Fonds Grothendieck, cote n° 8, pages 41–60

suite directe de la page 39 (lot 2) : même notation, \varpi, \Omega, \nu, r_\nu

En particulier, si G_0, G'_0 satisfont aux conditions de la proposition, on a \operatorname{Hom}(G_0, G'_0) \neq 0, i.e. G_0 et G'_0 sont isogènes, ssi \pi = \pi'. S'il en est ainsi, alors \begin{cases} \text{si } \nu \mathrel{?} \nu' : & \operatorname{Hom}_A(G_0, G'_0) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega) \\ \text{si } \nu > \nu' : & \operatorname{Hom}_A(G_0, G'_0) \simeq \pi \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega) \end{cases} dans la première ligne, le signe entre \nu et \nu' est couvert d'une tache d'encre (\le attendu, illisible) ; après lui, « G_0 = G'_0 » biffé

N.B. Revenons au cas général où on ne suppose plus \dim G_0 = 1, \varpi hauteur = h. le mot doublement souligné devant \varpi est illisible Les isogénies à isogénie près de G_0, dans les M_\nu (0 \le \nu \le f-1) deviennent des vectoriels ~~de dim.~~ sur K, isomorphes par les \varphi_\nu (0 \le \nu \le f-2). Alors M \simeq \Omega \otimes_{\mathbb{Q}_p} W = \Omega \otimes_K (K \otimes_{\mathbb{Q}_p} K_0) sous K_0, relié par un trait : « corps des fractions de W » ; les indices \mathbb{Q}_p et K sont écrits sur des lettres surchargées et F est déterminé par la connaissance de \varphi_{f-1}, un de M, soit \varpi, F_M^{\,f} = \varpi \otimes_{\mathbb{Q}_p} \mathrm{id}_{K_0} = \varpi \otimes_K (K \otimes_{\mathbb{Q}_p} K_0) La condition « d'effectivité » se traduit en termes de \varpi \begin{cases} \varpi \text{ laisse invariant un réseau} \\ p^{f} \varpi^{-1} \text{ laisse invariant un réseau} \end{cases} l'exposant de p se lit f ; lecture douteuse

Revenons aux conditions de la proposition, et déterminons \omega_{G_0} = \check{t}_{G_0} \simeq M_\nu / \pi^{r} M_\nu \simeq \Omega / \pi \Omega l'exposant de \pi (« r » ou « F ») et la lettre devant le dernier \Omega (\pi ou p) sont des lectures douteuses avec k = A/\pi A y opérant de la façon évidente, et la structure de vectoriel sur (W/pW =) k = \mathbb{F}_q est déduite de la structure précédente grâce à \sigma^\nu. Le cas le plus simple est celui où \nu = 0, auquel cas les deux opérations de k sur \omega_{G_0} coïncident.

trois lignes surchargées, en partie biffées et reliées par des traits, se lisent : « Cas dictée grâce à \sigma^\nu de k = \mathbb{F}_q ) » ; « La filtration canonique ( \nu \ne 1) M \otimes_W k = \sum M_\nu \otimes_A k \omega_0 tel que \omega_0^{(p)} \subset M \otimes_W k^{(p)} soit M_{f-1} \otimes_A k ce qui donne \omega_0 = M_0 \otimes_A k » ; « Le cas est »

G_0 = G_0(A, \pi) \quad \text{correspondant à } (\nu = 0 \text{ et})\ \Omega = A le cas d'un \Omega quelconque par \Omega \otimes_A G_0(A) Donc dans ce cas comme module de Dieudonné \begin{cases} M = A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \\ F_M = \mathrm{id}_A \otimes_{\mathbb{Z}_p} \sigma + \mathrm{pr}_0\bigl((\pi - 1) \otimes \sigma\bigr) \end{cases} où \mathrm{pr}_0 est le projecteur sur la composante correspondant au A-hom A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \to A qui sur W est l'inclusion W \hookrightarrow A.

un double trait sépare la suite

Nous nous proposons maintenant de relever G_0 ~~l'action~~ en un groupe de BT G sur A, avec action de A sur G, de telle façon que l'action correspondante de A sur t_G (qui est un A-module inversible) soit l'action évidente. D'après Lubin–Tate,

un tel relèvement existe et est unique (à isom. unique près). Pour simplifier et pouvoir appliquer la théorie des déformations, on suppose que \pi A est stable par puissances divisées. relever G_0 en un groupe de B.T. G sur A (à isom. près, de l'action de A) revient à relever la filtration de M \otimes_W k = M_A \otimes_A k \ \text{ en une filtration de } M_A \ (\text{sur } A). « (à isom. unique près) » est ajouté au-dessus de la ligne ; la lecture de la parenthèse de la cinquième ligne est douteuse

encadré à gauche : « \Omega M = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} W, M_A = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} A » et le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] A \arrow[r, no head] & A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \arrow[r, no head] & A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \\ \mathbb{Z}_p \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & W \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & A \arrow[u, no head] \end{tikzcd}

La compatibilité à l'action de A signifie qu'il s'agit d'une filtration de A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A-modules, i.e. d'un sous-A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A-module de rang 1 sur 1 \otimes A de \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} A, (le dernier ) d'ailleurs can. isom. à \omega_G. On a 0 \to \omega_G \to \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \to t_{G^*} \to 0 et, par transposition (**) \qquad 0 \to \omega_{G^*} \to \check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \xrightarrow{\ p_0\ } t_G \to 0 \qquad\qquad A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \xrightarrow{\ p_0\ } A au-dessus de la flèche vers t_G, une lettre surchargée par « p_0 »

L'hypothèse que sur \omega_G l'action de A (via l'action sur G) est l'action de A-module naturelle, signifie que \omega_G (ou t_G) ~~et A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A p_0~~ , de A-module ~~trivial~~ évident par particulier les relations : à l'aide de p_0 : A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \to A, \qquad p_0(\lambda \otimes \mu) = \lambda\mu

Cela, plus le fait que t_G et \check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} A sont de rang 1 sur A via A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A, et que p est surjectif, prouve que t_G est déduit de \check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} A par le changement de base A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \xrightarrow{p_0} A, (comme \check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} A est déduit de \check{\Omega} par A \xrightarrow{\lambda \mapsto \lambda \otimes 1} A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A) — d'où un isom. can. t_G \simeq \check{\Omega} \qquad \text{i.e.} \qquad \omega_G \simeq \Omega et la suite exacte (**) et la suite exacte déduite (*) par dualité sont canoniques évidentes, ( cette filtration vectorielle ) étend celle de M_A \otimes_A k, le th. d'existence et d'unicité de Lubin–Tate, sous une forme moins forte d'ailleurs en ce que l'unicité, et sous l'hyp. complémentaire que \exists puiss. div. sur \pi A. « dit (*) par dualité » est ajouté au-dessus de la ligne et relié par un trait

Si on abandonne cette dernière hypothèse, et qu'on utilise la classification des déformations à isogénie près, on trouve de même une suite exacte canonique 0 \to \omega_G \otimes_A K \to M_K \to t_{G^*} \otimes_A K \to 0, \qquad M_K = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} K aussi 0 \to \omega_{G^*} \otimes_A K \to \check{M}_K \to t_G \otimes_A K \to 0, \qquad \check{M}_K = \check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} K les égalités M_K = \ldots, \check{M}_K = \ldots sont écrites verticalement sous M_K, \check{M}_K ; sous M_K, un K surchargé et on trouve que t_G \otimes_A K \simeq \check{M}_K \otimes_{\check{\Omega} \otimes_{\mathbb{Z}_p} K} (K \otimes K, p_0) \simeq \check{\Omega} \otimes_A K l'indice du produit tensoriel du milieu est une lecture douteuse

ce qui redonne la filtration de \check{M}_K (ou de façon équivalente, de M_K) en termes de \Omega. Cela donne bien th. d'unicité à isogénie près (mais pas d'existence ni d'unicité à isom. près, pour lesquelles il faut ici se reporter à Lubin–Tate). Notons que t_G et \check{\Omega} s'identifient à un sous-réseau de rang 1 d'un vectoriel de dim 1 sur K, donc (utilisant le choix de \pi \in A) ils sont can. isomorphes, par x \mapsto \pi^{-\alpha} x (\alpha \in \mathbb{Z} ), t_G = \pi^{-\alpha} \check{\Omega} \qquad \text{i.e.} \qquad \Omega = \pi^{\alpha} \omega_G, ~~On peut~~ où \alpha \in \mathbb{Z} est bien déterminé (par A et \pi, \alpha = \ldots A tous seuls comme …).

On a aussi \mathbb{D}^*(G)_K \simeq M_K \simeq \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} K et notons que \mathbb{D}^*(G) et M s'identifient à des sous-réseaux d'un même vectoriel sur K. On peut se demander si ces sous-réseaux sont les mêmes (comme dans le cas où \exists puiss. div. sur \pi A), ce qui impliquerait évidemment \alpha = 0.. Cela ne dépend pas du choix de \pi, mais seulement de A ……

Nous allons examiner ce que donne le théorème de Tate, pour le groupe de Lubin–Tate G. Notons que, si K_\pi (\subset \bar{K}) est l'extension abélienne de groupe A^* définie par G (via \operatorname{Gal}(\bar{K}/K) \xrightarrow{\chi_\pi} A^*), alors T_p(G)(\bar{K}) est un module inversible sur A, et les bases de celui-ci se permutent de façon simplement transitive par \operatorname{Gal}(K_\pi/K). Donc, il y a un choix privilégié (à isom. unique près) d'une extension algébrique K_\pi de K (indépendant du choix d'une clôture \bar{K} !) avec un générateur e \in T_p(G)^*(K_\pi) [en fait, \operatorname{Spec} K_\pi représente le faisceau T_p(G)^* = \varprojlim G(\nu)^*, où la * désigne les générateurs A-modules …]. Nous supposons fixé K_\pi de cette façon, et choisissons pour \bar{K} une sur-extension de K_\pi. Donc le choix ci-dessus donne un isom. de A-modules \overbrace{T_p(G)(K_\pi)}^{T_p} \xrightarrow{\ \sim\ } A, \qquad \lambda \mapsto \lambda e .

encadré à gauche :

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] T_p \simeq A \arrow[r, no head] & T_p \otimes A \simeq A \otimes_{\mathbb{Z}_p} A \arrow[r, no head] & T_p \otimes C \simeq A \otimes_{\mathbb{Z}_p} C \\ \mathbb{Z}_p \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & A \arrow[u, no head] \arrow[r, no head] & C \arrow[u, no head] \end{tikzcd}

On regarde sur T_p(\ldots) \otimes_A C d'une part l'action de A provenant de l'action de A sur G (« action via opérateurs »), d'autre part l'action provenant de la structure de C-vectoriel. Enfin, on a l'action de \boldsymbol{\pi} = \operatorname{Gal}(\bar{K}/K), qui commute à l'action (les deux) de A. Supposons K/\mathbb{Q}_p galoisienne pour simplifier. dans T_p(\ldots) une lettre est surchargée ; le \boldsymbol{\pi} du groupe de Galois est écrit en gras, distinct de l'uniformisante \pi ; on le garde en gras sur les pages 51 à 55

Alors comme module sur A_C, ~~T_p \otimes C s'identifie~~ canoniquement (*) \qquad \boxed{\ T_p \otimes_{\mathbb{Z}_p} C \simeq \prod_\sigma C_\sigma\ } où C_\sigma = C, comme C-vectoriel, l'opération de A donnée par la façon via \sigma : A \to C, où * \qquad \sigma \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}_p}(K, C) \simeq \operatorname{Aut}_{\mathbb{Q}_p}(K) \simeq \operatorname{Aut}_{\mathbb{Z}_p}(A) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}_p}(A, C). le premier « Hom » est écrit sur un mot surchargé ; au-dessus de la première ligne biffée, « »

Cette décomposition est compatible avec l'action de \boldsymbol{\pi}, de façon précise, \boldsymbol{\pi} opère sur le facteur C_\sigma par \rho_\sigma(g) (g \in \boldsymbol{\pi}) donnés par x \in C_\sigma \Rightarrow \rho_\sigma(g) x = \sigma(\chi_\pi(g)) x Comparons cette décomposition avec celle donnée par le théorème de Tate

\begin{tikzcd}[column sep=small] 0 \arrow[r] & \mathfrak{t} \otimes C(1) \arrow[r] & T_p \otimes C \arrow[r] \arrow[l, dashed, bend left=30] & \check{\mathfrak{t}}^{*} \otimes C \arrow[r] \arrow[l, dashed, bend left=30] & 0 \end{tikzcd}

(**) \qquad T_p \otimes C \simeq \mathfrak{t} \otimes_A C(1) + \check{\mathfrak{t}}^{*} \otimes_A C la lettre notée \mathfrak{t} (ici et page 55) est une majuscule cursive à longue hampe, de lecture douteuse ; les deux flèches en pointillé sont des arcs sous la suite, une accolade réunit la suite et (**)

Notons que ce dernier isom. est fonctoriel, donc commute à l'action de A sur les deux membres. Or l'action de A sur \mathfrak{t} est l'action régulière, i.e. que, et l'action de A sur \check{\mathfrak{t}}^{*} \otimes C se fait suivant les hom A \to C pour \sigma \neq 1. Donc la décomposition (**) est celle déduite de la décomposition de T_p \otimes C en l'écrivant T_p \otimes C \simeq C_1 \oplus \prod_{\sigma \neq 1} C_\sigma . ~~Il faut~~ En tenant compte des isomorphismes can., et

tenant compte des isom. can. obtenus plus haut (de A \otimes C-modules) \mathfrak{t} \otimes_A C \simeq C_1, \qquad \check{\mathfrak{t}}^{*} \otimes_A C \simeq \prod_{\sigma \neq 1} C_\sigma, ~~il faut donc définir~~ le théorème de Tate équivaut à la donnée des isom. de A \otimes_{\mathbb{Z}_p} C-modules C_\sigma \to C_\sigma, \quad \text{i.e.} \quad \lambda \mapsto \lambda x_\sigma \quad (x_\sigma \in C) qui commutent à l'action de \boldsymbol{\pi} opérant sur la source par *, et sur le but par x \mapsto \tau(x)\, g(x) si \sigma = 1, par x \mapsto g(x) si \sigma \neq 1 (\tau étant le caractère de Tate). Cela revient aux conditions, \boxed{\ \begin{cases} g(x_\sigma) = \sigma(\chi_\pi(g))\, x_\sigma & \text{si } \sigma \neq 1 \\ g(x_1) = \tau(g)^{-1} \chi_\pi(g)\, x_1 & \text{si } \sigma = 1 \end{cases} \quad \text{si } g \in \boldsymbol{\pi} = \operatorname{Gal}(\bar{K}/K)\ } « = \operatorname{Gal}(\bar K/K) » est écrit sous \boldsymbol{\pi} ; l'encadré est ouvert à gauche

NB A priori, les x_\sigma sont déterminés par la condition à une multiplication près par un élément de certains modules A^* \subset K^* \subset C^*. Mais la restriction \bar{K}) le choix de l'un des x_\sigma (disons, de x_1) détermine canoniquement, par le théorème de Tate, tous les autres. Il n'existe pas de x'_1 \in C^* tel qu'on ait g(x'_1) = \chi_\pi(g)\, x'_1 \qquad \text{pour } g \in \boldsymbol{\pi} \ (\text{ou} = \text{pour } g \in \text{Inertie de } \boldsymbol{\pi}) car en faisant le produit de x'_1 et des x_\sigma (\sigma \neq 1), on trouverait x \in C^* tel que g(x) = \underbrace{N_{A^*/\mathbb{Z}_p^*}(\chi_\pi(g))}_{= \tau(g) \text{ si } g \in \text{Inertie}}\, x , impossible. la ligne « Mais la … \bar K) le choix de » est très cursive ; seuls quelques mots se lisent

feuillet de papier quadrillé tenu en largeur, au crayon. En haut à gauche, sous l'en-tête « n/17 », une colonne de petites lignes polygonales, une par ligne : « n = 1, 2, 3 », « n = 4 », « n = 5 », « n = 6 », « n = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 », « n = 14 », « n = 15, 16 » (le 16 surchargé) ; à côté, une colonne titrée « \nu » porte 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2. Au centre, deux longues droites parallèles partent de l'origine, avec des points marqués ; à droite, un faisceau de segments aboutit à un axe vertical gradué de 1 à 16 ; l'axe horizontal est gradué de 1 à 18

Inscriptions, de haut en bas et de gauche à droite : \begin{gathered} \ldots\ \tfrac{6}{9} > \tfrac{11}{17}, \qquad \tfrac{2}{3} > \tfrac{11}{17}, \qquad \tfrac{5}{12} > \tfrac{7}{17}, \qquad \tfrac{1}{4} < \tfrac{?}{11} < \tfrac{2}{7}, \qquad \tfrac{2}{7} < \tfrac{5}{17}, \\ \tfrac{4}{17} < \tfrac{1}{4}, \qquad \tfrac{1}{9} < \tfrac{2}{17}, \qquad \tfrac{1}{6} < \tfrac{3}{17}, \qquad \tfrac{7}{16} < \tfrac{12}{17}, \qquad \tfrac{5}{7} \mathrel{?} \tfrac{13}{18}, \\ \tfrac{4}{13} > \tfrac{7}{23}, \qquad {<}\ \tfrac{51}{13}\,(?), \qquad \tfrac{3}{10} > \tfrac{7}{24}, \qquad \tfrac{2}{7} < \tfrac{7}{24}, \qquad \tfrac{1}{3} > \tfrac{7}{23}, \qquad \tfrac{2}{7} < \tfrac{1}{3}, \\ \tfrac{7}{9} < \tfrac{7}{8}\,(?), \qquad \tfrac{4}{5} < \tfrac{14}{17}\,(?), \qquad \tfrac{11}{17} > \tfrac{13}{23}, \qquad \tfrac{?}{13} > \tfrac{15}{23}, \qquad \tfrac{10}{14} < \tfrac{13}{18}, \\ \tfrac{13}{17} < \tfrac{10}{13}, \qquad \tfrac{3}{5} < \tfrac{14}{23}, \qquad \tfrac{3}{4} < \tfrac{13}{17} \end{gathered} « 4/17 < 1/4 » : le signe est corrigé à l'encre sur un autre ; dans « 5/7 \mathrel{?} 13/18 » le signe est surchargé ; « 2/7 < 7/24 » est précédé d'une fraction biffée ; « 2/7 < 1/3 » est écrit sur une première fraction ; « 11/17 > 13/23 » et « \ldots/13 > 15/23 », encadrés ensemble, avec un « ? » entre eux ; près du centre, « 2533 > 285 » (lecture douteuse) ; un gribouillis en haut à droite. Les inégalités sont transcrites telles qu'écrites, sans vérification

même papier quadrillé, au crayon : deux droites presque parallèles partant de l'origine, l'une passant par une suite de points marqués, sur l'axe horizontal tracé jusqu'à l'abscisse 16 environ

\tfrac{4}{5} < \tfrac{13}{15}, \qquad \tfrac{12}{14} = \tfrac{6}{7}, \qquad \tfrac{14}{16} = \tfrac{7}{8} <

même papier, tenu en hauteur, au crayon : en haut, deux droites partant de deux points voisins de l'origine, l'une par une suite de points marqués ; plus bas, un second faisceau de six droites de pentes décroissantes, issues de deux points voisins, dont une ligne brisée au départ

\tfrac{12}{14} = \tfrac{6}{7}, \qquad \tfrac{13}{15} < \tfrac{7}{8}, \qquad \tfrac{3}{4} > \tfrac{11}{15}, \qquad \tfrac{2}{3} < \tfrac{11}{16} une quatrième inscription, très pâle, sous les précédentes, est illisible

\mathfrak{G}en marge gauche, un \mathfrak{G} gothique repassé à l'encre

Groupe de Galois d'une catégorie tannakienne (gr. déri.) (\mathbb{Q}_p-linéaire, ½ simple) \mathscr{C} munie d'un foncteur fibre \Delta : dans les F-cristaux (filtrés gr. déri.) à isogénie près sur un anneau ~~local~~ de val. discr. complet V d'inégales car., à corps résiduel parfait k, corps des fractions L. « gr. déri. » (deux fois), « (\mathbb{Q}_p-linéaire) », « ½ simple » (i.e. semi-simple), « F- » et « filtrés » sont des ajouts interlinéaires ; \Delta est écrit au-dessus de « fibre »

On a

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] W \arrow[r, hook] \arrow[d, hook] & V \arrow[d, hook] \\ K \arrow[r, hook] & L \end{tikzcd}

« vect. Witt » écrit contre W

a)foncteur fibre \Phi vers les F-cristaux sur k, à isogénie près = certains couples (E, F), où E vectoriel de dim finie sur K, F endomorphisme \sigma-linéaire de E, tel qu'il existe un réseau invariant par F. b)filtration de \Phi \otimes_K L.

~~Le foncteur \Phi (permet d'identifier \mathscr{C} à la catégorie des repr. sur K ) (en utilisant la )~~passage encadré et biffé de hachures obliques

Le foncteur fondamental fournit un foncteur T_p : \mathscr{C} \longrightarrow \operatorname{Mod}_f(\pi, \mathbb{Q}_p) \qquad \text{où } \pi = \operatorname{Gal}(\bar{L}/L) donc un foncteur fibre sur \mathbb{Q}_p, correspondant à une représentation (à isom. près) de \mathscr{C} comme \mathscr{C} \cong \operatorname{Rep}_{\mathbb{Q}_p}(G) G étant un groupe pro- sur \mathbb{Q}_p. « G » est encadré ; le mot après « pro- » est biffé et récrit, les deux illisibles