Fonds Grothendieck, cote n° 8, pages 21–40

page entière au crayon, sans une phrase suivie : suites exactes et triangles notés l'un sous l'autre

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \check{\ell}'_\bullet[1] \arrow[dl] & \\ \ell \arrow[rr] & & \Delta \arrow[ul] \end{tikzcd}

0 \to \ell \to \Delta \to \check{\ell}'_\bullet[1] \to 0 0 \to 0 \to \Theta \xrightarrow{\ \sim\ } \Theta \to 0 \begin{array}{ll} \operatorname{Fil}^0 \Theta = \Theta & \operatorname{Fil}^0(\Delta) = \Delta \\ \operatorname{Fil}^1 \Theta = 0 & \operatorname{Fil}^1(\Delta) = \ell \\ & \operatorname{Fil}^2(\Delta) = 0 \end{array} \qquad \left.\begin{array}{l} \Delta \to \Theta \\ \ell \to 0 \end{array}\right] \ \text{i.e.}\ \check{\ell}'_\bullet[1] \to \Theta modulo les diff. d'homotopie tels que

\begin{array}{c} \operatorname{Hom}_{D(X)}(\check{\ell}'_\bullet[1], \Theta) \to \operatorname{Hom}(\Delta, \Theta) \\ \downarrow \\ \operatorname{Hom}_{D(X_{\mathrm{cris}})}(\varphi^{*}(\check{\ell}'_\bullet[1]), \varphi^{*}(\Theta)) \end{array} \Theta = \underline{O}_X[1] ~~\operatorname{Hom}_{D(X)}~~

\begin{array}{c} \mathbb{H}^0(\ell_\bullet) \to \mathbb{H}^0(\Delta^*) \\ \downarrow \\ \mathbb{H}^0 \varphi^{*}(\ell_\bullet) \end{array} l'exposant de \Delta dans \mathbb{H}^0(\Delta^*) est surchargé ; à droite, biffé : « \to \mathbb{H}^1(\ell_\bullet) »

0 \to \ell_\bullet \to \check{\Delta}^* \to \check{\ell}_\bullet[1] \to 0 lecture incertaine des accents et des exposants de cette ligne 0 \to n_{G^{*}} \to \mathbb{D}^{*}(G)^{\vee} \to t_G \to \omega_{G^{*}} \to \mathbb{D}^{*}(G^{*}) \to \nu_G \to 0 la dernière lettre, « \nu_G », est une lecture incertaine \begin{gathered} 0 \to \mathbb{H}^1(\ell_\bullet) \to \mathbb{H}^1(\Delta^*) \to \mathbb{H}^1(\check{\ell}_\bullet[-1]) \to \mathbb{H}^0(\ell_\bullet) \to \mathbb{H}^0(\Delta^*) \to \mathbb{H}^0(\check{\ell}_\bullet[1]) \to 0 \\ 0 \to L_1 \to L_0 \to 0 \end{gathered} un trait relie \mathbb{H}^1(\check{\ell}_\bullet[-1]) à t_G dans la ligne du dessus \underbrace{\Gamma(\mathbb{D}^{*}(G)^{\vee}) \to \Gamma(t_G)}\to \mathbb{H}^0(\ell_\bullet) \qquad H^1(n_{G^{*}}) \to H^1_{\mathrm{cris}}(n_{G^{*}}) 0 \to \underbrace{n_{G^{*}} \to \mathbb{D}^{*}(G)^{\vee}} \to Q \to 0 \to \omega \to \mathbb{D}^{*}(G) \begin{cases} H^1(\mathbb{D}^{*}(G)^{\vee}) = 0 \\ \operatorname{Ker}\bigl(H^1(n_{G^{*}}) \to H^1_{\mathrm{cris}}(n_{G^{*}})\bigr) \neq 0 \end{cases}

Groupes de Barsotti-Tate ordinaires.

S_0 schéma lisse sur k, corps parfait, S_0 = \operatorname{Spec} A_0 si on veut

S schéma formel formell. lisse sur W relevant S_0

F_S, endom. ~~relevant~~ du schéma formel S, compatible avec \sigma sur W(k) (automorphisme de Frobenius) et prolongeant F_{S_0} (endom. de Frob. absolu)

\mathrm{BTO}(S_0) catégorie des groupes de BT ordinaires sur S_0

C = \mathbf{C}_{S, F_S}, catégorie des ~~quadruplets~~ sextuples (P', Q', M, \nabla, F_M, \operatorname{Fil}_0), formés de

P', Q' ~~faisceaux~~ p-adiques constants tordus loc. libres de t.f. sur S M extension de P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S par Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S 0 \to Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S \to M \to P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S \to 0 \nabla connexion à courbure nulle sur M, compatible avec ~~induisant sur~~ la structure d'extension (Q' \otimes \mathcal{O}_S et P' \otimes \mathcal{O}_S munis de leur connexion canonique …) F_M : F_S^{*}(M) \to M homomorphisme d'extensions, compatible avec les connexions, induisant ~~sur Q' \otimes~~ respectivement \begin{aligned} F_{Q'} &: F_S^{*}(Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S) \to Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S \\ p \cdot F_{P'} &: F_S^{*}(P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S) \to P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S , \end{aligned} F_{P'} (F_{Q'}) étant l'isom. canonique \operatorname{Fil} un ~~filtration~~ splitting ( spéc. comp. aux connexions) ~~de M_0 = M \otimes \mathcal{O}_{S_0}~~ / de l'extension M_0 de P'_0 \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_{S_0} par Q'_0 \otimes_{\mathbb{F}_p} \mathcal{O}_{S_0}, compatible à l'hom F_{M_0}

On a un foncteur canonique (« module de Dieudonné ») \mathbb{D} : \mathrm{BTO}(S_0)^{\circ} \longrightarrow C .

Question : Est-ce une équivalence de catégories ? la question est soulignée d'un trait ondulé

on peut prendre un splitting \varphi compatible avec le splitting \operatorname{Fil}_0 sur S_0, ce qui conduira à des L nuls sur S_0 et des \Phi itou …note de marge écrite en oblique à gauche des dix premières lignes

1) Description de la catégorie C.

Considérons un objet (P', Q', M, \nabla, F_M, \operatorname{Fil}) ~~\nabla~~. Choisissons un splitting de l'extension M, disons un isom \varphi : M \xrightarrow{\ \sim\ } P' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S + Q' \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S Un autre splitting définira un isom \varphi' \varphi' : M \simeq \ldots donnant lieu à un diagramme commutatif

\begin{tikzcd} M \arrow[r, "\varphi"] \arrow[d, no head] & P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S \arrow[d, "u"] \\ M \arrow[r, "\varphi'"] & P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S \end{tikzcd}

le trait vertical de gauche est une égalité ; les flèches horizontales sont des isomorphismes, marqués \sim

où u = \begin{pmatrix} \mathrm{id} & L \\ 0 & \mathrm{id} \end{pmatrix}, u(x, y) = (x, y + Lx)

avec L \in \Gamma\bigl(\underbrace{\check{P}' \otimes_{\mathbb{Z}_p} Q'}_{T} \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S\bigr)

~~En termes de~~ et I_{\varphi}, I_{Q'},lecture incertaine ; ces mots, reliés par un trait à la ligne suivante, semblent ajoutés après coup Utilisant \varphi, F_S^{*}(\varphi) F_S^{*}(M) \xrightarrow[\ \sim\ ]{F_S^{*}(\varphi)} P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S et F_M est donné par la commutativité de

\begin{tikzcd} F_S^{*}(M) \arrow[r, "F_S^{*}(\varphi)"] \arrow[d, "F_M"'] & P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S \arrow[d, "F_{M,\varphi}"] \\ M \arrow[r, "\varphi"] & P' \otimes \mathcal{O}_S + Q' \otimes \mathcal{O}_S \end{tikzcd}

F_{M,\varphi} = \begin{pmatrix} \mathrm{id} & \Phi \\ 0 & p\,\mathrm{id} \end{pmatrix}, \qquad F_{M,\varphi}(x, y) = (px, y + \Phi x) tel quel : la matrice porte \mathrm{id} en haut et p\,\mathrm{id} en bas, la formule donne px sur la première composante où \boxed{\ \Phi = \Phi_{M,\varphi} \in \Gamma(T \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S)\ } le T est écrit par-dessus un \check{P} ; le \Phi est la lettre barrée de sa main que l'on rend ainsi sur toute la page

On veut comparer \Phi avec \Phi' = \Phi_{M,\varphi'}, on trouve F_{M,\varphi'}\, F_S^{*}(u) = u\, F_{M,\varphi} \qquad \text{i.e.,} \Phi' + F_S^{*}(L) = \Phi + pL

i.e. \boxed{\ \Phi' = \Phi + \bigl(pL - F_S^{*}(L)\bigr)\ }

On voit de même, si \omega = \omega_{M,\varphi} \in \Gamma\bigl(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes (T \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S)\bigr) donne la forme connexion \nabla \in \Gamma(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes M) via \varphi, \nabla_{M,\varphi} = \begin{pmatrix} 0 & \omega_{M,\varphi} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \boxed{\ \omega = \omega_{M,\varphi} \in \Gamma\bigl(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes (T \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathcal{O}_S)\bigr)\ } que on a, si \omega' = \omega_{M,\varphi'}, que : \boxed{\ \omega' = \omega - dL\ } un indice de \omega' est biffé

Écrivons les conditions portant sur \Phi = \Phi_{M,\varphi} et \omega = \omega_{M,\varphi} qui assurent qu'on a bien un objet de C. Ce sont \begin{cases} \boxed{d\omega = 0} & \text{exprime que la connexion } \nabla \text{ définie par } \omega \text{ est à courbure nulle} \\ \boxed{F_S^{*}(\omega) - p\omega = d\Phi} & \text{exprime que } F_M \text{ est compatible à la connexion} \\ \boxed{\Phi_0 = 0} & \text{exprimant que } (F_M)_0 \text{ respecte } \operatorname{Fil}_0 . \end{cases} la dernière glose porte un mot biffé entre « respecte » et « \operatorname{Fil}_0 »

en haut, au crayon, un calcul en partie biffé ; première ligne biffée « (i+p-1)p - (i+p-2)p » (lecture douteuse), puis (i+p)(p+1) - (i+p-1)p = \ldots = \underline{2p+i} les termes intermédiaires se détruisent deux à deux et sont barrés un à un ; à côté, au crayon et encadré : E \xrightarrow{\ u\ } F, \quad \omega, \ \omega' \qquad \boxed{\ v \circ \omega = du + \omega' \circ u\ } le v de l'encadré est une lecture douteuse (on attend u)

~~E_{0,S} \to E_S~~ligne barrée d'un trait sur toute la largeur ; en dessous, une autre esquisse biffée, E_{0,S}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] S_0 \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & S \arrow[d, no head] \\ k \arrow[r, no head] & W \end{tikzcd} F_S, ~~F_S^{*}~~ \lambda

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] S \arrow[r, "F_S"] \arrow[d, no head] & S \arrow[d, no head] \\ \operatorname{Spf} W \arrow[r, "F_W"] \arrow[dr, no head] & \operatorname{Spf}(W) \arrow[d, no head] \\ & \operatorname{Spf} \mathbb{Z}_p \end{tikzcd}

M = E_W, E module libre de t.f.

~~F_S^{*}(E_W) = E^{\sigma}_W~~

\begin{tikzcd} F_S^{*}(E_S) \arrow[r, "F_M"] & E_S \\ E_S \arrow[u, no head, "\wr"] \arrow[ur, "\Phi"'] & \end{tikzcd}

\Phi induit un isom après \otimes_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Q}_p souligné deux fois

A \in \Gamma\bigl(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes \operatorname{End}(E_S)\bigr) A' = F_S^{*}(\nabla) \in \Gamma\bigl(\hat{\Omega}^1_{S/W} \otimes \underbrace{\operatorname{End}(F_S^{*}(E_S))}_{\simeq\, \operatorname{End}(E_S)}\bigr) ~~\Phi \circ \nabla~~

\Phi \circ A^{\sigma} = d\Phi + A \circ \Phi i.e. \boxed{\ d\Phi = \Phi \circ A^{\sigma} - A \circ \Phi\ } \quad \text{exprime que } F_M \text{ est compatible à la connexion} ~~K(A)E~~ \boxed{\ dA + [A, A] = 0\ } \quad \text{exprime que la connexion } \nabla \text{ définie par } A \text{ est à courbure nulle} ~~\Phi^{-1}~~ \exists\, \Psi : E_S \to E_S, et i, tel que \boxed{\ \Psi \Phi = p^i\, \mathrm{id}\ }

page au stylo à bille, occupée pour moitié par des croquis : une région notée C^1 contenant des feuilles \Phi_m, \Phi_n enroulées, un petit ouvert U \supset V envoyé par \sigma vers \mathbb{R}^m (avec \mathbb{R}^n dessiné dedans) ; ailleurs « C^0 », « \emptyset », « C^{\infty} » (surchargé), « m-n », « n-1 »

\sigma(V) = \sigma(U) \cap \mathbb{R}^n \mathcal{A}_0 = \bigl\lbrace (\sigma_i, (U_i, V_i)) \bigr\rbrace \quad C^r, \qquad V_i \subset U_i

Familles canoniques C^r, r \geq 0 Familles régulières (quasi-régulières), C^r, r \geq 1 Familles naturelles, r \geq 1 Familles normales, r \geq 1

3) et 4) sont réunies par une accolade marquée C^{r-1} ; 1) est entourée

(\sigma_1, (U_1, V_1)) \qquad (\sigma_2, (U_2, V_2))

V_1 \cap V_2 \neq \emptyset (\sigma'_1, (U_1 \cap U_2, V_1 \cap V_2)), (\sigma'_2, (U_1 \cap U_2, V_1 \cap V_2))

U_1 \cap V_2 = V_1 \cap V_2, \qquad U_2 \cap V_1 = V_1 \cap V_2 à droite, un croquis : deux ouverts U_1, U_2 traversés par une sous-variété (trait épais) le long de laquelle sont V_1, V_2 ; \sigma_1, \sigma_2 les envoient dans \mathbb{R}^m, où \sigma_1(V_1) et \sigma_2(V_2) sont posés sur \mathbb{R}^n

M = E_S \xrightarrow{\ u\ } E'_S = M' \quad \text{compatible avec} \quad \nabla_M, \nabla_{M'}, F_M, F_{M'} \ ? la liste après « compatible avec » est écrite en surcharge et se lit mal u \circ A = du + A' \circ u \boxed{\ du = u \circ A - A' \circ u\ }

\begin{tikzcd} E_S \arrow[r, "u"] & E'_S \\ E_S \arrow[u, "F_M"] \arrow[r, dashed, "F_S^{*}(u) = u^{\sigma}"'] & E'_S \arrow[u, "F_{M'}"'] \end{tikzcd} \boxed{F_{M'}\, u^{\sigma} = u\, F_M}

Ex Modules inversibles. M : \Phi = \varphi \in \Gamma(\underline{O}_S), A = \omega \in \Gamma(\hat{\Omega}^1_{S/W}) \boxed{\begin{aligned} d\varphi &= \varphi(\omega^{\sigma} - \omega) \\ d\omega &= 0 \\ \varphi \psi &= p^{i} \end{aligned}} l'exposant de p est une lecture douteuse

Si on a M' = (\varphi', \omega'),

\exists\, u \in \Gamma \underline{O}_S^{*} satisfaisant ~~\frac{du}{u} = \omega - \omega'~~ \boxed{\begin{cases} \omega' - \omega = -\dfrac{du}{u} \\[4pt] \varphi'/\varphi = u/u^{\sigma} \end{cases}}

D. Classification des données par la cohomologie du complexe \Gamma(\underline{O}_S^{*}) \to \Gamma(\hat{\Omega}^1_{S/W}) \times \Gamma(\underline{O}_S)^{!} \to \Gamma(\Omega^2_{S/W}) \times \Gamma(\Omega^1_S)[1/p] u \mapsto \Bigl(\frac{du}{u},\ u/u^{\sigma}\Bigr) \qquad (\varphi, \omega) \mapsto \Bigl(d\omega,\ \frac{d\varphi}{\varphi} - (\omega^{\sigma} - \omega)\Bigr) sous \varphi : « élts inversibles dans A[1/p] » ; le « ! » après \Gamma(\underline{O}_S) est tel quel ; un \Omega biffé devant \hat{\Omega}^1_{S/W}

feuillet de tapuscrit dactylographié (ruban bleu), scanné tête-bêche, sans rapport direct avec les notes manuscrites voisines ; il est gardé parce qu'il porte des interventions à la main, et le texte tapé n'est pas recomposé. Il contient la « Démonstration » d'un énoncé à trois volets a), b), c) : a) renvoie à 5.10 ; pour b), réduction au cas \ell \neq p et choix d'une extension finie séparable K' de K correspondant à un sous-groupe ouvert \pi' de \pi = \operatorname{Gal}(\bar K/K) dont l'intersection avec le groupe d'inertie I est contenue dans le noyau de la représentation de I sur T_\ell(A_K(\bar K)) (cf. 5.12.1) ; pour c), 1) \Rightarrow 2) (5.12.2), 2) \Rightarrow 3) trivial, et pour 3) \Rightarrow 1) : si \ell \neq p le critère galoisien de réduction semi-stable 3.5, si \ell = p un \ell' \neq p auxiliaire, S strictement local (3.4.0), K'/K galoisienne finie de groupe G telle que A_{K'} ait réduction semi-stable, trivialité de la représentation de G sur les trois quotients de (4.1.1), c'est-à-dire de sa trace, indépendante de \ell' (4.3 a)), calculée en termes de T_p(A_K) en 6.4 ; puis « Remarque 5.13.1 », sur un groupe de Barsotti-Tate X_\eta sur \eta à bonne réduction virtuelle sur S et à bonne réduction virtuelle essentielle d'échelon n. Les \ell, les flèches \Rightarrow et le \pi sont tracés à la main dans les blancs du tapuscrit ; les passages biffés à la machine ne sont pas relevés. Interventions à la main : en haut, « 55 » (à l'encre) ; « le » ajouté au-dessus devant « critère » ; le chiffre final de « 6.4 » repassé à l'encre ; un trait reliant « 4.1. » à « Supposons » par-dessus une ligne biffée à la machine ; « (pro-\ell-) » ajouté et entouré devant « groupe de Barsotti-Tate » ; à la fin, après « d'échelon n. », la parenthèse « (C'est ~~ce qui avait été utilisé, pour~~ vrai pour \ell \neq p.) »

Détermination du module de Dieudonné filtré du groupe de Barsotti-Tate.

K extension finie de \mathbb{Q}_p, anneau d'entiers A, corps résiduel k = \mathbb{F}_q, q = p^f, [K : \mathbb{Q}_p] = h = ef, \pi \in A uniformisante

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathbb{Z}_p \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & A \arrow[d, no head] \\ \mathbb{Q}_p \arrow[r, no head] & K \end{tikzcd}

W = W_\infty(k) vecteurs de Witt, \mathbb{Z}_p \underset{(f)}{\hookrightarrow} W \underset{(e)}{\overset{i}{\hookrightarrow}} A

On veut déterminer d'abord les groupes de B.T. G_0 (de hauteur (= \uncertain{\mathrm{rang}})\ \ldots) un mot après « rang » est illisible ; « d'abord » et « G_0 » sont ajoutés au-dessus de la ligne h sur k, avec opération de A dessus [telles que \pi_{G_0} = F^f \quad (\text{automorphisme de Frobenius de } G_0/\mathbb{F}_q)\ ] Par la théorie de Dieudonné, ils correspondent aux modules libres M (de rang h) sur W, avec endom \sigma-linéaire (\sigma automorphisme de Frob. de W) F_M, et opération de A sur M (\lambda \mapsto \lambda_M) par W-endomorphismes commutant à F_M, satisfaisant \Bigl[ (*) \quad F_M^f = \pi_M \Bigr] \qquad (*')\ \exists\, V_M \text{ t.q. } F_M V_M = V_M F_M = p devant F_M^f dans (*), un mot biffé illisible

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] A \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \arrow[d, no head] \\ \mathbb{Z}_p \arrow[r, no head] & W \end{tikzcd}

Les deux structures de modules sur M correspondent à une structure de module sur A_W = A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W. Soit \sigma_A l'automorphisme de A_W = A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W donné par \sigma_A(\lambda \otimes w) = \lambda \otimes \sigma w Alors la donnée de F_M équivaut à la donnée d'un endom \sigma_A-linéaire, satisfaisant (*) (*').

On a A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W étale sur A, ext. résiduelle k \otimes_{\mathbb{F}_p} k \simeq k^{\Sigma}, \Sigma = \operatorname{Aut} k = \operatorname{Aut} W A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \xrightarrow{\ \sim\ } A^{\Sigma}, \qquad \Sigma \simeq \mathbb{Z}/f\mathbb{Z} en correspondance bijective canonique avec [0, f-1] par \nu \mapsto \sigma^{\nu}

Donc \sigma_A(x_0, x_1, \ldots, x_{f-1}) = (x_1, \ldots, x_{f-1}, x_0) La donnée d'un module libre sur A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W M équivaut à la donnée de modules (M_\nu)_{\nu \in \Sigma} sur A, le rang de M est la somme des rangs des M_\nu (ou à une ég. à h) ~~. La donnée d'un~~ La donnée d'un endom F_M \sigma_A-linéaire équivaut à la donnée d'hom. A-linéaires M_0 \xrightarrow{\varphi_0} M_1 \xrightarrow{\varphi_1} \cdots \to M_{f-1} \xrightarrow{\varphi_{f-1}} M_0 la phrase « (on a une ég. …) » est ajoutée au-dessus de la ligne et reliée par un trait ; la lecture en est douteuse

La condition (*) indique que les f composés circulaires sont des isogénies, donc les \varphi_i sont injectifs, donc les \varphi_i des isogénies (ou les rangs des M_\nu tous égaux …). ~~Donc~~ — Utilisant maintenant le fait que la somme des rangs des M_\nu est h, on trouve que les M_\nu sont inversibles. ce serait aussi une conséquence de (*1) … de (*) seul … avec \pi uniformisante quelconque de Anote de marge écrite en oblique, en partie repassée à l'encre bleue ; plusieurs mots sont illisibles ~~On peut donc trouver un unique module inversible~~ On peut donc identifier tous les M_\nu à ~~M_0 = \Omega~~ ~~\Omega sur A~~, M_0 = t, en choisissant pour M_\nu (0 \le \nu \le f-1) les isom. M_0 \xrightarrow{\ \sim\ } M_\nu donnés par \pi^{-m_\nu}(\varphi_{\nu-1} \varphi_{\nu-2} \cdots \varphi_0), \quad \text{où } m_\nu \text{ est un entier} \geq 0 \text{ uniquement déterminé} (0 = m_0 \le m_1 \le \cdots \le m_{f-1}). On trouve donc un iso can. M \simeq \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} W = \Omega \otimes_A (A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W) le module noté ici \Omega est celui que la ligne précédente appelle t ; les deux lettres sont telles quelles

~~Alors F_M est donné par les entiers m_i , les m_{i+1} - m_i~~ deux lignes biffées en tête de page ; lecture douteuse

On a choisi les isom de telle façon que chaque \varphi_\nu (0 \le \nu \le f-2) soit de la forme \varphi_\nu = \pi^{r_\nu}\, \mathrm{id}_{\Omega} \qquad (r_\nu \geq 0, \ 0 \le \nu \le f-2) et \varphi_{f-1} est donné par \varphi_{f-1} = \lambda\, \mathrm{id}_{\Omega}, \qquad \lambda \in A, \quad \text{soit } \lambda = \pi^{r_{f-1}} u,\ u \in A^{*} On a donc F_M^{\,f} = \pi^{r_0 + \cdots + r_{f-2} + r_{f-1}} u = \varpi, \qquad u \in A^{*} ~~On aura M/F_M M \simeq A/\pi^{r_{f-1}}A + A/\pi^{r_0}A + \cdots + A/\pi^{r_{f-2}}A~~

La condition (*)' s'écrit ~~d_{K}~~ p \ \text{divisible par } \pi^{r_\nu} \text{ pour } 0 \le \nu \le f-2, \text{ par } u\pi^{r_{f-1}} i.e. \boxed{\ r_\nu \le e\ } \quad \text{pour } 0 \le \nu \le f-1 sous l'encadré, un second encadré entièrement griffonné

On a M/F_M M = A/u\pi^{r_{f-1}}A + A/\pi^{r_0}A + \cdots + A/\pi^{r_{f-2}}A et la longueur \operatorname{long} A(\varpi A) \boxed{\ \dim G_0 = r_0 + \cdots + r_{f-2} + r_{f-1}\ } \qquad (\le fe = h) dans l'encadré, un premier membre biffé illisible devant r_0, et la parenthèse qui suit r_{f-1} biffée ; « \operatorname{long} A(\varpi A) », entouré, est une lecture douteuse

~~Supposons maintenant~~

Donc on trouve \boxed{\begin{aligned} &\dim G_0 = 1 \iff F_M^{\,f} = \varpi_M,\ \varpi \text{ uniformisante de } A \\ &\iff \text{tous les } r_\nu \text{ sauf un seul } r_{\nu_0} \text{ sont nuls}, \ r_{\nu_0} = 1,\ u \text{ une unité} \end{aligned}} à droite de la première ligne de l'encadré : « (puisque = \pi, quitte à changer \pi !) » sous « une unité », en petit : « (u = 1 \varpi = \pi) »

G…la page s'arrête sur une lettre isolée

Donc lorsque on trouve …

Proposition. A, k, W, e, f, h = ef, comme plus haut. Soit G_0 un groupe de B.T. (de hauteur h) sur k sur lequel A opère, ~~Alors si~~ M son module de Dieudonné (un module libre de rang h sur W). F_{G_0}^{\,f} est de la forme \varpi_{G_0}, où \varpi \in A, et on a \dim G_0 = \operatorname{long}_A A/\varpi A = v(\varpi).

Alors ~~conditions équivalentes~~

conditions équivalentes :

(i)\dim G_0 = 1 (ii)F_{G_0}^{\,f} = \pi_{G_0}, \pi une uniformisante de A (uniquement déterminée !) (iii)Le module de Dieudonné M de G_0 (sur W), avec F_M et l'opération de A, est donné par un triple (\Omega, \nu, \pi), où \Omega est un module inversible sur A, 0 \le \nu \le f-1, \pi une uniformisante de A : on a \begin{cases} M = \Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} W = \Omega \otimes_A (A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W) \quad (\text{comme } A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W\text{-mod.}) \\ F_M = \mathrm{id}_\Omega \otimes_{\mathbb{Z}_p} \sigma + \mathrm{pr}_\nu \bigl[(\pi - 1) \otimes \sigma\bigr] \end{cases} où \mathrm{pr}_\nu est le ~~facteur~~ projecteur de M sur le \nu-ième facteur (correspondant à la décomposition A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W \simeq A^{[0, f-1]}).

« comme » dans la première ligne est une lecture douteuse ; « \mathrm{pr}_\nu » est écrit sur un mot biffé ; une rature suit le crochet

N.B. Tous ces groupes (pour \nu ) sont isomorphes … … par transformations d'opérations … f … \mathbb{F}_q = \mathbb{F}_{p^f} note de marge écrite en oblique à gauche de (iii) ; la plupart des mots sont illisibles

N.B. Revenons au cas général ( G_0 de hauteur …) dim G_0 = 1. Soit G'_0 défini comme ci-dessus par \Omega', les r'_\nu (0 \le \nu \le f-1), u' \in A^{*}. On cherche les homomorphismes de G_0 dans G'_0 compatibles avec l'opération de A …, i.e. les hom de M' dans M, compatibles avec les structures de A \otimes_{\mathbb{Z}_p} W-module, et avec F_M, F_{M'}. On trouve facilement que pour qu'il existe un tel hom qui soit \neq 0 (\iff une isogénie), il faut et il suffit qu'on ait \varpi = \varpi' i.e. F_{G_0}^{\,f} = F_{G'_0}^{\,f} (dans A). Dans ce cas, les groupes des hom en question, comme A-modules, sont isomorphes au sous-A-module H \subset \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega) formé des v_0 : \Omega' \to \Omega tels que pour tout 0 \le \nu \le f-2 on ait v_0\, \pi^{(\sum_0^{\nu} r_i) - (\sum_0^{\nu} r'_i)} \in \operatorname{Hom}(\Omega', \Omega), \quad \text{i.e.} \quad \operatorname{val}(v_0) + \sum_0^{\nu} r_i - \sum_0^{\nu} r'_i \geq 0 les primes sur les r_i des deux sommes ne se distinguent pas nettement ; lecture douteuse de leur place