Cote n° 75 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Cours C4, DEA : notes manuscrites (s.d.), lettre (1978), tapuscrit (1977-1978)
Datation de l’inventaire : 1977-1978
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C4 DEA — Géométrie combinatoire

inscrit au crayon, le long du bord droit, sur la chemise (page 1), qui ne porte rien d'autre ; au-dessus, entre parenthèses, « (24 p) ». La chemise ne reçoit pas de numéro de page

Rappels de théorie des groupes et sur espaces homogènes

2Groupe (loi comp. assoc. unitaire avec inverses)

hom de groupes (on a néc. \(f(e) = e\), \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\))

opération d'un groupe \(G\), sur un ens (ou : groupe d'opérateurs)

opération transitive (\(\forall x, y \in E\), \(\exists g \in G\), \(y = gx\)) — espace homogène (on exige de plus \(E \neq \emptyset\))

(couples \((E, x)\), \(E\) esp. hom., \(x \in E\)) \(\Longleftrightarrow\) donnée d'un ss-gpe \(H\) de \(G\)

c'est en fait une « équivalence de catégories »

\begin{tikzcd}[row sep=small]
  (E, x) \arrow[d, "f"'] & & \\
  (E', x') & (f(x) = x') & \Longleftrightarrow \; H \subset H'
\end{tikzcd}

NB \(f\) (commutant à \(G\)) connu quand on connaît \(f(x)\), si \(G\) transitif sur \(E\).

\(E \sim E'\) ssi \(H\), \(H'\) conjugués ; \(\exists\, E \to E'\) ssi \(H\) conjugué à un ss-groupe de \(H'\)

classes d'iso. d'esp. hom. sous \(G\) \(\Leftrightarrow\) classes de conjugaison de s-groupesécrit en diagonale dans la marge gauche, à hauteur du diagramme

Torseur sous \(G\) : \[\left\{ \begin{array}{l} \forall x, y \in E,\ \exists !\, g \in G,\ gx = y \\ E \neq \emptyset \end{array} \right\} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} E \text{ esp. hom., stabilisateurs} \\ \text{de pts réd. à } \{e\} \end{array} \right\} \Longleftrightarrow \{ E \simeq G_s \}\]

Les torseurs sous \(G\) sont isomorphes (non canoniquement).

Les torseurs sous \(G\) sont les « plus gros » espaces homogènes sous \(G\).

[le groupe des autom. d'un torseur \(P\) sous \(G\) est \(\simeq G\) (non canoniquement) : le choix de \(x \in P\) définit un iso. \(G \xrightarrow[\sim]{u_x} \operatorname{Aut}_G P\), si on remplace \(x\) par \(y = sx\), cet iso. est remplacé par \[\boxed{u_y = u_{sx} = u_x \circ \operatorname{int}(s^{-1})}\] dans le cadre, un premier essai après le deuxième signe \(=\) est biffé \[\begin{gather*} u_x(g).x = gx \\ u_y(g)\,y = gy = gsx \\ u_y(g)\,sx = s\,u_y(g)\,x \quad \text{?} \\ u_y(g).x = s^{-1}gsx = u_x(s^{-1}gs).x \end{gather*}\] \((u_x \circ \operatorname{int}(s)^{-1})(g)\,y = u_x(sgs^{-1})(y) =\) \[u_y(g) = u_x(s^{-1}gs) \quad ]\]

Graphes

3au-dessus du titre, un mot biffé, illisible : […]

Déf Graphes \[\left. \begin{array}{l} \text{Ens } S \text{ de « sommets »} \\ \text{ens } A \text{ « d'arêtes »} \\ R \subset S \times A \quad \text{relation d'incidence} \end{array} \right\} \text{Données}\]

Axiomes 1) \(\forall a \in A\), \(\operatorname{card} R\{a\} = 2\) (chaque arête a exactement \(2\) sommets)

à gauche, un dessin de graphe : une douzaine de sommets marqués d'un point, des arêtes droites et courbes, deux arêtes doubles joignant les mêmes sommets, une arête isolée et un sommet isolé

Un graphe est dit […] strict si une arête est connue quand on connaît ses sommets.

Une La donnée d'un graphe strict équivaut donc à la donnée d'un ens. \(S\), et d'une partie \(A\) de \(\mathfrak{P}_2(S)\) (ens. des parties de card. \(2\) de \(S\)).

Arc d'un graphe (ou arête orientée) — ens. \(\vec{A}\)

Remarque Réalisation topologique d'un graphe

\(X(S, A, R) = (S \amalg (\vec{A} \times I))/\)

a) Segment associé à un ens. \(a\) de card. \(2\)

[ […] \(\operatorname{seg}(a) \subset I^a\) (\(I = [0,1]\)) \[\operatorname{seg}(a) = \Bigl\{ \{t_x\}_{x \in a} \Bigm| \textstyle\sum t_x = 1 \Bigr\} ; \quad \text{on a } a \hookrightarrow \operatorname{seg}(a)\]

b) \[\operatorname{réal}(S, A, R) = \Bigl( S \amalg \coprod_{a \in A} \operatorname{seg} R\{a\} \Bigr) \Big/ \text{relation d'équiv.}\]

Réalisation [ On a \(X = \coprod_{a \in A} \operatorname{seg} R\{a\}\), on a

\begin{tikzcd}[row sep=small]
  \partial X \arrow[r] \arrow[d, hook] & S \\
  X &
\end{tikzcd}

« Réalisation géom. rectiligne » (d'un graphe fini..) dans un vectoriel (de dim finie…) sur \(\mathbf{R}\) : homéom. dans « géom. » est ajouté au-dessus de la ligne

4\[\operatorname{réal}(S, A, R) \hookrightarrow E\] telle que l'image d'une arête soit un segment.

Prop Pour qu'un graphe fini admette une réalisation géom. rectiligne (dans un vectoriel convenable sur \(\mathbf{R}\)) il f. et il s. qu'il soit strict — et alors il en admet une réalisation rectiligne dans \(\mathbf{R}^3\). De façon précise, si \(S \hookrightarrow E\) (\(\simeq \mathbf{R}^3\), v.a.) est une immersion telle que \[\forall x, y \in S \text{ distincts},\ x \neq y, \quad \text{on ait} \quad \underbrace{\overline{xy}}_{\substack{\text{segm.} \\ \text{joignant} \\ x \text{ à } y}} \cap\, S = \{x, y\},\] i.e. trois points jamais alignés et \(\forall x, y, z, t\) distincts, \((\overline{xy}) \cap (\overline{zt}) = \emptyset\), \(\exists !\) réalisation rectiligne \(\operatorname{réal}(S, A, R) \hookrightarrow E\) qui prolonge… « (\(\simeq \mathbf{R}^3\), v.a.) », « distincts », « i.e. trois points jamais alignés » et la condition sur \(x, y, z, t\) sont au crayon, d'une main plus rapide ; dans la marge gauche, au crayon, un petit dessin : un segment dont les deux extrémités sont marquées

Graphe connexe \(=\) réal. géom. connexe \(=\) quasi-non la fin de la ligne n'est pas sûre

[…] « sommes » de deux autres graphes \(\neq \emptyset\)

NB Tout graphe est de façon unique réunion de graphes connexes disjoints « disjoints » est ajouté sous la ligne, rattaché par un trait

[graphe somme : \(S \amalg S'\), \(A \amalg A'\), \(R \amalg R'\) … ]

\(\to\) Graphe (multi) polygonal (ou contour (combinatoire)) \[\bigl[\, \forall s \in S, \ \operatorname{card} R\{s\} = 2 \,\bigr]\] « multi » est entouré, au-dessus de « polygonal » ; une flèche le relie au « NB » qui précède

Dénombrement des graphes polygonaux contours (combinatoires). […] les composantes d'un graphe polygonal contour polygonales sont des contours.

Classification des graphes polygonaux contours conn. \(\neq \emptyset\).

Prop Un graphe polyg. contour \(\neq \emptyset\) connexe est connu à iso. près quand on connaît \(\operatorname{card} S\) (\(= \operatorname{card} A\)), qui est un cardinal fini ou infini \[2 \leq c \leq \aleph_0\] (strict ssi \(c \neq 2\) i.e. \(c \geq 3\)) cette dernière ligne est au crayon

5Ils correspondent aux sous-groupes \(H\) de \(\mathbf{Z}\), distincts de \(\mathbf{Z}\) (\(c = \operatorname{card} \mathbf{Z}/H\))…

dans la marge gauche, deux dessins : au crayon, un contour à deux sommets et deux arêtes ; à l'encre, un pentagone

Orientation d'un contour : déf.

Prop. Soit \(X = (S, A, R)\) un contour […] connexe \(\neq \emptyset\).

a) Soit Un \(g\) un autom. \(g\) de \(X\). Conditions équiv. […] :

• 1°)[…] \(\forall s \in S\), \(s\) est lié à \(gs\)
• 2°)\(\forall a \in A\), \(ga\) est lié à \(a\)

sous « \(g\) », dans la marge, « d'orientation » souligné deux fois : l'énoncé se lit « un autom. \(g\) de \(X\) d'orientation »

[…] Déf. On dit que \(g\) est une […] d'orientation de \(X\).

b) Soit \(\omega(X) \subset \operatorname{Aut}(X)\) l'ens. des […] d'orientation de \(X\) (si \(X\) est strict i.e. si \(\operatorname{card} S \neq 2\)). Alors \(\operatorname{card} \omega(X) = 2\), […] et si \(g \in \omega(X)\), on a \(g^{-1} \in \omega(X)\), \(\omega(X) = \{g, g^{-1}\}\). « \(g^{-1} \in \omega(X)\) » est ajouté au-dessus de la ligne

c) Soit \(\operatorname{Aut}^{+}(X) \subset \operatorname{Aut}(X)\) le s-groupe de \(\operatorname{Aut} X\) […] par les […] \(\operatorname{Aut} X\) tels que \(g\) opère trivialement sur \(\omega(X)\) [i.e.] Considérons \[\operatorname{Aut}(X) \to \operatorname{Aut}(\omega(X)) \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}.\] C'est un homom. surjectif, i.e. le noyau \(\operatorname{Aut}^{+}(X)\) est un s-groupe d'indice \(2\).

De plus, \(\operatorname{Aut}^{+}(X)\) est un groupe cyclique engendré par tt \(g \in \omega(X)\).

Corollaire \[\operatorname{Aut}(X) \simeq \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \cdot \mathbf{Z}/H \quad \text{(produits ½ directs),}\] où \(H\) \(\to\) le ss-groupe de \(\mathbf{Z}\) formé des \(n \in \mathbf{Z}\) tels que \(g^n = 1\) (\(g\) dans une orientation fixée)

6Contour orienté « revient au \(\equiv\) » que de se donner un \(n \in \mathbf{N}\), \(n \geq 2\), et un tel torseur sous \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) (savoir \(S\), – « tel » est ajouté au-dessus de la ligne

\(A\) – choix – NB \(\sigma : S \to A\) est compatible avec l'action de \(G^0 = \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) i.e. avec l'action de \(u_\omega\).

Se donner un contour connexe équivaut :

la donnée de

• 1°)un groupe cyclique \(G^0\) (d'ordre \(n \geq 2\))
• 2°)une […] partie de \(G^0\) formée de \(2\) […] de la forme \(\{g, g^{-1}\}\), où \(g\) est un générateur (des parties de card \(2\) ssi \(n \neq 2\))
• 3°)Un torseur \(S\) sous \(G^0\)

• \(\bullet\)On suppose si \(n \geq 3\) […] ; pour une description
• \(\bullet\)générale, il faut se donner, au lieu de 2°), un

• 2 bis)un ens. \(\Omega\) à deux éléments, et une application \(\Omega \xrightarrow{i} G\) telle que, si \(\Omega = \{a, b\}\), on ait \(i(a)\, i(b) = 1\), \(i(a)\) gén. de \(G\)

Contours orientés (non connexes) \(=\) ensembles sur lesquels \(\mathbf{Z}\) opère (i.e. avec autom. […])

Contours (non connexes) \(= \dots\)

7Orientation d'un contour.

Choix pour toute arête \(a \in A\) d'une « orientation de \(a\) » i.e. d'une origine \(\sigma(a)\) de \(a\), de telle façon que l'on ait

(O) Si \(R\{s\} = \{a, b\}\), alors \(\exists\) \(s \in S\), \(\exists !\, a \in R\{s\}\) tel que \(s = \sigma(a)\) \(A \xrightarrow{\sigma} S\), \(\forall a \in A\), \((\sigma(a), a) \in R\)en diagonale dans la marge gauche, avec quelques mots biffés illisibles ; un trait sépare cette note du texte

Réduction au cas connexe

Prop Si \((S, A, R)\) est un contour connexe, il a exactement deux orientations (\(\omega\) et \(-\omega\)).

dans la marge gauche, deux petits dessins : deux arcs orientés mis bout à bout, puis un arc de \(s\) vers \(u_\omega(s)\) marqué \(\sigma^{-1}s\) ; plus bas, l'arc \(a\) d'origine \(\sigma a\) suivi de l'arc \(u_\omega(a)\), d'origine \(\sigma u_\omega(a)\)

Prop Prop Soit \(\omega\) orientation des contours \((S, A, R)\).

\(\forall s \in S\), soit […] \(u_\omega(s)\) l'extrémité de l'unique arête […] \(\sigma^{-1}(s)\) qui ait \(s\) comme origine. \[\bigl[ (u_\omega(s), \sigma^{-1}(s)) \in R,\ u_\omega(s) \neq s \bigr]\] \(\forall a \in A\), soit \(u_\omega(a)\) l'unique arc de \(S\) dont l'origine soit l'extrémité de \(a\) \[\bigl[ (\sigma u_\omega(a), a) \in R,\ \sigma u_\omega(a) \neq \sigma a \ \text{ i.e. } u_\omega(a) \neq a \bigr]\]

Alors \(u_\omega : (S, A) \to (S, A)\) est un automorphisme du graphe \((S, A, R)\). On a \(u_{-\omega} = u_\omega^{-1}\). Les autom. \(u_\omega\), \(u_\omega^{-1}\) sont caractérisés par les faits que conditions équivalentes

• 1°)\(\forall s \in S\), \(s\) lié à \(gs\)
• 2°)\(\forall a \in A\), \(a\) lié à \(ga\)

Si \(n = \operatorname{card} S = \operatorname{card} A\), l'ordre de \(u_\omega\), \(u_\omega^{-1} = u_{-\omega}\) est \(n\). Donc \(u_\omega \neq u_{-\omega}\) ssi \(n \neq 2\) i.e. \(n \geq 3\) ; donc \(\omega \mapsto u_\omega\) est bijection de \(\operatorname{Or}(S, A, R)\) avec l'ens. des \(\{ g \in \operatorname{Aut}(S, A, R)\) satisfaisant les conditions équiv. 1°, 2°\(\}\), et le groupe cyclique \(\simeq \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) engendré par \(u_\omega\) est le […] groupe \(G^0\) des automorphismes orientés (i.e. de \((S, A, R; \omega)\)) de \((S, A, R, \omega)\). \(S\) et \(A\) sont des torseurs sous \(G^0\). « groupe \(G^0\) » est ajouté dans la marge ; « orientés » et « (i.e. de \((S, A, R; \omega)\)) » au-dessus de la ligne ; « sous » est repassé

La donnée d'un

Torseur sous \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) (\(n \geq 1\)) \(=\) ensemble à \(n\) éléments muni d'un ordre « circulaire ». Se donner un contour la phrase s'arrête au bas du feuillet ; la page suivante reprend ailleurs

Ensembles à permutation

8pages 8 et 9 à l'encre noire

1) Ens. avec permutation \((E, u)\) \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{Z}\)-ens.

Classification : famille de cardinaux associés aux ss-groupes de \(\mathbf{Z}\) \(=\) famille de cardinaux \((a_i)_{i \in \mathbf{N}}\) \[E \text{ fini} \Longleftrightarrow \underbrace{n_0 = 0}_{\substack{\text{orbites} \\ \text{finies}}} \text{ et } \underbrace{\text{les } n_i \text{ finis}}_{\substack{\text{nb fini d'orbites de} \\ \text{cardinal } i \in \mathbf{N} \\ \text{donné}}}, \underbrace{\text{nuls sauf un nb fini}}_{\text{nb fini d'orbites}}\] la famille est notée \((a_i)\) à la ligne précédente, \((n_i)\) ici

\(u\) transitif (\(\Leftrightarrow\) \(u\) définit sur \(E\) un ordre circulaire) \(\Leftrightarrow\) tous les \(n_i\) sauf un sont nuls « sauf un » est suivi, sous la ligne, de deux mots dont le premier est lu « exemplaire » : […]

Cor Les classes d'éléments de \(\mathfrak{S}_n\) mod. conjugaison correspondent 1-1 aux « partitions » de \(n\), i.e. aux familles d'entiers \((c_i)_{1 \leq i \leq n}\) tels que \(\sum i c_i = n\) \[\begin{array}{ll|ll} \mathfrak{S}_2 : 2 \text{ classes} & 1, \sigma_{12} & \mathfrak{A}_2 : 1 \text{ classe} & 1 \\ \mathfrak{S}_3 : 3 \text{ classes} & 1, \sigma_{12}, \sigma_{123} & \mathfrak{A}_3 : 3\ \text{—} & 1, \sigma_{123}, \sigma_{321} \\ \mathfrak{S}_4 : 5 \text{ classes} & 1, \sigma_{12}, \sigma_{12}\sigma_{34}, \sigma_{123}, \sigma_{1234} & \mathfrak{A}_4 : & \ldots \\ \mathfrak{S}_5 : \ ? & & & \end{array}\] \(\mathfrak{A}_4\) : \(\sigma_{12}\sigma_{34}\), \(\sigma_{1234}\) la ligne de \(\mathfrak{A}_4\) est raturée et entourée ; on la donne hors du tableau, et la lecture de ce qu'elle portait n'est pas sûre

2) Rectification Les contours orientés correspondent aux ens. à permutation \((E, u)\) tels que \(u\) n'ait pas de pt fixe (car ce ne sont pas des polygones : 1 côté, ds les graphes !)

3) Produit ½ direct de groupes

donnée \[1 \to Z \xrightarrow{i} G \underset{q}{\overset{p}{\rightleftarrows}} \Gamma \to 1 \qquad pq = \mathrm{id}_\Gamma\] (suite exacte, avec \(q\) un homom. de groupes)

revient à donner \[1 \to Z \to G \to \Gamma \to 1, \qquad \Gamma' \subset G, \quad p|\Gamma' \simeq \text{iso}\]

ou à donner groupes \(Z\), \(\Gamma\) avec op. de \(\Gamma\) sur \(Z\) \[\Gamma \to \operatorname{Aut}_{\mathrm{gr}}(Z)\] loi de composition sur \(G = Z \times \Gamma\)

\((\gamma, z)(\gamma', z') = (\gamma\gamma', \operatorname{int}(\gamma'^{-1})(z).z')\) \[(z, \gamma)(z', \gamma') = (z \operatorname{int}(\gamma)(z'), \gamma\gamma')\]

Ss-groupes \(G'\) de \(G\) avec \(G' \supset Z\) \(\Leftrightarrow\) ss-groupe \(\Gamma'\) de \(\Gamma\), […] et alors \(G' \simeq Z.\Gamma'\) (½ direct)en bas à droite, séparé du texte par un trait oblique

Voir théorie d'[…] extension […] […] \(H^2(\Gamma, Z) \simeq\) […]en bas à gauche, écrit en oblique et en petits caractères, séparé du texte par un trait ; lecture très incomplète

9Ex Groupe affine […] : \(\operatorname{Aff}(Z) \subset \mathfrak{S}_{Z}\) : un groupe \(Z\) « Ex » est relié par un trait à « Produit ½ direct » de la page précédente \[1 \to Z \xrightarrow{i} \operatorname{Aut}_{\substack{\text{ens. à} \\ \text{gpe d'op.}}}(Z, Z_d) \underset{q}{\overset{p}{\rightleftarrows}} \operatorname{Aut}(Z) \to 1, \qquad \operatorname{Aut}(Z, Z_d) \hookrightarrow \operatorname{Aut}(Z) \times \mathfrak{S}_{Z_d}\] au-dessus de \(\operatorname{Aut}(Z, Z_d)\), relié par « \(=\) », le nom \(\operatorname{Aff}(Z)\) \[\gamma \in \operatorname{Aut}(Z), \qquad q(\gamma) = (\gamma, \gamma), \qquad i(g) = (\mathrm{id}_Z, \tau_g)\] au-dessus de \(\tau_g\), un « s » biffé \[\boxed{\operatorname{int}(q(\gamma)) | Z = \gamma} \qquad\qquad (\gamma, \rho) \in \operatorname{Aut}(Z, Z_d) \Longleftrightarrow \rho(gx) = \gamma(g)\rho(x) \quad \forall g, x \in Z\] \[\operatorname{Aff}(Z) \simeq Z.\operatorname{Aut}(Z) \quad \text{(produits ½ direct)}\] après \(\operatorname{Aff}(Z)\), un mot raturé ; sous lui, un autre, également raturé

Si \(\Gamma \subset \operatorname{Aut}(Z)\) (\(\Gamma\) ss-groupe) on a un ss-groupe évident […] de \(\operatorname{Aff}(Z)\), noté \[\operatorname{Aff}^{\Gamma}(Z) \simeq Z.\Gamma .\] le mot raturé avant « de » porte en dessous « gr. d'op. »

\(\Bigl[\) Hom d'ens. à op. avec groupe variable \[(E, G) \xrightarrow{(\rho, \gamma)} (E', G')\] NB Si \(E\) est un torseur sous \(G\), et \(E \neq \emptyset\), alors \(\rho\) détermine \(\gamma\) car pour si \(x \in E\), \(\forall g \in G\), \(\gamma(g)\) est déterminé par la condition \(\rho(g.x) = \gamma(g).\rho(x)\) \(\Bigr]\) « et \(E \neq \emptyset\) » est ajouté au-dessus de la ligne ; « NB » est précédé d'un premier « NB » biffé

Cas \(Z\) groupe sous-jacent à un vectoriel \(V\), sur un corps \(R\) (réels p. ex) « groupe sous-jacent à un » est ajouté au-dessus de la ligne \[\Gamma = \operatorname{Aut}_R(V) \subset \operatorname{Aut}_{\mathrm{gr}}(V)\] \[\operatorname{Aff}_R(V) \simeq V.\operatorname{Aut}_R(V)\] \[(\underset{V}{z}, \underset{\operatorname{Aut}_R(V)}{\gamma}) . (z', \gamma') = (z + \gamma(z'), \gamma\gamma')\]

Si \(V\) muni d'une forme quadratique non dégénérée \(Q\) \(\to\) le groupe des déplacements (transf. affines qui conservent la distance) \[\operatorname{Dépl}(V, Q) \simeq V.\operatorname{Orth}(V, Q)\] en indice de « Dépl », un « Aff » biffé : Aff au-dessus de « non dégénérée », un \(Q\) ; la lecture de ces deux mots n'est pas sûre

10\(T\) torseur à droite sous groupe \(Z\)

\(\operatorname{Aut}(Z, T) \to \operatorname{Aut}(G)\)premier essai biffé, avec deux mots ajoutés dessous, également biffés

\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & Z \arrow[r, "i"] & \operatorname{Aut}(Z, T) \arrow[r, "p"] &
  \operatorname{Aut}(Z) \arrow[r] \arrow[l, dashed, bend left=30, "q_t"] & 1
\end{tikzcd}

\(\forall t \in T\), on a une section \(q_t\), définie par \[\begin{cases} q_t(\gamma)(t) = t \\ p(q_t(\gamma)) = \gamma \end{cases}\]

Quelle est la relation entre \(q_t\) et \(q_{t'}\) ?

On aura \(t' = t.g\), et on trouve \[q_{t'} = \operatorname{int}(i(g)) \circ q_t : \gamma \mapsto i(g)\, q_t(\gamma)\, i(g)^{-1}\] \(\Bigl[\) Pour le vérifier, il suffit de voir que \[\underbrace{\operatorname{int}(i(g))(q_t(\gamma))}_{=\, i(g) q_t(\gamma) i(g)^{-1}} : t' \mapsto t'\] ; or \(t' = tg\)

\(q_t(\gamma)(t') = q_t(\gamma)(t)\,\gamma(g) = t.\gamma(g)\)

\(\operatorname{int}(i(g))\, q_t(\gamma)(t') =\) \[\begin{gather*} i(g)^{-1}(t') = t \qquad q_t(\gamma)\, i(g)^{-1}(t') = q_t(\gamma)\, t = t \\ i(g)\, q_t(\gamma)\, i(g)^{-1}(t') = tg = t' \quad \text{ok} \ \Bigr] \end{gather*}\]

Idem pour \(\operatorname{Aut}^{\Gamma}(Z, T)\) relié par un trait à la section \(q_t\) du diagramme

Ex \(Z = \mathbf{Z}_n\) \[\begin{cases} \operatorname{End} Z = \mathbf{Z}_n \\ \operatorname{Aut} Z = \mathbf{Z}_n^{*} \supset \{\pm 1\} = \Gamma \end{cases} \quad (\text{\underline{NB} si } n = 2,\ +1 = -1 \text{ dans } \mathbf{Z}_n^{*} \ldots)\] […] \[\begin{array}{l} \operatorname{Aff}(\mathbf{Z}_n) = \mathbf{Z}_n . \mathbf{Z}_n^{*} \quad \text{(produit ½ direct)} \\ \quad \cup \\ \operatorname{Aff}^{\{\pm 1\}}(\mathbf{Z}_n) = \mathbf{Z}_n . \{\pm 1\} \end{array}\] groupe diédral d'indice \(n\), \(\mathbf{D}_n\) (on suppose \(n \neq 2\)…)

Soit \(T\) torseur sous \(Z\) groupe cyclique d'ordre \(n \geq 3\) muni d'une famille \(\{u, u^{-1}\}\) de \(2\) gén. d'ordre \(n\) inverses l'un de l'autre.

\begin{tikzcd}
  1 \arrow[r] & Z \arrow[r, "i"] & \operatorname{Aut}^{\pm 1}(T, Z) \arrow[r, "p"] &
  \{\pm 1\} \arrow[r] \arrow[l, bend left=30, "q"] & 1
\end{tikzcd}

11Données de \(q\) équivalentes : la donnée de \(\sigma \in \operatorname{Aut}^{\pm 1}(Z, T)\) \[\begin{cases} p(\sigma) = -1 \\ \sigma^2 = 1 \end{cases}\] \[q_t(-1) = \sigma_t\] \[\sigma_{tg} = g \sigma_t g^{-1} = g \underbrace{\sigma_t g^{-1} \sigma_t^{-1}}_{g} \sigma_t = g^2 \sigma_t = \sigma_t g^{-2}\] \[\boxed{\sigma_{tg} = g^2 \sigma_t = \sigma_t g^{-2}}\]

Corollaire Si \(n\) impair, \(t \mapsto \sigma_t\) est une bijection de \(T\) avec l'un des \(p^{-1}\{-1\}\) ; donc si on a un nb impair de côtés, l'application \(t \mapsto \sigma_t\) qui, à un sommet du polygone, associe l'unique autom. non orienté qui fixe ce sommet, est bijection.

NB Si \(n\) pair, elle n'est pas bijective, mais ses fibres sont toutes de cardinal \(2\)…

[…] Sommet opposé, symétrie canonique

\(\{u, \bar{u}\} \subset Z\) gén. mais d'ordre […], […] \(u \bar{u} = s\), cela a lieu […] […] \(\sigma_t = \sigma_{t'}\) ssi \(t, t'\) […] \(\{1, s\}\)en diagonale dans la marge gauche, dans un cadre relié à « Parenthèse » ; lecture très incomplète

Parenthèse Produits fibrés d'un

\begin{tikzcd}
  P \arrow[r, dashed, "p'"] \arrow[d, dashed, "q'"'] & F \arrow[d, "q"] \\
  E \arrow[r, "p"] & S
\end{tikzcd}

Solution d'un pb universel dans la cat. des ens :

Si \(E\), \(F\), \(S\) des groupes, \(p\), \(q\) hom. de groupes, alors \(P\) un groupe (et solution du pb univ. analogue dans cat. des groupes) \[\operatorname{Ker} p \simeq \operatorname{Ker} p', \qquad \operatorname{Ker} q \simeq \operatorname{Ker} q'\] Si \(p : E \to S\) surjectif (bijectif) alors \(P \to F\) surjectif (bijectif).

[Langage des diagrammes carrés cartésiens]

Image inverse d'ex. de groupes

12

\begin{tikzcd}[row sep=small]
  1 \arrow[r] & Z \arrow[r] & G \arrow[r] & \Gamma \arrow[r] & 1 & (E) \\
  1 \arrow[r] & Z \arrow[r] \arrow[u, "\mathrm{id}"'] & G' \arrow[r] \arrow[u] &
  \Gamma' \arrow[r] \arrow[u] & 1 & (E')
\end{tikzcd}

Si l'extension \((E)\) splittée, l'ext. \(E'\) aussi.

Remarque Toute extension splittée \(G\) de \(\Gamma\) par \(Z\) provient par image inverse d'une ext. splittée \(Z.\operatorname{Aut}(Z)\).

4) Ens. de petit cardinal

a) Cardinal 2 Ens de cardinal \(2 \longleftrightarrow\) torseurs sous \(\mathbf{Z}_2\) (ou encore, espace affine sur \(\mathbf{F}_2\) […] ou encore, espace affine de dim \(1\) sur corps \(\mathbf{F}_2\) — car les espaces vect. de dim \(1\) sur \(\mathbf{F}_2\) sont can. isomorphes …) \[\boxed{\operatorname{Aff}(1, \mathbf{F}_2) \simeq \operatorname{Aff}(\mathbf{Z}_2) \simeq \mathfrak{S}_2} \qquad (\mathfrak{A}_2 = \{1\})\]

b) Cardinal 3 \[\mathfrak{S}_3 \simeq \underset{\substack{\wr \\ \mathbf{F}_3^{+}.\mathbf{F}_3^{*} \\ \mathbf{Z}_3 \quad \mathbf{Z}_2}}{\operatorname{Aff}(1, \mathbf{F}_3)} \simeq \mathrm{Gl}(2, \mathbf{F}_2) \simeq \underset{\substack{\| \\ \mathrm{Gl}(2, \mathbf{F}_2)/\mathbf{F}_2^{*}}}{\mathrm{GP}(1, \mathbf{F}_2)}\] sous \(\mathbf{F}_3^{+}\) et \(\mathbf{F}_3^{*}\), des signes \(\simeq\) et \(=\) verticaux les relient à \(\mathbf{Z}_3\) et \(\mathbf{Z}_2\) \[\mathfrak{A}_3 \simeq \mathbf{F}_3^{+} \ (\simeq \mathbf{Z}_3)\]

13c) \[\begin{align*} \mathfrak{S}_4 &\simeq \operatorname{Aff}(2, \mathbf{F}_2) \simeq \mathrm{GP}(1, \mathbf{F}_3) \\ \mathfrak{A}_4 &\simeq \operatorname{Aff}(1, \mathbf{F}_4) \quad ? \end{align*}\]

d) \[\begin{align*} \mathfrak{S}_5 &\simeq \mathrm{GP}(1, \mathbf{F}_5) \\ \mathfrak{A}_5 &\simeq \mathrm{GP}(1, \mathbf{F}_4) \end{align*}\]

Quelques groupes classiques sur un corps \(k\) \[\left. \begin{array}{l} 1 \to k^{*} \to \mathrm{Gl}(V) \to \mathrm{GP}(V) \to 1 \\ 1 \to k^{*} \to \mathrm{Gl}(n, k) \to \mathrm{GP}(n-1, k) \to 1 \end{array} \right\} \text{non splittées en général}\]

\(\mathbf{P}(V) \simeq V/k^{*}\) : \(\mathrm{GP}(V)\) y opèredans la marge gauche, entouré

Structure de \(k\)-vectoriel (sur un \(V\) de dim \(n\)) \(\longleftrightarrow\) donnée d'un élément de \[\operatorname{Isom}_{\text{ens}}(k^n, V)/\mathrm{Gl}(n, k)\] « de dim \(n\) » est ajouté au-dessus de la ligne

Structure de \(k\)-espace affine de dim. \(n\) sur \(E\) un \(E\) \(\longleftrightarrow\) donnée d'un élément de \(\operatorname{Isom}_{\text{ens}}(k^n, V)/\operatorname{Aff}(n, k)\)

\(\Bigl[\) De façon générale, si \(Z\) est un groupe, la notion de (torseur Ed abstrait, disons) \(E\) espace aff. sous un groupe non précisé que l'on considère comme structure sur le seul ens. \(E\), […] précisément donnée d'un […] \(E\) […] \((x, y, z) \mapsto\) […] couple \(\Gamma \subset \mathfrak{S}_E\) ss-groupe, tel que … ; muni par ens. à groupe d'op. fidèle…

Une structure d'espace affine sur \(k\) est alors la donnée d'un tel \(\Gamma\), avec […] commutatif, et un hom. d'anneaux unit. \[k \to \operatorname{End}_{\mathbf{Z}}(\Gamma) \quad \ldots \ \Bigr]\] passage rapide et en partie biffé ; la lecture des mots entre « torseur » et « couple » n'est pas sûre

Structure de \(k\)-espace projectif de dim. \(n\) sur \(P\) \(\overset{\text{(déf)}}{\longleftrightarrow}\) donnée d'un élément de \[\operatorname{Isom}_{\text{ens}}(\mathbf{P}^{n-1}(k), P)/\mathrm{GP}(n-1, k) \qquad \mathbf{P}^{n-1}(k) = (k^n - 0)/k^{*}\] la dimension notée \(n\) dans la phrase et \(n-1\) dans la formule, comme sur la page \[\mathrm{Gl}(n, k) \longrightarrow \operatorname{Aff}(n, k) \longrightarrow \mathrm{GP}(n, k)\] vect. de dim \(n\) sur \(k\) \(\longmapsto\) (oubli origine) espace affine de dim \(n\) sur \(k\) \(\longmapsto\) espace projectif associé à l'esp. vect. enveloppant (esp. proj. de dim \(n\) sur \(k\)) sur la page, les trois correspondances sont écrites en colonnes sous les trois groupes, les mots « oubli origine » et « associé à l'esp. vect. enveloppant » en petits caractères sous les flèches

14Exercice Réalisation régulière d'un polygone.

Soit \(E\) plan affine euclidien sur \(\mathbf{R}\) (i.e. muni d'une dist… sur le plan \(V\) des translations). Une réalisation rectiligne d'un polygone \((S, A, R)\) est dite régulière si tous les côtés du polygone ont même longueur, et tous les angles itou, […] et unimodulaire si la dite longueur est \(1\). « et tous les angles itou » est ajouté dans une bulle au-dessus de la ligne

a) Existence, grâce à équation cyclotomique \(z^n = 1\) dans \(\mathbf{C}\).

b) Prouver que si \((V \supset P \supset S)\) et \((V' \supset P' \supset S')\) sont deux \(n\)-polygones (\(n \geq 3\)) munis d'une réal. rectiligne rég. (supposés unimodulaires) il existe une […] similitude (et une seule) unique de \(V\) sur \(V'\), qui transforme \(P\) en \(P'\), \(S\) en \(S'\) ; […] plus précisément, pour la donnée (combinatoire) de \((S, A, R)\) sur \((S', A', R')\), \(\exists !\) similitude (isométrie) de \(V\) sur \(V'\) qui l'induise. […] « (isométrie) » est ajouté au-dessus de « de \(V\) »

c) Cas Notion d'enveloppe affine (ou convexe, de l'ens. des sommets) et centre de gravité d'un polygone combinatoire. « de l'ens. des sommets » est ajouté sous la ligne ; la lettre de l'item est surchargée

Si Orientations des polygones \(\longleftrightarrow\) orientation de son enveloppe

15Polygone régulier (ou réalisation régulière d'un polygone combinatoire) : définitions possibles (côtés égaux, angles égaux, […] les deux, transitivité groupe des similitudes…) Existence, unicité modulo homothétie : tout isomorphisme combinatoire est induit par une unique similitude. « les deux, » est ajouté au-dessus de la ligne, un mot biffé devant ; dans la marge gauche, un petit dessin : deux segments formant un angle

Notion d'enveloppe affine (ou vectorielle) d'un polygone combinatoire… sans précision

Fonctorialité de \(X \times_G Y\) par : \((G, X, Y)\)… \[P \times_G E = {}^{P}E = F \qquad \begin{array}{l} P \ G\text{-torseur} \\ E \ G\text{-ensemble} \end{array}\] \[P \to \operatorname{Bij}(E, F) \quad \text{compatible aux opérations de } G \text{ : droite}\] NB Si \(G\) opère fidèlement sur \(E\), \(G\) opère « sans pts fixes » sur \(\operatorname{Bij}(E, F)\), i.e. \(u.g = u\) (\(g \in G\), \(u \in \operatorname{Bij}(E, F)\)) implique \(g = 1\), on a donc les \(G_u\) (\(u \in B\)), […] : \(\{1\}\), […] \(B\) est une […] de torseurs… Dans ce cas (et dans ce cas seulement) \(P \to \operatorname{Bij}(E, F)\) est injectif « et dans ce cas seulement » est ajouté sous la ligne \[P \hookrightarrow \operatorname{Bij}(E, F),\] \(F = {}^{P}E\) est muni de 2 structures au-dessus de « \(F =\) », un « \(P_E\) » relié par un trait \(\Bigl[\) \(E\) – dans les cas, \(F\) […] : donnée d'une orbite de \(G\) dans \(\operatorname{Bij}(E, F)\). [On verra que (si \(G\) opère fid. sur \(E\)) la donnée d'une \((G, E)\) structure […] d'une \((G, E)\)-structure […] équivaut à celle d'un torseur sous \(G\) […] […].] \(\Bigr]\) \((G, E)\)-structure sur un \(F\)dans la marge gauche, en oblique, relié par une accolade au crochet ; la fin du paragraphe, serrée en petits caractères au bas du feuillet, n'est lue qu'en partie

16sur \(E\) invariante par \(G\) se transporte sur \(F\). (Ex : structures de groupe, d'anneau, de module sur un anneau fixé, d'espace top. etc…)

Cas de plusieurs ens. de base \((E_i)_{i \in I}\), […] munis d'une structure mixte (p. ex. module \(E\) sur anneau \(A\), le couple \((A, E)\)) alors \(({}^{P}E_i)_{i \in I}\) sont munis de la structure correspondante.

[…]

Applications […] \textcircled{1} Yoga : structures isomorphes : les (str) données \(E \longleftrightarrow\) torseurs sous \(G = \operatorname{Aut}(E)\) « str » est ajouté au-dessus de la ligne \[\begin{array}{c} F \longmapsto \operatorname{Isom}_{\mathcal{C}}(E, F) = P \\ P_E = P \times_G E \longleftarrow P \end{array}\] \[F \longmapsto \underset{\operatorname{Isom}_{\mathcal{C}}(E, F)}{P} \longmapsto P \times_G E \overset{?}{\xrightarrow{\ \sim\ }} F\] \[\begin{array}{ll} P \times E \longrightarrow F & \\ \operatorname{Isom}(E, F) \times E \to F & (u, x) \mapsto u(x) \\ & (ug)(x) = u(gx) \quad \text{ok} \end{array}\] \[P \to F = P \times_G E \longmapsto \operatorname{Isom}_{\mathcal{C}}(E, F) \overset{\sim}{\longleftarrow} P\] \[i_u : x \mapsto u * x \longleftrightarrow u \qquad i_{ug} = i_u . g \quad \text{i.e.}\quad ug * x = u * gx \quad \text{ok}\] devant \(i_{ug}\), un premier essai biffé : \(i_{ug}\)

17\textcircled{2} Donnée d'un \(G\)-torseur \(T\) \(\longleftrightarrow\) donnée d'un ensemble \(F\) muni d'une orbite de \(G\) opérant sur \(\operatorname{Bij}(E, F)\) [quand \(E\), […] fid. […] \(\operatorname{Bij}(E, F) \to\) \(G\)-ens. fidèle, donné une fois pour toutes] C'est un cas particulier de \textcircled{1} car \(G = \operatorname{Aut}_{\mathcal{C}}(E)\), \(\mathcal{C}\) étant l'espèce de \(\mathcal{C}\)-structures du type \((G, E)\). i.e. \(F\) muni d'une \((G, E)\) structuredans la marge gauche, en oblique, relié par un trait à l'accolade

\textcircled{3} Soit \(\mathcal{C}\) une espèce de structures (sur un ens. de base, disons), \(E\) une structure de type \(\mathcal{C}\), \(G = \operatorname{Aut}_{\mathcal{C}}(E)\). Alors, pour un ens. \(F\), la donnée d'une structure de type \(\mathcal{C}\) isom[orphe] à \(E\) équivaut à celle d'une \((G, E)\)-structure. De cette façon, \textcircled{1} devient un particulier de \textcircled{2}.

\textcircled{4} Enveloppe vectorielle d'un polygone combinatoire.

On considère le polygone […] combinatoire standard \([1, n]\) \(P_n\), sa réalisation (rectiligne) régulière Arcs \[i \mapsto \exp \frac{2 i \pi}{n} = \zeta^i\] (il faut prendre \(n \geq 3\) pour que ceci soit une réalisation rectiligne… !) « (rectiligne) » est ajouté au-dessus de « régulière » ; « \(n \geq 3\) » sous la ligne

On note que \(D_n = \operatorname{Aut}(P_n)\) opère sur \(\mathbf{C}\) — \(E =\) plan euclidien \(\mathbf{C}\) (muni de \(|z|\)) — par \[\begin{cases} \tau_i \longmapsto \text{homothétie par } \zeta^i \\ \sigma \longmapsto z \mapsto \bar{z} \end{cases}\]

18La donnée d'un polygone combinatoire \(P\) à isomorphisme près équivaut à la donnée d'un \(D_n\)-torseur \(T\) (\(P = {}^{T}P_n\)), et : \(T\) […] associé \({}^{T}E\).

L'immersion \(S(P_n) \hookrightarrow E\) (liée aux \(D_n\)-opérations) définit une immersion \[S(P) = {}^{T}S(P_n) \hookrightarrow {}^{T}E = \operatorname{Env}(P)\] « liée » n'est pas sûr ; la marge de cette ligne est serrée

\[\underline{\mathrm{Hom}}(\mathbf{e}, G) \overset{\approx}{\longrightarrow} \underline{\mathrm{Tors}}(G)\] NB \[\underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathrm{Tors}}(G), \mathcal{C}) \overset{\approx}{\longrightarrow} \text{catégorie}\ G\text{-}(\mathcal{C})\] des objets \(X\) de \(\mathcal{C}\) munis d'une opération à gauche de \(G\), \(G \to \operatorname{Aut}(X)^{\circ}\) « gauche » remplace « droite », biffé. « \(G\)-(\(\mathcal{C}\)) » est écrit au-dessus d'un premier nom biffé, \(\underline{\mathrm{Hom}}(G, \mathcal{C})\) \[\begin{array}{rcl} F & \longmapsto & F(G_d) \\ (P \mapsto {}^{P}X) & \longleftarrow & X \end{array}\] devant le premier \(F\), un mot biffé : […]

Soit \(\mathcal{C}\) catégorie, \(E \in \operatorname{Ob} \mathcal{C}\), \(\mathcal{C}_E\) = cat. des objets de \(\mathcal{C}\) isom. à \(E\), avec iso, \(G = \operatorname{Aut}_{\mathcal{C}}(E)\) \[\mathcal{C}_E \overset{\approx}{\longrightarrow} \underline{\mathrm{Tors}}(G)\]

\begin{tikzcd}[column sep=large]
  \underline{\mathrm{Hom}}(\underline{\mathrm{Tors}}(G), \mathcal{E})
  \arrow[r, "\approx"] \arrow[d, "\approx"'] &
  G\text{-}(\mathcal{E}) \arrow[dl, "{\Phi,\ \approx}" description] \\
  \underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}_E, \mathcal{E}) &
\end{tikzcd}

Donc : la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{C}_E\) dans \(\mathcal{E}\) est équivalente (de façon can. : isom. unique près) : celle des \(G\)-objets de \(\mathcal{E}\) cf le groupoïde connexe, \(E \in \operatorname{Ob} \mathcal{C}_0\), \(G = \operatorname{Aut}(E_0)\) : \(\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}_0, \mathcal{E}) \to G\text{-}(\mathcal{E})\), \(\Phi \mapsto \Phi(E)\) équivalence de catégories.dans la marge gauche, en oblique, à gauche d'un long trait vertical qui porte « DEA » et embrasse tout le bas de la page

19Supposons que : \(\forall\) polygone comb. de type \(P\) (disons) on veuille faire correspondre un \(\mathbf{R}\)-vectoriel […] (disons), « de façon compatible avec le transport de structure », Alors \(E(P)\). Alors \(E(P_n) = E\) est un vectoriel, avec \(D_n = \operatorname{Aut}(P_n)\) opérant (à g.). Mais la donnée de \(E\) avec cette opération permet de reconstituer \(E(P)\) pour tout \(P\), comme étant \(E_T\) \({}^{T}E\), où \(T = \operatorname{Isom}(P_n, P)\). « \(= E\) » est ajouté au-dessus de \(E(P_n)\) ; « les » au-dessus de « Alors » biffé

\textcircled{5} Changement de Extension du groupe d'opérateurs

\(G \to G'\), \(E\) \(G\)-ens. (à gauche), on définit \[{}^{G'}E = E \times_G G' \quad \text{comme } G'\text{-ens.\ à g.}\] devant \({}^{G'}E\) et devant \(E \times_G G'\), une lettre biffée chaque fois : […]

NB Si \(F\) un \(G'\)-ens. à droite, dans \[\left\{ \begin{array}{l} G\text{ ens.\ à droite}, \ldots \\ (E \times_G G') \times_{G'} F \simeq E \times_G (G' \times_{G'} F) \simeq E \times_G F \end{array} \right.\] \(F \times_{G'} (G' \times_G E) \simeq (F \times_{G'} G') \times_G E \simeq F \times_G E\) i.e.

\(F \times_{G'} E' \simeq F \times_G E\) \[E' \wedge_{G'} F \simeq E \wedge_G F\] Si \(E = T\) torseur, \(E' = T'\) aussi, donc […]. \[{}^{T}F \simeq {}^{T'}F\] au-dessus de « torseur », un signe biffé ; après \({}^{T}F\) et après \({}^{T'}F\), un exposant biffé chaque fois : […] i.e. Pour tordre \(F\) par […] \(G\)-torseur \(T\), quand \(G\) opère

20via réduction d'un groupe \(G\) ; il suffit de tordre par le torseur \({}^{G'}T = T'\). (Ex : si \(F\) muni de quelques structures, diverses […] on prend \(G' = \operatorname{Aut}(F)^{\circ}\)… et \(F^{T}\) […] […] que la structure déduite sur \(G'\)-torseur \(T'\)…) « quelques » est ajouté au-dessus de la ligne ; « déduite » n'est pas sûr

\textcircled{6} Opérations sur les du produit sur les torseurs sous groupe commutatif. Opération à droite produit \[X \times_G Y \times_G Z \ \ldots \ X \wedge Y \wedge Z\] produit associatif et commutatif, à isom. can. près ; \(\mathbb{1} = G_s\) pour la dite mult. devant \(X \wedge Y \wedge Z\), un \(X\) biffé ; « à isom. can. près » et « pour la dite mult. » sont en petits caractères, en partie sous la ligne \[X \times_G Y \simeq (X \times Y) \times_{G \times G} G \qquad (X \times Y \times \ldots) \times_{G^n} G\] sous \(G^n\), un indice biffé

Prop Un produit de torseurs est un torseur.

[…]

Prop \(\forall\) torseur \(X\), \(\exists\) torseur \(Y\) \(Y\) et iso. \(X \wedge Y \simeq \underline{G}\). Pour un tel \(Y'\), \(\exists\) iso. unique \(Y \simeq Y'\) tel que… \[Y \simeq X \times_G (G \xrightarrow{g \mapsto -g} G)\]

\textcircled{7} Ex Si Orientations, d'un \(X \wedge Y\) […] […] : […] […] […] deux lignes biffées : au-dessus de la première, « \(X \wedge Y\) » ; de la seconde ne se lisent que quelques lettres

Ex Soit \(B\) ens. fini avec rel. […]. \(R\) à relation des conditions 2, \(B \to I = B/R\) Considérons \(\bigwedge_{i \in I} B_i\), un élément les trois dernières lignes, encadrées, sont barrées de traits obliques ; au-dessus de \(\bigwedge\), un astérisque. La suite, section « 8 », ouvre le lot 2 (page 21)