Cote n° 77, pages 61–80

Cote n° 77 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

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61la page reprend au milieu d'un argument commencé avant ce lot : les données $(L, \vartheta, b_0)$, les épaississements $S_0 \subset S_1 \subset S$, la section $\gamma(b_0)$ et les conditions a), b) sont introduites dans les pages qui précèdent.

D'après b), ces conditions sont équivalentes dans le cas affine. Donc elles sont équivalentes dans le cas général.

NB Pour pouvoir conclure de ces conditions ⌜Supposons que $(L, \vartheta, b_0)$ satisfait à l'une ou l'autre⌝ i.e. que la condition […] l'on ait […] existe $b_1 \in$ \[\vartheta_1 = \gamma(b_0)\] quand peut-on conclure qu'il existe $b_1 \in \Gamma(S_1, L_1)$ avec $b_1$ relevant $b_0$, $b_1^2 = \vartheta_1$ ? Or les $b_1$ en Bien entendu, les $b_1$ en question sont exactement les $b_1$ qui relèvent $b_0$ (puisque : $\vartheta_1 = \gamma(b_0)$)), et l'obstruction est dans $H^1(S_0, L_0)$. Prouvons donc

Corollaire 1 Pour que $(L, \vartheta, b_0)$ soit dans l'image essentielle, il […] suffit, et il faut lorsque $H^1(S_0, L_0) = 0$ […] (p. ex. $S_0$ affine, en particulier si $S$ affine) qu'il existe $b_1 \in \Gamma(S_1, L_1)$ tel que \[b_1^2 = \vartheta_1 .\]

Corollaire 2 Supposons $S_0$ réduit. Alors le foncteur $\Omega \longmapsto (L, \vartheta)$ est pleinement fidèle, et son image essentielle est formée des couples $(L, \vartheta)$ satisfaisant les deux conditions

de « a) » jusqu'au haut de la page 62 (« … par 2 dans $L_1$ ») le passage est biffé de traits obliques ; il est repris au propre plus bas, p. 62–63.

a) $\vartheta_0 = \vartheta|S_0$ est de la forme $b_0^2$ ($b_0 \in \Gamma(S_0, L_0)$) (NB alors $b_0$ est uniquement déterminé, dans ce cas, localement sur $S_0$)

b) $\gamma(b_0) = \vartheta_1$ ou encore […] i.e. encore la section $\alpha(b_0, \vartheta_1) \in \Gamma(S_0, L_0)$

62$\alpha(\vartheta_1) \in \Gamma(S_0, L_0)$ définie par la condition \[\text{\struck{$\beta(\alpha(\vartheta_1)) = \gamma(b_0) - \vartheta_1$}}\] où \[\text{\struck{$\beta : L_0 \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ker}(L_1 \to L_0)$}}\] est l'isom. canonique induit par la multiplication par 2 dans $L_1$)

[…] que $\vartheta_1 = \vartheta|S_1$ ($\in \Gamma(S_1, L_1^{\otimes 2})$) soit le carré d'une section de $L_1$. (ce qui suffit, et il faut si $H^1(S_0, L_0) = 0$,) cette condition équivaut ⌜à ce⌝ qu'il existe $b_1 \in \Gamma(S_1, L_1)$ tel que \[b_1^2 = \vartheta_1 .\] En particulier, il suffit, et il faut si $H^1(S, L) \to H^1(S_0, L_0)$ est injectif, qu'il existe $b \in \Gamma(S, L)$ et $c \in \Gamma(S, L^{\otimes 2})$ tels que l'on ait \[b^2 - 4c = \vartheta .\] le $L$ de $\Gamma(S, L)$ et de $\Gamma(S, L^{\otimes 2})$ est souligné sur la page.

En effet, la première assertion résulte du fait que si $S_0$ est réduit, la section $\vartheta_0 = \vartheta|S_0$ admet au plus une racine. Le reste suit de façon évidente.

NB La condition que $\vartheta_1 = b_1^2$ localement se décompose en deux :

a) $\vartheta_0 = b_0^2$ (où $b_0 \in \Gamma(S_0, L_0)$ est uniquement déterminé) i.e. […] la classe $\partial(b_0) \in H^1(S_0, \mu_2)$ est nulle !

b) $\vartheta_1 = \gamma(b_0)$, ce qui peut aussi s'écrire sous la forme \[\alpha(\vartheta_1) = 0\] où \[\alpha(\vartheta_1) \in \Gamma(S_0, L_0)\] est défini par la condition \[\beta(\alpha(\vartheta_1)) = \gamma(b_0) - \vartheta_1\] où \[\beta : L_0 \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Ker}(L_1 \to L_0)\]

63est l'isom. can. induit par la multiplication par 2 dans $L_1$.

Corollaire 3 Supposons $S_0$ réduit et normal. Pour que $(L, \vartheta)$ provienne d'un rev. quadratique de $S$, il f. et s. qu'il en soit ainsi aux points […] maximaux de $S_0$.

Discriminant des formes quadratiques

titre pris sur la page 64, feuillet de couverture portant de sa main « discriminant des formes quadratiques » ; la mention « (16p) » au crayon n'est peut-être pas de lui.

65Discriminant de formes quadratiques.

Soit $I$ ens. d'indices fini, $A_I = \mathbf{Z}[I \times I]$ l'anneau […] des matrices ⌜universelles⌝ carrées de type $I$, $AQ_I = \mathbf{Z}[\mathrm{Sym}^2(I)]$ ⌜celui des⌝ […] matrices carrées symétriques universelles, […] dont les générateurs sur $\mathbf{Z}$ sont $A\mathbf{Z}^{I \times I} \to \mathbf{Z}$ de la forme $Y_J$, $J$ parcourant l'ens. des parties de $I$ de cardinal 1 ou 2. Coord. de $A_I$ $AQ_I \to AQ_J$ les $X_{ij}$ ($(i,j) \in I \times I$) […]. Considérons \[A_I \xrightarrow{\ \varphi\ } AQ_I\] défini par \[\varphi(X_{ij}) = \begin{cases} Y_{\{i,j\}} & \text{si } i \neq j \\ 2Y_{\{i,j\}} = 2X_{\{i\}} & \text{si } i = j \end{cases}\] les générateurs de $AQ_I$ sont écrits avec une lettre surchargée, $X$ et $Y$ l'un sur l'autre, ici et p. 66 ; on lit $Y$, notation qu'il garde p. 67 et suivantes. Le « $2X_{\{i\}}$ » final est tel quel sur la page.

qui correspond : à l'homom. de foncteurs \[MS_I(k) \longrightarrow M_I(k)\] associant : à une forme quadratique de coeff. les $a_{\{i,j\}}$, la matrice de celle-ci. Soit \[\Delta_0 \in A_I\] le déterminant de la $I$-matrice universelle, $\Delta = \varphi(\Delta_0)$ son image, qui est le discriminant de la forme quadratique universelle indexée par $I$.

On a \[\Delta_0 = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_I} \varepsilon_\sigma \underbrace{\prod_{i \in I} X_{i, \sigma i}}_{X_\sigma}\] Considérons la décomposition de $I$ en cycles suivant $\sigma$, le produit s'écrit […] en mettant à part

66les cycles de longueur 1 et ceux de longueur 2 \[X_\sigma = \prod_{i \in I_1(\sigma)} X_{ii} \prod_{i \in I_2(\sigma)} X_{\{i, \sigma i\}} \prod_{i \in I_*(\sigma)} X_{\{i, \sigma i\}}\] \[\varepsilon_\sigma = (-1)^{\nu_2 + \nu_*^+}\] où

$I_1(\sigma) = I^\sigma$
$I_2(\sigma) = \bigcup$ cycles de card. 2
$I_*(\sigma) = \bigcup$ cycles de card $\geq 3$
$\nu_1 =$ nb de cycles de card 1 $= \operatorname{card} I^\sigma$ ⌜$= \operatorname{card} I_1(\sigma)$⌝
$\nu_2 =$ nb des cycles de card 2
$\nu_*^+ =$ nb des cycles de cardinal pair $\geq 2$
$\nu_* =$ nb des […] $\geq 2$

dans les deux dernières lignes le chiffre de la borne est repassé à l'encre forte et se lit 2 ; vu la définition de $I_*(\sigma)$, on attendrait 3.

On trouve donc \[\Delta = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_I} (-1)^{\nu_2 + \nu_*^+} 2^{\nu_1} \underbrace{\prod_{i \in I_1(\sigma)} Y_{\{i\}} \Bigl(\prod_{H \in \dot I_2(\sigma)} Y_H\Bigr)^2 \prod_{H \in \dot I_*(\sigma)} Y_{H,\sigma}}_{Y_\sigma}\] où \[Y_{H,\sigma} = \prod_{a \in A(H,\sigma)} X_a ,\] $A(H, \sigma)$ étant l'ens. des arêtes du polygone combinatoire (orienté) dont l'ens. des sommets est $H$, avec la structure polyg. orientée définie par $\sigma|H$ ($\dot I_2(\sigma) = I_2(\sigma)/\sigma$, $\dot I_*(\sigma) = I_*(\sigma)/\sigma$).

Les monômes ⌜On⌝ voit donc que ⌜la donnée de $\sigma$ équivaut à celle d'⌝ $\sigma$ définit une décomposition de $I$ en \[I_1(\sigma) \sqcup I_2(\sigma) \sqcup I_3(\sigma),\] où $I_2(\sigma)$ est munie d'une involution sans pt fixe $\sigma_2$ (i.e. d'une relation d'équivalence : classes de cardinal 2) et et $I_3(\sigma)$ d'une structure de

67contour orienté, et \[Y_\sigma = \prod_{i \in I_1(\sigma)} Y_i \Bigl(\prod_{a \in I_2(\sigma)/\sigma_2} Y_a\Bigr)^2 \prod_{a \in A(I_3(\sigma))} Y_a \;=\; Y_{\gamma(\sigma)}\] sous $A(I_3(\sigma))$ : « arêtes ».

Quant aux monômes ⌜$Y_\sigma$⌝, ils correspondent 1–1 aux structures de graphes ⌜$\gamma$⌝ stricts sur $I$ correspondant à $\sigma$, i.e. dont les composantes connexes sont soit des points isolés, soit des simplexes doublets $\bullet\!\!-\!\!\bullet$, soit des polygones combinatoires d'ordre $d$ $\geq 3$. Pour que ⌜dans⌝ $Y_\sigma = Y_{\sigma'}$, il f. et s. que $\sigma$ et $\sigma'$ définissent les mêmes $I_1$ et $I_2$, […] et que la structure polyg. de contour sur $I_3 = I \setminus I_1 \setminus I_2$, dont proviennent la partition ⌜les contours⌝ partition en […] de $I_3$ en […] […], sur chacune desquelles $\sigma$ et $\sigma'$ sont ou bien égales, ou bien inverses. Donc chaque $Y_\gamma$ intervient exactement $2^{\nu_*}$ fois. Donc \[\Delta = \sum_{\gamma \in \Gamma_I} (-1)^{\nu_2 + \nu_*^+(\gamma)} 2^{\nu_1 + \nu_*(\gamma)} \underbrace{\prod_{i \in I_1(\gamma)} Y_i \Bigl(\prod_{a \in A(I_2(\gamma))} Y_a\Bigr)^2 \prod_{a \in A(I_3(\gamma))} Y_a}_{M_\gamma}\] sous $\gamma \in \Gamma_I$ : « ens. des structures de graphes sur $I$ du type envisagé ».

68\[\Delta \bmod 2 = \sum_{\gamma \in \Gamma_0} \Bigl(\prod_{a \in A(\gamma_0)} Y_a\Bigr)^2\] devant la parenthèse, un symbole biffé. Sous $\gamma \in \Gamma_0$ : « structures de graphes sans sommets isolés – i.e. correspondant aux invol. ss pt fixe de $I$ – i.e. telles que $\nu_1(\gamma) = \nu_*(\gamma) = 0$ ».

On voit donc que $\Delta \bmod 2 = 0$ si $\operatorname{card} I$ est impair. Soit $B = \sum$ […] Supposons pour la suite \[\operatorname{card} I = m = 2n\] Notons et posons \[B = B_I = \sum_{\gamma \in \Gamma_0} \Bigl(\prod_{a \in A(I, \gamma_2)} Y_a\Bigr) .\] entre $\sum$ et la parenthèse, une rature noircie.

(On a aussi $n = \nu_2(\gamma) = \ldots$ $\nu_2(\gamma) = n$, $\nu_*^+(\gamma) = 0$, donc $(-1)^n$ est le coeff avec lequel $\prod Y_a$ figure dans $\Delta$ […]) […] Soit $\varepsilon = \pm 1$, question aussi de déterminer $\varepsilon$ de façon que \[B^2 - \varepsilon \Delta \equiv 0 \quad (4)\] i.e. tel que l'on puisse trouver $C \in AQ_I$ avec \[B^2 - 4C = \varepsilon \Delta .\] On voit ⌜prévoit⌝ que $\varepsilon = (-1)^n$. \[B^2 = \sum_{\gamma \in \Gamma_0} \Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr)^2 + 2 \sum_{\substack{\gamma, \gamma' \in \Gamma_0 \\ \gamma \neq \gamma'}} \Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr)\Bigl(\prod_{a' \in A(\gamma')} Y_{a'}\Bigr)\] le coefficient du second terme est surchargé (4 et 2 l'un sur l'autre) ; un symbole biffé précède la première parenthèse.

Donc […]

69le haut de la page, jusqu'à « $2^{\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma)} \equiv 0$ (4) », est biffé d'un long trait horizontal et de traits obliques.

$(-1)^n \Delta \equiv B + \sum$, la somme sur $\gamma \in \Gamma_1 =$ ens. des $\gamma \in \Gamma$ tels que $\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) = 1$, i.e. [$\nu_1(\gamma) = 1$, $\nu_2(\gamma) = 0$ impossible car $m$ pair] ou $\nu_1(\gamma) = 0$, $\nu_2(\gamma) = 1$ i.e. pas de pt fixe, et seulement une composante connexe de card $\geq 3$

Notons que $\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) \equiv m$ (2) puisque $m - (\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma)) = \nu_2(\gamma) \equiv 0$ (2). Si $m$ pair, on trouve donc $\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) \equiv 0$ (2), donc si $\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) \neq 0$, on a $\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) \geq 2$ donc $2^{\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma)} \equiv 0$ (4). D'où […]

\[\Delta \equiv (-1)^n \sum_{\gamma \in \Gamma_0} \Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr)^2 + 2 \sum_{\gamma \in \Gamma_1} (-1)^{\nu_2(\gamma) + 1} \qquad \bmod (4)\] au-dessus, un mot biffé ; dans le premier terme, une rature noircie après $(-1)^n$ et une autre devant la parenthèse. Encadré à gauche : « $\Gamma_1$ : graphes $\gamma \in \Gamma$ tels que $\nu_1(\gamma) = 0$, $\nu_*(\gamma) = \nu_*^+(\gamma) = 1$ donc ». La seconde somme s'arrête à l'exposant.

\[B^2 - (-1)^n \Delta \equiv \sum_{\substack{\gamma, \gamma' \in \Gamma_0 \\ \gamma \neq \gamma'}} \underbrace{\Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr) \Bigl(\prod_{a' \in A(\gamma')} Y_{a'}\Bigr)}_{M_{\gamma, \gamma'}} \quad \bmod 4\]

Considérons un couple $\gamma, \gamma'$ fixé, […] […], 2 invol. […] sans pts fixes $\sigma, \sigma'$, distinctes. Ainsi, Examinons la structure du monôme $M_{\gamma, \gamma'}$ : si nous posons \[I_{\sigma, \sigma'} = \{ i \in I \mid \sigma i = \sigma' i \}, \quad I = I_{\sigma, \sigma'} \sqcup J_{\sigma, \sigma'} ,\] avec $J_{\sigma, \sigma'} \neq \varnothing$. Dans

71$J_{\sigma, \sigma'}$, […] les $a \in A(\gamma)$ et les $a' \in A(\gamma')$ sont distincts. […] Le produit des $Y_a$, $Y_{a'}$ correspondants est aussi le monôme correspondant à une structure polyg. […] ⌜de contour⌝ sur $\mathrm{II}(\sigma, \sigma')$ (dont les arêtes sont les ens. de 2 éléments $\{i, \sigma i\}$ et $\{i, \sigma' i\}$), dont les composantes sont d'ordre pair $\geq 4$. le symbole noté ici $\mathrm{II}$ est une capitale à double hampe ; c'est sans doute le $J_{\sigma,\sigma'}$ de la page 69.

Le couple $(\sigma, \sigma')$ est déterminé, à symétrie ⌜$(\sigma, \sigma') \mapsto (\sigma', \sigma)$⌝ près, […] dès que […] composantes conn. de $\mathrm{II}(\sigma, \sigma')$, puis par la structure de graphe correspondante ⌜ainsi⌝ […] – et on trouve toutes les structures de graphe $\gamma \in \Gamma$ pour lesquelles […] $\nu_1(\gamma) = 0$, et les cycles $\nu_*^+(\gamma) = \nu_*(\gamma)$. Un même monôme intervient $2^{\nu_*(\gamma)} = 2^{\nu_*^+(\gamma)}$ fois.

Donc on trouve \[B^2 - (-1)^n \Delta \equiv \sum_{\substack{\gamma \in \Gamma \\ \nu_1(\gamma) = 0 \\ \nu_*(\gamma) = \nu_*^+(\gamma) > 0}} 2^{\nu_*(\gamma)} M_\gamma \quad \bmod 4\] \[+ \, 2 \sum_{\gamma \in \Gamma_1} (-1)^{n + \nu_2(\gamma)} M_\gamma\] \[\equiv 2 \sum_{\gamma \in \Gamma_1} M_\gamma \quad \not\equiv 0 \quad (4)\,!\] \[+ \, 2 \sum (-1)^{\varepsilon(\gamma)} M_\gamma\] \[= 2 \sum M_\gamma \bigl(\underbrace{1 + (-1)^{\varepsilon(\gamma)}}_{0 \text{ ou } 2}\bigr) \equiv 0 \quad (4)\] la ligne « $\equiv 2 \sum M_\gamma \not\equiv 0$ (4) ! » est d'une encre brune ; sous son $\sum$, une condition raturée se termine par « $= 1$ ». Les deux lignes suivantes, d'une autre encre, la corrigent.

73nouveau départ, sans titre.

$A$ anneau

$\Delta \in A$

$A_0 = A / 2A$

On veut écrire

(1) \[\Delta = b^2 - 4c \qquad b, c \in A\] ce qui implique \[\Delta_0 \in A_0^2 \qquad (\Delta_0 = (\Delta \bmod 2))\] soit \[\Delta_0 = b_0^2 \qquad b_0 \in A_0\] où $b_0$ est uniquement déterminé si $A_0$ réduit (a), par la condition $b \equiv b_0$ (2), donc si […] $b$ déterminé mod 2, donc si $b' = b + 2x$, […]. $b'$ satisfait à la même condition i.e. \[b'^2 = b^2 + 4(x^2 + bx) \qquad \text{i.e.} \qquad b'^2 \equiv b^2 \quad (4)\] « $A_0$ réduit » est encadré et marqué (a) en cercle ; « (4) » est souligné deux fois.

On sait donc

Lemme $\forall\, b_0 \in A_0$, il y a un unique élément $\gamma(b_0)$ de $A/4A$ tel que $\forall\, b \in A$ […] avec $b \equiv b_0$ (2), on ait $\gamma(b_0) \equiv b^2$ (4).

Pour $\Delta \in A$ donné, pour qu'il existe $b, c \in A$ tels que on ait (1), il f. et s. que

a) $\Delta_0$ ($= \Delta \bmod 2$) soit le carré d'un él. $b_0$ de $A_0$ (bien déterminé si $A_0$ réduit)

b) $\gamma(b_0) =$ $\Delta$.

Supposons qu'on puisse trouver un $u \in A^*$ […] $\nu = 2d + 1$

tel que les conditions […] soient […]

75sur cette page et les suivantes, les hypothèses marquées (a) à (f) sont encadrées sur la page. le haut de la page est très raturé : « […] tel que ⌜$v \in A$ tel que⌝ $\Delta v^2 =$ […] », suivi de plusieurs mots biffés ; puis :

⌜Ceci implique que⌝ \[\Delta_0 v_0^2 = b_0'^2\] devant $b_0'^2$, plusieurs ratures noircies.

on aura, si on suppose que $\Delta_0$ est él. régulier de $A_0$ (b), que \[\Bigl(\frac{b'_0}{v_0}\Bigr)^2 = \Delta_0 \qquad \text{relation dans } A_{0\Delta_0}\] au dénominateur, une rature noircie devant $v_0$.

Supposons que $A_0$ soit intégralement clos (c), alors on aura $b'_0 / v_0 \in A_0$, soit $b_0$, donc \[b'_0 = b_0 v_0 \qquad (b_0 \in A_0,\ b_0^2 = \Delta_0) .\] Ce qui […] […] Bien entendu, on a alors, si $b \equiv b_0$ (2), $b' = bv$ a même image : $b'_0$ (2) donc \[\gamma(b'_0) \equiv b'^2 \pmod 4 = b^2 v^2\] et il vient : écrivons \[b^2 v^2 \equiv \Delta v^2 \quad (4)\] devant $b^2v^2$ et dans l'exposant de $\Delta$, des ratures noircies ; on devine « $+1$ » dans l'exposant raturé.

Si en outre, si $\Delta_0$ $v$ ⌜mod 4⌝ est régulier dans $A/4A$ (d), […]

2 est régulier dans $A$

$v_0$ est régulier dans $A_0$

$\Delta_0$ est régulier dans $A_0$

on aura donc que \[b^2 \equiv \Delta \quad (4)\] le 2 de l'exposant est surchargé d'un trait.

donc

77NB – si $v \in A^*$, […] $v \in A$ tel que $v$ soit régulier […] et $v_0$ régulier de $A_0$

Ainsi on a prouvé

Prop. Supposons 2 régulier dans $A$, $A_0 = A/2A$ réduit et intégralement clos, $\Delta \in A$ tel que $\Delta_0 \in A_0$ soit él. régulier de $A_0$. Soit $\nu = 2d + 1$ un entier naturel impair. Pour qu'il ⌜existe⌝ $v \in A^*$ existe $b', c' \in A$, avec \[\begin{cases} b'^2 - 4c' = \Delta^{\nu} v^2 \\ v_0 \text{ est } A_0\text{-régulier} \end{cases}\] il f. et s. qu'il existe $b, c \in A$ tels que \[b^2 - 4c = \Delta .\] dans l'exposant de $\Delta$, une rature noircie devant $\nu$.

Supposons ⌜Considérons⌝ maintenant l'anneau […] ⌜l'anneau⌝

(a) \[A_{2\Delta} = (A_2)_\Delta = (A_\Delta)_2 , \quad \text{localisé de } A \text{ pour } 2\Delta\] et l'algèbre \[B_{2\Delta} = A_{2\Delta}[T] / (T^2 - \Delta)\] Alors on a ⌜les revêtements […] de groupe $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$.⌝ C'est une $A_{2\Delta}$-alg. étale […] de $\Delta$. Supp Supposons que $B_{2\Delta}$ se prolonge ⌜finie⌝ en une algèbre $B_\Delta$ finie $A_\Delta$ étale […]

[Exemple unique : $\Delta$ nombre premier, […], 2 non régulier dans $A_\Delta$ […]]. Supposons de plus

(e) $\operatorname{Pic} A_\Delta = 0$

au-dessus de l'encadré, un $\mathbf{Z}$ biffé.

alors on sait (Comme $B_\Delta$ est fini loc. libre de rang 2) que l'on peut écrire

79\[B_\Delta \simeq A_\Delta[T] / (T^2 + bT + c) \qquad b, c \in A_\Delta\] avec l'idéal discriminant de $B_\Delta$ égal à : \[\mathfrak{D}(B_\Delta / A_\Delta) = (b^2 - 4c) A_\Delta\] donc, à cause de l'hypothèse $B_\Delta$ étale sur $A_\Delta$, \[b^2 - 4c \in A_\Delta^* .\] D'autre part, prenant la restriction à $A_{2\Delta}$, on trouve \[b^2 - 4c = u^2 \Delta , \qquad u \in A_{2\Delta}^* = (A_\Delta)_2^*\]

de « Supposons que » jusqu'à « $v \in A^*$ » le passage est biffé de traits obliques.

Supposons que $(A_{2\Delta})^* = \{ 2^\mu \Delta^\nu v \mid \mu, \nu \in \mathbf{Z},\ v \in A^* \}$ ([…])

dans ce cas \[\text{\struck{$b^2 - 4c = 2^{2\mu} \Delta^{2\nu + 1} v^2$ dans $(A_{2\Delta})_2$}}\] avec $v \in A^*$

Comme $b^2 - 4c \in A_\Delta^*$, […] conclut ⌜$u^2 \in A_\Delta^*$⌝ ce qui implique ([…]) $A_\Delta$ intégralement clos dans $A_{2\Delta}$ (f)

$*$ $u \in A_\Delta^*$ $\mu = 0$, donc \[b^2 - 4c = \Delta u^2 \qquad u \in A^*\] ($*$) dans l'exposant de $\Delta$, une rature noircie.

Inversement si on a une relation […], […]

$\times$ Supposons que $v \in A_\Delta^*$ […] les hypothèses […] […] d'un […] \[\text{\struck{$b^2 - 4c = \lambda^2 \Delta \quad \lambda \in A^* \quad (\lambda = (\Delta^\nu v)^2)$}}\] l'argument se poursuit au-delà de ce lot.