Cote n° 77, pages 41–60

Cote n° 77 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
Édition de démonstration

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41la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée avant ce lot : on y cherche les systèmes $(C_n, g)$ tels que

tels que \[(67)\qquad \begin{cases} \text{a) } q(e_B) = 1_{C_n} \\ \text{b) } g(B) \text{ engendre } C_n . \end{cases}\]

Ceci dit, considérons ⌜la norme, […]⌝ l'application […] \[(68)\qquad F_n : \check{\mathbb{V}}(C_n) \longrightarrow \check{\mathbb{V}}(\underline{O}_S)\] définie par \[(69)\qquad F_n(x) = N_{C_n/\underline{O}_S}(x) \quad \bigl(= N_{\Omega/S}(x, \;)\bigr),\] c'est une $n$-forme, et on peut considérer sa « restriction » $F_n \circ g$. Ceci dit, on a (sauf erreur) \[(70)\qquad f_n = \text{\struck{\ill{}}}\, F_n \circ g \quad \Bigl(\text{dans } \Gamma\, \mathrm{Sym}^n(\check{B} = V)\Bigr)\] au-dessus de la ligne, une variante : $= \text{\struck{\ill{}}}\, N_{C_n/\underline{O}_S} \circ g$

[ce qui montre que la correspondance entre $n$-dimensions sur $F$, i.e. syst. $(C_n, g)$, et $n$-formes définie par (70), est bijective].

Pour vérifier (70), dès que $B$ est muni d'une section $t$ telle que $(e_B, t)$ forme une base, alors $C_n$ sera engendrée sur $\underline{O}_S$ par ⌜l'image de $t$⌝ ($T$), donc aura la base $1, t, \ldots, t^{n-1}$, et sera défini par \[(71)\qquad C_n \simeq \underline{O}_S[T] / (f)\, \underline{O}_S[T]\] où $f$ est un polynôme unitaire ⌜en $T$⌝ de degré $n$, \[f(T) = \text{\struck{\ill{}}}\; T^n + a_1 T^{n-1} + a_2 T^{n-2} + \cdots + a_n\] […] $f_n(t)$

suivent trois lignes biffées, en partie illisibles : « […] on vérifie que $M_n^d = \underline{O}_S\, q_n$ […], $q_n = e_B^n + a_1 e_B^{n-1} T + \cdots + a_n$, $\in \Gamma \,\mathrm{Sym}^n B$ » (un $N$ est écrit au-dessus) ; puis un numéro (72) biffé devant $f_n(u e_B + v T) = u^n + a_1 u^{n-1} v + a_2 u^{n-2} v^2 + \cdots + a_n v^n$, biffé lui aussi ; enfin, non biffé : \[q_n = \text{\struck{\ill{}}}\; T^n + a_{n-1} e_B T^{n-1} + \cdots + a_n e_B^n \in \Gamma\, \mathrm{Sym}^n B\] les indices des $a_i$ de cette dernière ligne sont lus tels quels ; ils ne suivent pas ceux de $f(T)$

42d'où on conclut […] la formule : vérifions d'abord \[(74)\qquad N_{C_n/\underline{O}_S}(u 1_C + v t) = u^n - a_1 u^{n-1} v + \cdots + (-1)^n a_n v^n = (-v)^n f\Bigl(-\frac{u}{v}\Bigr)\] le facteur $(-1)^n$ devant $a_n v^n$ et le $(-v)^n$ sont surchargés ; le premier terme a d'abord été écrit autrement

Or si $u = 0$, $v = 1$ cette formule se réduit à : \[(75)\qquad N_{C_n/\underline{O}_S}(t) = (-1)^n a_n\] Or la matrice de la multiplication par $t$ dans la base $1, t, \ldots, t^{n-1}$, est \[\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_1 \end{pmatrix}\] dont le déterminant est \[(-1)^{n-1}(-a_n) = (-1)^n a_n\] sous $(-1)^{n-1}$, souligné : signature de la permutation circulaire de l'ensemble à $n$ él.

(on se ramène au cas […] (en local on peut)) […] par un argument universel. On peut aussi le prouver par des dévissages, […] déterminants, en faisant une ext. fid. plat de $S$ […] \[(76)\qquad f(T) = \prod_{i=1}^{n} (T - t_i) \qquad \text{donc } a_i = (-1)^i \sigma_i(t_1, \ldots, t_n)\] avec des sections $t_i$ de $\underline{O}_S$ ($1 \leqslant i \leqslant n$). […] Alors (75) devient \[N_{C_n/\underline{O}_S}(u 1_C + v t) = (-v)^n f\Bigl(1 - \frac{u}{v}\Bigr) = \prod_i (u + v t_i) = \prod_i \rho_i(u 1_C + v t)\] le numéro de cette formule est noirci ; dans $f(1 - \frac{u}{v})$ le « 1 » est surchargé, sans doute biffé ; après $\prod_i (u + v t_i)$ une fin de ligne est biffée

un trait horizontal sépare ce qui suit

utilisant $\check{V} \simeq V \otimes L \simeq V$, $e_B \mapsto T'$, $T \mapsto e_B'$ (base duale des $e_B, T$) \[f_n = \varepsilon (-1)^n \bigl( e_B'^{\,n} - a_1 e_B'^{\,n-1} T' + \cdots + (-1)^i a_i e_B'^{\,n-i} T'^{\,i} + \cdots + (-1)^n a_n T'^{\,n} \bigr),\] i.e. \[(73)\qquad f_n(u e_B + v T) = \varepsilon \bigl( u^n - a_1 u^{n-1} v + \cdots + (-1)^i a_i u^{n-i} v^i + \cdots + (-1)^n a_n v^n \bigr)\] (avec $\varepsilon = (-1)^n$ pour avoir $f_n(e_B) = 1$) formule à prouver la note marginale renvoie par une flèche au numéro, biffé, de la formule de $f_n$ ; le numéro (73) est écrit devant la ligne « i.e. ». Les numéros (73) à (76) ne sont pas écrits dans l'ordre de la page

43\[(77)\qquad \rho_i : C_n \longrightarrow \underline{O}_S\] est l'homom. de $\underline{O}_S$-Algèbres défini par \[(78)\qquad \rho_i(T) = t_i ,\] et alors la formule à prouver est un cas particulier de la suivante, bien connue \[(79)\qquad \Bigl[\Bigl[\; N_{C(t_1, \ldots, t_n)/\underline{O}_S}(w) = \prod_{1 \leqslant i \leqslant n} \rho_i(w) \;\Bigr]\Bigr]\]

Revenons au cas $n = 2$, et à la correspondance entre structures d'Algèbre quadratique sur $B$, admettant $e_B$ comme unité, et structures quadr ⌜de⌝ formes quadratiques $q$ sur $B$ satisfaisant $q(e_B) = 1$. Explicitons la structure sur $\Sigma^2(F)$ du fibré inversible sur $2F$, […] modèle des trivialisations $(L^{\otimes 2})_{2F}$. Je fais d'abord explicitement \[(80)\qquad \underline{b}(q) \in \Gamma(2F) \subset \Gamma(\check{B} = V)\] pour $q$ comme dessus. On fixe

Prop. Soit $\varphi$ la forme bilinéaire associée à $q$, et considérons la forme \[(81)\qquad \begin{cases} \underline{b}(q) : B \longrightarrow \underline{O}_S \\ \underline{b}(q)(x) = \varphi(e_B, x) \quad (= \mathrm{tr}_{B/\underline{O}_S}\, x) \end{cases}\] On a $\underline{b}(q)(e_B) = \varphi(e_B, e_B) = 2 q(e_B) = 2$, donc $\underline{b}(q)$ est une section de $2F \subset \check{\mathbb{V}}(\check{B})$, qui […]

44n'est autre que $\underline{b}(\Omega)$ du § 5.

Étudions nous $\underline{b}(q)$ ⌜$= \mathrm{tr}$⌝ (i.e. la forme trace $B \to \underline{O}_S$), et étudions les $q$ correspondant à une trace donnée. On trouve ⌜les sections d'un faisceau principal sous un⌝ faisceau torseur lié à un faisceau en Modules des formes quadratiques $q_0$ telles que \[(82)\qquad \begin{cases} q_0(e_B) = 0 \\ \varphi_0(e_B, \;\cdot\;) = 0 \end{cases} \qquad \text{(\struck{$\forall x$} où $\varphi_0$ est la forme bil.\ associée à $q_0$)}\] $V \mathrm{Hom}$ […] $V \to \check{V}$ i.e. $\varphi_0(e_B)$ une forme $\varphi_0$ ce sont aussi les formes quadratiques qui se factorisent par $B \to L$, i.e. qui correspondent aux formes quadratiques sur $L$, ou encore aux for scalaires de $L^{\otimes -2}$l'exposant de $L$ se lit $\otimes{-2}$ ; il pourrait aussi être $\otimes 2$ Donc les formes $q$ en question sont les sections d'un fibré affine sous $L^{\otimes -2}$, dont les scalaires $c_0$ correspondent aux $q_0$ par \[(83)\qquad q_0(x) = c_0\, \pi_1(x)^2 .\]

7. Symétries Involutions canoniques.

Prop. Soit $B$ Algèbre quadratique sur $\underline{O}_S$. Alors l'homom. $\underline{O}_S$-linéaire \[(84)\qquad \sigma : u \longmapsto \text{\struck{\ill{}}}\; (\mathrm{tr}\, u)\, e_B - u\] est un automorphisme d'algèbres involutif, caractérisé par la condition \[(85)\qquad u + \sigma u = (\mathrm{tr}\, u)\, e_B\]

On notera que la donnée (pour $B$ un $\underline{O}_S$-Module localement libre de rang 2 muni d'une section $e_B$ […] ⌜partout⌝ non nulle […] au-dessus […]) de l'involution $\sigma$ équivaut à la donnée de la forme $\underline{b} = \mathrm{tr}$ (section de $2F$), […] moyennant cette correspondance les $\underline{b}$ correspondent exactement aux ⌜pseudo⌝-réflexions $\sigma$ dans les $\underline{O}_S$-Modules $B$ telles que $\sigma e_B = e_B$, i.e. admettant $\underline{O}_S \cdot e_B$ comme droite fixe Cette réflexion […], […] endomorphisme […] deux traits de renvoi relient « comme droite fixe » et le passage biffé aux lignes qui suivent : « droite des pts fixes, […] »

[…] $y \longmapsto \underline{b}(y)\, e_B$ […] De la forme générale \[\sigma u = u + a \otimes \pi_1(u) \qquad \text{i.e. } \sigma = \mathrm{id}_B + a \otimes \pi_1\] où \[a \in \Gamma(B \otimes L \simeq V = \check{B}) \text{ \struck{\ill{}}} \qquad \text{et} \qquad \pi_1 \in \Gamma\bigl(\check{B} \otimes L^{\vee} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(B, L^{\vee}) \simeq B\bigr)\] précisément […] ; \[\sigma^2 = \mathrm{id}_V + 2\, \pi_1 \otimes a + \langle a, \pi_1 \rangle\, \pi_1 \otimes a = \mathrm{id}_V + \pi_1 \otimes a\, \bigl(2 + \langle a, \pi_1 \rangle\bigr)\] $\langle a, \pi_1 \rangle$ est écrit au-dessus d'un terme biffé donc $\sigma$ involution […] et partout $\neq \mathrm{id}$ sur […] fibre, ssi $a \neq 0$ […] […] fibre, et $\langle a, \pi_1 \rangle = -2$. Identifions

écrit le long du bord gauche, tourné : $B/B' \simeq L^{\vee}$ […] $L \otimes V \subset \check{V} \otimes V$ […] — puis : On veut […] réflexion d'un module […] $B$, […] $B'$ […] […] l'ensemble $H$ des endomorphismes de la forme $\mathrm{id} + v$, où $v \in$ […] tel que $\mathrm{tr}\, v = -2$. le coin inférieur gauche de la marge porte encore quelques lignes biffées illisibles

46$a$ à une forme linéaire sur $B$, et $\pi_1$ à la section $e_B$ de $B$ (à signe près […]) cette relation s'écrit \[a(e_B) = -2 ,\] et cette égalité on vérifie ([…] […]) qu'on trouve également […] que $a$ correspond : $\underline{b} = \mathrm{tr}$ … […]

[…] cas est […] Cette pseudo-réflexion est une réflexion i.e. est $\neq$ identité en chaque fibre, ssi […] en car. résiduelle 2, […] $\mathrm{tr}_s$ sur $B_s$ non (identiquement) nulle. Ceci résulte de la

Proposition. Pour qu'une pseudo-réflexion d'un module quadratique, ⌜partout de⌝ […] rang 2 $B$ (prolongeant : une […] $B' \subset B$ telle que $B/B' \simeq L^{\vee}$, […] donné) soit l'identité, il faut et il suffit que $S$ soit de car. 2 (i.e. $2 \cdot 1_S = 0$) et que la section de $L \otimes B$ qui la définit soit nulle… donc dans le cas actuel $B$ de rg 2, $B' = \underline{O}_S\, e_B$, donc $L \otimes B \simeq \check{B}$, que la forme $\underline{b} = \mathrm{tr}$ sur $B$ qui la définit ($\underline{b}(e_B) = 2 \ldots$) soit nulle.

Revenons ⌜Remarquons⌝ maintenant […] que $\underline{b} = \mathrm{tr}$ provient ⌜est la⌝ ⌜forme trace⌝ d'une structure d'Algèbre sur $B$ ayant $e_B$ comme unité. On obtient alors la formule bien connue \[(86)\qquad u \cdot \sigma u = N(u)\, e_B = q(u)\, e_B\] i.e. \[u(\mathrm{tr}\, u - u) = N(u)\] \[(87)\qquad u^2 - u\, \mathrm{tr}\, u + N(u) = 0 \qquad \text{\uncertain{ie} \ill{}}\]

47qui peut s'interpréter comme l'équation de Hamilton–Cayley pour ⌜l'op. de⌝ la translation […] définie par $u$ dans $B$.

8 Cas où 2 inversible sur $S$ (car. résiduelles $\neq 2$)

Dans ce cas la donnée d'une section $\underline{b} = \mathrm{tr}$ de $2F$ i.e. d'une forme $\mathrm{tr}$ sur $B$ telle que $\mathrm{tr}(e_B) = 2$, équivaut, […] par […] prenant $\frac{1}{2}\underline{b} = \frac{1}{2}\mathrm{tr}$ […] \[(88)\qquad s_0 = \tfrac{1}{2}\, \text{\struck{$\underline{b}$}}\; = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{tr}\ldots\] à la donnée d'une section ⌜origine⌝ $s_0$ de $F$, ou encore d'un splitting de l'extension $B$ de $L^{\vee}$ par $\underline{O}_S$ en un iso \[(89)\qquad \alpha_{s_0} : \underline{O}_S + L^{\vee} \xrightarrow{\;\sim\;} B\]

Le sous-module $\alpha_{s_0}(L^{\vee})$ de $B$, supplémentaire de $\underline{O}_S$, n'est autre que le noyau de la forme $\mathrm{tr}$ (qui est aussi celui de la forme […]), ou encore la sous-[…] propre de $\sigma$ pour val. propre $-1$. Ceci dit, la donnée d'une structure d'Algèbre sur $B$ compatible avec $(e_B, \mathrm{tr})$ équivaut à : la donnée de \[\underline{b}(s_0) \in \Gamma L, \qquad \underline{c}(s_0) \in \Gamma L^{\otimes 2}\] correspondant au splitting $s_0$. Or $\underline{b} = \underline{b}(s_0)$ […] $\underline{b}(s_0)$ […] $\underline{b}(s_0)$ est la forme trace restreinte à $\alpha_{s_0}(L^{\vee})$, et dire que $s_0$ est le splitting canonique signifie que \[(90)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \underline{b}(s_0) = 0\] un renvoi « (14) » est écrit au-dessus de cette ligne, sans qu'on voie à quoi il se rattache

écrit en biais dans la marge gauche : […] en termes de l'Algèbre […] $q = N_{B/\underline{O}_S}$ […] $\alpha_{s_0}(L^{\vee})$ […] $e_B$, […] $\underline{O}_S\, e_B$ […]

48de sorte que l'extension quadratique est décrite entièrement par la section $c_0$ de $L^{\otimes 2}$. On trouve \[\text{\struck{$\underline{c}$}}\,(91)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \partial_{\xi} = b_0^2 - 4 c_0 = -4 c_0\] […] et aussi la donnée de $c_0$ équivaut à celle de $\partial$. Donc ainsi

Th. Si $2 \cdot 1_S$ est inv., la catégorie des Algèbres quadratiques sur $\underline{O}_S$ celle (ou celle des rev. quadratiques $\Omega$ […] de $S$) équivaut à celle des couples $(L, \partial)$ où $L$ est un $\underline{O}_S$-Module inversible, et $\partial$ […] une section de $L^{\otimes 2}$. Le fibré affine ⌜correspondant à $\Omega$⌝ […] $\xi$ est canoniquement scindé, et son Module des translations est $L$, de sorte que $\Omega \subset \check{\mathbb{V}}(L)$$\xi$. Ceci dit, ⌜$\Omega(\partial)$⌝ l'Algèbre est le sous-schéma de $\check{\mathbb{V}}(L)$ des sections $x$ satisfaisant $x^2 = \partial$, ou — $\frac{\ill{}}{2}$ \[(92)\qquad \Omega = \tfrac{1}{2}\, \Omega(\partial)\]

Je voulais : vérifier cette dernière assertion. Si prenons un scindage quelconque, et $b$, $c$ les sections associées de $L$, $L^{\otimes 2}$, […] on a vu dans § 2 (remarque marginale) que $\Omega$ s'identifie au sous-schéma de $\check{\mathbb{V}}(L)$ d'équation \[x^2 - b x + c = 0\] ce qui ici, […] comme $b = b_0 = 0$, s'écrit \[x^2 = \tfrac{1}{4}\, \partial\] ou encore \[(2x)^2 = \partial\] le numéro de la dernière formule est biffé ; une ligne biffée, illisible, la précède dans la marge

49Donc $x \mapsto 2x$ […] de $\check{\mathbb{V}}(L)$ […] dans $\Omega$, […] $x \in \Gamma\Omega$ […] $2x \in \Gamma\Omega'$, i.e. $\Omega' = 2\,\Omega$ d'où le résultat. le passage « Donc … $\Omega' = 2\,\Omega$ » est encadré et barré de traits obliques ; seul « d'où le résultat » reste hors du cadre

Corollaire. Th Les revêtements quadratiques $\Omega$ sur $S$ […] sont […] munis d'une opération de $\mu_2\ (\simeq (\pm 1)_S)$, […] : la formule précédente. L'opération […] induite sur $\Omega$ n'est autre que l'involution canonique de […] déduite de celle du § 7.

Décrivons explicitement ⌜encore, dans le cas général,⌝ $B$ comme quotient de \[\underline{\mathrm{Aff}}(F) \simeq \underline{\mathrm{Aff}}\, \check{\mathbb{V}}(L) \simeq \underline{\mathrm{Sym}}(L^{\vee}) \simeq \coprod_{n \geqslant 0} L^{\otimes(-n)}\] par l'idéal engendré par le sous-module inversible engendré par \[(93)\qquad (\hat{c} + b + 1) \otimes L^{-2} \subset \underline{O}_S + L^{-1} + L^{\otimes(-2)}, \qquad (c + b + 1)^{\wedge} \in \Gamma(L^2 \oplus L \oplus \underline{O}_S)\] le chapeau est posé sous « $c + b + 1$ », souligné ; le premier terme, noirci, se lit $c$ sans certitude alors l'involution $\sigma$ correspondante ce qui donne ici \[B \simeq \underline{\mathrm{Sym}}(L^{\vee}) / (1 - 4\partial)\, L^{\otimes -2} ,\] et notons que l'involution canonique est définie par la conjugaison ([…] parmi les sections du $F \simeq \check{\mathbb{V}}(L)$ satisfaisant $\alpha$), par l'égalité \[(94)\qquad \sigma x = b - x\] (remarque : § 7) ce qui donne ici $x \longmapsto -x$, dans le cas $b = 0$, qui est celui du th. remarque en § 2

9. Cas $S$ de car. 2 (i.e. $2 \cdot 1_S = 0$)

Dans ce cas $2F \simeq \check{\mathbb{V}}(L)$, on a iso can. \[(95)\qquad 2F \simeq \check{\mathbb{V}}(L)\] ou ce qui revient au même, la condition $\mathrm{tr}(e_B) = 2$ sur une forme linéaire $\mathrm{tr}$ sur $B$ […] nulle sur $e_B$ signifie […] ⌜signifie⌝ \[(96)\qquad \mathrm{tr}(e_B) = 0\] de sorte que la forme trace de l'Algèbre […] est la section $\underline{b}$) est une section de $L$ \[(97)\qquad \underline{b} = \mathrm{tr} \in \Gamma(S, L)\] canoniquement associée à la structure d'alg. quadratique sur $B$. Ceci dit, on a ceci ⌜D'ailleurs, le⌝ discriminant est donné par \[(98)\qquad \partial = \underline{b}^2\] En effet, en termes d'un scindage $s$ ⌜quelconque⌝ avec […] \[(99)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; b(s) = \underline{b} \qquad \text{(\uncertain{indépendant} de $s$ !)}\] et \[\partial = b^2 - 4c = b^2 = \underline{b}^2 \qquad (\text{car } 4 = 0)\]

NB Ici l'équation $x^2 = \partial$ s'écrit donc $(x - \underline{b})^2 = 0$, et définit un sous-schéma de $\check{\mathbb{V}}(\text{\struck{\ill{}}}\,L)$ isomorphe à $\alpha_s(L)$, et sans grand relation avec $\Omega$… ⌜en plus de $\underline{b} \in \Gamma(S, L)$,⌝

En outre, ⌜le torseur $F$ sous $L$, et sa classe⌝ \[(100)\qquad \gamma \in H^1(S, L)\] est un invariant important de la situation. L'involution la phrase se poursuit à la page suivante

51canonique de $\Omega$ ⌜$\subset F$⌝ n'est autre que la translation par $\underline{b}$ (cf. précisions de (94), en car. 2). Donc, pour $\underline{b}$ fixé, on peut […] Dire que $\sigma$ dans $B$ est une réflexion (pas seulement une pseudo-réflexion) signifie aussi que $\underline{b}$ est en tout cas de chaque fibre (§ 7), ou encore (par ex. en vertu de (98)) que $\partial$ est ⌜section⌝ partout inversible, ou enfin que $\Omega$ est étale sur $S$.

Dans ce cas, pour $\underline{b}$ fixé, les $\Omega$ correspondants (i.e. les $\xi$ correspondants…) correspondent biunivoquement aux sections du schéma \[F / \underline{b}\] On […] a une suite exacte de schémas en groupes sur $S$ \[(101)\qquad 0 \longrightarrow (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S \longrightarrow \check{\mathbb{V}}(L) \xrightarrow{\;\beta\;} \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}) \longrightarrow 0\] \[\varepsilon \longmapsto \varepsilon\, \underline{b}, \qquad x \longmapsto x^2 + \underline{b}\, x\] de sorte que \[(102)\qquad F / \underline{b} \simeq F \wedge^{(\check{\mathbb{V}}(L), \beta)} \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}) \overset{\mathrm{dif}}{=} C\] s'identifie : un torseur sous $\check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2})$, et ⌜nulle⌝ la donnée de $q$ (ou $\Omega$) compatible avec $\underline{b}$ s'identifie : la donnée d'une section ⌜$\sigma$⌝ de ce torseur, dont $F$ est un rev. étale quadratique. Inversement $\Omega$ se récupère alors comme l'image inverse par $\sigma$ de ce rev. étale quadratique. suite exacte d'Artin–Schreier (en car. 2)

52NB Pour bien faire, il faudrait préciser que la structure de torseur sous $L^{\otimes 2}$ provient d'abord sur le faisceau des $q$ (ou $\Omega$) compatibles avec $\underline{b}$, est aussi celle des $\sigma$.

10 Cas mixte

A) […] Cas où $S = S_2 \cup S_{\partial}$ sous $S_2$ et $S_{\partial}$, avec des flèches : « lieu où 2 inv. », « lieu où $\partial$ inv. » i.e. où $\Omega$ est étale pour les lieux des $S$ de car. 2. la ligne précédente est encadrée ; une flèche la renvoie à la ligne « Cas … »

La donnée de $\Omega$ équivaut alors à celle d'un rev. étale quadratique […] de $S_{2\partial}$ et […] deux lignes biffées, avec des arcs de renvoi ; seuls quelques mots se lisent

Nous avons donc trouvé précisément une $\Omega$ compatible avec les données précédentes, la situation le couple $(L, \partial)$ du Module inv. $L$ et de \[(103)\qquad \partial \in \Gamma(S, L^{\otimes 2})\] et l'hypothèse […] est partout […] […]

Il faut définir une $\Omega$ compatible avec les données précédentes sur $S_{\partial}$ et $S_2$, et donc une donnée de recollement sur $S_2 \cap S_{\partial} = S_{2\partial}$.

a) Sur $S_2$, on sait (§ 8) que $\Omega$ est déterminé, à iso. près unique par $(L, \partial)$, comme le schéma des solutions de l'équation \[(104)\qquad x^2 = \partial \qquad \bigl(x \in \Gamma(-, L)\bigr)\]

53b) Sur $S_{\partial}$ […] ⌜$S'$⌝, on a un rev. [étale], qui doit prolonger le rev. étale qu'on a déjà sur $S_{2\partial}$ […]. On est donc amené (utilisant les […] de $V(\partial) = S - S_{\partial}$) à trouver en pt des prolongements, la donnée $(L, \partial)$, sur laquelle […] on veut faire les prolongements, alors il faut « recoller » les […] […] en précisant […] importante est le torseur […] $F_{S'}$ (restriction à $F$) sous $\check{\mathbb{V}}(L)$, trivialisé sur $S_2$. En fait, on a une section, savoir une section ⌜$b_0 =$⌝ $\tfrac{1}{2}\underline{b}$ de $F|S_2$ ⌜$\underline{b}$⌝ de $2F$, dans une […] une flèche biffée renvoie ici depuis la marge dont les prolongements par $f = 2$ en prolongement, et on veut décrire les prolongements. En termes de l'immersion \[i : S_f \longrightarrow S' \qquad (f = 2 \cdot 1_{S'})\] on peut dire que l'on a \[\text{\struck{\ill{}}}\quad \underline{L} \subset \tfrac{1}{f}\, \underline{L} \subset i_*(L|S_f)\] ⌜$f$⌝ étant sans diviseur section régulière de $\underline{O}_S$, et $F$ est un torseur sous $\underline{L}$ tel que le torseur ⌜la donnée d'⌝ déduit correspondant sous $\tfrac{1}{f}\,\underline{L}$ soit trivialisé. Alors Cela revient à la donnée d'un torseur […] équivalent : la donnée d'une section de \[\tfrac{1}{f}\,\underline{L} \,/\, \underline{L} \;\simeq\; \underline{L} / f\,\underline{L} ,\] […] obtenue ainsi : on donne ⌜(loc.!)⌝ une trivialisation […] $s$ de $F$, on écrit $b_0$ comme section de $\underline{L}$ $\tfrac{1}{f}\,\underline{L}$, et plus précisément \[b_0 = s + \tfrac{1}{f}\, x \qquad \bigl(x \in \Gamma(S, L)\bigr)\]

54et $x$ est défini modulo $f$ indépendamment de $s$, et on trouve ainsi une section canonique $x_0$ de $L / f L$. En fait, $L/fL$ dans \[S'_0 = V(f) = V(f\,\underline{O}_S) = V(2\,\underline{O}_S),\] on trouve ici $x_0 = \underline{b}_0(\Omega|S'_0) \in \Gamma(S'_0, L|S'_0)$ (d'après § 9). Ainsi le torseur $F$ est déterminé ⌜(à iso près, car $2 \cdot 1_S$ est $\underline{O}_S$-régulier)⌝ par la seule connaissance de $L$ et de la section \[(105)\qquad b_0 \in \Gamma(S_0, L_0)\] De façon précise, la donnée d'un torseur $F$ sous $\underline{L}$, et d'une section $\underline{b}$ de $2F$, existant (et dans une section $\underline{O}_S$-régulière $f$ de $\underline{O}_S$) : la donnée de l'une section $b_0$ de $L_0$, on lui associe le (tout) faisceau localement trivial des sections $x$ de $\tfrac{1}{f}\,L$ telles que \[f x \,|\, S_0 = b_0 .\] écrit en biais dans la marge gauche : voulais pour le faisceau quasi-cohérent […] tel que $f$ soit […] $L$-régulier

$(F, \underline{b})$ est ainsi déterminé par le couple […] donc $B$ aussi […] […] : déterminé […] de $(L, b_0)$ deux lignes et demie biffées, croisées d'un trait ondulé

Dans le cas actuel on doit avoir \[(106)\qquad b_0^2 = \partial_0 \quad (= \partial \,|\, S_0)\] ce qui, si $S_0$ est réduit, détermine $b_0$ de façon unique [et l'existence de $b_0$ est une la phrase se poursuit à la page suivante

55condition nécessaire évidente pour l'existence d'un rev. quadr. $\Omega$ de $S$ correspondant à la donnée $(L, \partial)$], et on trouve ⌜donc⌝, ⌜donnée⌝ ⌜de $(L, b_0)$, le couple⌝ $\bigl(F, \underline{b} \in \Gamma(S, fF)\bigr)$, ⌜$f = 2$⌝, fonctions ⌜formes⌝ donc $(B, e_B, \mathrm{tr})$. Les structures d'Algèbre ⌜$q$⌝ cherchées sur $B$ correspondent donc aux sections d'un torseur ⌜certaines⌝ $\subseteq$ d'un torseur $Q(\underline{b})$ sous $\check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2})$. Mais […] La fonction […] \[\Theta : q \longmapsto \text{\struck{\ill{}}} = \partial(q) = -\operatorname{discr}(q)\] ⌜de $Q(\underline{b})$ dans $\check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2})$⌝ correspondant est ⌜donc une⌝ donc aussi fonction linéaire affine, qui satisfait \[(107)\qquad \Theta(q + \varpi) = \Theta(q) - 4\varpi \qquad \bigl(\varpi \in \Gamma(L^{\otimes 2})\bigr)\] i.e. la fonction linéaire homogène $\Theta_0$ de $\Theta$ est définie par \[(108)\qquad \Theta_0(\varpi) = -4\varpi \qquad \text{i.e. } \Theta_0 = -4\, \mathrm{id}\] remarques au § 6

La section $q$ cherchée est donc celle qui satisfait la condition \[(109)\qquad \Theta(q) = \partial\] ce qui, en termes d'une trivialisation (locale) $q_0$ de $Q(\underline{b})$, permettant d'écrire $q$ sous la forme \[(110)\qquad q = q_0 + \varpi, \qquad \varpi \in \Gamma(S, L^{\otimes 2})\] s'écrit comme \[(111)\qquad \Theta(q_0) - 4\varpi = \partial \qquad \text{i.e. } 4\varpi = \Theta(q_0) - \partial\] le signe devant $4\varpi$ dans (111) est mal formé ; la variante « i.e. » le fixe à $-$

56Comme on a supposé 2 régulier dans $S$, ceci implique détermine $\varpi$ de façon unique (d'où unicité de $q$). Pour la condition d'existence, posons \[(112)\qquad S_1 = V(4\,\underline{O}_S) \subset S\] (première voisinage infinitésimal de $S_0$), et considérons $\Theta(q_0) - \partial \,|\, S_1 = a_1 \text{\struck{\ill{}}}$, il dépend du choix de $q_0$, chaque section [définie modulo $\ldots$ l'existence — et choix, le cas échéant — de $b_0$ satisfaisant (106)] \[(113)\qquad a_1(\partial) = a_1 \in \Gamma(S_1, L^{\otimes 2}),\] et la condition est que d'existence de $q$ est \[(114)\qquad a_1(\partial) = 0\]

On a prouvé :

Th Soit $S$ schéma tel que $2 \cdot 1_S$ soit régulier, $S_0 = V(2 \cdot \underline{O}_S)$, $S_1 = V(4\,\underline{O}_S)$ son premier voisinage infinitésimal. Alors la cat. des […] […] des […] […] une section $\partial$ de $L$ deux lignes biffées après « infinitésimal » Alors la cat. des rev. quadratiques de $S$ (ou des ext. quadratiques de $\underline{O}_S$) équivaut : celle des triples $(L, \partial, b_0)$ d'un Module inversible $L$, d'une section $\partial$ de $L^{\otimes 2}$, et de satisfaisant $b_0 \in \Gamma(S_0, L|S_0)$, satisfaisant les 2 conditions suivantes

a) […] $b_0^2 = \partial_0 \overset{\mathrm{dif}}{=} \partial | S_0$

b) La section $a_1(\partial) \in \Gamma(S_1, L^{\otimes 2}|S_1)$ (définie plus haut et […] en termes de $\partial_1 = \partial|S_1$) est nulle

57(NB Lorsque $S_0$ est réduit, $b_0$ est défini de façon unique par $(L, \partial)$, et a) peut s'écrire comme une condition d'existence d'une racine carrée de $\partial_0$…)

Corollaire 1 Supposons que l'on ait $(L, \partial, b_0)$ satisfaisant a), et soit […] $i : U \hookrightarrow S$ une immersion ouverte tel que […] \[\exists\, \Omega_U \text{ sur } U \text{ \struck{satisfaisant}} \text{ \add{correspondant} aux } \text{\struck{\ill{}}} \text{ \add{données}}\] $L|U, \partial|U, b_0|U$ [i.e. on a $a_1(\partial_1)|(S_1 \cap U) = 0$]. Alors, si $U \cap S_0$ est schématiquement dense dans $S_0$ [p. ex. $S_0$ réduit et $U \cap S_0$ dense dans $S_0$] [et $U \cap S_1$ schématiquement dense dans $S_1$] […] $\exists\, \Omega$ sur $S$ correspondant aux données $(L, \partial, b_0)$.

Cor 2 Sous données Supposons $S_0$ réduit et normal en chaque pt, et soit $(L, \partial)$. tel que […] existe $\Omega_U$ sur un ouvert […] dense de $S$ ; Pour qu'il existe un $\Omega$ […] rev. quadratique $U \cap S_0$ dense dans $S_0$, et de $S$ correspondant à $(L, \partial)$, il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite :

$\forall s$ pt maximal de $S_0$, existe une solution au pb sur le localisé $\operatorname{Spec}(\underline{O}_{S,s})$…

l'énoncé s'arrête sur ces points de suspension ; le reste de la page est blanc

10. Cas mixte.

le numéro 10 est écrit en surcharge sur un autre chiffre ; c'est une seconde rédaction du « Cas mixte » commencé p. 52

Th. Soit $S$ un schéma tel que $2 \cdot 1_S$ soit $\underline{O}_S$-régulier, soit $S_0 = V(2\,\underline{O}_S)$ ($S_1 = V(4\,\underline{O}_S)$). soit $S$. Pour tout rev. quadratique $\Omega$ de $S$, considérons le triple $(L, \partial, b_0)$ formé du module inversible $L \simeq \underline{\det}\bigl(\underline{\mathrm{Aff}}(\Omega/S)\bigr)^{-1}$, de $\partial = \partial(\Omega/S) \in \Gamma(S, L^{\otimes 2})$, et de la section $b_0 = b(\Omega_0/S_0) \in \Gamma(S_0, L_0)$ [où $\Omega_0 = \Omega_{S_0}$, $L_0 = L_{S_0}$], de sorte que l'on a \[(\text{\uncertain{K.1}})\qquad b_0^2 = \partial_0\] le numéro de la formule, lu « (K.1) », est incertain

a) Le foncteur ⌜(entre groupoïdes)⌝ des groupoïdes \[\Omega \longmapsto (L, \partial, b_0)\] est pleinement fidèle.

b) Pour que […] Pour que $(L, \partial, b_0)$ appartienne à l'image essentielle du foncteur précédent, i.e. […] ⌜faut-il⌝, et il faut ⌜il suffit⌝ si $H^1(S, L) \to H^1(S \setminus S_0, L)$ est injectif (p. ex. si $S$ affine…), que $\partial_1 = \partial|S_1$ soit de la forme $b_1^2$, où $b_1 \in \Gamma(S_1, L_1)$ ($L_1 = L_{S_1}$), avec $b_1|S_0 = b_0$, [[…]] ou encore qu'on ait $\partial = b^2 - 4c$ avec $b \in \Gamma(S, L)$ et $c \in \Gamma(S, L^{\otimes 2})$.

c) En tous cas, pour que $(L, \partial, b_0)$ appartienne à l'image essentielle, il faut et il suffit que l'on ait \[\partial_1 = \gamma(b_0),\] où \[\gamma : \text{\struck{\ill{}}}\; \underline{O}_{S_0} \longrightarrow \underline{O}_{S_1}\] est le morphisme de faisceaux ⌜multiplicatifs⌝ déduit de l'anneau \[\underline{O}_{S_1} \longrightarrow \underline{O}_{S_1}, \qquad \beta_1 \longmapsto \beta_1^2 .\] [compte tenu que $\beta_1 \equiv \beta'_1 \ (2) \Rightarrow \beta_1^2 \equiv \beta_1'^{\,2} \ (4)$].

Dém a) DPS $S$ affine. On note que $F$, ⌜le torseur sous $L$⌝, un ⌜de petitesse⌝ faisceau (gaussien), […] est déterminé par $b_0$, comme le sous-faisceau ⌜$F \subset \tfrac{1}{2}L$⌝ de $\tfrac{1}{2}L \supset \underline{L}$ image ce début de démonstration est barré de deux longs traits obliques ; il se poursuit à la page suivante

59inverse de la section $b'_0$ de $(\tfrac{1}{2}L)/L$ déduite de l'image par l'isom. can. (déduit par $2\,\mathrm{id}$) $(\tfrac{1}{2}L)/L \to L/2L$ ⌜de⌝ $b_0$, Alors $2F$ est le sous-faisceau de ⌜$\tfrac{1}{2}L$⌝ $\underline{L}$ engendré par la fin de la démonstration commencée au bas de la page précédente, barrée elle aussi de traits obliques, avec quelques mots biffés au trait

Pour a), DPS $S$ affine, donc les $\Omega$ ⌜rev. quadratiques⌝ envisagés de $S$ correspondent : des […] torseurs $F$ triviaux, i.e. sont : un schéma ⌜de la forme⌝ \[\Omega(b, c) \subset \underline{L}, \qquad \Omega(b, c) = \{\, x \mid x^2 - bx + c = 0 \,\}\] où $b \in \Gamma(S, \underline{L})$, $c \in \Gamma(S, \underline{L}^{\otimes 2})$. Considérons donc ($\underline{L}, \partial, b_0$ fixés) la cat. des $\Omega$ correspondants, […] équivalente : celle des $\Omega(b, c)$, avec $b|S_0 = b_0$, $b^2 - 4c = \partial$, il faut montrer que cette catégorie, ⌜quand⌝ elle est non vide, est équiv. : la cat. ponctuelle, i.e. […] ⌜entre⌝ deux de ses objets il existe un ⌜entre $\Omega(b, c)$ et $\Omega(b', c')$⌝ isom. unique. Or les […] isom. correspondent aux $\tau \in \Gamma(S, \underline{L})$ tels que \[\begin{cases} b' = b + 2\tau \\ c' = c + \tau b + \tau^2 \end{cases}\] Mais $b' = b \ (2)$ […] ⌜$b'_{S_0} = b_{S_0}\ (= b_0)$⌝ signifie bien que $b' = b + 2\tau$ (les $\tau$ est, au reste, déterminé de façon unique, 2 étant $\underline{O}_S$-régulier). Donc, quitte à […] Considérons $c'_1 = c + \tau b + \tau^2$, on […] ⌜donc⌝ \[b^2 - 4c = b'^{\,2} - 4c'_1 = \partial\] et comme $b'^{\,2} - 4c' = \partial$, on trouve \[4(c'_1 - c') = 0\] donc $c'_1 - c' = 0$, i.e. $c' = c'_1$…

60puisque 2 […] (donc 4) est $\underline{O}_S$-régulier. Donc $\Omega(b, c) \simeq \Omega(b', c')$, et l'isom. est unique, cqfd.

b) Les arguments précédents montrent plus généralement, sans hyp. […] affine, que la catégorie des $\Omega(b, c)$ correspondant : $(L, \partial, b_0)$ donnés, est ⌜$\simeq$ cat. ponctuelle⌝. Or si la condition $\partial_1 =$ Considérons $H^1(S, L) \to H^1(S, L_0)$ le début de b) est barré d'un trait horizontal et de traits obliques ; le texte reprend ensuite sans rature injectif implique que les $\Omega$ correspondants : $(L, \partial, b_0)$ souvent correspondant : un module affine qui est un $\underline{L}$-torseur trivial, i.e. admet un scindage. Ces $\Omega$ sont donc isom. : des $\Omega(b, c)$, […] $b \in \Gamma(S, L)$, $c \in \Gamma(S, L^{\otimes 2})$. Donc […] pour que $\Omega(b, c)$ donne $b_0, \partial$, il f. et s. que \[b_{S_0} = b_0, \qquad b^2 - 4c = \partial .\] Donc $(L, \partial, c_0)$ est dans l'image essentielle ssi $\forall\, b, c$ satisfaisant les conditions précédentes. « $c_0$ » est lu tel quel ; le contexte attendrait $b_0$. La phrase « ssi $\forall\, b, c$ » est elle aussi lue telle quelle Ces conditions impliquent évidemment que $\partial_1 = b_1^2$, où $b_1 \in \Gamma(S_1, L_1)$ est tel que $b_1 | S_0 = b_0$. Inversement, s'il existe un tel $b_1$, à les $b$ qui le relèvent […] d'une section de $L$, […] torseur sous $L$ qui : la […] condition : $S \setminus S_0$ […] trivial, donc […] […] […] (associé : […] $= L_1 \to 0$) […] trivial par l'hypothèse ⌜sur $S, S_0$⌝ sur un torseur […] $H^0(S, L) \to H^0(S_1, L_1) \to H^1(S, L) \to H^1(S, L)$ une section $b$. Comme $b^2 - \partial \in 4\,\underline{L}^{\otimes 2}$ et que Or $H^1(S, L)_2 = H^1(S \setminus S_0, L)$ les lignes biffées de ce passage sont croisées de traits obliques ; plusieurs mots restent illisibles (4) est $\underline{O}_S$-régulier ⌜donc $L^{\otimes 2}$-régulier⌝, on peut écrire $b^2 - \partial = 4c$, i.e. $b^2 - 4c = \partial$, cqfd

c) La condition d'existence de $\Omega$, ⌜correspondant à $(L, \partial, b_0)$⌝, ⌜i.e. comme en a)⌝ devient alors locale, […] comme la condition $\partial_1 = \gamma(b_0)$. la page s'arrête sur cette phrase ; la démonstration de c) se poursuit sans doute au-delà de ce lot

7. Symétries Involutions canoniques.

8 Cas où 2 inversible sur \(S\) (car. résiduelles \(\neq 2\))

9. Cas \(S\) de car. 2 (i.e. \(2 \cdot 1_S = 0\))

10 Cas mixte

10. Cas mixte.