Cote n° 71 · batch 2 · pages 21–40
· Transcription · Théorème de Jordan : notes manuscrites (1976, s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration
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21de sa main, à l'encre noire, sur un feuillet séparé. En haut à gauche, un croquis : un triangle, deux points \(x\), \(y\) sur sa base, et deux arcs marqués \(1\) et \(2\) qui les relient. Les formules reprennent la Remarque 1 du mémoire, page 20
\[\left\{ \begin{array}{l} \Gamma^1_{xy} \cap \Gamma^2_{xy} = \{x,y\} \\[2pt] \Gamma^1_{x,y} \cup \Gamma^2_{x,y} = \Gamma \\[2pt] S'(\Gamma^1_{xy}) \cup S'(\Gamma^2_{xy}) = S(\Gamma) \smallsetminus \{x,y\} \end{array} \right.\] la dernière ligne se prolonge au bord droit par quelques signes serrés, peut-être « \(\cap\, S(\Gamma)\) », que la présente lecture ne déchiffre pas
NB Ce n'est pas le couple \((\Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy})\) qui est déterminé de façon unique, mais l'ens. \(\{\Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy}\}\).
a) op. de rajouter sommets
b) op. de division d'un polygone (par 2 sommets distincts) en deux lignes polygonales (op. inverse : recollement de 2 lignes polygonales ayant mêmes extrémités).
plus bas, deux dessins sans lettres : un polygone non convexe en dents de scie, et un petit triangle dont un côté est tracé en pointillé, avec un point au-dessus et un point au-dessous de ce côté
22p. II du mémoire d'une autre main, résumée et non recomposée. Elle achève la Remarque 1 ; note qu'on recolle selon \(\{x,y\}\) deux arcs \(\Lambda^1_{xy}\), \(\Lambda^2_{xy}\) tels que \(\Lambda^1_{xy} \cap \Lambda^2_{xy} = \{x,y\}\) en un polygone \(\Lambda\) ; donne la Définition 1 (J-polygone : a) \(\mathbb{R}^2 - \Gamma = U \cup V\), \(U\), \(V\) connexes, \(U\) relativement compact, \(V = \operatorname{ext}\Gamma\) non compact ; b) un disque \(D_x\) centré sur \(\Gamma\) qui ne coupe que les arêtes contenant \(x\) vérifie \(D_x - D_x \cap \Gamma = U' \cup V'\), \(U' \subset \operatorname{int}\Gamma\), \(V' \subset \operatorname{ext}\Gamma\) connexes) ; la Remarque 2 (il suffit qu'un tel disque vérifie b)) ; \(R_\Gamma = \operatorname{int}\Gamma \cup \Gamma\) ; la Définition 2 (bon sommet : non colinéaire à ses deux voisins, triangle sans autre sommet de \(\Gamma\) à l'intérieur) ; et, sur une bande collée, la définition de « \(s'\) est \(E\)-visible de \(s\) » (\(]s,s'[\, \subset E\)) et de la visibilité de l'intérieur ou de l'extérieur. Ses marques sont à l'encre noire
en face de « on peut obtenir par recollement selon \(\{x,y\}\) un polygone \(\Lambda\) » : bien
en face de « \(\overline{V}\) non-compact », qu'il souligne en tirets : « ! \(V\) non rel. compact »
après « \(V' \subset \operatorname{ext}\Gamma\) connexes » : « non vides ! », et sous la ligne : « (i.e. les 2 comp. conn. de \(D_x - D_x \cap \Gamma\) appart., l'une dans \(\operatorname{int}\Gamma\), l'autre dans \(\operatorname{Ext}\Gamma\)) »
en face de « Remarque 2 » : « style »
à la fin de la Remarque 2, « la vérifie » : « (car si \(D_x \subset D'_x\), \(\pi_0(D_x - D_x \cap \Gamma) \to \pi_0(D'_x - D'_x \cap \Gamma)\) est bijectif) »
il souligne « bon sommet » (Définition 2)
en tête de la bande collée : « vague », et « Déf 3 : » ; il insère « et \(s, s' \in \mathbb{R}^2\), » après « Si \(E\) est une partie de \(\mathbb{R}^2\) » et biffe la même clause en fin de phrase
23sans texte : un seul dessin, à l'encre noire, en haut à gauche — un polygone étoilé non convexe, doublé à l'intérieur d'un second contour parallèle, plus fin
24p. III du mémoire. Lemme I : si \(\Gamma\) est un J-polygone et \(\Gamma'_{xy}\) l'un des deux arcs de la Remarque 1 reliant \(x \neq y\), il existe un système fondamental \(\beta\) de voisinages ouverts \(V\) de \(\Gamma'_{xy}\) tels que \(V \cap \operatorname{int}\Gamma\) et \(V \cap \operatorname{ext}\Gamma\) soient connexes. Suit la démonstration, par un recouvrement fini de l'arc par des disques vérifiant b) de la définition 1
il insère « \(x \neq y\) », « \(\beta\) » et « ouverts » dans l'énoncé, et souligne « il existe un système » ; « ! » en marge
en face de « grâce à l'axiome du choix », qu'il souligne : « ! » ; il souligne « de \(\Gamma\) » dans « si \(U\) est un voisinage de \(\Gamma\) » et écrit en marge : « \(\Gamma_{xy}\) »
il encadre « i.e. \(\Gamma_{xy} \cap D_{z_i} = I_i\) »
en face de « Le même argument prouve (quitte à changer \(\operatorname{int}\Gamma\) par \(\operatorname{ext}\Gamma\)) », qu'il souligne : « ! »
en face de « On utilise le fait, sans le dire, que deux points \(x, y\) d'un ouvert connexe de \(\mathbb{R}^2\) peuvent être reliés par un arc de polygone », où il souligne « sans le dire » : « ? »
26p. IV du mémoire : « 2 — Rappel sur les sous-ensembles convexes de \(\mathbb{R}^2\) ». Lemme II : si \(A \subset \mathbb{R}^2\) contient trois points affinement indépendants, il existe un unique polygone \(\Gamma\) sans trois sommets consécutifs colinéaires, d'ensemble sous-jacent \(E(A) - \mathring{E}(A)\) (\(E\) = enveloppe convexe), et \(S(\Gamma) \subset A\). Convention : « ensemble convexe » désigne l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points ; si \(\mathring{C} \neq \emptyset\), \(\partial C = C - \mathring{C}\) reçoit la structure de polygone du lemme II. Lemme III : la droite de deux sommets consécutifs de \(\partial C\) laisse \(\mathring{C}\) d'un seul côté. Lemme IV : si \(x \notin C\), il existe \(y \in C - S(\partial C)\) qui est \((\mathbb{R}^2 - C)\)-visible de \(x\). Démonstrations esquissées
en face de « Lemme II » : « ! » ; il insère « finie » après « une partie » et « de \(\Gamma\) » après « trois sommets consécutifs »
en face de « Démonstration (Esquisse) » : « jargon ? » ; il entoure le \(\bigcap\) de « \(E(A) = \bigcap\) demi-espaces fermés », souligne « uniquement déterminées par » et insère « ens. des » dans « \(S(\Gamma)\) = points extrémaux de \(E(A)\) »
en face de « Convention » : « !!! » et « partie polyédr. conv. » ; il souligne « pour nous » et « ensemble convexe »
à droite de « un ensemble convexe \(C\) est compact » : « intervention en lemme II ! C'est une salade… »
en face de la démonstration du lemme III : « ? »
en face de « Lemme IV » : « vis. » ; en face de sa dernière ligne, « la distance de \(x\) à \([z_1, z_2]\) » : « ! »
27sans texte : un croquis à l'encre noire — un segment d'extrémités \(s\) et \(s'\), un point \(y\) sur ce segment, et une droite en pointillé qui monte de \(y\) vers un point marqué \(x\) ; il paraît illustrer la démonstration du lemme IV, page 26
28p. V du mémoire. Lemme V : si \(C\) est convexe, \(y \in\, ]s,s'[\) avec \(s, s' \in C\), et \(y\) est \((\mathbb{R}^2 - C)\)-visible d'un point \(x \notin C\) non colinéaire à \(s, s'\), alors tout point colinéaire à \(s, s'\) est \((\mathbb{R}^2 - C)\)-visible de \(x\) (démonstration par le triangle \(s, s', w\)). Définition 3 : un polygone est convexe s'il est le bord \(C - \mathring{C}\) d'un ensemble convexe. Lemme VI : un polygone convexe est un J-polygone, et tout sommet non colinéaire à ses deux voisins est un bon sommet
au-dessus de « Lemme V » : « vis ? » ; il souligne « ensemble convexe »
entre l'énoncé du lemme V et sa démonstration : « NB \(s, s'\) appartiennent : […] […] arête de \(C\), et si \(D\) est la droite qu'ils déterminent, \(x\) et \(C\) sont de part et d'autre de cette droite… »
au-dessus de « Définition 3. Un polygone \(\Gamma\) est convexe » : « (pas […] de jargon !) » ; il insère « dit » avant « convexe » et souligne en tirets « ensemble »
29verso du feuillet de la page 28, de sa main, au crayon ; ce qui suit jusqu'au « Cor Main » est écrit en travers du feuillet, le lemme du bas dans le sens de la page. Deux dessins : au crayon, un polygone en dents de scie inscrit dans un grand triangle ; à l'encre noire, un polygone en pointe de flèche dont deux côtés sont complétés en pointillé
Or [les comp. connexes de \(\Gamma \cap [s', s'']\) sont des […] des points, et les extrémités des \(I_\alpha\) et] […] côtés […] et que tout \(t \in\) passage barré de grands traits obliques ; la lecture en est partielle
alors \(\Phi := S(\Gamma) \cap \mathring{T} - \{s, s', s''\}\) […] \(\neq \emptyset\), et \(t \in \Phi\) réalise le maximum de la distance à la droite définie par \(s', s''\), alors \(]s,t[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma\).
Cor Main. Ou bien \(]s', s''[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma\), ou bien \(\exists\, t \in S(\Gamma)\), \(t \neq s\), tel que \(]s,t[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma\).
Lemme. Soit \(\Gamma\) un polygone à \(n\) côtés (\(n \geq 3\)) non convexe. Alors \(\exists\, s \in S(\Gamma)\) « non plat » tel que \(\forall D_s\) de centre \(s\), l'un des satisfaisant la cond. b) de Déf 1, le secteur angulaire de \(D\) découpé par \(\Gamma\) (i.e. par \([s,s'] \cup [s,s'']\), où \(s', s''\) sont les 2 sommets adjacents) qui est d'angle \(> \pi\) soit extérieur à \(\Gamma\). Si \(\Gamma\) est un J-polygone, et \(n \geq 4\), alors
(i) si \(\Gamma \cap \mathring{T} = [s,s'] \cup [s,s'']\), \(]s',s''[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma\) […]
(ii) si \(\Gamma \cap T \neq [s,s'] \cup [s,s'']\) et \(\Gamma \cap \mathring{T} = \emptyset\), […] \(]s', s''[\), […] la page s'arrête là. Le \(\mathring{T}\) de (i) est récrit sur un mot noirci ; \(T\) est le triangle de sommets \(s, s', s''\), comme au lemme XI de la page 35
30p. VI du mémoire : démonstration du lemme VI (par un triangle \(T\) contenant \(C\) et la connexité de \((\partial T \cup \operatorname{int}\partial T) - C\)). Puis, pour un polygone \(\Gamma\) et son enveloppe convexe \(E(\Gamma)\) : a) \(E(\Gamma) = E(S(\Gamma))\) ; b) \(S(\partial(\Gamma)) \subset S(\Gamma)\). « On veut étudier le lien entre \(\Gamma\) et son enveloppe convexe. »
en face de « Il est clair que \(E(\Gamma)\) vérifie », où il souligne « clair » : « réf. int. »
sous « b) \(S(\partial(\Gamma))\) » : « \(S(\partial(E(\Gamma)))\) »
31de sa main, à l'encre noire, sur un feuillet séparé. À gauche, un dessin : un polygone non convexe à six côtés, en éclair
Lemme. Soient \(\Gamma, \Gamma'\) deux polygones distincts, tels que \(\Gamma \subset\) alors \(\Gamma \not\subset \Gamma'\), \(\Gamma' \not\subset \Gamma\), et \(\Gamma \cap \Gamma'\) est une réunion finie d'arcs disjoints de \(\Gamma\) (et de \(\Gamma'\)), éventuellement réduits à un point. Si \(\Gamma' = \partial E(\Gamma)\), où \(\Gamma\) est un polygone non convexe (puisque \(\Gamma' \neq \Gamma\)), alors les l'ens. \(\Phi\) des extrémités des arcs polygonaux composantes connexes de \(\Gamma \cap \Gamma'\) sont des sommets est \(\subset S(\Gamma)\)[…]. Alors pour toute telle \(s \in \Phi\), \(\exists\, t \in \Phi\), \(t \neq s\), telle que \(]s,t[\, \subset \Gamma'\) […] \(\cap\, \complement\Gamma\) et alors \(]s,t[\, \subset \operatorname{Ext}\Gamma\). NB \(t\) est unique, sauf si \(s\) point isolé de \(\Gamma \cap \Gamma'\), auquel cas il existe exactement deux tels \(t\).
Cor. Si \(\Gamma\) polygone non convexe, \(\exists\, s, s'\) sommets distincts de \(\Gamma\), tels que \(s\) […] \(]s,s'[\, \subset \operatorname{Ext}\Gamma \cap \partial E(\Gamma)\).
[NB \(\operatorname{Ext}(\Gamma)\) est défini pour tt polygone, pas néc. un J-polygone…]
32p. VII du mémoire. Lemme VII : si \(\Gamma\) est un J-polygone, \(\operatorname{ext}\partial E(\Gamma) \subset \operatorname{ext}\Gamma\). Lemme VIII : si \(\Gamma\) est un J-polygone non convexe, il existe deux sommets \(s, s'\) tels que \(s'\) soit visible de \(s\) de l'extérieur de \(\Gamma\) ; la démonstration prend une arête \(\alpha = [s,s']\) de \(\partial E(\Gamma)\) non contenue dans \(\Gamma\), et se poursuit page 33
en face de « Lemme VIII » : « inutile » ; il met entre parenthèses le « J- » de « un J-polygone non-convexe »
en face de la démonstration du lemme VIII, une note verticale partiellement lue : « […] \(E(\Gamma)^c\) […] \(E(\partial E(\Gamma)) = E(\Gamma)\) […] »
33p. VIII du mémoire : fin de la démonstration du lemme VIII (\(]s,s'[\, \subset \operatorname{ext}\Gamma\)). Secteurs angulaires intérieur et extérieur en un sommet d'un J-polygone. Lemme IX (« l'analogue suivant de la positivité de la courbure des courbes convexes ») : en un sommet d'un polygone convexe, l'angle du secteur intérieur est \(\leq \pi\). Lemme X : un J-polygone a au moins trois sommets où l'angle du secteur intérieur est \(< \pi\) ; la démonstration part d'un sommet de \(\partial E(\Gamma)\) et se poursuit page 35
à droite de « Mais \(D_t \cap \operatorname{ext}\partial E(\Gamma) \neq \emptyset\) », encadré : « donc \(D_t \cap \operatorname{ext}\Gamma \neq \emptyset\) (cf lemme VII) »
le « J- » de l'énoncé du lemme X est barré d'un trait de crayon, d'une main non établie
35p. IX du mémoire : fin de la démonstration du lemme X (l'angle extérieur en un sommet de \(\partial E(\Gamma)\) est \(> \pi\) et reste dans \(\operatorname{ext}\Gamma\)). Lemme XI : si \(\Gamma\) est un J-polygone, il existe deux sommets \(s, s'\) tels que \(s'\) soit visible de \(s\) de l'intérieur de \(\Gamma\). La démonstration prend \(s\) comme au lemme VIII, ses voisins \(s', s''\) et le triangle \(T\) de sommets \(s, s', s''\), et traite d'abord le cas \((T - ([s,s'] \cup [s,s''])) \cap \Gamma = \emptyset\). Les marques au crayon sont d'une main que la présente lecture ne distingue pas avec certitude de celle de l'encre noire
en face de « Lemme XI », au crayon : « faux pour \(n = 3\) ! » ; à l'encre noire, il insère « à \(n \geq 3\) côtés, » après « J-polygone » et écrit sous l'énoncé : « OPS \(\Gamma\) non convexe (sinon c'est clair grâce à …) »
en face de « Soit \(s\) un sommet satisfaisant la propriété énoncée au lemme VIII » : « Lemme X » ; en face de « Si \((T - ([s,s'] \cup [s,s''])) \cap \Gamma = \emptyset\) » : « ambigu »
en face de « donc \(]s',s''[\, \subset \operatorname{int}\Gamma\) » : « faux » ; au crayon, à la suite : « il faut prendre \(s\) comme dans la dém. du lemme VIII (pas son énoncé !) »
en face de « Si \((T - ([s,s'] \cup [s,s''])) \cap \Gamma \subset\, ]s',s''[\) », où il barre le \(\subset\) et souligne la ligne : « […] ! » et, entouré, « non vide ? »
au crayon, sous « \(\mathring{T} \subset \operatorname{int}\Gamma\) » entouré : « dire avant ! ([…] au lemme VIII) »
36p. X du mémoire : fin de la démonstration du lemme XI, dans le cas \(\mathring{T} \cap \Gamma \neq \emptyset\), par l'enveloppe convexe \(C\) de \((\mathring{T} \cup\, ]s', s''[) \cap \Gamma\) et les lemmes IV et V. Corollaire à la démonstration du lemme VIII : tout polygone a deux sommets distincts \(s, s'\) avec \(s'\) \((\mathbb{R}^2 - \Gamma)\)-visible de \(s\) et \(]s', s[\, \subset \partial E(\Gamma)\)
en face de « Reste le cas \(\mathring{T} \cap \Gamma \neq \emptyset\) » : « !! » ; au crayon, au-dessus de « l'enveloppe convexe \(C\) de \((\mathring{T} \cup\, ]s',s''[) \cap \Gamma\) » : « ce n'est pas un “ens. convexe” ! » ; à l'encre noire, des crochets tracés par-dessus font de \(]s',s''[\) un \([s',s'']\)
au crayon, dans la marge gauche, en regard de « Soit \(\alpha \in A(\partial C)\) » et de la suite, une longue note verticale : « […] compliqué […] \(\in \Gamma\) […] \((s', s'')\) »
après « Corollaire à la démonstration du lemme VIII », qu'une main souligne au crayon : « !! » ; au crayon, « distincts » inséré avant « \(s, s' \in S(\Gamma)\) »
37p. XI du mémoire : « 3 — Preuve du théorème 1 ». On prend \(s, s'\) comme au corollaire, les deux arcs \(\Gamma^1_{ss'}\), \(\Gamma^2_{ss'}\) de \(\Gamma\) reliant \(s\) à \(s'\), et les polygones \(\Lambda^1\), \(\Lambda^2\) obtenus en recollant \([s,s']\) à chacun. Lemme XII : si \(\Lambda^1\) est un J-polygone, \(\Gamma^2_{ab} - \{a,b\}\) est contenu dans \(\operatorname{int}\Lambda^1\) ou dans \(\operatorname{ext}\Lambda^1\) (et de même en échangeant les indices). On suppose ensuite \(\Lambda^1\), \(\Lambda^2\) J-polygones. Lemme XIII : pour \(x \in \partial E(\Gamma)\) et un disque \(D_x\) convenable, \(\operatorname{ext}\partial E(\Gamma) \cap D_x \subset \operatorname{ext}\Lambda^i\), \(i = 1, 2\)
au crayon, en face de « Lemme XII », qui écrit \(\Gamma^2_{ab}\) : « \(a = s\) ? \(b = s'\) »
au crayon, en face de l'énoncé du lemme XIII, où le \(D_x\) de la formule est barré, encadré : « \(\operatorname{Ext}(\partial E(\Gamma)) = \mathbb{R}^2 - E(\Gamma) \subset \operatorname{Ext}(\Lambda^i)\) »
38p. XII du mémoire, sans annotation. \(\Lambda^1 \cap \Lambda^2 = [s,s']\). Lemme XIV : pour un disque \(D_s\) convenable, \(\operatorname{int}\Lambda^1 \supset \Lambda^2 \cap D_s - [s,s'] \cap D_s\) ou \(\operatorname{int}\Lambda^2 \supset \Lambda^1 \cap D_s - [s,s'] \cap D_s\). D'où \(\operatorname{int}\Lambda^1 \supset \Lambda^2 - \{s,s'\}\) ou \(\operatorname{int}\Lambda^2 \supset \Lambda^1 - \{s,s'\}\) ; on suppose le premier cas. Lemme XV : \(\operatorname{int}\Lambda^2 \subset \operatorname{int}\Lambda^1\)
39p. XIII du mémoire, sans annotation. Démonstration du lemme XV ; puis la récurrence sur \(\operatorname{card} S(\Gamma) - 2\) (le cas du triangle étant trivial), avec \(\operatorname{card} S(\Lambda^i) < \operatorname{card} S(\Gamma)\), et les ensembles \(V = \operatorname{ext}\Lambda^1 \cup \operatorname{int}\Lambda^2 \cup\, ]s,s'[\) et \(U = \operatorname{int}\Lambda^1 - (\operatorname{int}\Lambda^2 \cup (\Gamma^2_{ss'} \cap \operatorname{int}\Lambda^2))\), \(U\) relativement compact et \(V\) non, que reprend le lemme XVI de la page 41