D'après b), ces conditions sont équivalentes dans le cas affine. Donc elles sont équivalentes dans le cas général.
est l'isom. can. induit par la multiplication par 2 dans L_1.
Discriminant des formes quadratiques
titre pris sur la page 64, feuillet de couverture portant de sa main « discriminant des formes quadratiques » ; la mention « (16p) » au crayon n'est peut-être pas de lui.
Discriminant de formes quadratiques.
Soit I ens. d'indices fini, A_I = \mathbf{Z}[I \times I] l'anneau A\mathbf{Z}^{I \times I} \to \mathbf{Z} de la forme Y_J, J parcourant l'ens. des parties de I de cardinal 1 ou 2. Coord. de A_I AQ_I \to AQ_J les X_{ij} ((i,j) \in I \times I)
qui correspond : à l'homom. de foncteurs
MS_I(k) \longrightarrow M_I(k)
associant : à une forme quadratique de coeff. les a_{\{i,j\}}, la matrice de celle-ci. Soit
\Delta_0 \in A_I
le déterminant de la I-matrice universelle, \Delta = \varphi(\Delta_0) son image, qui est le discriminant de la forme quadratique universelle indexée par I.
On a
\Delta_0 = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_I} \varepsilon_\sigma
\underbrace{\prod_{i \in I} X_{i, \sigma i}}_{X_\sigma}
Considérons la décomposition de I en cycles suivant \sigma, le produit s'écrit en mettant à part
les cycles de longueur 1 et ceux de longueur 2
X_\sigma = \prod_{i \in I_1(\sigma)} X_{ii}
\prod_{i \in I_2(\sigma)} X_{\{i, \sigma i\}}
\prod_{i \in I_*(\sigma)} X_{\{i, \sigma i\}}
\varepsilon_\sigma = (-1)^{\nu_2 + \nu_*^+}
où
- I_1(\sigma) = I^\sigma
- I_2(\sigma) = \bigcup cycles de card. 2
- I_*(\sigma) = \bigcup cycles de card \geq 3
- \nu_1 = nb de cycles de card 1 = \operatorname{card} I^\sigma = \operatorname{card} I_1(\sigma)
- \nu_2 = nb des cycles de card 2
- \nu_*^+ = nb des cycles de cardinal pair \geq 2
- \nu_* = nb des \geq 2
dans les deux dernières lignes le chiffre de la borne est repassé à l'encre forte et se lit 2 ; vu la définition de I_*(\sigma), on attendrait 3.
On trouve donc
\Delta = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_I} (-1)^{\nu_2 + \nu_*^+} 2^{\nu_1}
\underbrace{\prod_{i \in I_1(\sigma)} Y_{\{i\}}
\Bigl(\prod_{H \in \dot I_2(\sigma)} Y_H\Bigr)^2
\prod_{H \in \dot I_*(\sigma)} Y_{H,\sigma}}_{Y_\sigma}
où
Y_{H,\sigma} = \prod_{a \in A(H,\sigma)} X_a ,
A(H, \sigma) étant l'ens. des arêtes du polygone combinatoire (orienté) dont l'ens. des sommets est H, avec la structure polyg. orientée définie par \sigma|H (\dot I_2(\sigma) = I_2(\sigma)/\sigma, \dot I_*(\sigma) = I_*(\sigma)/\sigma).
Les monômes On voit donc que la donnée de \sigma équivaut à celle d' \sigma définit une décomposition de I en
I_1(\sigma) \sqcup I_2(\sigma) \sqcup I_3(\sigma),
où I_2(\sigma) est munie d'une involution sans pt fixe \sigma_2 (i.e. d'une relation d'équivalence : classes de cardinal 2) et et I_3(\sigma) d'une structure de
contour orienté, et
Y_\sigma = \prod_{i \in I_1(\sigma)} Y_i
\Bigl(\prod_{a \in I_2(\sigma)/\sigma_2} Y_a\Bigr)^2
\prod_{a \in A(I_3(\sigma))} Y_a
\;=\; Y_{\gamma(\sigma)}
sous A(I_3(\sigma)) : « arêtes ».
Quant aux monômes Y_\sigma, ils correspondent 1–1 aux structures de graphes \gamma stricts sur I correspondant à \sigma, i.e. dont les composantes connexes sont soit des points isolés, soit des simplexes doublets \bullet\!\!-\!\!\bullet, soit des polygones combinatoires d'ordre d \geq 3. Pour que dans Y_\sigma = Y_{\sigma'}, il f. et s. que \sigma et \sigma' définissent les mêmes I_1 et I_2, polyg. de contour sur I_3 = I \setminus I_1 \setminus I_2, dont proviennent la partition les contours partition en de I_3 en
\Delta \bmod 2 = \sum_{\gamma \in \Gamma_0}
\Bigl(\prod_{a \in A(\gamma_0)} Y_a\Bigr)^2
devant la parenthèse, un symbole biffé. Sous \gamma \in \Gamma_0 : « structures de graphes sans sommets isolés – i.e. correspondant aux invol. ss pt fixe de I – i.e. telles que \nu_1(\gamma) = \nu_*(\gamma) = 0 ».
On voit donc que \Delta \bmod 2 = 0 si \operatorname{card} I est impair. Soit B = \sum Supposons pour la suite
\operatorname{card} I = m = 2n
Notons et posons
B = B_I = \sum_{\gamma \in \Gamma_0} \Bigl(\prod_{a \in A(I, \gamma_2)} Y_a\Bigr) .
entre \sum et la parenthèse, une rature noircie.
(On a aussi n = \nu_2(\gamma) = \ldots \nu_2(\gamma) = n, \nu_*^+(\gamma) = 0, donc (-1)^n est le coeff avec lequel \prod Y_a figure dans \Delta ) voit prévoit que \varepsilon = (-1)^n.
B^2 = \sum_{\gamma \in \Gamma_0} \Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr)^2
+ 2 \sum_{\substack{\gamma, \gamma' \in \Gamma_0 \\ \gamma \neq \gamma'}}
\Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr)\Bigl(\prod_{a' \in A(\gamma')} Y_{a'}\Bigr)
le coefficient du second terme est surchargé (4 et 2 l'un sur l'autre) ; un symbole biffé précède la première parenthèse.
Donc
le haut de la page, jusqu'à « 2^{\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma)} \equiv 0 (4) », est biffé d'un long trait horizontal et de traits obliques.
(-1)^n \Delta \equiv B + \sum, la somme sur \gamma \in \Gamma_1 = ens. des \gamma \in \Gamma tels que \nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) = 1, i.e. [\nu_1(\gamma) = 1, \nu_2(\gamma) = 0 impossible car m pair] ou \nu_1(\gamma) = 0, \nu_2(\gamma) = 1 i.e. pas de pt fixe, et seulement une composante connexe de card \geq 3
Notons que \nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) \equiv m (2) puisque m - (\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma)) = \nu_2(\gamma) \equiv 0 (2). Si m pair, on trouve donc \nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) \equiv 0 (2), donc si \nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) \neq 0, on a \nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma) \geq 2 donc 2^{\nu_1(\gamma) + \nu_*(\gamma)} \equiv 0 (4). D'où
\Delta \equiv (-1)^n \sum_{\gamma \in \Gamma_0}
\Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr)^2
+ 2 \sum_{\gamma \in \Gamma_1} (-1)^{\nu_2(\gamma) + 1}
\qquad \bmod (4)
au-dessus, un mot biffé ; dans le premier terme, une rature noircie après (-1)^n et une autre devant la parenthèse. Encadré à gauche : « \Gamma_1 : graphes \gamma \in \Gamma tels que \nu_1(\gamma) = 0, \nu_*(\gamma) = \nu_*^+(\gamma) = 1 donc ». La seconde somme s'arrête à l'exposant.
B^2 - (-1)^n \Delta \equiv
\sum_{\substack{\gamma, \gamma' \in \Gamma_0 \\ \gamma \neq \gamma'}}
\underbrace{\Bigl(\prod_{a \in A(\gamma)} Y_a\Bigr)
\Bigl(\prod_{a' \in A(\gamma')} Y_{a'}\Bigr)}_{M_{\gamma, \gamma'}}
\quad \bmod 4
Considérons un couple \gamma, \gamma' fixé, , 2 invol. sans pts fixes \sigma, \sigma', distinctes. Ainsi, Examinons la structure du monôme M_{\gamma, \gamma'} : si nous posons
I_{\sigma, \sigma'} = \{ i \in I \mid \sigma i = \sigma' i \}, \quad
I = I_{\sigma, \sigma'} \sqcup J_{\sigma, \sigma'} ,
avec J_{\sigma, \sigma'} \neq \varnothing. Dans
J_{\sigma, \sigma'}, polyg. de contour sur \mathrm{II}(\sigma, \sigma') (dont les arêtes sont les ens. de 2 éléments \{i, \sigma i\} et \{i, \sigma' i\}), dont les composantes sont d'ordre pair \geq 4. le symbole noté ici \mathrm{II} est une capitale à double hampe ; c'est sans doute le J_{\sigma,\sigma'} de la page 69.
Le couple (\sigma, \sigma') est déterminé, à symétrie (\sigma, \sigma') \mapsto (\sigma', \sigma) près, dès que composantes conn. de \mathrm{II}(\sigma, \sigma'), puis par la structure de graphe correspondante ainsi – et on trouve toutes les structures de graphe \gamma \in \Gamma pour lesquelles les cycles \nu_*^+(\gamma) = \nu_*(\gamma). Un même monôme intervient 2^{\nu_*(\gamma)} = 2^{\nu_*^+(\gamma)} fois.
Donc on trouve
B^2 - (-1)^n \Delta \equiv
\sum_{\substack{\gamma \in \Gamma \\ \nu_1(\gamma) = 0 \\ \nu_*(\gamma) = \nu_*^+(\gamma) > 0}}
2^{\nu_*(\gamma)} M_\gamma
\quad \bmod 4
+ \, 2 \sum_{\gamma \in \Gamma_1} (-1)^{n + \nu_2(\gamma)} M_\gamma
\equiv 2 \sum_{\gamma \in \Gamma_1} M_\gamma \quad \not\equiv 0 \quad (4)\,!
+ \, 2 \sum (-1)^{\varepsilon(\gamma)} M_\gamma
= 2 \sum M_\gamma \bigl(\underbrace{1 + (-1)^{\varepsilon(\gamma)}}_{0 \text{ ou } 2}\bigr)
\equiv 0 \quad (4)
la ligne « \equiv 2 \sum M_\gamma \not\equiv 0 (4) ! » est d'une encre brune ; sous son \sum, une condition raturée se termine par « = 1 ». Les deux lignes suivantes, d'une autre encre, la corrigent.
nouveau départ, sans titre.
A anneau
\Delta \in A
A_0 = A / 2A
On veut écrire
(1)
\Delta = b^2 - 4c \qquad b, c \in A
ce qui implique
\Delta_0 \in A_0^2 \qquad (\Delta_0 = (\Delta \bmod 2))
soit
\Delta_0 = b_0^2 \qquad b_0 \in A_0
où b_0 est uniquement déterminé si A_0 réduit (a), par la condition b \equiv b_0 (2), donc si b déterminé mod 2, donc si b' = b + 2x, . b' satisfait à la même condition i.e.
b'^2 = b^2 + 4(x^2 + bx) \qquad \text{i.e.} \qquad b'^2 \equiv b^2 \quad (4)
« A_0 réduit » est encadré et marqué (a) en cercle ; « (4) » est souligné deux fois.
On sait donc
Lemme \forall\, b_0 \in A_0, il y a un unique élément \gamma(b_0) de A/4A tel que \forall\, b \in A
Pour \Delta \in A donné, pour qu'il existe b, c \in A tels que on ait (1), il f. et s. que
a) \Delta_0 (= \Delta \bmod 2) soit le carré d'un él. b_0 de A_0 (bien déterminé si A_0 réduit)
b) \gamma(b_0) = \Delta.
Supposons qu'on puisse trouver un u \in A^* \nu = 2d + 1
tel que les conditions soient
sur cette page et les suivantes, les hypothèses marquées (a) à (f) sont encadrées sur la page.
le haut de la page est très raturé : « tel que v \in A tel que \Delta v^2 =
Ceci implique que
\Delta_0 v_0^2 = b_0'^2
devant b_0'^2, plusieurs ratures noircies.
on aura, si on suppose que \Delta_0 est él. régulier de A_0 (b), que
\Bigl(\frac{b'_0}{v_0}\Bigr)^2 = \Delta_0 \qquad \text{relation dans } A_{0\Delta_0}
au dénominateur, une rature noircie devant v_0.
Supposons que A_0 soit intégralement clos (c), alors on aura b'_0 / v_0 \in A_0, soit b_0, donc
b'_0 = b_0 v_0 \qquad (b_0 \in A_0,\ b_0^2 = \Delta_0) .
Ce qui Bien entendu, on a alors, si b \equiv b_0 (2), b' = bv a même image : b'_0 (2) donc
\gamma(b'_0) \equiv b'^2 \pmod 4 = b^2 v^2
et il vient : écrivons
b^2 v^2 \equiv \Delta v^2 \quad (4)
devant b^2v^2 et dans l'exposant de \Delta, des ratures noircies ; on devine « +1 » dans l'exposant raturé.
Si en outre, si \Delta_0 v mod 4 est régulier dans A/4A (d),
2 est régulier dans A
v_0 est régulier dans A_0
\Delta_0 est régulier dans A_0
on aura donc que
b^2 \equiv \Delta \quad (4)
le 2 de l'exposant est surchargé d'un trait.
donc
NB – si v \in A^*, v \in A tel que v soit régulier et v_0 régulier de A_0
Ainsi on a prouvé
Prop. Supposons 2 régulier dans A, A_0 = A/2A réduit et intégralement clos, \Delta \in A tel que \Delta_0 \in A_0 soit él. régulier de A_0. Soit \nu = 2d + 1 un entier naturel impair. Pour qu'il existe v \in A^* existe b', c' \in A, avec
\begin{cases}
b'^2 - 4c' = \Delta^{\nu} v^2 \\
v_0 \text{ est } A_0\text{-régulier}
\end{cases}
il f. et s. qu'il existe b, c \in A tels que
b^2 - 4c = \Delta .
dans l'exposant de \Delta, une rature noircie devant \nu.
Supposons Considérons maintenant l'anneau l'anneau
(a)
A_{2\Delta} = (A_2)_\Delta = (A_\Delta)_2 , \quad \text{localisé de } A \text{ pour } 2\Delta
et l'algèbre
B_{2\Delta} = A_{2\Delta}[T] / (T^2 - \Delta)
Alors on a les revêtements de groupe \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}. C'est une A_{2\Delta}-alg. étale de \Delta. Supp Supposons que B_{2\Delta} se prolonge finie en une algèbre B_\Delta finie A_\Delta étale
[Exemple unique : \Delta nombre premier, , 2 non régulier dans A_\Delta ]. Supposons de plus
(e) \operatorname{Pic} A_\Delta = 0
au-dessus de l'encadré, un \mathbf{Z} biffé.
alors on sait (Comme B_\Delta est fini loc. libre de rang 2) que l'on peut écrire
B_\Delta \simeq A_\Delta[T] / (T^2 + bT + c) \qquad b, c \in A_\Delta
avec l'idéal discriminant de B_\Delta égal à :
\mathfrak{D}(B_\Delta / A_\Delta) = (b^2 - 4c) A_\Delta
donc, à cause de l'hypothèse B_\Delta étale sur A_\Delta,
b^2 - 4c \in A_\Delta^* .
D'autre part, prenant la restriction à A_{2\Delta}, on trouve
b^2 - 4c = u^2 \Delta , \qquad u \in A_{2\Delta}^* = (A_\Delta)_2^*
de « Supposons que » jusqu'à « v \in A^* » le passage est biffé de traits obliques.
Supposons que (A_{2\Delta})^* = \{ 2^\mu \Delta^\nu v \mid \mu, \nu \in \mathbf{Z},\ v \in A^* \} ()
dans ce cas
\text{\struck{$b^2 - 4c = 2^{2\mu} \Delta^{2\nu + 1} v^2$ dans $(A_{2\Delta})_2$}}
avec v \in A^*
Comme b^2 - 4c \in A_\Delta^*, conclut u^2 \in A_\Delta^* ce qui implique () A_\Delta intégralement clos dans A_{2\Delta} (f)
* u \in A_\Delta^* \mu = 0, donc
b^2 - 4c = \Delta u^2 \qquad u \in A^*
(*)
dans l'exposant de \Delta, une rature noircie.
Inversement si on a une relation ,
\times Supposons que v \in A_\Delta^* les hypothèses d'un
\text{\struck{$b^2 - 4c = \lambda^2 \Delta \quad \lambda \in A^* \quad (\lambda = (\Delta^\nu v)^2)$}}
l'argument se poursuit au-delà de ce lot.