Cote n° 78 · batch 7 · pages 121–129 · Transcription · [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

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Transposée, produit tensoriel et valeurs propres

121le calcul de cette page commence avant le début du lot : \(u\), \({}^t u\), les bases \((e_i)\), \((e'_i)\) et l'élément \(-2e'_1+e'_2\) sont introduits plus haut. La page est barrée de deux longs traits obliques parallèles ; elle est transcrite telle qu'elle se lit.

\(u\) \(u(e_1)\) \(\check u(x')\otimes\) \({}^t u\)

\(u(x)\otimes x\) \[({}^t u\, x')\otimes x = x'\otimes u x\]

deux petites figures en haut à droite : un trapèze formé de deux droites horizontales et de deux obliques, puis le même trapèze avec des arcs marquant les angles et un point fortement marqué (une croix) à l'un des sommets inférieurs.

\[\bigl[{}^t u(-2e'_1+e'_2)\bigr]\otimes e_1 = (-2e'_1+e'_2)\otimes u e_1\] \[{}^t u(e'_1) = \sum u_{1i}\, e'_i, \qquad {}^t u\, e'_2 = \sum u_{2i}\, e'_i, \qquad u e_1 = \sum_i u_{i1}\, e_i\]

\(\sum_i(-2u_{1i}+u_{2i})\,e'_i\otimes e_1\) \[= \sum(-2u_{i1})\, e'_1\otimes e_i + \sum u_{i1}\, e'_2\otimes e_i\]

[…] \(u_{1i}\) […] \(u_{i1} =\)

\[\begin{array}{cccc} e'_1\otimes e_1 & e'_2\otimes e_1 & \cdots & e'_n\otimes e_1\\ e'_1\otimes e_2 & e'_2\otimes e_2 & & \\ \vdots & \vdots & & \\ e'_1\otimes e_n & e'_2\otimes e_n & & \end{array}\]

\[\begin{cases} u_{i1} = 0 \\ -2u_{i1} = 0 \end{cases} \quad i\geqslant 2 \qquad\qquad u_{2i} = 2u_{1i} \quad i\geqslant 3\] \[-2u_{11}+u_{21} = -2u_{11}, \qquad -2u_{12}+u_{22} = u_{11}\] i.e. \(u_{21}=0\) déjà connu

\[\begin{array}{ccccc} \lambda & u_{12} & u_{13} & \cdots & u_{1n}\\ 0 & \lambda & 2u_{13} & \cdots & 2u_{1n}\\ \vdots & & & & \\ 0 & & & & \end{array}\] au deuxième rang, l'entrée sous \(u_{12}\) est surchargée (\(\lambda\) écrit sur \(u_{12}\)) ; un ovale est tracé sous la matrice, vide.

écrit en long dans la marge gauche : \(F\subset\) […] ; \(a+\langle a,x'\rangle x\) ; \(x+\langle x,x'\rangle x\) \(-x\) ; plus bas, en travers, des symboles isolés (\(x\), \(\mathbb{Z}\), \(x\)) […].

\(\gamma\)\(!\)\((x-1)+\)[…] \(= 2\otimes 2\) ligne au bas de la page, lecture très incertaine.

tête-bêche, au bas de la page à droite : \(\lambda=1\) \[\lambda\,(T-1)^{\nu-1}(T+1)\] \[(\lambda-1)^{\nu-1}(\lambda+1) = 0\] \(\check E\otimes\check E\) un \(\lambda\) est écrit au-dessus, à droite.

Polynômes cyclotomiques et polynômes \(F_n\)

122\(\Phi_n(T)\) polynôme minimal sur \(\mathbb{Q}\) d'une racine primitive \(n\)-ième de \(1\) \(n\in\mathbb{N}^*\)

\(F_n(T)\) polynôme minimal de \(\zeta+\zeta^{-1}\)

Si \(n\neq 1,2\), on a \[\Phi_n(T) = T^{\varphi'(n)}\, F_n(T+T^{-1}) \qquad (\varphi'(n)=\varphi(n)/2)\] encadré, relié par une flèche : \(\Phi_n, F_n\in\mathbb{Z}[T]\) pol. unitaires

\(\deg\Phi_n = \varphi(n)\) (indicateur d'Euler, \(=\operatorname{card}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*)\)) \[\deg F_n = \begin{cases} 1 & \text{si } n=1,2 \quad (F_1(T)=T-2,\ F_2(T)=T+2)\\ \varphi(n)/2 & \text{si } n\geqslant 3\end{cases}\]

\[\prod_{\substack{d\in\mathbb{N}^*\\ d\mid n}} \Phi_d(T) = T^n-1\] donne mode de calcul par récurrence multiplicative sur \(n\).

\[\begin{array}{ll} F_1(U) = U-2 & \Phi_1(T) = T-1\\ F_2(U) = U+2 & \Phi_2(T) = T+1\\ F_3(U) = U+1 & \Phi_3(T) = T^2+T+1\\ F_4(U) = U & \Phi_4(T) = T^2+1\\ F_5(U) = U^2+U-1 & \Phi_5(T) = T^4+T^3+T^2+T+1\\ F_6(U) = U-1 & \Phi_6(T) = T^2-T+1\\ F_7(U) = U^3+U^2-2U-1 & \Phi_7(T) = T^6+T^5+T^4+T^3+T^2+T+1\\ F_8(U) = U^2-2 & \Phi_8(T) = T^4+1\\ F_9(U) = U^3-3U+1 & \Phi_9(T) = T^6+T^3+1\\ F_{10}(U) = U^2-U-1 & \Phi_{10}(T) = T^4-T^3+T^2-T+1\\ \cdots & \cdots \end{array}\] la variable des \(F_n\) et des \(S_n\) est une capitale barrée, lue ici \(U\) ; à la ligne de \(F_4\), ce qui suit \(U\) est noyé sous une rature.

(donner aussi les cas \(n=12,14,18\ldots\))

\[\begin{cases} \Phi_p(T) = 1+T+\cdots+T^{p-1} \quad \text{si } p \text{ premier}\\ F_p(T) = S_0(T)+S_1(T)+\cdots+S_{p'}(T) \end{cases}\] où \(p=2p'+1\) i.e. \(p-1=2p'\) (\(p\) est premier impair), et les \(S_n(U)\in\mathbb{Z}[U]\) (\(n\in\mathbb{N}^*\)) sont caractérisés par \[\begin{cases} S_0(U) = 1\\ T^n+T^{-n} = S_n(T+T^{-1}) & n\geqslant 1\end{cases}\] donc \[\begin{cases} S_0(U)=1\\ S_1(U) = U\\ S_2(U) = U^2-2\\ S_3(U) = U^3-3U\\ \cdots\end{cases}\] Calcul récurrent des \(S_i\) par formule \(S_n(T)\) \[U^n = \sum_{0\leqslant i\leqslant[\frac n2]} \binom{n}{i} S_{n-2i}(U) \qquad n\geqslant 1\] d'où \[S_n(U) = U^n - \sum_{1\leqslant i\leqslant[\frac n2]}\binom{n}{i} S_{n-2i}(U)\] pour \(n\) pair, le terme \(i=n/2\) devrait porter le coefficient \(\frac12\binom{n}{n/2}\) ; la formule est transcrite telle qu'elle est écrite.

123\[\begin{cases} \Phi_{2p}(T) = 1-T+T^2+\cdots+(-1)^{p-1}T^{p-1}\\ F_{2p}(T) = (-1)^{p'}\,\Phi_p(-T)\\ \phantom{F_{2p}(T)} = \bigl(S_0(T)-S_1(T)+\cdots+(-1)^{p'}S_{p'}(T)\bigr)(-1)^{p'} \end{cases}\] \(p\) est premier impair au-dessus de la première ligne, relié à « \(=1-T+\cdots\) » par un trait : « \(=\Phi_p(-T)\) » suivi d'une rature, la lettre étant lue \(F\) ou \(\Phi\) ; dans la seconde ligne, le facteur \((-1)^{p'}\) est ajouté au-dessus, et la lettre devant \((-T)\) est la même capitale cursive, lue \(\Phi_p\) quoique la formule appelle \(F_p\).

Sur un corps ⌜alg. clos de⌝ car. quelconque \(p\), les racines de \(F_n(T)\) sont les racines primitives \(n\)-ièmes ⌜\(n'\)-ièmes⌝ de \(1\), chacune avec la même multiplicité, qui est \[\begin{cases} \text{multiplicité } 1 & \text{si } (p,n)=1\\ \text{multiplicité } \varphi(p^r) & \text{si } n=p^r n',\ (n,n')=1,\ r\in\mathbb{N} \end{cases}\] interligne sous ces deux lignes : « primitives distinctes \(n\)-ièmes … racines … \(n'\)-ièmes », partiellement barré, […]. La condition \((n,n')=1\) est écrite ainsi ; on attend \((p,n')=1\).

Si \((\zeta_i)\) […] sont les racines primitives \(n'\)-ièmes de \(1\), […] l'on a \[\Phi_n(T) = \Bigl(\prod(T-\zeta_i)\Bigr)^{\varphi(p^r)} = \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \quad\text{dans } k[T]\] ([…]) […] donc […] de car. \(p\) […] \[\Phi_n(T) = \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \quad\text{dans } \mathbb{F}_p(T)\] i.e. \[\Phi_n \equiv \Phi_{n'}^{\varphi(p^r)} \mod p\] En particulier \[\begin{cases} \Phi_{p^r}(T) \equiv (T-1)^{\varphi(p^r)} \mod p\\ \Phi_p(T) \equiv (T-1)^{p-1} \mod p \end{cases}\]

Les racines de \(F_n(T)\) dans \(k\) sont les éléments de la forme \(\zeta+\zeta^{-1}\) (\(\zeta\) racine primitive \(n'\)-ième de \(1\)), chacune avec la multiplicité \(\varphi(p^r)\) […] ⌜sauf si \(n'=1\) ou \(2\), où la multiplicité est \(\varphi(p^r)/2\)⌝ en particulier \[\begin{cases} F_n(T) \equiv F_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \mod p & \text{si } n'\neq 1,2\\ F_n(T) \equiv F_{n'}(T)^{\varphi(p^r)/2} \mod p & \text{si } n'=1 \text{ ou } 2 \end{cases}\] \[\begin{cases} F_{p^r}(T) \equiv \text{\struck{$F_p(T)^{\varphi(p)}$}}\ (T-2)^{\varphi(p^r)} \quad (p)\\ F_p(T) \equiv (T-2) \end{cases}\] la seconde ligne s'arrête là. L'exposant \(\varphi(p^r)\) de la première contredit la règle \(n'=1\) énoncée juste au-dessus (\(\varphi(p^r)/2\)) ; la page suivante reprend avec \(\varphi(p^r)/2\).

124Multiplicité \(\mu\) des racines de \(F_n\) ⌜\((n\geqslant 3)\)⌝ (dans \(k\) de car. \(p>0\)), \[n = n'p^r \qquad ((n,n')=1,\ r\in\mathbb{N})\] 1) \(n'\neq 1,2\) (donc \(F_{n'}(T)\) de degré \(\varphi(n')/2\)) : \(\mu=\varphi(p^r)\), donc \[F_n(T) \equiv F_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \mod p\] 2) \(n'=1\) ou \(2\) (donc \(F_{n'}(T)\) de degré \(1=\varphi(n')\)) […] \(\neq 1,2\) et \(p^r\neq 2\) i.e. \(n\neq 4\) — donc \(\varphi(p^r)\) ⌜\(F_{p^r}(T)\)⌝ de degré \(\varphi(p^r)/2\) \(\Big|\ \mu = \varphi(p^r)/2\) \[F_n(T) \equiv F_{n'}(T)^{\varphi(p^r)/2} \mod (p) \quad \begin{cases} (T-2)^{\varphi(p^r)/2} & \text{si } n=p^r\\ (T+2)^{\varphi(p^r)/2} & \text{si } n=2p^r \end{cases}\] 3) \(n=4=2^2\), \(p=2\) \(F_4(T)\equiv(T-2)^2\) […] \(\equiv(T+2)^2\equiv T^2\) […] \(F_{n'=1}(T)^{\varphi(4)=4}\) […] ([…] \(1\)) cette ligne et la suivante sont annulées par un zigzag.

En particulier, si \(p\) premier \(\neq 2\), —. \[\begin{cases} F_p(T) \equiv (T-1)^{p'} \mod p\\ F_{2p}(T) \equiv (T+1)^{p'} \mod p \end{cases} \qquad \Big|\ p' = (p-1)/2\] sous \(p'=(p-1)/2\), une courte formule raturée […]. Écrit \(T-1\) et \(T+1\) ; la formule générale de la même page donne \(T-2\) et \(T+2\).

Les anneaux \(A_p\), \(B_p\) ; l'élément \(\zeta-1\)

125\[\begin{array}{l} \alpha\in B_{n(p)} = \mathbb{Z}[U]/F_p(U)\\ \zeta\in A_p = \mathbb{Z}[T]/\Phi_p(T) \end{array} \quad\Big|\ \text{normaux} \qquad \Big|\ p \text{ premier impair}\] l'indice de \(B\) est surchargé : \(n(p)\) écrit sous un \(p\).

ils sont étales sur \(\mathbb{Z}\) en les […] \(\ell\in\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})\), \(\ell\neq p\) (car en car. \(\ell\) les racines de \(F_p\), \(\Phi_p\) sont distinctes)

Ramifiés en \(\ell=p\) (une seule racine en car. \(p\)) \[(\zeta-1)^{p-1} \equiv 0 \quad (p) \quad\text{dans } A_{(p)} = A_p\] […] \(\zeta^{p-1}-(p-1)\zeta^{p-2}+\frac{(p-1)(p-2)}{2}\zeta^{p-3}-\cdots 1\)

\(1+T+\cdots+T^{p-1} \equiv (T-1)^{p-1}\quad(p)\) \[\begin{aligned} (\zeta-1)^{p-1} &= (\zeta-1)^{p-1} - F_p(\zeta)\\ &= p\,\zeta^{p-2} + \Bigl(\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}-1\Bigr)\zeta^{p-3}\\ &\qquad + \Bigl(-\tfrac{(p-1)(p-2)(p-3)}{6}-1\Bigr)\zeta^{p-4} - \cdots \end{aligned}\] il écrit \(F_p(\zeta)\) là où le calcul porte sur \(\Phi_p(\zeta)\).

un cercle, un rayon horizontal, et un court segment épais joignant l'extrémité du rayon à un point voisin du cercle. \[\frac1p(\zeta-1)^{p-1} = \zeta^{p-2} + \cdots +\] \[N\Bigl(\frac1p(\zeta-1)^{p-1}\Bigr) = \frac{1}{p^{p-1}}\, N(\zeta-1)^{p-1}.\] \[N(\zeta-1) = \prod_1^{p-1}(\zeta_i-1) = \text{\struck{$\varepsilon$}}\prod(1-\zeta_i) = F_p(1) = \underbrace{1+\cdots+1}_{} = p\] \[N\Bigl(\frac1p(\zeta-1)^{p-1}\Bigr) = 1\] \[\boxed{(\zeta-1)^{p-1} = p\,u} \qquad u \text{ \emph{unité}}\] Donc \((\zeta-1)A \supset pA\) \((\zeta-1)\)

d'où \[A/(\zeta-1)A = (\underbrace{A/pA}_{A_0})/(\zeta-1)A_0 = \bigl(\mathbb{F}_p[T]/(T-1)^{p-1}\bigr)/(T-1) = \mathbb{F}_p\] Donc \((\zeta-1)A\) est un idéal maximal

126\(F_{p^r}\) \(\varphi' = \varphi(p^r)/2\) si \(p^r\neq 2\) le \(2\) final est surchargé. \[(\alpha-2)^{\varphi'} = p\,u\] \[N(\alpha-2)^{\varphi'} = p^{\varphi'} N(u)\] \[N(\alpha-2) = \prod(\alpha_i-2) = (-1)^{\varphi'}\prod(2-\alpha_i) = (-1)^{\varphi'} \underbrace{F_{p^r}(2)}_{p} = (-1)^{\varphi'}\,\Phi_{p^r}(1)\] au-dessus de \(\prod(2-\alpha_i)\), accroché par une accolade : \((\zeta'_i-1)(\zeta''_i-1)\) ; à droite de « \(p\) » sous l'accolade : « \(=(-1)^{\varphi'}\) ».

\(8+4-4-1\)

\(A_p B\) \(A_{p^r}\), \(B_{p^r}\) sont normaux ou Dedekind

\(A_{n'p^r}\)

\((\xi-1)\) \[\mathbb{F}_p[T]/\Phi_n(T) = \mathbb{F}_p[T]/\text{\struck{$(T-1)^{\varphi(p^r)}$}}\ \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)}\] \[\text{\struck{$=\mathbb{F}_p[T]/\Phi_{n'}(T^{\cdots})$}} \quad \prod_{(r,n')=1}(T-\xi_1^r)\Big/\prod(T-\zeta_i)^{\varphi(p^n)}\]

\(T-1\) \(T^n\) \(1+T+\cdots+T^{n'-1}\) \(T^{p^n}-\zeta = 0\)

\(n'\) premier à \(p\)

mais pas […] premier à \(p\ldots\) !

\(T\) \(\zeta\) \(A_{n'}\subset A_n\) \(\zeta\) !

\(\zeta' = \zeta^{p^r}\) \(\zeta-\)\(\zeta'\) \(\zeta'^{(p^r)}\) \[N_{A_n/A_{n'}}(\zeta-1)\] \[\underbrace{\mathbb{F}_p[T']/\Phi_{n'}(T')}\,[T]/(T^{p^n}-T') \xrightarrow{\ \text{cf.}\ } A_n\otimes\mathbb{F}_p\] Il y a des racines […] cycl. \(\Phi_n\). […] \(\Phi_n\) \(T^{\varphi(p^n)}+\) l'étiquette de la flèche est lue cf. ; sous la flèche, une suite de petits traits raturés.

127\[(\alpha-2)^{p'} \equiv 0 \quad (p)\] \[(\alpha-2)^{p'} = p\,u\] \[N(\alpha-2)^{p'} = p^{p'} N(u)\] \[N(\alpha-2) = \prod(\alpha_i-2) = (-1)^{p'}\prod(2-\alpha_i) = (-1)^{p'} F_p(2) = (-1)^{p'}\Phi_p(1) = (-1)^{p'}p\] au-dessus de \(\prod(2-\alpha_i)\) : \((\zeta'_i-1)(\zeta''_i-1)\) ; en dessous, deux essais raturés \(\zeta'_i\zeta''_i\), ([…]). La dernière égalité est écrite \(=(-1)^{p'}p\) sous la précédente.

\(\alpha_i-2 = \zeta_i^2+\zeta_i^{-2}-2 = (\zeta_i-\zeta_i^{-1})^2\)

\(F_5\) \(8+4-4-1\) \(\boxed{F_p(2)=p}\) ? \[(\zeta-1)(\zeta^{-1}-1) = 1+1-\alpha\] \(A = B[T]\) \[B[T]/(T^2-\alpha T+1) \xrightarrow{\ \text{iso ?}\ } A\]

\[(\zeta-1)^{\varphi} \equiv 0 \quad (p)\] un « \(2\) » est écrit au-dessus du \(\zeta\) ; devant le \(0\), un signe raturé […]. \[(\xi-1)^{\varphi} = p\,u\] \[N(\xi-1)^{\varphi} = p^{\varphi} N(u)\] \[\prod(\zeta_i-1) = (-1)^{\varphi}\prod_i(1-\zeta_i) = (-1)^{\varphi}\,\underbrace{\Phi_{p^r}(1)}_{p}\] \[\begin{cases} \displaystyle\prod_{\substack{d\mid p^r\\ d\neq 1}} \Phi_d(T) = \text{\struck{$T^n$}}\ 1+T+\cdots+T^{p^r-1} = p^r \quad p\\ \text{\struck{$\displaystyle\prod_{d\mid p^r} p = \Phi_p(1)\Phi_{p^2}(1)\cdots$}} \quad p\,p^?-p^r\\ \Phi_{p^r}(1) = p \end{cases}\] la ligne du milieu est barrée sauf sa fin, lue \(p\,p^?-p^r\) ; l'égalité \(=p^r\) de la première ligne vaut pour \(T=1\).

Les anneaux \(A_n\), \(B_n\) et l'involution \(\sigma\)

128\[\xi\in A_{n'n''=n} \supset A_{n''}\ni\zeta'' \qquad ((n',n'')=1)\] \[\cup \qquad \zeta'\in A_{n'}\] \[G = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \simeq G'\times G'', \qquad G'\simeq(\mathbb{Z}/n'\mathbb{Z})^*,\quad G''\simeq(\mathbb{Z}/n''\mathbb{Z})^*\] \[\underbrace{A_{n'}\otimes_{\mathbb{Z}} A_{n''}} \xrightarrow{\ \sim\ } A_{n'n''}\] normal par hyp. de réc.

\(B\) \(\varphi(1)=1\), \(\varphi(2)=1\) \[\zeta_i\eta_j + \zeta_i^{-1}\eta_j^{-1}\] \[B_n[T]/(T^2-\alpha T+1) \longrightarrow A_n \qquad \begin{cases} \alpha_n\longmapsto \xi_n+\xi_n^{-1}\\ T\longmapsto \xi_n\end{cases}\] \[\Big|\quad \begin{aligned} &\mu_n\supset\mu_n^* = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[T]/\Phi_n(T)\\ &\mu_{nn'}^*\simeq\mu_n^*\times\mu_{n'}^*\\ &\mu_n^*/\{\pm1\} = \tilde\mu_n^* \end{aligned}\] dans la dernière ligne, un symbole raturé précède \(\tilde\mu_n^*\). \[B_n = A_n^{\sigma}\] l'exposant de \(A_n\) est un signe peu net, lu \(\sigma\). \[\begin{aligned} \sigma(F+GT) &= F+G(U-T)\\ &= (F+GU)-GT \end{aligned}\] \[\sigma(F+GT) = F+GT \iff \begin{cases} GU=0 & G=-G\\ \iff G=0 \end{cases}\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
A=\mathbb{Z}[T,T^{-1}] \arrow[r] & \mathbb{Z}[T]/\Phi_n(T)=A_n\\
B=\mathbb{Z}[U]=\mathbb{Z}[T]^{\sigma} \arrow[r] \arrow[u, hook] & \mathbb{Z}[U]/F_n(U)=B_n \arrow[u, hook]
\end{tikzcd}

\[\begin{array}{l} U = T+T^{-1}\\ \sigma(T) = T^{-1} \end{array} \ \Big|\ F_n(U) = F_n(T+T^{-1}) = T^{-\varphi'}\Phi_n(T)\]

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
\mathbb{G}_m \arrow[d] & \supset\ \mu_n\ \supset\ \mu_n^* & \\
\mathbb{E}^1 & \tilde\mu_n/\{\pm1\} \arrow[l] & \tilde\mu_n^* \arrow[l]
\end{tikzcd}

\(\mathbb{E}^1\simeq\mathbb{G}_m/\sigma\) \(T' = U-T\) le \(\mathbb{E}\) est une capitale à double barre ; lecture \(\mathbb{E}^1\) ; le \(T\) de \(T'=U-T\) est souligné.

\(n\neq 1,2\) \[A \xleftarrow{\ \sim\ } B[S]/(S^2-US+1) \qquad\text{\struck{$\mathbb{Z}[T]/(T^n-1)$}}\] i.e. \(A\) est libre sur \(B\) de base \(1,T\) \[= B[\dot S] = B.1\oplus B.\dot S\] \(T^{2n}=T^n\) \[\text{\struck{$F+T$}}\quad F(U)+T\,G(U) = 0 \ \Longrightarrow\ F(U)+T^{-1}G(U) = 0\] \[T\,G(U) = T^{-1}G(U), \qquad (T-T^{-1})\,G(U) = 0 \qquad G(U) = 0,\] […]

Revêtements ramifiés et groupes fondamentaux

129changement de sujet : la page porte sur des revêtements d'une base \(S\) ramifiés en deux points, et sur les groupes fondamentaux correspondants. Elle est la dernière du dossier ; le raisonnement y reste en suspens.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
B \arrow[dr, no head] & & B' \arrow[dl, no head]\\
& A &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& X\times_S X \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\
X \arrow[dr, no head] & & X' \arrow[dl, no head]\\
& S &
\end{tikzcd}

\(G\) \(G'\) \(s,s'\in S\)

\(X\) tot. ramifié en \(s\), étale en dehors

\(X'\) tot. ramifié en \(s'\), étale en dehors

\(X\), \(X'\) normaux irréd.

\(X\times_S X'\) est connexe ?

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& \pi_1(S-\{s,s'\}) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\pi_1(S-s) \arrow[dr] & & \pi_1(S-s') \arrow[dl]\\
& \pi_1(S) &
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
& G*\mathbb{Z}*\mathbb{Z} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
X*\mathbb{Z} \arrow[dr] & & G*\mathbb{Z} \arrow[dl]\\
& G &
\end{tikzcd}

le sommet de gauche est lu \(X*\mathbb{Z}\) ; on attendrait \(G*\mathbb{Z}\).

\(G*G'\)

un petit carré raturé : \(X_s\), \(X'_s\) et des flèches vers \(S\), couvert de traits de biffure.

deux arcs se terminant chacun par un point épais, au-dessus d'un segment horizontal marqué à droite d'un trait vertical et de la lettre \(H\) (un astérisque raturé à gauche).

\(I\subset H_s\subset G\times G'\) surj. vers \(G\), surj. vers \(G'\)

\(Z\subset X\times_S X\) \(Z\to X\) : […] revêt. tot. ramifié en les pts de \(X_s\) \(Z\to X'\) : tot. ram. en les pts de \(X'_s\) le second facteur est écrit \(X\) ; la flèche va vers \(X'\).

\((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^*\) d'ordre \(2\) \(\mathbb{Z}/\)