Fonds Grothendieck, cote n° 74, pages 101–120 — transcriptionAlexandre Grothendiecktranscription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-10-03)Opus 5.5 (claude-opus-5-5)procédure, outillage, export TEIgrothendieck.commutator.io (Commutator, Paris)Édition de démonstrationCommutatorParis2026-10-03
Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription
est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une
machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La
source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.
https://grothendieck.commutator.ioFranceMontpellierUniversité de MontpellierFonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991)74
Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.).
Pages 101 à 120 de la cote, dans la
numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque
page) ; lot 6 de vingt pages.
Les pages absentes de la transcription ne portent pas de
mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est
le seul enregistrement.[à partir de 1976]Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes.https://grothendieck.umontpellier.fr/74.pdfFac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa
première page est une feuille de garde générée par
l'université : la page n des archivistes
est la page n+1 du PDF, et l'attribut
facs de chaque
pb tient compte de ce décalage.
Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par
conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure
transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier
LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement
par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.
L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et
l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source :
\ill devient gap[@reason='illegible']
(jamais deviné) ; \uncertain devient
unclear ; \supplied devient
supplied (restitué par le transcripteur) ;
\add devient add
(ajout de l'auteur, en interligne ou sur un mot biffé) ;
\struck devient
del (biffé par l'auteur) ;
\note devient note[@type='editorial']
(du transcripteur) ; \drawing devient
note[@type='drawing'] (dessin de l'auteur, décrit par le
transcripteur) ; \marginal devient
note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ;
\page devient pb.
Restitution et ajout de l'auteur n'ont longtemps fait qu'une macro. Ils
ont été séparés le 26 septembre 2026 par une règle vérifiable dans le
fichier, non par une relecture : un ajout accolé au mot qu'il complète
est une restitution (supplied), un ajout
isolé est de l'auteur (add). Certains
add sont donc encore des restitutions du
transcripteur, que seuls les fac-similés départageront.
Les mathématiques sont transportées en TeX dans
formula[@notation='TeX'], les diagrammes
commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'],
sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une
formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de
la formule, sous les mêmes macros.
Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une
faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.
https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-projectfrançais, avec la notation mathématique de l'auteurExport TEI depuis la source LaTeX.Première passe de transcription.
la page reprend une liste de données dont le début (et l'axiome « (Ka) plus haut ») se trouve avant ce lot
a) t_0 ens. de card 3
b) \widetilde{\Gamma} ens. \neq\emptyset avec involution
\sigma_{\widetilde{\Gamma}} (sans pts fixes)
c) Une famille (\widetilde{E}_\alpha)_{\alpha\in t_0} de quotients de
\widetilde{\Gamma}plus
Avec les conditions suivantes
\alpha) Les \widetilde{E}_\alpha stables par \sigma_{\widetilde{\Gamma}}
(dont \sigma_\alpha induites) et les \sigma_\alpha sont sans pts fixes
\beta_{\widetilde{\Gamma}}) \widetilde{E}\forall\alpha,\beta\in t_0,
\alpha\neq\beta, l'application
\widetilde{\Gamma}\xrightarrow{\ \widetilde{\varphi}_{\alpha\beta}\ }
\widetilde{E}_\alpha\times\widetilde{E}_\beta
est injection, et si \widetilde{\Gamma}_{\alpha\beta} est son image,
on a la condition et si s,s'\in\widetilde{E}_\alpha distincts et
conjugués parest une orbite sous\sigma_\alpha(s\neq s') et
t\in\widetilde{E}_\beta, on a : \exists!\ s\in u tel que
(s,t)\in\widetilde{\Gamma}_{\alpha\beta}la ligne se lit « si u\subset\widetilde{E}_\alpha est une orbite sous \sigma_\alpha » une fois l'insertion mise en place ; le « ! » est entouré d'un cadre
(\gamma) entouré l'axiome (Ka) plus haut sur (s_\alpha)_{\alpha\in t_0}
et (t_\alpha)_{\alpha\in t_0}
On peut déduire de \beta), prenant
\Gamma=\widetilde{\Gamma}/\sigma_{\widetilde{\Gamma}},E_\alpha=\widetilde{E}_\alpha/\sigma_\alpha, quesuit un petit diagramme biffé, flèche marquée \varphi_{\alpha\beta}
Soit \Gamma=\widetilde{\Gamma}/\sigma_{\widetilde{\Gamma}},
E_\alpha=\widetilde{E}_\alpha/\sigma_\alpha, d'où i.e. des quotients
E_\alpha de \Gamma\Gamma\xrightarrow{\ \varphi_\alpha\ }E_\alpha ,\qquad
\Gamma\xrightarrow{\ \varphi\ }\prod_{\alpha\in t_0}E_\alpha
et l'axiome c) implique que \forall\alpha,\widetilde{\Gamma}
s'identifie à l'image inverse des revêtements d'ordre 2\widetilde{E}_\alpha de
E_\alpha. Donc la famille de données
a) b) c) avec l'axiome \alpha équivaut à : la donnée de l'ens \Gamma\neq\emptyset et de la famille (E_\alpha)_{\alpha\in t_0} de ses quotients
\varphi_\alpha:\Gamma\to E_\alpha ,\qquad
\varphi:\Gamma\to\prod_{\alpha\in t_0}E_\alpha ,etpuis des rev. d'ordre 2\widetilde{E}_\alpha\xrightarrow{\ p_\alpha\ }E_\alpha\qquad(\alpha\in t_0)
et d'un syst. transitif d'isom. \Gamma- entre les revêtements
\varphi_\alpha^*(\widetilde{E}_\alpha/E_\alpha) de \Gamma (permettant de définir
\widetilde{\Gamma} par identification …) Ceci posé, l'axiome
\beta_{\widetilde{\Gamma}}impliqueéquivaut à l'axiome
\beta_\Gamma) Si \{\alpha,\beta\}\in\mathfrak{P}_2(t_0), alors
\Gamma\xrightarrow{\ \varphi_{\alpha\beta}\ }E_\alpha\times E_\beta
est bijectif
La classification des cas « complexes cubiques généralisés » se
décompose en deux questions exactement
I) Description des systèmes
\bigl(\Gamma\xrightarrow{\ \varphi_\alpha\ }\Gamma_\alpha\bigr)_{\alpha\in t_0}
de quotients (paramétrés par t_0 de card 3) d'un ens
\Gamma\neq\emptyset, satisfaisant l'axiome \beta_\Gamma
II) Pour un tel syst. donné, classifier les « rev. d'ordre 2 » des diagrammes
\bigl(\Gamma\xrightarrow{\ \varphi_\alpha\ }\Gamma_\alpha\bigr)_{\alpha\in t_0}
i.e. des de ces diagrammes particuliers de la forme
les indices du diagramme passent de \alpha à a,b,c ; lecture de E_a et E_b incertaine
puis ceux qui satisfont l'axiome (\gamma)=(\mathrm{Ka})trois traits soulignent la fin de la ligne ; le reste de la page est blanc
page de calculs, barrée de plusieurs traits obliques
s\in\widetilde{E}_a définit
\widetilde{E}_b\overset{f_{s,b}}{\simeq}E_b\times\{\pm1\},
\widetilde{E}_c\overset{f_{s,c}}{\simeq}E_c\times\{\pm1\}\widetilde{E}_b\simeq E
un triangle de sommets s,t,u, traversé par une droite ; à côté (s,s',s'_1)4p^22p^2(s,s'_1) ; puis deux segments s\,t et s'\,t'
diagramme biffé :
\widetilde{\Gamma}\to\widetilde{E}_\alpha\times\widetilde{E}_\beta\to\widetilde{E}_\alpha\times E_\beta\to\widetilde{E},
avec \widetilde{\Gamma}\to\Gamma\simeq E_\alpha\times E_\beta et une flèche vers E
petit graphe : un rectangle partagé par une barre médiane, les deux côtés verticaux doublés d'arcs ; quelques points isolés
en tête de page : une étoile de triangles (deux sommets épais reliés, portant chacun plusieurs triangles), marquée \sigma_{t_0} ; un signe en gras ; deux triangles opposés par un sommet ; un triangle isolé
mot entouré : 0boucles a) — des points isolés
— pas un sommet porte 0 triangle ( : 0arête)
mot entourén=1boucle b) — un triangle
— pas un sommet porte 1 triangle exactement (ou 2 arêtes
contiguës)
c) n\geqslant2boucles — une étoile de quatre triangles en un sommet
— Chaînes de triangles à deux sommets tous les
sommets sauf 1 d'ordre 2, l'autre (l'exceptionnel est d'ordre
\geqslant4)
pour tous les sommets sauf 1 porte exactement un triangle, pour l'excep. il y en
a au moins deux [Alors il y a au moins 4 de sommets par lesquels passe
exactement 1 triangle …]
Car il existe un autre (par) auquel autre
(lié) — unique triangles)
, Si un sommet porte au moins 2 triangles
la page s'arrête là ; la suite manque
Automorphismes des graphes trialitaires
titre de sa main, souligné ; « complexes » y est biffé et remplacé par « graphes »
Soit (S,A) un complexegraphe trialitaire,
\underline{t}=\{a,b,c\} un triangle. On a défini une bijection involution
\sigma_{\underline{t}} de S, …\sigma_{\underline{t}}=\sigma_{\{a,b,c\}}:S\to S
par
\sigma_{\underline{t}}\,|\,\underline{t}=\mathrm{id}_{\underline{t}},\qquad
\sigma_{\underline{t}}\,|\,E_a^{\underline{t}}=\sigma_a^{\underline{t}}
(transforme x\in E_a en l'unique él. de E_a lié à x)
Proposition a) \sigma_{\underline{t}} est un automorphisme du
complexe graphe (S,A), et \underline{t} est l'ens des pts fixes de
\sigma_{\underline{t}}.
b) L'application \underline{t}\mapsto\sigma_{\underline{t}} de T dans
\mathcal{G}=\mathrm{Aut}(S,A) est injective, et a comme image l'ens des autom.
involutifs u de (S,A) tels que l'ens des\mathrm{card}\,S^u=3
C'est évident…
Soit \mathcal{G}=\mathrm{Aut}(S,A). Les \sigma_{\underline{t}} sont
\in\mathcal{G}. Soit \mathcal{G}^{\circ} le groupe qu'ils engendrent. Si
g\in\mathcal{G}, on a
\mathrm{int}(g).\sigma_{\underline{t}}=g\,\sigma_{\underline{t}}\,g^{-1}
=\sigma_{g(\underline{t})}
donc \mathcal{G}^{\circ} est un ss-groupe invariant.
Théorème\mathcal{G}^{\circ} est transitif sur l'ens des arêtes de
(S,A) (i.e. des couples (s,t) de deux pts liés) et
l'ens des faces a fortiori sur l'ens des sommets,
et sur l'ens des triangles ensemble (qui : des ens.
partiels de l'ens …) la fin de l'énoncé est perdue dans les insertions ; on lit encore « dans \mathcal{G}^{\circ} (a fortiori dans \mathcal{G}) » et « ici deux.) »
Sauf exception c\,(=\mathrm{Card}\,E_a)=1 i.e. (S,A) est le
bi-triangle . Alors \mathcal{G} a les transitivités énoncées,
mais \mathcal{G}^{\circ}\simeq\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3 est
d'indice 2 dans \mathcal{G}, ici\mathcal{G}\simeq\mathfrak{S}_2.(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3) ;
\mathcal{G}^{\circ} est encore transitif sur S, mais pas sur A ()
triangles les pointillés …
Cor. Les \sigma_{\underline{t}} (\underline{t}\in T) sont conjugués, et
forment exactement une classe de conjugaison d'éléments de \mathcal{G}^{\circ}
(ou de \mathcal{G})
Résulte des deux lemmes suivants
Lemme 1 Soient s,t\in S, alors
a) Si s,t sont liés, \exists\,\underline{t}\in T tel que
t=\sigma_{\underline{t}}\,s
b) Dans tous les cas, s,t étant non liés\exists\,u\in S tel que s
lié à u et u lié à t, donc (lemme a) des \underline{t},\underline{t}'\in T
tels que u=\sigma_{\underline{t}}\,s, t=\sigma_{\underline{t}'}\,u, donc
t=\sigma_{\underline{t}'}\sigma_{\underline{t}}\,s.
Le lemme a) est clair (prendre poursavoir
sommet des triangles définis par \{s,t\}, le triangle défini un
triangle, et distinct des trois triangles
précédents) ; b) au moins 3 triangles incidents en
chaque sommet … (Supposonsc\neq1 i.e. )
Lemme 2 Soient a\in S, et s,t deux él. de S liés à
a. Alors \exists\,g\in\mathcal{G}^{\circ} (produit de deux
\sigma_{\underline{t}}\sigma_{\underline{t}'}, où \underline{t},\underline{t}'\mapsto2 triangles incidents convenables) tels que u(a)=a,
u(s)=t, u(t)=sla page passe de g à u pour le même élément
Plus précisément, si \underline{t}_0=\{a,b,c\} est un triangle de
sommet a ne contenant ni s ni t (il y en a par l'hyp. que c\neq1 i.e.
c\geqslant2) on peut choisir de plus ulié à\underline{t},\underline{t}') tel que
u\,|\,\underline{t}_0=\mathrm{id}u\,|\,\underline{t}_0=\mathrm{id} i.e.u\,a=a,\quad u\,b=b,\quad u\,c=c, u\,a=a, u\,b=c, u\,c=b.
On peut trouver w\in\mathcal{G}_0 tel que
w\,|\,\underline{t}_0=\underline{t}_0w\,a=a, w\,b=b, w\,c=c) et w\,s=t
en marge gauche, deux figures de triangles accolés : la première avec les triangles \underline{t}, \underline{t}_1, \underline{t}_0 et les sommets s,s',t,t',a,b,c,u,u',v,v' ; la seconde avec t,t',b,c,a,s,u,\bar u
la suite de la page est barrée de longs traits obliques
Recette On choisit u lié à t et scomplète les
triangles\underline{t}=\{a,s,s'\} et \underline{t}_0=\{a,b,c\} (pass' et c) (ce qui …) on
choisit \widetilde{E}_a,\widetilde{E}_b,\widetilde{E}_c etc …) on choisit uentouré\neq a lié à b et à s i.e. u\in\widetilde{E}_b lié
à s, on complète en triangle \{s,u,v\} un (a,s,c) donc
u\in\widetilde{E}_b,\ v\in\widetilde{E}_c \qquad
\{s,u,v\}\in\widetilde{T}\subset Tu'\in\widetilde{E}_b,\ v'\in\widetilde{E}_c \qquad
\{s',u',v'\}\in\widetilde{T}\subset T[\,(b,u,u')\in T,\quad(c,v,v')\in T\,]t,t', S
On peut choisit : échange ; t lié à u,
complète dans un triangle
(t,u,v_1)\in\widetilde{\Gamma}
Alors t' est lié (\widetilde{E}_c) à v', donc par à v', donc à v … de
complète
(t',v,u_1)\in\widetilde{\Gamma}\subset T\quad(\widetilde{E}_b)
Et comme u_1,v_1 — a aussi u'_1\in\widetilde{E}_b, v'_1\in\widetilde{E}_c,
\{b,u_1,u'_1\},\{c,v_1,v'_1\}\in T
, on prendra
\underline{\tau}=\{t',u'_1,v'_1\}, \underline{\tau}'=\{t,u_1,v_1\}ces deux lignes sont barrées de traits obliques
Changeons de notation donnés a,s,t (s,t liés à a, distincts et non liés) on
complète triangles (distincts) \{a,s,s'\}, \{a,t,t'\}, on a triangle
\underline{t}_0 de sommet a distinct des 2 précédents. On choisit u\neq a
lié à s et à t (il est lié à un unique sommet de \underline{t}_0, qui est
distinct de a, disons b), on prend \{s,u,v\}\in T, \{t,u,w\}\in T,
ilqui sont liés à c (et sont distincts de a,s), on
prend les triangles \underline{\sigma}=\{c,v,v'\} et
\underline{\tau}=\{c,w,w'\}, et on considère les symétries
\sigma_{\underline{\sigma}}, \sigma_{\underline{\tau}}, qui commutent
… ( triangles sécants). Car \underline{\sigma},\underline{\tau}
sont des
On a
\sigma_{\underline{\sigma}}\,s=u \quad\text{car } \{s,u,v\}\in T,\ v\in\underline{\sigma}\sigma_{\underline{\tau}}\,u=t \quad\text{car } \{t,u,w\}\in T,\ w\in\underline{\tau}
et fixent cla lettre \underline{\sigma} nommant un triangle est d'une lecture incertaine
enfin, \sigma_{\underline{\sigma}} et \sigma_{\underline{\tau}} échangent a
et b, donc leur produit fixe les pts a,b,c. Donc
W=\sigma_{\underline{\tau}}\,\sigma_{\underline{\sigma}}
transforme (a,s) en (a,t) et induit l'identité dans (a,b,c)
en marge gauche, deux figures : les triangles \{a,s,s'\}, \{a,t,t'\} autour de a ; puis le triangle a,b,c avec u et les triangles \{c,v,v'\}, \{c,w,w'\}
… \sigma_{\underline{\tau}}\,u=s,
\sigma_{\underline{\sigma}}\,s=u donc u=\mathrm{id}, et transforme
\{s,u,v\}\in\widetilde{\Gamma}, \{t,u,w\}\in\widetilde{\Gamma}
NB Supposons qu'il existe r\in\widetilde{E}_c lié à s et t.
Comme s lié à v (donc à v'), t lié à w (donc à w') …
r\neq v,wce NB est barré de traits obliques ; il se poursuit en tête de la p. 112, elle aussi barrée
Corollaire Considérons le le groupe (invariant)
\mathcal{H}^{\circ} des\mathcal{H}=\mathrm{Aut}(S,A;a,b,c)engendréfourni par les
produits d'un nb pair de symétries \sigma_{\underline{t}} relatifs à des
triangles verticaux. Alors \mathcal{H}^{\circ} est transitif sur l'ens
\widetilde{\Gamma} des triangles supérieurs. De façon précise, si
\underline{s},\underline{t}\in\widetilde{\Gamma}, et si
a\in\underline{t}_0, soit b\in t_0, b\neq a tel que
\exists\,u\in\widetilde{E}_b lié aux deux sommets s,t de
\underline{s}, \underline{t} sur a, alors \existsproduitU de
deux symétries relatifs\sigma_v,\sigma_w
(v,w\in E_c=\widetilde{E}_c/2) tel que U\,s=t, doncU\underline{s} et \underline{t} coïncident en a ; et
sommets choix trouver V, produit de deux
symétries relatives en b, en c, tel que
V\,U\,\underline{s}=\underline{t}.Si on pour ,V et U commutent, VU est un automorphisme involutifla moitié inférieure de ce corollaire est barrée d'un grand trait ondulé ; le reste de la page est blanc
Lemme 1 (lorscfini\neq1,2) Soient
s,t\in\widetilde{E}_a, alors \exists\,s_1\in\widetilde{E}_a et
u,v\in\widetilde{E}_b tels que u soit lié à s et s_1, v lié à s_1 et
t.
c'est faux si c=1,2
Soit \widetilde{E}_b(s)=\{u\in\widetilde{E}_b\mid u\text{ lié à }s\}, de même
\widetilde{E}_b(t), ils sont de cardinal c (des sections de
\widetilde{E}_b sur E_b). Si
\widetilde{E}_b(s)\cap\widetilde{E}_b(t)\neq\emptyset, il suffit de prendre
u=vélt dans cette intersection et s_1=s. Nous pouvons donc
supposer
\widetilde{E}_b=\underset{B'}{\widetilde{E}_b(s)}\amalg
\underset{B''}{\widetilde{E}_b(t)}
(comme même\widetilde{E}_b(t)=\widetilde{E}_b(s') cela
impliquera t=s', mais ) On cherche \bar s_1
tel que
\widetilde{E}_b(\bar s_1)\cap\widetilde{E}_b(s)\neq\emptyset,\qquad
E_b(\bar s_1)\cap\widetilde{E}_b(t)\neq\emptyset .
Si un tel \bar s n'existait pas, on aurait
\forall\,\bar r\in\widetilde{E}_a, \widetilde{E}_b(\bar r) est contenu dans
\widetilde{E}_b(s)B' ou B'' et pour des raisons de cardinal
(comme il en est de cardinal c) on aurait
\forall\,r\in A=\widetilde{E}_a,\ \text{\uncertain{ou}}\quad
\widetilde{E}_b(r)=B'\ \text{ou}\ \widetilde{E}_b(r)=B''
Soit
A'=\{r\in A\mid\widetilde{E}_b(r)=B'\},\qquad
A''=\{r\in A\mid\widetilde{E}_b(r)=B''\}=\complement_A A'
donc A'=\sigma_{\underline{t}_0}A'', A''=\sigma_{b}A', et r,r' de de A liés, un et un seul de r,r' est dans A',
l'autre dans A'' — donc A',A'' en deux parties
complémentaires de \widetilde{E}_a
Soit r_1,r_2\in\widetilde{E}_a, r_1\neq r_2r_1\neq r'_1r_1\in A', r'_2\in A''
Soit r_1,r_2\in A', r_2\in A'' et
r'_2\neq(r_1)', \neq, dans A'', \widetilde{E}_b lié :
r_1,r'_2, 2 fois, dans l'ens des pts de \widetilde{E}_c liés : r_1 et
r'_22 fois
page barrée de deux longs traits obliques ; elle continue le NB biffé de la p. 109
et communs sont liés : \{s,u,v\} et \{s,u,w\}
des triangles), maistu, doncr\neq u,w. Donc \sigma_{\underline{s}} et \sigma_{\underline{t}}sont l'identité sur r, donc \sigma_{\underline{s}}\sigma_{\underline{t}}
Donc, si \underline{s},\underline{t}\in\widetilde{\Gamma} sont
deux triangles supérieurs qui coïncident en a au sommet c
(surc) et qui ont les sommets s,t au-dessus de
a, alors, si on peut trouver u\in\widetilde{E}_b lié fois :
s et t, alors
un triangle de sommets a,b,c ; au-dessus, les points s et t reliés à un point marqué ; u à droite
de cardinal c, donc par des raisons de cardinal aussi
\widetilde{E}_c(r_1)=\widetilde{E}_c(r'_2)ce début enchaîne sur la fin de la p. 111
Si maintenantc\geqslant3r_1\neq r_2, de sorte que pour
r_1,r_2\in A' distincts, \exists\,r_3\in A' tel que r_3\neq r_1,r_2. On trouve
donc
\widetilde{E}_c(r_1)=\widetilde{E}_c(r_2)=\widetilde{E}_c(r'_3),
donc tous les \widetilde{E}_c(r_i)(r_i\in A')sont égaux, et \widetilde{E}_c(r_i) sont égaux
sont égaux et égaux aux \widetilde{E}_c(r'_i), or
\widetilde{E}_c(r'_i)=\complement\,\widetilde{E}_c(r_i), ce qui est absurde.
Lemme 2 Soient v_1,v_2\in\widetilde{E}_b,
u\in\widetilde{E}_b lié à s et t,\underline{t}_1=(u,v_1,w_1), \underline{t}_2=(u,v_2,w_2) deux
triangles sup. sur (a,b,c), ayant le sommet u (sur b) en commun.
Considérons \pi=\sigma_{w_1}\sigma_{v_2}l'autre
qui fixe a,b,c) alors \piéchangew_1 et w_2échange les deux triangles parallèles, i.e. \pi u=u,
\pi v_1=w_2, \pi w_1=w_2 (si c\neq1,2)
les indices de \pi sont surchargés ; lecture de \sigma_{w_1}\sigma_{v_2} incertaine
CorollaireSoienta,b deux sommets distincts de
\underline{t}_0, \mathcal{G}_b le s/groupe des autom des
automorphismes de (S,A) engendré par les produits de deuxsymétries par \sigma_{v_1}\sigma_{v_2}, avec
v_1,v_2\in\widetilde{E}_b (donc \mathcal{G}_b est un
\mathbb{F}_2-vectoriel , et il respecte a,b,c) Alors
\mathcal{G}_b est transitif sur \widetilde{E}_a, de façon plus précise, si
s,t\in\widetilde{E}_a, \exists\,\pi\in\mathcal{G}_b produit de 4 symétries de 2formes\sigma_v
(v\in E_b) tel que t=\pi s.
Corollaire plus fort\mathcal{G}_b est transitif sur
\widetilde{\Gamma}, plus précisément, si \bar s,\bar t\in\widetilde{\Gamma}, il
existe un \pi\in\mathcal{G}_b produit de 6 symétries de la forme\sigma_w (w\in E_b) tel que \bar t=\pi\bar s.
ce « corollaire plus fort » est barré de quatre traits obliques ; le reste de la page est blanc
nb de triangles épinglés = nb d'arêtes
\mathrm{trep}=6(1+2c)(1+c)=6(1+3c+2c^2)
nb de bitriangles épinglés : \mathrm{bitrep}=2c^2\,\mathrm{trep}=12c^2(1+2c)(1+c)=12c^2(1+3c+2c^2)
NB Si c=2, les automorphismes de S=(S,A) qui
induisent sur un bitriangle épinglé est
l'identité. Donc le groupe \mathcal{G} des automorphismes est
= le groupe des automorphismes « intérieurs » i.e. le s-gr de
\mathcal{G} engendré par les \sigma_{\underline{t}}, \underline{t}\in T) est
simplement transitif sur l'ens des bitriangles épinglés. Donc ici
\mathcal{G}=\mathcal{G}^{\circ}\quad\text{d'ordre}\quad 12c^2(1+2c)(1+c)=12.4.5.3=2^4.3^2.5=720la formule est surchargée de corrections des facteurs ; le calcul 12.4.5.3 porte aussi un chiffre biffé
NB Si c=1,
\mathcal{G}^{\circ}\simeq\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3 est
d'indice 2 dans
\mathcal{G}\simeq\mathfrak{S}_2.(\mathfrak{S}_3\times\mathfrak{S}_3),
qui est d'ordre 72=2^3 3^2. On l'obtient aussi comme le nb des bitriangles
épinglés (puisque \mathcal{G} est simpl. transitif dessus) qui est
12c^2(1+2c)(1+c)=12.1.3.2=72\Downarrow
Si c\geqslant1, le nb de bitriangles =\frac1{72} nb des bitriangles épinglés
=\frac16\,c^2(1+2c)(1+c)en bas à gauche, quelques chiffres de brouillon, en partie biffés (720…)
page barrée d'un long trait oblique, qui ne semble pas annuler les formules
xyz=1un triangle aux sommets numérotés 1,2,3\varphi_a:(x,y,z)\longmapsto(x,\,a^{-1}z^{-1},\,a^{-1}y^{-1})a^{-1}=yz, y=a^{-1}z^{-1}, z=y^{-1}a^{-1}xyz=1\Longrightarrow x\,a^{-1}z^{-1}a^{-1}y^{-1}=1jamaisxyz=1, — donnea^{-2}=1donca^2=1 : tout élément est d'ordre 2, ce qui implique que G est
abab=1 commutatif, donc un vectoriel sur \mathbb{F}_2 — et dans la
condition estsatisfaite.
\varphi_c\quad(x,y,z)\longmapsto(x,\,z+c,\,y+c)\varphi_a\varphi_b:\ (x,y,z)\longmapsto(x,\,y+c,\,z+c)\qquad c=a+b
\mathcal{G} opère transitivement sur \widetilde{\Gamma}
ss-groupes invariants qui sont des \mathbb{F}_2-vectoriels.
\mathcal{G} opère transitivement sur
\widetilde{\Gamma}\simeq\mathcal{G}/\mathfrak{g} (\mathfrak{g} stabilisateur de
\underline{t}\in\widetilde{\Gamma})
\mathcal{G}_a, \mathcal{G}_b opère trans. sur
\widetilde{E}_b, \widetilde{E}_c), et trivialement sur
\widetilde{E}_a
\mathcal{G}_a isom. au groupe des parties paires de E_a[\,\mathcal{G}_a\to\mathrm{Aut}_{E_a}(\widetilde{E}_a)\ \text{est injectif}\,]
\alpha,\beta,\gamma\in[-1,2]\qquad\alpha\leqslant\beta\leqslant\gammac_{\beta\gamma}= Nb de structures \tau_\beta dans un \tau_\gamma
c'_{\beta\gamma}= —— épinglées \tau_\beta dans un \tau_\gamma
N_\beta=c'_{\beta\beta}= ordre groupe autom de \tau_\beta(1)\quad \boxed{c'_{\beta\gamma}=N_\beta\,c_{\beta\gamma}}\qquad\text{i.e.}\qquad
\boxed{c_{\beta\gamma}=\frac{c'_{\beta\gamma}}{c'_{\beta\beta}}}au-dessus du second cadre, biffé : « N_\beta … N_\alpha=c'_{\alpha\alpha} »(2)\quad \boxed{c'_{\beta\gamma}=c'_{\alpha,\gamma}\,\nu_{\alpha,\beta,\gamma}}\nu_{\alpha\beta\gamma}= nb des structures épinglées \tau_\beta dans un
\tau_\gamma, prolongeant une structure épinglée \tau_\alphadonnée,
On calcule les c_{\beta\gamma}, c'_{\beta\gamma} (\gamma fixé,
tous les\beta\leqslant\gamma) par récurrence sur \beta,
à partir de c'_{\beta\gamma} de
N_\betac'_{\beta\gamma}=N_\beta\,c_{\beta\gamma}
Si \beta=\gamma, c_{\beta\gamma}=1, c'_{\beta\gamma} il suffit de
connaître c'_{\beta\gamma}. Et choisissant et pour \beta=-1
(\tau_\beta triangle) on a la formule
c_{-1,\gamma}=\text{nb de triangles \add{de $\tau_\gamma$}}
=(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma)c'_{-1,\gamma}=\text{nb de triangles épinglés de }\tau_\gamma
=6(1+c_\gamma)(1+2c_\gamma)
On récurre sur \beta(en prenant \alpha=\beta-1)On a donc si \beta\neq-1 (donc \gamma\geqslant0, i.e.
\gamma=0,1 ou 2) par \alpha<\beta alors la formule (2)
nous donne c'_{\beta\gamma} en fonction de c'_{\alpha\gamma}
(déjà connu) et \nu_{\alpha\beta\gamma} (qu'il faut encore déterminer).
Reste (\nu_{\alpha\beta\gamma}) : N_\gamma.
la fin de la page est barrée de traits obliques
On peut prendre \beta=\gamma-1, considérer le
groupe \mathcal{G}_\gamma opérant sur l'ens des \tau_\betaépinglés (au nombre de c'_{\beta\gamma}) dans le \tau_\gamma,
\mathfrak{g}_{\beta\gamma}stabilisateur il est
d'indice c'_{\beta\gamma}, et son ordre est N_{\beta\gamma} groupe des
automorphismes de \tau_\gamma induisant l'identité sur \simeq\tau_\beta
plongé, d'où
N_\gamma=N_\beta\,N_{\beta\gamma}
Donc il suffit de déterminer les si 01\leqslant\beta<\gamma\nu_{\beta-1,\beta,\gamma}\quad\text{et}\quad
N_{\gamma-1,\gamma}\ \text{pour}\ \gamma\geqslant0devant \nu_{\beta-1,\beta,\gamma}, un mot biffé illisible
On trouve
\nu_{-1,0,\gamma}=2c_\gamma^2\quad
\begin{cases}\gamma=0 & 2\\ \gamma=1 & 8=2^3\\ \gamma=2 & 32=2^5\end{cases}\nu_{0,1,\gamma}=c_\gamma-1\quad
\begin{cases}\gamma=1 & 1\\ \gamma=2 & 3\end{cases}\nu_{1,2,\gamma}=c_\gamma-2=2\ \text{si}\ \gamma=2plusieurs essais biffés à gauche de ces valeurs, dont N_{-1,0}, N_{0,1}, N_{1,2} et un « \nu_{0,1,2} » recouvert
bitriangle en bitriangle
à gauche, des esquisses de bitriangles : quatre petits triangles en ligne, puis une figure de triangles accolés
c_{0,\gamma}=\frac1{72}\,c_{0,\gamma}
=\frac16\,c_\gamma^2(c_\gamma+1)(c_\gamma-1)(2c_\gamma+1)ainsi sur la page : c_{0,\gamma} sans prime au second membre, et un facteur (c_\gamma-1) que la ligne c'_{0,\gamma} ne porte pas ; le tableau ci-dessous (10, 120) suit la formule sans ce facteurc_{1,\gamma}=\frac1{720}\,c'_{1,\gamma}
=\frac1{60}\,c_\gamma^2(c_\gamma-1)(c_\gamma+1)(2c_\gamma+1)c_{2,\gamma}=1\ \text{—}\begin{array}{c|c|c|c|c}
\beta\backslash\gamma & -1 & 0 & 1 & 2\\\hline
-1 & 1 & 6=2.3 & 15=3.5 & 45=3^2.5\\\hline
0 & 0 & 1 & 10=2.5 & 120=2^3.3.5\\\hline
1 & 0 & 0 & 1 & 36=2^2.3^2\\\hline
2 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
page écrite en travers de la feuille ; un grand tableau à colonnes c=0,1,2,4, transcrit ligne par ligne
\begin{array}{l|c|c|c|c}
& c=0 & 1 & 2 & 4\\\hline
\text{Nb de triangles incidents à un sommet : } c+1=e & 1 & 2 & 3 & 5\\
\text{Nb de sommets —— : } 2(c+1) & 2 & 4 & 6 & 10\\
\text{Nb de sommets : } 3(1+2c)=3+6c & 3 & 9 & 15 & 27
\end{array}\begin{array}{l|c|c|c|c}
\text{Nb des arêtes : } 3(c+1)(1+2c) & 3 & 18 & 45 & 135\\
\quad =3(1+3c+2c^2) & & & & \\\hline
\text{Nb de triangles } (c+1)(1+2c)=1+3c+2c^2 & 1 & 6 & 15 & 45\\
\text{Nb de triangles verticaux } =3c & 0 & 3 & 6 & 12\\
\text{\phantom{Nb de triangles} transversaux } 2c^2 & 0 & 2 & 8 & 32
\end{array}« arêtes » est écrit au-dessus de « triangles » biffé2c^2=2\,2^{2\nu}=2^{2\nu+1}\qquad(\nu=-\infty,0,1,2)\begin{array}{l|c|c|c|c}
\text{NB des sommets antiliés}
& 0 & 4=2^2 & 8=2^3 & 16=2^4\\
\text{à un sommet } 4c=2^{\nu+2} & & =2^e & =2^e & =2^{e-1}\\\hline
\text{Ordre de } \mathrm{Aut}(S,A) : N_\omega & 6=2.3 & 72=2^3.3^2 & \cdot & 51840\\
& & & & =2^7.3^4.5
\end{array}la case c=2 de l'ordre de \mathrm{Aut}(S,A) est surchargée : on y lit un 360 (?) recouvert et une factorisation en 2^{\cdot}.3^{\cdot}.5 illisible\begin{array}{l|c|c|c|c}
\text{Nb de } \tau_{-1}\ \text{(triangles) plongés}
& 1 & 6=2.3 & 15=3.5 & 45=3^2 5\\
\quad (c+1)(2c+1)=1+3c+2c^2 & & & & \\
\text{Nb de } \tau_0\ \text{(bitriangles plongés)}
& 0 & 1 & 10 & 120\\
\quad \tfrac16\,c(c+1)(2c+1) & & & & \\
\text{Nb de } \tau_1\ \text{(tritriangles) plongés}
& 0 & 0 & 1 & 36=2^2 3^2\\
\quad \tfrac1{30}\,c(c+1)(2c+1)(c-1) & & & &
\end{array}« tritriangles » est une lecture incertaine. Dans la ligne \tau_0, un « si c=2^\nu, \nu\geqslant1,2 » est biffé, et la valeur 120 recouvre une écriture biffée ; le facteur de la ligne \tau_{-1} est surchargé. Les formules \frac16 c(c+1)(2c+1) et \frac1{30}c(c+1)(2c+1)(c-1) sont telles quelles ; pour c=4 la seconde donne 18, non le 36 inscrit, que donne la formule de la p. 119
comme les figures précédentes, mais avec des c\geqslant1
épinglés :
\begin{array}{c|c|c|c}
6 & 36=2^2 3^2 & 90=2.3^2.5 & 270=2.3^3.5\\\hline
0 & 72=2^3.3^2 & 360=2^3.3^2.5 & 2160=2^4.3^3.5\\\hline
0 & 0 & 720=2^4.3^2 & 2^6.3^4.5\\\hline
0 & 0 & - & 2^7.3^4.5
\end{array}dans ce dernier tableau, plusieurs cases sont surchargées (36 récrit sur une autre valeur, 2160 ajouté au-dessus d'un nombre biffé) ; « 720=2^4.3^2 » est tel quel. Les valeurs de la deuxième ligne diffèrent de celles du tableau des c'_{0,\gamma} de la p. 118en bas à droite : « c=2^\nu »