Cote n° 73 · batch 2 · pages 21–28 · Transcription · Polygones : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

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21p. 9 de sa pagination, numéro cerclé en haut à droite. Les notations viennent des pages précédentes (lot 1) : \(u_i\) (\(i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)) sont les côtés d'un polygone fermé, et chaque sommet donne une relation \(\lambda_{i-1} u_{i-2} - \lambda_i (u_{i-1} + u_i) + \lambda_{i+1} u_{i+1} = 0\). Il écrit un produit ou une suite d'arguments avec un long tiret entre les extrémités (« \(\lambda_3\) – \(\lambda_{n-1}\) », « \(\lambda_1\), – \(\lambda_{n-2}\) ») : on le rend ici et dans la suite par \(\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1}\) et \(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2}\)

\[u_3 = \lambda_3^{-1} \, (P_3 u_0 + Q_3 u_1 + R_3 u_2)\] ligne ajoutée au-dessus de la suivante ; l'exposant \(-1\) est lu \[u_i = \frac{\lambda_{i-1}}{\lambda_3 \lambda_4 \cdots \lambda_i} \bigl( P_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{i-1})\, u_0 + Q_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{i-1})\, u_1 + R_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{i-1})\, u_2 \bigr) \qquad (i \geqslant 4)\]

\[\begin{align*} \lambda_{i+1} u_{i+1} &= \lambda_i (u_i + u_{i-1}) - \lambda_{i-1} u_{i-2} \\ &= \frac{1}{\lambda_3 \cdots \lambda_{i-2}} \bigl[ P_i u_0 + Q_i u_1 + R_i u_2 \bigr] + \frac{\lambda_i \lambda_{i-2}}{\lambda_3 \cdots \lambda_{i-1}} \bigl[ P_{i-1} u_0 + Q_{i-1} u_1 + R_{i-1} u_2 \bigr] \\ &\quad - \frac{\lambda_{i-1} \lambda_{i-3}}{\lambda_3 \lambda_4 \cdots \lambda_{i-2}} \bigl[ P_{i-2} u_0 + Q_{i-2} u_1 + R_{i-2} u_2 \bigr] \end{align*}\] un petit « 2 » est écrit au-dessus de « \(R_i u_2\) » à la fin de la deuxième ligne, sans rattachement clair

\[u_{i+1} = \frac{\lambda_i}{\lambda_3 \cdots \lambda_{i+1}} \Bigl\lbrace \lambda_{i-1} \bigl[\quad\bigr]_1 + \lambda_i \lambda_{i-2} \bigl[\quad\bigr]_2 - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} \bigl[\quad\bigr]_3 \Bigr\rbrace\]

Au-dessous, une petite table : \[\begin{array}{ccccc} i-3 & i-2 & i-1 & i & i+1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 \end{array}\]

\[\left\lbrace \begin{array}{l} P_{i+1} = \lambda_{i-1} P_i + \lambda_i \lambda_{i-2} P_{i-1} - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} P_{i-2} \\ Q_{i+1} = \lambda_{i-1} Q_i + \lambda_i \lambda_{i-2} Q_{i-1} - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} Q_{i-2} \\ R_{i+1} = \lambda_{i-1} R_i + \lambda_i \lambda_{i-2} R_{i-1} - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} R_{i-2} \end{array} \right. \qquad i \geqslant 6\] les trois récurrences sont encadrées. Dans les deux premières lignes, les lettres \(P_{i-1}\), \(P_{i-2}\), \(Q_{i-2}\) sont écrites en surcharge d'un \(R\) (ou l'inverse). Sous le cadre, \(5 \leqslant i\) est surchargé et remplacé par \(i \geqslant 6\)

\[P_3 = -\lambda_1, \qquad Q_3 = \lambda_2, \qquad R_3 = \lambda_2\] \(P_i, Q_i, R_i\) formes de degré \(i-3\) (\(i \geqslant 4\)) séparé des valeurs initiales par un trait oblique ; l'indice de \(\lambda_2\) dans \(Q_3\) est surchargé

\[(\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1}) \sum_{0}^{n-1} u_i = \Bigl( \sum_{i=0}^{n-1} P_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2}) \Bigr) u_0 + (\quad) u_1 + (\quad) u_2\] le membre de droite est barré de traits obliques, et une accolade le remplace par : \[\widetilde{P}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_0 + \widetilde{Q}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_1 + \widetilde{R}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_2\]

\(\widetilde{P}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_0 + \widetilde{Q}_{n-1}(\quad)\, u_1 + \widetilde{R}_{n-1}(\quad)\, u_2 = 0\)

\[\begin{align*} \widetilde{P}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}) = (\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1}) &+ \bigl( \lambda_4 \lambda_5 \cdots \lambda_{n-1} P_3 + \lambda_3 \lambda_5 \lambda_6 \cdots \lambda_{n-1} P_4 \\ &\qquad + \lambda_4 \lambda_6 \lambda_7 \cdots \lambda_{n-1} P_5 + \cdots \bigr) \end{align*}\] avant la parenthèse, un début \(\sum_{i=3}^{n-1} \lambda_{i-1} \lambda_{i+1} \cdots\) est biffé. Dans le troisième terme, le \(\lambda_4\) est écrit en surcharge d'un \(\lambda_5\) (lecture)

d'où \[\widetilde{P}_{n-1} \in \mathbf{Z}[\Lambda_1, \ldots, \Lambda_{n-1}]\]

\[(0) \qquad \widetilde{P}_{n-1} u_0 + \widetilde{Q}_{n-1} u_1 + \widetilde{R}_{n-1} u_2 = 0\] la relation est encadrée ; le « (0) » qui la numérote est lu, suivi d'un signe biffé, peut-être un \(\Sigma\)

22p. 10 de sa pagination

\(u_n = \lambda P_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\, u_0 + \cdots\) (\(\lambda_n = \lambda_0\))

\[\underset{\textstyle u_0}{\underset{\shortparallel}{u_n}} = \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1} \lambda_n} \bigl[ P_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}, \lambda_n)\, u_0 + Q_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\, u_1 + R_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\, u_2 \bigr]\] sous chaque \(\lambda_n\), un « \(=\) » vertical et \(\lambda_0\)

\(= u_0\) i.e. \[(1) \qquad \bigl[ \lambda_{n-1} P_n - (\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1} \lambda_n) \bigr] u_0 + \lambda_{n-1} Q_n(\quad)\, u_1 + \lambda_{n-1} R_n(\quad)\, u_2 = 0 \qquad (\lambda_n = \lambda_0)\] encadrée. Le facteur \(\lambda_{n-1}\) devant \(R_n\) est ajouté en interligne

\[\underset{\textstyle u_1}{\underset{\shortparallel}{u_{n+1}}} = \frac{\lambda_n}{\lambda_3 \cdots \lambda_{n+1}} \bigl[ P_{n+1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}, \lambda_n, \lambda_{n+1})\, u_0 + \cdots \bigr] \qquad (\lambda_n = \lambda_0,\ \lambda_{n+1} = \lambda_1)\] \(= u_1\) i.e. \[(2) \qquad \lambda_n P_{n+1}(\quad)\, u_0 + \bigl( \lambda_n Q_{n+1} - (\lambda_3 \lambda_4 \cdots \lambda_{n+1}) \bigr) u_1 + \lambda_n R_{n+1}(\quad)\, u_2 = 0\] encadrée ; le « \(= 0\) » est écrit sous \(u_2\), par un « \(=\) » vertical

\[u_{n+2} = \frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_3 \cdots \lambda_{n+2}} \bigl[ P_{n+2} u_0 + Q_{n+2} u_1 + R_{n+2} u_2 \bigr] = u_2\] \[(3) \qquad \lambda_{n+1} P_{n+2}(\quad)\, u_0 + \lambda_{n+1} Q_{n+2}(\quad)\, u_1 + \lambda_{n+1} R_{n+2}(-)(\lambda_3 \cdots \lambda_{n+2})\, u_2 = 0\] encadrée, telle qu'écrite : entre \(R_{n+2}\) et le produit \((\lambda_3 \cdots \lambda_{n+2})\) il n'y a qu'un tiret entre parenthèses, là où (1) et (2) conduiraient à « \(\bigl(\lambda_{n+1} R_{n+2} - (\lambda_3 \cdots \lambda_{n+2})\bigr) u_2\) » ; le dernier indice du produit est surchargé

i.e. \(A\,A\ A_0(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_0 + A_1(\) \[\left\lbrace \begin{array}{l} A_0^n(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_0 + B_0^n(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_1 + C_0^n(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_2 = 0 \\ A_1^n(\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1})\, u_0 + B_1^n(\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1})\, u_1 + C_1^n(\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1})\, u_2 = 0 \\ A_2^n(\quad)\, u_0 + B_2^n(\quad)\, u_1 + C_2^n(\quad)\, u_2 = 0 \\ A_3^n(\quad)\, u_0 + B_3^n(\quad)\, u_1 + C_3^n(\quad)\, u_2 = 0 \end{array} \right.\] le système porte à gauche une marque \((*)\), surchargée. Les exposants \(n\) de \(A\), \(B\), \(C\) ne sont nets qu'à la première ligne ; ailleurs ils sont réduits à un trait

23p. 11 de sa pagination

\[\begin{array}{c} A_i^n,\ B_i^n,\ C_i^n \in \mathbf{Z}[\Lambda_0, \ldots, \Lambda_{n-1}] \\ \cup \\ A_0^n,\ B_0^n,\ C_0^n \in \mathbf{Z}[\Lambda_1, \ldots, \Lambda_{n-2}] \end{array}\] le signe entre les deux lignes est un \(\cup\), sans doute pour une inclusion écrite verticalement

Prenons \(\lambda_3 = 1\), […] \(\lambda_i\) (\(i \geqslant 4\)) […] les \(u_i\) […] \(\leqslant i \leqslant n-1\)) et

NB Si \(\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3\) fixés, […] [\(u_i\) et les] si de plus on impose donc les \(\lambda_i\) (\(0 \leqslant i \leqslant n-1\)) \(\neq 0\), alors les \(\lambda_i\) (\(4 \leqslant i \leqslant n-1\)) sont déterminés de façon unique. D'ailleurs la relation \[\lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 = 0\] montre que, si \(u_0\), \(u_1 + u_2 = u'_1\), \(u_3\) ne sont pas coll., les \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\) possibles (pour cette relation) forment un espace de dim. \(1\), i.e. \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\) est déterminé à la multiplication près par […] — donc aussi \((\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1})\). Changeant la notation par permutation circulaire, on voit qu'il en est ainsi dès qu'il existe \(i\), avec \(u_i\), \(u_{i+1} + u_{i+2}\), \(u_{i+3}\) non colin. Mais quand […] […] […] […] coll. \(\forall i\) ! les mots « \(u_i\) et les », insérés au-dessus de la première ligne du NB, remplacent un mot biffé ; l'endroit exact où ils se placent n'est pas sûr

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small]
 & & s_2 \arrow[dr, "u_2"] & & \\
s_0 \arrow[r, "u_0"] & s_1 \arrow[ur, "u_1"] & & s_3 \arrow[r, "u_3"] & {}
\end{tikzcd}

croquis en marge gauche du paragraphe : la ligne brisée \(s_0 s_1 s_2 s_3\), côtés \(u_0, \ldots, u_3\), \(u_0\) et \(u_3\) horizontaux

OPS \(u_0, u_1\) lin. indép.

\[\begin{array}{ll} u_1 + u_2 = -\alpha_0 u_0 & \\ u_3 = \beta u_0 & \end{array} \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} u_2 = -\alpha u_0 - u_1 \\ u_3 = \beta u_0 \end{array} \right.\] \(\alpha\) \(u_2 + u_3 = \gamma u_1\), \(u_4 = \delta u_1\) i.e. \[\left\lbrace \begin{array}{l} u_3 = \alpha u_0 + (1 + \gamma) u_1 \\ u_4 = \delta u_1 \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \gamma = -1 \\ \beta = \alpha \end{array}\] dans « \(\beta = \alpha\) », l'\(\alpha\) est écrit en surcharge

24p. 12 de sa pagination

\[u_2 = \alpha u_0 - u_1, \qquad u_3 = \alpha u_0, \qquad u_4 = \delta u_1\] dans les deux premières, un signe \(-\) devant \(\alpha\) est surchargé ou biffé ; un point au-dessus de \(u_1\)

\[u_{i+3} = \alpha_i u_i\] à gauche, un croquis : une ligne brisée de trois segments, sans lettres

\[u_0 \ / \ u_1 \ /\] \[\begin{array}{l} u_2 = -\alpha_0 u_0 - u_1 \\ u_3 = \alpha_0 u_0 \\ u_4 = \alpha_1 u_1 \\ u_5 = \alpha_2 (\alpha_0 u_0 - u_1) \\ u_6 = \alpha_3 \alpha_0 u_0 \\ u_7 = \alpha_4 \alpha_2 (-\alpha_0 u_0 - u_1) \\ u_8 = \alpha_5 \alpha_3 \alpha_0 u_0 \\ u_9 = \alpha_6 \alpha_4 \alpha_2 (-\alpha_0 u_0 - u_1) \end{array}\] tel qu'écrit. Pour \(u_5\) la parenthèse porte un trait qui peut être un signe \(-\) devant \(\alpha_0\) ; pour \(u_8\) un trait relie \(\alpha_5\) à \(\alpha_3\). Les indices de \(u_7\), \(u_8\), \(u_9\) ne suivent pas la règle \(u_{i+3} = \alpha_i u_i\) écrite au-dessus ; ils ne sont pas corrigés. Un « \(=\) » isolé se trouve à gauche de la colonne

\[\left. \begin{array}{l} u_0 \\ u_1 \end{array} \right\rbrace \text{ lin.\ indép.}\] \(\Longrightarrow (u_1, u_2)\) lin. indép., donc tous \((u_i, u_{i+1})\) lin. indép.) (\(\beta_0 = \alpha_0\) et \[\beta_1 = \alpha_1, \qquad \beta_2 = \alpha_2, \qquad \beta_3 = \alpha_3 \alpha_0\]

\[\begin{array}{l} u_2 = -\beta_0 u_0 - u_1 \\ u_3 = \beta_0 u_0 \\ u_4 = \beta_1 u_1 \\ u_5 = \beta_2 u_2 \\ u_6 = \beta_3 u_0 \\ u_7 = \beta_4 u_2 \end{array}\] dans les deux premières lignes, \(\beta_0\) est écrit en surcharge d'un \(\alpha_0\)

\(\underline{u_0}\), \(\underline{u_2}\) lin. indép. \(u_1\) \(= -u_2 - \beta_0 u_0\), \(u_3 = \beta\) ces deux lignes sont entourées d'un trait qui les relie à « \(u_0\), \(u_2\) lin. indép. »

\[u_3 + u_4 = \beta_0 u_0 + \beta_1 u_1 \parallel u_2 = -\beta_0 u_0 - u_1 \qquad \beta_1 = 1 \quad \text{i.e.} \quad u_1 = u_4\]

donc \(u_i = u_{i+3}\) \(u_0 u_1 u_2\)

donc \(n \equiv 0 \ (3)\) ([…] \(u_i = u_{i+1} = \cdots\) \(\forall i\) exclu…) \[\begin{array}{cccccccccc} u_0 & u_1 & u_2 & u_0 & u_1 & u_2 & u_0 & u_1 & u_2 & \ldots \\ & & & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \\ & & & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 & u_7 & u_8 & \end{array}\] la ligne inférieure, très serrée, est lue ; deux indices y sont surchargés

25p. 13 de sa pagination, numéro cerclé

\[\begin{array}{l} u_1 + u_2 \parallel u_0 \\ u_2 + u_0 \parallel u_1 \\ u_0 + u_1 \parallel u_2 \end{array} \qquad \begin{array}{l} u_2 = \alpha_0 u_0 - u_1 \\ u_2 + u_0 = (1 + \alpha_0) u_0 - u_1 \parallel u_1 \quad \text{i.e.} \quad 1 + \alpha_0 = 0, \quad \alpha_0 = -1 \\ u_2 = -u_0 - u_1 \end{array}\] l'\(\alpha_0\) de la première ligne de droite est écrit en surcharge ; dans « \(\alpha_0 = -1\) » l'indice et le \(1\) sont surchargés

Proposition Soit \(u_* = (u_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) une suite de \(n\) vecteurs [[…]] non nuls d'un plan vectoriel \(V\), […] ([…]), et supposons qu'il existe [considérons l'ens. \(N(u_*)\) des] \((\lambda_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) dans \(k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) tels que la suite satisfait les relations \[(*) \qquad \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} (u_i + u_{i+1}) + \lambda_{i+2} u_{i+2} = 0 \qquad \forall i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\] dans la définition, « \(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\) » remplace un premier indice biffé ; « considérons l'ens. \(N(u_*)\) des » est écrit au-dessus de « supposons qu'il existe », biffé. La marque \((*)\) est lue

Conditions équivalentes : […] […] […] un vecteur […] des

Supposons (a) que \(\exists\, (\lambda_i) \in N(u_*)\) tels que […] \(\dim N(u_*) \geqslant 1\)) tous les \(\lambda_i\) soient \(\neq 0\), […] que et \(\dim N(u_*) \geqslant 2\), il […] et […] que […] soit […] colinéaires […] \(\dim_k N(u_*) \geqslant 2\) le passage biffé sur \(\dim N(u_*) \geqslant 2\) est enfermé dans un cadre barré de traits en zigzag ; au pied du cadre, « a) » suivi d'une lettre \(k\). La condition (a) se lit, après corrections : il existe \((\lambda_i) \in N(u_*)\) avec tous les \(\lambda_i \neq 0\), et \(\dim_k N(u_*) \geqslant 2\). Les lettres (a) à (d) sont cerclées

(b) \(\forall i\), \(u_i\), \(u_{i+1} + u_{i+2}\), \(u_{i+3}\) sont col.

(c) \(\forall i\), … \[\left\lbrace \begin{array}{l} u_{i+3} = u_i \\ u_{i+1} + u_{i+2} = -u_i \qquad \forall i \end{array} \right.\] après \(u_{i+3} = u_i\), une suite \(u_0 + u_1 + u_2 = 0\) et un début illisible sont biffés

(d) \[\left\lbrace \begin{array}{l} \forall i \quad u_i = u_{i+3} \\ u_0 + u_1 + u_2 = 0 \end{array} \right.\] après \(u_i = u_{i+3}\), une parenthèse biffée, […] (3), sans doute « \(n \equiv 0\) (3) »

26p. 14 de sa pagination, numéro cerclé

OPS \(k\) infini

Dém. Un \((\lambda_i) \in N(u_*)\) tel que les comp. […] \(\neq 0\) est connu […] quand on connaît trois comp. consécutives, disons \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\) (en utilisant le fait que les \(u_i\) sont \(\neq 0\)), et on en conclut i.e. \[\begin{array}{ccc} N(u_*) & \longrightarrow & k^3 \\ (\lambda_i) & \longmapsto & (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \end{array}\] a un noyau dont des translatés […] [dans \(N(u_*)\)] contenus dans la réunion des hyperplans […] plus un pt \(H_i\) d'équations \(\lambda_i = 0\) (\(i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\)) — donc, le corps \(k\) étant infini, […] ce noyau se réduit à un pt, i.e. est nul. Donc \(N(u_*) \to k^3\) est injectif. Donc \[1 \leqslant \dim N(u_*) \leqslant 3 .\] « a un noyau » est écrit à droite de la flèche, derrière un grand crochet ; « dans \(N(u_*)\) » et « \(H_i\) d'équations » sont en interligne, et la suite de la phrase n'est reconstituée qu'au prix de plusieurs lectures douteuses Lemme (\(N(u_*) \not\subset \bigcup H_i\)) note de marge, écrite en oblique, en face du passage sur les hyperplans, avec un signe de renvoi

Mais OPS […], […] On a \(\dim N(u_*) \neq 3\), i.e. \(N(u_*) \to k^3\) non surjectif — il [l'image] ne contient pas p.ex. \((1, 0, 0)\) (car \(\lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3\) impliquerait \(u_0 = 0\), contraire à l'hyp.). On va regarder le cas \(\dim N(u_*) = 2\). On a \[N(u_*) \simeq \operatorname{Im}\bigl( N(u_*) \to k^3 \bigr) \subset \bigl\lbrace (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \bigm| \lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 = 0 \bigr\rbrace\] \[= \operatorname{Ker}\bigl( (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \mapsto \lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 \bigr)\] donc \[\dim N(u_*) \leqslant \dim \operatorname{Ker} = 3 - \operatorname{rg}(u_0, u_1 + u_2, u_3) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1 \text{ si } \operatorname{rg} = 2 \\ 2 \text{ si } \operatorname{rg} = 1 \end{array} \right.\] sous « \(N(u_*) \simeq\) », un premier \(N(u_*) \longrightarrow\) est biffé. Dans la parenthèse « (car …) », les indices et le signe devant \(\lambda_2\) sont surchargés ; le « \(= 0\) » n'est pas écrit. Dans « \(3 - \operatorname{rg}\) », « rg » est écrit en surcharge de « dim »

27p. 15 de sa pagination, numéro cerclé

donc \(\operatorname{rg} N(u_*) = 2 \Longrightarrow \operatorname{rg}(u_i, u_{i+1} + u_{i+2}, u_{i+3}) = 1\) \(\forall i\) « rg \(N(u_*)\) » tel qu'écrit, pour \(\dim N(u_*)\)

Dém. a) \(\Rightarrow\) b).

Un calcul facile plus haut montre b) \(\Leftrightarrow\) c) et on voit de suite que ceci équivaut à d).

On considère les \((\lambda_i)\) périodiques de période \(3\), tels que \(\lambda_0 u_0 + \lambda_1 u_1 + \lambda_2\) \[\lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} (\underbrace{u_i + u_{i+1}}_{-u_{i-1}}) + \underset{\textstyle \lambda_{i-1}}{\underset{\shortparallel}{\lambda_{i+2}}} (\underset{\textstyle u_{i-1}}{\underset{\shortparallel}{u_{i+2}}}) = 0 \qquad \forall i\] i.e. \[(\lambda_i + \lambda_{i-1} + \lambda_{i+1})\, u_{i-1} = 0\] le premier signe de la relation est surchargé ; dans la dernière formule, un groupe de lettres est noirci entre \(\lambda_{i-1}\) et \(\lambda_{i+1}\)

Ils forment un vectoriel de dim \(2\) !

Dém. d) \(\Rightarrow\) a) la démonstration annoncée n'est pas écrite : le reste de la page est blanc

28p. 16 de sa pagination, numéro cerclé

\(V\) plan vect. \(/k\), \(n\) entier \(\geqslant 1\) le « 1 » est écrit en surcharge d'un autre chiffre, un 3

Théorème \(u_* = (u_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} \in V^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\), les \(u_i \neq 0\) \[N(u_*) = \bigl\lbrace (\lambda_i) \in k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} \bigm| \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} (u_i + u_{i+1}) + \lambda_{i+2} u_{i+2} = 0 \quad \forall i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \bigr\rbrace\] la relation est serrée et surchargée ; les indices des deuxième et troisième \(\lambda\) sont lus d'après la relation \((*)\) de la page 25

Soit \(H_i \subset k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) l'hyperplan coord. \(i\)ème. On a […] l'un des cas mutuellement exclusifs :

(a) \(\dim N(u_*) = 0\) i.e. \(N(u_*) = 0\) [i.e., si \(\sum u_i = 0\), l'application [can.] \(\varphi : \ill{}(V) \to (\det V)^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}\) […] lin. […] \(u_*\)] « Cas général » la lettre devant « \((V)\) » est surchargée, peut-être un \(X\) ; « can. » est ajouté au-dessus de « l'application »

(b) […] \(\dim N(u_*) = 1\) et \[N(u_*) \not\subset \bigcup H_i \qquad \bigl( \Longrightarrow \dim N(u_*) \in \lbrace 1, 2 \rbrace \bigr)\]

(b\(_1\)) \(\dim N(u_*) = 1\) « Cas spécial I »

(b\(_2\)) \(\dim N(u_*) = 2\) \(\Longleftrightarrow\) \(\left\lbrace \begin{array}{l} u_i = u_{i+3} \\ u_0 + u_1 + u_2 = 0 \end{array} \right.\) « Cas hyperspécial »

(c) \(\left\lbrace \begin{array}{l} \exists\, i \text{ tel que } N(u_*) \subset H_i \\ N(u_*) \neq 0 \end{array} \right.\) « Cas spécial II » les lettres (a), (b), (b\(_1\)), (b\(_2\)), (c) sont cerclées. Les quatre noms de cas sont écrits en oblique dans la marge gauche, entre guillemets, et « Cas hyperspécial » est souligné

(\(\Longrightarrow \dim N(u_*) = 1\), si \(\lambda = (\lambda_i) \in N(u_*)\), \(\lambda \neq 0\), […] […]) \(\lambda_{i_0} = 0\), les […] \(i\) tels que \(\lambda_i = 0\) sont ceux pour lesquels \(s_i = s_{i_0}\) (i.e. \(u_{i_0} + \cdots + u_{i-1} = 0\))), car \(\lambda_0 = 0\),

[…] Pour que […] dans le cas c), il faut et il suffit \[\left\lbrace \begin{array}{l} \text{a) } \sum u_i = 0 \\ \text{b) } \forall\, 1 \leqslant i \leqslant n-1, \text{ on ait } u_{i-1}, u_i \parallel u_1, u_{0i} \end{array} \right.\] et si on normalise (\(\lambda_1 = 1\)), on aura \(\lambda_i\) […] défini par \[u_1 u_{0i} = \lambda_i\, u_i u_{i-1}\] bas de page très serré. « \(u_{0i}\) » est lu tel qu'écrit ; le sens n'en est pas fixé sur cette page. Dans « \(\forall\, 1 \leqslant i \leqslant n-1\) » le \(\forall\) est surchargé

\(\exists\, o \in E\), […] \(\Delta \in E\) […] \(o\)), tel que \(\forall i\) tel que […] \(\neq 0\) \(u_{i-1}\) […] \(\parallel \Delta\) et […] \(u_i \parallel\) […] … \(\exists\, i\), […] […] […] note de marge écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, reliée par une double flèche \(\Longleftarrow\) à « Pour que … dans le cas c) » ; plusieurs lignes en sont biffées et la fin, avec une numérotation 1°), 2°), 3°) lue, n'est pas lisible