Fonds Grothendieck, cote n° 77, pages 21–40

Extensions quadratiques

Titre de sa main, en tête de la page 21 ; il ouvre une suite numérotée 1 à 6 (et « 5 bis ») et une numérotation continue des formules, de (1) à (66), qui court sur tout le lot. Notations fixées pour le lot : il souligne \mathcal{O}_S, \underline{\mathrm{Sym}}, \underline{\mathrm{Hom}} ; on rend \mathcal{O}_S sans soulignement, et le fibré vectoriel (V à double barre, surmonté d'un accent) par \check{\mathbb{V}} ; \check{B}, \check{L}, \check{V} sont les duaux. Le discriminant, noté d'abord \Delta puis surchargé en une lettre gothique, est rendu \mathfrak{D}.

1. Un revêtement quadratique d'un schéma S est un S-schéma \Omega fini loc. libre de rang 2 sur S. La catégorie de ces revêtements quadratiques (S fixé) est équivalente à celle des \mathcal{O}_S-Algèbres (commut. unifères) B loc. libres de rang 2, ou extensions quadratiques dites aussi de \mathcal{O}_S. Pour S variable, on trouve une catégorie fibrée sur (\mathrm{Sch})_{/S} (1)\qquad \Omega = \mathrm{Spec}(B) Soit (2)\qquad \check{L} = B/\mathcal{O}_S \qquad 0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{\;i\;} B \to \check{L} \to 0 module inversible. On a une structure d'extension (3)\qquad 0 \to L \to \check{B} \xrightarrow{\;\pi\;} \mathcal{O}_S \to 0 sur le L de (3) et de la ligne suivante, une tache d'encre au-dessus de la lettre, peut-être un accent effacé. i.e. un fibré affine de rang 1 sur S, ayant L comme module des translations, ~~les splittings~~ scindages sont (4)\qquad E = \check{\mathbb{V}}(\check{B}) \simeq \mathbb{V}(B) = \mathrm{Spec}\bigl(\underline{\mathrm{Sym}}_{\mathcal{O}_S}(B)\bigr) = \mathrm{Spec}\bigl(\underline{\mathrm{Sym}}_{\mathcal{O}_S} B/(e_B - 1)\bigr) où e désigne la section unité de B. Les sections de E sur S correspondent aux scindages de (3), ou aux homs de \mathcal{O}_S-modules B \to \mathcal{O}_S qui transforment e_B en 1_S, i.e. inverses à gauche de i. Parmi ceux-ci il y a les ~~scindages~~ homs de \mathcal{O}_S-Algèbres. Donc que l' application inj. (5)\qquad \Omega(S) \hookrightarrow E(S) ainsi définie commute à tt chgt de base S' \to S,

on trouve une ~~plongement~~ immersion canonique (6)\qquad \Omega \hookrightarrow E également compatible à tt chgt de base. Soit ~~plongement~~ \to F un fibré affine sous un fibré vectoriel \check{\mathbb{V}}(V), ~~et considérons une~~ défini par une structure d'extension \begin{aligned} &(7) && 0 \to V \to \check{C} \to \mathcal{O}_S \to 0\\ &\text{\struck{(8)}} && 0 \to \mathcal{O}_S \to \check{C} \to \check{V} \to 0 \end{aligned} avec F = \mathrm{Spec}\bigl(\underline{\mathrm{Sym}}\, \check{C}/(e_C - 1)\bigr) dans la seconde ligne et dans la formule de F, l'accent de \check{C} est noyé sous une tache ; la suite écrit C sans accent. où e_C est l'image dans C de la section 1 de \mathcal{O}_S. Mais les homs \Omega \longrightarrow F correspondent aux homs de \mathcal{O}_S-algèbres \underline{\mathrm{Sym}}(C)/(e_C - 1) \longrightarrow B ou encore aux homs de \mathcal{O}_S-Modules C \xrightarrow{\;\varphi\;} B tels que \varphi(e_C) = e_B ou, par transposition, aux homs d'extensions de (3) dans (7), i.e. aux homs de fibrés affines E \to F. Donc on trouve une isom. canonique (9)\qquad \mathrm{Hom}_S(\Omega, F) \simeq \mathrm{Homaff}_S(E, F) (ce qui justifie le nom d'enveloppe affine de \Omega donné à E), d'où par chgt de base \text{\struck{\ill{}}}\ (10)\qquad \underline{\mathrm{Hom}}_S(\Omega, F) \simeq \underline{\mathrm{Homaff}}_S(E, F) .

2. Si on se donne une section s de l'enveloppe affine, i.e. un splitting de (3), i.e. un iso de \mathcal{O}_S-Modules (11)\qquad B \simeq \mathcal{O}_S \oplus \check{L} , alors la structure de \mathcal{O}_S-Algèbre de B est déterminée par la donnée de la multiplication \check{L} \otimes \check{L} \longrightarrow B \simeq \mathcal{O}_S + \check{L} qui sera donnée elle-même par deux homs (12)\qquad \begin{cases} b \in \Gamma\,\underline{\mathrm{Hom}}(L^{\otimes(-2)}, L^{-1}) \simeq \Gamma L\\ c \in \Gamma\,\underline{\mathrm{Hom}}(L^{\otimes(-2)}, \mathcal{O}_S) \simeq \Gamma L^{\otimes 2} . \end{cases} De façon précise, on aura (13)\qquad \begin{cases} (\lambda \oplus s(u))(\mu \oplus s(v)) = (\lambda\mu - cuv) \oplus s(\lambda v + \mu u + buv) .\\ \text{i.e. } s(u)s(v) = -cuv \oplus s(buv) \end{cases} attention : convention de signe ? le signe devant cuv et celui devant buv sont surchargés ; une flèche relie le premier à la note marginale. ~~On aura~~ Calculons \mathrm{tr}_{\Omega/S}(\lambda + u) et N_{\Omega/S}(\lambda + u).

~~(14)~~ On aura \mathrm{tr}(\lambda + u) = 2\lambda + \mathrm{tr}\, u Or la multiplication \mu_u par u est donnée par \mu \oplus v \longmapsto -cuv \oplus s(\mu u + buv) signe - ! i.e. par la matrice \mu_u = \begin{pmatrix} 0 & -cu\\ \uncertain{u} & -bu \end{pmatrix} , \qquad \mu_{\lambda \oplus u} = \begin{pmatrix} \lambda & -cu\\ u & \lambda + bu \end{pmatrix} le 0 de la première matrice est une tache d'encre, et le terme sous lui se lit mal ; la première matrice porte -bu là où la seconde porte +bu. donc (14)\qquad \begin{cases} \mathrm{tr}\, u = bu\\ N u = cu^2 \end{cases} d'où (15)\qquad \begin{cases} \mathrm{tr}(\lambda \oplus u) = 2\lambda + bu\\ N(\lambda \oplus u) = \lambda^2 + \lambda bu + cu^2 \end{cases} dans (14) et (15), les signes devant bu et cu^2 sont surchargés d'une tache ; on lit +.

En termes des s définissant un iso \uncertain{F} \simeq \check{\mathbb{V}}(L), B) un plongement \Omega \subset \check{\mathbb{V}}(L) et \Omega est caractérisé dans \check{\mathbb{V}}(L) comme le ss-schéma des sections x telles que \boxed{x^2 - bx + c = 0} La cat. des \Omega (ou B) munis d'un scindage équivalente à celle des triples (L, b, c). les deux notes ci-dessus sont dans la moitié droite du bas de la page : la première encadrée d'un trait, la seconde écrite verticalement le long du bord droit.

Voyons la dépendance de b = b(s) et c = c(s) par rapport à s. Soit (16)\qquad s' = s + \tau \qquad \tau \in \Gamma(E) \qquad \text{i.e. } s'(u) = s(u) + \tau u \ \text{pour } u \in \Gamma\check{L} on lit \Gamma(E) ; la suite traite \tau comme une section de L.

considérons b' = b(s'), \qquad c' = c(s') définis par \begin{aligned} s'(u)s'(v) &= -c'uv + s'(b'uv) = -c'uv + s(b'uv) + \tau b'uv\\ &= (\tau b' - c')uv \oplus s(b'uv) \end{aligned} \begin{aligned} \Vert\qquad&\\ (s(u) \oplus \tau u)(s(v) \oplus \tau v) &= s(u)s(v) + (\tau u)s v + \tau(v) s u + \text{\struck{$(\tau u)(\tau v)$}}\\ &= \text{\struck{\ill{}}}\\ &= (\tau^2 - c)uv \oplus s\bigl((b + 2\tau\ \text{\struck{\ill{}}})uv\bigr) \end{aligned} au-dessus et au-dessous de la deuxième ligne, il note les valeurs des termes : s(u)s(v) = -cuv + s(buv), (\tau u)sv + \tau(v)su = s(2\tau uv), et \tau^2 uv au-dessus du terme biffé. donc \begin{cases} b' = b + 2\tau\\ \tau b' - c' = \tau^2 - c \end{cases} \qquad \begin{aligned} \text{i.e. } c' &= c + \tau b' - \tau^2\\ &= c + \tau b + 2\tau^2 - \tau^2\\ &= c + \tau b + \tau^2 \end{aligned} (17)\qquad \begin{cases} b' = b + 2\tau\\ c' = c + \tau b + \tau^2 . \end{cases}

3. Considérons (18)\qquad \mathfrak{D} = b^2 - 4c \in \Gamma(S, L^{\otimes 2}) , \mathfrak{D} est écrit sur un \Delta, et suivi d'un « = \Delta » noirci. on a alors \begin{aligned} \mathfrak{D}(s') &= (b + 2\tau)^2 - 4(c + \tau b + \tau^2)\\ &= b^2 + (4\tau^2 + 4\tau b) - 4(c + \tau b + \tau^2)\\ &= b^2 - 4c = \mathfrak{D}(s) \end{aligned} donc \Delta est un invariant de \Omega, indépendant des splittings s, on l'appelle le discriminant du revêtement quadratique \Omega de S, ou encore de l'Algèbre quadratique B, noté \mathfrak{D}(\Omega/S). On va ~~voir qu'il est égal à -\delta(N_{\Omega/S})~~ discriminant de la forme quadratique N_{\Omega/S} : ~~la forme~~ ~~(19) \Delta(N_{\Omega/S}) = -4\mathfrak{D}(\Omega/S)~~ ~~bilinéaire associée à N_{\Omega/S} est \mathrm{tr}(uv)~~

Le reste de la page, encadré, est annulé par des traits obliques ; il se lit : ~~i.e.~~ ~~(19)~~ \text{\struck{$N(\xi + \eta) = N(\xi) + N(\eta) + \mathrm{tr}(\xi\eta)$}} ~~on peut choisir un splitting s, et on a, si \xi = \lambda \oplus u, \eta = \mu \oplus v, \xi\eta = (\lambda\mu - cuv) \oplus (\lambda v + \mu u + buv),~~ \begin{aligned} &\text{\struck{$N(\xi + \eta) = (\lambda + \mu)^2 + b(\lambda + \mu)(u + v) + c(u + v)^2$}}\\ &\text{\struck{$\quad = (\lambda^2 + b\lambda u + cu^2) + (\mu^2 + b\mu v + cv^2) + 2cuv + 2\lambda\mu + b(\lambda v + \mu u)$}}\\ &\text{\struck{$\quad = N(\xi) + N(\eta) + 2cuv + 2\lambda\mu + b(\lambda v + \mu u)$}} \end{aligned}

(19)\qquad \Delta(N_{\Omega/S}) = -\text{\struck{$4$}}\,\mathfrak{D}(\Omega/S) Pour ceci, on va d'abord calculer la forme bil. \varphi associée à N, on trouve \begin{aligned} &(20) && \varphi_{\Omega/S}(\xi, \eta) = \mathrm{tr}\,\xi\, \mathrm{tr}\,\eta - \mathrm{tr}(\xi\eta)\\ &\text{[ou variante (21)} && \varphi_{\Omega/S}(\xi, 1) = \mathrm{tr}\,\xi\ ] \end{aligned} i.e. (22)\qquad N(\xi + \eta) = N(\xi) + N(\eta) + \bigl(\mathrm{tr}\,\xi\,\mathrm{tr}\,\eta - \mathrm{tr}(\xi\eta)\bigr) . Pour vérifier la formule (21), on peut choisir un splitting et calculer avec b, c. On peut aussi considérer comme en vérification une formule plus générale, valable pour \xi, \eta \in \mathrm{End}(B), où B est un fibré vectoriel de rang 2 quelconque…

On conclut de (20) ~~que~~ la forme discriminante ~~est~~ donnée par \wedge^2\varphi(\xi \wedge \xi', \eta \wedge \eta') = \det\begin{pmatrix} \varphi(\xi, \eta) & \varphi(\xi, \eta')\\ \varphi(\xi', \eta) & \varphi(\xi', \eta') \end{pmatrix} on va prendre \xi' = e_B, \eta' = e_B, et \xi = \eta, on trouve \wedge^2\varphi(e_B \wedge \xi, e_B \wedge \xi) = \det\begin{pmatrix} (\mathrm{tr}\,\xi)^2 - \mathrm{tr}(\xi^2) & \mathrm{tr}\,\xi\\ \mathrm{tr}\,\xi & 2 \end{pmatrix} = \text{\struck{$2$}}(\mathrm{tr}\,\xi)^2 - 2\,\mathrm{tr}(\xi^2) \text{\struck{$= (\mathrm{tr}\,\xi)^2 \ldots - (\mathrm{tr}\,\eta)^2$}} dans la matrice, des \eta sont surchargés en \xi, et le 2 est écrit sur une lettre noircie. On veut vérifier que ceci est égal à -4\,\mathfrak{D}\cdot u^2, où u, v sont les images de \xi, \eta dans \Gamma\check{L}. Pour ceci, OPS « on peut supposer » l'existence d'un scindage s, et que \xi = s(u) ; on trouve, comme \xi^2 = s(u)^2 = -cu^2 \oplus s(bu^2), \qquad \mathrm{tr}\,\xi^2 = -2cu^2 + b^2u^2 et on a \begin{aligned} \wedge^2\varphi(1 \wedge s(u), 1 \wedge s(u)) &= \text{\struck{\ill{}}}\ (bu)^2 - 2(-2cu^2 + b^2u^2)\\ &= (4c - b^2)u^2 = -\mathfrak{D}u^2 , \quad \text{cqfd.} \end{aligned}

4. Supposons qu'on se donne une trivialisation (23)\qquad L \xrightarrow[\sim]{\;\alpha\;} \mathcal{O}_S i.e. une section \alpha^{-1} \alpha' de \check{L}. Alors la donnée d'un scindage équivaut à la donnée d'une section t de B au-dessus de \alpha^{-1}, la donnée d'un isom. (23) et d'un scindage équivaut à la donnée d'une trivialisation complète du fibré affine E = E_\Omega, i.e. d'un isom. de fibrés affines E_\Omega \xrightarrow{\;\sim\;} \mathbb{E}^1_S , ou encore : la donnée d'une section t de B qui, avec la section unité e_B \in B, ~~Alors b et c~~ i.e. telle que (1, t) soit une base de B sur \mathcal{O}_S. On peut alors identifier b et c à des sections de \mathcal{O}_S, et celles-ci sont définies par la condition (déduite de 2 (13) en y faisant u = v = t) (24)\qquad t^2 - bt + c = 0 on trouve (25)\qquad b = \mathrm{tr}\, t, \qquad c = N(t) . L'formule n° 23, autre version : L^{\otimes 2} \xrightarrow[\sim]{\;s^2\;} \mathcal{O}_S et on a alors (26)\qquad \mathfrak{D}(\Omega/S) = (b^2 - 4c)s^2 \qquad \text{identifié, par } s, \text{ à } b^2 - 4c . (24) s'écrit avec +c, alors que (13) donnait s(u)s(v) = -cuv \oplus s(buv) : le signe de c n'est pas le même qu'en (13).

5. La donnée d'un revêtement quadratique \Omega sur S, grâce à la considération des plongements canoniques de \Omega dans son enveloppe affine E, revient à la donnée :

a) d'un fibré affine de rang 1 E sur S,

b) d'un diviseur relatif de \Omega dans E/S, i.e. d'une section de \underline{\mathrm{Div}}^{+2}_{E/S} \simeq \Sigma^2(E) = E \times_S E/\mathfrak{S}_2.

On sait que les \underline{\mathrm{Div}}^{n}_{E/S} \simeq (E_{/S})^n/\mathfrak{S}_n ~~sont~~ des fibrés affines sur S, de rangs respectifs n, précisons par exemple la structure obtenue ainsi. On regarde d'abord le cas où E est trivialisé par une section s (27)\qquad E \xleftarrow[\sim]{\;\alpha_s\;} \check{\mathbb{V}}L et on a alors un iso \Sigma^n(\alpha_s) : \Sigma^n \check{\mathbb{V}}(L) = \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\Bigr) \xrightarrow{\;\sim\;} \Sigma^n E où l'iso (28)\qquad \Sigma^n \check{\mathbb{V}}L \simeq \check{\mathbb{V}}L^n/\mathfrak{S}_n \longrightarrow \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\Bigr) est défini par passage au quotient : partir de (29)\qquad \sigma_n : \check{\mathbb{V}}(L^n) \longrightarrow \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\Bigr) donné par (30)\qquad \sigma_n = (\sigma_i)_{1 \le i \le n} \qquad \sigma_i(x_1, \ldots, x_n) = \sum x_1 x_2 \cdots x_i (i-ème fonction symétrique élémentaire). Si on change s en s' = s + \tau \qquad (\tau \in \Gamma L) i.e. \alpha_{s'} = \alpha_s + \mathrm{trans}(\tau) d'où

(31)\qquad \Sigma^n(\alpha_{s'}) = \Sigma^n(\alpha_s)\,\underbrace{\Sigma^n(\mathrm{trans}\,\tau)}_{\varphi_n(\tau)} et on trouve que \begin{aligned} \varphi_n(\tau) : \Sigma^n(\check{\mathbb{V}}L) &\xrightarrow{\;\sim\;} \Sigma^n \check{\mathbb{V}}L\\ \Vert\qquad&\qquad\qquad \Vert\\ \textstyle\sum L^{\otimes i} &\longrightarrow \textstyle\sum L^{\otimes i} \end{aligned} est défini par la commutativité du diagramme

\begin{tikzcd} \check{\mathbb{V}}\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i} \arrow[r, "\varphi_n(\tau)"] & \check{\mathbb{V}}\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\\ \check{\mathbb{V}}L^n \arrow[u, "\sigma_n"] \arrow[r, "(\mathrm{trans}\,\tau)^n"] & \check{\mathbb{V}}(L^n) \arrow[u, "\sigma_n"'] \end{tikzcd}

i.e. \Bigl(\sum (x_1 + \tau)(x_2 + \tau) \cdots (x_i + \tau)\Bigr)_{1 \le i \le n} = \varphi_n(\tau)\bigl(\underbrace{\textstyle\sum x_1 \cdots x_i}_{\sigma_i(x)}\bigr)_i le premier membre est écrit en partie sur des lettres surchargées ; on transcrit \sum (x_1+\tau)\cdots(x_i+\tau), ce qui est \sigma_i(x_1+\tau, \ldots, x_n+\tau). \Vert \text{\struck{$\sigma_1(x) + n\tau,\ \sigma_2(x) + (n-1)\tau\sigma_1(x) + \tfrac{n(n-1)}{2}\tau^2,\ \sigma_3(x) + \ldots$}} N.B. On pose \sigma_0 = 1. \begin{aligned} \Bigl(\prod_{1 \le i \le n} (1 + X\tau + X_i)\Bigr) - 1 &= \Bigl(\sum_{0 \le p \le n} (1 + \tau)^{n-p}\sigma_p\Bigr) - 1\\ &= \text{\struck{\ill{}}} \sum_{\substack{0 \le p, q \le n\\ p + q > 0}} \frac{(n-p)!}{q!\,(n-p-q)!}\,\tau^q\sigma_p \end{aligned} devant le produit, une lettre noircie ; on lit X\tau + X_i tel quel, la variable X servant visiblement à séparer les degrés. donc (32)\qquad \varphi_n(\tau)(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = \bigl(\varphi_n(\tau)_i(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\bigr)_{1 \le i \le n} avec (33)\qquad \varphi_n(\tau)_i(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) = \sum_{\substack{p, q \ge 0\\ p + q = i}} \frac{(n-p)!}{(n-i)!\,q!}\,\tau^q\sigma_p \ \text{\struck{$= \ldots$}} sous (33), une ligne biffée et illisible, reliée par une accolade. On voit que les \varphi_n(\tau) sont des transformations affines

et on trouve donc un hom de groupes \check{\mathbb{V}}(L) \xrightarrow{\;\varphi_n\;} \mathrm{Aff}\Bigl(\check{\mathbb{V}}\bigl(\textstyle\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\bigr)\Bigr) et un hom \begin{cases} s \longmapsto \Sigma^n(\alpha_s)\\ E \longrightarrow \mathrm{Isom}\Bigl(\check{\mathbb{V}}\bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\bigr), \Sigma^n(E)\Bigr) \end{cases} induisant un ~~isomorphisme~~ isom. (34)\qquad E \wedge^{\check{\mathbb{V}}(L)} \check{\mathbb{V}}\Bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\Bigr) \simeq \Sigma^n(E) permettant de transporter sur \Sigma^n(E) la structure affine de \check{\mathbb{V}}\bigl(\sum_{1 \le i \le n} L^{\otimes i}\bigr).

En particulier, on trouve (35)\qquad \varphi_2(\tau)(\sigma_1, \sigma_2) = (\sigma_1 + 2\tau,\ \sigma_2 + \tau\sigma_1 + \tau^2) la transformation linéaire ~~affine~~ correspondante est (36)\qquad \varphi_2^0(\tau)(\sigma_1, \sigma_2) = (\sigma_1,\ \sigma_2 + \tau\sigma_1) où on interprète \tau = s \in \Gamma L comme un

La suite de la page, encadrée, est annulée par deux grandes diagonales et, en tête, par des traits horizontaux ; on en lit : ~~qui est constitué~~ ~~on se considère d'action de \mathrm{trans}(\tau) sur~~ F donc sur le module (notation \check{B} ou \mathfrak{E}), extension de \check{E} \mathcal{O}_S par L, on trouve que \mathrm{id}_E, considéré par transmutation une extension sur L par L^{\otimes 2}, définit L \otimes \check{B}, extension de ~~(37) \psi(\tau) \in \ill{} Hom d'ext (L \otimes \check{B})~~

Les trois premières lignes de la page sont encadrées d'un trait, et une ligne ondulée court sur la formule ; on ne peut dire si l'encadré les annule. d'où une injection \psi : \check{\mathbb{V}}(L) \longrightarrow \underline{\mathrm{Autom}}\ \text{d'ex}\bigl(0 \to L^{\otimes 2} \to L \otimes \check{B} \to L \to 0\bigr) et on a un

On interprète les scindages de l'extension (37)\qquad 0 \to L \to \check{B} \to \mathcal{O}_S \to 0 (qui définit le fibré affine E), i.e. comme un iso \check{B} \simeq \text{\struck{$L$}}\ \mathcal{O}_S \oplus L i.e. comme un isom. d'extensions (38)\qquad \tilde{\alpha}_s : \check{B} \otimes L \simeq L \oplus L^{\otimes 2} On trouve que … et que \alpha_s transforme … un iso. canonique entre le groupe des translations de l'espace affine \Sigma^2(F) \text{Donc } \Sigma^2(F) = F \wedge^{\check{\mathbb{V}}(L), \varphi_2^0} \check{\mathbb{V}}(L + L^{\otimes 2}) avec \check{B} \otimes L. … Donc

Proposition Si F est un fibré affine de rang 1, ~~\Sigma^2 F~~ correspondant à l'extension (37), alors \Sigma^2(F) est canoniquement muni d'une structure de fibré affine sous le groupe vectoriel \check{B} \otimes L (extension de L par L^{\otimes 2}). Le fibré ~~associé~~ affine de

rang 1 \Sigma^2(F)/\mathbb{V}(L^{\otimes 2}) est canoniquement isomorphe : 2F dans \check{\mathbb{V}}(\check{B}) = \mathbb{V}(B), image inverse dans \check{\mathbb{V}}(\check{B}) de la section 2 de \check{\mathbb{V}}(\mathcal{O}_S) ; i.e. (39)\qquad \Sigma^2(F)/\mathbb{V}(L^{\otimes 2}) \simeq 2F

~~Ainsi~~ La donnée d'une section \sigma de \Sigma^2(F), ou encore d'un diviseur quadratique \Omega \subset F, définit donc une section de 2F, qu'on ~~appelle la fonction~~ dénote par \underline{b}_\Omega. Le morphisme (40)\qquad \Sigma^2(F) \xrightarrow{\;\underline{b}\;} 2F est caractérisé par la condition de commuter aux chgts de base, et de transformer la section de \Sigma^2(F) image d'une section (s_1, s_2) de F^2, en la section s_1 + s_2 de 2F (ainsi \underline{b} est une sorte de trace universelle) ; entre « est » et « une sorte », un mot court illisible. en termes de \Omega, et on peut aussi dire que \underline{b} (i.e. la variété en termes de \Omega \mapsto \underline{b}_\Omega) est défini par la condition de compatibilité avec chgts de base, et que ~~pour les schémas relatifs~~ les diviseurs quadratiques

\Omega(s_1, s_2), défini par le couple de sections (s_1, s_2), i.e. l'idéal \mathcal{J}(s_1)\cdot\mathcal{J}(s_2) \subset \mathcal{O}_F, en la section (41)\qquad \underline{b}_{\Omega(s_1, s_2)} = s_1 + s_2 \quad (\in \Gamma(2F)) . En termes d'un \Omega quelconque, on peut aussi dire que \underline{b}_\Omega est caractérisé par la condition suivante : pour toute section (soit locale) s de F, envisageons la section 2s de 2F, on a (42)\qquad b(s) = \underline{b}(s) - 2s Si \Omega = \Omega(s_1, s_2), cela donne bien (43)\qquad b(s) = s_1 + s_2 - 2s = (s_1 - s) + (s_2 - s)

On peut donc dire que la donnée d'une section \sigma de \Sigma^2(F) — i.e. d'un diviseur quadratique \Omega \subset F — revient à la donnée successive

a) d'une section \underline{b} de 2F — d'où par image inverse un fibré affine de rang 1 (44)\qquad \Sigma(\underline{b}) \ \text{\struck{\ill{}}} sous le groupe des translations L^{\otimes 2} ; et

b) d'une section \sigma de \Sigma(\underline{b}). \Sigma rend ici un signe tracé en sablier (X fermé haut et bas par deux barres), plus appuyé que les \Sigma des pages précédentes ; la page 33 écrit \mathrm{cl}(\Sigma(\underline{b})) d'un \Sigma ordinaire. Au-dessus de (44), une flèche \hookrightarrow chiffrée 1, sans but visible.

L'ens. des sections de 2F ~~(qui est~~ ) ~~torseur sous \Gamma(S, L)~~ est vide ssi la classe 2\,\mathrm{cl}(F) = \mathrm{cl}(2F) dans H^1(S, L) est \neq 0. Alors c'est un torseur sous H^0(S, L) (qui exprime la première indétermination). La section \underline{b} étant choisie, l'ens. des \sigma correspondants de \underline{b} est non vide ssi la classe c(\underline{b}) = \mathrm{cl}(\Sigma(\underline{b})) \in H^1(S, L^{\otimes 2}) est = 0 ; et alors c'est un torseur sous H^0(S, L^{\otimes 2}). dans la première ligne, « \neq 0 » est écrit sur un « = 0 » : la phrase, telle qu'elle est corrigée, dit « vide ssi \ldots \neq 0 », ce qui revient au même que la leçon primitive « non vide ssi = 0 » de la ligne suivante.

On peut considérer que \Sigma^2(F), torseur affine sous \check{B} \otimes L, est donné par une structure d'extension (45)\qquad 0 \to \check{B} \otimes L \longrightarrow V^{(2)} \longrightarrow \mathcal{O}_S \to 0 (où on considère \check{B} comme V^{(1)}). En effet, on a \mathrm{Sym}^2(\check{B}) = \mathrm{Sym}^2(V^{(1)}) est une extension de \mathrm{Sym}^2(\mathcal{O}_S) = \mathcal{O}_S par \mathcal{O}_S \otimes V^{(1)} = V^{(1)}. En fait, la proposition précédente se précise en (46)\qquad \Sigma^2(F) = \text{fibré affine associé à l'extension } V^{(2)} = \mathrm{Sym}^2(\check{B}) \text{ de } \mathcal{O}_S \text{ par } V^{(1)} = \check{B} . les exposants (1) et (2) de V sont petits et se confondent parfois ; on les lit d'après l'argument. Dans (46), le « = » est repassé.

(5 bis) Détermination de \Sigma^n(F) (2ème mouture …)

Considérons l'extension vectorielle définissant un fibré affine de rang 1 F (47)\qquad 0 \to L \xrightarrow{\;i_1\;} V \xrightarrow{\;\pi_1\;} \mathcal{O}_S \to 0 \qquad (V = \check{B}) (48)\qquad F = \pi_1^{-1}(1) \subset \check{\mathbb{V}}(V) on en déduit, pour tout n \ge 1, une structure d'extension (49)\qquad 0 \to L \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(V) \xrightarrow{\;i_n\;} \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \xrightarrow{\;\pi_n\;} \mathcal{O}_S \to 0 (en théorie) qui vient sur \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) une filtration décroissante par les (50)\qquad \underbrace{L^{i} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^{n-i}(V)}_{\mathrm{Fil}^i\, \mathrm{Sym}^n(V)} \subset \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \quad (0 \le i \le n) dans (47), le V est écrit sur une lettre noircie, avec un « \leq » au-dessus. Dans (49), le V de \mathrm{Sym}^{n-1} et celui de \mathrm{Sym}^n sont surchargés.

La suite de la page, encadrée en marge d'un trait vertical, est annulée par trois longues diagonales ; elle se lit : ~~Conséquences~~ \text{\struck{(51)\quad $\Sigma^n F = \pi_n^{-1}(1) \subset \check{\mathbb{V}}(\underline{\mathrm{Sym}}^n V)$}} ~~le fibré affine associé à l'extension (50). Ceci se déduit d'un isomorphisme canonique~~ \text{\struck{(52)\quad $\underbrace{\Sigma^n(F)}_{\text{\uncertain{puissance} symétrique}} \xrightarrow[\sim]{\;\varphi_n\;} \Sigma^n$}} ~~6) Description « fonctorielle ». On définit la morphisme de passage au quotient des~~ \text{\struck{(53)\quad $\Psi_n : F^n \longrightarrow \Sigma^n,\quad \Psi_n(x_1, \ldots, x_n) = x_1$}} le numéro 6) est écrit sur un autre chiffre ; la ligne qui le précède, tirée sur toute la largeur, sépare le passage de ce qui précède.

Considérons aussi la suite exacte transposée de (47) (51)\qquad 0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{\;i'_1\;} \check{V} \xrightarrow{\;\pi'_1\;} \check{L} \to 0 \qquad (\check{V} = B) et notons tout de suite que, comme V est de rang 2, on a un isom. canonique (52)\qquad \check{V} \simeq V \otimes (\det V)^{-1} déduit de l'accouplement ~~symétrique~~ alterné (53)\qquad V \otimes V \longrightarrow \det V, \qquad x \otimes y \longmapsto x \wedge y ; d'ailleurs la suite exacte (47), définit un isom. canonique (54)\qquad \det V \xrightarrow[\sim]{\;\alpha\;} L ~~en associant~~ par la condition (55)\qquad \alpha(i_1(\lambda) \wedge x) = \lambda\, \pi_1(x) \qquad \lambda \in \Gamma(-, L),\ x \in \Gamma(-, V) En conjuguant (52) et (54), on trouve un iso canonique (56)\qquad \check{V} \xleftarrow[\sim]{\;\alpha\;} V \otimes L^{-1} ~~par la condition~~ … associé : l'accouplement alterné (57)\qquad \begin{cases} (V \otimes L^{-1}) \otimes V \xrightarrow{\;\varphi\;} \mathcal{O}_S\\ \quad \simeq (V \otimes V) \otimes L^{-1} \end{cases} défini par la condition que (58)\qquad \varphi(i_1(\lambda) \otimes x \otimes \mu) = \lambda\mu\, \pi_1(x) \qquad \lambda \in \Gamma L,\ x \in \Gamma V,\ \mu \in \Gamma V dans (56), la flèche est repassée en noir ; dans (58), l'argument i_1(\lambda) est en partie noirci. Les appartenances sont écrites sous chaque facteur ; « \mu \in \Gamma V » est tel quel, alors que \mu figure ensuite comme scalaire.

On peut encore dire que l'iso \alpha (56) est défini par l'accouplement alterné (57\,\text{bis})\qquad V \otimes V \xrightarrow{\;\varphi\;} L défini par la condition que l'on a (58\,\text{bis})\qquad \varphi(i_1(\lambda) \otimes x) = \lambda\, \pi_1(x) \qquad \lambda \in \Gamma L,\ x \in \Gamma V dans (57 bis), au-dessus du premier V, un signe noirci ; dans (58 bis), l'argument i_1(\lambda) est en partie noirci.

Ceci dit, ~~la filt~~ transposons (57) par L^{-1}, on trouve sur L^{-1} \otimes V une structure d'extension (59)\qquad 0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{\;i'\;} L^{-1} \otimes V \xrightarrow{\;\pi'\;} \check{L} \to 0 sous L^{-1} \otimes V est écrit \wr\,\alpha, puis \check{V} : l'iso (56). qui, compte tenu de l'iso (56), n'est autre que la structure d'extension (51) [i.e. \alpha transforme i'_1 en i', \pi'_1 en \pi']. équivalent (49) transposée … note écrite en oblique dans la marge gauche, à la hauteur de (59).

Considérons l'hom canonique

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}] \mathrm{Sym}^n(\check{V}) \arrow[r, hook] & \mathrm{Sym}^*(\check{V}) = \mathrm{Algaff}\,\check{\mathbb{V}}(V) \arrow[r] & \mathrm{Sym}^*(\check{V})/(e_V - 1) \arrow[d, no head, "\Vert" description]\\ L^{\otimes(-n)} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \arrow[u, "{\mathrm{Sym}^n(\alpha) = \alpha_n}", "\wr"'] \arrow[d, "{\mathrm{Sym}^n(\alpha) = \alpha_n}"', "\wr"] & & \mathrm{Algaff}(F)\\ \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \arrow[r, "J_n"] & \mathrm{Algaff}(F) & \end{tikzcd}

La dernière ligne est numérotée (60) dans la marge, où est aussi écrit « suite ». Sous \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) : « = faisceau des formes sur V ».

Proposition 61 \forall n \in \mathbb{N} L'hom J_n est injectif, et on a commutativité dans le diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=normal, row sep=large] L^{\otimes -n} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \arrow[r, "\alpha_n", "\sim"'] \arrow[d, "i_n"', "{\mathrm{id}_{L^{\otimes(-n-1)}} \otimes \ldots}"] & \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \arrow[r, hook, "J_n"] \arrow[d, "{\text{mult. par } e_{\check{V}} = i'_1(1)}"] & \underline{\mathrm{Algaff}}(F) \arrow[d, no head, "\Vert" description]\\ L^{\otimes(-n-1)} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^{n+1}(V) \arrow[r, "\sim", "\alpha_{n+1}"'] & \underline{\mathrm{Sym}}^{n+1}(\check{V}) \arrow[r, hook, "J_{n+1}"] & \mathrm{Algaff}(F) \end{tikzcd}

La flèche verticale de gauche porte i_n à droite et, à gauche, « \mathrm{id}_{L^{\otimes(-n-1)}} \otimes » suivi d'un mot biffé et noirci, rendu ici par « \ldots » ; dans la marge gauche, à la même hauteur, un autre signe noirci.

Enfin, \mathrm{Algaff}(F) est isomorphe à la limite inductive des \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \simeq L^{\otimes(-n)} \otimes \underline{\mathrm{Sym}}^n(V).

NB Les sections de \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}), identifiées à des fonctions sur F, s'identifient aux fonctions polynômiales de degré \le n. [Comme celles-ci et des formes sur V (= \check{\mathbb{V}}(V)) de degré n. Pour une telle f, sa classe modulo \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(\check{V}) (fonctions polynômiales de degré \le n - 1) s'appelle le terme dominant de f, et s'identifie à une section de L^{\otimes(-n)} ; ~~ainsi~~ elle s'identifie aussi : à la restriction à L de la n-forme sur V associée à f. ! On notera que dans cette propriété, interviennent de façon cruciale des relatives sur les fibrés affines de rang quelconque, et aussi spéciaux aux fibrés de rang 1, liés à la dualité (52). Les quatre dernières lignes sont réunies par une accolade dans la marge gauche, devant laquelle il a mis « ! ». Le crochet ouvert après « \le n » n'est pas refermé sur la page.

Soit maintenant (pour n \ge 1 fixé) D un diviseur relatif de rang n sur F. Soit [M_D \subset \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V})] le ~~faisceau des~~ sous-Module des fonctions polynômiales sur F de degré \le n s'annulant sur D. les crochets qui entourent « M_D \subset \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) » sont reliés par un trait au mot « relatif » de la ligne précédente.

Proposition M_D est un supplémentaire de \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(\check{V}) dans \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}), i.e. la composée M_D \hookrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \longrightarrow \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V})/\underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(\check{V}) \simeq L^{\otimes -n} est un iso. L'application D \longmapsto M_D est une bijection de l'ens. des diviseurs relatifs sur F de degré n avec l'ens. des sous-Modules M_D de \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) satisfaisant la condition précédente. Cette bijection est compatible avec les chgts de base, et définit un isomorphisme

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal, nodes={font=\small}] \underline{\mathrm{Div}}^{+n}_{F/S} \arrow[r, "\sim"] & \underline{\mathrm{Splittings}}\ \text{de}\ \bigl(0 \to \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(\check{V}) \to \underline{\mathrm{Sym}}^n(\check{V}) \to L^{\otimes -n} \to 0\bigr)\\ \Sigma^n(F/S) \arrow[u, "\wr"] & \underline{\mathrm{splittings}}\ \text{de}\ L^{\otimes \ldots}\ \ldots \arrow[u, no head, "\wr" description] \end{tikzcd}

Sous \Sigma^n(F/S) : « puissance sym. n-ième ». Le coin inférieur droit est un griffonnage dense : on lit « splittings de L^{\otimes \ldots} », un mot surchargé (tels que), puis « de la suite exacte, i.e. » et une suite biffée ~~0 \to L \otimes \mathrm{Sym}^{n-1}(V) \to \mathrm{Sym}^n(V) \to \mathcal{O}_S \to 0~~. L'argument continue sans doute au-delà de la page.

On trouve ainsi un isom. canonique \begin{aligned} (62)\qquad \Sigma^n(F/S) \simeq{} & \text{fibré affine associé à l'extension}\\ & 0 \to \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(V) \otimes L \to \underline{\mathrm{Sym}}^n(V) \to \mathcal{O}_S \to 0\\ & \bigl(\text{donc le fibré des translations } \to \underline{\mathrm{Sym}}^{n-1}(V) \otimes L\bigr) \end{aligned} Cette suite exacte s'interprète comme celle associée à l'hom des formes de degré n sur \check{V} \simeq V \otimes L^{-1} vers \mathcal{O}_S, par la « valeur en e_{\check{V}} = e_B ». Donc la donnée d'une section de \Sigma^n(F/S), i.e. d'un diviseur relatif de degré n sur F, équivaut à la donnée d'une forme de degré n sur B = \check{V}, prenant la valeur 1 en e_B.

6. Spécialisons ceci au cas de n = 2. On trouve

Théorème Soit F fibré affine, associé à l'ext. (47) de \mathcal{O}_S par ~~fibré~~ « espace des translations » L, ou ext. B de \check{L} par \mathcal{O}_S, correspondant par dualité : la donnée, dans le Module loc. libre B de rang 2, d'une section e_B non nulle en chaque fibre. Il y a donc une corr. biunivoque entre

a)Les structures d'Algèbres commutatives unifères sur B admettant e_B comme élément unité. b)Les diviseurs relatifs sur F (de degré 2 sur S) c)Les sections de \Sigma^2(F/S) d)Les formes quadratiques q sur B satisfaisant la condition (63)\qquad q(e_B) = 1

Les équivalences entre b), c), d) viennent d'être explicitées, celle entre a) et b) a été vue dans 5). Il reste à expliciter (i.e. pour un a) et b)) la relation (64)\qquad \Omega = \mathrm{Spec}(B) , lorsque \Omega \subset F et une structure d'Algèbre sur B se correspondent. Enfin, on aura (65)\qquad q = N_{B/\mathcal{O}_S}

[[Pour vérifier ce dernier point, nous allons le reformuler pour n quelconque. Notons que la donnée d'une section de \Sigma^n(F/S), ou ce qui revient au même, d'une n-forme f_n sur B telle que f_n(e_B) = 1, ou encore d'un n-diviseur relatif \Omega_n sur S équivaut : la donnée d'une loc. libre \mathcal{O}_S-Algèbre C_n de rang n, et d'un hom surj.

\begin{tikzcd} \underline{\mathrm{Algaff}}(F) \arrow[r] & C_n\\ \underline{\mathrm{Sym}}^*(B)/(e_B - 1) \arrow[u, "\wr"'] \end{tikzcd}

ou ce qui revient au même, d'un hom de \mathcal{O}_S-Mod. (66)\qquad B \xrightarrow{\;g\;} C_n Le crochet double ouvert avant « Pour vérifier » n'est pas refermé sur la page, et la phrase s'interrompt en bas du feuillet : l'argument se poursuit au-delà du lot.