Cote n° 74, pages 101–120

Cote n° 74 · batch 6 · pages 101–120 · Transcription · Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

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101la page reprend une liste de données dont le début (et l'axiome « (Ka) plus haut ») se trouve avant ce lot

a) $t_0$ ens. de card $3$

b) $\widetilde{\Gamma}$ ens. ⌜$\neq\emptyset$⌝ avec involution $\sigma_{\widetilde{\Gamma}}$ (sans pts fixes)

c) Une famille $(\widetilde{E}_\alpha)_{\alpha\in t_0}$ de quotients de $\widetilde{\Gamma}$ plus

Avec les conditions suivantes

$\alpha$) Les $\widetilde{E}_\alpha$ stables par $\sigma_{\widetilde{\Gamma}}$ (dont $\sigma_\alpha$ induites) et les $\sigma_\alpha$ sont sans pts fixes

$\beta_{\widetilde{\Gamma}}$) $\widetilde{E}$ $\forall\alpha,\beta\in t_0$, $\alpha\neq\beta$, l'application \[\widetilde{\Gamma}\xrightarrow{\ \widetilde{\varphi}_{\alpha\beta}\ } \widetilde{E}_\alpha\times\widetilde{E}_\beta\] est injection, et si $\widetilde{\Gamma}_{\alpha\beta}$ est son image, on a la condition et si $s,s'\in\widetilde{E}_\alpha$ distincts et conjugués par ⌜est une orbite sous⌝ $\sigma_\alpha$ ($s\neq s'$) et $t\in\widetilde{E}_\beta$, on a : $\exists!\ s\in u$ tel que $(s,t)\in\widetilde{\Gamma}_{\alpha\beta}$ la ligne se lit « si $u\subset\widetilde{E}_\alpha$ est une orbite sous $\sigma_\alpha$ » une fois l'insertion mise en place ; le « ! » est entouré d'un cadre

($\gamma$) entouré l'axiome (Ka) plus haut sur $(s_\alpha)_{\alpha\in t_0}$ et $(t_\alpha)_{\alpha\in t_0}$

On peut déduire de $\beta$), prenant $\Gamma=\widetilde{\Gamma}/\sigma_{\widetilde{\Gamma}}$, $E_\alpha=\widetilde{E}_\alpha/\sigma_\alpha$, que suit un petit diagramme biffé, flèche marquée $\varphi_{\alpha\beta}$

Soit $\Gamma=\widetilde{\Gamma}/\sigma_{\widetilde{\Gamma}}$, $E_\alpha=\widetilde{E}_\alpha/\sigma_\alpha$, d'où i.e. des quotients $E_\alpha$ de $\Gamma$ \[\Gamma\xrightarrow{\ \varphi_\alpha\ }E_\alpha ,\qquad \Gamma\xrightarrow{\ \varphi\ }\prod_{\alpha\in t_0}E_\alpha\] et l'axiome c) implique que ⌜$\forall\alpha$,⌝ $\widetilde{\Gamma}$ s'identifie à l'image inverse des revêtements d'ordre $2$ $\widetilde{E}_\alpha$ de $E_\alpha$. Donc la famille de données

102a) b) c) avec l'axiome $\alpha$ équivaut à : la donnée de l'ens $\Gamma$ ⌜$\neq\emptyset$⌝ et de la famille $(E_\alpha)_{\alpha\in t_0}$ de ses quotients \[\varphi_\alpha:\Gamma\to E_\alpha ,\qquad \varphi:\Gamma\to\prod_{\alpha\in t_0}E_\alpha ,\] et ⌜puis⌝ des rev. d'ordre $2$ \[\widetilde{E}_\alpha\xrightarrow{\ p_\alpha\ }E_\alpha\qquad(\alpha\in t_0)\] et d'un syst. transitif d'isom. ⌜$\Gamma$-⌝ entre les revêtements $\varphi_\alpha^*(\widetilde{E}_\alpha/E_\alpha)$ de $\Gamma$ (permettant de définir $\widetilde{\Gamma}$ par identification …) Ceci posé, l'axiome $\beta_{\widetilde{\Gamma}}$ implique ⌜équivaut à⌝ l'axiome

$\beta_\Gamma$) Si $\{\alpha,\beta\}\in\mathfrak{P}_2(t_0)$, alors \[\Gamma\xrightarrow{\ \varphi_{\alpha\beta}\ }E_\alpha\times E_\beta\] est bijectif

La classification des cas « complexes cubiques généralisés » […] se décompose en deux questions exactement

I) Description des systèmes \[\bigl(\Gamma\xrightarrow{\ \varphi_\alpha\ }\Gamma_\alpha\bigr)_{\alpha\in t_0}\] de quotients (paramétrés par $t_0$ de card $3$) d'un ens $\Gamma\neq\emptyset$, satisfaisant l'axiome $\beta_\Gamma$

103II) Pour un tel syst. donné, classifier les « rev. d'ordre $2$ » des diagrammes \[\bigl(\Gamma\xrightarrow{\ \varphi_\alpha\ }\Gamma_\alpha\bigr)_{\alpha\in t_0}\] i.e. des de ces diagrammes ⌜particuliers⌝ de la forme

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
E_a & & E_c \\
 & \Gamma \arrow[ul, "\varphi_a"] \arrow[ur, "\varphi_c"'] \arrow[d, "\varphi_b"] & \\
 & E_b &
\end{tikzcd}

les indices du diagramme passent de $\alpha$ à $a,b,c$ ; lecture de $E_a$ et $E_b$ incertaine

puis ceux qui satisfont l'axiome $(\gamma)=(\mathrm{Ka})$ trois traits soulignent la fin de la ligne ; le reste de la page est blanc

104page de calculs, barrée de plusieurs traits obliques

$s\in\widetilde{E}_a$ définit $\widetilde{E}_b\overset{f_{s,b}}{\simeq}E_b\times\{\pm1\}$, $\widetilde{E}_c\overset{f_{s,c}}{\simeq}E_c\times\{\pm1\}$ $\widetilde{E}_b\simeq E$

un triangle de sommets $s,t,u$, traversé par une droite ; à côté $(s,s',s'_1)$ $4p^2$ $2p^2$ $(s,s'_1)$ ; puis deux segments $s\,t$ et $s'\,t'$

$2+2c$ $2+2c$

$\mathrm{Card}\,S=\struck{\ill{}}\ 3+6c=3(1+2c)$

$\mathrm{Card}\,E_S(s)=2+2c=2(1+c)$

$\mathrm{Card}\,A=3(1+c)(1+2c)=3(1+3c+2c^2)=3+6c+3c+3(2c^2)$

$\mathrm{Card}\,T=\tfrac13\,\mathrm{Card}\,A=(1+c)(1+2c)=1+3c+2c^2$

diagramme biffé : $\widetilde{\Gamma}\to\widetilde{E}_\alpha\times\widetilde{E}_\beta\to\widetilde{E}_\alpha\times E_\beta\to\widetilde{E}$, avec $\widetilde{\Gamma}\to\Gamma\simeq E_\alpha\times E_\beta$ et une flèche vers $E$

$\mathrm{Card}\,T(s)=1+c$ […] $\mathrm{Card}\,T(s)=1+c$

$\mathrm{Card}\,T=\tfrac13\,\mathrm{Card}\,S\,(1+c)$

$\mathrm{Card}\,\widetilde{\Gamma}=2c^2$, $\mathrm{Card}\,\Gamma=c^2$, $\mathrm{Card}\,\widetilde{E}_a=2c$, $\mathrm{Card}\,E_a=c$

petit graphe : un rectangle partagé par une barre médiane, les deux côtés verticaux doublés d'arcs ; quelques points isolés

105en tête de page : une étoile de triangles (deux sommets épais reliés, portant chacun plusieurs triangles), marquée $\sigma_{t_0}$ ; un signe en gras ; deux triangles opposés par un sommet ; un triangle isolé

[…] mot entouré […] : $0$ boucles a) — des points isolés — pas un sommet porte $0$ triangle ([…] : $0$ arête)

[…] mot entouré $n=1$ boucle b) — un triangle — pas un sommet porte $1$ triangle exactement (ou $2$ arêtes contiguës)

c) $n\geqslant2$ boucles — une étoile de quatre triangles en un sommet — […] Chaînes de triangles […] à deux sommets tous les sommets […] sauf $1$ d'ordre $2$, l'autre (l'exceptionnel est d'ordre $\geqslant4$)

pour tous les sommets sauf $1$ porte exactement un triangle, pour l'excep. il y en a au moins deux [Alors il y a au moins $4$ de sommets par lesquels passe exactement $1$ triangle …]

Car il existe un autre (par […]) auquel […] autre […] (lié) — unique […] […] triangles)

[…], Si un sommet porte au moins $2$ triangles la page s'arrête là ; la suite manque

Automorphismes des graphes trialitaires

titre de sa main, souligné ; « complexes » y est biffé et remplacé par « graphes »

106Soit $(S,A)$ un complexe ⌜graphe⌝ trialitaire, $\underline{t}=\{a,b,c\}$ un triangle. On a défini une bijection involution $\sigma_{\underline{t}}$ de $S$, … \[\sigma_{\underline{t}}=\sigma_{\{a,b,c\}}:S\to S\] par \[\sigma_{\underline{t}}\,|\,\underline{t}=\mathrm{id}_{\underline{t}},\qquad \sigma_{\underline{t}}\,|\,E_a^{\underline{t}}=\sigma_a^{\underline{t}}\] (transforme $x\in E_a$ en l'unique él. de $E_a$ lié à $x$)

Proposition a) $\sigma_{\underline{t}}$ est un automorphisme du complexe graphe $(S,A)$, et $\underline{t}$ est l'ens des pts fixes de $\sigma_{\underline{t}}$.

b) L'application $\underline{t}\mapsto\sigma_{\underline{t}}$ de $T$ dans $\mathcal{G}=\mathrm{Aut}(S,A)$ est injective, et a comme image l'ens des autom. involutifs ⌜$u$⌝ de $(S,A)$ tels que l'ens des $\mathrm{card}\,S^u=3$

C'est évident…

Soit $\mathcal{G}=\mathrm{Aut}(S,A)$. Les $\sigma_{\underline{t}}$ sont $\in\mathcal{G}$. Soit $\mathcal{G}^{\circ}$ le groupe qu'ils engendrent. Si $g\in\mathcal{G}$, on a \[\mathrm{int}(g).\sigma_{\underline{t}}=g\,\sigma_{\underline{t}}\,g^{-1} =\sigma_{g(\underline{t})}\] donc $\mathcal{G}^{\circ}$ est un ss-groupe invariant.

107Théorème $\mathcal{G}^{\circ}$ est transitif sur l'ens des arêtes de $(S,A)$ (i.e. des couples $(s,t)$ de deux pts liés) et ⌜l'ens des faces […]⌝ a fortiori sur l'ens des sommets, et sur l'ens des triangles ⌜ensemble⌝ (qui […] […] : des ens. partiels de l'ens […] …) la fin de l'énoncé est perdue dans les insertions ; on lit encore « dans $\mathcal{G}^{\circ}$ (a fortiori dans $\mathcal{G}$) » et « […] ici deux.) »

Sauf exception $c\,(=\mathrm{Card}\,E_a)=1$ i.e. $(S,A)$ est le bi-triangle […]. Alors $\mathcal{G}$ a les transitivités énoncées, mais $\mathcal{G}^{\circ}\simeq\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3$ […] est d'indice $2$ dans $\mathcal{G}$, ici $\mathcal{G}\simeq\mathfrak{S}_2.(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3)$ ; $\mathcal{G}^{\circ}$ est encore transitif sur $S$ […], mais pas sur $A$ ([…]) […] triangles […] les pointillés …

Cor. Les $\sigma_{\underline{t}}$ ($\underline{t}\in T$) sont conjugués, et forment exactement une classe de conjugaison d'éléments de $\mathcal{G}^{\circ}$ (ou de $\mathcal{G}$)

Résulte des deux lemmes suivants

Lemme 1 Soient $s,t\in S$, alors

a) Si $s,t$ sont liés, $\exists\,\underline{t}\in T$ tel que $t=\sigma_{\underline{t}}\,s$

b) Dans tous les cas, $s,t$ étant non liés $\exists\,u\in S$ tel que $s$ lié à $u$ et $u$ lié à $t$, donc (lemme a) des $\underline{t},\underline{t}'\in T$ tels que $u=\sigma_{\underline{t}}\,s$, $t=\sigma_{\underline{t}'}\,u$, donc $t=\sigma_{\underline{t}'}\sigma_{\underline{t}}\,s$.

Le lemme a) est clair (prendre pour ⌜savoir⌝ […] sommet des triangles définis par $\{s,t\}$, le triangle défini […] un triangle, et […] distinct des trois triangles précédents) ; b) […] […] au moins $3$ triangles incidents en chaque sommet … (Supposons $c\neq1$ i.e. […])

Lemme 2 Soient $a\in S$, […] et $s,t$ deux él. de $S$ liés à $a$ ⌜[…]⌝. Alors $\exists\,g\in\mathcal{G}^{\circ}$ (produit de deux $\sigma_{\underline{t}}\sigma_{\underline{t}'}$, où $\underline{t},\underline{t}'$ $\mapsto$ $2$ triangles incidents convenables) tels que $u(a)=a$, $u(s)=t$, $u(t)=s$ la page passe de $g$ à $u$ pour le même élément

108Plus précisément, si $\underline{t}_0$ ⌜$=\{a,b,c\}$⌝ est un triangle de sommet $a$ ne contenant ni $s$ ni $t$ (il y en a par l'hyp. que $c\neq1$ i.e. $c\geqslant2$) on peut choisir de plus $u$ lié à $\underline{t},\underline{t}'$) tel que $u\,|\,\underline{t}_0=\mathrm{id}$ […] ⌜$u\,|\,\underline{t}_0=\mathrm{id}$ i.e.⌝ \[u\,a=a,\quad u\,b=b,\quad u\,c=c\] […], $u\,a=a$, $u\,b=c$, $u\,c=b$.

On peut trouver $w\in\mathcal{G}_0$ tel que $w\,|\,\underline{t}_0=\underline{t}_0$ […] $w\,a=a$, $w\,b=b$, $w\,c=c$) et $w\,s=t$

en marge gauche, deux figures de triangles accolés : la première avec les triangles $\underline{t}$, $\underline{t}_1$, $\underline{t}_0$ et les sommets $s,s',t,t',a,b,c,u,u',v,v'$ ; la seconde avec $t,t',b,c,a,s,u,\bar u$

la suite de la page est barrée de longs traits obliques

Recette On choisit $u$ lié à $t$ et $s$ ⌜complète les triangles⌝ $\underline{t}=\{a,s,s'\}$ et […] $\underline{t}_0=\{a,b,c\}$ (pas $s'$ et $c$) (ce qui […] …) on choisit $\widetilde{E}_a,\widetilde{E}_b,\widetilde{E}_c$ etc …) on choisit $u$ entouré ⌜$\neq a$⌝ lié à $b$ et à $s$ i.e. $u\in\widetilde{E}_b$ lié à $s$, on complète en triangle $\{s,u,v\}$ un $(a,s,c)$ donc \[u\in\widetilde{E}_b,\ v\in\widetilde{E}_c \qquad \{s,u,v\}\in\widetilde{T}\subset T\] \[u'\in\widetilde{E}_b,\ v'\in\widetilde{E}_c \qquad \{s',u',v'\}\in\widetilde{T}\subset T\] \[[\,(b,u,u')\in T,\quad(c,v,v')\in T\,]\] $t,t'$, […] $S$

On peut choisit […] : échange ; $t$ lié à $u$, […] complète dans un triangle \[(t,u,v_1)\in\widetilde{\Gamma}\] Alors $t'$ est lié ($\widetilde{E}_c$) à $v'$, donc par à $v'$, donc à $v$ … de complète \[(t',v,u_1)\in\widetilde{\Gamma}\subset T\quad(\widetilde{E}_b)\] Et comme $u_1,v_1$ — a aussi $u'_1\in\widetilde{E}_b$, $v'_1\in\widetilde{E}_c$, $\{b,u_1,u'_1\},\{c,v_1,v'_1\}\in T$

109[…], on prendra $\underline{\tau}=\{t',u'_1,v'_1\}$, $\underline{\tau}'=\{t,u_1,v_1\}$ ces deux lignes sont barrées de traits obliques

Changeons de notation donnés $a,s,t$ ($s,t$ liés à $a$, distincts et non liés) on complète triangles (distincts) $\{a,s,s'\}$, $\{a,t,t'\}$, on a triangle $\underline{t}_0$ de sommet $a$ distinct des $2$ précédents. On choisit $u\neq a$ lié à $s$ et à $t$ (il est lié à un unique sommet de $\underline{t}_0$, qui est distinct de $a$, disons $b$), on prend $\{s,u,v\}\in T$, $\{t,u,w\}\in T$, il ⌜qui⌝ sont liés à $c$ (et sont distincts de $a,s$), on prend les triangles $\underline{\sigma}=\{c,v,v'\}$ et $\underline{\tau}=\{c,w,w'\}$, et on considère les symétries $\sigma_{\underline{\sigma}}$, $\sigma_{\underline{\tau}}$, qui commutent … ([…] triangles sécants). Car $\underline{\sigma},\underline{\tau}$ sont des […]

On a \[\sigma_{\underline{\sigma}}\,s=u \quad\text{car } \{s,u,v\}\in T,\ v\in\underline{\sigma}\] \[\sigma_{\underline{\tau}}\,u=t \quad\text{car } \{t,u,w\}\in T,\ w\in\underline{\tau}\] et fixent $c$ la lettre $\underline{\sigma}$ nommant un triangle est d'une lecture incertaine

enfin, $\sigma_{\underline{\sigma}}$ et $\sigma_{\underline{\tau}}$ échangent $a$ et $b$, donc leur produit fixe les pts $a,b,c$. Donc \[W=\sigma_{\underline{\tau}}\,\sigma_{\underline{\sigma}}\] transforme $(a,s)$ en $(a,t)$ et induit l'identité dans $(a,b,c)$

en marge gauche, deux figures : les triangles $\{a,s,s'\}$, $\{a,t,t'\}$ autour de $a$ ; puis le triangle $a,b,c$ avec $u$ et les triangles $\{c,v,v'\}$, $\{c,w,w'\}$

[…] […] […] … $\sigma_{\underline{\tau}}\,u=s$, $\sigma_{\underline{\sigma}}\,s=u$ donc […] $u=\mathrm{id}$, et transforme $\{s,u,v\}\in\widetilde{\Gamma}$, $\{t,u,w\}\in\widetilde{\Gamma}$ […]

NB Supposons qu'il existe $r\in\widetilde{E}_c$ lié à $s$ et $t$. Comme $s$ lié à $v$ (donc […] à $v'$), $t$ lié à $w$ (donc […] à $w'$) … $r\neq v,w$ ce NB est barré de traits obliques ; il se poursuit en tête de la p. 112, elle aussi barrée

110Corollaire Considérons le le groupe ⌜(invariant) $\mathcal{H}^{\circ}$ des⌝ […] $\mathcal{H}=\mathrm{Aut}(S,A;a,b,c)$ engendré ⌜fourni⌝ par les produits d'un nb pair de symétries $\sigma_{\underline{t}}$ relatifs à des triangles verticaux. Alors $\mathcal{H}^{\circ}$ est transitif sur l'ens $\widetilde{\Gamma}$ des triangles supérieurs. De façon précise, si […] $\underline{s},\underline{t}\in\widetilde{\Gamma}$, et si $a\in\underline{t}_0$, soit […] $b\in t_0$, $b\neq a$ tel que $\exists\,u\in\widetilde{E}_b$ lié aux deux sommets ⌜$s,t$⌝ de $\underline{s}$, $\underline{t}$ sur $a$, alors $\exists$ produit $U$ de deux symétries relatifs $\sigma_v,\sigma_w$ ($v,w\in E_c=\widetilde{E}_c/2$) tel que $U\,s=t$, donc $U\underline{s}$ et $\underline{t}$ coïncident en $a$ ; et […] […] sommets […] choix […] trouver $V$, produit de deux symétries relatives en $b$, en $c$, tel que \[V\,U\,\underline{s}=\underline{t}.\] Si on […] pour […], $V$ et $U$ commutent, $VU$ est un automorphisme involutif la moitié inférieure de ce corollaire est barrée d'un grand trait ondulé ; le reste de la page est blanc

111Lemme 1 (lors $c$ fini $\neq1,2$) Soient $s,t\in\widetilde{E}_a$, alors $\exists\,s_1\in\widetilde{E}_a$ et $u,v\in\widetilde{E}_b$ tels que $u$ soit lié à $s$ et $s_1$, $v$ lié à $s_1$ et $t$.

c'est faux si $c=1,2$

Soit $\widetilde{E}_b(s)=\{u\in\widetilde{E}_b\mid u\text{ lié à }s\}$, de même $\widetilde{E}_b(t)$, ils sont de cardinal $c$ (des sections de $\widetilde{E}_b$ sur $E_b$). Si $\widetilde{E}_b(s)\cap\widetilde{E}_b(t)\neq\emptyset$, il suffit de prendre $u=v$ élt dans cette intersection et $s_1=s$. Nous pouvons donc supposer \[\widetilde{E}_b=\underset{B'}{\widetilde{E}_b(s)}\amalg \underset{B''}{\widetilde{E}_b(t)}\] (comme même $\widetilde{E}_b(t)=\widetilde{E}_b(s')$ […] cela impliquera $t=s'$, mais […] […] […]) On cherche […] $\bar s_1$ tel que \[\widetilde{E}_b(\bar s_1)\cap\widetilde{E}_b(s)\neq\emptyset,\qquad E_b(\bar s_1)\cap\widetilde{E}_b(t)\neq\emptyset .\] Si un tel $\bar s$ n'existait pas, on aurait $\forall\,\bar r\in\widetilde{E}_a$, $\widetilde{E}_b(\bar r)$ est contenu dans $\widetilde{E}_b(s)$ $B'$ ou $B''$ et pour des raisons de cardinal (comme il en est […] de cardinal $c$) on aurait \[\forall\,r\in A=\widetilde{E}_a,\ \text{\uncertain{ou}}\quad \widetilde{E}_b(r)=B'\ \text{ou}\ \widetilde{E}_b(r)=B''\] Soit \[A'=\{r\in A\mid\widetilde{E}_b(r)=B'\},\qquad A''=\{r\in A\mid\widetilde{E}_b(r)=B''\}=\complement_A A'\] donc $A'=\sigma_{\underline{t}_0}A''$, $A''=\sigma_{b}A'$, et […] […] $r,r'$ de […] de $A$ liés, un et un seul de $r,r'$ est dans $A'$, l'autre dans $A''$ — donc $A',A''$ […] en deux parties complémentaires de $\widetilde{E}_a$ […]

Soit $r_1,r_2\in\widetilde{E}_a$, […] $r_1\neq r_2$ $r_1\neq r'_1$ $r_1\in A'$, $r'_2\in A''$ […]

Soit […] $r_1,r_2\in A'$, $r_2\in A''$ […] et $r'_2\neq(r_1)'$, […] $\neq$, dans $A''$, […] $\widetilde{E}_b$ lié : $r_1,r'_2$, $2$ fois, dans l'ens des pts de $\widetilde{E}_c$ liés : $r_1$ et $r'_2$ […] $2$ fois […]

112page barrée de deux longs traits obliques ; elle continue le NB biffé de la p. 109

et communs sont liés : […] […] $\{s,u,v\}$ et $\{s,u,w\}$ […] des triangles), mais $t$ […] $u$, donc […] $r\neq u,w$. Donc $\sigma_{\underline{s}}$ et $\sigma_{\underline{t}}$ sont l'identité sur $r$, donc […] […] $\sigma_{\underline{s}}\sigma_{\underline{t}}$ […]

Donc, si […] $\underline{s},\underline{t}\in\widetilde{\Gamma}$ sont deux triangles supérieurs qui coïncident en $a$ au sommet $c$ (sur $c$) et qui ont […] les sommets $s,t$ au-dessus de $a$, alors, si on peut trouver $u\in\widetilde{E}_b$ lié […] fois : $s$ et $t$, alors

un triangle de sommets $a,b,c$ ; au-dessus, les points $s$ et $t$ reliés à un point marqué ; $u$ à droite

113de cardinal $c$, donc par des raisons de cardinal […] aussi \[\widetilde{E}_c(r_1)=\widetilde{E}_c(r'_2)\] ce début enchaîne sur la fin de la p. 111

Si maintenant $c\geqslant3$ ⌜$r_1\neq r_2$⌝, de sorte que pour $r_1,r_2\in A'$ distincts, $\exists\,r_3\in A'$ tel que $r_3\neq r_1,r_2$. On trouve donc \[\widetilde{E}_c(r_1)=\widetilde{E}_c(r_2)\] ⌜$=\widetilde{E}_c(r'_3)$⌝, donc tous les $\widetilde{E}_c(r_i)$ ($r_i\in A'$) sont égaux, et $\widetilde{E}_c(r_i)$ sont égaux sont égaux et égaux aux $\widetilde{E}_c(r'_i)$, or $\widetilde{E}_c(r'_i)=\complement\,\widetilde{E}_c(r_i)$, ce qui est absurde.

Lemme 2 Soient $v_1,v_2\in\widetilde{E}_b$, $u\in\widetilde{E}_b$ lié à $s$ et $t$, $\underline{t}_1=(u,v_1,w_1)$, ⌜$\underline{t}_2=$⌝ $(u,v_2,w_2)$ deux triangles sup. sur $(a,b,c)$, ayant le sommet $u$ (sur $b$) en commun. Considérons $\pi=\sigma_{w_1}\sigma_{v_2}$ […] ⌜l'autre⌝ […] qui fixe $a,b,c$) alors $\pi$ ⌜échange $w_1$ et $w_2$⌝ échange les deux triangles parallèles, i.e. $\pi u=u$, $\pi v_1=w_2$, $\pi w_1=w_2$ (si $c\neq1,2$) les indices de $\pi$ sont surchargés ; lecture de $\sigma_{w_1}\sigma_{v_2}$ incertaine

Corollaire Soient $a,b$ deux sommets distincts de $\underline{t}_0$, $\mathcal{G}_b$ le s/groupe ⌜des autom⌝ des automorphismes de $(S,A)$ engendré par les produits de deux symétries par $\sigma_{v_1}\sigma_{v_2}$, avec $v_1,v_2\in\widetilde{E}_b$ […] (donc $\mathcal{G}_b$ est un […] $\mathbb{F}_2$-vectoriel […], et il respecte $a,b,c$) Alors $\mathcal{G}_b$ est transitif sur $\widetilde{E}_a$, de façon plus précise, si

114$s,t\in\widetilde{E}_a$, $\exists\,\pi\in\mathcal{G}_b$ produit de $4$ […] symétries de $2$ formes $\sigma_v$ ($v\in E_b$) tel que $t=\pi s$.

Corollaire plus fort $\mathcal{G}_b$ est transitif sur $\widetilde{\Gamma}$, plus précisément, si $\bar s,\bar t\in\widetilde{\Gamma}$, il existe un $\pi\in\mathcal{G}_b$ produit de $6$ symétries de la forme $\sigma_w$ ($w\in E_b$) tel que $\bar t=\pi\bar s$. ce « corollaire plus fort » est barré de quatre traits obliques ; le reste de la page est blanc

115nb de triangles épinglés $=$ nb d'arêtes \[\mathrm{trep}=6(1+2c)(1+c)=6(1+3c+2c^2)\] nb de bitriangles épinglés : […] \[\mathrm{bitrep}=2c^2\,\mathrm{trep}=12c^2(1+2c)(1+c)\] \[=12c^2(1+3c+2c^2)\]

NB Si $c=2$, les automorphismes de $S=(S,A)$ qui […] ⌜induisent⌝ sur un bitriangle épinglé est l'identité. Donc le groupe $\mathcal{G}$ des automorphismes […] est $=$ le groupe […] des automorphismes « intérieurs » i.e. le s-gr de $\mathcal{G}$ engendré par les $\sigma_{\underline{t}}$, $\underline{t}\in T$) est simplement transitif sur l'ens des bitriangles épinglés. Donc ici \[\mathcal{G}=\mathcal{G}^{\circ}\quad\text{d'ordre}\quad 12c^2(1+2c)(1+c)\] \[=12.4.5.3=2^4.3^2.5=720\] la formule est surchargée de corrections des facteurs ; le calcul $12.4.5.3$ porte aussi un chiffre biffé

NB Si $c=1$, $\mathcal{G}^{\circ}\simeq\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3$ […] est d'indice $2$ dans \[\mathcal{G}\simeq\mathfrak{S}_2.(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3),\] qui est d'ordre $72=2^3 3^2$. On l'obtient aussi comme le nb des bitriangles épinglés (puisque $\mathcal{G}$ est simpl. transitif dessus) qui est \[12c^2(1+2c)(1+c)=12.1.3.2=72\] $\Downarrow$

Si $c\geqslant1$, le nb de bitriangles $=\frac1{72}$ nb des bitriangles épinglés \[=\frac16\,c^2(1+2c)(1+c)\] en bas à gauche, quelques chiffres de brouillon, en partie biffés ($720$…)

116page barrée d'un long trait oblique, qui ne semble pas annuler les formules

\[xyz=1\] un triangle aux sommets numérotés $1,2,3$ \[\varphi_a:(x,y,z)\longmapsto(x,\,a^{-1}z^{-1},\,a^{-1}y^{-1})\] $a^{-1}=yz$, $y=a^{-1}z^{-1}$, $z=y^{-1}a^{-1}$ \[xyz=1\Longrightarrow x\,a^{-1}z^{-1}a^{-1}y^{-1}=1\] jamais $xyz=1$, — donne $a^{-2}=1$ donc $a^2=1$ : tout élément est d'ordre $2$, ce qui implique que $G$ est $abab=1$ commutatif, donc un vectoriel sur $\mathbb{F}_2$ — et dans la condition est satisfaite. \[\varphi_c\quad(x,y,z)\longmapsto(x,\,z+c,\,y+c)\] \[\varphi_a\varphi_b:\ (x,y,z)\longmapsto(x,\,y+c,\,z+c)\qquad c=a+b\]

$\mathcal{G}$ opère transitivement sur $\widetilde{\Gamma}$

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \mathcal{G}_a \arrow[d, hook] & \\
\mathcal{G}_b \arrow[r, hook] & \mathcal{G} & \mathcal{G}_c \arrow[l, hook']
\end{tikzcd}

ss-groupes invariants qui sont des $\mathbb{F}_2$-vectoriels.

$\mathcal{G}$ opère transitivement sur $\widetilde{\Gamma}\simeq\mathcal{G}/\mathfrak{g}$ ($\mathfrak{g}$ stabilisateur de $\underline{t}\in\widetilde{\Gamma}$)

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & \widetilde{E}_a\simeq\widetilde{E} & \\
 & \widetilde{\Gamma} \arrow[u] \arrow[dl] \arrow[dr] & \\
\widetilde{E}\simeq\widetilde{E}_b & & \widetilde{E}_c\simeq\widetilde{E}
\end{tikzcd}

$\mathcal{G}_a$, […] $\mathcal{G}_b$ opère trans. sur $\widetilde{E}_b$, ⌜$\widetilde{E}_c$⌝), et trivialement sur $\widetilde{E}_a$

$\mathcal{G}_a$ isom. au groupe des parties paires de $E_a$ \[[\,\mathcal{G}_a\to\mathrm{Aut}_{E_a}(\widetilde{E}_a)\ \text{est injectif}\,]\]

117\[\alpha,\beta,\gamma\in[-1,2]\qquad\alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma\] $c_{\beta\gamma}=$ Nb de structures $\tau_\beta$ dans un $\tau_\gamma$

$c'_{\beta\gamma}=$ —— épinglées $\tau_\beta$ dans un $\tau_\gamma$

$N_\beta=$ ⌜$c'_{\beta\beta}=$⌝ ordre groupe autom de $\tau_\beta$ \[(1)\quad \boxed{c'_{\beta\gamma}=N_\beta\,c_{\beta\gamma}}\qquad\text{i.e.}\qquad \boxed{c_{\beta\gamma}=\frac{c'_{\beta\gamma}}{c'_{\beta\beta}}}\] au-dessus du second cadre, biffé : « $N_\beta$ … $N_\alpha=c'_{\alpha\alpha}$ » \[(2)\quad \boxed{c'_{\beta\gamma}=c'_{\alpha,\gamma}\,\nu_{\alpha,\beta,\gamma}}\] $\nu_{\alpha\beta\gamma}=$ nb des structures épinglées $\tau_\beta$ dans un $\tau_\gamma$, prolongeant une structure épinglée $\tau_\alpha$ ⌜donnée⌝,

On calcule les $c_{\beta\gamma}$, $c'_{\beta\gamma}$ ($\gamma$ fixé, ⌜tous les⌝ $\beta\leqslant\gamma$) par récurrence sur $\beta$, […] à partir de $c'_{\beta\gamma}$ […] […] de […] $N_\beta$ […] \[c'_{\beta\gamma}=N_\beta\,c_{\beta\gamma}\] Si $\beta=\gamma$, $c_{\beta\gamma}=1$, $c'_{\beta\gamma}$ il suffit de connaître $c'_{\beta\gamma}$. Et choisissant et pour $\beta=-1$ ($\tau_\beta$ triangle) on a la formule \[c_{-1,\gamma}=\text{nb de triangles \add{de $\tau_\gamma$}} =(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma)\] \[c'_{-1,\gamma}=\text{nb de triangles épinglés de }\tau_\gamma =6(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma)\] On récurre sur $\beta$ ⌜(en prenant $\alpha=\beta-1$)⌝ On a donc si $\beta\neq-1$ (donc $\gamma\geqslant0$, i.e. $\gamma=0,1$ ou $2$) ⌜par $\alpha<\beta$⌝ alors la formule (2) nous donne $c'_{\beta\gamma}$ en fonction de $c'_{\alpha\gamma}$ (déjà connu) et $\nu_{\alpha\beta\gamma}$ (qu'il faut encore déterminer). Reste ([…] […] $\nu_{\alpha\beta\gamma}$) : […] […] $N_\gamma$.

la fin de la page est barrée de traits obliques

On […] peut prendre $\beta=\gamma-1$, considérer le groupe $\mathcal{G}_\gamma$ opérant sur l'ens des $\tau_\beta$ épinglés (au nombre de $c'_{\beta\gamma}$) dans le $\tau_\gamma$, […] $\mathfrak{g}_{\beta\gamma}$ stabilisateur […] il est d'indice $c'_{\beta\gamma}$, et son ordre est $N_{\beta\gamma}$ […] groupe des

118automorphismes de $\tau_\gamma$ induisant l'identité sur $\simeq\tau_\beta$ plongé, d'où \[N_\gamma=N_\beta\,N_{\beta\gamma}\] Donc il suffit de déterminer les ⌜si $0$ $1\leqslant\beta<\gamma$⌝ \[\nu_{\beta-1,\beta,\gamma}\quad\text{et}\quad N_{\gamma-1,\gamma}\ \text{pour}\ \gamma\geqslant0\] devant $\nu_{\beta-1,\beta,\gamma}$, un mot biffé illisible

On trouve \[\nu_{-1,0,\gamma}=2c_\gamma^2\quad \begin{cases}\gamma=0 & 2\\ \gamma=1 & 8=2^3\\ \gamma=2 & 32=2^5\end{cases}\] \[\nu_{0,1,\gamma}=c_\gamma-1\quad \begin{cases}\gamma=1 & 1\\ \gamma=2 & 3\end{cases}\] \[\nu_{1,2,\gamma}=c_\gamma-2=2\ \text{si}\ \gamma=2\] plusieurs essais biffés à gauche de ces valeurs, dont $N_{-1,0}$, $N_{0,1}$, $N_{1,2}$ et un « $\nu_{0,1,2}$ » recouvert

bitriangle en bitriangle

à gauche, des esquisses de bitriangles : quatre petits triangles en ligne, puis une figure de triangles accolés

$c'_{\beta\gamma}$ ($\beta\leqslant\gamma$)

\[c'_{-1,\gamma}=6(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma)\qquad 6\cdot\left\{\begin{array}{l}1.1\\2.3\\3.5\\5.9\end{array}\right.\]

\[\begin{array}{c|c|c|c|c} \beta\backslash\gamma & -1 & 0 & 1 & 2\\\hline -1 & 6=2.3 & 36=2^2.3^2 & 90=2.3^2.5 & 270=2.3^3.5\\\hline 0 & 0 & 2^3.3^2 & 2^4.3^2.5 & 2^6.3^3.5\\\hline 1 & 0 & 0 & 2^4.3^2.5 & 2^6.3^4.5\\ & & & =6!=720 & \\\hline 2 & 0 & 0 & 0 & 2^7.3^4.5 \end{array}\]

119\[c'_{-1,\gamma}=6(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma)\qquad\gamma\geqslant-1\] \[c'_{0,\gamma}=c'_{-1,\gamma}\,\nu_{-1,0,\gamma} =12c_\gamma^2(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma)\qquad\gamma\geqslant0\] \[c'_{1,\gamma}=c'_{0,\gamma}\,\nu_{0,1,\gamma} =12c_\gamma^2(c_\gamma+1)(c_\gamma-1)(2c_\gamma+1)\qquad\gamma\geqslant1\] \[c'_{2,\gamma}=c'_{1\gamma}\,\nu_{1,2,\gamma} =12c_\gamma^2(c_\gamma+1)(c_\gamma-1)(c_\gamma-2)(2c_\gamma+1)\] \[\gamma\geqslant2\ \text{i.e.}\ \gamma=2\] $c_{-1,\gamma}=$ ⌜$\tfrac16\,c'_{-1,\gamma}$⌝ […] $(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma)$

\[c_{0,\gamma}=\frac1{72}\,c_{0,\gamma} =\frac16\,c_\gamma^2(c_\gamma+1)(c_\gamma-1)(2c_\gamma+1)\] ainsi sur la page : $c_{0,\gamma}$ sans prime au second membre, et un facteur $(c_\gamma-1)$ que la ligne $c'_{0,\gamma}$ ne porte pas ; le tableau ci-dessous ($10$, $120$) suit la formule sans ce facteur \[c_{1,\gamma}=\frac1{720}\,c'_{1,\gamma} =\frac1{60}\,c_\gamma^2(c_\gamma-1)(c_\gamma+1)(2c_\gamma+1)\] \[c_{2,\gamma}=1\ \text{—}\] \[\begin{array}{c|c|c|c|c} \beta\backslash\gamma & -1 & 0 & 1 & 2\\\hline -1 & 1 & 6=2.3 & 15=3.5 & 45=3^2.5\\\hline 0 & 0 & 1 & 10=2.5 & 120=2^3.3.5\\\hline 1 & 0 & 0 & 1 & 36=2^2.3^2\\\hline 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\]

120page écrite en travers de la feuille ; un grand tableau à colonnes $c=0,1,2,4$, transcrit ligne par ligne

\[\begin{array}{l|c|c|c|c} & c=0 & 1 & 2 & 4\\\hline \text{Nb de triangles incidents à un sommet : } c+1=e & 1 & 2 & 3 & 5\\ \text{Nb de sommets —— : } 2(c+1) & 2 & 4 & 6 & 10\\ \text{Nb de sommets : } 3(1+2c)=3+6c & 3 & 9 & 15 & 27 \end{array}\] \[\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Nb des arêtes : } 3(c+1)(1+2c) & 3 & 18 & 45 & 135\\ \quad =3(1+3c+2c^2) & & & & \\\hline \text{Nb de triangles } (c+1)(1+2c)=1+3c+2c^2 & 1 & 6 & 15 & 45\\ \text{Nb de triangles verticaux } =3c & 0 & 3 & 6 & 12\\ \text{\phantom{Nb de triangles} transversaux } 2c^2 & 0 & 2 & 8 & 32 \end{array}\] « arêtes » est écrit au-dessus de « triangles » biffé \[2c^2=2\,2^{2\nu}=2^{2\nu+1}\qquad(\nu=-\infty,0,1,2)\] \[\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{NB des sommets antiliés} & 0 & 4=2^2 & 8=2^3 & 16=2^4\\ \text{à un sommet } 4c=2^{\nu+2} & & =2^e & =2^e & =2^{e-1}\\\hline \text{Ordre de } \mathrm{Aut}(S,A) : N_\omega & 6=2.3 & 72=2^3.3^2 & \cdot & 51840\\ & & & & =2^7.3^4.5 \end{array}\] la case $c=2$ de l'ordre de $\mathrm{Aut}(S,A)$ est surchargée : on y lit un $360$ (?) recouvert et une factorisation en $2^{\cdot}.3^{\cdot}.5$ illisible \[\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Nb de } \tau_{-1}\ \text{(triangles) plongés} & 1 & 6=2.3 & 15=3.5 & 45=3^2 5\\ \quad (c+1)(2c+1)=1+3c+2c^2 & & & & \\ \text{Nb de } \tau_0\ \text{(bitriangles plongés)} & 0 & 1 & 10 & 120\\ \quad \tfrac16\,c(c+1)(2c+1) & & & & \\ \text{Nb de } \tau_1\ \text{(tritriangles) plongés} & 0 & 0 & 1 & 36=2^2 3^2\\ \quad \tfrac1{30}\,c(c+1)(2c+1)(c-1) & & & & \end{array}\] « tritriangles » est une lecture incertaine. Dans la ligne $\tau_0$, un « si $c=2^\nu$, $\nu\geqslant1,2$ » est biffé, et la valeur $120$ recouvre une écriture biffée ; le facteur de la ligne $\tau_{-1}$ est surchargé. Les formules $\frac16 c(c+1)(2c+1)$ et $\frac1{30}c(c+1)(2c+1)(c-1)$ sont telles quelles ; pour $c=4$ la seconde donne $18$, non le $36$ inscrit, que donne la formule de la p. 119

comme les figures précédentes, mais avec des $c\geqslant1$ épinglés : \[\begin{array}{c|c|c|c} 6 & 36=2^2 3^2 & 90=2.3^2.5 & 270=2.3^3.5\\\hline 0 & 72=2^3.3^2 & 360=2^3.3^2.5 & 2160=2^4.3^3.5\\\hline 0 & 0 & 720=2^4.3^2 & 2^6.3^4.5\\\hline 0 & 0 & - & 2^7.3^4.5 \end{array}\] dans ce dernier tableau, plusieurs cases sont surchargées ($36$ récrit sur une autre valeur, $2160$ ajouté au-dessus d'un nombre biffé) ; « $720=2^4.3^2$ » est tel quel. Les valeurs de la deuxième ligne diffèrent de celles du tableau des $c'_{0,\gamma}$ de la p. 118 en bas à droite : « $c=2^\nu$ »