Cote n° 76 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · n-cartes cellulaires : notes manuscrites (s.d.)
Datation de l’inventaire : [vers 1977]
Édition de démonstration

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Complexes cellulaires et ensembles à opérateurs

2le titre est le sien, en tête de la page 2 ; il y a corrigé « complexes » en « cartes » (surcharge au-dessus des deux occurrences), et biffé « cellulaires » : la lecture en est « Cartes coniques, cartes cellulaires, et ens. à opérateurs », les mots biffés restant visibles

Complexes [Cartes] coniques, complexes [cartes] cellulaires, et ens. à opérateurs.

\(F_0,\ F_1,\ \dots,\ F_n\) (fini ??)

\(I_0, \dots, I_{n-1}\) ensembles (\(I_\alpha\) ens. […] \(\alpha\)-[…]) la ligne commence par une suite de lettres biffée, illisible

\(\forall\, 0 \leqslant \alpha \leqslant n-1\), \(I_\alpha \subset F_\alpha \times F_{\alpha+1}\) (relation d'incidence)

Axiome 1 \(I_\alpha \to F_{\alpha+1}\) […] est surjectif. facultatif : Axiome 1' \(I_\alpha \to F_\alpha\) surjectif note écrite verticalement dans la marge gauche, d'une autre encre

Sur \(F_* = \coprod_{0 \leqslant \alpha \leqslant n} F_\alpha\), on met la relation d'ordre suivante \[\begin{array}{l} x \preceq y \ \text{ssi} \\ x \in F_\alpha,\ y \in F_\beta \end{array} \quad \left\lbrace \begin{array}{l} \text{ou bien } x = y \ (\text{donc } \alpha = \beta) \\ \text{ou bien } \alpha < \beta \text{ et } \exists\, z_\alpha = x \in F_\alpha,\ z_{\alpha+1} \in F_{\alpha+1}, \dots, z_{\beta-1} \in F_{\beta-1}, \\ \qquad z_\beta = y \in F_\beta \text{ tels que } \forall\, \alpha \leqslant i < \beta,\ z_i \text{ et } z_{i+1} \text{ soient incidents} \end{array} \right.\]

NB Le système \((F_\alpha)_{0 \leqslant \alpha \leqslant n}\) et les \(I_\alpha\) (\(0 \leqslant \alpha \leqslant n-1\)) se reconstituent à partir de l'ens. ordonné \(F_*\), en prenant \[\begin{align*} F_0 &= \text{ens.\ des él.\ minimaux de } F_* \\ F_1 &= \text{\quad''\quad''\quad''\quad} F_* - F_0 \\ &\ \ \vdots \\ F_i &= \text{\quad''\quad''\quad''\quad} F_* - F_0 - \dots - F_{i-1} \qquad (i \leqslant n) \\ I_\alpha &\subset F_\alpha \times F_{\alpha+1}, \quad I_\alpha = \lbrace (x,y) \mid x \in F_\alpha,\ y \in F_{\alpha+1},\ x \preceq y \rbrace \end{align*}\] [Cela montre pourquoi \(I_\alpha \to F_{\alpha+1}\) surjectif] NB […] […] […] note oblique dans la marge droite, à hauteur de ce paragraphe, en quatre lignes serrées ; seul « NB » se lit

Les ens. ordonnés (\(F_*\) ainsi obtenus sont exactement […] ceux satisfaisant la condition des chaînes, et où les chaînes (= ss-ens. totalement ordonnés de \(F_*\)) sont de les ens. ordonnés les chaînes […] […] de \(F_*\) longueur maxima \(\leqslant n\) (on n'exige pas \(F_n \neq \emptyset\)). Vérifier « Vérifier », à l'encre noire dans la marge gauche, avec une flèche vers la phrase

Ax Drapeaux On sait par définition les parties totalement ordonnées non vides de \(I\). Longueur d'un drapeau (\(= 1 +\) cardinal), type \(\in \mathfrak{P}[0,n]\) (c'est une partie non vide de \([1,n]\)). « \([0,n]\) » : le 0 est repassé à l'encre noire [Ens. \(D(F_*)\) des drapeaux] (ordonnés par inclusion, les él. de \(F_*\) sont les drapeaux minimaux, la relation \(x \leqslant y\) de \(F_*\) signifie […] la page s'arrête sur ce mot ; la phrase continue en haut de la page 3

3feuille à l'italienne, écrite sur deux colonnes ; on donne la colonne de gauche, puis celle de droite existe un drapeau majorant \(x\) et \(y\) [[…]] fois [l'ens. ordonné] dans (\(F_*\) […] […] […] l'ens. ordonné des drapeaux (qui a la propriété, entre autres que tout drapeau est le sup des […] […] minimaux qu'il majore, [et que l'ens. des drapeaux […] […] […] un drapeau)] [[…] \(D(\Sigma)\)]). Drapeaux maximaux… Soit \(\mathcal{A}\) l'ens. des drapeaux maximaux. au signe : l'ordre inverse puis… marginal à l'encre noire, oblique, en haut à gauche

[…] Pour \(\forall\, x \in F_*\), soit \(F(x)\) l'ens. des \(y < x\). [Il satisfait les […] conditions […] que \(F_*\), avec \(n\) […] par \(\alpha\) […].] On observe l'axiome […] deux lignes surchargées : une addition interlinéaire remplace partiellement « On observe l'axiome » ; l'ordre de lecture est incertain

Axiome 3 2 Soit \(2 \leqslant \alpha \leqslant n\), \(x_\alpha \in F_\alpha\), \(x_{\alpha-2} \in F(x_\alpha)_{\alpha-2}\). Alors […] le cardinal de l'ens. des \(x_{\alpha-1} \in F(x_\alpha)_{\alpha-1}\) incidents à \(x_{\alpha-2}\) est 2. condition seulement si \(\alpha \geqslant 2\)

Axiome 3 Soit \(x_1 \in F_1\), alors le cardinal de l'ens. des \(y_0 \in\) […] \(F(x)_0\) incidents à \(x\) est 2. […] \(\alpha \geqslant 1\)

Définition

Soit donc \(\mathcal{A}\) l'ens. des drapeaux maximaux. […] On va introduire sur \(\mathcal{A}\) des opérations \(\sigma_\alpha\) (\(0 \leqslant \alpha \leqslant n-1\)). Soit \(d = (x_0, x_1, \dots, x_\nu)\) (\(\nu = n\)) un drapeau maximal, avec \(x_i \in F_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant \nu\)). \[\sigma_0(d) = (x_0', x_1, \dots, x_\nu)\] où \(x_0'\) est caractérisé par la condition \(x_0' \neq x_0\) [et \((x_0', x_1, \dots, x_\nu)\) un drapeau, i.e. \(x_0' \in F(x_1)_0\)] cf Axiome 2 \[\sigma_\alpha(d) = (x_0, \dots, x_{\alpha-1}, x_\alpha', x_{\alpha+1}, \dots)\] caractérisé par \(x_\alpha' \neq x_\alpha\) (et par \(\sigma_\alpha(d)\) est un drapeau) \(1 \leqslant \alpha \leqslant n-1\) le rendre naturel la note « le rendre naturel » est écrite en oblique entre les deux colonnes

Considérons aussi l'axiome (facultatif)

Axiome 2' \(\forall\, x_{n-1} \in F_{n-1}\), le cardinal de l'ens. des drapeaux \(y \in F_n\) incidents à \(x_{n-1}\), est 2. On pose alors \[\sigma_n(d) = (x_0, \dots, x_{n-1}, x_n') \quad \text{caractérisé par } x_n' \neq x_n \quad (\text{etc.}\dots)\] après \((x_0, \dots, x_{n-1}, x_n')\), quelques mots biffés, dont « \(x_n'\) est le » ; « caractérisé par \(x_n' \neq x_n\) (etc…) » est écrit au-dessus variante […]

NB Les \(F(x)\) (où \(x \in F_\alpha\)) satisfont les axiomes 1, 2, 3, et 4 avec \(n\) remplacé par \(\alpha - 1\)…

colonne de droite On va voir maintenant que (moyennant les axiomes \(1, 1', 2, 2', 3\) [et un axiome 4 plus bas]) l'ens. à opérateurs \(\mathcal{A}\) permet de reconstituer \(F_*\) (donc \((F_\alpha)\), \((I_\alpha)\)…).

On a évidemment Les Mais donnons d'abord les relations de commutation évidentes \[\sigma_\alpha \sigma_\beta = \sigma_\beta \sigma_\alpha \quad \text{si } |\beta - \alpha| \neq 1 \ \text{i.e.\ } \alpha, \beta \text{ non consécutifs.}\] Soit \(G_n\) le groupe engendré par les relations gén. \(\sigma_\alpha\) (\(0 \leqslant \alpha \leqslant n-1\)) avec les relations précédentes. \(\mathcal{A}\) est un \(G_n\)-ensemble. Les \(\sigma_\alpha\) (\(0 \leqslant \alpha \leqslant n-1\)) opèrent sans pt fixe. Soit \(G_n^{(\alpha)}\) le sous-groupe de \(G_n\) engendré par les \(\sigma_\beta\) avec \(\beta \neq \alpha\). On a évidemment \[\mathcal{A}/G_n^{(\alpha)} \longrightarrow F_\alpha \qquad (0 \leqslant \alpha \leqslant n-1)\] Axiome 4 « Axiome 4 » est écrit au-dessus d'un mot lourdement biffé Cette application est bijective.

(La surjectivité est claire [par l'axiome 1]. Pour la bijectivité, il suffit de voir que si \(d = (x_0, \dots, x_n)\), \(d' = (x_0', \dots, x_n')\) sont deux \(\in \mathcal{A}\) avec […] \(x_\alpha = x_\alpha'\), alors on peut passer de \(d\) à \(d'\) en appliquant successivement des transformations \(\sigma_\beta\) avec \(\beta \neq \alpha\).

Plus généralement, soit \(\delta \subset [0,n]\), [\(\delta \neq \emptyset\)], et considérons le sous-groupe \(G_n^{(\delta)}\) des \(G_n\) engendré par les \(\sigma_i\) avec \(i \in \complement_{[0,n]} \delta\). Alors on a \[\mathcal{A}/G_n^{(\delta)} \longrightarrow \mathcal{A}_\delta \quad (\text{drapeaux de type } \delta)\] et on voudra que ce soit bijectif (conséquence […] de l'axiome 4 et des précédents?))

4Ceci dit, les relations d'inclusion naturelles entre les \(G_n^\delta\) (\(G_n^\delta \subset G_n^{\delta'}\) pour \(\delta' \subset \delta\)) définissent les relations d'incidence [(= relations d'inclusion) entre] drapeaux de types divers. On reconstitue ainsi l'ens. ordonné des drapeaux des divers types \(\delta\), et par là l'ens. des \(F_\alpha\) (drapeaux minimaux) et leurs relations d'incidence…

De façon précise :

Prop Le foncteur \((F_*) \mapsto (\mathcal{A})\) des complexes cellulaires satisfaisant les axiomes \(1, 1', 2, 2', 3, 4\) (confirmé ?) vers les ens. à groupe d'opérateurs \(G_n\), est pl. fidèle.

Il faudrait déterminer l'image essentielle.

un trait de séparation horizontal, barré d'un trait vertical

Réalisation géom. d'un complexe \(F_*\) (satisfaisant le seul axiome 1) : c'est par définition la réalisation géométrique de la triangulation simpliciale définie par l'ens. des parties [(finies)] totalement ordonnées de \(F_*\).

5toute la page est barrée d'un long trait diagonal ; elle se lit néanmoins. Ce sont des suites exactes empilées, sans texte ; on en donne les lignes, flèches verticales comprises dans une note \[1 \to \underline{\mathrm{Aut}}(X, \mathrm{id}_{\partial X}) \to \mathrm{Aut}(X) \to \mathrm{Aut}(\partial X) \to 1\] au-dessus de \(\mathrm{Aut}(X)\) une flèche monte vers \(1\) ; au-dessous, une colonne \(1 \to \mathbf{Z}^I \to \widetilde{\mathrm{Aut}}(X) \to \mathrm{Aut}(X)\), une flèche horizontale arrivant de gauche sur \(\widetilde{\mathrm{Aut}}(X)\)

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\begin{tikzcd}
  \widetilde{\partial X} \arrow[d, "p"] & \\
  \partial X \arrow[r, hook'] & X
\end{tikzcd}

\[\widetilde{\mathrm{Aut}}(X) = \lbrace (u, \tilde{v}) \mid u \in \mathrm{Aut}(X),\ \tilde{v} \in \mathrm{Aut}(\widetilde{\partial X}),\ \ (u \mid \partial X) \circ p = p \circ \tilde{v} \rbrace \subset \mathrm{Aut}(X) \times \mathrm{Aut}(\widetilde{\partial X})\] la flèche d'inclusion \(X \hookleftarrow \partial X\) est tracée de droite à gauche

\[\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & S\mathcal{A}(X) & \to & \mathcal{A}(X) & \to & \mathcal{A}(\partial X) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & \to & S\widetilde{\mathcal{A}}(X) & \to & \widetilde{\mathcal{A}}(X) & \to & \mathcal{A}(\widetilde{\partial X}) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \mathbf{Z}^I & \Rightarrow & \mathbf{Z}^I & \to & 1 & \to & 1 \end{array} \qquad I = \pi_0(\partial X)\] en tête des deux premières colonnes, des flèches pointillées venues de \(1\) ; une flèche pointillée va en diagonale de \(S\mathcal{A}(X)\) vers \(\widetilde{\mathcal{A}}(X)\) ; sous \(S\widetilde{\mathcal{A}}(X)\) il écrit « \(\simeq S\mathcal{A}(X) \times \mathbf{Z}^I\) », sous la troisième colonne une flèche descend de \(1\). La flèche « \(\Rightarrow\) » est son signe d'égalité fléchée

\[\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & ST(X) & \to & \mathcal{A}(X)/S\mathcal{A}^\circ(X) & \to & \mathcal{A}(\partial X) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow\!\wr & & \\ 1 & \to & \widetilde{ST}(X) & \to & \widetilde{\mathcal{A}}(X)/ S\mathcal{A}^\circ(X) & \to & \mathcal{A}(\widetilde{\partial X}) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \mathbf{Z}^I & \Rightarrow & \mathbf{Z}^I & \to & 1 & \to & 1 \end{array}\] même disposition, avec la flèche pointillée de \(ST(X)\) vers \(\widetilde{\mathcal{A}}(X)/S\mathcal{A}^\circ(X)\), et sous \(\widetilde{ST}(X)\) l'annotation « \(\simeq ST(X) \times \mathbf{Z}^I\) » ; le dénominateur \(S\mathcal{A}^\circ(X)\) est lu ainsi dans les deux lignes

6Les éléments de \(F_*\) se réalisent comme des parties [(i.e. structures coniques)] de \(|F_*|\) [associé à \(x \in F_\alpha\) correspond la réunion des simplexes réalisation des simpl. formés [ouverts] d'éléments \(\leqslant x\)], la relation d'incidence devient l'inclusion — il y a une équivalence de catégories ([…] d'objets top. versus objets combinatoires) à dégager.

Prop Si \(|F_*|\) est une variété top. [pointée] de dimension \(n\), alors \((F_*)\) satisfait les conditions \(1, 1', 2, 2', 3, 4\)… [Plus précisément, pour que \((F_*)\) soit une variété top. de dim. \(n\), il faut et il suffit que \((F_*)\) satisfasse \(1, 1', 2, 2', 3, 3'\), \(4\), et que \(\forall\, x \in F_\alpha\) [(\(\alpha \geqslant 3\))], la réalisation géom. de \(F(x)\) soit une sphère [en fait, […] modulo l'hyp. de Poincaré, il suffit d'exiger que pour \(\alpha \geqslant 3\), \(|F(x)|\) soit simpl. connexe et [pour \(\alpha \geqslant 5\), elle ait de plus] […] l'homologie d'une sphère de même dimension. « \(\alpha \geqslant 3\) » est corrigé en « \(\geqslant 5\) » dans l'addition ; le détail des surcharges n'est pas sûr

trait de séparation

Soit \(X\) un espace top. (filtré par [(compact ??)] \[X_0 \subset X_1 \subset \dots \subset X_n = X .\] On suppose […] que \(\forall\, i\), la différence de \(X_i\), moins \(X_{i-1}\), soit homéomorphe à une […] bord de […] […] de boules \(B^{i}\). Soit \(\mathcal{A}\) l'ens. des « drapeaux » relatifs à cette filtration (à définir avec soin). On a alors une op. de \(G_n\) [([…] \(= G_n\) si \(X\) variété top. de dim. \(n\))]. la fin de la page est très serrée et partiellement surchargée

7avec les \(\sigma_i\) opérant sans pt fixe.

Prop Le foncteur de la catégorie […] des [variétés de dim. \(n\)] \(X\) filtrées comme dessus, vers les \(G_n\)-ensembles finis (où les \(\sigma_i\) opèrent sans pt fixe) est pl. fidèle.

Déterminer l'image essentielle (moyennant l'hyp. de Poincaré au besoin) et montrer qu'elle est plus grande que celle correspondant aux complexes cellulaires se réalisant suivant une variété topologique…

\(n\)-Variété combinatoire [finie] définie par un ens. [fini] \(D_n\) muni de \(n+1\) automorph. involut. sans pt fixe \(\sigma_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)) tels que deux \(\sigma_i\) non consécutifs commutent — i.e. \(D_n\) est un ens. à op. sous \(G_n\), avec les \(\sigma_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant n\)) op. sans pt fixe.

\(n\)-complexe combinatoire fini. Donné par un système \(D_n, D_{n-1}, \dots, D_1, D_0\) d'ens. [finis], chaque [\(D_i\) (\(1 \leqslant i \leqslant n\))] étant un […] \(G_{i-1}\)-ensemble [« spécial »] (i.e. les gén. \(\sigma_\alpha\) op. sans pt fixe) et des applications \[D_n \longrightarrow D_{n-1} \longrightarrow D_{n-2} \longrightarrow \cdots \longrightarrow D_1 \longrightarrow D_0\] telles que \(\forall\, 2 \leqslant i \leqslant n\), \(D_i \to D_{i-1}\) soit un \(G_{i-2}\)-morphisme, et que pour \(0 \leqslant j \leqslant\) \(i \geqslant j+2 \geqslant j \geqslant 0\),

8feuille à l'italienne ; seule la moitié gauche est écrite l'application composée \(D_i \to D_j\) (qui est un \(G_{j-1}\)-morphisme) soit invariante par \(\sigma_{i-1}, \dots, \sigma_{j+1}\).

\(n\)-variété combinatoire \(\Leftrightarrow\) \(G_n\)-ens. \(D_n\). Si \(0 \leqslant i \leqslant n\), le [bord de la \(i\)-décomp.] […] décomp. \(\partial(\mathrm{D\acute{e}c}(X_i/X_{i-1}))\) est une \((i-1)\) variété combinatoire \(\delta_{i-1}\) qui est \[\begin{align*} \delta_{n-1} &= (D_n;\ \sigma_0, \dots, \sigma_{n-1}) \\ \delta_{n-2} &= (D_n/\sigma_n;\ \sigma_0, \dots, \sigma_{n-2}) \\ \delta_{n-3} &= (D_n/(\sigma_n, \sigma_{n-1});\ \sigma_0, \dots, \sigma_{n-3}) \\ &\ \ \cdots \\ \delta_{i-1} &= (D_n/(\sigma_n, \dots, \sigma_{i+1});\ \sigma_0, \dots, \sigma_{i-1}) \end{align*}\]

la suite de la page est barrée de plusieurs grands traits obliques ; on la donne telle qu'elle se lit On définit par récurrence sur \(n\) la cat. \(\mathcal{C}_n\) des \(n\)-[cartes] […] combinatoires [finies et foncteur \(i_n : \mathcal{C}_n \to \mathcal{V}_n\)], en posant sous \(\mathcal{V}_n\), en petit : « \(n\)-var. comb. »

\(\mathcal{C}_0 =\) [\(0\)-sphères] […] \(=\) ens. finis

\(\mathcal{C}_n = \lbrace X_{n-1}, S_{n-1}, \varphi \rbrace\) [cat. des]

où \(X_{n-1} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}_{n-1}\), \(S_{n-1} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{V}_{n-1}\), \(\varphi : i_{n-1}(S_{n-1}) \to X_{n-1}\)

\(i_n : \mathcal{V}_n \to \mathcal{C}_n\) défini par \(i_n(D_n) = (\) la phrase s'arrête sur la parenthèse ; en dessous, « \(G_n\)-ens. » ; la flèche \(i_n\) est écrite ici dans l'autre sens que plus haut

9Complexes [Cartes] coniques, complexes [cartes] cellulaires, et ens. à opérateurs.

Une \(n\)-carte conique [(finie)] est un espace top. \(X\) compact, muni d'une filtration croissante [par des parties fermées] \[X_0 \subset X_1 \subset \dots \subset X_{n-1} \subset X_n = X\] telles que

d) est récrit à droite en surcharge : « d) Soit \(X_{i-1}^!\) l'image de \(\dot{Z}_i\) dans \(X_{i-1}\) ; […] Alors \(X_{i-2}^! = X_{i-1}^! \cap X_{i-2}\) » (lecture incertaine des indices)

Cas \(n = 0\) : espaces finis discrets.

Cas \(n = 1\) : \(X = X_1 \supset X_0\). [cpct] \[\dot{Z}_1 = \coprod_\alpha \dot{Z}_1^\alpha \to X_0\]

au bas de la page, à gauche, six petites figures : une boucle posée sur un point, un segment, un segment à deux sommets, un « Y » à trois sommets cerclés, un segment isolé, un disque bordé d'une boucle avec un point, et un sommet d'où partent trois arêtes, l'une hachurée ; ce sont des exemples de 1-cartes. Sous elles, « \(\dot{Z}_1 \subset \overline{Z}_1\) » au-dessus de « \(X_0 \subset X_1\) », avec deux flèches verticales

à droite, des tableaux d'inclusions : « \(x_0 \in x_1\), \(x_1\), \(x_2\) » au-dessus de \(\dot{Z}_1 \subset \overline{Z}_1\), \(\dot{Z}_2 \subset \overline{Z}_2\), \(\dot{Z}_3 \subset \overline{Z}_3\), qui s'envoient sur \(X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset X_3\) ; en dessous \(x_0 \subset x_1 \subset x_2 \subset x_3\) ; puis le schéma général ci-dessous \[\begin{array}{ccccccc} x_{i+1} & & \dot{Z}_{i+1} \subset Z_{i+1} & & \dot{Z}_{i+2} \subset \overline{Z}_{i+2} & & \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \\ X_{i-1} & \subset & X_i \subset X_{i+1} & & \subset & & X_{i+2} \end{array}\] \[\begin{array}{ccccc} Z_{i+1} \mid X_{i-1} & \subset & Z_{i+1} \mid X_i & \to & \overline{Z}_{i+2} \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ X_{i-1} & \subset & X_i & & X_{i+2} \end{array}\] les deux derniers tableaux sont serrés et en partie surchargés ; les indices sont lus au mieux

11Ens. ordonné des cellules […] ass. \(X_i\)

\[\begin{array}{c} \overline{X}_{i+1} \\ \mid \\ X_{i-1}\ X_i \end{array} \qquad X_i\]

Géométrie des drapeaux de dim \(\leqslant n\)

\(D_0\) Ex \(n = 0\) \(D_0\)

\(n = 1\) \(D_{01}\) épi !! \(\qquad D_0 \leftarrow D_{01} \to D_1\)

\(n = 2\) à gauche, deux essais biffés avec \(X_{i+1}\), \(X_{i-1}\), \(X_i\)

figure : le treillis des drapeaux pour \(n = 2\). En haut \(D_{012}\) ; de lui descendent des flèches vers \(D_{01}\), \(D_{02}\), \(D_{12}\), marquées « épi » ; de ceux-ci vers \(D_0\), \(D_1\), \(D_2\), la flèche \(D_{02} \to D_1\) barrée d'une croix, et « épi » sur plusieurs flèches

\[D_{01\dots i} \to D_I \ \text{\emph{épi}} \quad \text{si } i = \sup I \quad \text{i.e.\ } i \in I \subset [0,i]\]

\(D_I\)

figure centrale : le même treillis dessiné plus grand, \(D_{012}(F)\) en haut, \(D_{02}(F)\), \(D_{12}(F)\), puis \(D_{01}\), \(D_0\), \(D_1\) et une case \(\lbrace 1 \rbrace\) ; au-dessous une petite échelle encadrée « 2 3 4 5 ». À droite, un carré \(D_{012} \to D_{12}\), \(D_{02} \to D_2\), puis deux segments dessinés, l'un avec un point milieu, et « 23 ? »

\(D_\sigma \to D_{\sigma'}\) épi si \(\sigma' \subset \sigma\) et … \(\sigma\) […], i.e. \(\sigma = \sigma'' \cup \sigma'\), \(\sigma'' < \sigma'\)

à gauche, « \(\exists\) \(d'\) » avec \(D_{123} \to D_{13}\) et \(D_{123} \to D_{13}\) (second indice lu \(123\)) ; au-dessous, deux treillis pour \(n = 3\) : le premier, \(D_{012}\) au sommet, \(D_{01}\), \(D_{02}\), \(D_{12}\), \(D_0\), \(D_1\), \(D_2\), avec des flèches épaisses et « épi » ; le second, \(D_{0123}\) au sommet, \(D_{013}\), \(D_{023}\), \(D_{123}\), \(D_{03}\), \(D_{13}\), \(D_{23}\), \(D_3\), les flèches vers \(D_3\) repassées en gras, et un troisième treillis en pointillé relié au premier par de longues flèches

\[\begin{align*} D_{01} &\to D_1 & D_{013} &\to D_{13} \\ D_{012} &\to D_{12} & D_{0123} &\to D_{123} \\ D_{12} &\to D_2 & D_{123} &\to D_{23} \\ D_{02} &\to D_2 & D_{23} &\to D_3 \end{align*}\]

en bas à droite, une figure : un arc hachuré de lignes parallèles numérotées \(0, 1, 2, 3\), avec \(D_1\), \(D_2\) et une flèche vers \(D_3\) ; au-dessous « \(1\), \(1 + 1\), \(1 + 2\) » avec « \(\shortparallel\ 2\) » \[n_i = \sum_{j < i} n_j + 1\]

12en haut à gauche, quatre cas numérotés 1) \(F_0\) 2) \(F_0 \leftarrow R_1 \to F_1\), épi 3) un premier essai hachuré avec \(F_0\), \(F_1\), \(F_2\)

figure : un diagramme à deux étages. En haut \(R_1'\), avec des flèches vers \(F_0'\) et \(F_1'\) ; de \(F_0'\), \(R_1'\), \(F_1'\) descendent des flèches vers \(R_1\), \(F_0\), \(F_1\), \(F_2\) ; \(R_1\) s'envoie sur \(F_0\) et \(F_1\). Le même diagramme est répété plus bas pour le cas 4), précédé de « \(F_0\) »

en haut à droite décomposition cellulaire […] [[…] […]] : l'ens. quasi-simplicial […] \(F_1 = F_0 \amalg F_1\), ordonné des drapeaux \[\begin{align*} \text{type } 0 &: F_0 \\ \text{type } 1 &: F_1 \\ \text{type } (0,1) &: R_1 \end{align*}\] figure : un graphe, deux sommets cerclés reliés par une longue arête ; au premier pendent trois arêtes courtes ; le second, cerclé en bas, porte deux arêtes marquées d'un point milieu et une arête vers un troisième sommet cerclé, d'où partent trois arêtes formant un fuseau

\(\Phi(\mathcal{C}) =\) Catégorie des […] [familles finies] \((f_i)_{i \in I}\) de morphismes de \(\mathcal{C}\) de même but à gauche, biffé : « \(\mathcal{C}_0 = \mathrm{Ens}_f\) » et « \(\mathcal{C}_1 =\) »

Un foncteur \(\mathcal{C} \xrightarrow{\ \varphi\ } (\mathrm{Top}\) […]\()\) implique un foncteur \[\Phi(\mathcal{C}) \xrightarrow{\ \Phi(\varphi)\ } \mathrm{Top}\] \[(X_i \xrightarrow{f_i} X)_{i \in I} \longmapsto \coprod_i \mathrm{C\hat{o}ne}\, \varphi(X_i) \ \amalg_{\coprod \varphi(X_i)}\ \varphi(X)\] la lettre avant \((X_i)\) est surchargée, lue \(\varphi\) ; l'indice sous le second \(\amalg\) est \(\coprod \varphi(X_i)\)

Si les \(\varphi(f)\) (\(f \in \mathrm{Fl}(\mathcal{C})\)) sont finis, de même les \(\Phi\varphi(f)\), \(f \in \mathrm{Fl}(\Phi\mathcal{C})\) ; si \(\varphi\) est […] fidèle (resp. pl. fidèle) \(\Phi\varphi\), itou vers les espaces top. filtrés, mod isotopie… \[\Phi(\Phi(\mathcal{C})) \to \mathrm{Top}\]

13[…] paratriangulation

paracartes : foncteurs \(\mathfrak{P}_f^*(\mathbf{N}) \xrightarrow{D} (\mathrm{Ens})\) tels que \(\sigma \subset \sigma'\) [segment finis] \(\Rightarrow D(\sigma) \to D(\sigma')\) épi.

paracartes uniquedimensionnelles : \(D(\sigma) \to D(\sigma')\) bij. épi si […] \(\sigma \subset \sigma' \subset \Delta_n\), et \(D(\lbrace i \rbrace) = 0\) si \(i > n\).

paracartes : […] stratifications équidimensionnellesle premier \(\sigma\) de la formule est surchargé, peut-être sur un \(\Delta\) ; lecture incertaine : \(D(\sigma) \to D(\sigma')\) épi si \(\sup \sigma = \sup \sigma'\), i.e. \(D([0,i]) \to D(\sigma)\) épi si \(i = \sup \sigma\).

paracartes spéciales : les cellules sont équi-dim ; \(\forall\) […] \(D(0, \dots, j-1, j+1, \dots, i) \leftarrow D(0, \dots, i)\) de degré 2. ces deux conditions sont réunies par une accolade la seconde ligne de l'accolade porte, biffé, un premier essai contenant « \(D(\lbrace i \rbrace) \neq \emptyset\) » ; « de degré 2 » est souligné

à gauche, un petit diagramme : \(D_{01} \to D_1\) et \(D_{012}\) avec deux flèches vers \(D_{12}\) et \(D_{02}\)

Question : […] […] \(D(\dots, j-1, j, j+1, \dots) \to D(\dots, j-1, j+1, \dots)\) toujours de degré 2 ??

p. ex. \(D_{123} \to D_{13}\) degré 2…

d'où groupe \(G_i\) engendré par \(\sigma_0, \dots, \sigma_{i-1}\) opérant sur \(R_i \shortparallel D(0, \dots, i)\).

On veut conditions assurant que \(D(0, \dots, i)\) récupère tous les \(D(i_0, \dots, i_p)\) via \((R_i, G_{i-1})\) et les applications \(R_{i+1} \to R_i \to \cdots\)

15Un ens. ordonné \(D\) est appelé « géométrie de drapeaux » si pour tout \(d \in D\), l'ens. ordonné [induit] \(D(d) = \lbrace d' \in D \mid d' \leqslant d \rbrace\) a la structure d'un « simplexe ordonné » i.e. est isomorphe à \(\mathfrak{P}^*(I_d)\), parties finies \(\neq \emptyset\) NB on demande \(I_d \neq \emptyset\) avec l'inclusion — où \(I_d\) peut s'identifier à l'ens. des él. minimaux de \(D(d)\), on encore : la partie de l'ens. \(\Phi = D(1)\) « \(D(1)\) » : le 1 est cerclé, peut-être un indice de degré des él. minimaux de \(D\) (« drapeaux de longueur 1 » — NB \(\mathrm{card}(I_d)\) s'appellera « la longueur » du drapeau \(d\)). Pour toute partie finie \(\sigma\) de \(\Phi\), soit \(D(\sigma)\) l'ens. des \(d \in D\) tels que […] \(I_d = \sigma\), on trouve un contrafoncteur \[(\text{parties finies} \neq \emptyset \text{ de } \Phi)^\circ \xrightarrow{\ D\ } (\mathrm{Ens}) \qquad \text{tel que } \mathrm{card}\, D(\lbrace i \rbrace) = 1 \quad \forall\, i \in \Phi\] dont la connaissance permet de reconstituer \(D\) comme \[D \simeq \coprod_{\sigma \in \mathfrak{P}_f^*(\Phi)} D(\sigma)\] avec la relation d'ordre évidente. Ainsi \[\left\lbrace \begin{array}{l} \text{géométries de drapeaux} \\ \text{(ens.\ ordonnés ainsi)} \end{array} \right. \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \text{Couples } (\Phi, D) \text{ d'un ens.\ } \Phi \text{ et d'un foncteur} \\ \mathfrak{P}_f^*(\Phi)^\circ \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \\ \text{tels que } \mathrm{card}\, D(\lbrace i \rbrace) = 1\ \forall\, i \in \Phi \end{array}\] « ainsi » dans la parenthèse de gauche est une lecture incertaine NB \(\Phi\) est aussi l'ens. des sommets d'un ens. quasi-simplicial, mais […] […] […] \(D\) n'est pas déterminé par celui-ci…

NB Pour que dans \(D\) on ait \(\forall\, d \in D\) \[d = \sup_{i \in I_d} i\] \(\Big|\) géométrie de drapeaux stricte

il faut et il suffit que \(D\) soit isomorphe à un ens. de parties finies [\(\neq \emptyset\)] de \(\Phi\) avec l'inclusion (contenant, pour toute partie finie \(\sigma\) qu'elles contient, ses sous-ens. \(\neq \emptyset\) plus petits). On trouve ainsi : \[\left( \begin{array}{c} \text{Géom.\ de drapeaux} \\ \text{strictes} \end{array} \right) \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c} \text{ensembles} \\ \text{simpliciaux} \end{array} \right)\] « ensembles » est une lecture incertaine du premier mot de la parenthèse de droite En termes du foncteur \(D : \mathfrak{P}_f^*(\Phi)^\circ \to (\mathrm{Ens})\), cela signifie que \(D\) est […] [un sous-foncteur du] foncteur […] [final] […] i.e. \(\forall\, \sigma\), […] \(\mathrm{card}\, D(\sigma) \leqslant 1\) i.e. \(\mathrm{card}\, D(\sigma) \in \lbrace 0, 1 \rbrace\). fin de page très surchargée : les additions interlinéaires « un sous-foncteur du » et « final » sont lues

16[Soit \(I\) un ens. […]] Supposons qu'on ait un foncteur \[\mathfrak{P}_f^*(I)^\circ \xrightarrow{\ D'\ } (\mathrm{Ens})\] sans condition de la forme \(\mathrm{card}\, D(\lbrace i \rbrace) = 1 \quad \forall\, i \in I\). On peut néanmoins lui associer une géométrie de drapeaux dont l'ens. des \[D = \coprod_{\sigma \in \mathfrak{P}_f^*(I)} D'(\sigma)\] dont l'ens. des él. minimaux est \[\Phi = \coprod_{i \in I} D'(\lbrace i \rbrace)\] sous ce signe somme, un indice biffé, remplacé par « i ∈ I » Il a donc une application \[\Phi \xrightarrow{\ \delta\ } I\] (application « dimension » \(\delta\) dans les cas qui nous intéressent) ayant la propriété que pour tout \(d \in D\), la restriction ici un premier essai de la formule, biffé et en partie illisible \[\delta \mid I_d : I_d \to I\] est injective. Inversement, si on a une géométrie de drapeaux \(D\) et une application \(\delta\) de \(\Phi = D(1)\) (ens. des él. minimaux de \(D\)) dans un ens. \(I\), satisfaisant la condition précédente, on lui associe un foncteur \[D' : \mathfrak{P}_f^*(I) \to (\mathrm{Ens}) \quad \text{par}\] \[D'(\sigma) = \coprod_{\substack{\sigma' \in \mathfrak{P}_f^*(\Phi) \\ \text{t.q.\ } \delta \mid \sigma' : \sigma' \xrightarrow{\sim} \sigma}} D(\sigma')\] et on voit que \((D, I, \delta)\) se reconstitue à partir de \((I, D')\). […]

17\[\left. \begin{array}{l} \text{Géom.\ de drapeaux } D \\ + \text{« fonction dimension »} \\ \delta : \Phi \longrightarrow I \\ \quad \text{\scriptsize él.\ min.} \end{array} \right| \Longleftrightarrow \left| \begin{array}{l} \text{foncteur } D' : \mathfrak{P}_f^*(I)^\circ \to (\mathrm{Ens}) \\ \text{\emph{NB} Posant } I_0 = \lbrace i \in I \mid D'(\lbrace i \rbrace) \neq \emptyset \rbrace \\ \text{on a sur } I_0 \text{ une structure } \dots \end{array} \right.\] dans l'encadré de gauche, « fonction » (lecture incertaine) est écrit au-dessus d'un mot biffé illisible, […] la fin de l'encadré de droite est très serrée : « … d'ens. quasi-simplicial […] […] \(\sigma\) tel que \(D(\sigma) \neq \emptyset\) » ; à gauche, reliée par une flèche : « (NB \(I_0 = \delta(\Phi)\)) »

Le cas qui nous intéressera plus particulièrement est le cas \[I = \mathbf{N}\] auquel cas \(\delta\) prend le nom de fonction dimension, […] et \(\sup_{\overline{\mathbf{R}}} \delta(I)\) […] [s'appelle] la dimension de la géom. de drapeaux \(D\) (munie de sa […] fonction dimension) si elle est finie, mais il y a souvent intérêt à remplacer \(\mathbf{N}\) par \([0,n]_{\mathbf{N}}\)… « \(\sup_{\overline{\mathbf{R}}}\) » : sous « sup », un \(\overline{\mathbf{R}}\) ; le mot initial de la ligne est biffé

un grand crochet vertical sépare ce qui précède de la suite

Plus généralement, [soit une géom. de drapeaux \(D\) donnée] supposons donnée une loi qui associe à chaque partie simplexe \(\sigma \subset \Phi\) (i.e. \(\sigma \in \mathfrak{P}_f^*(\Phi)\) de la forme \(I_d\)) une ordre total sur \(\sigma\), de façon que ces ordres totaux s'induisent mutuellement [ce qui est le cas pour les ordres totaux induits par un \(\delta : \Phi \to I\) si \(I\) lui-même est tot. ordonné, ou mieux d'un [ouvert] […] ordre […] sur I tel que les simplexes de \(I\) soient tot. ord…) mais cet ordre : prendre sur \(I\) l'ordre [[…]] […] … ] Alors, posant pour \(n \in \mathbf{N}\) (\(n \geqslant 0\)) \[\begin{align*} D[n] &= \lbrace d \in D \mid \mathrm{card}\, I_d = n+1 \rbrace \\ &= \coprod_{\sigma \in \mathfrak{P}_{n+1}(\Phi)} D(\sigma) \\ & \Big( \simeq \text{aussi } \coprod_{\sigma \in \mathfrak{P}_{n+1}(I)} D'(\sigma) \Big) \end{align*}\] « aussi » est une lecture incertaine

18On trouve que \(n \mapsto D[n]\) devient un ens. quasi-simplicial, i.e. un [contra]foncteur sur la catégorie \(\Delta\) des ens. finis non vides de la forme \(\Delta_n = [0,n]_{\mathbf{N}}\), avec comme morphismes les appl. injectives. Cet ens. quasi-simplicial satisfait la condition que \[\forall\, n, m \in \mathbf{N} \text{ avec } n < m, \text{ et } d_m \in D[m], \text{ l'application}\] \[\mathrm{Hom}_\Delta(\Delta_n, \Delta_m) \to D_n, \qquad u \mapsto u^*(d_m)\] […] est injective, qui signifie aussi que la catégorie \[\widehat{\Delta}/D[\,]\] est ordonnée (i.e. équivalente, pardonnez…). L'ens. ordonné \(D\) se reconstitue en fonction de \(D[\,]\), comme l'ens. ordonné grandeur par ladite catégorie ordonnée. […] [On trouve] Le […] de l'ens.

\[\begin{array}{l} \text{géométrie des drapeaux } D \\ \text{avec syst.\ d'ordres totaux sur} \\ \text{les simplexes de } \Phi \text{ (ens.\ des} \\ \text{él.\ minimaux de } D) \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \text{ens.\ quasi-} \\ \text{simpliciaux} \\ \text{satisfaisant la} \\ \text{condition dess.} \end{array}\] « totaux » est ajouté au-dessus de la ligne ; « avec » et « ens. » sont des lectures incertaines

19Soit \(D\) une géométrie de drapeaux quasi-simpliciale \(D : \mathfrak{P}_f^*(\mathbf{N})^\circ \to (\mathrm{Ens})\) (« géométrie de drapeaux avec fonction dimension ») ces deux lignes sont barrées d'un zigzag [i.e. avec [\(D\)] un syst. d'ordres totaux compatibles sur les simplexes de \(\Phi = D_0\) (ens. des él. minimaux de \(\Phi\))] il écrit bien « de \(\Phi\) » à la fin, pour « de \(D\) »

d'où \[X = |D|\] espace topologique, muni de parties fermées (compactes, des simplexes) \[X(d) \qquad d \in D\] définissant une stratification canonique de \(X\) par des simplexes (les \(X^\circ(d) = X(d) - \bigcup_{d' < d} X(d')\) forment une partition de \(X\) par des simplexes ouverts…)

Pour tout \(F \in \Phi\), soit \[\left\lbrace \begin{array}{l} |F| = \displaystyle\bigcup_{\substack{d \in D_* \\ \text{t.q.\ } \sup(I_d) = F}} X(d) \\[3ex] |F|^\circ = \displaystyle\bigcup_{\text{idem}} X(d)^\circ \end{array} \right.\] à droite, relié par un long trait courbe : « \(|F| - |F|^\circ \overset{?}{=} \bigcup_{F' < F} |F'|\) », et au-dessous « \(= \bigcup_{d \in D_*,\ \sup I_d < F} X(d)\) », avec au-dessus « \(\bigcup_{F' < F} |F'|^\circ\) » et, en bas, « donc \((|F|)_{F \in \Phi}\) »

? Quand peut-on dire que la famille des [et celle des cellules fermées] […] forment celle des cellules fermées d'une stratification de \(X\), dont les cellules ouvertes sont les \(|F|^\circ\) ?

[En fait :] a) \((|F|)_{F \in \Phi}\) […] \(|F| = \bigcup X(d) = X\) [loc. fermés ??]

20Soit \(\Delta\) la catégorie des ens. finis tot[alement] ordonnés [non vides], avec comme morphismes les applications strictement croissantes. Soit \[D_* \in \mathrm{Ob}\, \widehat{\Delta} \qquad D_* : \Delta^\circ \longrightarrow (\mathrm{Ens})\] donc \(D_*\) définit une catégorie fibrée : fibres discrètes sur \(\Delta\), à quelle condition celle-ci est-elle ordonnée [(ou préordonnée, cela revient au même)] ? Posons \(\Delta_n = [0,n] \in \mathrm{Ob}\,\Delta\), \(D_n = D_*(\Delta_n)\), la condition est celle-ci

(1) \(\forall\, n, m \in \mathbf{N}\), avec \(n < m\), et \(d_m \in D_m\), l'application \[\mathrm{Hom}_\Delta(\Delta_n, \Delta_m) \longrightarrow D_n, \qquad u \longmapsto u^*(d_m)\] est injective. le « 1 » est cerclé

Ceci posé, on a donc un ens. ordonné \(D_* = \coprod_{m \in \mathbf{N}} D_m\) et un foncteur fibrant \[\underline{D}_* \longrightarrow \Delta\] Considérons la réalisation topologique \(|D_*|\) de \(D_*\), donc \(\forall\, d \in D_* = \mathrm{Ob}\,\underline{D}\), on a une partie [fermée] \(|d| \subset |D_*|\), l'application \(d \mapsto |d|\) de \[D_* \to \mathfrak{P}(|D_*|)\] [est] injective [et] respecte la relation d'ordre. Considérons [pour \(d \in D_m\)] […] l'ens. \(D_d = \lbrace \delta \in D \mid \delta \leqslant d \rbrace\), on trouve qu'il est canoniquement isomorphe (comme ens. ordonné) à \(\mathfrak{P}^*(\Delta_m)\) (\(\mathfrak{P}^*\) désigne l'ens. des parties \(\neq \emptyset\)). Donc \(|d|\) est canoniquement isomorphe au simplexe type \(|\Delta_m|\). Ainsi on trouve \[|D_*| = \varinjlim_{d \in D_*} |d| = \varinjlim_{d \in D_*} |\Delta_m| = \varinjlim_{\Delta \in \Delta/D} |\Delta|\]