Cote n° 72, pages 1–20

Cote n° 72 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Polyèdres réguliers et hyperpolyèdres réguliers (Calculs en dimension quelconque) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1978]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-01.fr.xml

$n$-polyèdres réguliers et représentations de $\mathfrak{G}_n$ dans $O(n+1)$ … (dictionnaire)

titre de sa main, en haut à droite de la feuille de chemise qui est la page 1 ; le signe de « $n+1$ » est d'une lecture incertaine (peut-être $n-1$). À gauche, au crayon, « (23 p) »

2$n \geq 1$ fixé, et $n$-hyperpolyèdre combinatoire épinglé universel $\Pi$, groupe d'autom. \[\mathfrak{G}_n = \lbrace \tau_0, \ldots, \tau_n \mid \tau_i \leftrightarrow \tau_j \ \text{si}\ 0 \leq i, j \leq n,\ i, j\ \text{non cons.} \rbrace\] la flèche double $\tau_i \leftrightarrow \tau_j$ note ici, comme dans la condition a) plus bas, que $\tau_i$ et $\tau_j$ commutent

$S$ schéma de base fixé

autodual $C_{\mathrm{pr}}$ cat. des réal. géom. régulières ⌜non dég.⌝ projectives de $\Pi$ (autodual)

autodual $C'_{\mathrm{pr}}$ cat des systèmes […] $(X, (\tau_i)_{0 \leq i \leq n},$ […] $X_{*})$ ⌜$\tau_j \mapsto \pm 1$⌝ l'ajout est écrit sous la ligne, sous le passage biffé, où se lisait peut-être $\varphi_G : \mathfrak{G}_n \to \ldots$

$X$ fibré projectif, $\tau_i$ $(0 \leq i \leq n)$ ps. réfl. strictes $(\Rightarrow h_i, H_i)$ , $s_0$ section

$X_{*}$ drapeau maximal, avec conditions

a)$\tau_i \leftrightarrow \tau_j$ si $0 \leq i, j \leq n$ $i, j$ non consécutifs.
b)$\tau_i X_j = X_j$ si $0 \leq i \neq j \leq n$
c)$\tau_i X_i \neq X_i$ $0 \leq i \leq n$

NB $C_{\mathrm{pr}}$, $C'_{\mathrm{pr}}$ proviennent par rigidification de catégories $\widetilde{C}_{\mathrm{pr}}$ […] de représentations projectives de $\mathfrak{G}_n$ sans plus note de marge entourée, en regard des conditions a) à c)

NB Au lieu de se donner $X_{*}$, il suffit de se donner un $X_i$ avec $\tau_j X_i = X_i$ $(j \neq i)$ $\tau_i X_i \neq$ $0$ satisfaisant à conditions […] — p. ex. $s_0 = X_0$, tel que […] ⌜$(s_0, (h_i))$⌝ […] engendre linéairement $X$

non autodual $C_{\mathrm{aff}}$ variante affine de $C_{\mathrm{pr}}$ [NB. il n'est plus besoin de se donner $\varphi_G$ […] pour $C'_{\mathrm{aff}}$]

non autodual $C'_{\mathrm{aff}}$ variante affine de $C'_{\mathrm{pr}}$

Attention, $\tau_0$ n'est peut-être pas une ps. réflexion affine, mais $\widehat{\tau}_0$ est une ps. refl. projective (dont l'hyperplan peut être exceptionnellement l'hyperplan à l'$\infty$ …) car $\beta_0 = \mu_0 = 0$ ! ([…] en car. 2..)

autodual $C_{\mathrm{vect}}$ variante vectorielle de $C_{\mathrm{pr}}$ (où $X$ rigidifié comme $P(\mathcal{E})$, et $s_0$ rigidifié par une section de $\mathcal{E}$ — ce qui rigidifie est une donnée de rigidification dans une donnée de catégorie $\widetilde{C}_{\mathrm{vect}}$, éliminant le groupe $G_m$ d'autom..) $\widetilde{C}_{\mathrm{vect}}$, $\widetilde{C}'_{\mathrm{vect}}$ sans $G_m$-épinglage

$C'_{\mathrm{vect}}$ variante variante vectorielle de $C'_{\mathrm{pr}}$ (on laisse tomber […] = le drapeau, remplacé par $h_0 = a_{-1}$ —)

[…] $C^{\infty}_{?}$ cat des $(C, \varphi^{C}_{G} : \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut} C, h_0)$ avec $C$ fibré projectif de rg $n$, $\varphi^{C}_{G}$ hom groupes, $h_0$ section de $C$, avec l'indice de $C^{\infty}$, rendu ici par un point d'interrogation, est illisible ; les pages suivantes ont $C^{\infty}_{\mathrm{vect}}$ et $C^{\infty}_{\mathrm{pr.orth}}$

a)les $\tau^{C}_{i}$ ps. réflex. $(0 \leq i \leq n)$ strictes si $1 \leq i \leq n$, associée à $h_0$ pour $\tau^{C}_{0}$ (qui peut être non strict) $(\Rightarrow h_i, H_i$ pour $1 \leq i \leq n$ — mais pas de $h_0)$

non autodual, sauf si […], i.e. $c \notin C$ en tte fibre NB La donnée de $s_0$ superflue si $\tau^{C}_{0}$ stricte i.e. $\mu_0, \beta_0$ non nuls simultanément

b)$h_i$ $(0 \leq i \leq n)$ engendrent $C$ i.e. lin. indép.
c)$h_i \notin H_{i+1}$ $(0 \leq i \leq n-1)$ en tte fibre

$\widetilde{C}^{\infty}_{\mathrm{vect}}$ variante vectorielle $(V, \varphi^{V}_{\mathfrak{G}}, L_0)$, $V$ fibré vect. rg $n+1$, $\varphi^{V}_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G} \to \operatorname{Aut}(V)$, $L_0$ sous-fibré vect. de rg 1, avec non autodual sauf si $\rho$ inv.

a)les $\tau^{V}_{i}$ $0 \leq i \leq n$ pseudoréflexions strictes pour $1 \leq i \leq n$, et ass. à $L_0$ si $i = 0$ ($\Rightarrow L_i, H_i$, $L'_i$ si $1 \leq i \leq n$)
b)$V = \bigoplus_{0 \leq i \leq n} L_i$
c)$L_i \not\subset H_{i+1}$ $(0 \leq i \leq n-1)$

Alors $L_0 \simeq L_1^{\vee} \simeq L_1 \simeq L_2^{\vee} \simeq L_2 \cdots \simeq L_n^{\vee} \simeq L_n$, soit $L$. On appelle rigidification la donnée d'une base de $L$, (p. ex. d'une base […] de l'un des $L_i$, ou des $L'_i$)

$C^{\infty}_{\mathrm{vect}}$ cat. des objets de $\widetilde{C}^{\infty}_{\mathrm{vect}}$ rigidifiés

$C^{\infty}_{\mathrm{pr.orth}}$ cat. des objets $(C, Q, \varphi^{C,Q}_{\mathfrak{G}}, h_0)$, avec $n \geq 2$, les $\mu_i = 2$ note de marge entourée non autodual sauf si $\rho$ inv. $C$, $\varphi^{C}_{\mathfrak{G}}$ objet de […], $Q$ hyperquadrique […] de $C$ $C$, fibré projectif rg $n$, $Q$ hyperquadrique […], $\varphi^{C,Q}_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut}(C, Q)$, $h_0$ section de $C$, tels que

a)les $\tau^{C,Q}_{i}$ $(0 \leq i \leq n)$ réfl. orth., strictes pour $1 \leq i \leq n$, ass. à $h_0$ si $i = 0$ $(\Rightarrow h_i, H_i$ $1 \leq i \leq n)$
b)$h_i$ $(0 \leq i \leq n)$ engendrent $C$
c)$h_i \notin H_{i+1}$ en tte fibre $(0 \leq i \leq n-1)$

NB Dans le cas […] ⌜$\beta_0 \beta_1$ inv./plus⌝ ([…] ⌜[…]⌝ inv., et $(\beta_1, 2)\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S$ ($\beta_1$ inv. […]) $\Rightarrow$ $(\beta_1, 4 - \beta_0)\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S$ i.e. $\beta_1 = \alpha_1 + 2$ et $4 - \beta_0 = 2 - \alpha_0$ non nuls simultanément) b) équivaut au fait que, sur chaque fibre, il […] d'hyperplan […] […] par $\mathfrak{G}$ … (quelle remarque valant aussi pour $C^{\infty}_{\mathrm{vect}}$, $C^{\infty}_{\mathrm{pr}}$ … explicitation longue note de marge au bas de la page, séparée du texte par un trait oblique ; plusieurs mots en sont biffés ou surchargés

RemNB si $\tau_i$, $\tau_{i+1}$ réflexions strict. orth. i.e. […] inv. Alors $h_i \notin H_{i+1}$ en tte fibre équivaut à $\tau_i \tau_{i+1} \neq \tau_{i+1} \tau_i$ ⌜en tte fibre⌝ i.e. $\rho_i^{2} \neq \mathrm{id}$ en tte fibre. Si donc $\rho_i$ inv. (c) se remplace par ces conditions pour $0 \leq i \leq n-1$ …

4RemNB On aura même $h_0 \in \Gamma(C - Q)$ …

non autodual sauf si $\rho$ inv. $C^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}}$ cat. des syst. $(V, f, \varphi^{V}_{\mathfrak{G}}, a_0)$, avec $V$ fibré vectoriel de rg $n+1$, $f$ forme quadratique non dég. en chaque fibre, $\varphi^{V\,\mathrm{orth}}_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G} \to \operatorname{Aut}(V, f)$, $a_0$ section de $V$, satisfaisant

a)les $\tau^{V}_{i}$ ⌜$(0 \leq i \leq n)$⌝ réflexions orth., les $\tau_i$ $(1 \leq i \leq n)$ non $\neq \mathrm{id}$ en chaque fibre $(\Rightarrow L_i, H_i$ pour $1 \leq i \leq n)$, $\tau_0$ associé à $\mathcal{O}_S a_0$, […] et $\boxed{f(a_0) = 1}$ (de sorte que $\mathcal{O}_S a_0$ ⌜[…]⌝ sous-fibré vect.…)
b), c) comme dessus, avec commentaires correspondants.

On pourrait définir $\widetilde{C}^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}}$, catégorie des systèmes $(V, f, \varphi^{V}_{\mathfrak{G}}, L_0)$, avec […] […] comme dans $C^{\infty}_{\mathrm{vect}}$, $(V, f)$ […] fibré quadratique de rg $n+1$, $\varphi^{V}_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut}(V, f)$, $L_0$ s-fibré de rg 1, tels que a) b) c) comme précédemment, mais $f(a_0) = 1$ remplacé par $f \vert L_0$ […] lisse.

Et […] trouve $C^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}}$ à partir de $\widetilde{C}^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}}$ par rigidification par une section $a_0$ de $L_0$ telle que $f(a_0) = 1$ (les sections formant un torseur sous $\mu_2$ …).

\[C_{\mathrm{pr}} \approxeq C'_{\mathrm{pr}} \approxeq C_{\mathrm{aff}} \approxeq C'_{\mathrm{aff}} \approxeq C_{\mathrm{vect}} \approxeq C'_{\mathrm{vect}} \;\Big\vert\; \approxeq C^{\infty}_{\mathrm{pr}}\] \[\approxeq C^{\infty}_{\mathrm{vect}} \approxeq \;\Big\vert\; C^{\infty}_{\mathrm{pr.orth}} \approxeq C^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}}\] les signes $\approxeq$ rendent un $\approx$ posé sur un long trait horizontal. Deux traits verticaux coupent la chaîne ; au premier est accrochée la mention « $n \geq 2$ (explicités variante si $n = 1$ !) », au second « si de plus les $\lambda_i = -1$ i.e. les $\tau_i$ des réflexions. »

5Soit $G_0$ l'image de $\mathfrak{G}_n$ dans $\operatorname{Aut}(\mathcal{E}, V)$ (un mot biffé, […], avant $V$), on a un diagramme

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=small]
 & \operatorname{Aut}(X, C) \arrow[r] & \operatorname{Aut}(C) \\
G_0 \arrow[r, hook] & \operatorname{Aut}(\mathcal{E}, V, f) \arrow[u] \arrow[r] & \operatorname{Aut}(V, f) \arrow[u]
\end{tikzcd}

au-dessus de $\operatorname{Aut}(X, C)$ est écrit $\operatorname{Aut}(\mathcal{E}, f, \pi, \pi')$ ; en tête de la ligne du haut un « $G_0 \to$ » est biffé, et plusieurs lettres (un indice sous $\operatorname{Aut}(X, C)$, les seconds arguments des deux $\operatorname{Aut}$ de droite) sont surchargées ou biffées

On cherche […] les noyaux de \[G_0 \longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \operatorname{Aut}(X, \ldots) \\ \operatorname{Aut}(V) \end{array} \right. \longrightarrow \operatorname{Aut}(C)\] le second argument du premier $\operatorname{Aut}$ est biffé

a) $\operatorname{Ker}(\operatorname{Aut}(\mathcal{E}, V, f) \to \operatorname{Aut}(X))$ est formé des homothéties qui conservent $f$, donc isom. $\mu_2$. En fait, $G_0$ conserve mieux que $(\mathcal{E}, f, V)$, il conserve $(\mathcal{E}, f, \pi, \pi')$ ⌜[…] $f$⌝, donc si c'est une homothétie c'est l'identité : $G_0$ opère fidèlement sur $X$.

b) $\operatorname{Ker}(\operatorname{Aut}(\mathcal{E}, f, \pi, \pi') \to \operatorname{Aut}(V))$ est formé des […] […] de la forme \[\mathrm{id} + \pi' \otimes a \qquad (a \in \Gamma \mathcal{E}),\] devant $\pi'$, un signe biffé, illisible qui conservent $\pi, \pi', f$. Ils conservent $\pi$ sss […] $\rho a = 0$ (donc $a = 0$ si $\rho$ inv., plus gén. si $\rho$ est régulier) (NB $\langle \pi, \pi' \rangle = \rho$), et ils conservent $\pi'$ sss : \[\langle a, \pi' \rangle \pi' = \ldots \quad \text{i.e.} \quad \langle a, \pi' \rangle = 0 \quad \text{i.e.} \quad \boxed{a \in V.}\] trois courts passages biffés et illisibles dans cette ligne : après le premier $\langle a, \pi' \rangle$, au second membre de la première égalité (rendu ici par $\ldots$), et devant le second $\langle a, \pi' \rangle$ Conserver $f$ signifie \[f(a)\pi' + \psi(a) = 0\] la formule porte à gauche un repère entouré, peut-être « 8 » d'où […] en […] $\psi'$ \[f(a) \underbrace{\psi'(\pi')}_{-\sigma' \pi} + \underbrace{\psi' \psi(a)}_{\beta a} = 0 \quad \text{i.e.} \quad \beta a = \sigma' f(a) \pi\] devant $\sigma'$ dans le dernier membre, une petite marque illisible, peut-être biffée

6Si $\beta$ inversible ça conduit $a = \lambda \pi$, dans l'équation précédente (8) devient \[f(a)\pi' + \lambda \underbrace{\psi(\pi)}_{-\sigma \pi'} = 0 \quad \text{i.e.} \quad \sigma \lambda = \lambda^{2} \underbrace{f(\pi)}_{-\widetilde{\sigma}\widetilde{\rho}}\] $\beta \lambda \pi = \sigma' \lambda^{2} f(\pi) \ldots$

i.e. \[\beta \lambda = \sigma' \lambda^{2} \underbrace{f(\pi)}_{-\widetilde{\sigma}\widetilde{\rho}} \qquad \text{i.e.} \quad \lambda(\sigma + \lambda \widetilde{\sigma}\widetilde{\rho}) = 0\] les deux colonnes sont écrites côte à côte : à gauche la variante en $\beta$, $\sigma'$, à droite celle en $\sigma$ i.e. \[\lambda(\beta + \sigma' \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho} \lambda) = 0, \quad \text{en plus de } \rho \lambda = 0\] Si on est dans un anneau intègre, cela veut que soit $\lambda = 0$ i.e. $u = \mathrm{id}$, soit $\beta + \sigma' \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho} \lambda = 0$ ce qui implique (comme $\beta$ inv. par hyp.) $\sigma' \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho}$ inversible (et $\lambda = -\frac{\beta}{\sigma' \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho}}$) absurde si $\rho = \rho$ […] (on impose) qui implique $\lambda = 0$ (puisque $\rho \lambda = 0$), comme $\rho = 2\widetilde{\rho}$, si $2$ inv. […] ⌜[…]⌝ ce résultat. Mais si […] […], […] $\rho = 0$ dans $\rho \lambda = 0$ pour en conclure, il reste la condition ([…] et […]) $\sigma + \lambda \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho} = 0$ […] on $\sigma \sigma' = \beta + \gamma \rho = \beta$ […] […], donc ⌜$\sigma$, $\sigma'$ et⌝ $\widetilde{\sigma} = \widetilde{\sigma}'$ […] inv., la condition devient $1 + \lambda \widetilde{\rho} = 0$ i.e. $\widetilde{\rho}$ inv. et $\lambda = -\frac{1}{\widetilde{\rho}}$. Ainsi « absurde si $\rho = \rho$ » : le second membre porte peut-être un accent ; lecture incertaine

Prop Sur un anneau intègre, si $\beta$ ou $\rho$ $\neq 0$, alors le seul $u \in \operatorname{Aut}(\mathcal{E}, f, \pi, \pi')$ induisant l'identité dans $V$ est l'identité, sauf dans le cas […] $\beta \neq 0$, $n$ pair, $(\rho = 2\rho')$ car. 2 $(\rho = 2\rho' = 0)$, $\rho'$ inv. auquel cas le seul autre $u$ est \[\mathrm{id} - \frac{1}{\widetilde{\rho}}\, \pi' \otimes \pi = \mathrm{id} + \frac{1}{\widetilde{\rho}} \langle \pi', \ldots \rangle\] i.e. l'antipodisme le premier signe est surchargé d'une tache, le second pourrait être un $\pm$ ; les arguments du crochet, au bord de la feuille, sont illisibles. L'énoncé écrit $\rho'$ là où la formule écrit $\widetilde{\rho}$

7[Il reste à voir ce que ça donne si $\beta = 0$, $\rho = 0$ donc $\sigma \sigma' = 0$. Posons \[a = \sum_{0}^{n} \lambda_i a_i, \quad \text{d'où} \quad \psi(a) = \sum -\lambda_i (\beta_0 - \beta_{i-1}) a_i,\] \[f(a) = \sum_{0}^{n} \lambda_i^{2} (\beta_0 - \beta_{i-1}) + (\lambda_0 \lambda_1 \beta_0 + \lambda_1 \lambda_2 (\ldots) + \cdots + \lambda_{n-1} \lambda_n (\beta_0 - \beta_{n-1}))\] les indices des $\beta$ sont d'une lecture incertaine ($\beta_{i-1}$ ou $\beta_{i+1}$) ; le coefficient de $\lambda_1 \lambda_2$ est surchargé et illisible, et le signe qui ouvre la seconde somme est repassé ———— ]

Regardons enfin le noyau de \[\operatorname{Aut}(\mathcal{E}, f, \pi, \pi') \longrightarrow \operatorname{Aut}(\overset{C}{\overbrace{P(V)}})\] le $C$ est écrit au-dessus de $P(V)$, qui est donc $C$ […] les $u$ […] […] qui induisent une homothétie sur $V$. Cette homothétie $\varepsilon$, conservant $f \vert V$, doit être dans $\mu_2$, donc $\varepsilon u$ conserve est l'identité sur $V$, donc de la forme \[\varepsilon u = \mathrm{id}_{\mathcal{E}} + \pi' \otimes \varepsilon a \qquad (a \in \mathcal{E})\] un $\varepsilon$ biffé devant $\pi'$

A ——— $\varepsilon\,\mathrm{id}$.

$u =$ $u = \varepsilon\,\mathrm{id} + \pi' \otimes a$ (un $\varepsilon$ biffé devant $a$) conserve $f, \pi, \pi'$.

Conserve $\pi, \pi'$ \[\pi = \varepsilon \pi + \rho a \quad \text{i.e.} \quad \boxed{(1 - \varepsilon)\pi = \rho a}\] \[\pi' = \varepsilon \pi' + \langle a, \pi' \rangle \pi' \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\langle a, \pi' \rangle = 1 - \varepsilon}\] dans chacune des deux lignes, un $\varepsilon$ biffé devant le dernier terme du second membre. À droite de la seconde ligne, un premier cadre $\varepsilon(1 + \langle a, \pi' \rangle) = 1$ est biffé ; dans le cadre retenu, un $\varepsilon a$ devant le crochet est biffé, et le $1$ du second membre est repassé

Enfin, conservation de $f$ ⌜[…]⌝ (signifie) \[\boxed{f(a)\pi' + \varepsilon \psi(a) = 0}\]

8la moitié supérieure de la page, jusqu'au calcul entouré inclus, est barrée de longs traits obliques ; elle se lit et est donnée ici Plaçons-nous sur un corps $k$, et supposons $\varepsilon \neq 1$. (donc car. $\neq 2$) — le cas $\varepsilon = 1$ étant le cas déjà traité (sous la restriction que $\beta, \rho$ non nuls tous deux). On doit donc avoir $\rho$ inv. par la première équation, donc \[a = \frac{\ldots}{\rho}\, \pi = \lambda \pi \quad \Bigl(\lambda = \frac{2}{\rho}\Bigr)\] le numérateur de la première fraction, biffé, se lit $1 - \varepsilon$ ; un mot biffé et illisible suit la parenthèse la 2^e équation donne $\rho \lambda = 2$ déjà satisfaite, enfin la dernière s'écrit \[\lambda^{2} \underbrace{f(\pi)}_{-\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}} \pi' + \varepsilon \lambda \underbrace{\psi(\pi)}_{-\sigma \pi'} = 0\] i.e. \[\lambda(\underbrace{\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}\lambda}_{\frac{2\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}}{\rho} = \frac{\rho\widetilde{\sigma}}{\rho} = \widetilde{\sigma}} + \varepsilon \sigma) = 0\] le dernier membre de l'accolade, $\widetilde{\sigma}$ ou $\sigma$, est d'une lecture incertaine

ce qui exige […] $\lambda \neq 0$ […] \[\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}\lambda + \varepsilon \sigma = 0\] dans ces trois formules, le signe $+$ devant $\varepsilon$ est biffé sur la page, sans rien qui le remplace ; il est donné tel qu'écrit ; dans la deuxième, un signe biffé et illisible ouvre la parenthèse ou encore […] $\sigma = \widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}$ $(\ldots)\frac{2\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}}{\rho} + \varepsilon\sigma = 0$ ces trois lignes sont enfermées dans une grande boucle et en partie griffonnées

Sur un anneau intègre, les seuls cas pour $\varepsilon$ sont $\varepsilon = +1$ (déjà étudié, sous la restriction que $\rho, \beta$ non tous deux inv.) et $\varepsilon = -1, \neq +1$ (donc car. $\neq 2$) auquel cas […] […] de car. $\neq 2$) d'où \[\rho a = 2\pi \quad \text{donc} \quad a = \frac{2}{\rho}\pi, \qquad \varepsilon u = -\mathrm{id} + \pi' \otimes \frac{2}{\rho}\pi\] sous $a = \frac{2}{\rho}\pi$, une mention de deux mots, illisible, reliée par un trait à la ligne suivante ; dans $\varepsilon u$, de petites marques en exposant devant $\pi'$ et devant la fraction, illisibles c'est l'antipodisme, dont on sait bien qu'il conserve $f$ et […] $\pi, \pi'$ … Donc

Proposition ⌜(Corps de base)⌝ Prop Si $\beta$ ou $\rho$ est inv. […] alors le seul automorphisme de $(\mathcal{E}, f, \pi, \pi')$ qui induise l'identité

9sur $C = \check{P}(V)$, est l'antiidentité identité et l'antipodisme (défini […] si $\widetilde{\rho}$ inv. (car. […] […] pair) ou si $\rho$ […] comme \[\underline{a} = \mathrm{id}_{\mathcal{E}} - \frac{1}{\widetilde{\rho}}\, \pi' \otimes \pi \ \text{si $n$ pair}, \qquad \underline{a} = \mathrm{id}_{\mathcal{E}} - \frac{2}{\underset{\widetilde{\rho} = \rho}{\widetilde{\rho}}}\, \pi' \otimes \pi \ \text{si}\] $n$ impair — dans ce dernier cas, c'est d'ailleurs l'identité en car. 2.] le $C$ initial est repassé ; le crochet fermant répond peut-être à celui qui ouvre la page 7. Le reste de la page est blanc

10Dualité […]

La condition $\rho$ inversible suffit pour que l'accouplement naturel entre $V$ et $V'$ soit une dualité — elle implique donc que $C$ et $C'$ sont en dualité l'un avec l'autre. Si de plus $\beta$ inv. i.e. […] $f \vert V$ non dég. i.e. $\psi_V : V \simeq V'$, on trouve un iso entre […] $C$ et $C'$ qui commute : $\mathfrak{G}$ et transforme donc $Q_C$ en $Q_{C'}$. Donc dans ce cas \[(C, Q_C) \simeq (C', Q_{C'})\]

Le passage d'un […] polyèdre régulier projectif épinglé, avec son dual, sous ces conditions, en termes de $C^{\infty}_{\mathrm{pr.orth}}$, s'exprime donc par la conservation de $(C, Q_C)$, et en […] ⌜remplaçant⌝ $\tau^{C}_{0} \ldots \tau^{C}_{n}$ par $\tau^{C}_{n} \ldots \tau^{C}_{0}$ (i.e. $\varphi^{C}_{\mathfrak{G}}$ par $\varphi^{C}_{\mathfrak{G}} \circ \theta$, où $\theta : \mathfrak{G} \to \mathfrak{G}$ échange $\tau_i$ et $\tau_{n-i}$) — ici il est inutile de préciser une section $a_0$ ⌜rigide⌝ de $C$, puisque $\beta_0, \beta_n$ inversibles. le reste de la page est blanc

11Soit maintenant $\Pi$ hyperpolyèdre comb. de dim. $n$, $G$ le groupe de ses automorphismes, $R_{\Pi}$ $G$-torseur des repères — son commutant est un quotient ⌜privilégié⌝ $\mathfrak{G}_{\Pi}$ de $\mathfrak{G}$,

$C_{\mathrm{pr}}(\Pi)$ cat. des réal. géom. régulières non dégénérées de $\Pi$ $\Longrightarrow \varphi_G : G \to \operatorname{Aut}(X, \ldots)$. la flèche $\Longrightarrow$ et la suite sont écrites sous la ligne et reliées par un trait à « non dégénérées »

[…]

À tt $r \in R$ correspond un objet de $C_{\mathrm{pr}}$ (du universel épinglé) et pour $r \in R$ variable, on a un système transitif d'iso. entre ces objets. Donc $C_{\mathrm{pr}}(\Pi)$ s'identifie ⌜(pour $\Pi$ fixé)⌝ à la ⌜sous-⌝cat. pleine des couples $(\ldots)$ de $C_{\mathrm{pr}}$ formée des $(X, \varphi_{\mathfrak{G}}, \ldots)$ tels que $\varphi_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G} \to \operatorname{Aut}(X)$ se factorise par le quotient $\mathfrak{G}_{\Pi}$ de $\mathfrak{G}$. On fait opérer à droite $\mathfrak{G}_{\Pi}$ sur $R_{\Pi}$ via son action à gauche, et on s'établit par tordre $(X, \varphi_{\mathfrak{G}}, \ldots)$ en \[R_{\Pi} \wedge^{\mathfrak{G}_{\Pi}} X\] Même procédé pour les autres descriptions — par $C'_{\mathrm{pr}}(\Pi)$ etc. …

Autre point de vue : On ne se donne pas $\Pi$, mais seulement un ⌜groupe⌝ quotient déterminé $\mathfrak{G}_0$ de $\mathfrak{G}$, […] correspondant à un hyperpolyèdre régulier combinatoire épinglé. On considère ses hyperpolyèdres réguliers

12combin. de type $\mathfrak{G}_0$ sur $S$ comme la donnée d'un torseur ⌜$R_0$⌝ sous $\mathfrak{G}_S$, permettant de tordre $\Pi_0$. Une représentation de ce […] $\Pi$ ⌜[…]⌝ (variant : la donnée (en plus de $\Pi$) d'un objet de $C_{\mathrm{pr}}$ ou d'une des cat. équivalentes. Donc la cat. des réal. géom. projectives (disons) dans $C$ des hyperpolyèdres comb. réguliers tordus sur $S$, de type $\mathfrak{G}_0$, est équivalente à la cat. produit de $C_{\mathrm{pr}}$[…] (ou d'une de ses variantes) et de la cat. des $\mathfrak{G}_0$-torseurs. la parenthèse ouverte après « variant » n'est pas refermée ; le $\mathfrak{G}_S$ de la deuxième ligne est peut-être $\mathfrak{G}_{0}$ ou $G_S$. Sous le texte, un long trait de crayon ondulé descend en diagonale ; le reste de la page est blanc

13$\Pi$ $n$-quasi-polyèdre comb. épinglé universel

$G = \mathfrak{G}_n$ son groupe d'autom., engendré par $(\tau_i)_{0 \leq i \leq n}$

$S$ schéma de base

NB $C$ catégorie rigide, dont les classes d'iso. sont en corr. 1-1 avec $\Gamma(S, \mathcal{O}_S)^{2n-1}$ via $\lbrace \lambda_0, \alpha_0,$ $\lambda_1, \alpha_1,$ $\ldots,$ $\lambda_{n-1}, \alpha_{n-1},$ $\lambda_n \rbrace$ l'exposant $2n-1$ est d'une lecture incertaine ; la liste qu'il compte a $2n+1$ termes

$\boxed{C_0}$ = catégorie ⌜(groupoïde)⌝ des réalisations géom. non dég. projectives sur $S$ $\simeq$ Catégorie des triples $(X,$ $(\tau_i)$ $(\tau_i)_{0 \leq i \leq n}, s_0)$, $X$ fibré projectif de rg $n+1$, sur $S$, $\tau_i$ une pseudo-réflexion stricte de $X$ (d'où centre $h_i$, co-centre $H_i$) $0 \leq i \leq n$, $s_0$ section de $X$ sur $S$, avec conditions

1)[…] $(h_i)_{0 \leq i \leq n}$ engendrent ⌜lin. indép.⌝ en chaque fibre ($\Longrightarrow$ $C$ hyperplan dans $X$)
1')[…] $(H_i)$ lin. indép. en chaque fibre ($\Longrightarrow$ $c$, section de $X$)
2)$\tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i$ si $0 \leq i, j \leq n$, $i, j$ non consécutifs ($\Longleftrightarrow$ $h_i \subset H_j$ […] & $0 \leq i, j \leq n$, $i, j$ non consécutifs) ⌜conséquence de 1, 5⌝
3)$h_i \notin H_{i+1}$ en […] tte fibre $0 \leq i \leq n-1$ ($\Longrightarrow$ […] $\tau_i, \tau_{i+1}$ ne commutent pas)
4)$s_0 \subset H_i$ $(1 \leq i \leq n)$
5)$s_0 \notin H_0$ en tte fibre […]

« conséquence de 1, 5 » est écrit sous le $\Longleftrightarrow$ de la condition 2) et lui est relié par un trait ; les chiffres sont d'une lecture incertaine

NB 1') est conséquence des autres conditions 1) 2) 3) 4) 5) ; mais en l'absence d'un $s_0$ ct 4) 5), il faut imposer 1') (ce qui revient à 3) rapportée autrement) […] — une note de plusieurs lignes écrite en oblique entre la marge et le texte, contre le trait vertical qui embrasse les conditions ; se lisent « condition », « $s_0$ », « si $x$ », « il existe »

NB Il y a lieu d'introduire aussi la cat. des couples $(\mathcal{E}, \varphi^{\mathcal{E}}_{G})$ $(\mathcal{E}, \tau_i)$ (sans rig. $s_0$ …)

$\boxed{C''}$ = cat des triples $(V, \varphi^{V}_{G}, L_0)$, $V$ fibré vectoriel de rg $n+1$ sur $S$, $\varphi^{V}_{G} : G \to \operatorname{Aut}(V)$ hom. de groupes, $L_0 \subset V$ sous-fibré inv., tels que le $V$ et le $\varphi$ du triple sont repassés sur d'autres lettres ; le $L_0$ remplace un mot biffé

1)$\forall\, 0 \leq i \leq n$, $\varphi^{V}_{G}(\tau_i)$ ⌜$\tau^{V}_{i} \overset{\mathrm{def}}{=}$⌝ est une ps. réflexion de $V$, stricte si $1 \leq i \leq n$, et associée : $L_0$ si $i = 0$ (pas nécessairement stricte si $i = 0$). On en conclut des $L_i \subset V$, $L'_i \subset V'$ (ss-fibrés inv.) $1 \leq i \leq n$
2)$V = \bigoplus L_i$, […] [2') des $(L'_i)_{1 \leq i \leq n}$ indép.] en chaque fibre (i.e. $\bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i$ droite sur chaque fibre] $\boxed{\ }$
3)$L_0 \subset H_i$ si $i \geq 2$ (NB est conséquence de 1), 2) si $\tau^{V}_{0}$ ps. refl. stricte) et […] […] $H_i = (L'_i)^{\perp}$

le « $\Delta_d$ » écrit au-dessus de « droite » est d'une lecture incertaine ; la condition 3) est barrée de traits obliques

NB 1), 2) $\Rightarrow L_i \subset H_j$ si $1 \leq i, j \leq n$ $i, j$ non cons. NB 2') est conséquence des autres conditions y inclus 3), et 3) est conséquence des autres y inclus

34)$L_i \not\subset H_{i+1}$ $0 \leq i \leq n-1$, en tte fibre i.e. $L_i \otimes L'_{i+1} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{O}_S$

sous la flèche, reliée à elle : « hom. can. induit par $V \otimes \check{V} \to \mathcal{O}_S$ » (le premier facteur est repassé)

$C'_0$

$C'_0$ = Cat des triples précédents rigidifiés par une section $a_0$

NB De 4) on tire \[\left\lbrace \begin{array}{ll} L_i, L'_{i+1} \ \text{en dualité} & (0 \leq i \leq n-1) \ \text{donc} \\ L_i \xrightarrow{\ \sim\ } L'^{\vee}_{i+1} & (0 \leq i \leq n-1) \end{array} \right.\] De 1) on tire \[\begin{array}{l} L'_i \otimes L_i \xleftarrow{\ \sim\ } \mathcal{O}_S \\ \tau^{V}_{i} - \mathrm{id}_V \longmapsto 1 \end{array} \qquad \Big\vert \quad 1 \leq i \leq n\] dim. donc \[L'_i \underset{\mathrm{can}}{\simeq} L_i^{\vee} \qquad 1 \leq i \leq n\] On en conclut de proche en proche des isos \[L_0 \simeq L_1'^{\vee} \simeq L_1 \simeq L_2'^{\vee} \simeq L_2 \cdots \simeq L_n'^{\vee} \simeq L_n\] d'où \[V \simeq \mathbf{L} \otimes \mathcal{O}_S^{\,n+1} \qquad \text{iso can.}\] le $\mathbf{L}$ est écrit en gras sur la page et n'est pas défini ; c'est le fibré en droites commun de la chaîne précédente

$\boxed{C'_0}$ = cat des triples $(V, \varphi^{V}_{G}, L_0)$ rigidifiés par une section ⌜-base⌝ $a_0$ de $L_0$, i.e. des triples $(V, \varphi^{V}_{G}, a_0)$, $a_0$ de $V, \varphi^{V}_{G}$ comme dessus, $a_0$ section $\neq 0$ en tte fibre, satisfaisant les conditions 1) à 4) où on fait $L_0 = \mathcal{O}_S a_0$ [le fait que $a_0$ est $\neq 0$ en chaque fibre est déjà contenu dans […] la première condition 4), si on l'écrit $a_0 \notin H_1$ en tte fibre …]

15Un tel $V$ a donc une base canonique ⌜$(a_0, a_1, \ldots, a_n)$⌝ (indépendante par le $a_0$ donné) de telle façon que, si $a_i$ forme base de $L_i$ ⌜$0 \leq i \leq n$⌝, […] puis on ait \[\tau_i = \mathrm{id} + a_i^{\vee} \otimes a_i\] avec $a_i^{\vee} \in \Gamma \check{V}$ bien déterminé, et \[\langle a_i, a_{i+1}^{\vee} \rangle = 1 \qquad 0 \leq i \leq n-1\] (on a donc exprimé déjà 1), 2) sur $(\tau_i^{\vee})$ 1), 2) 3)), il en reste deux reste : exprimer […] la commutation des $\tau_i \tau_j$ pour $i, j$ non consécutifs, ce qui s'exprime par \[L_i \subset \operatorname{Ker}(a_j^{\vee}) \quad \text{si} \quad 0 \leq i, j \leq n, \ i, j \ \text{non consécutifs.}\] On aura donc \[\left\lbrace \begin{array}{l} a_0^{\vee} = (\lambda_0 - 1) a_0^{*} + \beta_0 a_1^{*} \\[4pt] a_i^{\vee} = \xi\, a_{i-1}^{*} + (\lambda_i - 1) a_i^{*} + \beta_i a_{i+1}^{*} \qquad 1 \leq i \leq n-1 \\[4pt] a_n^{\vee} = a_{n-1}^{*} + (\lambda_n - 1) a_n^{*} \end{array} \right.\] les $a_i^{*}$ sont, semble-t-il, la base duale de $(a_i)$. Le premier coefficient de la ligne médiane, rendu $\xi$, est un signe douteux ; la borne $1 \leq i$ remplace un $0$ biffé ; la dernière ligne porte $a_{n-1}^{*}$ sans coefficient. Dans la première ligne, un premier membre $(\lambda_0 - 1) a_0^{*} + \beta_0 a_1^{*}$ est surchargé et récrit au-dessus

NB $a_0^{\vee} = 0$ sss $\lambda_0 = 1$, $\beta_0 = 0$. Donc $\tau_0$ ps. réfl. stricte sss […] ⌜[…]⌝ $\forall\, s \in S$, on a $\lambda_0(s) \neq 1$ ou $\beta_0(s) \neq 0$, i.e. sss $(\lambda_0 - 1)\mathcal{O}_S + \beta_0 \mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S$ note de marge entourée d'un trait

Scholie On a un foncteur $C \to C'_0$ évident \[(\mathcal{E}, \tau_{*}, s_0) \longmapsto (V_{*} \ldots\] qui est une équivalence de catégories le second membre de la flèche est inachevé

$\boxed{C''_0}$ […] Considérons la catégorie des […] ⌜triples⌝ $(C, \varphi^{C}_{G}, h_0)$, où $C$ est un fibré projectif de rg $n$, $\varphi^{C}_{G} : G \to \operatorname{Aut}(C)$ hom. de groupes, $h_0$ section de $C$, avec conditions $n \geq 2$

1)$\forall\, 0 \leq i \leq n$, $\tau_i \overset{\mathrm{def}}{=} \varphi^{C}_{G}(\tau_i)$ est une pseudo-réflexion, qui est stricte si $1 \leq i \leq n$, et associée au centre $h_0$ si $i = 0$ ([…] pas nécess. stricte) — d'où $h_i, H_i$ $(1 \leq i \leq n)$
2)Les $h_i$ $0 \leq i \leq n$ lin. indép. en chaque fibre
3)$h_i \notin H_{i+1}$ en tte fibre $(0 \leq i \leq n-1)$

16On a un foncteur \[C'_0 \longrightarrow C''_0\] c'est une équivalence de catégories si $n \geq 2$ (mais non si $n = 2$) ainsi sur la page : « si $n \geq 2$ » (souligné deux fois), puis « (mais non si $n = 2$) » ; l'un des deux porte peut-être $n = 1$

En effet, loc. on peut écrire $C = \check{P}(V)$, et remonter de façon unique ⌜(si $n \geq 2$ !)⌝ les ⌜ps. réflex.⌝ $\tau^{C}_{i}$ en des ⌜ps. réfl.⌝ $\tau^{V}_{i}$, qui vont satisfaire aux mêmes conditions de commutation. Le module $V$ est déterminé modulo $\otimes L$, $L$ inv., et cette indétermination est levée par la rigidification $L_0 \simeq \mathcal{O}_S$ … « (si $n \geq 2$ !) » est écrit dans la marge gauche et relié par un trait à « de façon unique »

NB Rescholie Donc Si $n \geq 2$, on a donc \[C_0 \xrightarrow{\ \approx\ } C'_0 \xrightarrow{\ \approx\ } C''_0\]

$n \geq 2$ Formes quadratiques […] invariantes sur $V$ si […] Celles qui sont $\neq 0$ sur tte fibre correspondent 1-1 aux hyperquadriques ⌜$Q_C$⌝ de $C = P(V)$, invariantes par $\varphi^{C}_{\mathfrak{G}}$. Supposons ici $\lambda_i = -1$ $\forall\, i$ (condition […] nécessaire pour qu'il existe une $f$ […] inv. non dég. $f_V(a_i)$ inv. …) Il faut écrire dans le groupe $\mathfrak{G}$ ou $G$ … les relations $\tau_i^{2} = 1$ \[f_V(a_i) a_i^{\vee} + \psi_V(a_i) = 0 \qquad 0 \leq i \leq n\] sous $f_V(a_i)$, un signe $=$ vertical renvoie à $c_i$ i.e. \[\varphi_V(a_i, a_j) = -c_i \langle a_j, a_i^{\vee} \rangle \qquad 0 \leq i, j \leq n\] donc la formule est précédée d'un repère illisible, peut-être « a) » ou un petit cercle \[\varphi_V(a_i, a_j) = 0 \qquad i, j \ \text{non consécutifs.}\]

17b) $\varphi_V(a_i, a_i) = c_i \langle a_i, a_i^{\vee} \rangle$ ligne biffée ; sous ses deux membres, les accolades portent $-2c_i$ et $-2$

\[\text{b)} \quad \underset{\substack{\Vert \\ 2 f(a_i) = 2c_i}}{\varphi_V(a_i, a_i)} = -c_i \underbrace{\langle a_i, a_i^{\vee} \rangle}_{-2} \qquad 0 \leq i \leq n \quad \text{OK}\] \[\text{c)} \quad \varphi_V(a_i, a_{i+1}) = -c_i \underbrace{\langle a_{i+1}, a_i^{\vee} \rangle}_{\beta_i} = -c_{i+1} \underbrace{\langle a_i, a_{i+1}^{\vee} \rangle}_{?} \qquad 0 \leq i \leq n-1\] l'accolade sous le dernier crochet porte une valeur surchargée, illisible (rendue ici par un point d'interrogation) ; d'après la page 15, $\langle a_i, a_{i+1}^{\vee} \rangle = 1$ i.e. \[\left\lbrace \begin{array}{l} \varphi_V(a_i, a_{i+1}) = -c_{i+1} \\ c_{i+1} = \beta_i c_i \end{array} \right.\] \[c_i = (\beta_0 \cdots \beta_{i-1}) c_0 \qquad 1 \leq i \leq n\] la borne supérieure de l'intervalle est d'une lecture incertaine donc $f_V$ multiple de \[\begin{aligned} \underbrace{f_V^{0}}\Bigl(\sum_{0}^{n} x_i a_i\Bigr) &= \sum_{i=0}^{n} (\beta_0 \cdots \beta_{i-1}) x_i^{2} + \sum_{0 \leq i \leq n-1} (\beta_0 \cdots \beta_i) x_i x_{i+1} \\ &= x_0^{2} + \beta_0 x_1^{2} + (\beta_0 \beta_1) x_2^{2} + \cdots + (\beta_0 \beta_1 \cdots \beta_{n-1}) x_n^{2} \\ &\quad + \beta_0 x_0 x_1 + \beta_0 \beta_1 x_1 x_2 + \cdots + (\beta_0 \cdots \beta_{n-1}) x_{n-1} x_n \\ &= x_0^{2} + \beta_0 x_1 (x_0 + x_1) + (\beta_0 \beta_1) x_2 (x_1 + x_2) + \cdots \\ &\quad + (\beta_0 \cdots \beta_{n-1}) x_n (x_{n-1} + x_n). \end{aligned}\] pour la suite noter $f_V$ les termes rectangles sont écrits avec le signe $+$. Or les relations c) ci-dessus donnent $\varphi_V(a_i, a_{i+1}) = -c_{i+1} = -(\beta_0 \cdots \beta_i) c_0$, ce qui, pour $c_0 = 1$, conduirait au coefficient $-(\beta_0 \cdots \beta_i)$ devant $x_i x_{i+1}$ ; ou bien un signe s'est perdu, ou bien la convention (signe des $\beta_i$, normalisation de $\varphi_V$) n'est pas celle qui est supposée ici. La page ne tranche pas. Le regroupement de la dernière égalité est conforme à l'avant-dernière

Donc dans $C$ il y a une seule hyperquadrique $Q_C$ invariante par $\mathfrak{G}$, et on a donc en fait \[G \longrightarrow \operatorname{Aut}(C, Q_C)\] $G \to SO(V, f_V)$ sous la dernière flèche, une seconde ligne, reliée à la première par une petite flèche verticale, est biffée ; on y lit $G \to SO(V, f_V)$, lecture incertaine

18Ceci nous amène à introduire

$\boxed{C'''_0}$ = cat. des triples ⌜quadruples⌝ $(C, Q_C, \varphi^{C}_{G}, h_0)$, NB $n \geq 2$ $C$ fibré projectif de rg $n$, $Q_C$ hyperquadrique dans $C$, $\varphi^{C}_{G} : G \to \operatorname{Aut}(C, Q_C)$, $h_0$ section de $C$, satisfaisant les conditions

a)les $\tau^{C}_{i} \overset{\mathrm{def}}{=} \varphi^{C}_{G}(\tau_i)$ sont des ps. réfl., strictes si $1 \leq i \leq n$, et associées à $h_0$ si $i = 0$ (peut être triviale si $i = 0$) $\Longrightarrow$ $h_i$ $(1 \leq i \leq n)$, $H_i$ $(1 \leq i \leq n)$
b)Les $h_i$ lin. indép. en chaque fibre
c)$h_i \notin H_{i+1}$ en tte fibre $(0 \leq i \leq n-1)$

NB $\tau^{C}_{0}$ est strict. ortho. sss c'est une réflexion stricte, ce qui p. sss $\beta_0 \neq 0$ i.e. sss $\forall\, s$, $\beta_0(s) \neq 0$ ou $k(s)$ de car. $\neq 2$

et les $\tau_0$ stricts ([…]) NB si $Q_C$ est lisse, alors […] équivalent : les $H_i$ […] […] deux lignes biffées d'un même trait sinueux

NB Supposons les $\tau_i$ stricts orthogonaux ⌜dans $C$ […]⌝, i.e. les $\beta_i$ inv. (il en est ainsi si $Q_C$ est lisse …) Alors la condition c) équivaut à

c')$(\tau_i \tau_{i+1})^{2} = \mathrm{id}$ dans chaque fibre, i.e. $\tau_i$ ne commute pas à $\tau_{i+1}$ en chaque fibre $0 \leq i \leq n-1$

la page porte bien « $= \mathrm{id}$ » ; la paraphrase qui suit (« ne commute pas ») et la condition c) demandent $(\tau_i \tau_{i+1})^{2} \neq \mathrm{id}$, comme à la page 3 (« $\rho_i^{2} \neq \mathrm{id}$ en tte fibre »). Probable lapsus, non corrigé

La condition b) s'énonce ainsi

b')Pour tt $s \in S$, la rep. ⌜de $G$⌝ induite sur $C_s$ est irréductible [[…] suffisance claire, pour la nécessité il faut travailler un peu …]

? le point d'interrogation est dans la marge gauche, en regard de la parenthèse carrée ; le reste de la page est blanc

19A) Cas $n$ pair $\geq 2$, donc $C$ de rang $n$ pair aussi, donc $V$ de rang impair, donc \[O(f_V) \supset SO(f_V) \times \mu_2, \quad \text{et}\] \[SO(f_V) \hookrightarrow \operatorname{Aut}(C, Q_C)\] En fait, l'hom. \[G \xrightarrow{\ \varphi^{C}_{G}\ } \operatorname{Aut}(C, Q_C)\] se factorise à travers $SO(f_V)$ \[G \xrightarrow{\ \psi^{V}_{G}\ } SO(f_V)\] On notera que \[\psi^{V}_{G}(\tau_i) = -\varphi^{V}_{G}(\tau_i) = -\tau^{V}_{i}\] le $\psi^{V}_{G}$ du premier membre est surchargé

Ex $n = 2$, alors Supposons $f_V$ lisse lisse i.e. $Y = Q_C$ une fibrée en droites projectives i.e. $\beta_0, \beta_1$ et $\beta_0 + \beta_1 - 4 = \alpha_0 + \alpha_1$ inv., alors \[\underset{\substack{\Vert \\ \alpha_0 + 2}}{\beta_0},\ \underset{\substack{\Vert \\ \alpha_1 + 2}}{\beta_1}\] \[SO(f_V) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Aut}(Q_C),\] donc la donnée de $\varphi^{C}_{G}$ ou $\psi^{V}_{G}$ équivaut à celle des fibrés en droites projectives $Y$ $(= Q_C)$, et de l'opération de $G$ dessus via $\tau^{Y}_{0}, \tau^{Y}_{1}, \tau^{Y}_{2}$. Traduisons les conditions explicitées plus haut sur $\varphi^{C}_{G}$ en termes de $\varphi^{Y}_{G}$ (NB ici $\beta_0$ inv. donc $\tau_0$ réflexion stricte, donc $h_0$ s'en déduit, est un $2$-rejet […] $C$ de $Y$) avec $\beta_i = \alpha_i + 2$, on a bien $\beta_0 + \beta_1 - 4 = \alpha_0 + \alpha_1$. La dernière ligne, serrée au bas de la feuille, est d'une lecture très incertaine

1)$\forall\, 0 \leq i \leq 2$, $\tau^{C}_{i}$ est $\neq 1$ en chaque fibre [$\Longrightarrow$ $h_0, h_1, h_2$ $H_0, H_1, H_2$ dans $C$]
2)$h_0, h_1, h_2$ lin. indép. en chaque fibre (à expliciter […] en termes de […]) $\Longleftrightarrow$ $\forall$ tte fibre […] $Y_{\bar{s}}$, il n'existe pas de diviseurs $\Delta_s$ dans $Y_s$ de degré 2, invariant par $\varphi^{Y}_{G}$, i.e. pas de restriction à une structure soit de droite affine, soit de droite affine torseur sous $G_m$ … (ou équivalent sous $G_m$ …) c'est sans doute ce qui exclut le cas « diédral »
3)$\tau^{C}_{0} \tau^{C}_{1} \overset{\mathrm{def}}{=} \rho_f$ et $\tau^{C}_{1} \tau^{C}_{2} \overset{\mathrm{def}}{=} \rho_s$ sont tels que \[\rho_f^{2} \neq \mathrm{id}_{Y}, \quad \rho_s^{2} \neq \mathrm{id}_{Y} \quad \text{sur chaque fibre.}\] (cela exprime la non commutation de $\tau_0, \tau_1$ et de $\tau_1, \tau_2$, sur chaque fibre

au-dessus de « à expliciter », une surcharge biffée, illisible. Les indices $f$ et $s$ de $\rho$ sont d'une lecture incertaine ; le premier $\mathrm{id}$ porte un indice surchargé. La parenthèse finale n'est pas refermée ; le reste de la page est blanc

\(n\)-polyèdres réguliers et représentations de \(\mathfrak{G}_n\) dans \(O(n+1)\) … (dictionnaire)