Fonds Grothendieck, cote n° 78, pages 61–80

La page s'ouvre sur un point c) : les points a) et b) de cette énumération sont sur les pages précédentes, hors de ce lot. c) Pour tout \omega \in \mathrm{Or}(\Pi), \exists!\, u_\omega \in G^{+} tel que u_\omega | R^{+}_{\omega} = u | R^{+}_{\omega}, et on a u_{-\omega} = u_\omega^{-1} ~~Donc~~ De plus, u_\omega est un générateur de G^{+}, et si n \geq 3, \omega \mapsto u_\omega est une injection \mathrm{Or}(\Pi) \hookrightarrow \mathrm{Génér.}(G^{+}) flèches tracées dans la marge gauche, pointant vers le point d)

d) Le foncteur \Pi \longmapsto \bigl(\mathbf{Z} G^{+},\ \{u_\omega, u_{-\omega}\} \in G^{+},\ S\bigr) le premier terme se lit « \mathbf{Z} » accolé à G^{+} (peut-être \mathbf{Z} \simeq G^{+} pour n=\infty) ; au-dessus de la paire, renvoi « \Omega » ; sous la formule, ajout « (3 \leq n \leq +\infty) » rattaché à « n-polygones ». des n-polygones vers les triples formés d'un groupe cyclique d'ordre n G^{+}, d'une paire formée des deux gén. de G^{+} inverses l'un de l'autre, et d'un G^{+}-torseur S, est une équivalence de catégories. (au-dessus, renvoyé à la fin de la phrase) ou ce qui revient au même ~~\mathbf{Z}~~-torseur

Exer. Exprimer A en termes des données précédentes, ainsi que R comme partie de S \times R … « S \times R » : on attendrait plutôt une partie de S \times A ; la lecture du dernier facteur est sûre sur la page.

trait vertical en marge gauche des deux premières lignes Cas des polygones réguliers, en premier à la caractéristique (k alg. clos)

S ensemble des sommets, A ens. des arêtes, E espace affine ambiant. Le barycentre o de S est fixé par le groupe G des automorphismes de \Pi, de sorte que E devient un vectoriel. Soit G^{+} le sous-groupe des « rotations » de \Pi, u un des 2 générateurs privilégiés, correspondant à une orientation combinatoire de \Pi, ~~Considérons les deux valeurs propres de u,~~ soit s_0 \in S [la donnée de (s_0,u) équivaut à celle d'un repère combinatoire, i.e. d'un « épinglage combinatoire »] \sigma l'automorphisme \neq \mathrm{id} tel que \sigma s_0 = s_0, de sorte que \begin{cases} \sigma^{2} = \mathrm{id}, \quad \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1} \\ u^{n} = 1 \quad (n \text{ \uncertain{minimum}}) \end{cases} Soient \zeta, \zeta' les valeurs propres de u. Si on avait \zeta = \zeta', on aurait u = \zeta(\mathrm{id}_E + v), v ~~nilpotent~~ i.e. v=0, et u^{n} = \mathrm{id} \Rightarrow \zeta^{n} = 1, 1 + nv = 0 i.e. nv = 0, d'où (comme n \neq 0 par ) v = 0, donc u = \zeta\,\mathrm{id}_E, donc les s_i = u^{i} s_0 seraient sur une même droite, absurde. Donc \zeta \neq \zeta', soient D_\zeta, D_{\zeta'} les droites propres. ~~Mais~~ Comme u \sim u^{-1}, l'ensemble des

valeurs propres est stable par z \mapsto z^{-1}, i.e. ~~\zeta\zeta'~~ \zeta\zeta' = 1 \quad\text{ou}\quad \zeta' = \zeta^{-1}. Plus précisément, comme \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1}, \sigma échange D_\zeta et D_{\zeta'}, ~~Choisissons e_1 \in D_\zeta , d'où~~ si s_0 = e_1 + e_2 (e_1 \in D_\zeta, e_2 \in D_{\zeta'}) alors s_0 = \sigma s_0 = \sigma e_2 + \sigma e_1 donc \sigma e_1 = e_2, \sigma e_2 = e_1 — on a aussi e_1, e_2 \neq 0 sinon s_0 = 0, e_1, e_2 base de E (définie de façon unique) . Le haut de la page est très raturé : une ligne entière biffée en zigzag (), une phrase intercalée sous la précédente (« indépendante e_1 \mapsto e_2 épinglage ») et la fin de la parenthèse sont trop chargées pour être lues sûrement ; le sens retenu est que (e_1, e_2) est la base de E attachée à l'épinglage.

Dans cette base, on a u = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix} \qquad \sigma = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} s_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad s_i = \begin{pmatrix} \zeta^{i} \\ \zeta^{-i} \end{pmatrix} On est dans le cas typique déjà étudié (sans avoir eu à supposer précédemment la car. 0, ni \zeta d'ordre fini …). De plus, on voit que ~~Fonctions génératrices importantes (ou avait déjà remarqué précédemment par rapport à la base choisie)~~ Ces deux lignes sont barrées de traits obliques. \alpha = \zeta + \zeta' = \zeta + \zeta^{-1} = \operatorname{Tr} u = \operatorname{Tr} u^{-1} est défini de façon intrinsèque en termes de \Pi, ou ce qui revient au même, la paire non ordonnée \{\zeta, \zeta'\} = \{\zeta, \zeta^{-1}\} = \{\zeta', \zeta'^{-1}\} d'éléments de k^{*} inverses l'un de l'autre est définie intrinsèquement en termes de \Pi

On peut prendre pour \zeta n'importe quelle racine de 1, à l'exclusion de \pm 1 (racines d'ordre 1 et 2 …).

Ainsi on trouve

Proposition a) ~~Tout~~ polygone régulier épinglé à n côtés, 3 \leq n < +\infty (donc n fini), sur un corps alg. clos k de car. p premier à n, est isomorphe à un des polygones épinglés \Pi_{\zeta,k} dans k^{2} ~~\Pi_{\zeta,k,\ill{},n}~~ construits précédemment, pour un \Pi, où \zeta est défini modulo passage à \zeta^{-1}, \zeta est une racine primitive n-ième de 1.

b) On trouve ainsi une correspondance 1-1 entre classes d'isom. de polygones réguliers (ou les classes d'isom. de polygones réguliers épinglés), entre ~~couples~~ paires \{\zeta, \zeta^{-1}\} de racines primitives n-ièmes de 1 inverses l'une de l'autre, et entre éléments \alpha \in k tels que les 2 solutions de l'équation \zeta^{2} - \alpha\zeta + 1 = 0 soient des racines primitives n-ièmes de 1. (en oblique, à gauche) les 2 racines : invariants numériques des polygones réguliers…

c) Dans \Pi_{\zeta,k}, l'origine de k^{2} est aussi le barycentre de S = \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,k}) et aussi l'unique point fixe ~~sous G^{+}~~ sous G, ou G^{+} l'unique point fixe valeurs La fin de la page est surchargée d'ajouts interlinéaires ; on ne lit sûrement que « l'unique point fixe sous G », « G^{+} », « \{\zeta,\zeta^{-1}\} » et « = \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,k}) ». L'énoncé enjambe sur la page suivante.

propres de la partie homogène de l'une quelconque (ou des deux) des deux générateurs privilégiés de G^{+}, les axes de coordonnées sont les droites propres de à l'épinglage près les valeurs propres et \zeta^{-1} resp.

Formes invariantes (sous \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,n}))

Titre souligné ; un mot biffé (~~quadratiques~~) précède « invariantes ».

Si on regarde les fonctions polynômiales sur E invariantes par G, comme l'origine est fixe, elles se décomposent en fonctions polynômiales homogènes, ~~En degré m~~ ou formes. L'invariance par \sigma signifie la symétrie p.r. aux ~~x, y~~ coordonnées x x, y, donc \begin{cases} F(x,y) = G(\sigma_1(x,y), \sigma_2(x,y)) \\ \sigma_1(x,y) = x + y, \quad \sigma_2(x,y) = xy \end{cases} D'ailleurs, si F(x,y) = \sum_{\alpha+\beta = m} c_{\alpha\beta}\, x^{\alpha} y^{\beta} un symbole biffé précède F. on a F(u(x,y)) = F(\zeta x, \zeta^{-1} y) = \sum c_{\alpha\beta}\, \zeta^{\alpha-\beta} x^{\alpha} y^{\beta} donc on a F \equiv F \circ u \iff c_{\alpha\beta} = 0 \text{ si } \beta - \alpha \not\equiv 0 \ (n)

Donc les fonctions polynômiales invariantes ont une base sur k formée de 1 et des \begin{aligned} \text{\struck{$\varphi_\alpha(x,y)$}}\qquad \varphi_{\alpha,i}(x,y) &= x^{\alpha} y^{\alpha+in} + y^{\alpha} x^{\alpha+in} \\ &= x^{\alpha}y^{\alpha}(x^{in} + y^{in}) \\ &= (xy)^{\alpha}\bigl((x^{n})^{i} + (y^{n})^{i}\bigr) \end{aligned} avec \alpha \in \mathbf{N}, \quad i \in \mathbf{N}^{*} ~~Soit~~ Or si X, Y sont des indéterminées, la théorie des fonctions symétriques nous dit que X^{i} + Y^{i} = S_i(\sigma_1(X,Y), \sigma_2(X,Y)) \hookrightarrow polynôme universel : coeff. \in \mathbf{Z} en 2 variables \sigma_1, \sigma_2 = S_i(X+Y, XY) donc (x^{n})^{i} + (y^{n})^{i} = S_i(x^{n} + y^{n}, (xy)^{n}) et par suite k[x,y]^{D} = k[x,y]^{\Delta_n} = k[\sigma_2, S_n] Deux renvois au-dessus de la formule : l'exposant D (suivi d'un indice biffé, ~~\zeta~~) est glosé « = \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,n}) » ; \Delta_n est glosé « groupe diédral… \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} () opérant sur k^{2} de façon évidente ». où \begin{cases} \sigma_2(x,y) = xy \\ S_n(x,y) = x^{n} + y^{n} \end{cases} NB Les calculs marchent pour tout n \in \mathbf{N}^{*} (pas besoin que n \geq 3) et sur tout anneau de base — le meilleur des trucs étant \mathbf{Z} ! Si n est infini, il faut revenir au cas d'un \zeta

donné, solution d'une équation structurelle d'ordre infini sur chaque fibre, on trouve comme anneau d'invariants k[\sigma_2] …

Corollaire Les fonctions polynômiales de degré \leq 2 invariantes par D_\zeta = \operatorname{Aut}(\Pi_{\zeta,n}) sont les fonctions axy + b \qquad (a, b \in k) Donc à scalaire près une unique forme q(x,y) = \sigma_2(x,y) = xy quadratique invariante, à savoir par normalisation \sigma_2(s) = 1 si s \in S. Une unique conique « affine » circonscrite, i.e. contenant les sommets, à savoir celle d'équation xy - 1 = 0 (en oblique, à gauche) Kif ! Ne marche pas que si n \geq 5, avec l'interprétation conique . Ici on a une conique circonscrite canonique — d'équation invariante par G

Pour un polygone régulier quelconque (sur un corps k alg. clos de car. p premier à n) à scalaire près non épinglé — il y a donc une unique forme quadratique invariante q_0, normalisée par q_0(s) = 1 (s \in S)

et une unique ~~quadrique~~ conique circonscrite à \Pi i.e. à S, savoir la conique C \quad\text{d'équation}\quad q_0(x) - 1 = 0 Notons que q_0, considérée comme forme quadratique sur l'espace des translations de E, fait de E un « plan euclidien » — la forme est en effet non dégénérée. Le carré de la longueur des côtés du polygone \Pi est donné par \begin{aligned} q_0(s_1 - s_0) &= q_0(\zeta - 1, \zeta^{-1} - 1) = (\zeta-1)(\zeta^{-1}-1) \\ &= 2 - \alpha \end{aligned} i.e. q_0(a) = 2 - \alpha ici a désigne un côté (arête) de \Pi. On notera que c'est toujours \neq 0 i.e. \alpha \neq 2, puisque \zeta \neq 1. [On pourrait donc normaliser q différemment, en normalisant par q_0(a) = 1. Dans le cas général, c'est cette normalisation-là qui sera la meilleure, comme nous verrons …]

~~Commentaires « philosophiques » On a trouvé, pour le groupe D_n fixé, et des corps~~ Ces deux lignes sont barrées de traits obliques, ainsi que le haut de la page suivante jusqu'à « près. ».

des variétés k alg. clos (pour simplifier) de car. première à n, munis d'un \alpha \in k tel que les solutions de \zeta^{2} - \alpha\zeta + 1 = 0 sont des racines primitives n-ièmes de 1 (ce qui peut s'exprimer par la condition F_n(\zeta) = 0 …) une famille de D_n de représentations affines de dim 2 des isomorphismes ~~représentations polygones réguliers~~ — ou encore celle associée … des couples formés d'un polygone régulier d'isomorphisme, et d'un épinglage de celui-ci — ou encore des homomorphismes D_n \to \operatorname{Aff}(\mathbf{3}k) définis à automorphisme intérieur près. « \operatorname{Aff}(\mathbf{3}k) » : lecture incertaine du dernier symbole, peut-être \operatorname{Aff}(E_k) ou \operatorname{Aff}_2 k.

Remarque Si on s'était borné à exiger, pour un polyèdre affine ~~affine~~ régulier, que le groupe de ses automorphismes affines soit transitif sur l'ens. des sommets (sans exiger rien sur les autres ensembles), on aurait trouvé beaucoup plus de choses. Par exemple, prenant le groupe G^{+} des rotations combinatoires, provenant d'un groupe de transformations affines, on aurait eu à choisir des u tels que u^{n} = 1 (sans se donner de \sigma tel que \sigma u \sigma^{-1} = u^{-1}) — ce qui revient à se donner deux v.p. \zeta, \zeta' racines pr n-ièmes de 1, d'ordre d, d', avec

n = \operatorname{ppcm}(d, d') (qui exprime que u est d'ordre n exactement) — S se définissant comme l'orbite d'un s_0 \in E \setminus (D_\zeta \cup D_{\zeta'}), ~~et A~~ … l'ens. des s_i = u^{i} s_0 et (i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}), et A est formé des droites a_i = \operatorname{dr}\{s_i, s_{i+1}\} (il faut encore vérifier, en exigeant que a_i ne soit incident qu'à s_0 et s_1, cette condition est laissée en exercice …)

Par contre, si on exige de plus qu'il existe une métrique \delta non dégénérée invariante par les ~~\delta~~ \in G^{+}, et en insistant pour que les automorphismes soient notés des rotations (comme me l'avait suggéré Olivier Leborgne), on sauve la mise. En effet, les rotations sont unimodulaires, donc on trouve pour les valeurs propres de u une \{\zeta, \zeta^{-1}\}, et on retrouve les cas précédents … Je ne sais pas si on simplifie encore en exigeant simplement que les \in G^{+} respectent la métrique, sans plus … « Olivier Leborgne » : lecture incertaine du nom propre.

Fonctions polynômiales rel. invariantes sous G^{+}, sous G.

Les x^{i}y^{j} forment une base de \operatorname{Sym}^{*}(\check{E}), formée de vecteurs propres pour u, de valeurs propres \zeta^{i-j}. Les val. des valeurs propres de G^{+} \simeq \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} dans les valeurs propres de G^{+} opérant sur \operatorname{Sym}^{*}(\check{E}) \simeq Fonctions polyn. (E) sont donc les \zeta^{d} (d \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}), ~~et les~~ fonctions correspondant à cette valeur propre sont les combinaisons linéaires des ~~x^{j+d}y^{j} = (xy)^{j}x^{d}~~ … i.e. x^{i}y^{j} \qquad i - j \equiv d \ (n) i.e. les x^{j+d+nk}\,y^{j} = \begin{cases} (xy)^{j}\, x^{d+nk} & \text{si } d + nk \geq 0 \\ (xy)^{\uncertain{j'}}\, y^{-d+nk'} & \text{si } \uncertain{-d+nk' \geq 0} \end{cases} La fin des deux conditions mord sur le bord de la feuille ; la seconde ligne de l'accolade est en partie surchargée.

~~Cas d=0~~ En degré 0 on obtient donc le … \operatorname{Sym}^{*}(\check{E})^{G^{+}} \simeq k[xy, x^{n}, y^{n}] \qquad (U_n V_n - W_n^{n} = 0) Au-dessus des générateurs, renvois W = W_n = xy, U = U_n = x^{n}, V = V_n = y^{n}. La relation entre parenthèses mord sur le bord ; on lit U_nV_n - W_n^{n} = . ~~() par x^{d} et y^{-d+nk},~~ c'est engendré, si 0 < d < n, par x^{d} = X_d \quad\text{et}\quad y^{n-d} = Y_d, avec les conditions V X_d - (W)^{d} Y_d = 0 \quad \ldots Pour les fonctions polynômiales de degré \leq 2,

ayant comme base 1,\ x,\ y,\ x^{2},\ xy,\ y^{2} les valeurs propres de u correspondantes sont resp. 1,\ \zeta,\ \zeta^{-1},\ \zeta^{2},\ 1,\ \zeta^{-2} donc les valeurs propres qui y figurent sont ~~respectivement~~ parmi les 5 valeurs \zeta^{-2},\ \zeta^{-1},\ \zeta^{0} = 1,\ \zeta^{1} = \zeta,\ \zeta^{2}. Celles-ci sont toutes distinctes si n \geq 5, dans ce cas les ~~fonctions~~ p. homogènes semi-invariantes sous G^{+} de degré \leq 2 sont exactement les fonctions \begin{aligned} &a + bxy && \text{valeur propre } \zeta^{0} = 1 \\ &ax \ (\text{\uncertain{resp.}}\ ay) && \text{valeur propre } \zeta\ (\text{resp.\ } \zeta^{-1}) \\ &ax^{2}\ (\text{resp.\ } ay^{2}) && \text{valeur propre } \zeta^{2}\ (\text{resp.\ } \zeta^{-2}) \end{aligned} Si on veut de plus la quasi-invariance sous \sigma i.e. sous G, G \simeq D_n tout entier, notant que \sigma(ax) = ay, \sigma(ay) = ax, \sigma(ax^{2}) = ay^{2}, \sigma(ay^{2}) = ax^{2}, on trouve que les seules fonctions p. homogènes de degré \leq 2 quasi-invariantes sous G sont les a + bxy (qui sont invariantes)

Donc les seules coniques invariantes sous G sont les coniques d'équation a + bxy, donc si on veut les coniques circonscrites à \Pi il faut a + b = 0 i.e. b = -a, on trouve la ~~seule~~ conique invariante circonscrite, d'équation xy - 1 = 0 … « a + b = 0 » : la condition écrite est sans doute à lire a + b = 0 avec la normalisation xy(s) = 1 des sommets.

En fait, le choix des « coordonnées épinglées universelles » montre que c'est la seule conique circonscrite (celles en dimension autres triangles invariantes …)

Cas n = 3 i.e. \zeta^{2} = \zeta^{-1}, \zeta^{-2} = \zeta, donc les fonctions p.l. quasi-inv. sous G^{+} i.e. sous u de degré \leq 2 sont les \begin{cases} a + bxy & \text{v.p.\ } 1 \\ ax + by^{2} & \text{v.p.\ } \zeta \\ ay + bx^{2} & \text{v.p.\ } \zeta^{-1} \end{cases} les deux dernières lignes portent un trait de répétition pour « v.p. » ; dans la troisième, ay^{2} est corrigé en ay. mais parmi celles-ci, les quasi-inv. sous G sont encore les a + bxy.

Cas n = 4 i.e. \zeta^{2} = \zeta^{-2}, les fonctions p.l. de degré \leq 2 quasi-inv. sous G^{+} i.e. sous u sont \begin{cases} a + bxy & \text{v.p.\ } 1 \\ ax \ (\text{\uncertain{resp.}}\ ay) & \text{v.p.\ } \zeta\ (\zeta^{-1}) \\ ax^{2} + by^{2} & \text{v.p.\ } \zeta^{2} = \zeta^{-2} \end{cases} Parmi celles-ci, les fonctions quasi-inv. sous G sont celles qui sont les a + bxy et distinctes ~~telles qu'il y a deux~~ qui forment la famille : ax^{2} + by^{2}, … une par famille de coniques inv. sous G. Dans chacune, il y a ~~exactement~~ une conique circonscrite à S, savoir l'habituelle xy - 1 = 0, et de plus … x^{2} - y^{2} = 0

Réalisation géométrique des polyèdres ~~affines~~ combinatoires en coordonnées affines universelles.

1. Programme de travail.

1. Soit \Pi polyèdre combinatoire donné; on se propose d'étudier ses réalisations géométriques régulières dans des ~~espaces~~ plans affines variables E. Notons que si deux telles réalisations sont \Pi-isom., il y a un \Pi-isom. unique entre elles, par définition. Donc dans les classes d'isomorphie (fixant les idées), il y a un certain nombre de (E_\alpha, \varphi_{\alpha s}, \varphi_{\alpha a}) représentants, définis à isom. unique près. En particulier, le plan affine E_\alpha de cette réalisation géométrique est défini à isom. unique près.

On indexera \alpha à l'aide d'invariants numériques (essentiellement \alpha — ensemble « numérique » de scalaires, comme \zeta + \zeta^{-1} défini universellement précédemment) et pour bien faire il faudra fournir (à isom. unique près) explicites E_\alpha, \varphi_{\alpha s}, \varphi_{\alpha a} à l'aide de \Pi et de cet invariant numérique.

On ne peut commencer se donner un repère r \in \operatorname{Rep}(\Pi) pour épingler \Pi, de sorte que \Pi devient

canonit. isom. à un polygone combinatoire-type \Pi_n (3 \leq n \leq +\infty). D'ailleurs tous ces \Pi_n sont canoniquement quotients du même \Pi_\infty (si n | m, \Pi_n est quotient de \Pi_m), par cet l'image du rep. de \Pi_n l'image du repère r_\infty de \Pi_\infty, donc la cat. (discrète) des repr. affines régulières de \Pi_n en plans (comme sous-catégorie pleine) de celle des repr. régulières de \Pi_\infty. Dans les plans pratiques nous nous en ferons l'étude en trois étapes :

a) Étudier les réal. géom. rég. de \Pi_\infty sur un corps (plus gén. un anneau … ()) quelconque. On verra entre autres qu'elles sont caractérisées, à isom. près, par un invariant numérique \alpha \in k, qui peut être choisi arbitrairement.

b) Expliciter les conditions sur \alpha pour que la réal. géom. corresp. qui de \Pi_\infty se factorise par \Pi_n, et plus

précisément pour que la ~~factorisation~~ réalisation géom. obtenue de \Pi_n (3 \leq n \leq \infty) soit fidèle. De cette façon, on trouvera une partition ou classification des ~~formes~~ n-polygones réguliers sur k, indépendamment de la donnée d'un \Pi-épinglage, par un invariant \alpha \in k satisfaisant certaines conditions.

c) Déduire de ceci les propriétés essentielles ~~des~~ (en particulier la classification) des n-polygones réguliers, quel que soit n, et indépendamment de tout épinglage par un repère. (Cette étape est essentiellement triviale …)

2. Reformulation du pb des réalisations géom. régulières de \Pi_\infty dans des plans affines E (sur un corps k, pour simplifier …)

Titre marqué d'un trait vertical en marge gauche.

Rotations (G = \operatorname{Aut}(\Pi_\infty) \simeq D_\infty = G_{0,1} = \{\sigma_0, \sigma_1 \mid \sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = 1\})

a) Représentation (1) \qquad \varphi_G : D_\infty \longrightarrow \operatorname{Aff}(E)

i.e. (2) \qquad \boxed{\sigma_0, \sigma_1 \in \operatorname{Aff}(E) \qquad \sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = \mathrm{id}_E} (b) (3) \qquad \boxed{r = (s_0, a_0) \in E \times \operatorname{Dr}(E), \quad (s_0, a_0) \text{ incidents}} NB Ces deux données définissent \varphi_S, \varphi_A par (4) \qquad \begin{cases} \varphi_S(\underline{s}_n) = s_n = u^{n} s_0 \\ \varphi_A(\underline{a}_n) = a_n = u^{n} a_0 \end{cases} avec (5) \qquad u = \sigma_0 \sigma_1 ~~Mais on~~ On trouve de même, pour \underline{r} \in \operatorname{Rep}(\Pi_\infty) \begin{aligned} &\underline{r} = \underline{g}\,\underline{r}_\infty \qquad (\underline{g} \in \operatorname{Aut}(\Pi_\infty) = D_\infty) \\ (5) \qquad &\varphi_{\mathrm{rep}}(\underline{r}) = \varphi_{\mathrm{rep}}(\underline{g}\,\underline{r}_\infty) = g\,\varphi_{\mathrm{rep}}(\underline{r}_\infty) = g.r \end{aligned} Deux formules portent le numéro (5) sur la page ; le second chiffre est peut-être un (6) mal formé, la suivante étant aussi numérotée (6). i.e. (6) \qquad \varphi(\underline{g}\,\underline{r}_\infty) = g.r \quad\text{si}\quad g = \varphi_G\,\underline{g} et les formules (4), peuvent être considérées comme déduites de (6) par passage au quotient via diagramme redessiné : \operatorname{Rep}(\Pi_\infty) en haut, deux flèches descendantes vers S(\Pi_\infty) et A(\Pi_\infty), étiquetées \underline{\sigma}_1 et \underline{\sigma}_0 comme sur la page.

\begin{tikzcd} & \operatorname{Rep}(\Pi_\infty) \arrow[dl, "\underline{\sigma}_1"'] \arrow[dr, "\underline{\sigma}_0"] & \\ S(\Pi_\infty) & & A(\Pi_\infty) \end{tikzcd}

i.e. on doit avoir \varphi_S, \varphi_A définis par

commutatifs dans

\begin{tikzcd} \operatorname{Rep}(\Pi_\infty) \arrow[r, "\varphi_{\mathrm{rep}}"] \arrow[d, "\mathrm{pr}_1"] \arrow[dd, bend right=50, "\mathrm{pr}_2"'] & \operatorname{Drap.aff}(E) \arrow[d, "\mathrm{pr}_1"] \arrow[dd, bend left=50, "\mathrm{pr}_2"] \\ S(\Pi_\infty) \arrow[r, "\varphi_S"] & E \\ A(\Pi_\infty) \arrow[r, "\varphi_A"] & \operatorname{Dr}(E) \end{tikzcd}

Diagramme (7) redessiné ; sur la page la flèche \mathrm{pr}_2 de droite part de \operatorname{Drap.aff}(E) en croisant la flèche \varphi_S. « \operatorname{Drap.aff}(E) » : lecture probable, les drapeaux affines (point, droite incidente) de E.

La condition [pour \varphi_G (cf (1), (2)) et le G-hom. \varphi_{\mathrm{rep}} : \operatorname{Rep}(\Pi_\infty) \to \operatorname{Drap.aff}(E) donnés, cette dernière donnée correspondant à la donnée (des \varphi_S et \varphi_A) de (4)] pour que \mathrm{pr}_i \circ \varphi_{\mathrm{rep}} passe au quotient — ou encore pour que \varphi_S et \varphi_A soient compatibles avec les relations d'incidence, c'est que l'on ait \sigma_1\, \mathrm{pr}_1(r) = \mathrm{pr}_1(r), \quad \sigma_0\, \mathrm{pr}_2(r) = \mathrm{pr}_2(r) i.e. (8) \qquad \boxed{\sigma_1 s_0 = s_0, \quad \sigma_0 a_0 = a_0} Il reste à exprimer que les \uncertain{\ill{}} engendrent affinement E. On va introduire la suite de l'argument passe à la page suivante.

s_0, \quad s_1 = \sigma_0 s_0\ \bigl(= u s_0 = \sigma_0 \underbrace{\sigma_1 s_0}_{s_0}\bigr), \quad s_{-1} = \sigma_1 s_1\ (= s_{-1} = \sigma_1 \sigma_0 s_0) le dernier terme est écrit d'abord \underline{s}_1', surchargé en s_{-1} ; la parenthèse finale mord sur le bord de la feuille. On a la

Lemme Étant donnés (2) (3) satisfaisant (8), les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) Les données correspondent à une réalisation géom. de \Pi_\infty, i.e. les s_n = u^{n} s_0 = (\sigma_0\sigma_1)^{n} s_0 sont affinement indépendants

(b) s_0, s_1 et s_{-1} sont affinement indépendants.

Les trois conditions sont réunies par un trait vertical en marge. En (a), « affinement indépendants » pour une suite infinie de points d'un plan ne peut s'entendre au sens littéral ; on transcrit tel quel.

En effet, b) \Rightarrow (a) \Rightarrow (c) sont triviaux, prouvons c) \Rightarrow a). On suppose c), il faut prouver

1°) s_1 \neq s_0 sinon s_0 serait fixé par \sigma_1 et \sigma_0, donc par G, donc par les u^{n}, donc \varphi_S serait constante.

2°) s_{-1} \notin \operatorname{dr}(s_0, s_1). En effet, ~~Comme, \sigma_0~~ (9) \qquad a_0 = \operatorname{dr}(s_0, s_1) Car s_0 \in a_0, et comme \sigma_0 a_0 = a_0 par (8), on a aussi \sigma_0 s_0 = s_1 \in a_0. ~~Comme~~ Or … \sigma_0 a_0 = \operatorname{dr}(\sigma_0 s_0 = s_1,\ \sigma_1 s_1 = s_{-1}) et si on avait s_{-1} \in a_1, on aurait \sigma_1 a_0 = a_0 L'indice de ce dernier \sigma mord sur le bord de la feuille et se lit mal ; \sigma_1 est demandé par la suite. La formule \sigma_0 a_0 = \operatorname{dr}(\ldots) est écrite telle quelle ; on attendrait \sigma_1 a_0. L'argument continue au-delà du lot.

donc a_0 serait fixée par \sigma_0 et \sigma_1, donc par G, donc par les u^{n}, donc \varphi_A serait constante, cqfd. En même temps, on a retrouvé (pour mémoire) (9), qui montre que les données (2) (3) satisfaisant (8) + condition (b) équivalent à : (2), + donnée (seulement s_0) satisfaisant que s_0, s_1 et s_{-1} …

Proposition Les réalisations géom. régulières de \Pi_\infty dans E correspondent 1-1 aux triples (\sigma_0, \sigma_1, s_0), où (10) \qquad \begin{cases} \sigma_0, \sigma_1 \in \operatorname{Aff}(E) \\ s_0 \in E \end{cases} satisfaisant les conditions

a) \sigma_0^{2} = \sigma_1^{2} = \mathrm{id}

b) \sigma_1 s_0 = s_0 i.e. s_0 \in E^{\sigma_1}

c) s_0, \sigma_0 s_0 = s_1, et s_{-1} \overset{\mathrm{def}}{=} \sigma_1 s_1 forment une base affine de E.

La repr. \varphi_G : G = \operatorname{Aut}(\Pi_\infty) \simeq G_{0,1} associée est définie par (11) \qquad \varphi_G(\underline{\sigma}_0) = \sigma_0, \quad \varphi_G(\underline{\sigma}_1) = \sigma_1 et \varphi_S et \varphi_A sont données par \left. \begin{aligned} (12) \qquad & \varphi_S(\underline{s}_n) \overset{\mathrm{def}}{=} s_n = u^{n} s_0 \\ (13) \qquad & \varphi_A(\underline{a}_n) = \operatorname{dr}(s_n, s_{n+1}) = u^{n} \operatorname{dr}(s_0, s_1) \end{aligned} \right| \; n \in \mathbf{Z} où (14) \qquad u = \sigma_0 \sigma_1 La page s'arrête ici ; l'exposé (« 2. Reformulation… ») se poursuit au-delà du lot.