Cote n° 71 · batch 3 · pages 41–47 · Transcription · Théorème de Jordan : notes manuscrites (1976, s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

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41Page XIV d'un mémoire d'une autre main, signé et daté du 15 juillet 1976, résumée ici et non recomposée. Lemme XVI : a) \(\mathbb{R}^2 - \Gamma = U \cup V\) ; b) \(U\) et \(V\) sont des ouverts connexes, \(U\) relativement compact, \(V\) non relativement compact. La page démontre a) et commence la connexité de \(U = \operatorname{int}\Lambda^1 - R_{\Lambda^2}\) (où \(R_{\Lambda^2} = \operatorname{int}\Lambda^2 \cup \Lambda^2\)), par des arcs de polygone \(\Lambda_{xy}\) et la Remarque 1. Aucune annotation.

42Page XV du mémoire. Fin de la démonstration du lemme XVI : connexité de \(U\) (voisinage \(V\) de \(\Gamma_{x'y'}\), lemme I), puis de \(V = \operatorname{ext}\Lambda^1 \cup \operatorname{int}\Lambda^2 \cup\, ]s,s'[\) ; \(U\) et \(V\) sont ouverts comme composantes connexes de \(\mathbb{R}^2 - \Gamma\), \(\Gamma\) étant compact. Quelques traits verticaux à l'encre, sans mot, dans les deux marges.

43Page XVI du mémoire. Lemme XVII : si \(x \in \Gamma\) et \(D_x\) est un disque de centre \(x\) qui ne coupe que les arêtes auxquelles \(x\) appartient, alors \(D_x \cap U \neq \emptyset\) et \(D_x \cap V \neq \emptyset\). Les lemmes XVI et XVII donnent le théorème 1. § 4, « Preuve du théorème 2 » (tout polygone est un \(J\)-polygone), par récurrence sur \(\operatorname{card} S(\Gamma) - 2\) : \(s'\) visible de \(s\) de l'intérieur (lemme XI), les arcs \(\Gamma^1_{ss'}\), \(\Gamma^2_{ss'}\), et les polygones \(\Lambda^1\), \(\Lambda^2\) obtenus en leur recollant \([s,s']\), qui ont moins de sommets que \(\Gamma\). Le renvoi « par le lemme XIV », ajouté par l'auteur, est entouré au crayon.

44Page XVII du mémoire. Lemme XVIII : \(\Lambda^2 - \{s,s'\} \subset \operatorname{ext}\Lambda^1\) et \(\Lambda^1 - \{s,s'\} \subset \operatorname{ext}\Lambda^2\). Lemme XIX : \(\operatorname{int}\Lambda^1 \subset \operatorname{ext}\Lambda^2\), \(\operatorname{ext}\Lambda^1 \supset \operatorname{int}\Lambda^2\). La page donne la démonstration du lemme XVIII et le début de celle du lemme XIX. Aucune annotation.

46Page XVIII du mémoire. Fin de la démonstration du lemme XIX. Lemme XX : il y a deux bons sommets de \(\Gamma\) tels que les intérieurs des triangles correspondants soient contenus dans \(\operatorname{int}\Gamma\). La démonstration applique l'hypothèse de récurrence à \(\Lambda^1\) et \(\Lambda^2\), puis, si \(t_1 = s\), distingue \(]s'',s'[\, \cap\, \Gamma = \emptyset\) et \(]s'',s'[\, \cap\, S(\Gamma) \neq \emptyset\) en construisant un polygone \(\Lambda^{1\prime}\) ; elle se poursuit page 47. Les annotations au crayon qui suivent sont d'une autre main que le mémoire ; la leur n'est pas établie.

À « Il y a deux bons sommets de \(\Gamma\), au moins tels que », inséré par un renvoi après « de \(\Gamma\) » (parenthèse non fermée) : (non consécutifs si \(n\) = nb de côtés de \(\Gamma \geq 4\),

À « il y a un bon sommet \(t_1\) dans \(\Lambda^1\) », où « bon sommet » est souligné au crayon, deux ou trois lettres en biais dans la marge : […]

À « Deux cas peuvent se produire \(]s'',s'[\, \cap\, \Gamma = \emptyset\) », le premier \(s''\) étant cerclé (il n'est pas défini dans le texte) : ?

À « et dans ce cas \(]s'',s'[\, \cap\, S(\Gamma) \neq \emptyset\) », un signe griffonné : […]

À « obtenu en recollant selon \(\{s', s''\}\) l'arc de polygone \([s',s'']\) » : !

À « l'ensemble des arêtes de \(\Lambda^{1\prime}\) contenues dans \(A(\Gamma)\) est de cardinal inférieur » : ?

À « au cardinal de l'ensemble des arêtes de \(\Lambda^1\) contenues dans \(A(\Gamma)\) » : so what

47Page XIX, dernière page du mémoire. Fin de la démonstration du lemme XX, par une descente sur le nombre d'arêtes de \(\Lambda^{1(n)}\) contenues dans \(A(\Gamma)\), en deux cas a) et b). Lemme XXI : si \(\Gamma\) est un polygone non convexe, il existe un bon sommet de \(\Gamma\) tel que l'intérieur du triangle correspondant est contenu dans \(\operatorname{ext}\Gamma\). Les lemmes XX et XXI, joints au fait qu'un polygone convexe a au moins trois bons sommets, donnent le théorème 2. Le mémoire se clôt sur « le 15 juillet 1976, Montpellier » et une signature. Annotations au crayon de la même main qu'à la page 46.

Devant « b) il existe \(n\) tel que \(\operatorname{card}(A(\Lambda^{1(n)}) \cap A(\Gamma)) = 2\) » : ou bien,

À « il est clair que \(\operatorname{int}\Lambda^2 \subset \operatorname{ext}\Gamma\) car \(V = \operatorname{ext}\Lambda^1 \cup \operatorname{int}\Lambda^2 \cup\, ]s,s'[\), et \(V\) est non-relativement compact », quatre lignes en biais le long de la marge, lues en partie : faux, si on […] choisit […] […] […]

À « les deux arêtes de \(\Lambda^2\) auxquelles \(s\) appartient », un mot en biais, souligné d'un long trait : […]