Fonds Grothendieck, cote n° 78, pages 121–129

Transposée, produit tensoriel et valeurs propres

le calcul de cette page commence avant le début du lot : u, {}^t u, les bases (e_i), (e'_i) et l'élément -2e'_1+e'_2 sont introduits plus haut. La page est barrée de deux longs traits obliques parallèles ; elle est transcrite telle qu'elle se lit.

~~u u(e_1)~~ ~~\check u(x')\otimes~~ {}^t u

~~u(x)\otimes x~~ ({}^t u\, x')\otimes x = x'\otimes u x

deux petites figures en haut à droite : un trapèze formé de deux droites horizontales et de deux obliques, puis le même trapèze avec des arcs marquant les angles et un point fortement marqué (une croix) à l'un des sommets inférieurs.

\bigl[{}^t u(-2e'_1+e'_2)\bigr]\otimes e_1 = (-2e'_1+e'_2)\otimes u e_1 {}^t u(e'_1) = \sum u_{1i}\, e'_i, \qquad {}^t u\, e'_2 = \sum u_{2i}\, e'_i, \qquad u e_1 = \sum_i u_{i1}\, e_i

~~\sum_i(-2u_{1i}+u_{2i})\,e'_i\otimes e_1~~ = \sum(-2u_{i1})\, e'_1\otimes e_i + \sum u_{i1}\, e'_2\otimes e_i

~~u_{1i}~~ ~~u_{i1} =~~

\begin{array}{cccc} e'_1\otimes e_1 & e'_2\otimes e_1 & \cdots & e'_n\otimes e_1\\ e'_1\otimes e_2 & e'_2\otimes e_2 & & \\ \vdots & \vdots & & \\ e'_1\otimes e_n & e'_2\otimes e_n & & \end{array}

\begin{cases} u_{i1} = 0 \\ -2u_{i1} = 0 \end{cases} \quad i\geqslant 2 \qquad\qquad u_{2i} = 2u_{1i} \quad i\geqslant 3 -2u_{11}+u_{21} = -2u_{11}, \qquad -2u_{12}+u_{22} = u_{11} i.e. u_{21}=0 déjà connu

\begin{array}{ccccc} \lambda & u_{12} & u_{13} & \cdots & u_{1n}\\ 0 & \lambda & 2u_{13} & \cdots & 2u_{1n}\\ \vdots & & & & \\ 0 & & & & \end{array} au deuxième rang, l'entrée sous u_{12} est surchargée (\lambda écrit sur u_{12}) ; un ovale est tracé sous la matrice, vide.

écrit en long dans la marge gauche : F\subset ; a+\langle a,x'\rangle x ; x+\langle x,x'\rangle x -x ; plus bas, en travers, des symboles isolés (x, \mathbb{Z}, x) .

\gamma!(x-1)+ = 2\otimes 2 ligne au bas de la page, lecture très incertaine.

tête-bêche, au bas de la page à droite : ~~\lambda=1~~ \lambda\,(T-1)^{\nu-1}(T+1) (\lambda-1)^{\nu-1}(\lambda+1) = 0 \check E\otimes\check E un \lambda est écrit au-dessus, à droite.

Polynômes cyclotomiques et polynômes F_n

\Phi_n(T) polynôme minimal sur \mathbb{Q} d'une racine primitive n-ième de 1 n\in\mathbb{N}^*

F_n(T) polynôme minimal de \zeta+\zeta^{-1}

Si n\neq 1,2, on a \Phi_n(T) = T^{\varphi'(n)}\, F_n(T+T^{-1}) \qquad (\varphi'(n)=\varphi(n)/2) encadré, relié par une flèche : \Phi_n, F_n\in\mathbb{Z}[T] pol. unitaires

\deg\Phi_n = \varphi(n) (indicateur d'Euler, =\operatorname{card}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*)) \deg F_n = \begin{cases} 1 & \text{si } n=1,2 \quad (F_1(T)=T-2,\ F_2(T)=T+2)\\ \varphi(n)/2 & \text{si } n\geqslant 3\end{cases}

\prod_{\substack{d\in\mathbb{N}^*\\ d\mid n}} \Phi_d(T) = T^n-1 donne mode de calcul par récurrence multiplicative sur n.

\begin{array}{ll} F_1(U) = U-2 & \Phi_1(T) = T-1\\ F_2(U) = U+2 & \Phi_2(T) = T+1\\ F_3(U) = U+1 & \Phi_3(T) = T^2+T+1\\ F_4(U) = U & \Phi_4(T) = T^2+1\\ F_5(U) = U^2+U-1 & \Phi_5(T) = T^4+T^3+T^2+T+1\\ F_6(U) = U-1 & \Phi_6(T) = T^2-T+1\\ F_7(U) = U^3+U^2-2U-1 & \Phi_7(T) = T^6+T^5+T^4+T^3+T^2+T+1\\ F_8(U) = U^2-2 & \Phi_8(T) = T^4+1\\ F_9(U) = U^3-3U+1 & \Phi_9(T) = T^6+T^3+1\\ F_{10}(U) = U^2-U-1 & \Phi_{10}(T) = T^4-T^3+T^2-T+1\\ \cdots & \cdots \end{array} la variable des F_n et des S_n est une capitale barrée, lue ici U ; à la ligne de F_4, ce qui suit U est noyé sous une rature.

(donner aussi les cas n=12,14,18\ldots)

\begin{cases} \Phi_p(T) = 1+T+\cdots+T^{p-1} \quad \text{si } p \text{ premier}\\ F_p(T) = S_0(T)+S_1(T)+\cdots+S_{p'}(T) \end{cases} où p=2p'+1 i.e. p-1=2p' (p est premier impair), et les S_n(U)\in\mathbb{Z}[U] (n\in\mathbb{N}^*) sont caractérisés par \begin{cases} S_0(U) = 1\\ T^n+T^{-n} = S_n(T+T^{-1}) & n\geqslant 1\end{cases} donc \begin{cases} S_0(U)=1\\ S_1(U) = U\\ S_2(U) = U^2-2\\ S_3(U) = U^3-3U\\ \cdots\end{cases} Calcul récurrent des S_i par formule ~~S_n(T)~~ U^n = \sum_{0\leqslant i\leqslant[\frac n2]} \binom{n}{i} S_{n-2i}(U) \qquad n\geqslant 1 d'où S_n(U) = U^n - \sum_{1\leqslant i\leqslant[\frac n2]}\binom{n}{i} S_{n-2i}(U) pour n pair, le terme i=n/2 devrait porter le coefficient \frac12\binom{n}{n/2} ; la formule est transcrite telle qu'elle est écrite.

\begin{cases} \Phi_{2p}(T) = 1-T+T^2+\cdots+(-1)^{p-1}T^{p-1}\\ F_{2p}(T) = (-1)^{p'}\,\Phi_p(-T)\\ \phantom{F_{2p}(T)} = \bigl(S_0(T)-S_1(T)+\cdots+(-1)^{p'}S_{p'}(T)\bigr)(-1)^{p'} \end{cases} p est premier impair au-dessus de la première ligne, relié à « =1-T+\cdots » par un trait : « =\Phi_p(-T) » suivi d'une rature, la lettre étant lue F ou \Phi ; dans la seconde ligne, le facteur (-1)^{p'} est ajouté au-dessus, et la lettre devant (-T) est la même capitale cursive, lue \Phi_p quoique la formule appelle F_p.

Sur un corps alg. clos de car. quelconque p, les racines de F_n(T) sont les racines primitives ~~n-ièmes~~ n'-ièmes de 1, chacune avec la même multiplicité, qui est \begin{cases} \text{multiplicité } 1 & \text{si } (p,n)=1\\ \text{multiplicité } \varphi(p^r) & \text{si } n=p^r n',\ (n,n')=1,\ r\in\mathbb{N} \end{cases} interligne sous ces deux lignes : « primitives ~~distinctes n-ièmes~~ … racines … n'-ièmes », partiellement barré, . La condition (n,n')=1 est écrite ainsi ; on attend (p,n')=1.

Si (\zeta_i) sont les racines primitives n'-ièmes de 1, l'on a \Phi_n(T) = \Bigl(\prod(T-\zeta_i)\Bigr)^{\varphi(p^r)} = \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \quad\text{dans } k[T] ~~() donc de car. p~~ \Phi_n(T) = \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \quad\text{dans } \mathbb{F}_p(T) i.e. \Phi_n \equiv \Phi_{n'}^{\varphi(p^r)} \mod p En particulier \begin{cases} \Phi_{p^r}(T) \equiv (T-1)^{\varphi(p^r)} \mod p\\ \Phi_p(T) \equiv (T-1)^{p-1} \mod p \end{cases}

Les racines de F_n(T) dans k sont les éléments de la forme \zeta+\zeta^{-1} (\zeta racine primitive n'-ième de 1), chacune avec la multiplicité \varphi(p^r) sauf si n'=1 ou 2, où la multiplicité est \varphi(p^r)/2 en particulier \begin{cases} F_n(T) \equiv F_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \mod p & \text{si } n'\neq 1,2\\ F_n(T) \equiv F_{n'}(T)^{\varphi(p^r)/2} \mod p & \text{si } n'=1 \text{ ou } 2 \end{cases} \begin{cases} F_{p^r}(T) \equiv \text{\struck{$F_p(T)^{\varphi(p)}$}}\ (T-2)^{\varphi(p^r)} \quad (p)\\ F_p(T) \equiv (T-2) \end{cases} la seconde ligne s'arrête là. L'exposant \varphi(p^r) de la première contredit la règle n'=1 énoncée juste au-dessus (\varphi(p^r)/2) ; la page suivante reprend avec \varphi(p^r)/2.

Multiplicité \mu des racines de F_n (n\geqslant 3) (dans k de car. p>0), n = n'p^r \qquad ((n,n')=1,\ r\in\mathbb{N}) 1) n'\neq 1,2 (donc F_{n'}(T) de degré \varphi(n')/2) : \mu=\varphi(p^r), donc F_n(T) \equiv F_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \mod p 2) n'=1 ou 2 (donc F_{n'}(T) de degré 1=\varphi(n')) ~~\neq 1,2~~ et p^r\neq 2 i.e. n\neq 4 — donc ~~\varphi(p^r)~~ F_{p^r}(T) de degré \varphi(p^r)/2 \Big|\ \mu = \varphi(p^r)/2 F_n(T) \equiv F_{n'}(T)^{\varphi(p^r)/2} \mod (p) \quad \begin{cases} (T-2)^{\varphi(p^r)/2} & \text{si } n=p^r\\ (T+2)^{\varphi(p^r)/2} & \text{si } n=2p^r \end{cases} ~~3) n=4=2^2, p=2 F_4(T)\equiv(T-2)^2 \equiv(T+2)^2\equiv T^2 F_{n'=1}(T)^{\varphi(4)=4} ( 1)~~ cette ligne et la suivante sont annulées par un zigzag.

En particulier, si p premier \neq 2, —. \begin{cases} F_p(T) \equiv (T-1)^{p'} \mod p\\ F_{2p}(T) \equiv (T+1)^{p'} \mod p \end{cases} \qquad \Big|\ p' = (p-1)/2 sous p'=(p-1)/2, une courte formule raturée . Écrit T-1 et T+1 ; la formule générale de la même page donne T-2 et T+2.

Les anneaux A_p, B_p ; l'élément \zeta-1

\begin{array}{l} \alpha\in B_{n(p)} = \mathbb{Z}[U]/F_p(U)\\ \zeta\in A_p = \mathbb{Z}[T]/\Phi_p(T) \end{array} \quad\Big|\ \text{normaux} \qquad \Big|\ p \text{ premier impair} l'indice de B est surchargé : n(p) écrit sous un p.

ils sont étales sur \mathbb{Z} en les \ell\in\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}), \ell\neq p (car en car. \ell les racines de F_p, \Phi_p sont distinctes)

Ramifiés en \ell=p (une seule racine en car. p) (\zeta-1)^{p-1} \equiv 0 \quad (p) \quad\text{dans } A_{(p)} = A_p ~~\zeta^{p-1}-(p-1)\zeta^{p-2}+\frac{(p-1)(p-2)}{2}\zeta^{p-3}-\cdots 1~~

~~1+T+\cdots+T^{p-1} \equiv (T-1)^{p-1}\quad(p)~~ \begin{aligned} (\zeta-1)^{p-1} &= (\zeta-1)^{p-1} - F_p(\zeta)\\ &= p\,\zeta^{p-2} + \Bigl(\tfrac{(p-1)(p-2)}{2}-1\Bigr)\zeta^{p-3}\\ &\qquad + \Bigl(-\tfrac{(p-1)(p-2)(p-3)}{6}-1\Bigr)\zeta^{p-4} - \cdots \end{aligned} il écrit F_p(\zeta) là où le calcul porte sur \Phi_p(\zeta).

un cercle, un rayon horizontal, et un court segment épais joignant l'extrémité du rayon à un point voisin du cercle. \frac1p(\zeta-1)^{p-1} = \zeta^{p-2} + \cdots + N\Bigl(\frac1p(\zeta-1)^{p-1}\Bigr) = \frac{1}{p^{p-1}}\, N(\zeta-1)^{p-1}. N(\zeta-1) = \prod_1^{p-1}(\zeta_i-1) = \text{\struck{$\varepsilon$}}\prod(1-\zeta_i) = F_p(1) = \underbrace{1+\cdots+1}_{} = p N\Bigl(\frac1p(\zeta-1)^{p-1}\Bigr) = 1 \boxed{(\zeta-1)^{p-1} = p\,u} \qquad u \text{ \emph{unité}} Donc (\zeta-1)A \supset pA ~~(\zeta-1)~~

d'où A/(\zeta-1)A = (\underbrace{A/pA}_{A_0})/(\zeta-1)A_0 = \bigl(\mathbb{F}_p[T]/(T-1)^{p-1}\bigr)/(T-1) = \mathbb{F}_p Donc (\zeta-1)A est un idéal maximal

F_{p^r} \varphi' = \varphi(p^r)/2 si p^r\neq 2 le 2 final est surchargé. (\alpha-2)^{\varphi'} = p\,u N(\alpha-2)^{\varphi'} = p^{\varphi'} N(u) N(\alpha-2) = \prod(\alpha_i-2) = (-1)^{\varphi'}\prod(2-\alpha_i) = (-1)^{\varphi'} \underbrace{F_{p^r}(2)}_{p} = (-1)^{\varphi'}\,\Phi_{p^r}(1) au-dessus de \prod(2-\alpha_i), accroché par une accolade : (\zeta'_i-1)(\zeta''_i-1) ; à droite de « p » sous l'accolade : « =(-1)^{\varphi'} ».

8+4-4-1

~~A_p B~~ A_{p^r}, B_{p^r} sont normaux ou Dedekind

A_{n'p^r}

(\xi-1) \mathbb{F}_p[T]/\Phi_n(T) = \mathbb{F}_p[T]/\text{\struck{$(T-1)^{\varphi(p^r)}$}}\ \Phi_{n'}(T)^{\varphi(p^r)} \text{\struck{$=\mathbb{F}_p[T]/\Phi_{n'}(T^{\cdots})$}} \quad \prod_{(r,n')=1}(T-\xi_1^r)\Big/\prod(T-\zeta_i)^{\varphi(p^n)}

T-1 ~~T^n~~ 1+T+\cdots+T^{n'-1} T^{p^n}-\zeta = 0

n' premier à p

mais pas premier à p\ldots !

T \zeta A_{n'}\subset A_n \zeta !

\zeta' = \zeta^{p^r} \zeta-~~\zeta'~~ \zeta'^{(p^r)} N_{A_n/A_{n'}}(\zeta-1) \underbrace{\mathbb{F}_p[T']/\Phi_{n'}(T')}\,[T]/(T^{p^n}-T') \xrightarrow{\ \text{cf.}\ } A_n\otimes\mathbb{F}_p Il y a des racines cycl. \Phi_n. \Phi_n T^{\varphi(p^n)}+ l'étiquette de la flèche est lue cf. ; sous la flèche, une suite de petits traits raturés.

(\alpha-2)^{p'} \equiv 0 \quad (p) (\alpha-2)^{p'} = p\,u N(\alpha-2)^{p'} = p^{p'} N(u) N(\alpha-2) = \prod(\alpha_i-2) = (-1)^{p'}\prod(2-\alpha_i) = (-1)^{p'} F_p(2) = (-1)^{p'}\Phi_p(1) = (-1)^{p'}p au-dessus de \prod(2-\alpha_i) : (\zeta'_i-1)(\zeta''_i-1) ; en dessous, deux essais raturés ~~\zeta'_i\zeta''_i~~, (). La dernière égalité est écrite =(-1)^{p'}p sous la précédente.

~~\alpha_i-2 = \zeta_i^2+\zeta_i^{-2}-2 = (\zeta_i-\zeta_i^{-1})^2~~

F_5 8+4-4-1 \boxed{F_p(2)=p} ? (\zeta-1)(\zeta^{-1}-1) = 1+1-\alpha ~~A = B[T]~~ B[T]/(T^2-\alpha T+1) \xrightarrow{\ \text{iso ?}\ } A

(\zeta-1)^{\varphi} \equiv 0 \quad (p) un « 2 » est écrit au-dessus du \zeta ; devant le 0, un signe raturé . (\xi-1)^{\varphi} = p\,u N(\xi-1)^{\varphi} = p^{\varphi} N(u) \prod(\zeta_i-1) = (-1)^{\varphi}\prod_i(1-\zeta_i) = (-1)^{\varphi}\,\underbrace{\Phi_{p^r}(1)}_{p} \begin{cases} \displaystyle\prod_{\substack{d\mid p^r\\ d\neq 1}} \Phi_d(T) = \text{\struck{$T^n$}}\ 1+T+\cdots+T^{p^r-1} = p^r \quad p\\ \text{\struck{$\displaystyle\prod_{d\mid p^r} p = \Phi_p(1)\Phi_{p^2}(1)\cdots$}} \quad p\,p^?-p^r\\ \Phi_{p^r}(1) = p \end{cases} la ligne du milieu est barrée sauf sa fin, lue p\,p^?-p^r ; l'égalité =p^r de la première ligne vaut pour T=1.

Les anneaux A_n, B_n et l'involution \sigma

\xi\in A_{n'n''=n} \supset A_{n''}\ni\zeta'' \qquad ((n',n'')=1) \cup \qquad \zeta'\in A_{n'} G = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \simeq G'\times G'', \qquad G'\simeq(\mathbb{Z}/n'\mathbb{Z})^*,\quad G''\simeq(\mathbb{Z}/n''\mathbb{Z})^* \underbrace{A_{n'}\otimes_{\mathbb{Z}} A_{n''}} \xrightarrow{\ \sim\ } A_{n'n''} normal par hyp. de réc.

B \varphi(1)=1, \varphi(2)=1 \zeta_i\eta_j + \zeta_i^{-1}\eta_j^{-1} B_n[T]/(T^2-\alpha T+1) \longrightarrow A_n \qquad \begin{cases} \alpha_n\longmapsto \xi_n+\xi_n^{-1}\\ T\longmapsto \xi_n\end{cases} \Big|\quad \begin{aligned} &\mu_n\supset\mu_n^* = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[T]/\Phi_n(T)\\ &\mu_{nn'}^*\simeq\mu_n^*\times\mu_{n'}^*\\ &\mu_n^*/\{\pm1\} = \tilde\mu_n^* \end{aligned} dans la dernière ligne, un symbole raturé précède \tilde\mu_n^*. B_n = A_n^{\sigma} l'exposant de A_n est un signe peu net, lu \sigma. \begin{aligned} \sigma(F+GT) &= F+G(U-T)\\ &= (F+GU)-GT \end{aligned} \sigma(F+GT) = F+GT \iff \begin{cases} GU=0 & G=-G\\ \iff G=0 \end{cases}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] A=\mathbb{Z}[T,T^{-1}] \arrow[r] & \mathbb{Z}[T]/\Phi_n(T)=A_n\\ B=\mathbb{Z}[U]=\mathbb{Z}[T]^{\sigma} \arrow[r] \arrow[u, hook] & \mathbb{Z}[U]/F_n(U)=B_n \arrow[u, hook] \end{tikzcd}

\begin{array}{l} U = T+T^{-1}\\ \sigma(T) = T^{-1} \end{array} \ \Big|\ F_n(U) = F_n(T+T^{-1}) = T^{-\varphi'}\Phi_n(T)

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] \mathbb{G}_m \arrow[d] & \supset\ \mu_n\ \supset\ \mu_n^* & \\ \mathbb{E}^1 & \tilde\mu_n/\{\pm1\} \arrow[l] & \tilde\mu_n^* \arrow[l] \end{tikzcd}

\mathbb{E}^1\simeq\mathbb{G}_m/\sigma T' = U-T le \mathbb{E} est une capitale à double barre ; lecture \mathbb{E}^1 ; le T de T'=U-T est souligné.

n\neq 1,2 A \xleftarrow{\ \sim\ } B[S]/(S^2-US+1) \qquad\text{\struck{$\mathbb{Z}[T]/(T^n-1)$}} i.e. A est libre sur B de base 1,T = B[\dot S] = B.1\oplus B.\dot S T^{2n}=T^n \text{\struck{$F+T$}}\quad F(U)+T\,G(U) = 0 \ \Longrightarrow\ F(U)+T^{-1}G(U) = 0 T\,G(U) = T^{-1}G(U), \qquad (T-T^{-1})\,G(U) = 0 \qquad G(U) = 0,

Revêtements ramifiés et groupes fondamentaux

changement de sujet : la page porte sur des revêtements d'une base S ramifiés en deux points, et sur les groupes fondamentaux correspondants. Elle est la dernière du dossier ; le raisonnement y reste en suspens.

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] B \arrow[dr, no head] & & B' \arrow[dl, no head]\\ & A & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & X\times_S X \arrow[dl, no head] \arrow[dr, no head] & \\ X \arrow[dr, no head] & & X' \arrow[dl, no head]\\ & S & \end{tikzcd}

G G' s,s'\in S

X tot. ramifié en s, étale en dehors

X' tot. ramifié en s', étale en dehors

X, X' normaux irréd.

X\times_S X' est connexe ?

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & \pi_1(S-\{s,s'\}) \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ \pi_1(S-s) \arrow[dr] & & \pi_1(S-s') \arrow[dl]\\ & \pi_1(S) & \end{tikzcd}

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & G*\mathbb{Z}*\mathbb{Z} \arrow[dl] \arrow[dr] & \\ X*\mathbb{Z} \arrow[dr] & & G*\mathbb{Z} \arrow[dl]\\ & G & \end{tikzcd}

le sommet de gauche est lu X*\mathbb{Z} ; on attendrait G*\mathbb{Z}.

G*G'

un petit carré raturé : X_s, X'_s et des flèches vers S, couvert de traits de biffure.

deux arcs se terminant chacun par un point épais, au-dessus d'un segment horizontal marqué à droite d'un trait vertical et de la lettre H (un astérisque raturé à gauche).

I\subset H_s\subset G\times G' surj. vers G, surj. vers G'

Z\subset X\times_S X Z\to X : revêt. tot. ramifié en les pts de X_s Z\to X' : tot. ram. en les pts de X'_s le second facteur est écrit X ; la flèche va vers X'.

(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^* d'ordre 2 \mathbb{Z}/