Groupe (loi comp. assoc. unitaire avec inverses)

hom de groupes (on a néc. f(e) = e, f(x^{-1}) = f(x)^{-1})

opération d'un groupe G, sur un ens (ou : groupe d'opérateurs)

opération transitive (\forall x, y \in E, \exists g \in G, y = gx) — espace homogène (on exige de plus E \neq \emptyset)

(couples (E, x), E esp. hom., x \in E) \Longleftrightarrow donnée d'un ss-gpe H de G

c'est en fait une « équivalence de catégories »

NB f (commutant à G) connu quand on connaît f(x), si G transitif sur E.

E \sim E' ssi H, H' conjugués ; \exists\, E \to E' ssi H conjugué à un ss-groupe de H'

classes d'iso. d'esp. hom. sous G \Leftrightarrow classes de conjugaison de s-groupesécrit en diagonale dans la marge gauche, à hauteur du diagramme

Torseur sous G : \left\{ \begin{array}{l} \forall x, y \in E,\ \exists !\, g \in G,\ gx = y \\ E \neq \emptyset \end{array} \right\} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} E \text{ esp. hom., stabilisateurs} \\ \text{de pts réd. à } \{e\} \end{array} \right\} \Longleftrightarrow \{ E \simeq G_s \}

Les torseurs sous G sont isomorphes (non canoniquement).

Les torseurs sous G sont les « plus gros » espaces homogènes sous G.

[le groupe des autom. d'un torseur P sous G est \simeq G (non canoniquement) : le choix de x \in P définit un iso. G \xrightarrow[\sim]{u_x} \operatorname{Aut}_G P, si on remplace x par y = sx, cet iso. est remplacé par \boxed{u_y = u_{sx} = u_x \circ \operatorname{int}(s^{-1})} dans le cadre, un premier essai après le deuxième signe = est biffé \begin{gather*} u_x(g).x = gx \\ u_y(g)\,y = gy = gsx \\ u_y(g)\,sx = s\,u_y(g)\,x \quad \text{?} \\ u_y(g).x = s^{-1}gsx = u_x(s^{-1}gs).x \end{gather*} (u_x \circ \operatorname{int}(s)^{-1})(g)\,y = u_x(sgs^{-1})(y) = u_y(g) = u_x(s^{-1}gs) \quad ]

au-dessus du titre, un mot biffé, illisible :

Déf Graphes \left. \begin{array}{l} \text{Ens } S \text{ de « sommets »} \\ \text{ens } A \text{ « d'arêtes »} \\ R \subset S \times A \quad \text{relation d'incidence} \end{array} \right\} \text{Données}

Axiomes 1) \forall a \in A, \operatorname{card} R\{a\} = 2 (chaque arête a exactement 2 sommets)

à gauche, un dessin de graphe : une douzaine de sommets marqués d'un point, des arêtes droites et courbes, deux arêtes doubles joignant les mêmes sommets, une arête isolée et un sommet isolé

Un graphe est dit strict si une arête est connue quand on connaît ses sommets.

Une La donnée d'un graphe strict équivaut donc à la donnée d'un ens. S, et d'une partie A de \mathfrak{P}_2(S) (ens. des parties de card. 2 de S).

Arc d'un graphe (ou arête orientée) — ens. \vec{A}

Remarque Réalisation topologique d'un graphe

X(S, A, R) = (S \amalg (\vec{A} \times I))/

a) Segment associé à un ens. a de card. 2

[ \operatorname{seg}(a) \subset I^a (I = [0,1]) \operatorname{seg}(a) = \Bigl\{ \{t_x\}_{x \in a} \Bigm| \textstyle\sum t_x = 1 \Bigr\} ; \quad \text{on a } a \hookrightarrow \operatorname{seg}(a)

b) \operatorname{réal}(S, A, R) = \Bigl( S \amalg \coprod_{a \in A} \operatorname{seg} R\{a\} \Bigr) \Big/ \text{relation d'équiv.}

Réalisation [ On a X = \coprod_{a \in A} \operatorname{seg} R\{a\}, on a

pages 8 et 9 à l'encre noire

1) Ens. avec permutation (E, u) \Leftrightarrow \mathbf{Z}-ens.

Classification : famille de cardinaux associés aux ss-groupes de \mathbf{Z} = famille de cardinaux (a_i)_{i \in \mathbf{N}} E \text{ fini} \Longleftrightarrow \underbrace{n_0 = 0}_{\substack{\text{orbites} \\ \text{finies}}} \text{ et } \underbrace{\text{les } n_i \text{ finis}}_{\substack{\text{nb fini d'orbites de} \\ \text{cardinal } i \in \mathbf{N} \\ \text{donné}}}, \underbrace{\text{nuls sauf un nb fini}}_{\text{nb fini d'orbites}} la famille est notée (a_i) à la ligne précédente, (n_i) ici

u transitif (\Leftrightarrow u définit sur E un ordre circulaire) \Leftrightarrow tous les n_i sauf un sont nuls « sauf un » est suivi, sous la ligne, de deux mots dont le premier est lu « exemplaire » :

Cor Les classes d'éléments de \mathfrak{S}_n mod. conjugaison correspondent 1-1 aux « partitions » de n, i.e. aux familles d'entiers (c_i)_{1 \leq i \leq n} tels que \sum i c_i = n \begin{array}{ll|ll} \mathfrak{S}_2 : 2 \text{ classes} & 1, \sigma_{12} & \mathfrak{A}_2 : 1 \text{ classe} & 1 \\ \mathfrak{S}_3 : 3 \text{ classes} & 1, \sigma_{12}, \sigma_{123} & \mathfrak{A}_3 : 3\ \text{—} & 1, \sigma_{123}, \sigma_{321} \\ \mathfrak{S}_4 : 5 \text{ classes} & 1, \sigma_{12}, \sigma_{12}\sigma_{34}, \sigma_{123}, \sigma_{1234} & \mathfrak{A}_4 : & \ldots \\ \mathfrak{S}_5 : \ ? & & & \end{array} \mathfrak{A}_4 : \sigma_{12}\sigma_{34}, \sigma_{1234} la ligne de \mathfrak{A}_4 est raturée et entourée ; on la donne hors du tableau, et la lecture de ce qu'elle portait n'est pas sûre

2) Rectification Les contours orientés correspondent aux ens. à permutation (E, u) tels que u n'ait pas de pt fixe (car ce ne sont pas des polygones : 1 côté, ds les graphes !)

3) Produit ½ direct de groupes

donnée 1 \to Z \xrightarrow{i} G \underset{q}{\overset{p}{\rightleftarrows}} \Gamma \to 1 \qquad pq = \mathrm{id}_\Gamma (suite exacte, avec q un homom. de groupes)

revient à donner 1 \to Z \to G \to \Gamma \to 1, \qquad \Gamma' \subset G, \quad p|\Gamma' \simeq \text{iso}

ou à donner groupes Z, \Gamma avec op. de \Gamma sur Z \Gamma \to \operatorname{Aut}_{\mathrm{gr}}(Z) loi de composition sur G = Z \times \Gamma

(\gamma, z)(\gamma', z') = (\gamma\gamma', \operatorname{int}(\gamma'^{-1})(z).z') (z, \gamma)(z', \gamma') = (z \operatorname{int}(\gamma)(z'), \gamma\gamma')

Ss-groupes G' de G avec G' \supset Z \Leftrightarrow ss-groupe \Gamma' de \Gamma, et alors G' \simeq Z.\Gamma' (½ direct)en bas à droite, séparé du texte par un trait oblique

Voir théorie d' extension H^2(\Gamma, Z) \simeq en bas à gauche, écrit en oblique et en petits caractères, séparé du texte par un trait ; lecture très incomplète