Cote n° 8, pages 41–60

Cote n° 8 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Cristaux (1970). Gribouillis et calculs divers : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

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suite directe de la page 39 (lot 2) : même notation, \(\varpi\), \(\Omega\), \(\nu\), \(r_\nu\)

En particulier, si \(G_0\), \(G'_0\) satisfont aux conditions de la proposition, on a \(\operatorname{Hom}(G_0, G'_0) \neq 0\), i.e. \(G_0\) et \(G'_0\) sont isogènes, ssi \(\pi = \pi'\). […] S'il en est ainsi, alors […] \[\begin{cases} \text{si } \nu \mathrel{?} \nu' : & \operatorname{Hom}_A(G_0, G'_0) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega) \\ \text{si } \nu > \nu' : & \operatorname{Hom}_A(G_0, G'_0) \simeq \pi \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega) \end{cases}\] dans la première ligne, le signe entre \(\nu\) et \(\nu'\) est couvert d'une tache d'encre (\(\le\) attendu, illisible) ; après lui, « \(G_0 = G'_0\) » biffé

N.B. Revenons au cas général où on ne suppose plus \(\dim G_0 = 1\), […] \(\varpi\) […] hauteur \(= h\). le mot doublement souligné devant \(\varpi\) est illisible Les isogénies à isogénie près […] de \(G_0\), dans les \(M_\nu\) (\(0 \le \nu \le f-1\)) deviennent des vectoriels de dim. sur \(K\), isomorphes par les \(\varphi_\nu\) (\(0 \le \nu \le f-2\)). Alors […] \[M \simeq \Omega \otimes_{\mathbb{Q}_p} W = \Omega \otimes_K (K \otimes_{\mathbb{Q}_p} K_0)\] sous \(K_0\), relié par un trait : « corps des fractions de \(W\) » ; les indices \(\mathbb{Q}_p\) et \(K\) sont écrits sur des lettres surchargées et \(F\) est déterminé par la connaissance de \(\varphi_{f-1}\), […] un […] de \(M\), soit \(\varpi\), […] […] […] \[F_M^{\,f} = \varpi \otimes_{\mathbb{Q}_p} \mathrm{id}_{K_0} = \varpi \otimes_K (K \otimes_{\mathbb{Q}_p} K_0)\] La condition « d'effectivité » se traduit en termes de \(\varpi\) […] \[\begin{cases} \varpi \text{ laisse invariant un réseau} \\ p^{f} \varpi^{-1} \text{ laisse invariant un réseau} \end{cases}\] l'exposant de \(p\) se lit \(f\) ; lecture douteuse

Revenons aux conditions de la proposition, et déterminons \[\omega_{G_0} = \check{t}_{G_0} \simeq M_\nu / \pi^{r} M_\nu \simeq \Omega / \pi \Omega\] l'exposant de \(\pi\) (« \(r\) » ou « \(F\) ») et la lettre devant le dernier \(\Omega\) (\(\pi\) ou \(p\)) sont des lectures douteuses avec \(k = A/\pi A\) y opérant de la façon évidente, et la structure de vectoriel sur (\(W/pW =\)) \(k = \mathbb{F}_q\) est déduite de la structure précédente grâce à \(\sigma^\nu\). Le cas le plus simple est celui où \(\nu = 0\), auquel cas […] les deux opérations de \(k\) sur \(\omega_{G_0}\) coïncident. […] […]

trois lignes surchargées, en partie biffées et reliées par des traits, se lisent : « Cas […] […] dictée grâce à \(\sigma^\nu\) […] de \(k = \mathbb{F}_q\) […]) » ; « La filtration canonique ([…] \(\nu \ne 1\)) […] \(M \otimes_W k = \sum M_\nu \otimes_A k\) […] \(\omega_0\) tel que \(\omega_0^{(p)} \subset M \otimes_W k^{(p)}\) soit \(M_{f-1} \otimes_A k\) […] ce qui donne \(\omega_0 = M_0 \otimes_A k\) » ; « Le cas […] […] est »

\[G_0 = G_0(A, \pi) \quad \text{correspondant à } (\nu = 0 \text{ et})\ \Omega = A\] […] […] le cas d'un \(\Omega\) quelconque par \[\Omega \otimes_A G_0(A)\] Donc […] dans ce cas comme module de Dieudonné \[\begin{cases} M = A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \\ F_M = \mathrm{id}_A \otimes_{\mathbb{Z}_p} \sigma + \mathrm{pr}_0\bigl((\pi - 1) \otimes \sigma\bigr) \end{cases}\] où \(\mathrm{pr}_0\) est le projecteur sur la composante correspondant au \(A\)-hom \[A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \to A\] qui sur \(W\) est l'inclusion \(W \hookrightarrow A\).

un double trait sépare la suite

Nous nous proposons maintenant de relever \(G_0\) l'action en un groupe de BT \(G\) sur \(A\), avec action de \(A\) sur \(G\), de telle façon que l'action correspondante de \(A\) sur \(t_G\) (qui est un \(A\)-module inversible) soit l'action évidente. D'après Lubin–Tate,

un tel relèvement existe et est unique (à isom. unique près). […] Pour simplifier et pouvoir appliquer la théorie des déformations, on suppose que \(\pi A\) est stable par puissances divisées. […] relever \(G_0\) en un groupe de B.T. \(G\) sur \(A\) (à isom. près, […] […] de l'action de \(A\)) revient à relever la filtration de \[M \otimes_W k = M_A \otimes_A k \ \text{ en une filtration de } M_A \ (\text{sur } A).\] « (à isom. unique près) » est ajouté au-dessus de la ligne ; la lecture de la parenthèse de la cinquième ligne est douteuse

encadré à gauche : « \(\Omega\) \(M = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} W\), \(M_A = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\) » et le diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A \arrow[r, no head] & A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \arrow[r, no head] & A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \\
\mathbb{Z}_p \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & W \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & A \arrow[u, no head]
\end{tikzcd}

La compatibilité à l'action de \(A\) signifie qu'il s'agit d'une filtration de \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\)-modules, i.e. d'un sous-\(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\)-module de rang 1 sur \(1 \otimes A\) […] de \(\Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\), (le dernier […] […]) d'ailleurs can. isom. à \(\omega_G\). On a \[0 \to \omega_G \to \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \to t_{G^*} \to 0\] et, par transposition \[(**) \qquad 0 \to \omega_{G^*} \to \check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \xrightarrow{\ p_0\ } t_G \to 0 \qquad\qquad A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \xrightarrow{\ p_0\ } A\] au-dessus de la flèche vers \(t_G\), une lettre surchargée par « \(p_0\) »

L'hypothèse que sur \(\omega_G\) l'action de \(A\) (via l'action sur \(G\)) est l'action de \(A\)-module naturelle, signifie que […] \(\omega_G\) (ou \(t_G\)) […] […] et \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\) […] […] \(p_0\) […], […] […] de \(A\)-module trivial évident par […] particulier les relations : à l'aide de \[p_0 : A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \to A, \qquad p_0(\lambda \otimes \mu) = \lambda\mu\]

Cela, plus le fait que \(t_G\) et \(\check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\) sont de rang 1 sur \(A\) via \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\), et que \(p\) est surjectif, prouve que \(t_G\) est déduit de \(\check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\) par le changement de base \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \xrightarrow{p_0} A\), […] (comme \(\check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\) est déduit de \(\check{\Omega}\) par \(A \xrightarrow{\lambda \mapsto \lambda \otimes 1} A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A\)) — d'où un isom. can. \[t_G \simeq \check{\Omega} \qquad \text{i.e.} \qquad \omega_G \simeq \Omega\] et la suite exacte (**) et la suite exacte déduite (*) par dualité sont canoniques évidentes, ([…] […] cette filtration […] […] vectorielle […]) étend celle de \(M_A \otimes_A k\), […] […] le th. d'existence et d'unicité de Lubin–Tate, […] sous une forme moins forte d'ailleurs en ce que […] l'unicité, et sous l'hyp. complémentaire que \(\exists\) puiss. div. sur \(\pi A\). « dit (*) par dualité » est ajouté au-dessus de la ligne et relié par un trait

Si on abandonne cette dernière hypothèse, et qu'on utilise la classification des déformations à isogénie près, on trouve de même […] une suite exacte canonique \[0 \to \omega_G \otimes_A K \to M_K \to t_{G^*} \otimes_A K \to 0, \qquad M_K = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} K\] […] aussi \[0 \to \omega_{G^*} \otimes_A K \to \check{M}_K \to t_G \otimes_A K \to 0, \qquad \check{M}_K = \check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} K\] les égalités \(M_K = \ldots\), \(\check{M}_K = \ldots\) sont écrites verticalement sous \(M_K\), \(\check{M}_K\) ; sous \(M_K\), un \(K\) surchargé et on trouve […] que \[t_G \otimes_A K \simeq \check{M}_K \otimes_{\check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} K} (K \otimes K, p_0) \simeq \check{\Omega} \otimes_A K\] l'indice du produit tensoriel du milieu est une lecture douteuse

ce qui redonne la filtration de \(\check{M}_K\) (ou de façon équivalente, de \(M_K\)) en termes de \(\Omega\). Cela donne bien th. d'unicité à isogénie près (mais pas d'existence ni d'unicité à isom. près, pour lesquelles il faut ici se reporter à Lubin–Tate). Notons que \(t_G\) et \(\check{\Omega}\) s'identifient à un sous-réseau de rang 1 […] d'un vectoriel de dim 1 sur \(K\), donc (utilisant le choix de \(\pi \in A\)) ils sont can. isomorphes, […] par \(x \mapsto \pi^{-\alpha} x\) (\(\alpha \in \mathbb{Z}\) […]), \[t_G = \pi^{-\alpha} \check{\Omega} \qquad \text{i.e.} \qquad \Omega = \pi^{\alpha} \omega_G,\] On peut où \(\alpha \in \mathbb{Z}\) est bien déterminé (par \(A\) et \(\pi\), \(\alpha = \ldots\) […] \(A\) tous seuls comme […] […] …).

On a aussi \[\mathbb{D}^*(G)_K \simeq M_K \simeq \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} K\] et notons que \(\mathbb{D}^*(G)\) et \(M\) s'identifient à des sous-réseaux d'un même vectoriel sur \(K\). On peut se demander si ces sous-réseaux sont les mêmes (comme dans le cas où \(\exists\) puiss. div. sur \(\pi A\)), ce qui impliquerait évidemment \(\alpha = 0\).. Cela ne dépend pas du choix de \(\pi\), mais seulement de \(A\) ……

Nous allons examiner […] ce que donne le théorème de Tate, pour le groupe de Lubin–Tate \(G\). Notons que, si \(K_\pi\) (\(\subset \bar{K}\)) est l'extension abélienne de groupe \(A^*\) définie par \(G\) (via \(\operatorname{Gal}(\bar{K}/K) \xrightarrow{\chi_\pi} A^*\)), alors […] \(T_p(G)(\bar{K})\) est un module inversible sur \(A\), et les bases de celui-ci se permutent de façon simplement transitive par \(\operatorname{Gal}(K_\pi/K)\). Donc, il y a un choix privilégié (à isom. unique près) d'une extension algébrique \(K_\pi\) de \(K\) (indépendant du choix d'une clôture \(\bar{K}\) !) avec un générateur \[e \in T_p(G)^*(K_\pi)\] [en fait, \(\operatorname{Spec} K_\pi\) représente le faisceau \(T_p(G)^* = \varprojlim G(\nu)^*\), où la \(*\) désigne les générateurs […] \(A\)-modules …]. Nous supposons fixé \(K_\pi\) de cette façon, et choisissons pour \(\bar{K}\) une sur-extension de \(K_\pi\). Donc le choix […] ci-dessus donne un isom. de \(A\)-modules \[\overbrace{T_p(G)(K_\pi)}^{T_p} \xrightarrow{\ \sim\ } A, \qquad \lambda \mapsto \lambda e .\]

encadré à gauche :

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
T_p \simeq A \arrow[r, no head] & T_p \otimes A \simeq A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \arrow[r, no head] & T_p \otimes C \simeq A \otimes_{\mathbb{Z}_p} C \\
\mathbb{Z}_p \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & A \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & C \arrow[u, no head]
\end{tikzcd}

On regarde sur \(T_p(\ldots) \otimes_A C\) d'une part l'action de \(A\) provenant de l'action de \(A\) sur \(G\) (« action via opérateurs »), d'autre part l'action provenant de la structure de \(C\)-vectoriel. Enfin, on a l'action de \(\boldsymbol{\pi} = \operatorname{Gal}(\bar{K}/K)\), qui commute à l'action (les deux) de \(A\). Supposons \(K/\mathbb{Q}_p\) galoisienne pour simplifier. dans \(T_p(\ldots)\) une lettre est surchargée ; le \(\boldsymbol{\pi}\) du groupe de Galois est écrit en gras, distinct de l'uniformisante \(\pi\) ; on le garde en gras sur les pages 51 à 55

Alors comme module sur \(A_C\), \(T_p \otimes C\) s'identifie canoniquement \[(*) \qquad \boxed{\ T_p \otimes_{\mathbb{Z}_p} C \simeq \prod_\sigma C_\sigma\ }\] où \(C_\sigma = C\), comme \(C\)-vectoriel, l'opération de \(A\) donnée par la façon via \(\sigma : A \to C\), où \[* \qquad \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_p}(K, C) \simeq \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_p}(K) \simeq \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_p}(A) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(A, C).\] le premier « Hom » est écrit sur un mot surchargé ; au-dessus de la première ligne biffée, « […] […] […] »

Cette décomposition est compatible avec l'action de \(\boldsymbol{\pi}\), de façon précise, \(\boldsymbol{\pi}\) opère sur le facteur \(C_\sigma\) par \(\rho_\sigma(g)\) (\(g \in \boldsymbol{\pi}\)) donnés par \[x \in C_\sigma \Rightarrow \rho_\sigma(g) x = \sigma(\chi_\pi(g)) x\] Comparons cette décomposition avec celle donnée par le théorème de Tate

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\begin{tikzcd}[column sep=small]
0 \arrow[r] & \mathfrak{t} \otimes C(1) \arrow[r] & T_p \otimes C \arrow[r] \arrow[l, dashed, bend left=30] & \check{\mathfrak{t}}^{*} \otimes C \arrow[r] \arrow[l, dashed, bend left=30] & 0
\end{tikzcd}

\[(**) \qquad T_p \otimes C \simeq \mathfrak{t} \otimes_A C(1) + \check{\mathfrak{t}}^{*} \otimes_A C\] la lettre notée \(\mathfrak{t}\) (ici et page 55) est une majuscule cursive à longue hampe, de lecture douteuse ; les deux flèches en pointillé sont des arcs sous la suite, une accolade réunit la suite et (**)

Notons que ce dernier isom. est fonctoriel, donc commute à l'action de \(A\) sur les deux membres. Or l'action de \(A\) sur \(\mathfrak{t}\) est l'action régulière, i.e. […] […] que, et l'action de \(A\) sur \(\check{\mathfrak{t}}^{*} \otimes C\) se fait suivant les hom \(A \to C\) pour \(\sigma \neq 1\). Donc la décomposition (**) est celle déduite de la décomposition de \(T_p \otimes C\) […] […] en l'écrivant \[T_p \otimes C \simeq C_1 \oplus \prod_{\sigma \neq 1} C_\sigma .\] Il faut En tenant compte des isomorphismes can., et

tenant compte des isom. can. obtenus plus haut (de \(A \otimes C\)-modules) \[\mathfrak{t} \otimes_A C \simeq C_1, \qquad \check{\mathfrak{t}}^{*} \otimes_A C \simeq \prod_{\sigma \neq 1} C_\sigma,\] il faut donc définir le théorème de Tate équivaut à la donnée des isom. de \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} C\)-modules \[C_\sigma \to C_\sigma, \quad \text{i.e.} \quad \lambda \mapsto \lambda x_\sigma \quad (x_\sigma \in C)\] qui commutent à l'action de \(\boldsymbol{\pi}\) opérant sur la source par \(*\), et sur le but par \(x \mapsto \tau(x)\, g(x)\) si \(\sigma = 1\), par \(x \mapsto g(x)\) si \(\sigma \neq 1\) (\(\tau\) étant le caractère de Tate). Cela revient aux conditions, \[\boxed{\ \begin{cases} g(x_\sigma) = \sigma(\chi_\pi(g))\, x_\sigma & \text{si } \sigma \neq 1 \\ g(x_1) = \tau(g)^{-1} \chi_\pi(g)\, x_1 & \text{si } \sigma = 1 \end{cases} \quad \text{si } g \in \boldsymbol{\pi} = \operatorname{Gal}(\bar{K}/K)\ }\] « = \(\operatorname{Gal}(\bar K/K)\) » est écrit sous \(\boldsymbol{\pi}\) ; l'encadré est ouvert à gauche

NB A priori, les \(x_\sigma\) sont déterminés par la condition à une multiplication près par un élément de certains modules \(A^* \subset K^* \subset C^*\). Mais la […] restriction […] […] […] \(\bar{K}\)) le choix de l'un des \(x_\sigma\) (disons, de \(x_1\)) détermine canoniquement, par le théorème de Tate, tous les autres. […] Il n'existe pas de \(x'_1 \in C^*\) tel qu'on ait \[g(x'_1) = \chi_\pi(g)\, x'_1 \qquad \text{pour } g \in \boldsymbol{\pi} \ (\text{ou} = \text{pour } g \in \text{Inertie de } \boldsymbol{\pi})\] car en faisant le produit de \(x'_1\) et des \(x_\sigma\) (\(\sigma \neq 1\)), on trouverait \(x \in C^*\) tel que \[g(x) = \underbrace{N_{A^*/\mathbb{Z}_p^*}(\chi_\pi(g))}_{= \tau(g) \text{ si } g \in \text{Inertie}}\, x ,\] impossible. la ligne « Mais la … \(\bar K\)) le choix de » est très cursive ; seuls quelques mots se lisent

feuillet de papier quadrillé tenu en largeur, au crayon. En haut à gauche, sous l'en-tête « \(n/17\) », une colonne de petites lignes polygonales, une par ligne : « \(n = 1, 2, 3\) », « \(n = 4\) », « \(n = 5\) », « \(n = 6\) », « \(n = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\) », « \(n = 14\) », « \(n = 15, 16\) » (le 16 surchargé) ; à côté, une colonne titrée « \(\nu\) » porte \(1, 2, 3, 1, 2, 3, 2\). Au centre, deux longues droites parallèles partent de l'origine, avec des points marqués ; à droite, un faisceau de segments aboutit à un axe vertical gradué de 1 à 16 ; l'axe horizontal est gradué de 1 à 18

Inscriptions, de haut en bas et de gauche à droite : \[\begin{gathered} \ldots\ \tfrac{6}{9} > \tfrac{11}{17}, \qquad \tfrac{2}{3} > \tfrac{11}{17}, \qquad \tfrac{5}{12} > \tfrac{7}{17}, \qquad \tfrac{1}{4} < \tfrac{?}{11} < \tfrac{2}{7}, \qquad \tfrac{2}{7} < \tfrac{5}{17}, \\ \tfrac{4}{17} < \tfrac{1}{4}, \qquad \tfrac{1}{9} < \tfrac{2}{17}, \qquad \tfrac{1}{6} < \tfrac{3}{17}, \qquad \tfrac{7}{16} < \tfrac{12}{17}, \qquad \tfrac{5}{7} \mathrel{?} \tfrac{13}{18}, \\ \tfrac{4}{13} > \tfrac{7}{23}, \qquad {<}\ \tfrac{51}{13}\,(?), \qquad \tfrac{3}{10} > \tfrac{7}{24}, \qquad \tfrac{2}{7} < \tfrac{7}{24}, \qquad \tfrac{1}{3} > \tfrac{7}{23}, \qquad \tfrac{2}{7} < \tfrac{1}{3}, \\ \tfrac{7}{9} < \tfrac{7}{8}\,(?), \qquad \tfrac{4}{5} < \tfrac{14}{17}\,(?), \qquad \tfrac{11}{17} > \tfrac{13}{23}, \qquad \tfrac{?}{13} > \tfrac{15}{23}, \qquad \tfrac{10}{14} < \tfrac{13}{18}, \\ \tfrac{13}{17} < \tfrac{10}{13}, \qquad \tfrac{3}{5} < \tfrac{14}{23}, \qquad \tfrac{3}{4} < \tfrac{13}{17} \end{gathered}\] « \(4/17 < 1/4\) » : le signe est corrigé à l'encre sur un autre ; dans « \(5/7 \mathrel{?} 13/18\) » le signe est surchargé ; « \(2/7 < 7/24\) » est précédé d'une fraction biffée ; « \(2/7 < 1/3\) » est écrit sur une première fraction ; « \(11/17 > 13/23\) » et « \(\ldots/13 > 15/23\) », encadrés ensemble, avec un « ? » entre eux ; près du centre, « \(2533 > 285\) » (lecture douteuse) ; un gribouillis en haut à droite. Les inégalités sont transcrites telles qu'écrites, sans vérification

même papier quadrillé, au crayon : deux droites presque parallèles partant de l'origine, l'une passant par une suite de points marqués, sur l'axe horizontal tracé jusqu'à l'abscisse 16 environ

\[\tfrac{4}{5} < \tfrac{13}{15}, \qquad \tfrac{12}{14} = \tfrac{6}{7}, \qquad \tfrac{14}{16} = \tfrac{7}{8} <\]

même papier, tenu en hauteur, au crayon : en haut, deux droites partant de deux points voisins de l'origine, l'une par une suite de points marqués ; plus bas, un second faisceau de six droites de pentes décroissantes, issues de deux points voisins, dont une ligne brisée au départ

\[\tfrac{12}{14} = \tfrac{6}{7}, \qquad \tfrac{13}{15} < \tfrac{7}{8}, \qquad \tfrac{3}{4} > \tfrac{11}{15}, \qquad \tfrac{2}{3} < \tfrac{11}{16}\] une quatrième inscription, très pâle, sous les précédentes, est illisible

\(\mathfrak{G}\)en marge gauche, un \(\mathfrak{G}\) gothique repassé à l'encre

Groupe de Galois d'une catégorie tannakienne (gr. déri.) (\(\mathbb{Q}_p\)-linéaire, ½ simple) \(\mathscr{C}\) munie d'un foncteur fibre \(\Delta\) : […] dans les \(F\)-cristaux (filtrés gr. déri.) à isogénie près sur un anneau local de val. discr. complet \(V\) d'inégales car., à corps résiduel parfait \(k\), corps des fractions \(L\). « gr. déri. » (deux fois), « (\(\mathbb{Q}_p\)-linéaire) », « ½ simple » (i.e. semi-simple), « \(F\)- » et « filtrés » sont des ajouts interlinéaires ; \(\Delta\) est écrit au-dessus de « fibre »

On a

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
W \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & V \arrow[d, hook] \\
K \arrow[r, hook] & L
\end{tikzcd}

« vect. Witt » écrit contre \(W\)

a)foncteur fibre \(\Phi\) vers les \(F\)-cristaux sur \(k\), à isogénie près \(=\) certains couples \((E, F)\), où \(E\) vectoriel de dim finie sur \(K\), \(F\) endomorphisme \(\sigma\)-linéaire de \(E\), tel qu'il existe un réseau invariant par \(F\).
b)filtration de \(\Phi \otimes_K L\).

Le foncteur \(\Phi\) (permet d'identifier \(\mathscr{C}\) à la catégorie des repr. […] sur \(K\) […]) (en utilisant la […])passage encadré et biffé de hachures obliques

Le foncteur fondamental fournit un foncteur \[T_p : \mathscr{C} \longrightarrow \operatorname{Mod}_f(\pi, \mathbb{Q}_p) \qquad \text{où } \pi = \operatorname{Gal}(\bar{L}/L)\] donc un foncteur fibre sur \(\mathbb{Q}_p\), correspondant à une représentation (à isom. près) de \(\mathscr{C}\) comme \[\mathscr{C} \cong \operatorname{Rep}_{\mathbb{Q}_p}(G)\] \(G\) étant un groupe pro-[…] […] sur \(\mathbb{Q}_p\). « \(G\) » est encadré ; le mot après « pro- » est biffé et récrit, les deux illisibles