Cote n° 8 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Cristaux (1970). Gribouillis et calculs divers : notes manuscrites (s.d.)
Édition de démonstration

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page entière au crayon, sans une phrase suivie : suites exactes et triangles notés l'un sous l'autre

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \check{\ell}'_\bullet[1] \arrow[dl] & \\
\ell \arrow[rr] & & \Delta \arrow[ul]
\end{tikzcd}

\[0 \to \ell \to \Delta \to \check{\ell}'_\bullet[1] \to 0\] \[0 \to 0 \to \Theta \xrightarrow{\ \sim\ } \Theta \to 0\] \[\begin{array}{ll} \operatorname{Fil}^0 \Theta = \Theta & \operatorname{Fil}^0(\Delta) = \Delta \\ \operatorname{Fil}^1 \Theta = 0 & \operatorname{Fil}^1(\Delta) = \ell \\ & \operatorname{Fil}^2(\Delta) = 0 \end{array} \qquad \left.\begin{array}{l} \Delta \to \Theta \\ \ell \to 0 \end{array}\right] \ \text{i.e.}\ \check{\ell}'_\bullet[1] \to \Theta\] modulo les diff. d'homotopie […] […] tels que […]

\[\begin{array}{c} \operatorname{Hom}_{D(X)}(\check{\ell}'_\bullet[1], \Theta) \to \operatorname{Hom}(\Delta, \Theta) \\ \downarrow \\ \operatorname{Hom}_{D(X_{\mathrm{cris}})}(\varphi^{*}(\check{\ell}'_\bullet[1]), \varphi^{*}(\Theta)) \end{array}\] \[\Theta = \underline{O}_X[1]\] \(\operatorname{Hom}_{D(X)}\)

\[\begin{array}{c} \mathbb{H}^0(\ell_\bullet) \to \mathbb{H}^0(\Delta^*) \\ \downarrow \\ \mathbb{H}^0 \varphi^{*}(\ell_\bullet) \end{array}\] l'exposant de \(\Delta\) dans \(\mathbb{H}^0(\Delta^*)\) est surchargé ; à droite, biffé : « \(\to \mathbb{H}^1(\ell_\bullet)\) »

\[0 \to \ell_\bullet \to \check{\Delta}^* \to \check{\ell}_\bullet[1] \to 0\] lecture incertaine des accents et des exposants de cette ligne \[0 \to n_{G^{*}} \to \mathbb{D}^{*}(G)^{\vee} \to t_G \to \omega_{G^{*}} \to \mathbb{D}^{*}(G^{*}) \to \nu_G \to 0\] la dernière lettre, « \(\nu_G\) », est une lecture incertaine \[\begin{gathered} 0 \to \mathbb{H}^1(\ell_\bullet) \to \mathbb{H}^1(\Delta^*) \to \mathbb{H}^1(\check{\ell}_\bullet[-1]) \to \mathbb{H}^0(\ell_\bullet) \to \mathbb{H}^0(\Delta^*) \to \mathbb{H}^0(\check{\ell}_\bullet[1]) \to 0 \\ 0 \to L_1 \to L_0 \to 0 \end{gathered}\] un trait relie \(\mathbb{H}^1(\check{\ell}_\bullet[-1])\) à \(t_G\) dans la ligne du dessus \[\underbrace{\Gamma(\mathbb{D}^{*}(G)^{\vee}) \to \Gamma(t_G)}\to \mathbb{H}^0(\ell_\bullet) \qquad H^1(n_{G^{*}}) \to H^1_{\mathrm{cris}}(n_{G^{*}})\] \[0 \to \underbrace{n_{G^{*}} \to \mathbb{D}^{*}(G)^{\vee}} \to Q \to 0\] \[\to \omega \to \mathbb{D}^{*}(G)\] \[\begin{cases} H^1(\mathbb{D}^{*}(G)^{\vee}) = 0 \\ \operatorname{Ker}\bigl(H^1(n_{G^{*}}) \to H^1_{\mathrm{cris}}(n_{G^{*}})\bigr) \neq 0 \end{cases}\]

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Groupes de Barsotti-Tate ordinaires.

\(S_0\) schéma lisse sur \(k\), corps parfait, \(S_0 = \operatorname{Spec} A_0\) si on veut

\(S\) schéma formel formell. lisse sur \(W\) relevant \(S_0\)

\(F_S\), endom. relevant du schéma formel \(S\), compatible avec \(\sigma\) sur \(W(k)\) (automorphisme de Frobenius) et prolongeant \(F_{S_0}\) (endom. de Frob. absolu)

\(\mathrm{BTO}(S_0)\) catégorie des groupes de BT ordinaires sur \(S_0\)

\(C = \mathbf{C}_{S, F_S}\), catégorie des quadruplets sextuples \((P', Q', M, \nabla, F_M, \operatorname{Fil}_0)\), formés de

• \(P'\), \(Q'\) faisceaux \(p\)-adiques constants tordus […] loc. libres de t.f. sur \(S\)
• \(M\) extension de \(P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S\) par \(Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S\) \[0 \to Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S \to M \to P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S \to 0\]
• \(\nabla\) connexion à courbure nulle sur \(M\), compatible avec induisant sur la structure d'extension (\(Q' \otimes \mathcal{O}_S\) et \(P' \otimes \mathcal{O}_S\) munis de leur connexion canonique …)
• \(F_M : F_S^{*}(M) \to M\) homomorphisme d'extensions, compatible avec les connexions, induisant sur \(Q' \otimes\) respectivement \[\begin{aligned} F_{Q'} &: F_S^{*}(Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S) \to Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S \\ p \cdot F_{P'} &: F_S^{*}(P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S) \to P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S , \end{aligned}\] \(F_{P'}\) (\(F_{Q'}\)) étant l'isom. canonique
• \(\operatorname{Fil}\) un filtration splitting ([…] spéc. comp. aux connexions) […] de \(M_0 = M \otimes \mathcal{O}_{S_0}\) / de l'extension \(M_0\) de \(P'_0 \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_{S_0}\) par \(Q'_0 \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_{S_0}\), compatible à l'hom \(F_{M_0}\)

On a un foncteur canonique (« module de Dieudonné ») \[\mathbb{D} : \mathrm{BTO}(S_0)^{\circ} \longrightarrow C .\]

Question : Est-ce une équivalence de catégories ? la question est soulignée d'un trait ondulé

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on peut prendre un splitting \(\varphi\) compatible avec le splitting \(\operatorname{Fil}_0\) sur \(S_0\), ce qui conduira à des \(L\) […] nuls sur \(S_0\) et des \(\Phi\) itou …note de marge écrite en oblique à gauche des dix premières lignes

1) Description de la catégorie \(C\).

Considérons un objet \((P', Q', M, \nabla, F_M, \operatorname{Fil})\) […] \(\nabla\). Choisissons un splitting de l'extension \(M\), disons un isom \[\varphi : M \xrightarrow{\ \sim\ } P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S + Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S\] Un autre splitting définira un […] isom \(\varphi'\) \[\varphi' : M \simeq \ldots\] donnant lieu à un diagramme commutatif

\begin{tikzcd}
M \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, no head] &
P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S \arrow[d, "u"] \\
M \arrow[r, "\varphi'"] &
P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S
\end{tikzcd}

le trait vertical de gauche est une égalité ; les flèches horizontales sont des isomorphismes, marqués \(\sim\)

où \(u = \begin{pmatrix} \mathrm{id} & L \\ 0 & \mathrm{id} \end{pmatrix}\), \(u(x, y) = (x, y + Lx)\)

avec \[L \in \Gamma\bigl(\underbrace{\check{P}' \otimes_{\mathbb{Z}_p} Q'}_{T} \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S\bigr)\]

En termes de et \(I_{\varphi}\), \(I_{Q'}\),lecture incertaine ; ces mots, reliés par un trait à la ligne suivante, semblent ajoutés après coup Utilisant \(\varphi\), \(F_S^{*}(\varphi)\) \[F_S^{*}(M) \xrightarrow[\ \sim\ ]{F_S^{*}(\varphi)} P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S\] et \(F_M\) est donné par la commutativité de

\begin{tikzcd}
F_S^{*}(M) \arrow[r, "F_S^{*}(\varphi)"] \arrow[d, "F_M"'] &
P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S \arrow[d, "F_{M,\varphi}"] \\
M \arrow[r, "\varphi"] &
P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S
\end{tikzcd}

\[F_{M,\varphi} = \begin{pmatrix} \mathrm{id} & \Phi \\ 0 & p\,\mathrm{id} \end{pmatrix}, \qquad F_{M,\varphi}(x, y) = (px, y + \Phi x)\] tel quel : la matrice porte \(\mathrm{id}\) en haut et \(p\,\mathrm{id}\) en bas, la formule donne \(px\) sur la première composante où \[\boxed{\ \Phi = \Phi_{M,\varphi} \in \Gamma(T \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S)\ }\] le \(T\) est écrit par-dessus un \(\check{P}\) ; le \(\Phi\) est la lettre barrée de sa main que l'on rend ainsi sur toute la page

On veut comparer \(\Phi\) avec \(\Phi' = \Phi_{M,\varphi'}\), on trouve \[F_{M,\varphi'}\, F_S^{*}(u) = u\, F_{M,\varphi} \qquad \text{i.e.,}\] […] \[\Phi' + F_S^{*}(L) = \Phi + pL\]

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i.e. \[\boxed{\ \Phi' = \Phi + \bigl(pL - F_S^{*}(L)\bigr)\ }\]

On voit de même, si \(\omega = \omega_{M,\varphi} \in \Gamma\bigl(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes (T \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S)\bigr)\) donne la forme connexion \(\nabla \in \Gamma(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes M)\) via \(\varphi\), \[\nabla_{M,\varphi} = \begin{pmatrix} 0 & \omega_{M,\varphi} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \boxed{\ \omega = \omega_{M,\varphi} \in \Gamma\bigl(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes (T \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S)\bigr)\ }\] que on a, si \(\omega' = \omega_{M,\varphi'}\), que : \[\boxed{\ \omega' = \omega - dL\ }\] un indice de \(\omega'\) est biffé

Écrivons les conditions portant sur […] \(\Phi = \Phi_{M,\varphi}\) et \(\omega = \omega_{M,\varphi}\) qui assurent qu'on a bien un objet de \(C\). Ce sont \[\begin{cases} \boxed{d\omega = 0} & \text{exprime que la connexion } \nabla \text{ définie par } \omega \text{ est à courbure nulle} \\ \boxed{F_S^{*}(\omega) - p\omega = d\Phi} & \text{exprime que } F_M \text{ est compatible à la connexion} \\ \boxed{\Phi_0 = 0} & \text{exprimant que } (F_M)_0 \text{ respecte } \operatorname{Fil}_0 . \end{cases}\] la dernière glose porte un mot biffé entre « respecte » et « \(\operatorname{Fil}_0\) »

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en haut, au crayon, un calcul en partie biffé ; première ligne biffée « \((i+p-1)p - (i+p-2)p\) » (lecture douteuse), puis \[(i+p)(p+1) - (i+p-1)p = \ldots = \underline{2p+i}\] les termes intermédiaires se détruisent deux à deux et sont barrés un à un ; à côté, au crayon et encadré : \[E \xrightarrow{\ u\ } F, \quad \omega, \ \omega' \qquad \boxed{\ v \circ \omega = du + \omega' \circ u\ }\] le \(v\) de l'encadré est une lecture douteuse (on attend \(u\))

\(E_{0,S} \to E_S\)ligne barrée d'un trait sur toute la largeur ; en dessous, une autre esquisse biffée, \(E_{0,S}\)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S_0 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & S \arrow[d, no head] \\
k \arrow[r, no head] & W
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
S \arrow[r, "F_S"] \arrow[d, no head] & S \arrow[d, no head] \\
\operatorname{Spf} W \arrow[r, "F_W"] \arrow[dr, no head] &
\operatorname{Spf}(W) \arrow[d, no head] \\
 & \operatorname{Spf} \mathbb{Z}_p
\end{tikzcd}

\(M = E_W\), \(E\) module libre de t.f.

\(F_S^{*}(E_W) = E^{\sigma}_W\)

\begin{tikzcd}
F_S^{*}(E_S) \arrow[r, "F_M"] & E_S \\
E_S \arrow[u, no head, "\wr"] \arrow[ur, "\Phi"'] &
\end{tikzcd}

\(\Phi\) induit un isom après \(\otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p\) souligné deux fois

\[A \in \Gamma\bigl(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes \operatorname{End}(E_S)\bigr)\] \[A' = F_S^{*}(\nabla) \in \Gamma\bigl(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes \underbrace{\operatorname{End}(F_S^{*}(E_S))}_{\simeq\, \operatorname{End}(E_S)}\bigr)\] \(\Phi \circ \nabla\)

\[\Phi \circ A^{\sigma} = d\Phi + A \circ \Phi\] i.e. \[\boxed{\ d\Phi = \Phi \circ A^{\sigma} - A \circ \Phi\ } \quad \text{exprime que } F_M \text{ est compatible à la connexion}\] \(K(A)E\) \[\boxed{\ dA + [A, A] = 0\ } \quad \text{exprime que la connexion } \nabla \text{ définie par } A \text{ est à courbure nulle}\] \(\Phi^{-1}\) \(\exists\, \Psi : E_S \to E_S\), et \(i\), tel que \[\boxed{\ \Psi \Phi = p^i\, \mathrm{id}\ }\]

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page au stylo à bille, occupée pour moitié par des croquis : une région notée \(C^1\) contenant des feuilles \(\Phi_m\), \(\Phi_n\) enroulées, un petit ouvert \(U \supset V\) envoyé par \(\sigma\) vers \(\mathbb{R}^m\) (avec \(\mathbb{R}^n\) dessiné dedans) ; ailleurs « \(C^0\) », « \(\emptyset\) », « \(C^{\infty}\) » (surchargé), « \(m-n\) », « \(n-1\) »

\[\sigma(V) = \sigma(U) \cap \mathbb{R}^n\] \[\mathcal{A}_0 = \bigl\lbrace (\sigma_i, (U_i, V_i)) \bigr\rbrace \quad C^r, \qquad V_i \subset U_i\]

1. Familles canoniques \(C^r\), \(r \geq 0\)
2. Familles régulières (quasi-régulières), \(C^r\), \(r \geq 1\)
3. Familles naturelles, \(r \geq 1\)
4. Familles normales, \(r \geq 1\)

3) et 4) sont réunies par une accolade marquée \(C^{r-1}\) ; 1) est entourée

\[(\sigma_1, (U_1, V_1)) \qquad (\sigma_2, (U_2, V_2))\]

1. \(V_1 \cap V_2 \neq \emptyset\)
2. \((\sigma'_1, (U_1 \cap U_2, V_1 \cap V_2))\), \((\sigma'_2, (U_1 \cap U_2, V_1 \cap V_2))\)

\[U_1 \cap V_2 = V_1 \cap V_2, \qquad U_2 \cap V_1 = V_1 \cap V_2\] à droite, un croquis : deux ouverts \(U_1\), \(U_2\) traversés par une sous-variété (trait épais) le long de laquelle sont \(V_1\), \(V_2\) ; \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) les envoient dans \(\mathbb{R}^m\), où \(\sigma_1(V_1)\) et \(\sigma_2(V_2)\) sont posés sur \(\mathbb{R}^n\)

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\[M = E_S \xrightarrow{\ u\ } E'_S = M' \quad \text{compatible avec} \quad \nabla_M, \nabla_{M'}, F_M, F_{M'} \ ?\] la liste après « compatible avec » est écrite en surcharge et se lit mal \[u \circ A = du + A' \circ u\] \[\boxed{\ du = u \circ A - A' \circ u\ }\]

\begin{tikzcd}
E_S \arrow[r, "u"] & E'_S \\
E_S \arrow[u, "F_M"] \arrow[r, dashed, "F_S^{*}(u) = u^{\sigma}"'] &
E'_S \arrow[u, "F_{M'}"']
\end{tikzcd}

Ex Modules inversibles. \(M\) : \(\Phi = \varphi \in \Gamma(\underline{O}_S)\), \(A = \omega \in \Gamma(\hat{\Omega}^1_{S/W})\) \[\boxed{\begin{aligned} d\varphi &= \varphi(\omega^{\sigma} - \omega) \\ d\omega &= 0 \\ \varphi \psi &= p^{i} \end{aligned}}\] l'exposant de \(p\) est une lecture douteuse

Si […] on a \(M'\) \(= (\varphi', \omega')\), […] […]

\(\exists\, u \in \Gamma \underline{O}_S^{*}\) satisfaisant \(\frac{du}{u} = \omega - \omega'\) \[\boxed{\begin{cases} \omega' - \omega = -\dfrac{du}{u} \\[4pt] \varphi'/\varphi = u/u^{\sigma} \end{cases}}\]

D. Classification des données par la cohomologie du complexe \[\Gamma(\underline{O}_S^{*}) \to \Gamma(\hat{\Omega}^1_{S/W}) \times \Gamma(\underline{O}_S)^{!} \to \Gamma(\Omega^2_{S/W}) \times \Gamma(\Omega^1_S)[1/p]\] \[u \mapsto \Bigl(\frac{du}{u},\ u/u^{\sigma}\Bigr) \qquad (\varphi, \omega) \mapsto \Bigl(d\omega,\ \frac{d\varphi}{\varphi} - (\omega^{\sigma} - \omega)\Bigr)\] sous \(\varphi\) : « élts inversibles dans \(A[1/p]\) » ; le « ! » après \(\Gamma(\underline{O}_S)\) est tel quel ; un \(\Omega\) biffé devant \(\hat{\Omega}^1_{S/W}\)

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feuillet de tapuscrit dactylographié (ruban bleu), scanné tête-bêche, sans rapport direct avec les notes manuscrites voisines ; il est gardé parce qu'il porte des interventions à la main, et le texte tapé n'est pas recomposé. Il contient la « Démonstration » d'un énoncé à trois volets a), b), c) : a) renvoie à 5.10 ; pour b), réduction au cas \(\ell \neq p\) et choix d'une extension finie séparable \(K'\) de \(K\) correspondant à un sous-groupe ouvert \(\pi'\) de \(\pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K)\) dont l'intersection avec le groupe d'inertie \(I\) est contenue dans le noyau de la représentation de \(I\) sur \(T_\ell(A_K(\bar K))\) (cf. 5.12.1) ; pour c), \(1) \Rightarrow 2)\) (5.12.2), \(2) \Rightarrow 3)\) trivial, et pour \(3) \Rightarrow 1)\) : si \(\ell \neq p\) le critère galoisien de réduction semi-stable 3.5, si \(\ell = p\) un \(\ell' \neq p\) auxiliaire, \(S\) strictement local (3.4.0), \(K'/K\) galoisienne finie de groupe \(G\) telle que \(A_{K'}\) ait réduction semi-stable, trivialité de la représentation de \(G\) sur les trois quotients de (4.1.1), c'est-à-dire de sa trace, indépendante de \(\ell'\) (4.3 a)), calculée en termes de \(T_p(A_K)\) en 6.4 ; puis « Remarque 5.13.1 », sur un groupe de Barsotti-Tate \(X_\eta\) sur \(\eta\) à bonne réduction virtuelle sur \(S\) et à bonne réduction virtuelle essentielle d'échelon \(n\). Les \(\ell\), les flèches \(\Rightarrow\) et le \(\pi\) sont tracés à la main dans les blancs du tapuscrit ; les passages biffés à la machine ne sont pas relevés. Interventions à la main : en haut, « 55 […] » (à l'encre) ; « le » ajouté au-dessus devant « critère » ; le chiffre final de « 6.4 » repassé à l'encre ; un trait reliant « 4.1. » à « Supposons » par-dessus une ligne biffée à la machine ; « (pro-\(\ell\)-) » ajouté et entouré devant « groupe de Barsotti-Tate » ; à la fin, après « d'échelon \(n\). », la parenthèse « (C'est ce qui avait été utilisé, pour vrai pour \(\ell \neq p\).) »

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Détermination du module de Dieudonné filtré du groupe de Barsotti-Tate.

\(K\) extension finie de \(\mathbb{Q}_p\), anneau d'entiers \(A\), corps résiduel \(k = \mathbb{F}_q\), \(q = p^f\), \([K : \mathbb{Q}_p] = h = ef\), \(\pi \in A\) uniformisante

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathbb{Z}_p \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & A \arrow[d, no head] \\
\mathbb{Q}_p \arrow[r, no head] & K
\end{tikzcd}

\(W = W_\infty(k)\) vecteurs de Witt, \[\mathbb{Z}_p \underset{(f)}{\hookrightarrow} W \underset{(e)}{\overset{i}{\hookrightarrow}} A\]

On veut déterminer d'abord les groupes de B.T. \(G_0\) (de hauteur \((= \uncertain{\mathrm{rang}})\ \ldots\)) un mot après « rang » est illisible ; « d'abord » et « \(G_0\) » sont ajoutés au-dessus de la ligne \(h\) sur […] \(k\), avec opération de \(A\) dessus [telles que \[\pi_{G_0} = F^f \quad (\text{automorphisme de Frobenius de } G_0/\mathbb{F}_q)\ ]\] Par la théorie de Dieudonné, ils correspondent aux modules libres \(M\) (de rang \(h\)) sur \(W\), avec endom \(\sigma\)-linéaire (\(\sigma\) automorphisme de Frob. de \(W\)) \(F_M\), et opération de \(A\) sur \(M\) (\(\lambda \mapsto \lambda_M\)) par \(W\)-endomorphismes commutant à \(F_M\), satisfaisant \[\Bigl[ (*) \quad F_M^f = \pi_M \Bigr] \qquad (*')\ \exists\, V_M \text{ t.q. } F_M V_M = V_M F_M = p\] devant \(F_M^f\) dans (*), un mot biffé illisible

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] &
A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \arrow[d, no head] \\
\mathbb{Z}_p \arrow[r, no head] & W
\end{tikzcd}

Les deux structures de modules sur \(M\) correspondent à une structure de module sur \(A_W = A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W\). Soit […] \(\sigma_A\) l'automorphisme de \(A_W = A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W\) donné par \[\sigma_A(\lambda \otimes w) = \lambda \otimes \sigma w\] Alors la donnée de \(F_M\) équivaut à la donnée d'un endom \(\sigma_A\)-linéaire, satisfaisant (*) (*').

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On a \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W\) étale sur \(A\), ext. résiduelle \(k \otimes_{\mathbb{F}_p} k \simeq k^{\Sigma}\), \(\Sigma = \operatorname{Aut} k = \operatorname{Aut} W\) \[A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \xrightarrow{\ \sim\ } A^{\Sigma}, \qquad \Sigma \simeq \mathbb{Z}/f\mathbb{Z}\] en correspondance bijective canonique avec \([0, f-1]\) par \(\nu \mapsto \sigma^{\nu}\) […]

Donc \[\sigma_A(x_0, x_1, \ldots, x_{f-1}) = (x_1, \ldots, x_{f-1}, x_0)\] La donnée d'un module libre sur \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W\) \(M\) équivaut à la donnée de modules \((M_\nu)_{\nu \in \Sigma}\) sur \(A\), le rang de \(M\) est la somme des rangs des \(M_\nu\) (ou à une ég. à \(h\)) . La donnée d'un La donnée d'un endom \(F_M\) \(\sigma_A\)-linéaire équivaut à la donnée d'hom. \(A\)-linéaires \[M_0 \xrightarrow{\varphi_0} M_1 \xrightarrow{\varphi_1} \cdots \to M_{f-1} \xrightarrow{\varphi_{f-1}} M_0\] la phrase « (on a une ég. …) » est ajoutée au-dessus de la ligne et reliée par un trait ; la lecture en est douteuse

La condition (*) […] indique que les \(f\) composés circulaires sont des isogénies, donc les \(\varphi_i\) sont injectifs, donc les \(\varphi_i\) des isogénies (ou les rangs des \(M_\nu\) tous égaux …). Donc — Utilisant maintenant le fait que la somme des rangs des \(M_\nu\) est \(h\), on trouve que les \(M_\nu\) sont inversibles. ce serait aussi une conséquence de (*1) … de (*) seul … avec \(\pi\) uniformisante quelconque de \(A\)note de marge écrite en oblique, en partie repassée à l'encre bleue ; plusieurs mots sont illisibles On peut donc trouver un unique module inversible On peut donc identifier tous les \(M_\nu\) à \(M_0 = \Omega\) \(\Omega\) sur \(A\), \(M_0 = t\), […] en choisissant […] pour \(M_\nu\) (\(0 \le \nu \le f-1\)) les isom. \[M_0 \xrightarrow{\ \sim\ } M_\nu\] donnés par \[\pi^{-m_\nu}(\varphi_{\nu-1} \varphi_{\nu-2} \cdots \varphi_0), \quad \text{où } m_\nu \text{ est un entier} \geq 0 \text{ uniquement déterminé}\] (\(0 = m_0 \le m_1 \le \cdots \le m_{f-1}\)). On trouve donc un iso can. \[M \simeq \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} W = \Omega \otimes_A (A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W)\] le module noté ici \(\Omega\) est celui que la ligne précédente appelle \(t\) ; les deux lettres sont telles quelles

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Alors \(F_M\) est donné par les entiers \(m_i\) […] […], les \(m_{i+1} - m_i\) […]deux lignes biffées en tête de page ; lecture douteuse

On a choisi les isom de telle façon que chaque \(\varphi_\nu\) (\(0 \le \nu \le f-2\)) soit de la forme \[\varphi_\nu = \pi^{r_\nu}\, \mathrm{id}_{\Omega} \qquad (r_\nu \geq 0, \ 0 \le \nu \le f-2)\] et \(\varphi_{f-1}\) est donné par \[\varphi_{f-1} = \lambda\, \mathrm{id}_{\Omega}, \qquad \lambda \in A, \quad \text{soit } \lambda = \pi^{r_{f-1}} u,\ u \in A^{*}\] […] On a donc \[F_M^{\,f} = \pi^{r_0 + \cdots + r_{f-2} + r_{f-1}} u = \varpi, \qquad u \in A^{*}\] On aura \(M/F_M M \simeq A/\pi^{r_{f-1}}A + A/\pi^{r_0}A + \cdots + A/\pi^{r_{f-2}}A\)

La condition (*)\('\) s'écrit […] \(d_{K}\) \[p \ \text{divisible par } \pi^{r_\nu} \text{ pour } 0 \le \nu \le f-2, \text{ par } u\pi^{r_{f-1}}\] i.e. \[\boxed{\ r_\nu \le e\ } \quad \text{pour } 0 \le \nu \le f-1\] sous l'encadré, un second encadré entièrement griffonné

On a \[M/F_M M = A/u\pi^{r_{f-1}}A + A/\pi^{r_0}A + \cdots + A/\pi^{r_{f-2}}A\] et […] la longueur \(\operatorname{long} A(\varpi A)\) \[\boxed{\ \dim G_0 = r_0 + \cdots + r_{f-2} + r_{f-1}\ } \qquad (\le fe = h)\] dans l'encadré, un premier membre biffé illisible devant \(r_0\), et la parenthèse qui suit \(r_{f-1}\) biffée ; « \(\operatorname{long} A(\varpi A)\) », entouré, est une lecture douteuse

Supposons maintenant

Donc on trouve \[\boxed{\begin{aligned} &\dim G_0 = 1 \iff F_M^{\,f} = \varpi_M,\ \varpi \text{ uniformisante de } A \\ &\iff \text{tous les } r_\nu \text{ sauf un seul } r_{\nu_0} \text{ sont nuls}, \ r_{\nu_0} = 1,\ u \text{ une unité} \end{aligned}}\] à droite de la première ligne de l'encadré : « (puisque […] […] \(= \pi\), quitte à changer \(\pi\) !) » sous « une unité », en petit : « (\(u = 1\) […] […] \(\varpi = \pi\)) »

G…la page s'arrête sur une lettre isolée

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Donc lorsque on trouve …

Proposition. \(A\), \(k\), \(W\), \(e\), \(f\), \(h = ef\), comme plus haut. Soit \(G_0\) un groupe de B.T. (de hauteur \(h\)) sur \(k\) sur lequel \(A\) opère, Alors si \(M\) son module de Dieudonné (un module libre de rang \(h\) sur \(W\)). \(F_{G_0}^{\,f}\) est de la forme \(\varpi_{G_0}\), où \(\varpi \in A\), et on a \(\dim G_0 = \operatorname{long}_A A/\varpi A = v(\varpi)\).

Alors conditions équivalentes

conditions équivalentes :

1. (i)\(\dim G_0 = 1\)
2. (ii)\(F_{G_0}^{\,f} = \pi_{G_0}\), \(\pi\) une uniformisante de \(A\) (uniquement déterminée !)
3. (iii)Le module de Dieudonné \(M\) de \(G_0\) (sur \(W\)), avec \(F_M\) et l'opération de \(A\), est donné par un triple \((\Omega, \nu, \pi)\), où \(\Omega\) est un module inversible sur \(A\), \(0 \le \nu \le f-1\), \(\pi\) une uniformisante de \(A\) : on a \[\begin{cases} M = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} W = \Omega \otimes_A (A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W) \quad (\text{comme } A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W\text{-mod.}) \\ F_M = \mathrm{id}_\Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} \sigma + \mathrm{pr}_\nu \bigl[(\pi - 1) \otimes \sigma\bigr] \end{cases}\] où \(\mathrm{pr}_\nu\) est le facteur projecteur de \(M\) sur le \(\nu\)-ième facteur (correspondant à la décomposition \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \simeq A^{[0, f-1]}\)).

« comme » dans la première ligne est une lecture douteuse ; « \(\mathrm{pr}_\nu\) » est écrit sur un mot biffé ; une rature suit le crochet

N.B. Tous ces groupes (pour \(\nu\) […] […]) sont isomorphes … […] … par transformations d'opérations … \(f\) … \(\mathbb{F}_q = \mathbb{F}_{p^f}\) note de marge écrite en oblique à gauche de (iii) ; la plupart des mots sont illisibles

N.B. Revenons au cas général ([…] \(G_0\) de hauteur …) […] dim \(G_0 = 1\). Soit \(G'_0\) défini comme ci-dessus par \(\Omega'\), les \(r'_\nu\) (\(0 \le \nu \le f-1\)), \(u' \in A^{*}\). On cherche les homomorphismes de \(G_0\) dans \(G'_0\) compatibles avec l'opération de \(A\) …, i.e. les hom de \(M'\) dans \(M\), compatibles avec les structures de \(A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W\)-module, et avec \(F_M\), \(F_{M'}\). On trouve facilement que pour qu'il existe un tel hom qui […] soit \(\neq 0\) (\(\iff\) une isogénie), il faut et il suffit qu'on ait \(\varpi = \varpi'\) i.e. \(F_{G_0}^{\,f} = F_{G'_0}^{\,f}\) (dans \(A\)). Dans ce cas, les groupes des hom en question, comme \(A\)-modules, sont isomorphes au […] sous-\(A\)-module \(H \subset \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega)\) formé des \(v_0 : \Omega' \to \Omega\) tels que pour tout \(0 \le \nu \le f-2\) on ait \[v_0\, \pi^{(\sum_0^{\nu} r_i) - (\sum_0^{\nu} r'_i)} \in \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega), \quad \text{i.e.} \quad \operatorname{val}(v_0) + \sum_0^{\nu} r_i - \sum_0^{\nu} r'_i \geq 0\] les primes sur les \(r_i\) des deux sommes ne se distinguent pas nettement ; lecture douteuse de leur place