Cote n° 77, pages 21–40

Cote n° 77 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1977]
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Extensions quadratiques

Titre de sa main, en tête de la page 21 ; il ouvre une suite numérotée 1 à 6 (et « 5 bis ») et une numérotation continue des formules, de (1) à (66), qui court sur tout le lot. Notations fixées pour le lot : il souligne $\mathcal{O}_S$, $\underline{\mathrm{Sym}}$, $\underline{\mathrm{Hom}}$ ; on rend $\mathcal{O}_S$ sans soulignement, et le fibré vectoriel (V à double barre, surmonté d'un accent) par $\check{\mathbb{V}}$ ; $\check{B}$, $\check{L}$, $\check{V}$ sont les duaux. Le discriminant, noté d'abord $\Delta$ puis surchargé en une lettre gothique, est rendu $\mathfrak{D}$.

211. Un […] ⌜revêtement⌝ quadratique d'un schéma $S$ est un $S$-schéma $\Omega$ fini loc. libre de rang $2$ sur $S$. La catégorie de ces revêtements quadratiques ($S$ fixé) est équivalente à celle des $\mathcal{O}_S$-Algèbres (commut. unifères) $B$ loc. libres de rang $2$, ou extensions quadratiques ⌜dites aussi⌝ de $\mathcal{O}_S$. Pour $S$ variable, on trouve une catégorie fibrée sur $(\mathrm{Sch})_{/S}$ \[(1)\qquad \Omega = \mathrm{Spec}(B)\] Soit […] \[(2)\qquad \check{L} = B/\mathcal{O}_S \qquad 0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{\;i\;} B \to \check{L} \to 0\] module inversible. On a une structure d'extension \[(3)\qquad 0 \to L \to \check{B} \xrightarrow{\;\pi\;} \mathcal{O}_S \to 0\] sur le $L$ de (3) et de la ligne suivante, une tache d'encre au-dessus de la lettre, peut-être un accent effacé. i.e. un fibré affine de rang $1$ sur $S$, ayant $L$ comme module des translations, les splittings ⌜scindages⌝ sont \[(4)\qquad E = \check{\mathbb{V}}(\check{B}) \simeq \mathbb{V}(B) = \mathrm{Spec}\bigl(\underline{\mathrm{Sym}}_{\mathcal{O}_S}(B)\bigr) = \mathrm{Spec}\bigl(\underline{\mathrm{Sym}}_{\mathcal{O}_S} B/(e_B - 1)\bigr)\] où $e$ désigne la section unité de $B$. Les sections de $E$ sur $S$ correspondent aux scindages de (3), ou aux homs de $\mathcal{O}_S$-modules $B \to \mathcal{O}_S$ qui transforment $e_B$ en $1_S$, i.e. inverses à gauche de $i$. Parmi ceux-ci il y a les scindages homs de $\mathcal{O}_S$-Algèbres. Donc […] que l'[…] application inj. \[(5)\qquad \Omega(S) \hookrightarrow E(S)\] ainsi définie commute à tt chgt de base $S' \to S$,

22on trouve une plongement immersion canonique \[(6)\qquad \Omega \hookrightarrow E\] également compatible à tt chgt de base. Soit […] plongement $\to$ $F$ un fibré affine sous un fibré vectoriel $\check{\mathbb{V}}(V)$, et considérons une ⌜défini par une⌝ structure d'extension […] \[\begin{aligned} &(7) && 0 \to V \to \check{C} \to \mathcal{O}_S \to 0\\ &\text{\struck{(8)}} && 0 \to \mathcal{O}_S \to \check{C} \to \check{V} \to 0 \end{aligned}\] avec \[F = \mathrm{Spec}\bigl(\underline{\mathrm{Sym}}\, \check{C}/(e_C - 1)\bigr)\] dans la seconde ligne et dans la formule de $F$, l'accent de $\check{C}$ est noyé sous une tache ; la suite écrit $C$ sans accent. où $e_C$ est l'image ⌜dans $C$⌝ de la section $1$ de $\mathcal{O}_S$. Mais les homs \[\Omega \longrightarrow F\] correspondent aux homs de $\mathcal{O}_S$-algèbres \[\underline{\mathrm{Sym}}(C)/(e_C - 1) \longrightarrow B\] ou encore aux homs de $\mathcal{O}_S$-Modules \[C \xrightarrow{\;\varphi\;} B\] tels que \[\varphi(e_C) = e_B\] ou, par transposition, aux homs d'extensions de (3) dans (7), i.e. aux homs de fibrés affines $E \to F$. Donc on trouve une isom. canonique \[(9)\qquad \mathrm{Hom}_S(\Omega, F) \simeq \mathrm{Homaff}_S(E, F)\] (ce qui justifie le nom d'enveloppe affine de $\Omega$ donné à $E$), d'où par chgt de base \[\text{\struck{\ill{}}}\ (10)\qquad \underline{\mathrm{Hom}}_S(\Omega, F) \simeq \underline{\mathrm{Homaff}}_S(E, F) .\]

232. Si on se donne une section $s$ de l'enveloppe affine, i.e. un splitting de (3), i.e. un iso de $\mathcal{O}_S$-Modules \[(11)\qquad B \simeq \mathcal{O}_S \oplus \check{L} ,\] alors la structure de $\mathcal{O}_S$-Algèbre de $B$ est déterminée par la donnée de la multiplication \[\check{L} \otimes \check{L} \longrightarrow B \simeq \mathcal{O}_S + \check{L}\] qui sera donnée elle-même par deux homs \[(12)\qquad \begin{cases} b \in \Gamma\,\underline{\mathrm{Hom}}(L^{\otimes(-2)}, L^{-1}) \simeq \Gamma L\\ c \in \Gamma\,\underline{\mathrm{Hom}}(L^{\otimes(-2)}, \mathcal{O}_S) \simeq \Gamma L^{\otimes 2} . \end{cases}\] De façon précise, on aura \[(13)\qquad \begin{cases} (\lambda \oplus s(u))(\mu \oplus s(v)) = (\lambda\mu - cuv) \oplus s(\lambda v + \mu u + buv) .\\ \text{i.e. } s(u)s(v) = -cuv \oplus s(buv) \end{cases}\] attention : convention de signe ? le signe devant $cuv$ et celui devant $buv$ sont surchargés ; une flèche relie le premier à la note marginale. On aura Calculons $\mathrm{tr}_{\Omega/S}(\lambda + u)$ et $N_{\Omega/S}(\lambda + u)$.

(14) On aura \[\mathrm{tr}(\lambda + u) = 2\lambda + \mathrm{tr}\, u\] Or la multiplication $\mu_u$ par $u$ est donnée par \[\mu \oplus v \longmapsto -cuv \oplus s(\mu u + buv)\] signe $-$ ! i.e. par la matrice \[\mu_u = \begin{pmatrix} 0 & -cu\\ \uncertain{u} & -bu \end{pmatrix} , \qquad \mu_{\lambda \oplus u} = \begin{pmatrix} \lambda & -cu\\ u & \lambda + bu \end{pmatrix}\] le $0$ de la première matrice est une tache d'encre, et le terme sous lui se lit mal ; la première matrice porte $-bu$ là où la seconde porte $+bu$. donc \[(14)\qquad \begin{cases} \mathrm{tr}\, u = bu\\ N u = cu^2 \end{cases}\] d'où \[(15)\qquad \begin{cases} \mathrm{tr}(\lambda \oplus u) = 2\lambda + bu\\ N(\lambda \oplus u) = \lambda^2 + \lambda bu + cu^2 \end{cases}\] dans (14) et (15), les signes devant $bu$ et $cu^2$ sont surchargés d'une tache ; on lit $+$.

En termes des $s$ définissant un iso $\uncertain{F} \simeq \check{\mathbb{V}}(L)$, […] $B$) […] un plongement $\Omega \subset \check{\mathbb{V}}(L)$ et $\Omega$ est caractérisé dans $\check{\mathbb{V}}(L)$ comme le ss-schéma des sections $x$ telles que \[\boxed{x^2 - bx + c = 0}\] La cat. des $\Omega$ (ou $B$) munis d'un scindage équivalente à celle des triples $(L, b, c)$. les deux notes ci-dessus sont dans la moitié droite du bas de la page : la première encadrée d'un trait, la seconde écrite verticalement le long du bord droit.

Voyons la dépendance de $b = b(s)$ et $c = c(s)$ par rapport à $s$. Soit […] \[(16)\qquad s' = s + \tau \qquad \tau \in \Gamma(E) \qquad \text{i.e. } s'(u) = s(u) + \tau u \ \text{pour } u \in \Gamma\check{L}\] on lit $\Gamma(E)$ ; la suite traite $\tau$ comme une section de $L$.

24considérons \[b' = b(s'), \qquad c' = c(s')\] définis par \[\begin{aligned} s'(u)s'(v) &= -c'uv + s'(b'uv) = -c'uv + s(b'uv) + \tau b'uv\\ &= (\tau b' - c')uv \oplus s(b'uv) \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \Vert\qquad&\\ (s(u) \oplus \tau u)(s(v) \oplus \tau v) &= s(u)s(v) + (\tau u)s v + \tau(v) s u + \text{\struck{$(\tau u)(\tau v)$}}\\ &= \text{\struck{\ill{}}}\\ &= (\tau^2 - c)uv \oplus s\bigl((b + 2\tau\ \text{\struck{\ill{}}})uv\bigr) \end{aligned}\] au-dessus et au-dessous de la deuxième ligne, il note les valeurs des termes : $s(u)s(v) = -cuv + s(buv)$, $(\tau u)sv + \tau(v)su = s(2\tau uv)$, et $\tau^2 uv$ au-dessus du terme biffé. donc \[\begin{cases} b' = b + 2\tau\\ \tau b' - c' = \tau^2 - c \end{cases} \qquad \begin{aligned} \text{i.e. } c' &= c + \tau b' - \tau^2\\ &= c + \tau b + 2\tau^2 - \tau^2\\ &= c + \tau b + \tau^2 \end{aligned}\] \[(17)\qquad \begin{cases} b' = b + 2\tau\\ c' = c + \tau b + \tau^2 . \end{cases}\]

3. Considérons \[(18)\qquad \mathfrak{D} = b^2 - 4c \in \Gamma(S, L^{\otimes 2}) ,\] $\mathfrak{D}$ est écrit sur un $\Delta$, et suivi d'un « $= \Delta$ » noirci. on a alors \[\begin{aligned} \mathfrak{D}(s') &= (b + 2\tau)^2 - 4(c + \tau b + \tau^2)\\ &= b^2 + (4\tau^2 + 4\tau b) - 4(c + \tau b + \tau^2)\\ &= b^2 - 4c = \mathfrak{D}(s) \end{aligned}\] donc $\Delta$ est un invariant de $\Omega$, indépendant des splittings $s$, on l'appelle le discriminant du revêtement quadratique $\Omega$ de $S$, ou encore de l'Algèbre quadratique $B$, ⌜noté $\mathfrak{D}(\Omega/S)$⌝. On va voir qu'il est égal à $-\delta(N_{\Omega/S})$ ⌜[…]⌝ discriminant de la forme quadratique $N_{\Omega/S}$ : […] […] la forme (19) $\Delta(N_{\Omega/S}) = -4\mathfrak{D}(\Omega/S)$ bilinéaire associée à $N_{\Omega/S}$ est […] $\mathrm{tr}(uv)$

Le reste de la page, encadré, est annulé par des traits obliques ; il se lit : i.e. (19) \[\text{\struck{$N(\xi + \eta) = N(\xi) + N(\eta) + \mathrm{tr}(\xi\eta)$}}\] […] on peut choisir un splitting $s$, et on a, si $\xi = \lambda \oplus u$, $\eta = \mu \oplus v$, $\xi\eta = (\lambda\mu - cuv)$ $\oplus (\lambda v + \mu u + buv)$, \[\begin{aligned} &\text{\struck{$N(\xi + \eta) = (\lambda + \mu)^2 + b(\lambda + \mu)(u + v) + c(u + v)^2$}}\\ &\text{\struck{$\quad = (\lambda^2 + b\lambda u + cu^2) + (\mu^2 + b\mu v + cv^2) + 2cuv + 2\lambda\mu + b(\lambda v + \mu u)$}}\\ &\text{\struck{$\quad = N(\xi) + N(\eta) + 2cuv + 2\lambda\mu + b(\lambda v + \mu u)$}} \end{aligned}\]

25\[(19)\qquad \Delta(N_{\Omega/S}) = -\text{\struck{$4$}}\,\mathfrak{D}(\Omega/S)\] Pour ceci, on va d'abord calculer la forme bil. $\varphi$ associée à $N$, on trouve \[\begin{aligned} &(20) && \varphi_{\Omega/S}(\xi, \eta) = \mathrm{tr}\,\xi\, \mathrm{tr}\,\eta - \mathrm{tr}(\xi\eta)\\ &\text{[ou variante (21)} && \varphi_{\Omega/S}(\xi, 1) = \mathrm{tr}\,\xi\ ] \end{aligned}\] i.e. \[(22)\qquad N(\xi + \eta) = N(\xi) + N(\eta) + \bigl(\mathrm{tr}\,\xi\,\mathrm{tr}\,\eta - \mathrm{tr}(\xi\eta)\bigr) .\] Pour vérifier la formule (21), on peut choisir un splitting et calculer avec $b$, $c$. On peut aussi considérer comme […] ⌜en vérification⌝ une formule plus générale, valable pour $\xi, \eta \in \mathrm{End}(B)$, où $B$ est un fibré vectoriel de rang $2$ quelconque…

On conclut de (20) que la forme discriminante est donnée par \[\wedge^2\varphi(\xi \wedge \xi', \eta \wedge \eta') = \det\begin{pmatrix} \varphi(\xi, \eta) & \varphi(\xi, \eta')\\ \varphi(\xi', \eta) & \varphi(\xi', \eta') \end{pmatrix}\] on va prendre $\xi' = e_B$, $\eta' = e_B$, et ⌜$\xi = \eta$⌝, on trouve \[\wedge^2\varphi(e_B \wedge \xi, e_B \wedge \xi) = \det\begin{pmatrix} (\mathrm{tr}\,\xi)^2 - \mathrm{tr}(\xi^2) & \mathrm{tr}\,\xi\\ \mathrm{tr}\,\xi & 2 \end{pmatrix} = \text{\struck{$2$}}(\mathrm{tr}\,\xi)^2 - 2\,\mathrm{tr}(\xi^2)\] \[\text{\struck{$= (\mathrm{tr}\,\xi)^2 \ldots - (\mathrm{tr}\,\eta)^2$}}\] dans la matrice, des $\eta$ sont surchargés en $\xi$, et le $2$ est écrit sur une lettre noircie. On veut vérifier que ceci est égal à $-$$4$$\,\mathfrak{D}\cdot u^2$, où $u, v$ sont les images de $\xi, \eta$ dans $\Gamma\check{L}$. Pour ceci, OPS « on peut supposer » l'existence d'un scindage $s$, et que $\xi = s(u)$ […] ; on trouve, comme \[\xi^2 = s(u)^2 = -cu^2 \oplus s(bu^2), \qquad \mathrm{tr}\,\xi^2 = -2cu^2 + b^2u^2\] et on a \[\begin{aligned} \wedge^2\varphi(1 \wedge s(u), 1 \wedge s(u)) &= \text{\struck{\ill{}}}\ (bu)^2 - 2(-2cu^2 + b^2u^2)\\ &= (4c - b^2)u^2 = -\mathfrak{D}u^2 , \quad \text{cqfd.} \end{aligned}\]

264. Supposons qu'on se donne une trivialisation \[(23)\qquad L \xrightarrow[\sim]{\;\alpha\;} \mathcal{O}_S\] i.e. une section $\alpha^{-1}$ ⌜$\alpha'$⌝ de $\check{L}$. Alors la donnée d'un scindage équivaut à la donnée d'une section $t$ de $B$ au-dessus de $\alpha^{-1}$, la donnée d'un isom. (23) et d'un scindage équivaut à la donnée d'une trivialisation complète du fibré affine $E = E_\Omega$, i.e. d'un isom. de fibrés affines \[E_\Omega \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{E}^1_S ,\] ou encore : la donnée d'une section $t$ de $B$ qui, avec la section unité $e_B \in B$, Alors $b$ et $c$ […] ⌜i.e. telle que $(1, t)$⌝ soit une base de $B$ sur $\mathcal{O}_S$. On peut ⌜alors⌝ identifier $b$ et $c$ à des sections de $\mathcal{O}_S$, et celles-ci sont définies par la condition (déduite de 2 (13) en y faisant $u = v = t$) \[(24)\qquad t^2 - bt + c = 0\] on trouve \[(25)\qquad b = \mathrm{tr}\, t, \qquad c = N(t) .\] L'formule n° 23, autre version : \[L^{\otimes 2} \xrightarrow[\sim]{\;s^2\;} \mathcal{O}_S\] et on a alors \[(26)\qquad \mathfrak{D}(\Omega/S) = (b^2 - 4c)s^2 \qquad \text{identifié, par } s, \text{ à } b^2 - 4c .\] (24) s'écrit avec $+c$, alors que (13) donnait $s(u)s(v) = -cuv \oplus s(buv)$ : le signe de $c$ n'est pas le même qu'en (13).

275. La donnée d'un revêtement quadratique $\Omega$ sur $S$, grâce à la considération des plongements canoniques de $\Omega$ dans son enveloppe affine $E$, revient à la donnée :

a) d'un fibré affine de rang $1$ $E$ sur $S$,

b) d'un diviseur relatif de $\Omega$ dans $E/S$, i.e. d'une section de $\underline{\mathrm{Div}}^{+2}_{E/S} \simeq \Sigma^2(E) = E \times_S E/\mathfrak{S}_2$.

On sait que […] les $\underline{\mathrm{Div}}^{n}_{E/S}$ ⌜$\simeq (E_{/S})^n/\mathfrak{S}_n$⌝ sont des fibrés affines sur $S$, de rangs respectifs $n$, précisons par exemple la structure obtenue ainsi. On regarde d'abord le cas où $E$ est trivialisé par une section $s$ \[(27)\qquad E \xleftarrow[\sim]{\;\alpha_s\;} \check{\mathbb{V}}L\] et on a alors un iso \[\Sigma^n(\alpha_s) : \Sigma^n \check{\mathbb{V}}(L) = \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\Bigr) \xrightarrow{\;\sim\;} \Sigma^n E\] où l'iso \[(28)\qquad \Sigma^n \check{\mathbb{V}}L \simeq \check{\mathbb{V}}L^n/\mathfrak{S}_n \longrightarrow \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\Bigr)\] est défini par passage au quotient : partir de \[(29)\qquad \sigma_n : \check{\mathbb{V}}(L^n) \longrightarrow \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\Bigr)\] donné par \[(30)\qquad \sigma_n = (\sigma_i)_{1 \le i \le n} \qquad \sigma_i(x_1, \ldots, x_n) = \sum x_1 x_2 \cdots x_i\] ($i$-ème fonction symétrique élémentaire). Si on change $s$ en \[s' = s + \tau \qquad (\tau \in \Gamma L)\] i.e. \[\alpha_{s'} = \alpha_s + \mathrm{trans}(\tau)\] d'où

28\[(31)\qquad \Sigma^n(\alpha_{s'}) = \Sigma^n(\alpha_s)\,\underbrace{\Sigma^n(\mathrm{trans}\,\tau)}_{\varphi_n(\tau)}\] et on trouve que \[\begin{aligned} \varphi_n(\tau) : \Sigma^n(\check{\mathbb{V}}L) &\xrightarrow{\;\sim\;} \Sigma^n \check{\mathbb{V}}L\\ \Vert\qquad&\qquad\qquad \Vert\\ \textstyle\sum L^{\otimes i} &\longrightarrow \textstyle\sum L^{\otimes i} \end{aligned}\] est défini par la commutativité du […] diagramme

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\begin{tikzcd}
\check{\mathbb{V}}\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i} \arrow[r, "\varphi_n(\tau)"] & \check{\mathbb{V}}\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\\
\check{\mathbb{V}}L^n \arrow[u, "\sigma_n"] \arrow[r, "(\mathrm{trans}\,\tau)^n"] & \check{\mathbb{V}}(L^n) \arrow[u, "\sigma_n"']
\end{tikzcd}

i.e. \[\Bigl(\sum (x_1 + \tau)(x_2 + \tau) \cdots (x_i + \tau)\Bigr)_{1 \le i \le n} = \varphi_n(\tau)\bigl(\underbrace{\textstyle\sum x_1 \cdots x_i}_{\sigma_i(x)}\bigr)_i\] le premier membre est écrit en partie sur des lettres surchargées ; on transcrit $\sum (x_1+\tau)\cdots(x_i+\tau)$, ce qui est $\sigma_i(x_1+\tau, \ldots, x_n+\tau)$. \[\Vert\] \[\text{\struck{$\sigma_1(x) + n\tau,\ \sigma_2(x) + (n-1)\tau\sigma_1(x) + \tfrac{n(n-1)}{2}\tau^2,\ \sigma_3(x) + \ldots$}}\] N.B. On pose $\sigma_0 = 1$. \[\begin{aligned} \Bigl(\prod_{1 \le i \le n} (1 + X\tau + X_i)\Bigr) - 1 &= \Bigl(\sum_{0 \le p \le n} (1 + \tau)^{n-p}\sigma_p\Bigr) - 1\\ &= \text{\struck{\ill{}}} \sum_{\substack{0 \le p, q \le n\\ p + q > 0}} \frac{(n-p)!}{q!\,(n-p-q)!}\,\tau^q\sigma_p \end{aligned}\] devant le produit, une lettre noircie ; on lit $X\tau + X_i$ tel quel, la variable $X$ servant visiblement à séparer les degrés. donc \[(32)\qquad \varphi_n(\tau)(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = \bigl(\varphi_n(\tau)_i(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\bigr)_{1 \le i \le n}\] avec \[(33)\qquad \varphi_n(\tau)_i(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = \sum_{\substack{p, q \ge 0\\ p + q = i}} \frac{(n-p)!}{(n-i)!\,q!}\,\tau^q\sigma_p \ \text{\struck{$= \ldots$}}\] sous (33), une ligne biffée et illisible, reliée par une accolade. On voit que les $\varphi_n(\tau)$ sont des transformations affines

29et on trouve donc un hom de groupes […] \[\check{\mathbb{V}}(L) \xrightarrow{\;\varphi_n\;} \mathrm{Aff}\Bigl(\check{\mathbb{V}}\bigl(\textstyle\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\bigr)\Bigr)\] et un hom \[\begin{cases} s \longmapsto \Sigma^n(\alpha_s)\\ E \longrightarrow \mathrm{Isom}\Bigl(\check{\mathbb{V}}\bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\bigr), \Sigma^n(E)\Bigr) \end{cases}\] induisant un isomorphisme isom. \[(34)\qquad E \wedge^{\check{\mathbb{V}}(L)} \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\Bigr) \simeq \Sigma^n(E)\] permettant de transporter sur $\Sigma^n(E)$ la structure affine de $\check{\mathbb{V}}\bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\bigr)$.

En particulier, on trouve \[(35)\qquad \varphi_2(\tau)(\sigma_1, \sigma_2) = (\sigma_1 + 2\tau,\ \sigma_2 + \tau\sigma_1 + \tau^2)\] la transformation linéaire affine correspondante est \[(36)\qquad \varphi_2^0(\tau)(\sigma_1, \sigma_2) = (\sigma_1,\ \sigma_2 + \tau\sigma_1)\] où on interprète $\tau = s \in \Gamma L$ comme un […]

La suite de la page, encadrée, est annulée par deux grandes diagonales et, en tête, par des traits horizontaux ; on en lit : qui est constitué on se considère d'action de $\mathrm{trans}(\tau)$ sur $F$ donc sur le module […] (notation $\check{B}$ ou $\mathfrak{E}$), extension de $\check{E}$ $\mathcal{O}_S$ par $L$, on trouve que $\mathrm{id}_E$, considéré par transmutation une extension sur $L$ par $L^{\otimes 2}$, définit $L \otimes \check{B}$, extension de […] (37) $\psi(\tau) \in \ill{}$ Hom d'ext $(L \otimes \check{B})$

30Les trois premières lignes de la page sont encadrées d'un trait, et une ligne ondulée court sur la formule ; on ne peut dire si l'encadré les annule. d'où une injection \[\psi : \check{\mathbb{V}}(L) \longrightarrow \underline{\mathrm{Autom}}\ \text{d'ex}\bigl(0 \to L^{\otimes 2} \to L \otimes \check{B} \to L \to 0\bigr)\] et on a un […]

On interprète les scindages de […] l'extension \[(37)\qquad 0 \to L \to \check{B} \to \mathcal{O}_S \to 0\] (qui définit le fibré affine $E$), i.e. comme un iso \[\check{B} \simeq \text{\struck{$L$}}\ \mathcal{O}_S \oplus L\] i.e. comme un isom. d'extensions \[(38)\qquad \tilde{\alpha}_s : \check{B} \otimes L \simeq L \oplus L^{\otimes 2}\] On trouve que … et que $\alpha_s$ transforme … un iso. canonique entre le groupe des translations de l'espace affine $\Sigma^2(F)$ […] \[\text{Donc } \Sigma^2(F) = F \wedge^{\check{\mathbb{V}}(L), \varphi_2^0} \check{\mathbb{V}}(L + L^{\otimes 2})\] avec $\check{B} \otimes L$. … Donc

Proposition […] Si $F$ est un fibré affine de rang $1$, $\Sigma^2 F$ correspondant à l'extension (37), alors $\Sigma^2(F)$ est canoniquement muni d'une structure de fibré affine sous le groupe vectoriel $\check{B} \otimes L$ (extension de $L$ par $L^{\otimes 2}$). Le fibré associé affine de

31rang $1$ \[\Sigma^2(F)/\mathbb{V}(L^{\otimes 2})\] est canoniquement isomorphe : $2F$ dans $\check{\mathbb{V}}(\check{B}) = \mathbb{V}(B)$, image inverse dans $\check{\mathbb{V}}(\check{B})$ de la section $2$ de $\check{\mathbb{V}}(\mathcal{O}_S)$ ; i.e. \[(39)\qquad \Sigma^2(F)/\mathbb{V}(L^{\otimes 2}) \simeq 2F\]

Ainsi La donnée d'une section $\sigma$ de $\Sigma^2(F)$, ou encore d'un diviseur quadratique $\Omega \subset F$, […] définit donc une section de $2F$, qu'on appelle la fonction dénote par $\underline{b}_\Omega$. […] Le morphisme \[(40)\qquad \Sigma^2(F) \xrightarrow{\;\underline{b}\;} 2F\] est caractérisé par la condition de commuter aux chgts de base, et de transformer la section de $\Sigma^2(F)$ image d'une section $(s_1, s_2)$ de $F^2$, en la section $s_1 + s_2$ de $2F$ (ainsi $\underline{b}$ est une sorte de trace universelle) ; entre « est » et « une sorte », un mot court illisible. en termes de $\Omega$, et on peut aussi dire que $\underline{b}$ (i.e. la variété en termes de $\Omega \mapsto \underline{b}_\Omega$) est défini par la condition de compatibilité avec chgts de base, et que pour les schémas relatifs les diviseurs quadratiques

32$\Omega(s_1, s_2)$, défini par le couple de sections $(s_1, s_2)$, i.e. l'idéal $\mathcal{J}(s_1)\cdot\mathcal{J}(s_2) \subset \mathcal{O}_F$, en la section \[(41)\qquad \underline{b}_{\Omega(s_1, s_2)} = s_1 + s_2 \quad (\in \Gamma(2F)) .\] En termes d'un $\Omega$ quelconque, on peut aussi dire que $\underline{b}_\Omega$ est caractérisé par la condition suivante : pour toute ⌜section⌝ […] (soit locale) $s$ de $F$, envisageons la section $2s$ de $2F$, on a \[(42)\qquad b(s) = \underline{b}(s) - 2s\] Si $\Omega = \Omega(s_1, s_2)$, cela donne bien \[(43)\qquad b(s) = s_1 + s_2 - 2s = (s_1 - s) + (s_2 - s)\]

On peut donc dire que la donnée d'une section $\sigma$ de $\Sigma^2(F)$ — i.e. d'un diviseur quadratique $\Omega \subset F$ — revient à la donnée successive

a) d'une section $\underline{b}$ de $2F$ — d'où par […] image inverse un fibré affine de rang $1$ \[(44)\qquad \Sigma(\underline{b}) \ \text{\struck{\ill{}}}\] sous le groupe des translations $L^{\otimes 2}$ ; et

b) d'une section $\sigma$ de $\Sigma(\underline{b})$. $\Sigma$ rend ici un signe tracé en sablier ($X$ fermé haut et bas par deux barres), plus appuyé que les $\Sigma$ des pages précédentes ; la page 33 écrit $\mathrm{cl}(\Sigma(\underline{b}))$ d'un $\Sigma$ ordinaire. Au-dessus de (44), une flèche $\hookrightarrow$ chiffrée $1$, sans but visible.

33L'ens. des sections de $2F$ (qui est […] […]) torseur sous $\Gamma(S, L)$ est vide ssi la classe $2\,\mathrm{cl}(F) = \mathrm{cl}(2F)$ dans $H^1(S, L)$ est $\neq 0$. Alors c'est un torseur sous $H^0(S, L)$ (qui exprime la première indétermination). La section $\underline{b}$ étant choisie, l'ens. des $\sigma$ correspondants de $\underline{b}$ est non vide ssi la classe \[c(\underline{b}) = \mathrm{cl}(\Sigma(\underline{b})) \in H^1(S, L^{\otimes 2})\] est $= 0$ ; et alors c'est un torseur sous $H^0(S, L^{\otimes 2})$. dans la première ligne, « $\neq 0$ » est écrit sur un « $= 0$ » : la phrase, telle qu'elle est corrigée, dit « vide ssi $\ldots \neq 0$ », ce qui revient au même que la leçon primitive « non vide ssi $= 0$ » de la ligne suivante.

On peut considérer que $\Sigma^2(F)$, torseur affine sous $\check{B} \otimes L$, est donné par une structure d'extension \[(45)\qquad 0 \to \check{B} \otimes L \longrightarrow V^{(2)} \longrightarrow \mathcal{O}_S \to 0\] (où on considère $\check{B}$ comme $V^{(1)}$). En effet, on a $\mathrm{Sym}^2(\check{B}) = \mathrm{Sym}^2(V^{(1)})$ est une extension de $\mathrm{Sym}^2(\mathcal{O}_S) = \mathcal{O}_S$ par $\mathcal{O}_S \otimes V^{(1)} = V^{(1)}$. En fait, la proposition précédente se précise en \[(46)\qquad \Sigma^2(F) = \text{fibré affine associé à l'extension } V^{(2)} = \mathrm{Sym}^2(\check{B}) \text{ de } \mathcal{O}_S \text{ par } V^{(1)} = \check{B} .\] les exposants $(1)$ et $(2)$ de $V$ sont petits et se confondent parfois ; on les lit d'après l'argument. Dans (46), le « $=$ » est repassé.

34(5 bis) Détermination de $\Sigma^n(F)$ (2ème mouture …)

Considérons l'extension vectorielle définissant ⌜un fibré affine de rang $1$⌝ $F$ \[(47)\qquad 0 \to L \xrightarrow{\;i_1\;} V \xrightarrow{\;\pi_1\;} \mathcal{O}_S \to 0 \qquad (V = \check{B})\] \[(48)\qquad F = \pi_1^{-1}(1) \subset \check{\mathbb{V}}(V)\] on en déduit, pour tout $n \ge 1$, une structure d'extension \[(49)\qquad 0 \to L \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(V) \xrightarrow{\;i_n\;} \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \xrightarrow{\;\pi_n\;} \mathcal{O}_S \to 0\] (en théorie) qui vient […] sur $\underline{\mathrm{Sym}}^n(V)$ une filtration décroissante par les \[(50)\qquad \underbrace{L^{i} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^{n-i}(V)}_{\mathrm{Fil}^i\, \mathrm{Sym}^n(V)} \subset \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \quad (0 \le i \le n)\] dans (47), le $V$ est écrit sur une lettre noircie, avec un « $\leq$ » au-dessus. Dans (49), le $V$ de $\mathrm{Sym}^{n-1}$ et celui de $\mathrm{Sym}^n$ sont surchargés.

La suite de la page, encadrée en marge d'un trait vertical, est annulée par trois longues diagonales ; elle se lit : Conséquences \[\text{\struck{(51)\quad $\Sigma^n F = \pi_n^{-1}(1) \subset \check{\mathbb{V}}(\underline{\mathrm{Sym}}^n V)$}}\] le fibré affine associé à l'extension (50). Ceci se déduit d'un isomorphisme canonique \[\text{\struck{(52)\quad $\underbrace{\Sigma^n(F)}_{\text{\uncertain{puissance} symétrique}} \xrightarrow[\sim]{\;\varphi_n\;} \Sigma^n$}}\] 6) Description « fonctorielle ». On définit la morphisme de passage au quotient des \[\text{\struck{(53)\quad $\Psi_n : F^n \longrightarrow \Sigma^n,\quad \Psi_n(x_1, \ldots, x_n) = x_1$}}\] le numéro 6) est écrit sur un autre chiffre ; la ligne qui le précède, tirée sur toute la largeur, sépare le passage de ce qui précède.

35Considérons aussi la suite exacte transposée de (47) \[(51)\qquad 0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{\;i'_1\;} \check{V} \xrightarrow{\;\pi'_1\;} \check{L} \to 0 \qquad (\check{V} = B)\] et notons tout de suite que, comme $V$ est de rang $2$, on a un isom. canonique \[(52)\qquad \check{V} \simeq V \otimes (\det V)^{-1}\] déduit de l'accouplement symétrique ⌜alterné⌝ \[(53)\qquad V \otimes V \longrightarrow \det V, \qquad x \otimes y \longmapsto x \wedge y ;\] d'ailleurs la suite exacte (47), définit un isom. canonique \[(54)\qquad \det V \xrightarrow[\sim]{\;\alpha\;} L\] en associant par la condition \[(55)\qquad \alpha(i_1(\lambda) \wedge x) = \lambda\, \pi_1(x) \qquad \lambda \in \Gamma(-, L),\ x \in \Gamma(-, V)\] En conjuguant (52) et (54), on trouve un iso canonique \[(56)\qquad \check{V} \xleftarrow[\sim]{\;\alpha\;} V \otimes L^{-1}\] par la condition … associé : l'accouplement alterné \[(57)\qquad \begin{cases} (V \otimes L^{-1}) \otimes V \xrightarrow{\;\varphi\;} \mathcal{O}_S\\ \quad \simeq (V \otimes V) \otimes L^{-1} \end{cases}\] défini par la condition que \[(58)\qquad \varphi(i_1(\lambda) \otimes x \otimes \mu) = \lambda\mu\, \pi_1(x) \qquad \lambda \in \Gamma L,\ x \in \Gamma V,\ \mu \in \Gamma V\] dans (56), la flèche est repassée en noir ; dans (58), l'argument $i_1(\lambda)$ est en partie noirci. Les appartenances sont écrites sous chaque facteur ; « $\mu \in \Gamma V$ » est tel quel, alors que $\mu$ figure ensuite comme scalaire.

36On peut encore dire que l'iso $\alpha$ (56) est défini par l'accouplement alterné \[(57\,\text{bis})\qquad V \otimes V \xrightarrow{\;\varphi\;} L\] défini par la condition que l'on a \[(58\,\text{bis})\qquad \varphi(i_1(\lambda) \otimes x) = \lambda\, \pi_1(x) \qquad \lambda \in \Gamma L,\ x \in \Gamma V\] dans (57 bis), au-dessus du premier $V$, un signe noirci ; dans (58 bis), l'argument $i_1(\lambda)$ est en partie noirci.

Ceci dit, la filt transposons (57) par $L^{-1}$, on trouve sur $L^{-1} \otimes V$ une structure d'extension \[(59)\qquad 0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{\;i'\;} L^{-1} \otimes V \xrightarrow{\;\pi'\;} \check{L} \to 0\] sous $L^{-1} \otimes V$ est écrit $\wr\,\alpha$, puis $\check{V}$ : l'iso (56). qui, compte tenu de l'iso (56), n'est autre que la structure d'extension (51) [i.e. $\alpha$ transforme $i'_1$ en $i'$, $\pi'_1$ en $\pi'$]. […] équivalent […] (49) […] transposée … note écrite en oblique dans la marge gauche, à la hauteur de (59).

Considérons l'hom canonique

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}]
\mathrm{Sym}^n(\check{V}) \arrow[r, hook] & \mathrm{Sym}^*(\check{V}) = \mathrm{Algaff}\,\check{\mathbb{V}}(V) \arrow[r] & \mathrm{Sym}^*(\check{V})/(e_V - 1) \arrow[d, no head, "\Vert" description]\\
L^{\otimes(-n)} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \arrow[u, "{\mathrm{Sym}^n(\alpha) = \alpha_n}", "\wr"'] \arrow[d, "{\mathrm{Sym}^n(\alpha) = \alpha_n}"', "\wr"] & & \mathrm{Algaff}(F)\\
\underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \arrow[r, "J_n"] & \mathrm{Algaff}(F) &
\end{tikzcd}

La dernière ligne est numérotée (60) dans la marge, où est aussi écrit « suite ». Sous $\underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V})$ : « $=$ faisceau des formes sur $V$ ».

37Proposition 61 ⌜$\forall n \in \mathbb{N}$⌝ L'hom $J_n$ est injectif, et on a commutativité dans le diagramme

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\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=large]
L^{\otimes -n} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \arrow[r, "\alpha_n", "\sim"'] \arrow[d, "i_n"', "{\mathrm{id}_{L^{\otimes(-n-1)}} \otimes \ldots}"] & \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \arrow[r, hook, "J_n"] \arrow[d, "{\text{mult. par } e_{\check{V}} = i'_1(1)}"] & \underline{\mathrm{Algaff}}(F) \arrow[d, no head, "\Vert" description]\\
L^{\otimes(-n-1)} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^{n+1}(V) \arrow[r, "\sim", "\alpha_{n+1}"'] & \underline{\mathrm{Sym}}^{n+1}(\check{V}) \arrow[r, hook, "J_{n+1}"] & \mathrm{Algaff}(F)
\end{tikzcd}

La flèche verticale de gauche porte $i_n$ à droite et, à gauche, « $\mathrm{id}_{L^{\otimes(-n-1)}} \otimes$ » suivi d'un mot biffé et noirci, rendu ici par « $\ldots$ » ; dans la marge gauche, à la même hauteur, un autre signe noirci.

Enfin, $\mathrm{Algaff}(F)$ est isomorphe à la limite inductive des $\underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \simeq L^{\otimes(-n)} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^n(V)$.

NB Les sections de $\underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V})$, identifiées à des fonctions sur $F$, s'identifient aux fonctions ⌜polynômiales⌝ de degré $\le n$. [Comme […] […] celles-ci et des formes sur $V$ ($= \check{\mathbb{V}}(V)$) de degré $n$. Pour une telle $f$, sa classe modulo $\underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(\check{V})$ (fonctions polynômiales de degré $\le n - 1$) s'appelle le terme dominant de $f$, et s'identifie à une section de $L^{\otimes(-n)}$ ; ainsi ⌜elle s'identifie⌝ aussi : à la restriction à $L$ de la $n$-forme sur $V$ associée à $f$. ! On notera que dans cette propriété, interviennent de façon cruciale des […] ⌜relatives⌝ sur les fibrés affines de rang quelconque, et aussi spéciaux aux fibrés de rang $1$, liés à la dualité (52). Les quatre dernières lignes sont réunies par une accolade dans la marge gauche, devant laquelle il a mis « ! ». Le crochet ouvert après « $\le n$ » n'est pas refermé sur la page.

38Soit maintenant (pour $n \ge 1$ fixé) $D$ un diviseur relatif de rang $n$ sur $F$. Soit [$M_D \subset \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V})$] le faisceau des sous-Module des fonctions polynômiales sur $F$ de degré $\le n$ s'annulant sur $D$. les crochets qui entourent « $M_D \subset \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V})$ » sont reliés par un trait au mot « relatif » de la ligne précédente.

Proposition $M_D$ est un supplémentaire de $\underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(\check{V})$ dans $\underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V})$, i.e. la composée \[M_D \hookrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V})/\underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(\check{V}) \simeq L^{\otimes -n}\] est un iso. L'application \[D \longmapsto M_D\] est une bijection de l'ens. des diviseurs relatifs sur $F$ de degré $n$ avec l'ens. des sous-Modules $M_D$ de $\underline{\mathrm{Sym}}^n(V)$ satisfaisant la condition précédente. Cette bijection est compatible avec les chgts de base, et définit un isomorphisme

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\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}]
\underline{\mathrm{Div}}^{+n}_{F/S} \arrow[r, "\sim"] & \underline{\mathrm{Splittings}}\ \text{de}\ \bigl(0 \to \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(\check{V}) \to \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \to L^{\otimes -n} \to 0\bigr)\\
\Sigma^n(F/S) \arrow[u, "\wr"] & \underline{\mathrm{splittings}}\ \text{de}\ L^{\otimes \ldots}\ \ldots \arrow[u, no head, "\wr" description]
\end{tikzcd}

Sous $\Sigma^n(F/S)$ : « puissance sym. $n$-ième ». Le coin inférieur droit est un griffonnage dense : on lit « splittings de $L^{\otimes \ldots}$ », un mot surchargé (tels que), puis « de la suite exacte, i.e. » et une suite biffée $0 \to L \otimes \mathrm{Sym}^{n-1}(V)$ $\to \mathrm{Sym}^n(V) \to \mathcal{O}_S \to 0$. L'argument continue sans doute au-delà de la page.

39On trouve ainsi un isom. canonique \[\begin{aligned} (62)\qquad \Sigma^n(F/S) \simeq{} & \text{fibré affine associé à l'extension}\\ & 0 \to \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(V) \otimes L \to \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \to \mathcal{O}_S \to 0\\ & \bigl(\text{donc le fibré des translations } \to \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(V) \otimes L\bigr) \end{aligned}\] Cette suite exacte s'interprète comme celle ⌜associée à l'hom⌝ des formes de degré $n$ sur $\check{V}$ ⌜$\simeq V \otimes L^{-1}$⌝ ⌜vers $\mathcal{O}_S$⌝, par la « valeur en $e_{\check{V}} = e_B$ ». Donc la donnée d'une section de $\Sigma^n(F/S)$, i.e. d'un diviseur relatif de degré $n$ sur $F$, équivaut à la donnée d'une forme de degré $n$ sur $B = \check{V}$, prenant la valeur $1$ en $e_B$.

6. Spécialisons ceci au cas de $n = 2$. On trouve

Théorème Soit $F$ fibré affine, associé à l'ext. (47) de $\mathcal{O}_S$ par fibré ⌜« espace⌝ des translations » $L$, ou ext. $B$ de $\check{L}$ par $\mathcal{O}_S$, correspondant par dualité : la donnée, dans le Module loc. libre ⌜$B$⌝ de rang $2$, d'une section $e_B$ non nulle en chaque fibre. Il y a donc une corr. biunivoque entre

a)Les structures d'Algèbres commutatives unifères sur $B$ admettant $e_B$ comme élément unité.
b)Les diviseurs relatifs ⌜[…] sur $F$⌝ (de degré $2$ sur $S$)
c)Les sections de $\Sigma^2(F/S)$

d)Les formes quadratiques $q$ sur $B$ satisfaisant la condition \[(63)\qquad q(e_B) = 1\]

Les équivalences entre b), c), d) viennent d'être explicitées, celle entre a) et b) a été vue dans 5). Il reste à expliciter (i.e. pour un […] a) et b)) la relation \[(64)\qquad \Omega = \mathrm{Spec}(B) ,\] lorsque $\Omega$ ⌜$\subset F$⌝ et une structure d'Algèbre sur $B$ se correspondent. Enfin, on aura \[(65)\qquad q = N_{B/\mathcal{O}_S}\]

[[Pour vérifier ce dernier point, nous allons le reformuler pour $n$ quelconque. Notons que la donnée d'une section de $\Sigma^n(F/S)$, ou ce qui revient au même, d'une $n$-forme $f_n$ sur $B$ telle que $f_n(e_B) = 1$, ou encore d'un $n$-diviseur relatif $\Omega_n$ sur $S$ équivaut : la donnée d'une ⌜loc. libre⌝ $\mathcal{O}_S$-Algèbre $C_n$ de rang $n$, et d'un hom ⌜surj.⌝

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\begin{tikzcd}
\underline{\mathrm{Algaff}}(F) \arrow[r] & C_n\\
\underline{\mathrm{Sym}}^*(B)/(e_B - 1) \arrow[u, "\wr"']
\end{tikzcd}

ou ce qui revient au même, d'un hom de ⌜$\mathcal{O}_S$-Mod.⌝ \[(66)\qquad B \xrightarrow{\;g\;} C_n\] Le crochet double ouvert avant « Pour vérifier » n'est pas refermé sur la page, et la phrase s'interrompt en bas du feuillet : l'argument se poursuit au-delà du lot.