Fonds Grothendieck, cote n° 76, pages 1–20

Complexes cellulaires et ensembles à opérateurs

le titre est le sien, en tête de la page 2 ; il y a corrigé « complexes » en « cartes » (surcharge au-dessus des deux occurrences), et biffé « cellulaires » : la lecture en est « Cartes coniques, cartes cellulaires, et ens. à opérateurs », les mots biffés restant visibles

~~Complexes~~ Cartes coniques, ~~complexes~~ cartes ~~cellulaires~~, et ens. à opérateurs.

F_0,\ F_1,\ \dots,\ F_n (fini ??)

I_0, \dots, I_{n-1} ensembles (I_\alpha ens. \alpha-) la ligne commence par une suite de lettres biffée, illisible

\forall\, 0 \leqslant \alpha \leqslant n-1, I_\alpha \subset F_\alpha \times F_{\alpha+1} (relation d'incidence)

Axiome 1 I_\alpha \to F_{\alpha+1} est surjectif. facultatif : Axiome 1' I_\alpha \to F_\alpha surjectif note écrite verticalement dans la marge gauche, d'une autre encre

Sur F_* = \coprod_{0 \leqslant \alpha \leqslant n} F_\alpha, on met la relation d'ordre suivante \begin{array}{l} x \preceq y \ \text{ssi} \\ x \in F_\alpha,\ y \in F_\beta \end{array} \quad \left\lbrace \begin{array}{l} \text{ou bien } x = y \ (\text{donc } \alpha = \beta) \\ \text{ou bien } \alpha < \beta \text{ et } \exists\, z_\alpha = x \in F_\alpha,\ z_{\alpha+1} \in F_{\alpha+1}, \dots, z_{\beta-1} \in F_{\beta-1}, \\ \qquad z_\beta = y \in F_\beta \text{ tels que } \forall\, \alpha \leqslant i < \beta,\ z_i \text{ et } z_{i+1} \text{ soient incidents} \end{array} \right.

NB Le système (F_\alpha)_{0 \leqslant \alpha \leqslant n} et les I_\alpha (0 \leqslant \alpha \leqslant n-1) se reconstituent à partir de l'ens. ordonné F_*, en prenant \begin{align*} F_0 &= \text{ens.\ des él.\ minimaux de } F_* \\ F_1 &= \text{\quad''\quad''\quad''\quad} F_* - F_0 \\ &\ \ \vdots \\ F_i &= \text{\quad''\quad''\quad''\quad} F_* - F_0 - \dots - F_{i-1} \qquad (i \leqslant n) \\ I_\alpha &\subset F_\alpha \times F_{\alpha+1}, \quad I_\alpha = \lbrace (x,y) \mid x \in F_\alpha,\ y \in F_{\alpha+1},\ x \preceq y \rbrace \end{align*} [Cela montre pourquoi I_\alpha \to F_{\alpha+1} surjectif] NB note oblique dans la marge droite, à hauteur de ce paragraphe, en quatre lignes serrées ; seul « NB » se lit

Les ens. ordonnés (F_* ainsi obtenus sont exactement ceux satisfaisant la condition des chaînes, et où les chaînes (= ss-ens. totalement ordonnés de F_*) sont de ~~les ens. ordonnés~~ les chaînes de F_* longueur ~~maxima~~ \leqslant n (on n'exige pas F_n \neq \emptyset). Vérifier « Vérifier », à l'encre noire dans la marge gauche, avec une flèche vers la phrase

Ax Drapeaux On sait par définition les parties totalement ordonnées non vides de I. Longueur d'un drapeau (= 1 + cardinal), type \in \mathfrak{P}[0,n] (c'est une partie non vide de [1,n]). « [0,n] » : le 0 est repassé à l'encre noire Ens. D(F_*) des drapeaux (ordonnés par inclusion, les él. de F_* sont les drapeaux minimaux, la relation x \leqslant y de F_* signifie la page s'arrête sur ce mot ; la phrase continue en haut de la page 3

feuille à l'italienne, écrite sur deux colonnes ; on donne la colonne de gauche, puis celle de droite existe un drapeau majorant x et y fois l'ens. ordonné ~~dans~~ (F_* l'ens. ordonné des drapeaux (qui a la propriété, entre autres que tout drapeau est le sup des minimaux qu'il majore, et que l'ens. des drapeaux un drapeau) D(\Sigma)). Drapeaux maximaux… Soit \mathcal{A} l'ens. des drapeaux maximaux. au signe : l'ordre inverse puis… marginal à l'encre noire, oblique, en haut à gauche

Pour \forall\, x \in F_*, soit F(x) l'ens. des y < x. Il satisfait les conditions que F_*, avec n par \alpha . ~~On observe~~ l'axiome deux lignes surchargées : une addition interlinéaire remplace partiellement « On observe l'axiome » ; l'ordre de lecture est incertain

Axiome 3 2 Soit 2 \leqslant \alpha \leqslant n, x_\alpha \in F_\alpha, x_{\alpha-2} \in F(x_\alpha)_{\alpha-2}. Alors le cardinal de l'ens. des x_{\alpha-1} \in F(x_\alpha)_{\alpha-1} incidents à x_{\alpha-2} est 2. condition seulement si \alpha \geqslant 2

Axiome 3 Soit x_1 \in F_1, alors le cardinal de l'ens. des y_0 \in F(x)_0 ~~incidents à x~~ est 2. \alpha \geqslant 1

~~Définition~~

Soit donc \mathcal{A} l'ens. des drapeaux maximaux. On va introduire sur \mathcal{A} des opérations \sigma_\alpha (0 \leqslant \alpha \leqslant n-1). Soit d = (x_0, x_1, \dots, x_\nu) (\nu = n) un drapeau maximal, avec x_i \in F_i (0 \leqslant i \leqslant \nu). \sigma_0(d) = (x_0', x_1, \dots, x_\nu) ~~où x_0' est~~ caractérisé par la condition x_0' \neq x_0 [et (x_0', x_1, \dots, x_\nu) un drapeau, i.e. x_0' \in F(x_1)_0] cf Axiome 2 \sigma_\alpha(d) = (x_0, \dots, x_{\alpha-1}, x_\alpha', x_{\alpha+1}, \dots) caractérisé par x_\alpha' \neq x_\alpha (et par \sigma_\alpha(d) est un drapeau) 1 \leqslant \alpha \leqslant n-1 le rendre naturel la note « le rendre naturel » est écrite en oblique entre les deux colonnes

Considérons aussi l'axiome (facultatif)

Axiome 2' \forall\, x_{n-1} \in F_{n-1}, le cardinal de l'ens. des ~~drapeaux~~ y \in F_n incidents à x_{n-1}, est 2. On pose alors \sigma_n(d) = (x_0, \dots, x_{n-1}, x_n') \quad \text{caractérisé par } x_n' \neq x_n \quad (\text{etc.}\dots) après (x_0, \dots, x_{n-1}, x_n'), quelques mots biffés, dont « x_n' est le » ; « caractérisé par x_n' \neq x_n (etc…) » est écrit au-dessus variante

NB Les F(x) (où x \in F_\alpha) satisfont les axiomes 1, 2, 3, et 4 avec n remplacé par \alpha - 1…

colonne de droite On va voir maintenant que (moyennant les axiomes 1, 1', 2, 2', 3 et un axiome 4 plus bas) l'ens. à opérateurs \mathcal{A} permet de reconstituer F_* (donc (F_\alpha), (I_\alpha)…).

~~On a évidemment~~ ~~Les~~ Mais donnons d'abord les relations de commutation évidentes \sigma_\alpha \sigma_\beta = \sigma_\beta \sigma_\alpha \quad \text{si } |\beta - \alpha| \neq 1 \ \text{i.e.\ } \alpha, \beta \text{ non consécutifs.} Soit G_n le groupe engendré par les ~~relations~~ gén. \sigma_\alpha (0 \leqslant \alpha \leqslant n-1) avec les relations précédentes. \mathcal{A} est un G_n-ensemble. Les \sigma_\alpha (0 \leqslant \alpha \leqslant n-1) opèrent sans pt fixe. Soit G_n^{(\alpha)} le sous-groupe de G_n engendré par les \sigma_\beta avec \beta \neq \alpha. On a évidemment \mathcal{A}/G_n^{(\alpha)} \longrightarrow F_\alpha \qquad (0 \leqslant \alpha \leqslant n-1) Axiome 4 « Axiome 4 » est écrit au-dessus d'un mot lourdement biffé Cette application est bijective.

(La surjectivité est claire par l'axiome 1. Pour la bijectivité, il suffit de voir que si d = (x_0, \dots, x_n), d' = (x_0', \dots, x_n') sont deux \in \mathcal{A} avec x_\alpha = x_\alpha', alors on peut passer de d à d' en appliquant successivement des transformations \sigma_\beta avec \beta \neq \alpha.

Plus généralement, soit \delta \subset [0,n], \delta \neq \emptyset, et considérons le sous-groupe G_n^{(\delta)} des G_n engendré par les \sigma_i avec i \in \complement_{[0,n]} \delta. Alors on a \mathcal{A}/G_n^{(\delta)} \longrightarrow \mathcal{A}_\delta \quad (\text{drapeaux de type } \delta) et on voudra que ce soit bijectif (conséquence de l'axiome 4 et des précédents?))

Ceci dit, les relations d'inclusion naturelles entre les G_n^\delta (G_n^\delta \subset G_n^{\delta'} pour \delta' \subset \delta) définissent les relations d'incidence (= relations d'inclusion) entre drapeaux de types divers. On reconstitue ainsi l'ens. ordonné des drapeaux des divers types \delta, et par là l'ens. des F_\alpha (drapeaux minimaux) et leurs relations d'incidence…

De façon précise :

Prop Le foncteur (F_*) \mapsto (\mathcal{A}) des complexes cellulaires satisfaisant les axiomes 1, 1', 2, 2', 3, 4 (confirmé ?) vers les ens. à groupe d'opérateurs G_n, est pl. fidèle.

Il faudrait déterminer l'image essentielle.

un trait de séparation horizontal, barré d'un trait vertical

Réalisation géom. d'un complexe F_* (satisfaisant le seul axiome 1) : c'est par définition la réalisation géométrique de la triangulation simpliciale définie par l'ens. des parties (finies) totalement ordonnées de F_*.

toute la page est barrée d'un long trait diagonal ; elle se lit néanmoins. Ce sont des suites exactes empilées, sans texte ; on en donne les lignes, flèches verticales comprises dans une note 1 \to \underline{\mathrm{Aut}}(X, \mathrm{id}_{\partial X}) \to \mathrm{Aut}(X) \to \mathrm{Aut}(\partial X) \to 1 au-dessus de \mathrm{Aut}(X) une flèche monte vers 1 ; au-dessous, une colonne 1 \to \mathbf{Z}^I \to \widetilde{\mathrm{Aut}}(X) \to \mathrm{Aut}(X), une flèche horizontale arrivant de gauche sur \widetilde{\mathrm{Aut}}(X)

\begin{tikzcd} \widetilde{\partial X} \arrow[d, "p"] & \\ \partial X \arrow[r, hook'] & X \end{tikzcd}

\widetilde{\mathrm{Aut}}(X) = \lbrace (u, \tilde{v}) \mid u \in \mathrm{Aut}(X),\ \tilde{v} \in \mathrm{Aut}(\widetilde{\partial X}),\ \ (u \mid \partial X) \circ p = p \circ \tilde{v} \rbrace \subset \mathrm{Aut}(X) \times \mathrm{Aut}(\widetilde{\partial X}) la flèche d'inclusion X \hookleftarrow \partial X est tracée de droite à gauche

\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & S\mathcal{A}(X) & \to & \mathcal{A}(X) & \to & \mathcal{A}(\partial X) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & \to & S\widetilde{\mathcal{A}}(X) & \to & \widetilde{\mathcal{A}}(X) & \to & \mathcal{A}(\widetilde{\partial X}) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \mathbf{Z}^I & \Rightarrow & \mathbf{Z}^I & \to & 1 & \to & 1 \end{array} \qquad I = \pi_0(\partial X) en tête des deux premières colonnes, des flèches pointillées venues de 1 ; une flèche pointillée va en diagonale de S\mathcal{A}(X) vers \widetilde{\mathcal{A}}(X) ; sous S\widetilde{\mathcal{A}}(X) il écrit « \simeq S\mathcal{A}(X) \times \mathbf{Z}^I », sous la troisième colonne une flèche descend de 1. La flèche « \Rightarrow » est son signe d'égalité fléchée

\begin{array}{ccccccccc} 1 & \to & ST(X) & \to & \mathcal{A}(X)/S\mathcal{A}^\circ(X) & \to & \mathcal{A}(\partial X) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow\!\wr & & \\ 1 & \to & \widetilde{ST}(X) & \to & \widetilde{\mathcal{A}}(X)/ S\mathcal{A}^\circ(X) & \to & \mathcal{A}(\widetilde{\partial X}) & \to & 1 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \\ 1 & \to & \mathbf{Z}^I & \Rightarrow & \mathbf{Z}^I & \to & 1 & \to & 1 \end{array} même disposition, avec la flèche pointillée de ST(X) vers \widetilde{\mathcal{A}}(X)/S\mathcal{A}^\circ(X), et sous \widetilde{ST}(X) l'annotation « \simeq ST(X) \times \mathbf{Z}^I » ; le dénominateur S\mathcal{A}^\circ(X) est lu ainsi dans les deux lignes

Les éléments de F_* se réalisent comme des parties (i.e. structures coniques) de |F_*| [associé à x \in F_\alpha correspond la réunion des simplexes réalisation des simpl. ~~formés~~ ouverts d'éléments \leqslant x], la relation d'incidence devient l'inclusion — il y a une équivalence de catégories ( d'objets top. versus objets combinatoires) à dégager.

Prop Si |F_*| est une variété top. pointée de dimension n, alors (F_*) satisfait les conditions 1, 1', 2, 2', 3, 4… [Plus précisément, pour que (F_*) soit une variété top. de dim. n, il faut et il suffit que (F_*) satisfasse 1, 1', 2, 2', 3, 3', 4, et que \forall\, x \in F_\alpha (\alpha \geqslant 3), la réalisation géom. de F(x) soit une sphère [en fait, modulo l'hyp. de Poincaré, il suffit d'exiger que ~~pour \alpha \geqslant 3~~, |F(x)| soit simpl. connexe et pour \alpha \geqslant 5, elle ait de plus l'homologie d'une sphère de même dimension. « \alpha \geqslant 3 » est corrigé en « \geqslant 5 » dans l'addition ; le détail des surcharges n'est pas sûr

trait de séparation

Soit X un espace top. (filtré par (compact ??) X_0 \subset X_1 \subset \dots \subset X_n = X . ~~On suppose~~ que \forall\, i, la différence de X_i, moins X_{i-1}, soit ~~homéomorphe à une~~ ~~bord de~~ de boules B^{i}. Soit \mathcal{A} l'ens. des « drapeaux » relatifs à cette filtration (à définir avec soin). On a alors une op. de G_n ( = G_n si X variété top. de dim. n). la fin de la page est très serrée et partiellement surchargée

avec les \sigma_i opérant sans pt fixe.

Prop Le foncteur de la catégorie des variétés de dim. n X filtrées comme dessus, vers les G_n-ensembles finis (où les \sigma_i opèrent sans pt fixe) est pl. fidèle.

Déterminer l'image essentielle (moyennant l'hyp. de Poincaré au besoin) et montrer qu'elle est plus grande que celle correspondant aux complexes cellulaires se réalisant suivant une variété topologique…

n-Variété combinatoire finie définie par un ens. fini D_n muni de n+1 automorph. involut. sans pt fixe \sigma_i (0 \leqslant i \leqslant n) tels que deux \sigma_i non consécutifs commutent — i.e. D_n est un ens. à op. sous G_n, avec les \sigma_i (0 \leqslant i \leqslant n) op. sans pt fixe.

n-complexe combinatoire fini. Donné par un système D_n, D_{n-1}, \dots, D_1, D_0 d'ens. finis, ~~chaque~~ D_i (1 \leqslant i \leqslant n) étant un G_{i-1}-ensemble « spécial » (i.e. les gén. \sigma_\alpha op. sans pt fixe) et des applications D_n \longrightarrow D_{n-1} \longrightarrow D_{n-2} \longrightarrow \cdots \longrightarrow D_1 \longrightarrow D_0 telles que \forall\, 2 \leqslant i \leqslant n, D_i \to D_{i-1} soit un G_{i-2}-morphisme, et que pour ~~0 \leqslant j \leqslant~~ i \geqslant j+2 \geqslant j \geqslant 0,

feuille à l'italienne ; seule la moitié gauche est écrite l'application composée D_i \to D_j (qui est un G_{j-1}-morphisme) soit invariante par \sigma_{i-1}, \dots, \sigma_{j+1}.

n-variété combinatoire \Leftrightarrow G_n-ens. D_n. Si 0 \leqslant i \leqslant n, le bord de la i-décomp. ~~décomp.~~ \partial(\mathrm{D\acute{e}c}(X_i/X_{i-1})) est une (i-1) variété combinatoire \delta_{i-1} qui est \begin{align*} \delta_{n-1} &= (D_n;\ \sigma_0, \dots, \sigma_{n-1}) \\ \delta_{n-2} &= (D_n/\sigma_n;\ \sigma_0, \dots, \sigma_{n-2}) \\ \delta_{n-3} &= (D_n/(\sigma_n, \sigma_{n-1});\ \sigma_0, \dots, \sigma_{n-3}) \\ &\ \ \cdots \\ \delta_{i-1} &= (D_n/(\sigma_n, \dots, \sigma_{i+1});\ \sigma_0, \dots, \sigma_{i-1}) \end{align*}

la suite de la page est barrée de plusieurs grands traits obliques ; on la donne telle qu'elle se lit ~~On définit par récurrence~~ ~~sur n la cat. \mathcal{C}_n des~~ n-cartes ~~combinatoires~~ finies et foncteur i_n : \mathcal{C}_n \to \mathcal{V}_n, ~~en posant~~ sous \mathcal{V}_n, en petit : « n-var. comb. »

~~\mathcal{C}_0 = 0-sphères = ens. finis~~

~~\mathcal{C}_n = \lbrace X_{n-1}, S_{n-1}, \varphi \rbrace~~ ~~cat. des~~

~~où X_{n-1} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}_{n-1},~~ ~~S_{n-1} \in \mathrm{Ob}\,\mathcal{V}_{n-1},~~ ~~\varphi : i_{n-1}(S_{n-1}) \to X_{n-1}~~

~~i_n : \mathcal{V}_n \to \mathcal{C}_n défini par i_n(D_n) = (~~ la phrase s'arrête sur la parenthèse ; en dessous, « G_n-ens. » ; la flèche i_n est écrite ici dans l'autre sens que plus haut

~~Complexes~~ Cartes coniques, ~~complexes~~ cartes ~~cellulaires~~, et ens. à opérateurs.

Une n-carte conique (finie) est un espace top. X compact, muni d'une filtration croissante par des parties fermées X_0 \subset X_1 \subset \dots \subset X_{n-1} \subset X_n = X telles que

a)X_0 fini (i.e. discret) b)pour 1 \leqslant i \leqslant n, soit \mathrm{D\acute{e}c}(X_i/X_{i-1}) = \overline{Z}_i (découpage de X_i suivant X_{i-1}), \dot{Z}_i = \overline{Z}_i \mid X_{i-1} (NB on a \overline{Z}_i \to X_i, induisant un isom. \overline{Z}_i - \dot{Z}_i \to X_i - X_{i-1}), alors ~~\overline{Z}_i a un~~ fini de comp. connexes, \overline{Z}_i^\alpha, et chacune est homéom. au cône sur \dot{Z}_i^\alpha = \overline{Z}_i^\alpha \cap \dot{Z}_i (et \dot{Z}_i^\alpha \neq \emptyset) c)\dot{Z}_i \to X_{i-1} est un morphisme fini, ~~dont l'image~~ [\Leftrightarrow \dot{Z}_i \to X_{i-1} ] d)La filtration de X est équisingulière

d) est récrit à droite en surcharge : « d) Soit X_{i-1}^! l'image de \dot{Z}_i dans X_{i-1} ; Alors X_{i-2}^! = X_{i-1}^! \cap X_{i-2} » (lecture incertaine des indices)

Cas n = 0 : espaces finis discrets.

Cas n = 1 : X = X_1 \supset X_0. cpct \dot{Z}_1 = \coprod_\alpha \dot{Z}_1^\alpha \to X_0

au bas de la page, à gauche, six petites figures : une boucle posée sur un point, un segment, un segment à deux sommets, un « Y » à trois sommets cerclés, un segment isolé, un disque bordé d'une boucle avec un point, et un sommet d'où partent trois arêtes, l'une hachurée ; ce sont des exemples de 1-cartes. Sous elles, « \dot{Z}_1 \subset \overline{Z}_1 » au-dessus de « X_0 \subset X_1 », avec deux flèches verticales

à droite, des tableaux d'inclusions : « x_0 \in x_1, x_1, x_2 » au-dessus de \dot{Z}_1 \subset \overline{Z}_1, \dot{Z}_2 \subset \overline{Z}_2, \dot{Z}_3 \subset \overline{Z}_3, qui s'envoient sur X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset X_3 ; en dessous x_0 \subset x_1 \subset x_2 \subset x_3 ; puis le schéma général ci-dessous \begin{array}{ccccccc} x_{i+1} & & \dot{Z}_{i+1} \subset Z_{i+1} & & \dot{Z}_{i+2} \subset \overline{Z}_{i+2} & & \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \\ X_{i-1} & \subset & X_i \subset X_{i+1} & & \subset & & X_{i+2} \end{array} \begin{array}{ccccc} Z_{i+1} \mid X_{i-1} & \subset & Z_{i+1} \mid X_i & \to & \overline{Z}_{i+2} \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ X_{i-1} & \subset & X_i & & X_{i+2} \end{array} les deux derniers tableaux sont serrés et en partie surchargés ; les indices sont lus au mieux

Ens. ordonné des cellules ass. X_i

\begin{array}{c} \overline{X}_{i+1} \\ \mid \\ X_{i-1}\ X_i \end{array} \qquad X_i

Géométrie des drapeaux de dim \leqslant n

D_0 Ex n = 0 D_0

n = 1 D_{01} épi !! \qquad D_0 \leftarrow D_{01} \to D_1

n = 2 à gauche, deux essais biffés avec X_{i+1}, X_{i-1}, X_i

figure : le treillis des drapeaux pour n = 2. En haut D_{012} ; de lui descendent des flèches vers D_{01}, D_{02}, D_{12}, marquées « épi » ; de ceux-ci vers D_0, D_1, D_2, la flèche D_{02} \to D_1 barrée d'une croix, et « épi » sur plusieurs flèches

D_{01\dots i} \to D_I \ \text{\emph{épi}} \quad \text{si } i = \sup I \quad \text{i.e.\ } i \in I \subset [0,i]

D_I

figure centrale : le même treillis dessiné plus grand, D_{012}(F) en haut, D_{02}(F), D_{12}(F), puis D_{01}, D_0, D_1 et une case \lbrace 1 \rbrace ; au-dessous une petite échelle encadrée « 2 3 4 5 ». À droite, un carré D_{012} \to D_{12}, D_{02} \to D_2, puis deux segments dessinés, l'un avec un point milieu, et « 23 ? »

D_\sigma \to D_{\sigma'} épi si \sigma' \subset \sigma et … \sigma , i.e. \sigma = \sigma'' \cup \sigma', \sigma'' < \sigma'

à gauche, « \exists d' » avec D_{123} \to D_{13} et D_{123} \to D_{13} (second indice lu 123) ; au-dessous, deux treillis pour n = 3 : le premier, D_{012} au sommet, D_{01}, D_{02}, D_{12}, D_0, D_1, D_2, avec des flèches épaisses et « épi » ; le second, D_{0123} au sommet, D_{013}, D_{023}, D_{123}, D_{03}, D_{13}, D_{23}, D_3, les flèches vers D_3 repassées en gras, et un troisième treillis en pointillé relié au premier par de longues flèches

\begin{align*} D_{01} &\to D_1 & D_{013} &\to D_{13} \\ D_{012} &\to D_{12} & D_{0123} &\to D_{123} \\ D_{12} &\to D_2 & D_{123} &\to D_{23} \\ D_{02} &\to D_2 & D_{23} &\to D_3 \end{align*}

en bas à droite, une figure : un arc hachuré de lignes parallèles numérotées 0, 1, 2, 3, avec D_1, D_2 et une flèche vers D_3 ; au-dessous « 1, 1 + 1, 1 + 2 » avec « \shortparallel\ 2 » n_i = \sum_{j < i} n_j + 1

en haut à gauche, quatre cas numérotés 1) F_0 2) F_0 \leftarrow R_1 \to F_1, épi 3) ~~un premier essai hachuré~~ avec F_0, F_1, F_2

figure : un diagramme à deux étages. En haut R_1', avec des flèches vers F_0' et F_1' ; de F_0', R_1', F_1' descendent des flèches vers R_1, F_0, F_1, F_2 ; R_1 s'envoie sur F_0 et F_1. Le même diagramme est répété plus bas pour le cas 4), précédé de « F_0 »

en haut à droite décomposition cellulaire : l'ens. ~~quasi-simplicial~~ ~~F_1 = F_0 \amalg F_1~~, ordonné des drapeaux \begin{align*} \text{type } 0 &: F_0 \\ \text{type } 1 &: F_1 \\ \text{type } (0,1) &: R_1 \end{align*} figure : un graphe, deux sommets cerclés reliés par une longue arête ; au premier pendent trois arêtes courtes ; le second, cerclé en bas, porte deux arêtes marquées d'un point milieu et une arête vers un troisième sommet cerclé, d'où partent trois arêtes formant un fuseau

\Phi(\mathcal{C}) = Catégorie des familles finies (f_i)_{i \in I} de morphismes de \mathcal{C} de même but à gauche, biffé : « \mathcal{C}_0 = \mathrm{Ens}_f » et « \mathcal{C}_1 = »

Un foncteur \mathcal{C} \xrightarrow{\ \varphi\ } (\mathrm{Top} ) implique un foncteur \Phi(\mathcal{C}) \xrightarrow{\ \Phi(\varphi)\ } \mathrm{Top} (X_i \xrightarrow{f_i} X)_{i \in I} \longmapsto \coprod_i \mathrm{C\hat{o}ne}\, \varphi(X_i) \ \amalg_{\coprod \varphi(X_i)}\ \varphi(X) la lettre avant (X_i) est surchargée, lue \varphi ; l'indice sous le second \amalg est \coprod \varphi(X_i)

Si les \varphi(f) (f \in \mathrm{Fl}(\mathcal{C})) sont finis, de même les \Phi\varphi(f), f \in \mathrm{Fl}(\Phi\mathcal{C}) ; si \varphi est fidèle (resp. pl. fidèle) \Phi\varphi, itou vers les espaces top. filtrés, mod isotopie… \Phi(\Phi(\mathcal{C})) \to \mathrm{Top}

paratriangulation

paracartes : foncteurs \mathfrak{P}_f^*(\mathbf{N}) \xrightarrow{D} (\mathrm{Ens}) tels que \sigma \subset \sigma' segment finis \Rightarrow D(\sigma) \to D(\sigma') épi.

paracartes uniquedimensionnelles : D(\sigma) \to D(\sigma') bij. épi si \sigma \subset \sigma' \subset \Delta_n, et D(\lbrace i \rbrace) = 0 si i > n.

paracartes : stratifications équidimensionnellesle premier \sigma de la formule est surchargé, peut-être sur un \Delta ; lecture incertaine : D(\sigma) \to D(\sigma') épi si \sup \sigma = \sup \sigma', i.e. D([0,i]) \to D(\sigma) épi si i = \sup \sigma.

paracartes spéciales : les cellules sont équi-dim ; \forall D(0, \dots, j-1, j+1, \dots, i) \leftarrow D(0, \dots, i) de degré 2. ces deux conditions sont réunies par une accolade la seconde ligne de l'accolade porte, biffé, un premier essai contenant « D(\lbrace i \rbrace) \neq \emptyset » ; « de degré 2 » est souligné

à gauche, un petit diagramme : D_{01} \to D_1 et D_{012} avec deux flèches vers D_{12} et D_{02}

Question : D(\dots, j-1, j, j+1, \dots) \to D(\dots, j-1, j+1, \dots) toujours de degré 2 ??

p. ex. D_{123} \to D_{13} degré 2…

d'où groupe G_i engendré par \sigma_0, \dots, \sigma_{i-1} opérant sur R_i \shortparallel D(0, \dots, i).

On veut conditions assurant que D(0, \dots, i) récupère tous les D(i_0, \dots, i_p) via (R_i, G_{i-1}) et les applications R_{i+1} \to R_i \to \cdots

Un ens. ordonné D est appelé « géométrie de drapeaux » si pour tout d \in D, l'ens. ordonné induit D(d) = \lbrace d' \in D \mid d' \leqslant d \rbrace a la structure d'un « simplexe ordonné » i.e. est isomorphe à \mathfrak{P}^*(I_d), parties finies \neq \emptyset NB on demande I_d \neq \emptyset avec l'inclusion — où I_d peut s'identifier à l'ens. des él. minimaux de D(d), on encore : la partie de l'ens. \Phi = D(1) « D(1) » : le 1 est cerclé, peut-être un indice de degré des él. minimaux de D (« drapeaux de longueur 1 » — NB \mathrm{card}(I_d) s'appellera « la longueur » du drapeau d). Pour toute partie finie \sigma de \Phi, soit D(\sigma) l'ens. des d \in D tels que I_d = \sigma, on trouve un contrafoncteur (\text{parties finies} \neq \emptyset \text{ de } \Phi)^\circ \xrightarrow{\ D\ } (\mathrm{Ens}) \qquad \text{tel que } \mathrm{card}\, D(\lbrace i \rbrace) = 1 \quad \forall\, i \in \Phi dont la connaissance permet de reconstituer D comme D \simeq \coprod_{\sigma \in \mathfrak{P}_f^*(\Phi)} D(\sigma) avec la relation d'ordre évidente. Ainsi \left\lbrace \begin{array}{l} \text{géométries de drapeaux} \\ \text{(ens.\ ordonnés ainsi)} \end{array} \right. \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \text{Couples } (\Phi, D) \text{ d'un ens.\ } \Phi \text{ et d'un foncteur} \\ \mathfrak{P}_f^*(\Phi)^\circ \longrightarrow (\mathrm{Ens}) \\ \text{tels que } \mathrm{card}\, D(\lbrace i \rbrace) = 1\ \forall\, i \in \Phi \end{array} « ainsi » dans la parenthèse de gauche est une lecture incertaine NB \Phi est aussi l'ens. des sommets d'un ens. quasi-simplicial, mais D n'est pas déterminé par celui-ci…

NB Pour que dans D on ait \forall\, d \in D d = \sup_{i \in I_d} i \Big| géométrie de drapeaux stricte

il faut et il suffit que D soit isomorphe à un ens. de parties finies \neq \emptyset de \Phi avec l'inclusion (contenant, pour toute partie finie \sigma qu'elles contient, ses sous-ens. \neq \emptyset plus petits). On trouve ainsi : \left( \begin{array}{c} \text{Géom.\ de drapeaux} \\ \text{strictes} \end{array} \right) \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c} \text{ensembles} \\ \text{simpliciaux} \end{array} \right) « ensembles » est une lecture incertaine du premier mot de la parenthèse de droite En termes du foncteur D : \mathfrak{P}_f^*(\Phi)^\circ \to (\mathrm{Ens}), cela signifie que D est un sous-foncteur du foncteur final i.e. \forall\, \sigma, \mathrm{card}\, D(\sigma) \leqslant 1 i.e. \mathrm{card}\, D(\sigma) \in \lbrace 0, 1 \rbrace. fin de page très surchargée : les additions interlinéaires « un sous-foncteur du » et « final » sont lues

Soit I un ens. Supposons qu'on ait un foncteur \mathfrak{P}_f^*(I)^\circ \xrightarrow{\ D'\ } (\mathrm{Ens}) sans condition de la forme \mathrm{card}\, D(\lbrace i \rbrace) = 1 \quad \forall\, i \in I. On peut néanmoins lui associer une géométrie de drapeaux ~~dont l'ens. des~~ D = \coprod_{\sigma \in \mathfrak{P}_f^*(I)} D'(\sigma) dont l'ens. des él. minimaux est \Phi = \coprod_{i \in I} D'(\lbrace i \rbrace) sous ce signe somme, un indice biffé, remplacé par « i ∈ I » Il a donc une application \Phi \xrightarrow{\ \delta\ } I (application « dimension » \delta dans les cas qui nous intéressent) ayant la propriété que pour tout d \in D, la restriction ici un premier essai de la formule, biffé et en partie illisible \delta \mid I_d : I_d \to I est injective. Inversement, si on a une géométrie de drapeaux D et une application \delta de \Phi = D(1) (ens. des él. minimaux de D) dans un ens. I, satisfaisant la condition précédente, on lui associe un foncteur D' : \mathfrak{P}_f^*(I) \to (\mathrm{Ens}) \quad \text{par} D'(\sigma) = \coprod_{\substack{\sigma' \in \mathfrak{P}_f^*(\Phi) \\ \text{t.q.\ } \delta \mid \sigma' : \sigma' \xrightarrow{\sim} \sigma}} D(\sigma') et on voit que (D, I, \delta) se reconstitue à partir de (I, D').

\left. \begin{array}{l} \text{Géom.\ de drapeaux } D \\ + \text{« fonction dimension »} \\ \delta : \Phi \longrightarrow I \\ \quad \text{\scriptsize él.\ min.} \end{array} \right| \Longleftrightarrow \left| \begin{array}{l} \text{foncteur } D' : \mathfrak{P}_f^*(I)^\circ \to (\mathrm{Ens}) \\ \text{\emph{NB} Posant } I_0 = \lbrace i \in I \mid D'(\lbrace i \rbrace) \neq \emptyset \rbrace \\ \text{on a sur } I_0 \text{ une structure } \dots \end{array} \right. dans l'encadré de gauche, « fonction » (lecture incertaine) est écrit au-dessus d'un mot biffé illisible, la fin de l'encadré de droite est très serrée : « … d'ens. quasi-simplicial \sigma tel que D(\sigma) \neq \emptyset » ; à gauche, reliée par une flèche : « (NB I_0 = \delta(\Phi)) »

Le cas qui nous intéressera plus particulièrement est le cas I = \mathbf{N} auquel cas \delta prend le nom de fonction dimension, et \sup_{\overline{\mathbf{R}}} \delta(I) s'appelle la dimension de la géom. de drapeaux D (munie de sa fonction dimension) si elle est finie, mais il y a souvent intérêt à remplacer \mathbf{N} par [0,n]_{\mathbf{N}}… « \sup_{\overline{\mathbf{R}}} » : sous « sup », un \overline{\mathbf{R}} ; le mot initial de la ligne est biffé

un grand crochet vertical sépare ce qui précède de la suite

Plus généralement, soit une géom. de drapeaux D donnée supposons donnée une loi qui associe à chaque ~~partie~~ simplexe \sigma \subset \Phi (i.e. \sigma \in \mathfrak{P}_f^*(\Phi) de la forme I_d) une ordre total sur \sigma, de façon que ces ordres totaux s'induisent mutuellement [ce qui est le cas pour les ordres totaux induits par un \delta : \Phi \to I si I lui-même est tot. ordonné, ou mieux d'un ouvert ordre sur I tel que les simplexes de I soient tot. ord…) mais cet ordre : prendre sur I l'ordre … ] Alors, posant pour n \in \mathbf{N} (n \geqslant 0) \begin{align*} D[n] &= \lbrace d \in D \mid \mathrm{card}\, I_d = n+1 \rbrace \\ &= \coprod_{\sigma \in \mathfrak{P}_{n+1}(\Phi)} D(\sigma) \\ & \Big( \simeq \text{aussi } \coprod_{\sigma \in \mathfrak{P}_{n+1}(I)} D'(\sigma) \Big) \end{align*} « aussi » est une lecture incertaine

On trouve que n \mapsto D[n] devient un ens. quasi-simplicial, i.e. un contrafoncteur sur la catégorie \Delta des ens. finis non vides de la forme \Delta_n = [0,n]_{\mathbf{N}}, avec comme morphismes les appl. injectives. Cet ens. quasi-simplicial satisfait la condition que \forall\, n, m \in \mathbf{N} \text{ avec } n < m, \text{ et } d_m \in D[m], \text{ l'application} \mathrm{Hom}_\Delta(\Delta_n, \Delta_m) \to D_n, \qquad u \mapsto u^*(d_m) est injective, qui signifie aussi que la catégorie \widehat{\Delta}/D[\,] est ordonnée (i.e. équivalente, pardonnez…). L'ens. ordonné D se reconstitue en fonction de D[\,], comme l'ens. ordonné grandeur par ladite catégorie ordonnée. On trouve ~~Le de l'ens.~~

\begin{array}{l} \text{géométrie des drapeaux } D \\ \text{avec syst.\ d'ordres totaux sur} \\ \text{les simplexes de } \Phi \text{ (ens.\ des} \\ \text{él.\ minimaux de } D) \end{array} \Longleftrightarrow \begin{array}{l} \text{ens.\ quasi-} \\ \text{simpliciaux} \\ \text{satisfaisant la} \\ \text{condition dess.} \end{array} « totaux » est ajouté au-dessus de la ligne ; « avec » et « ens. » sont des lectures incertaines

Soit D une géométrie de drapeaux quasi-simpliciale ~~D : \mathfrak{P}_f^*(\mathbf{N})^\circ \to (\mathrm{Ens})~~ ~~(« géométrie de drapeaux avec fonction dimension »)~~ ces deux lignes sont barrées d'un zigzag [i.e. avec D un syst. d'ordres totaux compatibles sur les simplexes de \Phi = D_0 (ens. des él. minimaux de \Phi)] il écrit bien « de \Phi » à la fin, pour « de D »

d'où X = |D| espace topologique, muni de parties fermées (compactes, des simplexes) X(d) \qquad d \in D définissant une stratification canonique de X par des simplexes (les X^\circ(d) = X(d) - \bigcup_{d' < d} X(d') forment une partition de X par des simplexes ouverts…)

Pour tout F \in \Phi, soit \left\lbrace \begin{array}{l} |F| = \displaystyle\bigcup_{\substack{d \in D_* \\ \text{t.q.\ } \sup(I_d) = F}} X(d) \\[3ex] |F|^\circ = \displaystyle\bigcup_{\text{idem}} X(d)^\circ \end{array} \right. à droite, relié par un long trait courbe : « |F| - |F|^\circ \overset{?}{=} \bigcup_{F' < F} |F'| », et au-dessous « = \bigcup_{d \in D_*,\ \sup I_d < F} X(d) », avec au-dessus « \bigcup_{F' < F} |F'|^\circ » et, en bas, « donc (|F|)_{F \in \Phi} »

? Quand peut-on dire que la famille des et celle des cellules fermées forment celle des cellules fermées d'une stratification de X, dont les cellules ouvertes sont les |F|^\circ ?

En fait : ~~a) (|F|)_{F \in \Phi} |F| = \bigcup X(d) = X~~ loc. fermés ??

a)Les |F|^\circ forment partition de X [NB |F|^\circ \supseteq les sommets maximaux donc |F|^\circ \neq \emptyset ] b)|F| = \overline{|F|^\circ} car X(d) = \overline{X(d)^\circ} ) de « cellules » ouvertes c)~~|F|^\circ = |F| - \bigcup (X(d)), d \in D_*, \sup(I_d) = F~~

Soit \Delta la catégorie des ens. finis totalement ordonnés non vides, avec comme morphismes les applications strictement croissantes. Soit D_* \in \mathrm{Ob}\, \widehat{\Delta} \qquad D_* : \Delta^\circ \longrightarrow (\mathrm{Ens}) donc D_* définit une catégorie fibrée : fibres discrètes sur \Delta, à quelle condition celle-ci est-elle ordonnée (ou préordonnée, cela revient au même) ? Posons \Delta_n = [0,n] \in \mathrm{Ob}\,\Delta, D_n = D_*(\Delta_n), la condition est celle-ci

(1) \forall\, n, m \in \mathbf{N}, avec n < m, et d_m \in D_m, l'application \mathrm{Hom}_\Delta(\Delta_n, \Delta_m) \longrightarrow D_n, \qquad u \longmapsto u^*(d_m) est injective. le « 1 » est cerclé

Ceci posé, on a donc un ens. ordonné D_* = \coprod_{m \in \mathbf{N}} D_m et un foncteur fibrant \underline{D}_* \longrightarrow \Delta Considérons la réalisation topologique |D_*| de D_*, donc \forall\, d \in D_* = \mathrm{Ob}\,\underline{D}, on a une partie fermée |d| \subset |D_*|, l'application d \mapsto |d| de D_* \to \mathfrak{P}(|D_*|) est injective et respecte la relation d'ordre. Considérons pour d \in D_m l'ens. D_d = \lbrace \delta \in D \mid \delta \leqslant d \rbrace, on trouve qu'il est canoniquement isomorphe (comme ens. ordonné) à \mathfrak{P}^*(\Delta_m) (\mathfrak{P}^* désigne l'ens. des parties \neq \emptyset). Donc |d| est canoniquement isomorphe au simplexe type |\Delta_m|. Ainsi on trouve |D_*| = \varinjlim_{d \in D_*} |d| = \varinjlim_{d \in D_*} |\Delta_m| = \varinjlim_{\Delta \in \Delta/D} |\Delta|