Fonds Grothendieck, cote n° 73, pages 21–28

p. 9 de sa pagination, numéro cerclé en haut à droite. Les notations viennent des pages précédentes (lot 1) : u_i (i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) sont les côtés d'un polygone fermé, et chaque sommet donne une relation \lambda_{i-1} u_{i-2} - \lambda_i (u_{i-1} + u_i) + \lambda_{i+1} u_{i+1} = 0. Il écrit un produit ou une suite d'arguments avec un long tiret entre les extrémités (« \lambda_3 – \lambda_{n-1} », « \lambda_1, – \lambda_{n-2} ») : on le rend ici et dans la suite par \lambda_3 \cdots \lambda_{n-1} et \lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2}

u_3 = \lambda_3^{-1} \, (P_3 u_0 + Q_3 u_1 + R_3 u_2) ligne ajoutée au-dessus de la suivante ; l'exposant -1 est lu u_i = \frac{\lambda_{i-1}}{\lambda_3 \lambda_4 \cdots \lambda_i} \bigl( P_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{i-1})\, u_0 + Q_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{i-1})\, u_1 + R_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{i-1})\, u_2 \bigr) \qquad (i \geqslant 4)

\begin{align*} \lambda_{i+1} u_{i+1} &= \lambda_i (u_i + u_{i-1}) - \lambda_{i-1} u_{i-2} \\ &= \frac{1}{\lambda_3 \cdots \lambda_{i-2}} \bigl[ P_i u_0 + Q_i u_1 + R_i u_2 \bigr] + \frac{\lambda_i \lambda_{i-2}}{\lambda_3 \cdots \lambda_{i-1}} \bigl[ P_{i-1} u_0 + Q_{i-1} u_1 + R_{i-1} u_2 \bigr] \\ &\quad - \frac{\lambda_{i-1} \lambda_{i-3}}{\lambda_3 \lambda_4 \cdots \lambda_{i-2}} \bigl[ P_{i-2} u_0 + Q_{i-2} u_1 + R_{i-2} u_2 \bigr] \end{align*} un petit « 2 » est écrit au-dessus de « R_i u_2 » à la fin de la deuxième ligne, sans rattachement clair

u_{i+1} = \frac{\lambda_i}{\lambda_3 \cdots \lambda_{i+1}} \Bigl\lbrace \lambda_{i-1} \bigl[\quad\bigr]_1 + \lambda_i \lambda_{i-2} \bigl[\quad\bigr]_2 - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} \bigl[\quad\bigr]_3 \Bigr\rbrace

Au-dessous, une petite table : \begin{array}{ccccc} i-3 & i-2 & i-1 & i & i+1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 \end{array}

\left\lbrace \begin{array}{l} P_{i+1} = \lambda_{i-1} P_i + \lambda_i \lambda_{i-2} P_{i-1} - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} P_{i-2} \\ Q_{i+1} = \lambda_{i-1} Q_i + \lambda_i \lambda_{i-2} Q_{i-1} - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} Q_{i-2} \\ R_{i+1} = \lambda_{i-1} R_i + \lambda_i \lambda_{i-2} R_{i-1} - \lambda_{i-1}^2 \lambda_{i-3} R_{i-2} \end{array} \right. \qquad i \geqslant 6 les trois récurrences sont encadrées. Dans les deux premières lignes, les lettres P_{i-1}, P_{i-2}, Q_{i-2} sont écrites en surcharge d'un R (ou l'inverse). Sous le cadre, ~~5 \leqslant i~~ est surchargé et remplacé par i \geqslant 6

P_3 = -\lambda_1, \qquad Q_3 = \lambda_2, \qquad R_3 = \lambda_2 P_i, Q_i, R_i formes de degré i-3 (i \geqslant 4) séparé des valeurs initiales par un trait oblique ; l'indice de \lambda_2 dans Q_3 est surchargé

(\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1}) \sum_{0}^{n-1} u_i = \Bigl( \sum_{i=0}^{n-1} P_i(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2}) \Bigr) u_0 + (\quad) u_1 + (\quad) u_2 le membre de droite est barré de traits obliques, et une accolade le remplace par : \widetilde{P}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_0 + \widetilde{Q}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_1 + \widetilde{R}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_2

~~\widetilde{P}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_0 + \widetilde{Q}_{n-1}(\quad)\, u_1 + \widetilde{R}_{n-1}(\quad)\, u_2 = 0~~

\begin{align*} \widetilde{P}_{n-1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}) = (\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1}) &+ \bigl( \lambda_4 \lambda_5 \cdots \lambda_{n-1} P_3 + \lambda_3 \lambda_5 \lambda_6 \cdots \lambda_{n-1} P_4 \\ &\qquad + \lambda_4 \lambda_6 \lambda_7 \cdots \lambda_{n-1} P_5 + \cdots \bigr) \end{align*} avant la parenthèse, un début ~~\sum_{i=3}^{n-1} \lambda_{i-1} \lambda_{i+1} \cdots~~ est biffé. Dans le troisième terme, le \lambda_4 est écrit en surcharge d'un \lambda_5 (lecture)

d'où \widetilde{P}_{n-1} \in \mathbf{Z}[\Lambda_1, \ldots, \Lambda_{n-1}]

(0) \qquad \widetilde{P}_{n-1} u_0 + \widetilde{Q}_{n-1} u_1 + \widetilde{R}_{n-1} u_2 = 0 la relation est encadrée ; le « (0) » qui la numérote est lu, suivi d'un signe biffé, peut-être un \Sigma

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~~u_n = \lambda P_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\, u_0 + \cdots~~ (\lambda_n = \lambda_0)

\underset{\textstyle u_0}{\underset{\shortparallel}{u_n}} = \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1} \lambda_n} \bigl[ P_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}, \lambda_n)\, u_0 + Q_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\, u_1 + R_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\, u_2 \bigr] sous chaque \lambda_n, un « = » vertical et \lambda_0

= u_0 i.e. (1) \qquad \bigl[ \lambda_{n-1} P_n - (\lambda_3 \cdots \lambda_{n-1} \lambda_n) \bigr] u_0 + \lambda_{n-1} Q_n(\quad)\, u_1 + \lambda_{n-1} R_n(\quad)\, u_2 = 0 \qquad (\lambda_n = \lambda_0) encadrée. Le facteur \lambda_{n-1} devant R_n est ajouté en interligne

\underset{\textstyle u_1}{\underset{\shortparallel}{u_{n+1}}} = \frac{\lambda_n}{\lambda_3 \cdots \lambda_{n+1}} \bigl[ P_{n+1}(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}, \lambda_n, \lambda_{n+1})\, u_0 + \cdots \bigr] \qquad (\lambda_n = \lambda_0,\ \lambda_{n+1} = \lambda_1) = u_1 i.e. (2) \qquad \lambda_n P_{n+1}(\quad)\, u_0 + \bigl( \lambda_n Q_{n+1} - (\lambda_3 \lambda_4 \cdots \lambda_{n+1}) \bigr) u_1 + \lambda_n R_{n+1}(\quad)\, u_2 = 0 encadrée ; le « = 0 » est écrit sous u_2, par un « = » vertical

u_{n+2} = \frac{\lambda_{n+1}}{\lambda_3 \cdots \lambda_{n+2}} \bigl[ P_{n+2} u_0 + Q_{n+2} u_1 + R_{n+2} u_2 \bigr] = u_2 (3) \qquad \lambda_{n+1} P_{n+2}(\quad)\, u_0 + \lambda_{n+1} Q_{n+2}(\quad)\, u_1 + \lambda_{n+1} R_{n+2}(-)(\lambda_3 \cdots \lambda_{n+2})\, u_2 = 0 encadrée, telle qu'écrite : entre R_{n+2} et le produit (\lambda_3 \cdots \lambda_{n+2}) il n'y a qu'un tiret entre parenthèses, là où (1) et (2) conduiraient à « \bigl(\lambda_{n+1} R_{n+2} - (\lambda_3 \cdots \lambda_{n+2})\bigr) u_2 » ; le dernier indice du produit est surchargé

i.e. ~~A\,A\ A_0(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_0 + A_1(~~ \left\lbrace \begin{array}{l} A_0^n(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_0 + B_0^n(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_1 + C_0^n(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-2})\, u_2 = 0 \\ A_1^n(\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1})\, u_0 + B_1^n(\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1})\, u_1 + C_1^n(\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1})\, u_2 = 0 \\ A_2^n(\quad)\, u_0 + B_2^n(\quad)\, u_1 + C_2^n(\quad)\, u_2 = 0 \\ A_3^n(\quad)\, u_0 + B_3^n(\quad)\, u_1 + C_3^n(\quad)\, u_2 = 0 \end{array} \right. le système porte à gauche une marque (*), surchargée. Les exposants n de A, B, C ne sont nets qu'à la première ligne ; ailleurs ils sont réduits à un trait

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\begin{array}{c} A_i^n,\ B_i^n,\ C_i^n \in \mathbf{Z}[\Lambda_0, \ldots, \Lambda_{n-1}] \\ \cup \\ A_0^n,\ B_0^n,\ C_0^n \in \mathbf{Z}[\Lambda_1, \ldots, \Lambda_{n-2}] \end{array} le signe entre les deux lignes est un \cup, sans doute pour une inclusion écrite verticalement

~~Prenons \lambda_3 = 1, \lambda_i (i \geqslant 4) les u_i \leqslant i \leqslant n-1) et~~

NB Si \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 fixés, u_i et les si de plus on impose donc les \lambda_i (0 \leqslant i \leqslant n-1) \neq 0, alors les \lambda_i (4 \leqslant i \leqslant n-1) sont déterminés de façon unique. D'ailleurs la relation \lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 = 0 montre que, si u_0, u_1 + u_2 = u'_1, u_3 ne sont pas coll., les (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) possibles (pour cette relation) forment un espace de dim. 1, i.e. (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) est déterminé à la multiplication près par — donc aussi (\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1}). Changeant la notation par permutation circulaire, on voit qu'il en est ainsi dès qu'il existe i, avec u_i, u_{i+1} + u_{i+2}, u_{i+3} non colin. Mais quand coll. \forall i ! les mots « u_i et les », insérés au-dessus de la première ligne du NB, remplacent un mot biffé ; l'endroit exact où ils se placent n'est pas sûr

\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=small] & & s_2 \arrow[dr, "u_2"] & & \\ s_0 \arrow[r, "u_0"] & s_1 \arrow[ur, "u_1"] & & s_3 \arrow[r, "u_3"] & {} \end{tikzcd}

croquis en marge gauche du paragraphe : la ligne brisée s_0 s_1 s_2 s_3, côtés u_0, \ldots, u_3, u_0 et u_3 horizontaux

OPS u_0, u_1 lin. indép.

\begin{array}{ll} u_1 + u_2 = -\alpha_0 u_0 & \\ u_3 = \beta u_0 & \end{array} \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} u_2 = -\alpha u_0 - u_1 \\ u_3 = \beta u_0 \end{array} \right. ~~\alpha~~ u_2 + u_3 = \gamma u_1, u_4 = \delta u_1 i.e. \left\lbrace \begin{array}{l} u_3 = \alpha u_0 + (1 + \gamma) u_1 \\ u_4 = \delta u_1 \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} \gamma = -1 \\ \beta = \alpha \end{array} dans « \beta = \alpha », l'\alpha est écrit en surcharge

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u_2 = \alpha u_0 - u_1, \qquad u_3 = \alpha u_0, \qquad u_4 = \delta u_1 dans les deux premières, un signe - devant \alpha est surchargé ou biffé ; un point au-dessus de u_1

u_{i+3} = \alpha_i u_i à gauche, un croquis : une ligne brisée de trois segments, sans lettres

u_0 \ / \ u_1 \ / \begin{array}{l} u_2 = -\alpha_0 u_0 - u_1 \\ u_3 = \alpha_0 u_0 \\ u_4 = \alpha_1 u_1 \\ u_5 = \alpha_2 (\alpha_0 u_0 - u_1) \\ u_6 = \alpha_3 \alpha_0 u_0 \\ u_7 = \alpha_4 \alpha_2 (-\alpha_0 u_0 - u_1) \\ u_8 = \alpha_5 \alpha_3 \alpha_0 u_0 \\ u_9 = \alpha_6 \alpha_4 \alpha_2 (-\alpha_0 u_0 - u_1) \end{array} tel qu'écrit. Pour u_5 la parenthèse porte un trait qui peut être un signe - devant \alpha_0 ; pour u_8 un trait relie \alpha_5 à \alpha_3. Les indices de u_7, u_8, u_9 ne suivent pas la règle u_{i+3} = \alpha_i u_i écrite au-dessus ; ils ne sont pas corrigés. Un « = » isolé se trouve à gauche de la colonne

\left. \begin{array}{l} u_0 \\ u_1 \end{array} \right\rbrace \text{ lin.\ indép.} \Longrightarrow (u_1, u_2) lin. indép., donc tous (u_i, u_{i+1}) lin. indép.) (\beta_0 = \alpha_0 et \beta_1 = \alpha_1, \qquad \beta_2 = \alpha_2, \qquad \beta_3 = \alpha_3 \alpha_0

\begin{array}{l} u_2 = -\beta_0 u_0 - u_1 \\ u_3 = \beta_0 u_0 \\ u_4 = \beta_1 u_1 \\ u_5 = \beta_2 u_2 \\ u_6 = \beta_3 u_0 \\ u_7 = \beta_4 u_2 \end{array} dans les deux premières lignes, \beta_0 est écrit en surcharge d'un \alpha_0

\underline{u_0}, \underline{u_2} lin. indép. ~~u_1~~ = -u_2 - \beta_0 u_0, u_3 = \beta ces deux lignes sont entourées d'un trait qui les relie à « u_0, u_2 lin. indép. »

u_3 + u_4 = \beta_0 u_0 + \beta_1 u_1 \parallel u_2 = -\beta_0 u_0 - u_1 \qquad \beta_1 = 1 \quad \text{i.e.} \quad u_1 = u_4

~~donc~~ u_i = u_{i+3} ~~u_0 u_1 u_2~~

donc n \equiv 0 \ (3) ( u_i = u_{i+1} = \cdots \forall i exclu…) \begin{array}{cccccccccc} u_0 & u_1 & u_2 & u_0 & u_1 & u_2 & u_0 & u_1 & u_2 & \ldots \\ & & & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \shortparallel & \\ & & & u_3 & u_4 & u_5 & u_6 & u_7 & u_8 & \end{array} la ligne inférieure, très serrée, est lue ; deux indices y sont surchargés

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\begin{array}{l} u_1 + u_2 \parallel u_0 \\ u_2 + u_0 \parallel u_1 \\ u_0 + u_1 \parallel u_2 \end{array} \qquad \begin{array}{l} u_2 = \alpha_0 u_0 - u_1 \\ u_2 + u_0 = (1 + \alpha_0) u_0 - u_1 \parallel u_1 \quad \text{i.e.} \quad 1 + \alpha_0 = 0, \quad \alpha_0 = -1 \\ u_2 = -u_0 - u_1 \end{array} l'\alpha_0 de la première ligne de droite est écrit en surcharge ; dans « \alpha_0 = -1 » l'indice et le 1 sont surchargés

Proposition Soit u_* = (u_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} une suite de n vecteurs non nuls d'un plan vectoriel V, (), et ~~supposons qu'il existe~~ considérons l'ens. N(u_*) des (\lambda_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} dans k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} tels que la suite satisfait les relations (*) \qquad \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} (u_i + u_{i+1}) + \lambda_{i+2} u_{i+2} = 0 \qquad \forall i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} dans la définition, « \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} » remplace un premier indice biffé ; « considérons l'ens. N(u_*) des » est écrit au-dessus de « supposons qu'il existe », biffé. La marque (*) est lue

~~Conditions équivalentes : un vecteur des~~

~~Supposons~~ (a) ~~que~~ \exists\, (\lambda_i) \in N(u_*) tels que ~~\dim N(u_*) \geqslant 1)~~ tous les \lambda_i soient \neq 0, ~~que~~ et ~~\dim N(u_*) \geqslant 2, il et que soit colinéaires~~ \dim_k N(u_*) \geqslant 2 le passage biffé sur \dim N(u_*) \geqslant 2 est enfermé dans un cadre barré de traits en zigzag ; au pied du cadre, « a) » suivi d'une lettre k. La condition (a) se lit, après corrections : il existe (\lambda_i) \in N(u_*) avec tous les \lambda_i \neq 0, et \dim_k N(u_*) \geqslant 2. Les lettres (a) à (d) sont cerclées

(b) \forall i, u_i, u_{i+1} + u_{i+2}, u_{i+3} sont col.

(c) \forall i, … \left\lbrace \begin{array}{l} u_{i+3} = u_i \\ u_{i+1} + u_{i+2} = -u_i \qquad \forall i \end{array} \right. après u_{i+3} = u_i, une suite ~~u_0 + u_1 + u_2 = 0~~ et un début illisible sont biffés

(d) \left\lbrace \begin{array}{l} \forall i \quad u_i = u_{i+3} \\ u_0 + u_1 + u_2 = 0 \end{array} \right. après u_i = u_{i+3}, une parenthèse biffée, ~~(3)~~, sans doute « n \equiv 0 (3) »

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OPS k infini

Dém. Un (\lambda_i) \in N(u_*) tel que ~~les~~ comp. \neq 0 est connu quand on connaît trois comp. consécutives, disons \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 (en utilisant le fait que les u_i sont \neq 0), ~~et on en conclut~~ i.e. \begin{array}{ccc} N(u_*) & \longrightarrow & k^3 \\ (\lambda_i) & \longmapsto & (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \end{array} a un noyau dont des translatés dans N(u_*) ~~contenus dans~~ la réunion des hyperplans ~~plus un pt~~ H_i d'équations \lambda_i = 0 (i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}) — donc, le corps k étant infini, ce noyau se réduit à un pt, i.e. est nul. Donc N(u_*) \to k^3 est injectif. Donc 1 \leqslant \dim N(u_*) \leqslant 3 . « a un noyau » est écrit à droite de la flèche, derrière un grand crochet ; « dans N(u_*) » et « H_i d'équations » sont en interligne, et la suite de la phrase n'est reconstituée qu'au prix de plusieurs lectures douteuses Lemme (N(u_*) \not\subset \bigcup H_i) note de marge, écrite en oblique, en face du passage sur les hyperplans, avec un signe de renvoi

Mais ~~OPS ,~~ On a \dim N(u_*) \neq 3, i.e. N(u_*) \to k^3 non surjectif — il l'image ne contient pas p.ex. (1, 0, 0) (car \lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 impliquerait u_0 = 0, contraire à l'hyp.). On va regarder le cas \dim N(u_*) = 2. On a N(u_*) \simeq \operatorname{Im}\bigl( N(u_*) \to k^3 \bigr) \subset \bigl\lbrace (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \bigm| \lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 = 0 \bigr\rbrace = \operatorname{Ker}\bigl( (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \mapsto \lambda_1 u_0 - \lambda_2 (u_1 + u_2) + \lambda_3 u_3 \bigr) donc \dim N(u_*) \leqslant \dim \operatorname{Ker} = 3 - \operatorname{rg}(u_0, u_1 + u_2, u_3) = \left\lbrace \begin{array}{l} 1 \text{ si } \operatorname{rg} = 2 \\ 2 \text{ si } \operatorname{rg} = 1 \end{array} \right. sous « N(u_*) \simeq », un premier ~~N(u_*) \longrightarrow~~ est biffé. Dans la parenthèse « (car …) », les indices et le signe devant \lambda_2 sont surchargés ; le « = 0 » n'est pas écrit. Dans « 3 - \operatorname{rg} », « rg » est écrit en surcharge de « dim »

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donc \operatorname{rg} N(u_*) = 2 \Longrightarrow \operatorname{rg}(u_i, u_{i+1} + u_{i+2}, u_{i+3}) = 1 \forall i « rg N(u_*) » tel qu'écrit, pour \dim N(u_*)

Dém. a) \Rightarrow b).

Un calcul facile plus haut montre b) \Leftrightarrow c) et on voit de suite que ceci équivaut à d).

On considère les (\lambda_i) périodiques de période 3, tels que ~~\lambda_0 u_0 + \lambda_1 u_1 + \lambda_2~~ \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} (\underbrace{u_i + u_{i+1}}_{-u_{i-1}}) + \underset{\textstyle \lambda_{i-1}}{\underset{\shortparallel}{\lambda_{i+2}}} (\underset{\textstyle u_{i-1}}{\underset{\shortparallel}{u_{i+2}}}) = 0 \qquad \forall i i.e. (\lambda_i + \lambda_{i-1} + \lambda_{i+1})\, u_{i-1} = 0 le premier signe de la relation est surchargé ; dans la dernière formule, un groupe de lettres est noirci entre \lambda_{i-1} et \lambda_{i+1}

Ils forment un vectoriel de dim 2 !

Dém. d) \Rightarrow a) la démonstration annoncée n'est pas écrite : le reste de la page est blanc

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V plan vect. /k, n entier \geqslant 1 le « 1 » est écrit en surcharge d'un autre chiffre, un 3

Théorème u_* = (u_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} \in V^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}, les u_i \neq 0 N(u_*) = \bigl\lbrace (\lambda_i) \in k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} \bigm| \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} (u_i + u_{i+1}) + \lambda_{i+2} u_{i+2} = 0 \quad \forall i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z} \bigr\rbrace la relation est serrée et surchargée ; les indices des deuxième et troisième \lambda sont lus d'après la relation (*) de la page 25

Soit H_i \subset k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} l'hyperplan coord. ième. On a l'un des cas mutuellement exclusifs :

(a) \dim N(u_*) = 0 i.e. N(u_*) = 0 [i.e., si \sum u_i = 0, l'application can. \varphi : \ill{}(V) \to (\det V)^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} lin. u_*] « Cas général » la lettre devant « (V) » est surchargée, peut-être un X ; « can. » est ajouté au-dessus de « l'application »

(b) ~~\dim N(u_*) = 1 et~~ N(u_*) \not\subset \bigcup H_i \qquad \bigl( \Longrightarrow \dim N(u_*) \in \lbrace 1, 2 \rbrace \bigr)

(b_1) \dim N(u_*) = 1 « Cas spécial I »

(b_2) \dim N(u_*) = 2 \Longleftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} u_i = u_{i+3} \\ u_0 + u_1 + u_2 = 0 \end{array} \right. « Cas hyperspécial »

(c) \left\lbrace \begin{array}{l} \exists\, i \text{ tel que } N(u_*) \subset H_i \\ N(u_*) \neq 0 \end{array} \right. « Cas spécial II » les lettres (a), (b), (b_1), (b_2), (c) sont cerclées. Les quatre noms de cas sont écrits en oblique dans la marge gauche, entre guillemets, et « Cas hyperspécial » est souligné

(\Longrightarrow \dim N(u_*) = 1, si \lambda = (\lambda_i) \in N(u_*), \lambda \neq 0, ) \lambda_{i_0} = 0, les i tels que \lambda_i = 0 sont ceux pour lesquels s_i = s_{i_0} (i.e. u_{i_0} + \cdots + u_{i-1} = 0)), car \lambda_0 = 0,

Pour que dans le cas c), il faut et il suffit \left\lbrace \begin{array}{l} \text{a) } \sum u_i = 0 \\ \text{b) } \forall\, 1 \leqslant i \leqslant n-1, \text{ on ait } u_{i-1}, u_i \parallel u_1, u_{0i} \end{array} \right. et si on normalise (\lambda_1 = 1), on aura \lambda_i défini par u_1 u_{0i} = \lambda_i\, u_i u_{i-1} bas de page très serré. « u_{0i} » est lu tel qu'écrit ; le sens n'en est pas fixé sur cette page. Dans « \forall\, 1 \leqslant i \leqslant n-1 » le \forall est surchargé

\exists\, o \in E, \Delta \in E o), tel que \forall i tel que ~~\neq 0~~ u_{i-1} \parallel \Delta et u_i \parallel … \exists\, i, note de marge écrite en oblique dans le coin inférieur gauche, reliée par une double flèche \Longleftarrow à « Pour que … dans le cas c) » ; plusieurs lignes en sont biffées et la fin, avec une numérotation 1°), 2°), 3°) lue, n'est pas lisible