Cote n° 78, pages 61–80

Cote n° 78 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · [Polygones réguliers et polynômes cyclotomiques] : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

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61La page s'ouvre sur un point c) : les points a) et b) de cette énumération sont sur les pages précédentes, hors de ce lot. c) Pour tout $\omega \in \mathrm{Or}(\Pi)$, $\exists!\, u_\omega \in G^{+}$ tel que $u_\omega | R^{+}_{\omega} = u | R^{+}_{\omega}$, et on a […] \[u_{-\omega} = u_\omega^{-1}\] Donc De plus, $u_\omega$ est un générateur de $G^{+}$, et si $n \geq 3$, $\omega \mapsto u_\omega$ est une injection \[\mathrm{Or}(\Pi) \hookrightarrow \mathrm{Génér.}(G^{+})\] flèches tracées dans la marge gauche, pointant vers le point d)

d) Le foncteur \[\Pi \longmapsto \bigl(\mathbf{Z} G^{+},\ \{u_\omega, u_{-\omega}\} \in G^{+},\ S\bigr)\] le premier terme se lit « $\mathbf{Z}$ » accolé à $G^{+}$ (peut-être $\mathbf{Z} \simeq G^{+}$ pour $n=\infty$) ; au-dessus de la paire, renvoi « $\Omega$ » ; sous la formule, ajout « ($3 \leq n \leq +\infty$) » rattaché à « $n$-polygones ». des ⌜$n$-⌝polygones vers les triples formés d'un groupe cyclique d'ordre $n$ $G^{+}$, d'une paire formée des deux gén. de $G^{+}$ inverses l'un de l'autre, et d'un $G^{+}$-torseur $S$, est une équivalence de catégories. (au-dessus, renvoyé à la fin de la phrase) ou ce qui revient au même $\mathbf{Z}$-torseur

Exer. Exprimer $A$ ⌜en termes des⌝ données précédentes, ainsi que $R$ comme partie de $S \times R$ … « $S \times R$ » : on attendrait plutôt une partie de $S \times A$ ; la lecture du dernier facteur est sûre sur la page.

62trait vertical en marge gauche des deux premières lignes Cas des polygones réguliers, […] en premier à la caractéristique ($k$ alg. clos)

$S$ ensemble des sommets, $A$ ens. des arêtes, $E$ espace affine ambiant. Le barycentre $o$ de $S$ est fixé par le groupe $G$ des automorphismes de $\Pi$, de sorte que $E$ devient un vectoriel. Soit $G^{+}$ le sous-groupe des « rotations » de $\Pi$, $u$ un des 2 générateurs privilégiés, correspondant à une orientation ⌜combinatoire⌝ de $\Pi$, Considérons les deux valeurs propres de $u$, […] ⌜soit $s_0 \in S$⌝ [la donnée de $(s_0,u)$ équivaut à celle d'un repère combinatoire, i.e. d'un « épinglage combinatoire »] $\sigma$ l'automorphisme $\neq \mathrm{id}$ tel que $\sigma s_0 = s_0$, de sorte que \[\begin{cases} \sigma^{2} = \mathrm{id}, \quad \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1} \\ u^{n} = 1 \quad (n \text{ \uncertain{minimum}}) \end{cases}\] Soient $\zeta, \zeta'$ les valeurs propres de $u$. Si on avait $\zeta = \zeta'$, on aurait $u = \zeta(\mathrm{id}_E + v)$, $v$ nilpotent ⌜i.e. $v=0$⌝, et $u^{n} = \mathrm{id} \Rightarrow \zeta^{n} = 1$, $1 + nv = 0$ i.e. $nv = 0$, d'où (comme $n \neq 0$ par […]) $v = 0$, donc $u = \zeta\,\mathrm{id}_E$, donc les $s_i = u^{i} s_0$ seraient sur une même droite, absurde. Donc $\zeta \neq \zeta'$, soient $D_\zeta$, $D_{\zeta'}$ les droites propres. Mais Comme $u \sim u^{-1}$, l'ensemble des

63valeurs propres est stable par $z \mapsto z^{-1}$, i.e. $\zeta\zeta'$ \[\zeta\zeta' = 1 \quad\text{ou}\quad \zeta' = \zeta^{-1}.\] Plus précisément, comme $\sigma u \sigma^{-1} = u^{-1}$, $\sigma$ échange $D_\zeta$ et $D_{\zeta'}$, Choisissons $e_1 \in D_\zeta$ […], d'où ⌜si $s_0 = e_1 + e_2$ ($e_1 \in D_\zeta$, $e_2 \in D_{\zeta'}$) alors⌝ $s_0 = \sigma s_0 = \sigma e_2 + \sigma e_1$ donc $\sigma e_1 = e_2$, $\sigma e_2 = e_1$ — on a aussi $e_1, e_2 \neq 0$ sinon $s_0 = 0$, […] $e_1, e_2$ base de $E$ (définie ⌜de façon unique⌝) […]. Le haut de la page est très raturé : une ligne entière biffée en zigzag ([…]), une phrase intercalée sous la précédente (« indépendante […] $e_1 \mapsto e_2$ […] épinglage […] ») et la fin de la parenthèse sont trop chargées pour être lues sûrement ; le sens retenu est que $(e_1, e_2)$ est la base de $E$ attachée à l'épinglage.

Dans cette base, on a \[u = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix} \qquad \sigma = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] \[s_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad s_i = \begin{pmatrix} \zeta^{i} \\ \zeta^{-i} \end{pmatrix}\] On est dans le cas typique déjà étudié (sans avoir eu à supposer précédemment la car. $0$, ni $\zeta$ d'ordre fini …). De plus, on voit que Fonctions génératrices importantes (ou avait déjà remarqué précédemment par rapport à la base choisie) Ces deux lignes sont barrées de traits obliques. \[\alpha = \zeta + \zeta' = \zeta + \zeta^{-1} = \operatorname{Tr} u = \operatorname{Tr} u^{-1}\] est défini de façon intrinsèque en termes de $\Pi$, ou ce qui revient au même, la paire […] ⌜non ordonnée⌝ \[\{\zeta, \zeta'\} = \{\zeta, \zeta^{-1}\} = \{\zeta', \zeta'^{-1}\}\] d'éléments de $k^{*}$ inverses l'un de l'autre est définie intrinsèquement en termes de $\Pi$

64On peut prendre pour $\zeta$ n'importe quelle racine de $1$, à l'exclusion de $\pm 1$ (racines d'ordre $1$ et $2$ …).

Ainsi on trouve

Proposition a) Tout […] polygone régulier épinglé à $n$ côtés, $3 \leq n < +\infty$ (donc $n$ fini), sur un corps alg. clos $k$ de car. $p$ premier à $n$, est isomorphe à un ⌜des⌝ polygones épinglés $\Pi_{\zeta,k}$ ⌜dans $k^{2}$⌝ $\Pi_{\zeta,k,\ill{},n}$ construits précédemment, ⌜pour un $\Pi$,⌝ où $\zeta$ est défini modulo passage à $\zeta^{-1}$, […] ⌜$\zeta$ est une racine primitive $n$-ième de $1$⌝.

b) On trouve ainsi une correspondance 1-1 entre classes d'isom. de polygones réguliers (ou les classes d'isom. de polygones réguliers épinglés), entre couples ⌜paires⌝ $\{\zeta, \zeta^{-1}\}$ de racines primitives $n$-ièmes de $1$ inverses l'une de l'autre, et entre éléments $\alpha \in k$ tels que les $2$ solutions de l'équation \[\zeta^{2} - \alpha\zeta + 1 = 0\] soient des racines primitives $n$-ièmes de $1$. (en oblique, à gauche) les $2$ racines : invariants numériques des polygones réguliers…

c) Dans $\Pi_{\zeta,k}$, l'origine de $k^{2}$ est aussi le barycentre de $S$ ⌜$= \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,k})$⌝ et aussi l'unique point fixe sous $G^{+}$ ⌜sous $G$, ou $G^{+}$⌝ […] ⌜l'unique point fixe⌝ […] valeurs La fin de la page est surchargée d'ajouts interlinéaires ; on ne lit sûrement que « l'unique point fixe sous $G$ », « $G^{+}$ », « $\{\zeta,\zeta^{-1}\}$ » et « $= \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,k})$ ». L'énoncé enjambe sur la page suivante.

65propres de la partie homogène de […] ⌜l'une⌝ quelconque (ou des deux) des deux générateurs privilégiés de $G^{+}$, les axes de coordonnées sont les droites propres […] ⌜de⌝ […] à l'épinglage près les valeurs propres et $\zeta^{-1}$ resp.

Formes invariantes (sous $\operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,n})$)

Titre souligné ; un mot biffé (quadratiques) précède « invariantes ».

Si on regarde les fonctions polynômiales […] sur $E$ invariantes par $G$, comme l'origine est fixe, elles se décomposent en fonctions polynômiales homogènes, En degré $m$ ou formes. L'invariance par $\sigma$ signifie la symétrie p.r. aux $x, y$ coordonnées $x$ $x$, $y$, donc \[\begin{cases} F(x,y) = G(\sigma_1(x,y), \sigma_2(x,y)) \\ \sigma_1(x,y) = x + y, \quad \sigma_2(x,y) = xy \end{cases}\] D'ailleurs, si \[F(x,y) = \sum_{\alpha+\beta = m} c_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta}\] un symbole biffé précède $F$. on a \[F(u(x,y)) = F(\zeta x, \zeta^{-1} y) = \sum c_{\alpha\beta}\, \zeta^{\alpha-\beta} x^{\alpha} y^{\beta}\] donc on a \[F \equiv F \circ u \iff c_{\alpha\beta} = 0 \text{ si } \beta - \alpha \not\equiv 0 \ (n)\]

66Donc les […] fonctions polynômiales invariantes ont une base sur $k$ formée de $1$ et des \[\begin{aligned} \text{\struck{$\varphi_\alpha(x,y)$}}\qquad \varphi_{\alpha,i}(x,y) &= x^{\alpha} y^{\alpha+in} + y^{\alpha} x^{\alpha+in} \\ &= x^{\alpha}y^{\alpha}(x^{in} + y^{in}) \\ &= (xy)^{\alpha}\bigl((x^{n})^{i} + (y^{n})^{i}\bigr) \end{aligned}\] avec \[\alpha \in \mathbf{N}, \quad i \in \mathbf{N}^{*}\] Soit Or si $X, Y$ sont des indéterminées, la théorie des fonctions symétriques nous dit que \[X^{i} + Y^{i} = S_i(\sigma_1(X,Y), \sigma_2(X,Y))\] $\hookrightarrow$ polynôme universel : coeff. $\in \mathbf{Z}$ en $2$ variables $\sigma_1, \sigma_2$ \[= S_i(X+Y, XY)\] donc \[(x^{n})^{i} + (y^{n})^{i} = S_i(x^{n} + y^{n}, (xy)^{n})\] et par suite \[k[x,y]^{D} = k[x,y]^{\Delta_n} = k[\sigma_2, S_n]\] Deux renvois au-dessus de la formule : l'exposant $D$ (suivi d'un indice biffé, $\zeta$) est glosé « $= \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,n})$ » ; $\Delta_n$ est glosé « groupe diédral… $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ ([…]) opérant sur $k^{2}$ de façon évidente ». où \[\begin{cases} \sigma_2(x,y) = xy \\ S_n(x,y) = x^{n} + y^{n} \end{cases}\] NB Les calculs marchent pour tout $n \in \mathbf{N}^{*}$ (pas besoin que $n \geq 3$) et sur tout anneau de base — le meilleur des trucs étant $\mathbf{Z}$ ! Si $n$ est infini, il faut revenir au cas d'un $\zeta$

67donné, solution d'une équation structurelle d'ordre infini sur chaque fibre, on trouve […] comme anneau d'invariants $k[\sigma_2]$ …

Corollaire Les fonctions polynômiales de degré $\leq 2$ invariantes par $D_\zeta = \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,n})$ sont les fonctions \[axy + b \qquad (a, b \in k)\] Donc à scalaire près une unique forme ⌜$q(x,y) =$ […] $\sigma_2(x,y) = xy$⌝ quadratique invariante, à savoir par normalisation $\sigma_2(s) = 1$ si $s \in S$. Une unique conique « affine » circonscrite, i.e. contenant les sommets, à savoir celle d'équation \[xy - 1 = 0\] […] (en oblique, à gauche) Kif ! Ne marche pas que si $n \geq 5$, avec […] l'interprétation […] conique […]. Ici on a […] une conique circonscrite canonique — d'équation invariante par $G$ […]

Pour un polygone régulier quelconque (sur un corps $k$ alg. clos de car. $p$ premier à $n$) ⌜à scalaire près⌝ non épinglé — il y a donc une unique forme quadratique invariante $q_0$, normalisée par $q_0(s) = 1$ ($s \in S$)

68et une unique quadrique ⌜conique⌝ circonscrite à $\Pi$ i.e. à $S$, savoir la conique \[C \quad\text{d'équation}\quad q_0(x) - 1 = 0\] Notons que $q_0$, considérée comme forme quadratique sur l'espace des translations de $E$, fait de $E$ un « plan euclidien » — la forme est en effet non dégénérée. Le carré de la longueur des côtés du polygone $\Pi$ est donné par \[\begin{aligned} q_0(s_1 - s_0) &= q_0(\zeta - 1, \zeta^{-1} - 1) = (\zeta-1)(\zeta^{-1}-1) \\ &= 2 - \alpha \end{aligned}\] i.e. \[q_0(a) = 2 - \alpha\] ici $a$ désigne un côté (arête) de $\Pi$. On notera que c'est toujours $\neq 0$ i.e. […] $\alpha \neq 2$, puisque $\zeta \neq 1$. [On pourrait donc normaliser […] $q$ différemment, en normalisant par $q_0(a) = 1$. Dans le cas général, c'est cette normalisation-là qui sera la meilleure, comme nous verrons …]

Commentaires « philosophiques » On a trouvé, pour le groupe $D_n$ fixé, et des corps Ces deux lignes sont barrées de traits obliques, ainsi que le haut de la page suivante jusqu'à « […] près. ».

69[…] des variétés $k$ ⌜alg. clos (pour simplifier)⌝ de car. première à $n$, […] munis d'un $\alpha \in k$ tel que les solutions de $\zeta^{2} - \alpha\zeta + 1 = 0$ sont des racines primitives $n$-ièmes de $1$ (ce qui peut s'exprimer par la condition $F_n(\zeta) = 0$ …) une famille ⌜de $D_n$⌝ […] de représentations affines de dim $2$ ⌜des isomorphismes⌝ représentations polygones réguliers — ou encore celle associée … […] des couples formés d'un polygone régulier d'isomorphisme, et d'un épinglage de celui-ci — ou encore des homomorphismes $D_n \to \operatorname{Aff}(\mathbf{3}k)$ définis à automorphisme intérieur près. « $\operatorname{Aff}(\mathbf{3}k)$ » : lecture incertaine du dernier symbole, peut-être $\operatorname{Aff}(E_k)$ ou $\operatorname{Aff}_2 k$.

Remarque Si on s'était borné à exiger, pour un polyèdre ⌜affine⌝ affine régulier, que le groupe de ses automorphismes affines soit transitif sur l'ens. des sommets ⌜(sans exiger rien […] sur les autres ensembles)⌝, on aurait trouvé beaucoup plus de choses. Par exemple, prenant ⌜le groupe $G^{+}$⌝ ⌜des rotations⌝ combinatoires, provenant d'un groupe de transformations affines, on aurait eu à choisir des $u$ tels que $u^{n} = 1$ (sans se donner de $\sigma$ tel que $\sigma u \sigma^{-1} = u^{-1}$) — ce qui revient à se donner deux v.p. $\zeta, \zeta'$ racines pr $n$-ièmes de $1$, d'ordre $d, d'$, avec

70$n = \operatorname{ppcm}(d, d')$ (qui exprime que $u$ est d'ordre $n$ exactement) — $S$ se définissant comme l'orbite d'un $s_0 \in E \setminus (D_\zeta \cup D_{\zeta'})$, et $A$ … l'ens. des $s_i = u^{i} s_0$ et ($i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$), et $A$ est formé des droites ⌜$a_i = \operatorname{dr}\{s_i, s_{i+1}\}$⌝ (il faut encore vérifier, en exigeant que $a_i$ ne soit incident qu'à $s_0$ et $s_1$, cette condition est laissée en exercice …)

Par contre, si on exige ⌜de plus⌝ qu'il existe une métrique ⌜$\delta$⌝ non dégénérée invariante par les $\delta$ $\in G^{+}$, et en insistant pour que les automorphismes soient notés des rotations (comme me l'avait suggéré Olivier Leborgne), on sauve la mise. En effet, les rotations sont unimodulaires, donc on trouve pour les valeurs propres de $u$ une $\{\zeta, \zeta^{-1}\}$, et on retrouve les cas précédents … Je ne sais pas si on simplifie […] encore en exigeant simplement que les $\in G^{+}$ respectent la métrique, sans plus … « Olivier Leborgne » : lecture incertaine du nom propre.

71Fonctions polynômiales rel. invariantes sous $G^{+}$, sous $G$.

[…] Les $x^{i}y^{j}$ forment une base de $\operatorname{Sym}^{*}(\check{E})$, formée de vecteurs propres pour $u$, de valeurs propres $\zeta^{i-j}$. […] Les val. des valeurs propres de $G^{+} \simeq \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ dans les valeurs propres de $G^{+}$ opérant sur $\operatorname{Sym}^{*}(\check{E}) \simeq$ Fonctions polyn. $(E)$ sont donc les $\zeta^{d}$ ($d \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$), et les fonctions correspondant à cette valeur propre sont les combinaisons linéaires des $x^{j+d}y^{j} = (xy)^{j}x^{d}$ … i.e. \[x^{i}y^{j} \qquad i - j \equiv d \ (n)\] i.e. les \[x^{j+d+nk}\,y^{j} = \begin{cases} (xy)^{j}\, x^{d+nk} & \text{si } d + nk \geq 0 \\ (xy)^{\uncertain{j'}}\, y^{-d+nk'} & \text{si } \uncertain{-d+nk' \geq 0} \end{cases}\] La fin des deux conditions mord sur le bord de la feuille ; la seconde ligne de l'accolade est en partie surchargée.

Cas $d=0$ En degré $0$ on obtient donc le … \[\operatorname{Sym}^{*}(\check{E})^{G^{+}} \simeq k[xy, x^{n}, y^{n}] \qquad (U_n V_n - W_n^{n} = 0)\] Au-dessus des générateurs, renvois $W = W_n = xy$, $U = U_n = x^{n}$, $V = V_n = y^{n}$. La relation entre parenthèses mord sur le bord ; on lit $U_nV_n - W_n^{n} =$ […]. ([…]) par $x^{d}$ et $y^{-d+nk}$, […] c'est engendré, si $0 < d < n$, par \[x^{d} = X_d \quad\text{et}\quad y^{n-d} = Y_d,\] avec les conditions \[V X_d - (W)^{d} Y_d = 0 \quad \ldots\] Pour les fonctions polynômiales de degré $\leq 2$,

72ayant comme base \[1,\ x,\ y,\ x^{2},\ xy,\ y^{2}\] les valeurs propres de $u$ correspondantes sont resp. \[1,\ \zeta,\ \zeta^{-1},\ \zeta^{2},\ 1,\ \zeta^{-2}\] donc les valeurs propres qui y figurent sont respectivement parmi les ⌜$5$⌝ valeurs \[\zeta^{-2},\ \zeta^{-1},\ \zeta^{0} = 1,\ \zeta^{1} = \zeta,\ \zeta^{2}.\] Celles-ci sont toutes distinctes si $n \geq 5$, dans ce cas les fonctions ⌜p. homogènes⌝ semi-invariantes ⌜sous $G^{+}$⌝ de degré $\leq 2$ […] sont exactement les fonctions \[\begin{aligned} &a + bxy && \text{valeur propre } \zeta^{0} = 1 \\ &ax \ (\text{\uncertain{resp.}}\ ay) && \text{valeur propre } \zeta\ (\text{resp.\ } \zeta^{-1}) \\ &ax^{2}\ (\text{resp.\ } ay^{2}) && \text{valeur propre } \zeta^{2}\ (\text{resp.\ } \zeta^{-2}) \end{aligned}\] Si on veut de plus la quasi-invariance sous $\sigma$ ⌜i.e. sous $G$⌝, […] $G \simeq D_n$ tout entier, notant que $\sigma(ax) = ay$, $\sigma(ay) = ax$, $\sigma(ax^{2}) = ay^{2}$, $\sigma(ay^{2}) = ax^{2}$, on trouve que les seules fonctions ⌜p. homogènes de degré $\leq 2$⌝ quasi-invariantes sous $G$ sont les $a + bxy$ (qui sont invariantes)

Donc les seules coniques invariantes sous $G$ sont les coniques d'équation $a + bxy$, donc si on veut les coniques circonscrites à $\Pi$ il faut $a + b = 0$ i.e. $b = -a$, on trouve la seule conique invariante circonscrite, d'équation $xy - 1 = 0$ … « $a + b = 0$ » : la condition écrite est sans doute à lire $a + b = 0$ avec la normalisation $xy(s) = 1$ des sommets.

73En fait, le choix des « coordonnées épinglées universelles » montre que c'est la seule conique circonscrite (celles en dimension autres triangles invariantes …)

Cas $n = 3$ i.e. $\zeta^{2} = \zeta^{-1}$, $\zeta^{-2} = \zeta$, donc les fonctions p.l. quasi-inv. ⌜sous $G^{+}$ i.e. sous $u$⌝ de degré $\leq 2$ sont les \[\begin{cases} a + bxy & \text{v.p.\ } 1 \\ ax + by^{2} & \text{v.p.\ } \zeta \\ ay + bx^{2} & \text{v.p.\ } \zeta^{-1} \end{cases}\] les deux dernières lignes portent un trait de répétition pour « v.p. » ; dans la troisième, $ay^{2}$ est corrigé en $ay$. mais parmi celles-ci, les quasi-inv. sous $G$ sont encore les $a + bxy$.

Cas $n = 4$ i.e. $\zeta^{2} = \zeta^{-2}$, les fonctions p.l. de degré $\leq 2$ quasi-inv. sous $G^{+}$ ⌜i.e. sous $u$⌝ sont \[\begin{cases} a + bxy & \text{v.p.\ } 1 \\ ax \ (\text{\uncertain{resp.}}\ ay) & \text{v.p.\ } \zeta\ (\zeta^{-1}) \\ ax^{2} + by^{2} & \text{v.p.\ } \zeta^{2} = \zeta^{-2} \end{cases}\] Parmi celles-ci, les fonctions quasi-inv. sous $G$ sont celles qui sont les $a + bxy$ et distinctes telles qu'il y a deux ⌜qui forment⌝ la famille : $ax^{2} + by^{2}$, … une par famille de coniques inv. sous $G$. Dans chacune, il y a exactement une conique circonscrite à $S$, savoir ⌜l'habituelle $xy - 1 = 0$⌝, ⌜et de plus …⌝ $x^{2} - y^{2} = 0$

Réalisation géométrique des polyèdres affines combinatoires en coordonnées affines universelles.

1. Programme de travail.

[…] 1. Soit $\Pi$ polyèdre combinatoire donné; on se propose d'étudier ses réalisations géométriques ⌜régulières⌝ dans des espaces ⌜plans⌝ affines variables $E$. Notons que si deux telles réalisations sont $\Pi$-isom., il y a un $\Pi$-isom. unique entre elles, par définition. Donc dans les classes d'isomorphie (fixant les idées), il y a un certain nombre de ⌜$(E_\alpha, \varphi_{\alpha s}, \varphi_{\alpha a})$⌝ représentants, définis à isom. unique près. En particulier, le plan affine ⌜$E_\alpha$⌝ de cette réalisation géométrique est défini à isom. unique près.

On indexera $\alpha$ à l'aide d'invariants numériques (essentiellement $\alpha$ — ensemble ⌜« […] numérique »⌝ de scalaires, comme $\zeta + \zeta^{-1}$ défini universellement précédemment) et pour bien faire il faudra fournir ⌜(à isom. unique près)⌝ explicites $E_\alpha$, $\varphi_{\alpha s}$, $\varphi_{\alpha a}$ à l'aide de $\Pi$ et de cet invariant numérique.

On ne peut commencer se donner un repère ⌜$r \in \operatorname{Rep}(\Pi)$⌝ pour épingler $\Pi$, de sorte que $\Pi$ devient

75canonit. isom. à un polygone combinatoire-type $\Pi_n$ ($3 \leq n \leq +\infty$). D'ailleurs tous ces $\Pi_n$ sont ⌜canoniquement⌝ quotients du même $\Pi_\infty$ (si $n | m$, $\Pi_n$ est quotient de $\Pi_m$), par cet ⌜l'image du rep. de $\Pi_n$⌝ l'image du repère $r_\infty$ de $\Pi_\infty$, donc la cat. (discrète) des repr. affines régulières de $\Pi_n$ en plans (comme sous-catégorie pleine) de celle des repr. régulières de $\Pi_\infty$. Dans les plans pratiques nous nous en ferons l'étude en trois étapes :

a) Étudier les réal. géom. rég. de $\Pi_\infty$ sur un corps (plus gén. un anneau … ([…])) […] quelconque. On verra entre autres qu'elles sont caractérisées, à isom. près, par un invariant numérique $\alpha \in k$, qui peut être choisi arbitrairement.

b) Expliciter les conditions sur $\alpha$ pour que la réal. géom. corresp. qui de $\Pi_\infty$ se factorise par $\Pi_n$, et plus

76précisément pour que la factorisation ⌜réalisation⌝ géom. obtenue de $\Pi_n$ ($3 \leq n \leq \infty$) soit fidèle. De cette façon, on trouvera une partition ou classification des formes $n$-polygones réguliers sur $k$, indépendamment de la donnée d'un $\Pi$-épinglage, par […] un invariant $\alpha \in k$ satisfaisant certaines conditions.

c) Déduire de ceci les […] propriétés essentielles des (en particulier la classification) des $n$-polygones réguliers, quel que soit $n$, et indépendamment de tout épinglage par un repère. (Cette étape est essentiellement triviale …)

2. Reformulation du pb des réalisations géom. régulières de $\Pi_\infty$ dans des plans affines $E$ (sur un corps $k$, pour simplifier …)

Titre marqué d'un trait vertical en marge gauche.

Rotations ($G = \operatorname{Aut}(\Pi_\infty) \simeq D_\infty$ ⌜$= G_{0,1}$⌝ $= \{\sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = 1\}$)

a) Représentation \[(1) \qquad \varphi_G : D_\infty \longrightarrow \operatorname{Aff}(E)\]

77i.e. \[(2) \qquad \boxed{\sigma_0, \sigma_1 \in \operatorname{Aff}(E) \qquad \sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = \mathrm{id}_E}\] (b) \[(3) \qquad \boxed{r = (s_0, a_0) \in E \times \operatorname{Dr}(E), \quad (s_0, a_0) \text{ incidents}}\] NB Ces deux données définissent $\varphi_S$, $\varphi_A$ par \[(4) \qquad \begin{cases} \varphi_S(\underline{s}_n) = s_n = u^{n} s_0 \\ \varphi_A(\underline{a}_n) = a_n = u^{n} a_0 \end{cases}\] avec \[(5) \qquad u = \sigma_0 \sigma_1\] Mais on On trouve de même, pour $\underline{r} \in \operatorname{Rep}(\Pi_\infty)$ \[\begin{aligned} &\underline{r} = \underline{g}\,\underline{r}_\infty \qquad (\underline{g} \in \operatorname{Aut}(\Pi_\infty) = D_\infty) \\ (5) \qquad &\varphi_{\mathrm{rep}}(\underline{r}) = \varphi_{\mathrm{rep}}(\underline{g}\,\underline{r}_\infty) = g\,\varphi_{\mathrm{rep}}(\underline{r}_\infty) = g.r \end{aligned}\] Deux formules portent le numéro (5) sur la page ; le second chiffre est peut-être un (6) mal formé, la suivante étant aussi numérotée (6). i.e. \[(6) \qquad \varphi(\underline{g}\,\underline{r}_\infty) = g.r \quad\text{si}\quad g = \varphi_G\,\underline{g}\] et les formules (4), […] peuvent être considérées comme déduites de (6) par passage au quotient via diagramme redessiné : $\operatorname{Rep}(\Pi_\infty)$ en haut, deux flèches descendantes vers $S(\Pi_\infty)$ et $A(\Pi_\infty)$, étiquetées $\underline{\sigma}_1$ et $\underline{\sigma}_0$ comme sur la page.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
& \operatorname{Rep}(\Pi_\infty) \arrow[dl, "\underline{\sigma}_1"'] \arrow[dr, "\underline{\sigma}_0"] & \\
S(\Pi_\infty) & & A(\Pi_\infty)
\end{tikzcd}

i.e. on doit avoir $\varphi_S$, $\varphi_A$ définis par

78commutatifs dans

LaTeX source

\begin{tikzcd}
\operatorname{Rep}(\Pi_\infty) \arrow[r, "\varphi_{\mathrm{rep}}"] \arrow[d, "\mathrm{pr}_1"] \arrow[dd, bend right=50, "\mathrm{pr}_2"'] & \operatorname{Drap.aff}(E) \arrow[d, "\mathrm{pr}_1"] \arrow[dd, bend left=50, "\mathrm{pr}_2"] \\
S(\Pi_\infty) \arrow[r, "\varphi_S"] & E \\
A(\Pi_\infty) \arrow[r, "\varphi_A"] & \operatorname{Dr}(E)
\end{tikzcd}

Diagramme (7) redessiné ; sur la page la flèche $\mathrm{pr}_2$ de droite part de $\operatorname{Drap.aff}(E)$ en croisant la flèche $\varphi_S$. « $\operatorname{Drap.aff}(E)$ » : lecture probable, les drapeaux affines (point, droite incidente) de $E$.

La condition [pour $\varphi_G$ ⌜(cf (1), (2))⌝ et le $G$-hom. $\varphi_{\mathrm{rep}} : \operatorname{Rep}(\Pi_\infty) \to \operatorname{Drap.aff}(E)$ donnés, cette dernière donnée correspondant à la donnée ⌜(des $\varphi_S$ et $\varphi_A$)⌝ de (4)] pour que $\mathrm{pr}_i \circ \varphi_{\mathrm{rep}}$ passe au quotient — ou encore pour que $\varphi_S$ et $\varphi_A$ soient compatibles avec les relations d'incidence, c'est que l'on ait \[\sigma_1\, \mathrm{pr}_1(r) = \mathrm{pr}_1(r), \quad \sigma_0\, \mathrm{pr}_2(r) = \mathrm{pr}_2(r)\] i.e. \[(8) \qquad \boxed{\sigma_1 s_0 = s_0, \quad \sigma_0 a_0 = a_0}\] Il reste à exprimer que les $\uncertain{\ill{}}$ engendrent affinement $E$. On va introduire la suite de l'argument passe à la page suivante.

79\[s_0, \quad s_1 = \sigma_0 s_0\ \bigl(= u s_0 = \sigma_0 \underbrace{\sigma_1 s_0}_{s_0}\bigr), \quad s_{-1} = \sigma_1 s_1\ (= s_{-1} = \sigma_1 \sigma_0 s_0)\] le dernier terme est écrit d'abord $\underline{s}_1'$, surchargé en $s_{-1}$ ; la parenthèse finale mord sur le bord de la feuille. On a la

Lemme Étant donnés (2) (3) satisfaisant (8), les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) Les données correspondent à une réalisation géom. de $\Pi_\infty$, i.e. les $s_n = u^{n} s_0 = (\sigma_0\sigma_1)^{n} s_0$ sont affinement indépendants

(b) $s_0$, $s_1$ et $s_{-1}$ sont affinement indépendants.

(c) Les applications $\varphi_S$ et $\varphi_A$ de (3) sont l'une et l'autre non constantes.

Les trois conditions sont réunies par un trait vertical en marge. En (a), « affinement indépendants » pour une suite infinie de points d'un plan ne peut s'entendre au sens littéral ; on transcrit tel quel.

En effet, b) $\Rightarrow$ (a) $\Rightarrow$ (c) sont triviaux, prouvons c) $\Rightarrow$ a). On suppose c), il faut prouver

1°) $s_1 \neq s_0$ sinon $s_0$ serait fixé par $\sigma_1$ et $\sigma_0$, donc par $G$, donc par les $u^{n}$, donc $\varphi_S$ serait constante.

2°) $s_{-1} \notin \operatorname{dr}(s_0, s_1)$. En effet, […] Comme, $\sigma_0$ […] \[(9) \qquad a_0 = \operatorname{dr}(s_0, s_1)\] Car $s_0 \in a_0$, et comme $\sigma_0 a_0 = a_0$ ⌜par (8)⌝, on a aussi $\sigma_0 s_0 = s_1 \in a_0$. Comme Or … \[\sigma_0 a_0 = \operatorname{dr}(\sigma_0 s_0 = s_1,\ \sigma_1 s_1 = s_{-1})\] et si on avait $s_{-1} \in a_1$, on aurait $\sigma_1 a_0 = a_0$ L'indice de ce dernier $\sigma$ mord sur le bord de la feuille et se lit mal ; $\sigma_1$ est demandé par la suite. La formule $\sigma_0 a_0 = \operatorname{dr}(\ldots)$ est écrite telle quelle ; on attendrait $\sigma_1 a_0$. L'argument continue au-delà du lot.

80donc $a_0$ serait fixée par $\sigma_0$ et $\sigma_1$, donc par $G$, donc par les $u^{n}$, donc $\varphi_A$ serait constante, cqfd. En même temps, on a retrouvé (pour mémoire) (9), qui montre que les données (2) (3) satisfaisant (8) + condition (b) équivalent à : (2), […] ⌜$+$ donnée⌝ (seulement $s_0$) satisfaisant que $s_0, s_1$ et $s_{-1}$ …

Proposition Les réalisations géom. régulières de $\Pi_\infty$ dans $E$ correspondent 1-1 aux triples $(\sigma_0, \sigma_1, s_0)$, où \[(10) \qquad \begin{cases} \sigma_0, \sigma_1 \in \operatorname{Aff}(E) \\ s_0 \in E \end{cases}\] satisfaisant les conditions

a) $\sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = \mathrm{id}$

b) $\sigma_1 s_0 = s_0$ i.e. $s_0 \in E^{\sigma_1}$

c) $s_0$, $\sigma_0 s_0 = s_1$, et $s_{-1} \overset{\mathrm{def}}{=} \sigma_1 s_1$ forment une base affine de $E$.

La repr. $\varphi_G : G = \operatorname{Aut}(\Pi_\infty) \simeq G_{0,1}$ associée est définie par \[(11) \qquad \varphi_G(\underline{\sigma}_0) = \sigma_0, \quad \varphi_G(\underline{\sigma}_1) = \sigma_1\] et $\varphi_S$ et $\varphi_A$ sont données par \[\left. \begin{aligned} (12) \qquad & \varphi_S(\underline{s}_n) \overset{\mathrm{def}}{=} s_n = u^{n} s_0 \\ (13) \qquad & \varphi_A(\underline{a}_n) = \operatorname{dr}(s_n, s_{n+1}) = u^{n} \operatorname{dr}(s_0, s_1) \end{aligned} \right| \; n \in \mathbf{Z}\] où \[(14) \qquad u = \sigma_0 \sigma_1\] La page s'arrête ici ; l'exposé (« 2. Reformulation… ») se poursuit au-delà du lot.

Formes invariantes (sous \(\operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,n})\))

Réalisation géométrique des polyèdres affines combinatoires en coordonnées affines universelles.

2. Reformulation du pb des réalisations géom. régulières de \(\Pi_\infty\) dans des plans affines \(E\) (sur un corps \(k\), pour simplifier …)