sur le texte ; on n'en lit que des fragments. Les deux dernières lignes de la page sont d'une lecture très incertaine

sa page 10, en haut à gauche (34) \qquad \vec{\psi}_{\vec{a}} = \psi_{\vec{b}'} \, \psi_{\vec{b}} où \vec{b} est b orienté de s vers t, \vec{b}' est b' orienté de t vers s', et \psi_{\vec{b}'} et \psi_{\vec{b}} sont définis comme composés des \psi_{\vec{c}} correspondants aux arêtes de K composantes des chemins \overrightarrow{(s,t)} et \overrightarrow{(t,s')}. ici les \psi sont écrits petits, presque comme des « v » ; « de K » est ajouté au-dessus de « composantes »

Il faudrait, dans cette optique, pour une (A5) — savoir que ce \psi_{\vec{a}} ne dépend pas des choix arbitraires qui ont été faits. Mais le cas où K comporte une ps. droite qui est un bigône devrait plutôt être traité à part, avec des moyens plus directement adaptés à cette situation. Je n'ai donc pas vérifié que la proposition énoncée soit correcte, sans exclure le cas où K est formé de n pseudo-droites concourantes, coupées par une seule autre ps. droite. mais si l' de la (v. p. précédente) « devrait plutôt être » est écrit au-dessus d'une fin de ligne biffée. La note marginale, oblique, est rattachée par un trait vertical aux lignes « Je n'ai donc pas vérifié … ps. droite »

J'ai maintenant envie de montrer que dans le cas d'un K… provenant d'une \mathcal{X}, son orientation peut se décrire canoniquement en termes de (K, (D_i)) seulement.

Soit donc un « triangle » subordonné à (K, (D_i)_{i \in I}), défini par J \in \mathfrak{P}_3(I), formé de trois ps. droites concourantes. On veut décrire l'orientation « canonique » de K_J. on attendrait « non concourantes » pour un triangle ; nous ne lisons pas de « non » sur la page

(1er cas) Il existe une ps. droite \Delta, qui ne passe par aucun des trois sommets de K_J — i.e. telle que les systèmes K_{J \cup \lbrace i \rbrace} des 4 ps. droites soit formé d'un syst. de quatre ps. droites 3 à 3 non concourantes. On utilise un signe raturé devant « (1er cas) », et devant \Delta

Proposition Le ~~catégorie des arrangements~~ foncteur évident \begin{pmatrix} \text{arrangements simples} \\ \text{de } 4 \text{ ps.\ droites} \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} \text{arr.\ } 1\text{-dimensionnels} \\ \text{simples de } 4 \\ \text{ps-droites} \end{pmatrix} est une équivalence de catégories. « foncteur » et les mots qui suivent sont écrits au-dessus de la ligne biffée. Au-dessus de la formule, deux lignes commencées sont biffées : « 1 – », « de 4 ps. droites », « »

(On le démontre en comparant les deux groupoïdes, à celui des ens. ~~finis~~ à 4 éléments)

Donc, comme K_{J \cup \lbrace i \rbrace} provient canoniquement d'un arrangement 2-dimensionnel, K_J hérite d'une orientation, soit \omega_{J,i}, et on aura

sa page 11, en haut à gauche (A5) l'orientation \omega_{J,i} de K_J est indépendante du choix de i.

« 2ème cas » Toute ps. droite de K passe par un des trois sommets de K_J. Comme on suppose qu'il n'y a pas de bigône dans K, on trouve d'ailleurs que par chaque sommet, il passe au moins une D_i avec i \in I \setminus J. Si on désigne par \alpha, \beta, \gamma les intersections des trois ps. droites D_i de K_J, et par \partial\alpha, \partial\beta, \partial\gamma arêtes de K_I qui l'orientation \partial\alpha, \partial\beta, \partial\gamma la note marginale est écrite en oblique dans le coin supérieur gauche, autour de « (A5) » et de « 2ème cas ». Au-dessous, un dessin : un triangle de sommets a, b, c, les trois côtés prolongés

Supposons d'abord qu'on peut trouver des droites D_a, D_b, D_c passant par les sommets a, b, c, qui ne soient pas concourantes. On trouve une configuration, associée canoniquement à l'ens J à trois éléments, où comme sommets les a_i (i \in J) de K_J, les intersections \alpha_i (i \in J) des D_{a_i} avec D_i (NB a_i est le sommet de K_J opposé à D_i) et les a'_i (i \in J) intersection de D_{a_j} et D_{a_k} (où J = \lbrace i, j, k \rbrace). La figure montre comment les sommets se répartissent sur les 6 ps. droites D_i, D_{a_i}, et ~~la configuration est~~ (avec les 6 ps. droites) est complètement décrite, quand on a décrit les structures polygonales figure, à gauche : six droites, les côtés du triangle a, b, c et trois droites D_a, D_b, D_c issues des sommets ; points marqués a, b, c, a', b', c' à l'intérieur, \alpha, \beta, \gamma sur les côtés. « 9 » est écrit en marge devant « sommets ». Au-dessus de « répartissent », un indice D_{J'} ; au-dessus de « la configuration est » biffé, « correspondant », lu

sur chacun des quatre sommets a_i, \alpha_i, a'_j, a'_k se trouvant sur une D_{a_i}, i.e. en précisant lequel, parmi les trois sommets \alpha_i, a'_j, a'_k distincts de a_i, est opposé à a_i. On voit que si la figure 1-dimensionnelle provient d'un arrangement 2-dimensionnel (cas I), il y a un ordre circulaire sur J (unique), tel que a_i soit opposé, sur D_{a_i}, à a'_{i+1}. (NB Dans le cas de la figure choisie, cet ordre circulaire est abc). Il y a une autre possibilité : pour i \in J, a_i est opposé à \alpha_i (cas II) « chacun » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; « (cas I) » est ajouté au-dessous de « 2-dimensionnel ». La note marginale, oblique, porte sa parenthèse « (cas II) » au bas de la marge

~~On trouve les configurations~~ ~~On voit que~~ ~~2-dimensionnelles~~ K_{J'}, et K_J, provenant d'un arr. 2-dimensionnel, donc, ~~les~~ désignant par \lambda_i (i \in J) ~~les~~ l'arête de K_J ~~qui~~ portée par D_i qui contient \alpha_i, les \lambda_i (i \in J) forment un syst. d'arêtes compatible avec l'orientation dans le cas I, et non compatible dans le cas II.

(A6) ~~L'orientation~~ Dans le cas d'un système J \in \mathfrak{P}_3(I) non concourant, de trois ps. droites, tel que toute autre ps. droite passe par un des trois sommets a_i de K_J, et lorsqu'on peut trouver pour chaque a_i une D_{a_i} qui passe par a_i et

sa page 12, en haut à gauche ~~distincts de \ell~~ \in I \setminus J, de façon que les trois D_{a_i} soient non concourantes, on exige

(1°) que l'arr. 1-dim. ~~configuration~~ K_{J'} des 6 droites obtenu soit du cas (I) ou (II) ci-dessus, et

(2°) que l'orientation de K_J définie par la prescription précédente ne dépende pas des choix de J'.

Il reste enfin à regarder le cas où les systèmes de D_{a_i} (D_{a_i} \in I \setminus J passant par a_i), celles-ci sont concourantes. Mais cela implique que ~~l'arrangement est~~ l'arrangement \operatorname{card} I = 6, et que standard formé de 7 = 4 + 3 sommets (qui sont des triangles), et 6 ps. droites, les six ps. droites étant les ps. droites qui relient deux à deux quatre sommets triples, les trois points d'intersection supplémentaires étant les intersections des ps. droites « opposées ». La situation formée de ps. droites 1-dimensionnelle (un complexe combinatoire par triangles) est entièrement décrite par l'ens des quatre sommets triples. La situation 2-dimensionnelle correspondante (= groupe d'automorphismes \mathfrak{S}_4) est aussi standard, la description suivante : On trouve pour D_i (i \in I \setminus J) que chacune par un des trois sommets la note marginale, oblique, est rattachée au mot « où » ; « isomorphe à : » est écrit au-dessus de la fin de la ligne biffée. À gauche, un dessin : un triangle a, b, c avec ses trois médianes concourantes en d et une sixième droite, les pieds marqués \alpha, \beta, \gamma ; les sommets a, b, c sont des points noirs. « 7 » est son 7 barré. L'arrangement de six ps. droites à quatre sommets triples est, semble-t-il, celui que le lot 2 (p. 24) note \mathrm{III}_6

Soient a, b, c les sommets de K_J, \alpha, \beta, \gamma les sommets « opposés » dans K_{J'} = K_I, intersection de D_a avec la ps. dr. joignant b à c etc., soient \lambda_a, \lambda_\beta, \lambda_c les arêtes de K_I contenant \alpha, \beta, \gamma, alors \lbrace \lambda_a, \lambda_b, \lambda_c \rbrace est compatible avec l'orientation. les indices des \lambda sont écrits tels qu'ils se lisent : \lambda_\beta dans la première énumération, \lambda_b dans l'accolade

En résumé

Théorème Le foncteur canonique du groupoïde des arrangements de ~~pseudodroites~~ sans bigônes, vers celui des arrangements 1-dimensionnels de pseudo-droites (sans bigônes) est pleinement fidèle. « celui » est écrit au-dessus de « des », rattaché par un trait

Les conditions (A1) à (A6) donnent en principe une voie pour déterminer l'image essentielle — mais il faudrait d'abord simplifier les conditions en question. En principe, il faudrait encore rajouter la relation d'EP (23) — mais je soupçonne que cette dernière est automatique…

petite carte à l'italienne, dessin à l'encre sans texte suivi : un arrangement de droites à cinq sommets multiples (points noirs), deux verticales, deux horizontales et des obliques en éventail. Chaque région porte le nombre de ses côtés, 3, 4 ou 5 (une seule région 5, en bas au centre) ; les régions à l'infini, en haut, sont marquées « id » (ou « i\delta »). À droite, le décompte (+\ 9 triangles +\ 1 carré)

25 triangles

5 carrés

1 pentagone

31 régions le « 25 » récrit un premier chiffre ; après « 31 » un mot est biffé. Le décompte « 31 régions » est isolé par un double trait vertical

petite carte à l'italienne, dessin à l'encre sans texte : six droites, deux verticales, deux presque horizontales et deux obliques, qui forment au centre un petit triangle entouré de triangles ; les régions sont marquées 3 ou 4, celles du haut « id » (ou « i\delta »). À droite, quatre points isolés

petite carte à l'italienne : un arrangement d'une dizaine de droites, sans sommet marqué, dont certaines extrémités portent les étiquettes 5_1, 5_2, 5_4, 5_5, 10_3, 1_6, et une région centrale « 4 ». À droite, un décompte et une légende \begin{array}{r} 5 \\ 15 = 5 + 10 \\ 10 = 5 + 5 \\ 1 \\ \hline 31 \end{array} 1_6 \equiv{} icosaèdre

5_1 \equiv{} hexagone

5_4, 5_2 \equiv{} triangle bordé

5_5, 10_3 \equiv{} carré gammé le « 10 » de la troisième ligne récrit un premier chiffre

Système de Pseudodroites

titre souligné, de sa main, en tête de la page 60, écrite au crayon et non numérotée

Définition : c'est une carte (topologique ou combinatoire) dont la surface sous-jacente X est un plan projectif{}^{*} réel, dont les ordres des sommets sont pairs \geqslant 4 (d'où la division de l'ensemble des arêtes en classes d'équivalence, appelées les « pseudodroites » de la carte) telles que deux pseudodroites se rencontrent en un point et un seul. {}^{*} i.e. (compacte) non orientable et de car. EP égale à 1… la note, appelée par l'astérisque, est écrite verticalement dans la marge gauche

Premières conséquences : le nb n des pseudodroites est \geqslant 2. L'immersion de \mathbf{S}^1 dans \mathbf{P}^2_{\mathbf{R}} correspondant à une ps. dr. est (des deux classes d'isotopie possibles) celle qui est non homotope à 0, i.e. le long d'une ps. dr. X est non orientable, i.e. la situation est la même que pour une droite (projective) dans le plan projectif. On montre que pour des ps dr « en position générale » (sommets tous d'ordre 4) et en nb n \leqslant 6, la situation peut être réalisée par un système de vraies droites dans le plan projectif réel. le « n » est ajouté au-dessus de « nb », après un signe raturé ; le « 0 » de « homotope à 0 » récrit un premier signe

Soit D une pseudodroite dans X, \widetilde{X} le revêtement des orientations de X (\widetilde{X} \simeq \mathbf{S}^2 \simeq \mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}), \widetilde{D} l'image inverse de D dans X. Alors \widetilde{X} \setminus \widetilde{D} a deux comp. connexes (ou « hémisphères ») en corr. 1-1 can. avec l'ens. des deux orientations de D. « dans X » est écrit tel quel, où l'on attendrait \widetilde{X}

Notons que sur l'ens. des sommets se trouvant « sur » est ajouté au-dessus de la ligne ; la phrase continue au lot suivant