Fonds Grothendieck, cote n° 72, pages 1–20

n-polyèdres réguliers et représentations de \mathfrak{G}_n dans O(n+1) … (dictionnaire)

titre de sa main, en haut à droite de la feuille de chemise qui est la page 1 ; le signe de « n+1 » est d'une lecture incertaine (peut-être n-1). À gauche, au crayon, « (23 p) »

n \geq 1 fixé, et n-hyperpolyèdre combinatoire épinglé universel \Pi, groupe d'autom. \mathfrak{G}_n = \lbrace \tau_0, \ldots, \tau_n \mid \tau_i \leftrightarrow \tau_j \ \text{si}\ 0 \leq i, j \leq n,\ i, j\ \text{non cons.} \rbrace la flèche double \tau_i \leftrightarrow \tau_j note ici, comme dans la condition a) plus bas, que \tau_i et \tau_j commutent

S schéma de base fixé

autodual C_{\mathrm{pr}} cat. des réal. géom. régulières non dég. projectives de \Pi (autodual)

autodual C'_{\mathrm{pr}} cat des systèmes (X, (\tau_i)_{0 \leq i \leq n}, X_{*}) \tau_j \mapsto \pm 1 l'ajout est écrit sous la ligne, sous le passage biffé, où se lisait peut-être \varphi_G : \mathfrak{G}_n \to \ldots

X fibré projectif, \tau_i (0 \leq i \leq n) ps. réfl. strictes (\Rightarrow h_i, H_i) ~~, s_0 section~~

X_{*} drapeau maximal, avec conditions

a)\tau_i \leftrightarrow \tau_j si 0 \leq i, j \leq n i, j non consécutifs. b)\tau_i X_j = X_j si 0 \leq i \neq j \leq n c)\tau_i X_i \neq X_i 0 \leq i \leq n

NB C_{\mathrm{pr}}, C'_{\mathrm{pr}} proviennent par rigidification de catégories \widetilde{C}_{\mathrm{pr}} de représentations projectives de \mathfrak{G}_n sans plus note de marge entourée, en regard des conditions a) à c)

NB Au lieu de se donner X_{*}, il suffit de se donner un X_i avec \tau_j X_i = X_i (j \neq i) \tau_i X_i \neq 0 satisfaisant à conditions — p. ex. s_0 = X_0, tel que (s_0, (h_i)) engendre linéairement X

non autodual C_{\mathrm{aff}} variante affine de C_{\mathrm{pr}} [NB. il n'est plus besoin de se donner \varphi_G pour C'_{\mathrm{aff}}]

non autodual C'_{\mathrm{aff}} variante affine de C'_{\mathrm{pr}}

Attention, \tau_0 n'est peut-être pas une ps. réflexion affine, mais \widehat{\tau}_0 est une ps. refl. projective (dont l'hyperplan peut être exceptionnellement l'hyperplan à l'\infty …) car \beta_0 = \mu_0 = 0 ! ( en car. 2..)

autodual C_{\mathrm{vect}} variante vectorielle de C_{\mathrm{pr}} (où X rigidifié comme P(\mathcal{E}), et s_0 rigidifié par une section de \mathcal{E} — ce qui ~~rigidifie~~ est une donnée de rigidification dans une donnée de catégorie \widetilde{C}_{\mathrm{vect}}, éliminant le groupe G_m d'autom..) \widetilde{C}_{\mathrm{vect}}, \widetilde{C}'_{\mathrm{vect}} sans G_m-épinglage

C'_{\mathrm{vect}} ~~variante~~ variante vectorielle de C'_{\mathrm{pr}} (on laisse tomber = le drapeau, remplacé par h_0 = a_{-1} —)

C^{\infty}_{?} cat des (C, \varphi^{C}_{G} : \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut} C, h_0) avec C fibré projectif de rg n, \varphi^{C}_{G} hom groupes, h_0 section de C, avec l'indice de C^{\infty}, rendu ici par un point d'interrogation, est illisible ; les pages suivantes ont C^{\infty}_{\mathrm{vect}} et C^{\infty}_{\mathrm{pr.orth}}

a)les \tau^{C}_{i} ps. réflex. (0 \leq i \leq n) strictes si 1 \leq i \leq n, associée à h_0 pour \tau^{C}_{0} (qui peut être non strict) (\Rightarrow h_i, H_i pour 1 \leq i \leq n — mais pas de h_0)

non autodual, sauf si , i.e. c \notin C en tte fibre NB La donnée de s_0 superflue si \tau^{C}_{0} stricte i.e. \mu_0, \beta_0 non nuls simultanément

b)h_i (0 \leq i \leq n) engendrent C i.e. lin. indép. c)h_i \notin H_{i+1} (0 \leq i \leq n-1) en tte fibre

\widetilde{C}^{\infty}_{\mathrm{vect}} variante vectorielle (V, \varphi^{V}_{\mathfrak{G}}, L_0), V fibré vect. rg n+1, \varphi^{V}_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G} \to \operatorname{Aut}(V), L_0 sous-fibré vect. de rg 1, avec non autodual sauf si \rho inv.

a)les \tau^{V}_{i} 0 \leq i \leq n pseudoréflexions strictes pour 1 \leq i \leq n, et ass. à L_0 si i = 0 (\Rightarrow L_i, H_i, L'_i si 1 \leq i \leq n) b)V = \bigoplus_{0 \leq i \leq n} L_i c)L_i \not\subset H_{i+1} (0 \leq i \leq n-1)

Alors L_0 \simeq L_1^{\vee} \simeq L_1 \simeq L_2^{\vee} \simeq L_2 \cdots \simeq L_n^{\vee} \simeq L_n, soit L. On appelle rigidification la donnée d'une base de L, (p. ex. d'une base de l'un des L_i, ou des L'_i)

C^{\infty}_{\mathrm{vect}} cat. des objets de \widetilde{C}^{\infty}_{\mathrm{vect}} rigidifiés

C^{\infty}_{\mathrm{pr.orth}} cat. des objets (C, Q, \varphi^{C,Q}_{\mathfrak{G}}, h_0), avec n \geq 2, les \mu_i = 2 note de marge entourée non autodual sauf si \rho inv. ~~C, \varphi^{C}_{\mathfrak{G}} objet de , Q hyperquadrique de C~~ C, fibré projectif rg n, Q hyperquadrique , \varphi^{C,Q}_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut}(C, Q), h_0 section de C, tels que

a)les \tau^{C,Q}_{i} (0 \leq i \leq n) réfl. orth., strictes pour 1 \leq i \leq n, ass. à h_0 si i = 0 (\Rightarrow h_i, H_i 1 \leq i \leq n) b)h_i (0 \leq i \leq n) engendrent C c)h_i \notin H_{i+1} en tte fibre (0 \leq i \leq n-1)

NB Dans le cas \beta_0 \beta_1 inv./plus ( inv., et ~~(\beta_1, 2)\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S~~ ~~(\beta_1 inv. )~~ \Rightarrow (\beta_1, 4 - \beta_0)\mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S i.e. \beta_1 = \alpha_1 + 2 et 4 - \beta_0 = 2 - \alpha_0 non nuls simultanément) b) équivaut au fait que, sur chaque fibre, il d'hyperplan par \mathfrak{G} … (quelle remarque valant aussi pour C^{\infty}_{\mathrm{vect}}, C^{\infty}_{\mathrm{pr}} … explicitation longue note de marge au bas de la page, séparée du texte par un trait oblique ; plusieurs mots en sont biffés ou surchargés

RemNB si \tau_i, \tau_{i+1} réflexions strict. orth. i.e. inv. Alors h_i \notin H_{i+1} en tte fibre équivaut à \tau_i \tau_{i+1} \neq \tau_{i+1} \tau_i en tte fibre i.e. \rho_i^{2} \neq \mathrm{id} en tte fibre. Si donc \rho_i inv. (c) se remplace par ces conditions pour 0 \leq i \leq n-1 …

RemNB On aura même h_0 \in \Gamma(C - Q) …

non autodual sauf si \rho inv. C^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}} cat. des syst. (V, f, \varphi^{V}_{\mathfrak{G}}, a_0), avec V fibré vectoriel de rg n+1, f forme quadratique ~~non dég. en chaque fibre~~, \varphi^{V\,\mathrm{orth}}_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G} \to \operatorname{Aut}(V, f), a_0 section de V, satisfaisant

a)les \tau^{V}_{i} (0 \leq i \leq n) réflexions orth., les \tau_i (1 \leq i \leq n) ~~non~~ \neq \mathrm{id} en chaque fibre (\Rightarrow L_i, H_i pour 1 \leq i \leq n), \tau_0 associé à \mathcal{O}_S a_0, et \boxed{f(a_0) = 1} (de sorte que \mathcal{O}_S a_0 sous-fibré vect.…) b), c) comme dessus, avec commentaires correspondants.

On pourrait définir \widetilde{C}^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}}, catégorie des ~~systèmes~~ (V, f, \varphi^{V}_{\mathfrak{G}}, L_0), avec ~~comme dans C^{\infty}_{\mathrm{vect}},~~ (V, f) fibré quadratique de rg n+1, \varphi^{V}_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G}_n \to \operatorname{Aut}(V, f), L_0 s-fibré de rg 1, tels que a) b) c) comme précédemment, mais f(a_0) = 1 remplacé par f \vert L_0 lisse.

Et trouve C^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}} à partir de \widetilde{C}^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}} par rigidification par une section a_0 de L_0 telle que f(a_0) = 1 (les sections formant un torseur sous \mu_2 …).

C_{\mathrm{pr}} \approxeq C'_{\mathrm{pr}} \approxeq C_{\mathrm{aff}} \approxeq C'_{\mathrm{aff}} \approxeq C_{\mathrm{vect}} \approxeq C'_{\mathrm{vect}} \;\Big\vert\; \approxeq C^{\infty}_{\mathrm{pr}} \approxeq C^{\infty}_{\mathrm{vect}} \approxeq \;\Big\vert\; C^{\infty}_{\mathrm{pr.orth}} \approxeq C^{\infty}_{\mathrm{vect.orth}} les signes \approxeq rendent un \approx posé sur un long trait horizontal. Deux traits verticaux coupent la chaîne ; au premier est accrochée la mention « n \geq 2 (explicités variante si n = 1 !) », au second « si de plus les \lambda_i = -1 i.e. les \tau_i des réflexions. »

Soit G_0 l'image de \mathfrak{G}_n dans \operatorname{Aut}(\mathcal{E}, V) (un mot biffé, , avant V), on a un diagramme

\begin{tikzcd}[column sep=small] & \operatorname{Aut}(X, C) \arrow[r] & \operatorname{Aut}(C) \\ G_0 \arrow[r, hook] & \operatorname{Aut}(\mathcal{E}, V, f) \arrow[u] \arrow[r] & \operatorname{Aut}(V, f) \arrow[u] \end{tikzcd}

au-dessus de \operatorname{Aut}(X, C) est écrit \operatorname{Aut}(\mathcal{E}, f, \pi, \pi') ; en tête de la ligne du haut un « G_0 \to » est biffé, et plusieurs lettres (un indice sous \operatorname{Aut}(X, C), les seconds arguments des deux \operatorname{Aut} de droite) sont surchargées ou biffées

On cherche les noyaux de G_0 \longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} \operatorname{Aut}(X, \ldots) \\ \operatorname{Aut}(V) \end{array} \right. \longrightarrow \operatorname{Aut}(C) le second argument du premier \operatorname{Aut} est biffé

a) \operatorname{Ker}(\operatorname{Aut}(\mathcal{E}, V, f) \to \operatorname{Aut}(X)) est formé des homothéties qui conservent f, donc isom. \mu_2. En fait, G_0 conserve mieux que (\mathcal{E}, f, V), il conserve (\mathcal{E}, f, \pi, \pi') f, donc si c'est une homothétie c'est l'identité : G_0 opère fidèlement sur X.

b) \operatorname{Ker}(\operatorname{Aut}(\mathcal{E}, f, \pi, \pi') \to \operatorname{Aut}(V)) est formé des de la forme \mathrm{id} + \pi' \otimes a \qquad (a \in \Gamma \mathcal{E}), devant \pi', un signe biffé, illisible qui conservent \pi, \pi', f. Ils conservent \pi sss \rho a = 0 (donc a = 0 si \rho inv., plus gén. si \rho est régulier) (NB \langle \pi, \pi' \rangle = \rho), et ils conservent \pi' sss : \langle a, \pi' \rangle \pi' = \ldots \quad \text{i.e.} \quad \langle a, \pi' \rangle = 0 \quad \text{i.e.} \quad \boxed{a \in V.} trois courts passages biffés et illisibles dans cette ligne : après le premier \langle a, \pi' \rangle, au second membre de la première égalité (rendu ici par \ldots), et devant le second \langle a, \pi' \rangle Conserver f signifie f(a)\pi' + \psi(a) = 0 la formule porte à gauche un repère entouré, peut-être « 8 » d'où en \psi' f(a) \underbrace{\psi'(\pi')}_{-\sigma' \pi} + \underbrace{\psi' \psi(a)}_{\beta a} = 0 \quad \text{i.e.} \quad \beta a = \sigma' f(a) \pi devant \sigma' dans le dernier membre, une petite marque illisible, peut-être biffée

Si \beta inversible ça conduit a = \lambda \pi, dans l'équation précédente (8) devient f(a)\pi' + \lambda \underbrace{\psi(\pi)}_{-\sigma \pi'} = 0 \quad \text{i.e.} \quad \sigma \lambda = \lambda^{2} \underbrace{f(\pi)}_{-\widetilde{\sigma}\widetilde{\rho}} ~~\beta \lambda \pi = \sigma' \lambda^{2} f(\pi) \ldots~~

i.e. \beta \lambda = \sigma' \lambda^{2} \underbrace{f(\pi)}_{-\widetilde{\sigma}\widetilde{\rho}} \qquad \text{i.e.} \quad \lambda(\sigma + \lambda \widetilde{\sigma}\widetilde{\rho}) = 0 les deux colonnes sont écrites côte à côte : à gauche la variante en \beta, \sigma', à droite celle en \sigma i.e. \lambda(\beta + \sigma' \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho} \lambda) = 0, \quad \text{en plus de } \rho \lambda = 0 Si on est dans un anneau intègre, cela veut que soit \lambda = 0 i.e. u = \mathrm{id}, soit \beta + \sigma' \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho} \lambda = 0 ce qui implique (comme \beta inv. par hyp.) \sigma' \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho} inversible (et \lambda = -\frac{\beta}{\sigma' \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho}}) absurde si \rho = \rho (on impose) qui implique \lambda = 0 (puisque \rho \lambda = 0), comme \rho = 2\widetilde{\rho}, si 2 inv. ce résultat. Mais si , \rho = 0 dans \rho \lambda = 0 pour en conclure, il reste la condition ( et ) \sigma + \lambda \widetilde{\sigma} \widetilde{\rho} = 0 on \sigma \sigma' = \beta + \gamma \rho = \beta , donc \sigma, \sigma' et \widetilde{\sigma} = \widetilde{\sigma}' inv., la condition devient 1 + \lambda \widetilde{\rho} = 0 i.e. \widetilde{\rho} inv. et \lambda = -\frac{1}{\widetilde{\rho}}. Ainsi « absurde si \rho = \rho » : le second membre porte peut-être un accent ; lecture incertaine

Prop Sur un anneau intègre, si \beta ou \rho ~~\neq 0~~, alors le seul u \in \operatorname{Aut}(\mathcal{E}, f, \pi, \pi') induisant l'identité dans V est l'identité, sauf dans le cas \beta \neq 0, n pair, ~~(\rho = 2\rho')~~ car. 2 (\rho = 2\rho' = 0), \rho' inv. auquel cas le seul autre u est \mathrm{id} - \frac{1}{\widetilde{\rho}}\, \pi' \otimes \pi = \mathrm{id} + \frac{1}{\widetilde{\rho}} \langle \pi', \ldots \rangle i.e. l'antipodisme le premier signe est surchargé d'une tache, le second pourrait être un \pm ; les arguments du crochet, au bord de la feuille, sont illisibles. L'énoncé écrit \rho' là où la formule écrit \widetilde{\rho}

[Il reste à voir ce que ça donne si \beta = 0, \rho = 0 donc \sigma \sigma' = 0. Posons a = \sum_{0}^{n} \lambda_i a_i, \quad \text{d'où} \quad \psi(a) = \sum -\lambda_i (\beta_0 - \beta_{i-1}) a_i, f(a) = \sum_{0}^{n} \lambda_i^{2} (\beta_0 - \beta_{i-1}) + (\lambda_0 \lambda_1 \beta_0 + \lambda_1 \lambda_2 (\ldots) + \cdots + \lambda_{n-1} \lambda_n (\beta_0 - \beta_{n-1})) les indices des \beta sont d'une lecture incertaine (\beta_{i-1} ou \beta_{i+1}) ; le coefficient de \lambda_1 \lambda_2 est surchargé et illisible, et le signe qui ouvre la seconde somme est repassé ———— ]

Regardons enfin le noyau de \operatorname{Aut}(\mathcal{E}, f, \pi, \pi') \longrightarrow \operatorname{Aut}(\overset{C}{\overbrace{P(V)}}) le C est écrit au-dessus de P(V), qui est donc C les u qui induisent une homothétie sur V. Cette homothétie \varepsilon, conservant f \vert V, doit être dans \mu_2, donc \varepsilon u ~~conserve~~ est l'identité sur V, donc de la forme \varepsilon u = \mathrm{id}_{\mathcal{E}} + \pi' \otimes \varepsilon a \qquad (a \in \mathcal{E}) un \varepsilon biffé devant \pi'

~~A ——— \varepsilon\,\mathrm{id}.~~

~~u =~~ u = \varepsilon\,\mathrm{id} + \pi' \otimes a (un \varepsilon biffé devant a) conserve f, \pi, \pi'.

Conserve \pi, \pi' \pi = \varepsilon \pi + \rho a \quad \text{i.e.} \quad \boxed{(1 - \varepsilon)\pi = \rho a} \pi' = \varepsilon \pi' + \langle a, \pi' \rangle \pi' \quad \text{i.e.} \quad \boxed{\langle a, \pi' \rangle = 1 - \varepsilon} dans chacune des deux lignes, un \varepsilon biffé devant le dernier terme du second membre. À droite de la seconde ligne, un premier cadre \varepsilon(1 + \langle a, \pi' \rangle) = 1 est biffé ; dans le cadre retenu, un \varepsilon a devant le crochet est biffé, et le 1 du second membre est repassé

Enfin, conservation de f (signifie) \boxed{f(a)\pi' + \varepsilon \psi(a) = 0}

la moitié supérieure de la page, jusqu'au calcul entouré inclus, est barrée de longs traits obliques ; elle se lit et est donnée ici Plaçons-nous sur un corps k, et supposons \varepsilon \neq 1. (donc car. \neq 2) — le cas \varepsilon = 1 étant le cas déjà traité (sous la restriction que \beta, \rho non nuls tous deux). On doit donc avoir \rho inv. par la première équation, donc a = \frac{\ldots}{\rho}\, \pi = \lambda \pi \quad \Bigl(\lambda = \frac{2}{\rho}\Bigr) le numérateur de la première fraction, biffé, se lit 1 - \varepsilon ; un mot biffé et illisible suit la parenthèse la 2e équation donne \rho \lambda = 2 déjà satisfaite, enfin la dernière s'écrit \lambda^{2} \underbrace{f(\pi)}_{-\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}} \pi' + \varepsilon \lambda \underbrace{\psi(\pi)}_{-\sigma \pi'} = 0 i.e. \lambda(\underbrace{\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}\lambda}_{\frac{2\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}}{\rho} = \frac{\rho\widetilde{\sigma}}{\rho} = \widetilde{\sigma}} + \varepsilon \sigma) = 0 le dernier membre de l'accolade, \widetilde{\sigma} ou \sigma, est d'une lecture incertaine

~~ce qui exige \lambda \neq 0~~ \widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}\lambda + \varepsilon \sigma = 0 dans ces trois formules, le signe + devant \varepsilon est biffé sur la page, sans rien qui le remplace ; il est donné tel qu'écrit ; dans la deuxième, un signe biffé et illisible ouvre la parenthèse ou encore \sigma = \widetilde{\rho}\widetilde{\sigma} ~~(\ldots)\frac{2\widetilde{\rho}\widetilde{\sigma}}{\rho} + \varepsilon\sigma = 0~~ ces trois lignes sont enfermées dans une grande boucle et en partie griffonnées

Sur un anneau intègre, les seuls cas pour \varepsilon sont \varepsilon = +1 (déjà étudié, sous la restriction que \rho, \beta non tous deux inv.) et \varepsilon = -1, \neq +1 (donc ~~car. \neq 2~~) auquel cas de car. \neq 2) d'où \rho a = 2\pi \quad \text{donc} \quad a = \frac{2}{\rho}\pi, \qquad \varepsilon u = -\mathrm{id} + \pi' \otimes \frac{2}{\rho}\pi sous a = \frac{2}{\rho}\pi, une mention de deux mots, illisible, reliée par un trait à la ligne suivante ; dans \varepsilon u, de petites marques en exposant devant \pi' et devant la fraction, illisibles c'est l'antipodisme, dont on sait bien qu'il conserve f et \pi, \pi' … Donc

~~Proposition~~ (Corps de base) ~~Prop~~ Si \beta ou \rho est inv. alors le seul automorphisme de (\mathcal{E}, f, \pi, \pi') qui induise l'identité

sur C = \check{P}(V), est l'~~antiidentité~~ identité et l'antipodisme (défini si \widetilde{\rho} inv. ~~(car. pair)~~ ou si \rho comme \underline{a} = \mathrm{id}_{\mathcal{E}} - \frac{1}{\widetilde{\rho}}\, \pi' \otimes \pi \ \text{si $n$ pair}, \qquad \underline{a} = \mathrm{id}_{\mathcal{E}} - \frac{2}{\underset{\widetilde{\rho} = \rho}{\widetilde{\rho}}}\, \pi' \otimes \pi \ \text{si} n impair — dans ce dernier cas, c'est d'ailleurs l'identité en car. 2.] le C initial est repassé ; le crochet fermant répond peut-être à celui qui ouvre la page 7. Le reste de la page est blanc

Dualité

La condition \rho inversible suffit pour que l'accouplement naturel entre V et V' soit une dualité — elle implique donc que C et C' sont en dualité l'un avec l'autre. Si de plus \beta inv. i.e. f \vert V non dég. i.e. \psi_V : V \simeq V', on trouve un iso entre C et C' qui commute : \mathfrak{G} et transforme donc Q_C en Q_{C'}. Donc dans ce cas (C, Q_C) \simeq (C', Q_{C'})

Le passage d'un polyèdre régulier projectif épinglé, avec son dual, sous ces conditions, en termes de C^{\infty}_{\mathrm{pr.orth}}, s'exprime donc par la conservation de (C, Q_C), et en remplaçant \tau^{C}_{0} \ldots \tau^{C}_{n} par \tau^{C}_{n} \ldots \tau^{C}_{0} (i.e. \varphi^{C}_{\mathfrak{G}} par \varphi^{C}_{\mathfrak{G}} \circ \theta, où \theta : \mathfrak{G} \to \mathfrak{G} échange \tau_i et \tau_{n-i}) — ici il est inutile de préciser une section a_0 rigide de C, puisque \beta_0, \beta_n inversibles. le reste de la page est blanc

Soit maintenant \Pi hyperpolyèdre comb. de dim. n, G le groupe de ses automorphismes, R_{\Pi} G-torseur des repères — son commutant est un quotient privilégié \mathfrak{G}_{\Pi} de \mathfrak{G},

C_{\mathrm{pr}}(\Pi) cat. des réal. géom. régulières non dégénérées de \Pi \Longrightarrow \varphi_G : G \to \operatorname{Aut}(X, \ldots). la flèche \Longrightarrow et la suite sont écrites sous la ligne et reliées par un trait à « non dégénérées »

À tt r \in R correspond un objet de C_{\mathrm{pr}} (du universel épinglé) et pour r \in R variable, on a un système transitif d'iso. entre ces objets. Donc C_{\mathrm{pr}}(\Pi) s'identifie (pour \Pi fixé) à la sous-cat. pleine ~~des couples (\ldots)~~ de C_{\mathrm{pr}} formée des (X, \varphi_{\mathfrak{G}}, \ldots) tels que \varphi_{\mathfrak{G}} : \mathfrak{G} \to \operatorname{Aut}(X) se factorise par le quotient \mathfrak{G}_{\Pi} de \mathfrak{G}. On fait opérer à droite \mathfrak{G}_{\Pi} sur R_{\Pi} via son action à gauche, et on s'établit par tordre (X, \varphi_{\mathfrak{G}}, \ldots) en R_{\Pi} \wedge^{\mathfrak{G}_{\Pi}} X Même procédé pour les autres descriptions — par C'_{\mathrm{pr}}(\Pi) etc. …

Autre point de vue : On ne se donne pas \Pi, mais seulement un groupe quotient déterminé \mathfrak{G}_0 de \mathfrak{G}, correspondant à un hyperpolyèdre régulier combinatoire épinglé. On considère ses hyperpolyèdres réguliers

combin. de type \mathfrak{G}_0 sur S comme la donnée d'un torseur R_0 sous \mathfrak{G}_S, permettant de tordre \Pi_0. Une représentation de ce \Pi (variant : la donnée (en plus de \Pi) d'un objet de C_{\mathrm{pr}} ou d'une des cat. équivalentes. Donc la cat. des réal. géom. projectives (disons) ~~dans~~ C des hyperpolyèdres comb. réguliers tordus sur S, de type \mathfrak{G}_0, est équivalente à la cat. produit de C_{\mathrm{pr}} (ou d'une de ses variantes) et de la cat. des \mathfrak{G}_0-torseurs. la parenthèse ouverte après « variant » n'est pas refermée ; le \mathfrak{G}_S de la deuxième ligne est peut-être \mathfrak{G}_{0} ou G_S. Sous le texte, un long trait de crayon ondulé descend en diagonale ; le reste de la page est blanc

\Pi n-quasi-polyèdre comb. épinglé universel

G = \mathfrak{G}_n son groupe d'autom., engendré par (\tau_i)_{0 \leq i \leq n}

S schéma de base

NB C catégorie rigide, dont les classes d'iso. sont en corr. 1-1 avec \Gamma(S, \mathcal{O}_S)^{2n-1} via \lbrace \lambda_0, \alpha_0, \lambda_1, \alpha_1, \ldots, \lambda_{n-1}, \alpha_{n-1}, \lambda_n \rbrace l'exposant 2n-1 est d'une lecture incertaine ; la liste qu'il compte a 2n+1 termes

\boxed{C_0} = catégorie (groupoïde) des réalisations géom. non dég. projectives sur S \simeq Catégorie des triples (X, ~~(\tau_i)~~ (\tau_i)_{0 \leq i \leq n}, s_0), X fibré projectif de rg n+1, sur S, \tau_i une pseudo-réflexion stricte de X (d'où centre h_i, co-centre H_i) 0 \leq i \leq n, s_0 section de X sur S, avec conditions

1) (h_i)_{0 \leq i \leq n} ~~engendrent~~ lin. indép. en chaque fibre (\Longrightarrow C hyperplan dans X) 1') (H_i) lin. indép. en chaque fibre (\Longrightarrow c, section de X) 2)\tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i si 0 \leq i, j \leq n, i, j non consécutifs (\Longleftrightarrow h_i \subset H_j & 0 \leq i, j \leq n, i, j non consécutifs) conséquence de 1, 5 3)h_i \notin H_{i+1} en tte fibre 0 \leq i \leq n-1 (\Longrightarrow \tau_i, \tau_{i+1} ne commutent pas) 4)s_0 \subset H_i (1 \leq i \leq n) 5)s_0 \notin H_0 en tte fibre

« conséquence de 1, 5 » est écrit sous le \Longleftrightarrow de la condition 2) et lui est relié par un trait ; les chiffres sont d'une lecture incertaine

NB 1') est conséquence des autres conditions 1) 2) 3) 4) 5) ; mais en l'absence d'un s_0 ct 4) 5), il faut imposer 1') (ce qui revient à 3) rapportée autrement) — une note de plusieurs lignes écrite en oblique entre la marge et le texte, contre le trait vertical qui embrasse les conditions ; se lisent « condition », « s_0 », « si x », « il existe »

NB Il y a lieu d'introduire aussi la cat. des couples (\mathcal{E}, \varphi^{\mathcal{E}}_{G}) (\mathcal{E}, \tau_i) (sans rig. s_0 …)

\boxed{C''} = cat des triples (V, \varphi^{V}_{G}, L_0), V fibré vectoriel de rg n+1 sur S, \varphi^{V}_{G} : G \to \operatorname{Aut}(V) hom. de groupes, L_0 \subset V sous-fibré inv., tels que le V et le \varphi du triple sont repassés sur d'autres lettres ; le L_0 remplace un mot biffé

1)\forall\, 0 \leq i \leq n, \varphi^{V}_{G}(\tau_i) \tau^{V}_{i} \overset{\mathrm{def}}{=} est une ps. réflexion de V, stricte si 1 \leq i \leq n, et associée : L_0 si i = 0 (pas nécessairement stricte si i = 0). On en conclut des L_i \subset V, L'_i \subset V' (ss-fibrés inv.) 1 \leq i \leq n 2)V = \bigoplus L_i, ~~[2') des (L'_i)_{1 \leq i \leq n} indép.]~~ en chaque fibre (i.e. \bigcap_{1 \leq i \leq n} H_i droite sur chaque fibre] \boxed{\ } 3)~~L_0 \subset H_i si i \geq 2 (NB est conséquence de 1), 2) si \tau^{V}_{0} ps. refl. stricte)~~ ~~et H_i = (L'_i)^{\perp}~~

le « \Delta_d » écrit au-dessus de « droite » est d'une lecture incertaine ; la condition 3) est barrée de traits obliques

NB 1), 2) \Rightarrow L_i \subset H_j si 1 \leq i, j \leq n i, j non cons. NB 2') est conséquence des autres conditions y inclus 3), et 3) est conséquence des autres y inclus

34)L_i \not\subset H_{i+1} 0 \leq i \leq n-1, en tte fibre i.e. L_i \otimes L'_{i+1} \xrightarrow{\ \sim\ } \mathcal{O}_S

sous la flèche, reliée à elle : « hom. can. induit par V \otimes \check{V} \to \mathcal{O}_S » (le premier facteur est repassé)

~~C'_0~~

~~C'_0 = Cat des triples précédents rigidifiés par une section a_0~~

NB De 4) on tire \left\lbrace \begin{array}{ll} L_i, L'_{i+1} \ \text{en dualité} & (0 \leq i \leq n-1) \ \text{donc} \\ L_i \xrightarrow{\ \sim\ } L'^{\vee}_{i+1} & (0 \leq i \leq n-1) \end{array} \right. De 1) on tire \begin{array}{l} L'_i \otimes L_i \xleftarrow{\ \sim\ } \mathcal{O}_S \\ \tau^{V}_{i} - \mathrm{id}_V \longmapsto 1 \end{array} \qquad \Big\vert \quad 1 \leq i \leq n ~~dim.~~ donc L'_i \underset{\mathrm{can}}{\simeq} L_i^{\vee} \qquad 1 \leq i \leq n On en conclut de proche en proche des isos L_0 \simeq L_1'^{\vee} \simeq L_1 \simeq L_2'^{\vee} \simeq L_2 \cdots \simeq L_n'^{\vee} \simeq L_n d'où V \simeq \mathbf{L} \otimes \mathcal{O}_S^{\,n+1} \qquad \text{iso can.} le \mathbf{L} est écrit en gras sur la page et n'est pas défini ; c'est le fibré en droites commun de la chaîne précédente

\boxed{C'_0} = cat des triples (V, \varphi^{V}_{G}, L_0) rigidifiés par une section -base a_0 de L_0, i.e. des triples (V, \varphi^{V}_{G}, a_0), ~~a_0 de~~ V, \varphi^{V}_{G} comme dessus, a_0 section \neq 0 en tte fibre, satisfaisant les conditions 1) à 4) où on fait L_0 = \mathcal{O}_S a_0 [le fait que a_0 est \neq 0 en chaque fibre est déjà contenu dans la première condition 4), si on l'écrit a_0 \notin H_1 en tte fibre …]

Un tel V a donc une base canonique (a_0, a_1, \ldots, a_n) (indépendante par le a_0 donné) de telle façon que, si a_i forme base de L_i 0 \leq i \leq n, puis on ait \tau_i = \mathrm{id} + a_i^{\vee} \otimes a_i avec a_i^{\vee} \in \Gamma \check{V} bien déterminé, et \langle a_i, a_{i+1}^{\vee} \rangle = 1 \qquad 0 \leq i \leq n-1 (on a donc exprimé déjà ~~1), 2)~~ sur (\tau_i^{\vee}) 1), 2) 3)), il ~~en reste deux~~ reste : exprimer la commutation des \tau_i \tau_j pour i, j non consécutifs, ce qui s'exprime par L_i \subset \operatorname{Ker}(a_j^{\vee}) \quad \text{si} \quad 0 \leq i, j \leq n, \ i, j \ \text{non consécutifs.} On aura donc \left\lbrace \begin{array}{l} a_0^{\vee} = (\lambda_0 - 1) a_0^{*} + \beta_0 a_1^{*} \\[4pt] a_i^{\vee} = \xi\, a_{i-1}^{*} + (\lambda_i - 1) a_i^{*} + \beta_i a_{i+1}^{*} \qquad 1 \leq i \leq n-1 \\[4pt] a_n^{\vee} = a_{n-1}^{*} + (\lambda_n - 1) a_n^{*} \end{array} \right. les a_i^{*} sont, semble-t-il, la base duale de (a_i). Le premier coefficient de la ligne médiane, rendu \xi, est un signe douteux ; la borne 1 \leq i remplace un 0 biffé ; la dernière ligne porte a_{n-1}^{*} sans coefficient. Dans la première ligne, un premier membre (\lambda_0 - 1) a_0^{*} + \beta_0 a_1^{*} est surchargé et récrit au-dessus

NB a_0^{\vee} = 0 sss \lambda_0 = 1, \beta_0 = 0. Donc \tau_0 ps. réfl. stricte sss \forall\, s \in S, on a \lambda_0(s) \neq 1 ou \beta_0(s) \neq 0, i.e. sss (\lambda_0 - 1)\mathcal{O}_S + \beta_0 \mathcal{O}_S = \mathcal{O}_S note de marge entourée d'un trait

Scholie On a un foncteur C \to C'_0 évident (\mathcal{E}, \tau_{*}, s_0) \longmapsto (V_{*} \ldots qui est une équivalence de catégories le second membre de la flèche est inachevé

\boxed{C''_0} Considérons la catégorie des triples (C, \varphi^{C}_{G}, h_0), où C est un fibré projectif de rg n, \varphi^{C}_{G} : G \to \operatorname{Aut}(C) hom. de groupes, h_0 section de C, avec conditions n \geq 2

1)\forall\, 0 \leq i \leq n, \tau_i \overset{\mathrm{def}}{=} \varphi^{C}_{G}(\tau_i) est une pseudo-réflexion, qui est stricte si 1 \leq i \leq n, et associée au centre h_0 si i = 0 ( pas nécess. stricte) — d'où h_i, H_i (1 \leq i \leq n) 2)Les h_i 0 \leq i \leq n lin. indép. en chaque fibre 3)h_i \notin H_{i+1} en tte fibre (0 \leq i \leq n-1)

On a un foncteur C'_0 \longrightarrow C''_0 c'est une équivalence de catégories si n \geq 2 (mais non si n = 2) ainsi sur la page : « si n \geq 2 » (souligné deux fois), puis « (mais non si n = 2) » ; l'un des deux porte peut-être n = 1

En effet, loc. on peut écrire C = \check{P}(V), et remonter de façon unique (si n \geq 2 !) les ps. réflex. \tau^{C}_{i} en des ps. réfl. \tau^{V}_{i}, qui vont satisfaire aux mêmes conditions de commutation. Le module V est déterminé modulo \otimes L, L inv., et cette indétermination est levée par la rigidification L_0 \simeq \mathcal{O}_S … « (si n \geq 2 !) » est écrit dans la marge gauche et relié par un trait à « de façon unique »

NB Rescholie ~~Donc~~ Si n \geq 2, on a donc C_0 \xrightarrow{\ \approx\ } C'_0 \xrightarrow{\ \approx\ } C''_0

n \geq 2 Formes quadratiques invariantes sur V si Celles qui sont \neq 0 sur tte fibre correspondent 1-1 aux hyperquadriques Q_C de C = P(V), invariantes par \varphi^{C}_{\mathfrak{G}}. Supposons ici \lambda_i = -1 \forall\, i (condition nécessaire pour qu'il existe une f inv. non dég. f_V(a_i) inv. …) Il faut écrire dans le groupe \mathfrak{G} ou G … les relations \tau_i^{2} = 1 f_V(a_i) a_i^{\vee} + \psi_V(a_i) = 0 \qquad 0 \leq i \leq n sous f_V(a_i), un signe = vertical renvoie à c_i i.e. \varphi_V(a_i, a_j) = -c_i \langle a_j, a_i^{\vee} \rangle \qquad 0 \leq i, j \leq n donc la formule est précédée d'un repère illisible, peut-être « a) » ou un petit cercle \varphi_V(a_i, a_j) = 0 \qquad i, j \ \text{non consécutifs.}

~~b) \varphi_V(a_i, a_i) = c_i \langle a_i, a_i^{\vee} \rangle~~ ligne biffée ; sous ses deux membres, les accolades portent -2c_i et -2

\text{b)} \quad \underset{\substack{\Vert \\ 2 f(a_i) = 2c_i}}{\varphi_V(a_i, a_i)} = -c_i \underbrace{\langle a_i, a_i^{\vee} \rangle}_{-2} \qquad 0 \leq i \leq n \quad \text{OK} \text{c)} \quad \varphi_V(a_i, a_{i+1}) = -c_i \underbrace{\langle a_{i+1}, a_i^{\vee} \rangle}_{\beta_i} = -c_{i+1} \underbrace{\langle a_i, a_{i+1}^{\vee} \rangle}_{?} \qquad 0 \leq i \leq n-1 l'accolade sous le dernier crochet porte une valeur surchargée, illisible (rendue ici par un point d'interrogation) ; d'après la page 15, \langle a_i, a_{i+1}^{\vee} \rangle = 1 i.e. \left\lbrace \begin{array}{l} \varphi_V(a_i, a_{i+1}) = -c_{i+1} \\ c_{i+1} = \beta_i c_i \end{array} \right. c_i = (\beta_0 \cdots \beta_{i-1}) c_0 \qquad 1 \leq i \leq n la borne supérieure de l'intervalle est d'une lecture incertaine donc f_V multiple de \begin{aligned} \underbrace{f_V^{0}}\Bigl(\sum_{0}^{n} x_i a_i\Bigr) &= \sum_{i=0}^{n} (\beta_0 \cdots \beta_{i-1}) x_i^{2} + \sum_{0 \leq i \leq n-1} (\beta_0 \cdots \beta_i) x_i x_{i+1} \\ &= x_0^{2} + \beta_0 x_1^{2} + (\beta_0 \beta_1) x_2^{2} + \cdots + (\beta_0 \beta_1 \cdots \beta_{n-1}) x_n^{2} \\ &\quad + \beta_0 x_0 x_1 + \beta_0 \beta_1 x_1 x_2 + \cdots + (\beta_0 \cdots \beta_{n-1}) x_{n-1} x_n \\ &= x_0^{2} + \beta_0 x_1 (x_0 + x_1) + (\beta_0 \beta_1) x_2 (x_1 + x_2) + \cdots \\ &\quad + (\beta_0 \cdots \beta_{n-1}) x_n (x_{n-1} + x_n). \end{aligned} pour la suite noter f_V les termes rectangles sont écrits avec le signe +. Or les relations c) ci-dessus donnent \varphi_V(a_i, a_{i+1}) = -c_{i+1} = -(\beta_0 \cdots \beta_i) c_0, ce qui, pour c_0 = 1, conduirait au coefficient -(\beta_0 \cdots \beta_i) devant x_i x_{i+1} ; ou bien un signe s'est perdu, ou bien la convention (signe des \beta_i, normalisation de \varphi_V) n'est pas celle qui est supposée ici. La page ne tranche pas. Le regroupement de la dernière égalité est conforme à l'avant-dernière

Donc dans C il y a une seule hyperquadrique Q_C invariante par \mathfrak{G}, et on a donc en fait G \longrightarrow \operatorname{Aut}(C, Q_C) ~~G \to SO(V, f_V)~~ sous la dernière flèche, une seconde ligne, reliée à la première par une petite flèche verticale, est biffée ; on y lit G \to SO(V, f_V), lecture incertaine

Ceci nous amène à introduire

\boxed{C'''_0} = cat. des ~~triples~~ quadruples (C, Q_C, \varphi^{C}_{G}, h_0), NB n \geq 2 C fibré projectif de rg n, Q_C hyperquadrique dans C, \varphi^{C}_{G} : G \to \operatorname{Aut}(C, Q_C), h_0 section de C, satisfaisant les conditions

a)les \tau^{C}_{i} \overset{\mathrm{def}}{=} \varphi^{C}_{G}(\tau_i) sont des ps. réfl., strictes si 1 \leq i \leq n, et associées à h_0 si i = 0 (peut être triviale si i = 0) \Longrightarrow h_i (1 \leq i \leq n), H_i (1 \leq i \leq n) b)Les h_i lin. indép. en chaque fibre c)h_i \notin H_{i+1} en tte fibre (0 \leq i \leq n-1)

NB \tau^{C}_{0} est strict. ortho. sss c'est une réflexion stricte, ce qui p. sss ~~\beta_0 \neq 0~~ i.e. sss \forall\, s, \beta_0(s) \neq 0 ou k(s) de car. \neq 2

~~et les \tau_0 stricts ()~~ ~~NB si Q_C est lisse, alors équivalent : les H_i~~ deux lignes biffées d'un même trait sinueux

NB Supposons les \tau_i stricts orthogonaux dans C , i.e. les \beta_i inv. (il en est ainsi si Q_C est lisse …) Alors la condition c) équivaut à

c')(\tau_i \tau_{i+1})^{2} = \mathrm{id} dans chaque fibre, i.e. \tau_i ne commute pas à \tau_{i+1} en chaque fibre 0 \leq i \leq n-1

la page porte bien « = \mathrm{id} » ; la paraphrase qui suit (« ne commute pas ») et la condition c) demandent (\tau_i \tau_{i+1})^{2} \neq \mathrm{id}, comme à la page 3 (« \rho_i^{2} \neq \mathrm{id} en tte fibre »). Probable lapsus, non corrigé

La condition b) s'énonce ainsi

b')Pour tt s \in S, la rep. de G induite sur C_s est irréductible [ suffisance claire, pour la nécessité il faut travailler un peu …]

? le point d'interrogation est dans la marge gauche, en regard de la parenthèse carrée ; le reste de la page est blanc

A) Cas n pair \geq 2, donc C de rang n pair aussi, donc V de rang impair, donc O(f_V) \supset SO(f_V) \times \mu_2, \quad \text{et} SO(f_V) \hookrightarrow \operatorname{Aut}(C, Q_C) En fait, l'hom. G \xrightarrow{\ \varphi^{C}_{G}\ } \operatorname{Aut}(C, Q_C) se factorise à travers SO(f_V) G \xrightarrow{\ \psi^{V}_{G}\ } SO(f_V) On notera que \psi^{V}_{G}(\tau_i) = -\varphi^{V}_{G}(\tau_i) = -\tau^{V}_{i} le \psi^{V}_{G} du premier membre est surchargé

Ex n = 2, ~~alors~~ Supposons f_V ~~lisse~~ lisse i.e. Y = Q_C une fibrée en droites projectives i.e. \beta_0, \beta_1 et \beta_0 + \beta_1 - 4 = \alpha_0 + \alpha_1 inv., alors \underset{\substack{\Vert \\ \alpha_0 + 2}}{\beta_0},\ \underset{\substack{\Vert \\ \alpha_1 + 2}}{\beta_1} SO(f_V) \xrightarrow{\ \sim\ } \operatorname{Aut}(Q_C), donc la donnée de \varphi^{C}_{G} ou \psi^{V}_{G} équivaut à celle des fibrés en droites projectives Y (= Q_C), et de l'opération de G dessus via \tau^{Y}_{0}, \tau^{Y}_{1}, \tau^{Y}_{2}. Traduisons les conditions explicitées plus haut sur \varphi^{C}_{G} en termes de \varphi^{Y}_{G} (NB ici \beta_0 inv. donc \tau_0 réflexion stricte, donc h_0 s'en déduit, est un 2-rejet C de Y) avec \beta_i = \alpha_i + 2, on a bien \beta_0 + \beta_1 - 4 = \alpha_0 + \alpha_1. La dernière ligne, serrée au bas de la feuille, est d'une lecture très incertaine

1)\forall\, 0 \leq i \leq 2, \tau^{C}_{i} est \neq 1 en chaque fibre [\Longrightarrow h_0, h_1, h_2 H_0, H_1, H_2 dans C] 2)h_0, h_1, h_2 lin. indép. en chaque fibre ~~(à expliciter en termes de )~~ \Longleftrightarrow \forall tte fibre Y_{\bar{s}}, il n'existe pas de diviseurs \Delta_s dans Y_s de degré 2, invariant par \varphi^{Y}_{G}, i.e. pas de restriction à une structure soit de droite affine, soit de ~~droite affine~~ torseur sous G_m … (ou équivalent sous G_m …) c'est sans doute ce qui exclut le cas « diédral » 3)\tau^{C}_{0} \tau^{C}_{1} \overset{\mathrm{def}}{=} \rho_f et \tau^{C}_{1} \tau^{C}_{2} \overset{\mathrm{def}}{=} \rho_s sont tels que \rho_f^{2} \neq \mathrm{id}_{Y}, \quad \rho_s^{2} \neq \mathrm{id}_{Y} \quad \text{sur chaque fibre.} (cela exprime la non commutation de \tau_0, \tau_1 et de \tau_1, \tau_2, sur chaque fibre

au-dessus de « à expliciter », une surcharge biffée, illisible. Les indices f et s de \rho sont d'une lecture incertaine ; le premier \mathrm{id} porte un indice surchargé. La parenthèse finale n'est pas refermée ; le reste de la page est blanc