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automorphismes d'un cube induisent \pm l'identité sur les sommets, d'où
\mathrm{Aut}^+(C) \hookrightarrow \mathrm{Aut}(\Phi_0(C)) en dimension
impaire)
Corollaire Soit C un cube de dim 3. Alors
\mathrm{Aut}^+(C) \xrightarrow{\ \sim\ }
\mathrm{Aut}_{\mathrm{ens}}\bigl(\underbrace{\Phi_0(C)/\sigma}_{\text{ens.\ de card.\ } 4}\bigr)
Corollaire Le foncteur C \mapsto \Phi_0(C)/\sigma est une
équivalence de la catégorie des 3-cubes orientés (),
dans \to la cat. des ens. de card. 4 (en prenant
comme morphismes les iso…)
« orientés » est écrit au-dessus de la ligne, souligné, et relié à la
parenthèse qui suit, dont le mot court reste illisible ; le mot biffé en
début de ligne se termine par une flèche
Cube (combinatoire) gauche
C = C(\mathbb{B}, \sigma) \subset E = E_C = E(\mathbb{B}, \sigma)
cube. Considérons le quotient par la relation d'antipodisme, mais sur
\partial\hat{C} = \coprod_{F \in \Phi^{**}(C)} \overline{F}
le C de \partial\hat{C} porte au-dessus un petit signe (chapeau ou
petite flèche), ici et plus bas ; l'argument de \Phi^{**} est surchargé,
lu C
\partial\hat{C}/\sigma \simeq E^*/\mathbf{R}^* = P(E)
— espace projectif réel de dim n-1
La décomposition de \partial\hat{C} en facettes donne une décomposition
(via C \xrightarrow{\ p\ } \partial C passage au quotient)
la flèche est lue telle qu'elle est écrite ; c'est la projection p
sur le quotient par \sigma qui sert ensuite
\widetilde{C} = \partial\hat{C}/\sigma
= \coprod_{F \in \Phi^{**}} p(F)
= \coprod_{F \in \Phi^{**}} p(\overline{F})
le signe entre \widetilde{C} et \partial\hat{C} est surchargé (un
= repassé) ; dans la première somme la lettre devant (F) est corrigée,
lue p
NB Pour tout F \in \Phi^{**}, \overline{F} \to P(E) est injectif.
On a p(\overline{F} \cap \overline{F'}) = p(\overline{F}) \cap
p(\overline{F'}) si \overline{F} \cap \overline{F'} =
p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'}) =
\left\lbrace
\begin{array}{ll}
\varnothing & \text{si } \overline{F} \cap \overline{F'} = \varnothing
\text{ et } \overline{F} \cap \sigma\overline{F'} = \varnothing \\
\bigl[p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'})\bigr] \cup
\bigl[p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'})\bigr] & \text{sinon}
\end{array}
\right.
« sinon » est lu avec doute ; la deuxième ligne est très surchargée : le signe de réunion est
repassé, et dans le second crochet le \cap et le p qui suit sont
récrits, avec un trait au-dessus qui pourrait être un \sigma ou une barre ;
la lecture des deux crochets comme identiques est donc incertaine, et l'on
attendrait p(\overline{F} \cap \overline{F'}) \cup p(\overline{F} \cap
\sigma\overline{F'}) ; une troisième ligne, finissant par « \ne
\varnothing », est entièrement biffée et illisible
(NB les relations \overline{F} \cap \overline{F'} \neq \varnothing et
\overline{F} \cap \sigma\overline{F'} \neq \varnothing ne s'excluent pas]
i.e. si \mathbb{B} \to I et \mathbb{B}',
\mathbb{B}'' deux sections partielles
et p(\overline{F}) \cap p(\overline{F'}) n'est pas nécess.
connexe ; il est connexe les
\bigl[p(\overline{F}) \subset p(\overline{F'})\bigr] \Longleftrightarrow
\overline{F} \subset \overline{F'}
dans la marge gauche, un petit carré dont les côtés portent a (bas),
b (gauche), c (haut), d (droite), et au-dessous une lentille à deux
arcs, l'arc supérieur marqué « a, c », l'inférieur « b, d » : le carré
dont les côtés opposés sont identifiés par l'antipodie
NB On trouve une décomposition de P_{\mathbf{R}}(E)
Automorphismes des cubes gauches (n \geqslant 3)
\mathrm{Aut}(C)/\sigma \xrightarrow{\ \sim\ }
\mathrm{Aut}_{\mathrm{proj}}\,\widetilde{C} \xrightarrow{\ \sim\ }
\mathrm{Aut}_{\mathrm{ord}}\bigl(\Phi(\widetilde{C})\bigr) \quad ?
la formule est encadrée à gauche par un trait en crochet qui englobe
le titre et la phrase suivante
On sait déjà que la première flèche est injective, il est évident que la
seconde l'est, le composé est
Cas n pair : à examiner…
fin du dossier