7. Symétries Involutions canoniques.

Prop. Soit B Algèbre quadratique sur \underline{O}_S. Alors l'homom. \underline{O}_S-linéaire (84)\qquad \sigma : u \longmapsto \text{\struck{\ill{}}}\; (\mathrm{tr}\, u)\, e_B - u est un automorphisme d'algèbres involutif, caractérisé par la condition (85)\qquad u + \sigma u = (\mathrm{tr}\, u)\, e_B

On notera que la donnée (pour B un \underline{O}_S-Module localement libre de rang 2 muni d'une section e_B partout non nulle au-dessus ) de l'involution \sigma équivaut à la donnée de la forme \underline{b} = \mathrm{tr} (section de 2F), moyennant cette correspondance les \underline{b} correspondent exactement aux pseudo-réflexions \sigma dans les \underline{O}_S-Modules B telles que \sigma e_B = e_B, i.e. admettant \underline{O}_S \cdot e_B comme droite fixe Cette réflexion , endomorphisme deux traits de renvoi relient « comme droite fixe » et le passage biffé aux lignes qui suivent : « droite des pts fixes, »

y \longmapsto \underline{b}(y)\, e_B De la forme générale \sigma u = u + a \otimes \pi_1(u) \qquad \text{i.e. } \sigma = \mathrm{id}_B + a \otimes \pi_1 où a \in \Gamma(B \otimes L \simeq V = \check{B}) \text{ \struck{\ill{}}} \qquad \text{et} \qquad \pi_1 \in \Gamma\bigl(\check{B} \otimes L^{\vee} \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(B, L^{\vee}) \simeq B\bigr) précisément ; \sigma^2 = \mathrm{id}_V + 2\, \pi_1 \otimes a + \langle a, \pi_1 \rangle\, \pi_1 \otimes a = \mathrm{id}_V + \pi_1 \otimes a\, \bigl(2 + \langle a, \pi_1 \rangle\bigr) \langle a, \pi_1 \rangle est écrit au-dessus d'un terme biffé donc \sigma involution et partout \neq \mathrm{id} sur fibre, ssi a \neq 0 fibre, et \langle a, \pi_1 \rangle = -2. Identifions

écrit le long du bord gauche, tourné : B/B' \simeq L^{\vee} L \otimes V \subset \check{V} \otimes V — puis : On veut réflexion d'un module B, B' l'ensemble H des endomorphismes de la forme \mathrm{id} + v, où v \in tel que \mathrm{tr}\, v = -2. le coin inférieur gauche de la marge porte encore quelques lignes biffées illisibles

a à une forme linéaire sur B, et \pi_1 à la section e_B de B (à signe près ) cette relation s'écrit a(e_B) = -2 , et cette égalité on vérifie ( ) qu'on trouve également que a correspond : \underline{b} = \mathrm{tr} …

cas est Cette pseudo-réflexion est une réflexion i.e. est \neq identité en chaque fibre, ssi en car. résiduelle 2, \mathrm{tr}_s sur B_s non (identiquement) nulle. Ceci résulte de la

Proposition. Pour qu'une pseudo-réflexion d'un module quadratique, partout de rang 2 B (prolongeant : une B' \subset B telle que B/B' \simeq L^{\vee}, donné) soit l'identité, il faut et il suffit que S soit de car. 2 (i.e. 2 \cdot 1_S = 0) et que la section de L \otimes B qui la définit soit nulle… donc dans le cas actuel B de rg 2, B' = \underline{O}_S\, e_B, donc L \otimes B \simeq \check{B}, que la forme \underline{b} = \mathrm{tr} sur B qui la définit (\underline{b}(e_B) = 2 \ldots) soit nulle.

Revenons Remarquons maintenant que \underline{b} = \mathrm{tr} provient est la forme trace d'une structure d'Algèbre sur B ayant e_B comme unité. On obtient alors la formule bien connue (86)\qquad u \cdot \sigma u = N(u)\, e_B = q(u)\, e_B i.e. u(\mathrm{tr}\, u - u) = N(u) (87)\qquad u^2 - u\, \mathrm{tr}\, u + N(u) = 0 \qquad \text{\uncertain{ie} \ill{}}

qui peut s'interpréter comme l'équation de Hamilton–Cayley pour l'op. de la translation définie par u dans B.

8 Cas où 2 inversible sur S (car. résiduelles \neq 2)

Dans ce cas la donnée d'une section \underline{b} = \mathrm{tr} de 2F i.e. d'une forme \mathrm{tr} sur B telle que \mathrm{tr}(e_B) = 2, équivaut, par prenant \frac{1}{2}\underline{b} = \frac{1}{2}\mathrm{tr} (88)\qquad s_0 = \tfrac{1}{2}\, \text{\struck{$\underline{b}$}}\; = \tfrac{1}{2}\, \mathrm{tr}\ldots à la donnée d'une section origine s_0 de F, ou encore d'un splitting de l'extension B de L^{\vee} par \underline{O}_S en un iso (89)\qquad \alpha_{s_0} : \underline{O}_S + L^{\vee} \xrightarrow{\;\sim\;} B

Le sous-module \alpha_{s_0}(L^{\vee}) de B, supplémentaire de \underline{O}_S, n'est autre que le noyau de la forme \mathrm{tr} (qui est aussi celui de la forme ), ou encore la sous- propre de \sigma pour val. propre -1. Ceci dit, la donnée d'une structure d'Algèbre sur B compatible avec (e_B, \mathrm{tr}) équivaut à : la donnée de \underline{b}(s_0) \in \Gamma L, \qquad \underline{c}(s_0) \in \Gamma L^{\otimes 2} correspondant au splitting s_0. Or \underline{b} = \underline{b}(s_0) \underline{b}(s_0) \underline{b}(s_0) est la forme trace restreinte à \alpha_{s_0}(L^{\vee}), et dire que s_0 est le splitting canonique signifie que (90)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \underline{b}(s_0) = 0 un renvoi « (14) » est écrit au-dessus de cette ligne, sans qu'on voie à quoi il se rattache

écrit en biais dans la marge gauche : en termes de l'Algèbre q = N_{B/\underline{O}_S} \alpha_{s_0}(L^{\vee}) e_B, \underline{O}_S\, e_B

de sorte que l'extension quadratique est décrite entièrement par la section c_0 de L^{\otimes 2}. On trouve \text{\struck{$\underline{c}$}}\,(91)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; \partial_{\xi} = b_0^2 - 4 c_0 = -4 c_0 et aussi la donnée de c_0 équivaut à celle de \partial. Donc ainsi

Th. Si 2 \cdot 1_S est inv., la catégorie des Algèbres quadratiques sur \underline{O}_S celle (ou celle des rev. quadratiques \Omega de S) équivaut à celle des couples (L, \partial) où L est un \underline{O}_S-Module inversible, et \partial une section de L^{\otimes 2}. Le fibré affine correspondant à \Omega \xi est canoniquement scindé, et son Module des translations est L, de sorte que \Omega \subset \check{\mathbb{V}}(L)\xi. Ceci dit, \Omega(\partial) l'Algèbre est le sous-schéma de \check{\mathbb{V}}(L) des sections x satisfaisant x^2 = \partial, ou — \frac{\ill{}}{2} (92)\qquad \Omega = \tfrac{1}{2}\, \Omega(\partial)

Je voulais : vérifier cette dernière assertion. Si prenons un scindage quelconque, et b, c les sections associées de L, L^{\otimes 2}, on a vu dans § 2 (remarque marginale) que \Omega s'identifie au sous-schéma de \check{\mathbb{V}}(L) d'équation x^2 - b x + c = 0 ce qui ici, comme b = b_0 = 0, s'écrit x^2 = \tfrac{1}{4}\, \partial ou encore (2x)^2 = \partial le numéro de la dernière formule est biffé ; une ligne biffée, illisible, la précède dans la marge

Donc x \mapsto 2x de \check{\mathbb{V}}(L) dans \Omega, x \in \Gamma\Omega 2x \in \Gamma\Omega', i.e. \Omega' = 2\,\Omega d'où le résultat. le passage « Donc … \Omega' = 2\,\Omega » est encadré et barré de traits obliques ; seul « d'où le résultat » reste hors du cadre

Corollaire. Th Les revêtements quadratiques \Omega sur S sont munis d'une opération de \mu_2\ (\simeq (\pm 1)_S), : la formule précédente. L'opération induite sur \Omega n'est autre que l'involution canonique de déduite de celle du § 7.

Décrivons explicitement encore, dans le cas général, B comme quotient de \underline{\mathrm{Aff}}(F) \simeq \underline{\mathrm{Aff}}\, \check{\mathbb{V}}(L) \simeq \underline{\mathrm{Sym}}(L^{\vee}) \simeq \coprod_{n \geqslant 0} L^{\otimes(-n)} par l'idéal engendré par le sous-module inversible engendré par (93)\qquad (\hat{c} + b + 1) \otimes L^{-2} \subset \underline{O}_S + L^{-1} + L^{\otimes(-2)}, \qquad (c + b + 1)^{\wedge} \in \Gamma(L^2 \oplus L \oplus \underline{O}_S) le chapeau est posé sous « c + b + 1 », souligné ; le premier terme, noirci, se lit c sans certitude alors l'involution \sigma correspondante ce qui donne ici B \simeq \underline{\mathrm{Sym}}(L^{\vee}) / (1 - 4\partial)\, L^{\otimes -2} , et notons que l'involution canonique est définie par la conjugaison ( parmi les sections du F \simeq \check{\mathbb{V}}(L) satisfaisant \alpha), par l'égalité (94)\qquad \sigma x = b - x (remarque : § 7) ce qui donne ici x \longmapsto -x, dans le cas b = 0, qui est celui du th. remarque en § 2

9. Cas S de car. 2 (i.e. 2 \cdot 1_S = 0)

Dans ce cas 2F \simeq \check{\mathbb{V}}(L), on a iso can. (95)\qquad 2F \simeq \check{\mathbb{V}}(L) ou ce qui revient au même, la condition \mathrm{tr}(e_B) = 2 sur une forme linéaire \mathrm{tr} sur B nulle sur e_B signifie signifie (96)\qquad \mathrm{tr}(e_B) = 0 de sorte que la forme trace de l'Algèbre est la section \underline{b}) est une section de L (97)\qquad \underline{b} = \mathrm{tr} \in \Gamma(S, L) canoniquement associée à la structure d'alg. quadratique sur B. Ceci dit, on a ceci D'ailleurs, le discriminant est donné par (98)\qquad \partial = \underline{b}^2 En effet, en termes d'un scindage s quelconque avec (99)\qquad \text{\struck{\ill{}}}\; b(s) = \underline{b} \qquad \text{(\uncertain{indépendant} de $s$ !)} et \partial = b^2 - 4c = b^2 = \underline{b}^2 \qquad (\text{car } 4 = 0)

NB Ici l'équation x^2 = \partial s'écrit donc (x - \underline{b})^2 = 0, et définit un sous-schéma de \check{\mathbb{V}}(\text{\struck{\ill{}}}\,L) isomorphe à \alpha_s(L), et sans grand relation avec \Omega… en plus de \underline{b} \in \Gamma(S, L),

En outre, le torseur F sous L, et sa classe (100)\qquad \gamma \in H^1(S, L) est un invariant important de la situation. L'involution la phrase se poursuit à la page suivante

canonique de \Omega \subset F n'est autre que la translation par \underline{b} (cf. précisions de (94), en car. 2). Donc, pour \underline{b} fixé, on peut Dire que \sigma dans B est une réflexion (pas seulement une pseudo-réflexion) signifie aussi que \underline{b} est en tout cas de chaque fibre (§ 7), ou encore (par ex. en vertu de (98)) que \partial est section partout inversible, ou enfin que \Omega est étale sur S.

Dans ce cas, pour \underline{b} fixé, les \Omega correspondants (i.e. les \xi correspondants…) correspondent biunivoquement aux sections du schéma F / \underline{b} On a une suite exacte de schémas en groupes sur S (101)\qquad 0 \longrightarrow (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})_S \longrightarrow \check{\mathbb{V}}(L) \xrightarrow{\;\beta\;} \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}) \longrightarrow 0 \varepsilon \longmapsto \varepsilon\, \underline{b}, \qquad x \longmapsto x^2 + \underline{b}\, x de sorte que (102)\qquad F / \underline{b} \simeq F \wedge^{(\check{\mathbb{V}}(L), \beta)} \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}) \overset{\mathrm{dif}}{=} C s'identifie : un torseur sous \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}), et nulle la donnée de q (ou \Omega) compatible avec \underline{b} s'identifie : la donnée d'une section \sigma de ce torseur, dont F est un rev. étale quadratique. Inversement \Omega se récupère alors comme l'image inverse par \sigma de ce rev. étale quadratique. suite exacte d'Artin–Schreier (en car. 2)

NB Pour bien faire, il faudrait préciser que la structure de torseur sous L^{\otimes 2} provient d'abord sur le faisceau des q (ou \Omega) compatibles avec \underline{b}, est aussi celle des \sigma.

10 Cas mixte

A) Cas où S = S_2 \cup S_{\partial} sous S_2 et S_{\partial}, avec des flèches : « lieu où 2 inv. », « lieu où \partial inv. » i.e. où \Omega est étale pour les lieux des S de car. 2. la ligne précédente est encadrée ; une flèche la renvoie à la ligne « Cas … »

La donnée de \Omega équivaut alors à celle d'un rev. étale quadratique de S_{2\partial} et deux lignes biffées, avec des arcs de renvoi ; seuls quelques mots se lisent

Nous avons donc trouvé précisément une \Omega compatible avec les données précédentes, la situation le couple (L, \partial) du Module inv. L et de (103)\qquad \partial \in \Gamma(S, L^{\otimes 2}) et l'hypothèse est partout

Il faut définir une \Omega compatible avec les données précédentes sur S_{\partial} et S_2, et donc une donnée de recollement sur S_2 \cap S_{\partial} = S_{2\partial}.

a) Sur S_2, on sait (§ 8) que \Omega est déterminé, à iso. près unique par (L, \partial), comme le schéma des solutions de l'équation (104)\qquad x^2 = \partial \qquad \bigl(x \in \Gamma(-, L)\bigr)

b) Sur S_{\partial} S', on a un rev. [étale], qui doit prolonger le rev. étale qu'on a déjà sur S_{2\partial} . On est donc amené (utilisant les de V(\partial) = S - S_{\partial}) à trouver en pt des prolongements, la donnée (L, \partial), sur laquelle on veut faire les prolongements, alors il faut « recoller » les en précisant importante est le torseur F_{S'} (restriction à F) sous \check{\mathbb{V}}(L), trivialisé sur S_2. En fait, on a une section, savoir une section b_0 = \tfrac{1}{2}\underline{b} de F|S_2 \underline{b} de 2F, dans une une flèche biffée renvoie ici depuis la marge dont les prolongements par f = 2 en prolongement, et on veut décrire les prolongements. En termes de l'immersion i : S_f \longrightarrow S' \qquad (f = 2 \cdot 1_{S'}) on peut dire que l'on a \text{\struck{\ill{}}}\quad \underline{L} \subset \tfrac{1}{f}\, \underline{L} \subset i_*(L|S_f) f étant sans diviseur section régulière de \underline{O}_S, et F est un torseur sous \underline{L} tel que le torseur la donnée d' déduit correspondant sous \tfrac{1}{f}\,\underline{L} soit trivialisé. Alors Cela revient à la donnée d'un torseur équivalent : la donnée d'une section de \tfrac{1}{f}\,\underline{L} \,/\, \underline{L} \;\simeq\; \underline{L} / f\,\underline{L} , obtenue ainsi : on donne (loc.!) une trivialisation s de F, on écrit b_0 comme section de \underline{L} \tfrac{1}{f}\,\underline{L}, et plus précisément b_0 = s + \tfrac{1}{f}\, x \qquad \bigl(x \in \Gamma(S, L)\bigr)

et x est défini modulo f indépendamment de s, et on trouve ainsi une section canonique x_0 de L / f L. En fait, L/fL dans S'_0 = V(f) = V(f\,\underline{O}_S) = V(2\,\underline{O}_S), on trouve ici x_0 = \underline{b}_0(\Omega|S'_0) \in \Gamma(S'_0, L|S'_0) (d'après § 9). Ainsi le torseur F est déterminé (à iso près, car 2 \cdot 1_S est \underline{O}_S-régulier) par la seule connaissance de L et de la section (105)\qquad b_0 \in \Gamma(S_0, L_0) De façon précise, la donnée d'un torseur F sous \underline{L}, et d'une section \underline{b} de 2F, existant (et dans une section \underline{O}_S-régulière f de \underline{O}_S) : la donnée de l'une section b_0 de L_0, on lui associe le (tout) faisceau localement trivial des sections x de \tfrac{1}{f}\,L telles que f x \,|\, S_0 = b_0 . écrit en biais dans la marge gauche : voulais pour le faisceau quasi-cohérent tel que f soit L-régulier

(F, \underline{b}) est ainsi déterminé par le couple donc B aussi : déterminé de (L, b_0) deux lignes et demie biffées, croisées d'un trait ondulé

Dans le cas actuel on doit avoir (106)\qquad b_0^2 = \partial_0 \quad (= \partial \,|\, S_0) ce qui, si S_0 est réduit, détermine b_0 de façon unique [et l'existence de b_0 est une la phrase se poursuit à la page suivante

condition nécessaire évidente pour l'existence d'un rev. quadr. \Omega de S correspondant à la donnée (L, \partial)], et on trouve donc, donnée de (L, b_0), le couple \bigl(F, \underline{b} \in \Gamma(S, fF)\bigr), f = 2, fonctions formes donc (B, e_B, \mathrm{tr}). Les structures d'Algèbre q cherchées sur B correspondent donc aux sections d'un torseur certaines \subseteq d'un torseur Q(\underline{b}) sous \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}). Mais La fonction \Theta : q \longmapsto \text{\struck{\ill{}}} = \partial(q) = -\operatorname{discr}(q) de Q(\underline{b}) dans \check{\mathbb{V}}(L^{\otimes 2}) correspondant est donc une donc aussi fonction linéaire affine, qui satisfait (107)\qquad \Theta(q + \varpi) = \Theta(q) - 4\varpi \qquad \bigl(\varpi \in \Gamma(L^{\otimes 2})\bigr) i.e. la fonction linéaire homogène \Theta_0 de \Theta est définie par (108)\qquad \Theta_0(\varpi) = -4\varpi \qquad \text{i.e. } \Theta_0 = -4\, \mathrm{id} remarques au § 6

La section q cherchée est donc celle qui satisfait la condition (109)\qquad \Theta(q) = \partial ce qui, en termes d'une trivialisation (locale) q_0 de Q(\underline{b}), permettant d'écrire q sous la forme (110)\qquad q = q_0 + \varpi, \qquad \varpi \in \Gamma(S, L^{\otimes 2}) s'écrit comme (111)\qquad \Theta(q_0) - 4\varpi = \partial \qquad \text{i.e. } 4\varpi = \Theta(q_0) - \partial le signe devant 4\varpi dans (111) est mal formé ; la variante « i.e. » le fixe à -

Comme on a supposé 2 régulier dans S, ceci implique détermine \varpi de façon unique (d'où unicité de q). Pour la condition d'existence, posons (112)\qquad S_1 = V(4\,\underline{O}_S) \subset S (première voisinage infinitésimal de S_0), et considérons \Theta(q_0) - \partial \,|\, S_1 = a_1 \text{\struck{\ill{}}}, il dépend du choix de q_0, chaque section [définie modulo \ldots l'existence — et choix, le cas échéant — de b_0 satisfaisant (106)] (113)\qquad a_1(\partial) = a_1 \in \Gamma(S_1, L^{\otimes 2}), et la condition est que d'existence de q est (114)\qquad a_1(\partial) = 0

On a prouvé :

Th Soit S schéma tel que 2 \cdot 1_S soit régulier, S_0 = V(2 \cdot \underline{O}_S), S_1 = V(4\,\underline{O}_S) son premier voisinage infinitésimal. Alors la cat. des des une section \partial de L deux lignes biffées après « infinitésimal » Alors la cat. des rev. quadratiques de S (ou des ext. quadratiques de \underline{O}_S) équivaut : celle des triples (L, \partial, b_0) d'un Module inversible L, d'une section \partial de L^{\otimes 2}, et de satisfaisant b_0 \in \Gamma(S_0, L|S_0), satisfaisant les 2 conditions suivantes

a) b_0^2 = \partial_0 \overset{\mathrm{dif}}{=} \partial | S_0

b) La section a_1(\partial) \in \Gamma(S_1, L^{\otimes 2}|S_1) (définie plus haut et en termes de \partial_1 = \partial|S_1) est nulle

(NB Lorsque S_0 est réduit, b_0 est défini de façon unique par (L, \partial), et a) peut s'écrire comme une condition d'existence d'une racine carrée de \partial_0…)

Corollaire 1 Supposons que l'on ait (L, \partial, b_0) satisfaisant a), et soit i : U \hookrightarrow S une immersion ouverte tel que \exists\, \Omega_U \text{ sur } U \text{ \struck{satisfaisant}} \text{ \add{correspondant} aux } \text{\struck{\ill{}}} \text{ \add{données}} L|U, \partial|U, b_0|U [i.e. on a a_1(\partial_1)|(S_1 \cap U) = 0]. Alors, si U \cap S_0 est schématiquement dense dans S_0 [p. ex. S_0 réduit et U \cap S_0 dense dans S_0] [et U \cap S_1 schématiquement dense dans S_1] \exists\, \Omega sur S correspondant aux données (L, \partial, b_0).

Cor 2 Sous données Supposons S_0 réduit et normal en chaque pt, et soit (L, \partial). tel que existe \Omega_U sur un ouvert dense de S ; Pour qu'il existe un \Omega rev. quadratique U \cap S_0 dense dans S_0, et de S correspondant à (L, \partial), il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite :

\forall s pt maximal de S_0, existe une solution au pb sur le localisé \operatorname{Spec}(\underline{O}_{S,s})…

l'énoncé s'arrête sur ces points de suspension ; le reste de la page est blanc

10. Cas mixte.

le numéro 10 est écrit en surcharge sur un autre chiffre ; c'est une seconde rédaction du « Cas mixte » commencé p. 52

Th. Soit S un schéma tel que 2 \cdot 1_S soit \underline{O}_S-régulier, soit S_0 = V(2\,\underline{O}_S) (S_1 = V(4\,\underline{O}_S)). soit S. Pour tout rev. quadratique \Omega de S, considérons le triple (L, \partial, b_0) formé du module inversible L \simeq \underline{\det}\bigl(\underline{\mathrm{Aff}}(\Omega/S)\bigr)^{-1}, de \partial = \partial(\Omega/S) \in \Gamma(S, L^{\otimes 2}), et de la section b_0 = b(\Omega_0/S_0) \in \Gamma(S_0, L_0) [où \Omega_0 = \Omega_{S_0}, L_0 = L_{S_0}], de sorte que l'on a (\text{\uncertain{K.1}})\qquad b_0^2 = \partial_0 le numéro de la formule, lu « (K.1) », est incertain

a) Le foncteur (entre groupoïdes) des groupoïdes \Omega \longmapsto (L, \partial, b_0) est pleinement fidèle.

b) Pour que Pour que (L, \partial, b_0) appartienne à l'image essentielle du foncteur précédent, i.e. faut-il, et il faut il suffit si H^1(S, L) \to H^1(S \setminus S_0, L) est injectif (p. ex. si S affine…), que \partial_1 = \partial|S_1 soit de la forme b_1^2, où b_1 \in \Gamma(S_1, L_1) (L_1 = L_{S_1}), avec b_1|S_0 = b_0, [] ou encore qu'on ait \partial = b^2 - 4c avec b \in \Gamma(S, L) et c \in \Gamma(S, L^{\otimes 2}).

c) En tous cas, pour que (L, \partial, b_0) appartienne à l'image essentielle, il faut et il suffit que l'on ait \partial_1 = \gamma(b_0), où \gamma : \text{\struck{\ill{}}}\; \underline{O}_{S_0} \longrightarrow \underline{O}_{S_1} est le morphisme de faisceaux multiplicatifs déduit de l'anneau \underline{O}_{S_1} \longrightarrow \underline{O}_{S_1}, \qquad \beta_1 \longmapsto \beta_1^2 . [compte tenu que \beta_1 \equiv \beta'_1 \ (2) \Rightarrow \beta_1^2 \equiv \beta_1'^{\,2} \ (4)].

Dém a) DPS S affine. On note que F, le torseur sous L, un de petitesse faisceau (gaussien), est déterminé par b_0, comme le sous-faisceau F \subset \tfrac{1}{2}L de \tfrac{1}{2}L \supset \underline{L} image ce début de démonstration est barré de deux longs traits obliques ; il se poursuit à la page suivante

inverse de la section b'_0 de (\tfrac{1}{2}L)/L déduite de l'image par l'isom. can. (déduit par 2\,\mathrm{id}) (\tfrac{1}{2}L)/L \to L/2L de b_0, Alors 2F est le sous-faisceau de \tfrac{1}{2}L \underline{L} engendré par la fin de la démonstration commencée au bas de la page précédente, barrée elle aussi de traits obliques, avec quelques mots biffés au trait

Pour a), DPS S affine, donc les \Omega rev. quadratiques envisagés de S correspondent : des torseurs F triviaux, i.e. sont : un schéma de la forme \Omega(b, c) \subset \underline{L}, \qquad \Omega(b, c) = \{\, x \mid x^2 - bx + c = 0 \,\} où b \in \Gamma(S, \underline{L}), c \in \Gamma(S, \underline{L}^{\otimes 2}). Considérons donc (\underline{L}, \partial, b_0 fixés) la cat. des \Omega correspondants, équivalente : celle des \Omega(b, c), avec b|S_0 = b_0, b^2 - 4c = \partial, il faut montrer que cette catégorie, quand elle est non vide, est équiv. : la cat. ponctuelle, i.e. entre deux de ses objets il existe un entre \Omega(b, c) et \Omega(b', c') isom. unique. Or les isom. correspondent aux \tau \in \Gamma(S, \underline{L}) tels que \begin{cases} b' = b + 2\tau \\ c' = c + \tau b + \tau^2 \end{cases} Mais b' = b \ (2) b'_{S_0} = b_{S_0}\ (= b_0) signifie bien que b' = b + 2\tau (les \tau est, au reste, déterminé de façon unique, 2 étant \underline{O}_S-régulier). Donc, quitte à Considérons c'_1 = c + \tau b + \tau^2, on donc b^2 - 4c = b'^{\,2} - 4c'_1 = \partial et comme b'^{\,2} - 4c' = \partial, on trouve 4(c'_1 - c') = 0 donc c'_1 - c' = 0, i.e. c' = c'_1…

puisque 2 (donc 4) est \underline{O}_S-régulier. Donc \Omega(b, c) \simeq \Omega(b', c'), et l'isom. est unique, cqfd.

b) Les arguments précédents montrent plus généralement, sans hyp. affine, que la catégorie des \Omega(b, c) correspondant : (L, \partial, b_0) donnés, est \simeq cat. ponctuelle. Or si la condition \partial_1 = Considérons H^1(S, L) \to H^1(S, L_0) le début de b) est barré d'un trait horizontal et de traits obliques ; le texte reprend ensuite sans rature injectif implique que les \Omega correspondants : (L, \partial, b_0) souvent correspondant : un module affine qui est un \underline{L}-torseur trivial, i.e. admet un scindage. Ces \Omega sont donc isom. : des \Omega(b, c), b \in \Gamma(S, L), c \in \Gamma(S, L^{\otimes 2}). Donc pour que \Omega(b, c) donne b_0, \partial, il f. et s. que b_{S_0} = b_0, \qquad b^2 - 4c = \partial . Donc (L, \partial, c_0) est dans l'image essentielle ssi \forall\, b, c satisfaisant les conditions précédentes. « c_0 » est lu tel quel ; le contexte attendrait b_0. La phrase « ssi \forall\, b, c » est elle aussi lue telle quelle Ces conditions impliquent évidemment que \partial_1 = b_1^2, où b_1 \in \Gamma(S_1, L_1) est tel que b_1 | S_0 = b_0. Inversement, s'il existe un tel b_1, à les b qui le relèvent d'une section de L, torseur sous L qui : la condition : S \setminus S_0 trivial, donc (associé : = L_1 \to 0) trivial par l'hypothèse sur S, S_0 sur un torseur H^0(S, L) \to H^0(S_1, L_1) \to H^1(S, L) \to H^1(S, L) une section b. Comme b^2 - \partial \in 4\,\underline{L}^{\otimes 2} et que Or H^1(S, L)_2 = H^1(S \setminus S_0, L) les lignes biffées de ce passage sont croisées de traits obliques ; plusieurs mots restent illisibles (4) est \underline{O}_S-régulier donc L^{\otimes 2}-régulier, on peut écrire b^2 - \partial = 4c, i.e. b^2 - 4c = \partial, cqfd

c) La condition d'existence de \Omega, correspondant à (L, \partial, b_0), i.e. comme en a) devient alors locale, comme la condition \partial_1 = \gamma(b_0). la page s'arrête sur cette phrase ; la démonstration de c) se poursuit sans doute au-delà de ce lot