Cote n° 76 · batch 4 · pages 61–62 · Transcription · n-cartes cellulaires : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1977]
Édition de démonstration

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61la page fait suite à une « Prop » du bas de la page 60 (les automorphismes d'un cube induisent \(\pm\) l'identité sur les sommets, d'où \(\mathrm{Aut}^+(C) \hookrightarrow \mathrm{Aut}(\Phi_0(C))\) en dimension impaire)

Corollaire Soit \(C\) un cube de dim 3. Alors \[\mathrm{Aut}^+(C) \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}\bigl(\underbrace{\Phi_0(C)/\sigma}_{\text{ens.\ de card.\ } 4}\bigr)\]

Corollaire Le foncteur \(C \mapsto \Phi_0(C)/\sigma\) est une équivalence de la catégorie des 3-cubes [orientés] ([…]), dans \(\to\) la cat. des ens. de card. 4 (en prenant comme morphismes les iso…) « orientés » est écrit au-dessus de la ligne, souligné, et relié à la parenthèse qui suit, dont le mot court reste illisible ; le mot biffé en début de ligne se termine par une flèche

Cube (combinatoire) gauche

\[C = C(\mathbb{B}, \sigma) \subset E = E_C = E(\mathbb{B}, \sigma)\] cube. Considérons le quotient par la relation d'antipodisme, mais sur \(\partial\hat{C} = \coprod_{F \in \Phi^{**}(C)} \overline{F}\) le \(C\) de \(\partial\hat{C}\) porte au-dessus un petit signe (chapeau ou petite flèche), ici et plus bas ; l'argument de \(\Phi^{**}\) est surchargé, lu \(C\) \[\partial\hat{C}/\sigma \simeq E^*/\mathbf{R}^* = P(E)\] — espace projectif réel de dim \(n-1\)

La décomposition de \(\partial\hat{C}\) en facettes donne une décomposition (via \(C \xrightarrow{\ p\ } \partial C\) passage au quotient) la flèche est lue telle qu'elle est écrite ; c'est la projection \(p\) sur le quotient par \(\sigma\) qui sert ensuite \[\widetilde{C} = \partial\hat{C}/\sigma = \coprod_{F \in \Phi^{**}} p(F) = \coprod_{F \in \Phi^{**}} p(\overline{F})\] le signe entre \(\widetilde{C}\) et \(\partial\hat{C}\) est surchargé (un \(=\) repassé) ; dans la première somme la lettre devant \((F)\) est corrigée, lue \(p\)

NB Pour tout \(F \in \Phi^{**}\), \(\overline{F} \to P(E)\) est injectif.

On a \(p(\overline{F} \cap \overline{F'}) = p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'})\) si \(\overline{F} \cap \overline{F'} =\) \[p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'}) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \varnothing & \text{si } \overline{F} \cap \overline{F'} = \varnothing \text{ et } \overline{F} \cap \sigma\overline{F'} = \varnothing \\ \bigl[p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'})\bigr] \cup \bigl[p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'})\bigr] & \text{sinon} \end{array} \right.\] « sinon » est lu avec doute ; la deuxième ligne est très surchargée : le signe de réunion est repassé, et dans le second crochet le \(\cap\) et le \(p\) qui suit sont récrits, avec un trait au-dessus qui pourrait être un \(\sigma\) ou une barre ; la lecture des deux crochets comme identiques est donc incertaine, et l'on attendrait \(p(\overline{F} \cap \overline{F'}) \cup p(\overline{F} \cap \sigma\overline{F'})\) ; une troisième ligne, finissant par « \(\ne \varnothing\) », est entièrement biffée et illisible

(NB les relations \(\overline{F} \cap \overline{F'} \neq \varnothing\) et \(\overline{F} \cap \sigma\overline{F'} \neq \varnothing\) ne s'excluent pas] i.e. si \(\mathbb{B} \to I\) et \(\mathbb{B}'\), \(\mathbb{B}''\) deux sections partielles et \(p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'})\) n'est pas nécess. connexe ; il est connexe les […], si on n'a pas ces 2 relations à la fois) les deux dernières lignes de la page sont entrelacées : « connexe … à la fois » est écrit en partie sous la ligne qui précède

62\[\bigl[p(\overline{F}) \subset p(\overline{F'})\bigr] \Longleftrightarrow \overline{F} \subset \overline{F'}\]

dans la marge gauche, un petit carré dont les côtés portent \(a\) (bas), \(b\) (gauche), \(c\) (haut), \(d\) (droite), et au-dessous une lentille à deux arcs, l'arc supérieur marqué « \(a, c\) », l'inférieur « \(b, d\) » : le carré dont les côtés opposés sont identifiés par l'antipodie

NB On trouve une décomposition de \(P_{\mathbf{R}}(E)\) […] en parties qui sont des cellules top. — les intersections entre deux telles cellules, si elles sont non vides, étant une cellule ou réunion de 2 cellules disjointes (donc ce n'est pas […] une cellule). La structure combinatoire de cette division cellulaire (ens. ordonné des parties […]) est […] \(\Phi^{**}/\sigma \simeq\) ensemble ordonné opposé de \(\Phi^{*}/\sigma\), où \(\Phi^{*}\) est l'ens. des sections partielles non vides de \(\mathbb{B}\) sur \(I\). l'indice \(\mathbf{R}\) de \(P_{\mathbf{R}}(E)\) est ajouté après coup

Automorphismes des cubes gauches (\(n \geqslant 3\)) \[\mathrm{Aut}(C)/\sigma \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{proj}}\,\widetilde{C} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}\bigl(\Phi(\widetilde{C})\bigr) \quad ?\] la formule est encadrée à gauche par un trait en crochet qui englobe le titre et la phrase suivante

On sait déjà que la première flèche est injective, il est évident que la seconde l'est, le composé est […] surjectif ? Si \(n\) impair, on récupère \((\mathcal{H}, \sigma)\) avec sa division cellulaire, comme le rev. orienté canonique de \(\widetilde{C}\), et tt autom. de \(\Phi(\widetilde{C})\) est induit par un autom. orienté de \(\widetilde{C}\).

Cas \(n\) pair : à examiner… fin du dossier