de sa main, à l'encre noire, sur un feuillet séparé. En haut à gauche,
un croquis : un triangle, deux points x, y sur sa base, et deux arcs
marqués 1 et 2 qui les relient. Les formules reprennent la Remarque 1 du
mémoire, page 20
\left\{
\begin{array}{l}
\Gamma^1_{xy} \cap \Gamma^2_{xy} = \{x,y\} \\[2pt]
\Gamma^1_{x,y} \cup \Gamma^2_{x,y} = \Gamma \\[2pt]
S'(\Gamma^1_{xy}) \cup S'(\Gamma^2_{xy}) = S(\Gamma) \smallsetminus \{x,y\}
\end{array}
\right.
la dernière ligne se prolonge au bord droit par quelques signes serrés,
peut-être « \cap\, S(\Gamma) », que la présente lecture ne déchiffre pas
NB Ce n'est pas le couple (\Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy})
qui est déterminé de façon unique, mais l'ens.
\{\Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy}\}.
a) op. de rajouter sommets
b) op. de division d'un polygone (par 2 sommets distincts) en deux lignes
polygonales (op. inverse : recollement de 2 lignes polygonales ayant
mêmes extrémités).
plus bas, deux dessins sans lettres : un polygone non convexe en dents
de scie, et un petit triangle dont un côté est tracé en pointillé, avec un
point au-dessus et un point au-dessous de ce côté
p. II du mémoire d'une autre main, résumée et non recomposée. Elle
achève la Remarque 1 ; note qu'on recolle selon \{x,y\} deux arcs
\Lambda^1_{xy}, \Lambda^2_{xy} tels que \Lambda^1_{xy} \cap
\Lambda^2_{xy} = \{x,y\} en un polygone \Lambda ; donne la
Définition 1 (J-polygone : a) \mathbb{R}^2 - \Gamma = U \cup V,
U, V connexes, U relativement compact, V = \operatorname{ext}\Gamma
non compact ; b) un disque D_x centré sur \Gamma qui ne coupe que les
arêtes contenant x vérifie D_x - D_x \cap \Gamma = U' \cup V', U'
\subset \operatorname{int}\Gamma, V' \subset \operatorname{ext}\Gamma
connexes) ; la Remarque 2 (il suffit qu'un tel disque vérifie b)) ;
R_\Gamma = \operatorname{int}\Gamma \cup \Gamma ; la Définition 2
(bon sommet : non colinéaire à ses deux voisins, triangle sans autre sommet
de \Gamma à l'intérieur) ; et, sur une bande collée, la définition de
« s' est E-visible de s » (]s,s'[\, \subset E) et de la visibilité
de l'intérieur ou de l'extérieur. Ses marques sont à l'encre noire
en face de « on peut obtenir par recollement selon \{x,y\} un
polygone \Lambda » : bien
en face de « \overline{V} non-compact », qu'il souligne en
tirets : « ! V non rel. compact »
après « V' \subset \operatorname{ext}\Gamma connexes » :
« non vides ! », et sous la ligne : « (i.e. les 2 comp. conn. de D_x -
D_x \cap \Gamma appart., l'une dans
\operatorname{int}\Gamma, l'autre dans \operatorname{Ext}\Gamma) »
en face de « Remarque 2 » : « style »
à la fin de la Remarque 2, « la vérifie » : « (car si D_x
\subset D'_x, \pi_0(D_x - D_x \cap \Gamma) \to \pi_0(D'_x - D'_x \cap
\Gamma) est bijectif) »
il souligne « bon sommet » (Définition 2)
en tête de la bande collée : « vague », et « Déf 3 : » ; il
insère « et s, s' \in \mathbb{R}^2, » après « Si E est une partie de
\mathbb{R}^2 » et biffe la même clause en fin de phrase
sans texte : un seul dessin, à l'encre noire, en haut à gauche — un
polygone étoilé non convexe, doublé à l'intérieur d'un second contour
parallèle, plus fin
p. III du mémoire. Lemme I : si \Gamma est un J-polygone et
\Gamma'_{xy} l'un des deux arcs de la Remarque 1 reliant x \neq y, il
existe un système fondamental \beta de voisinages ouverts V de
\Gamma'_{xy} tels que V \cap \operatorname{int}\Gamma et V \cap
\operatorname{ext}\Gamma soient connexes. Suit la démonstration, par un
recouvrement fini de l'arc par des disques vérifiant b) de la définition 1
il insère « x \neq y », « \beta » et « ouverts » dans
l'énoncé, et souligne « il existe un système » ; « ! » en marge
en face de « grâce à l'axiome du choix », qu'il souligne : « ! » ;
il souligne « de \Gamma » dans « si U est un voisinage de \Gamma » et
écrit en marge : « \Gamma_{xy} »
il encadre « i.e. \Gamma_{xy} \cap D_{z_i} = I_i »
en face de « Le même argument prouve (quitte à changer
\operatorname{int}\Gamma par \operatorname{ext}\Gamma) », qu'il
souligne : « ! »
en face de « On utilise le fait, sans le dire, que deux points
x, y d'un ouvert connexe de \mathbb{R}^2 peuvent être reliés par un arc
de polygone », où il souligne « sans le dire » : « ? »
p. IV du mémoire : « 2 — Rappel sur les sous-ensembles convexes de
\mathbb{R}^2 ». Lemme II : si A \subset \mathbb{R}^2 contient
trois points affinement indépendants, il existe un unique polygone \Gamma
sans trois sommets consécutifs colinéaires, d'ensemble sous-jacent E(A) -
\mathring{E}(A) (E = enveloppe convexe), et S(\Gamma) \subset A.
Convention : « ensemble convexe » désigne l'enveloppe convexe d'un
ensemble fini de points ; si \mathring{C} \neq \emptyset, \partial C = C -
\mathring{C} reçoit la structure de polygone du lemme II. Lemme III :
la droite de deux sommets consécutifs de \partial C laisse \mathring{C}
d'un seul côté. Lemme IV : si x \notin C, il existe y \in C -
S(\partial C) qui est (\mathbb{R}^2 - C)-visible de x. Démonstrations
esquissées
en face de « Lemme II » : « ! » ; il insère « finie » après « une
partie » et « de \Gamma » après « trois sommets consécutifs »
en face de « Démonstration (Esquisse) » : « jargon ? » ; il entoure
le \bigcap de « E(A) = \bigcap demi-espaces fermés », souligne
« uniquement déterminées par » et insère « ens. des » dans « S(\Gamma) =
points extrémaux de E(A) »
en face de « Convention » : « !!! » et
« partie polyédr. conv. » ; il souligne « pour nous » et
« ensemble convexe »
à droite de « un ensemble convexe C est compact » :
« intervention en lemme II ! C'est une salade… »
en face de la démonstration du lemme III : « ? »
en face de « Lemme IV » : « vis. » ; en face de sa dernière ligne,
« la distance de x à [z_1, z_2] » : « ! »
sans texte : un croquis à l'encre noire — un segment d'extrémités s
et s', un point y sur ce segment, et une droite en pointillé qui monte de
y vers un point marqué x ; il paraît illustrer la démonstration du lemme
IV, page 26
p. V du mémoire. Lemme V : si C est convexe, y \in\,
]s,s'[ avec s, s' \in C, et y est (\mathbb{R}^2 - C)-visible d'un point
x \notin C non colinéaire à s, s', alors tout point colinéaire à s, s'
est (\mathbb{R}^2 - C)-visible de x (démonstration par le triangle s,
s', w). Définition 3 : un polygone est convexe s'il est le bord
C - \mathring{C} d'un ensemble convexe. Lemme VI : un polygone convexe
est un J-polygone, et tout sommet non colinéaire à ses deux voisins est un
bon sommet
au-dessus de « Lemme V » : « vis ? » ; il souligne « ensemble
convexe »
entre l'énoncé du lemme V et sa démonstration : « NB
s, s' appartiennent : arête de C, et si D
est la droite qu'ils déterminent, x et C sont de part et d'autre de
cette droite… »
au-dessus de « Définition 3. Un polygone \Gamma est convexe » :
« (pas de jargon !) » ; il insère « dit »
avant « convexe » et souligne en tirets « ensemble »
verso du feuillet de la page 28, de sa main, au crayon ; ce qui suit
jusqu'au « Cor Main » est écrit en travers du feuillet, le lemme du bas dans
le sens de la page. Deux dessins : au crayon, un polygone en dents de scie
inscrit dans un grand triangle ; à l'encre noire, un polygone en pointe de
flèche dont deux côtés sont complétés en pointillé
Or [les comp. connexes de \Gamma \cap [s', s''] sont des
des points, et les extrémités des I_\alpha et] côtés
et que tout t \in
passage barré de grands traits obliques ; la lecture en est partielle
alors \Phi := S(\Gamma) \cap \mathring{T} - \{s, s', s''\}
Cor Main. Ou bien ]s', s''[\, \subset \operatorname{Int}\Gamma, ou
bien \exists\, t \in S(\Gamma), t \neq s, tel que ]s,t[\, \subset
\operatorname{Int}\Gamma.
Lemme. Soit \Gamma un polygone à n côtés (n \geq 3)
non convexe. Alors \exists\, s \in S(\Gamma) « non plat » tel que
\forall D_s de centre s, l'un des satisfaisant la cond. b) de
Déf 1, le secteur angulaire de D découpé par \Gamma (i.e. par [s,s']
\cup [s,s''], où s', s'' sont les 2 sommets adjacents) qui est d'angle >
\pi soit extérieur à \Gamma. Si \Gamma est un J-polygone, et n \geq 4,
alors
(i) si \Gamma \cap \mathring{T} = [s,s'] \cup [s,s''], ]s',s''[\,
\subset \operatorname{Int}\Gamma
(ii) si \Gamma \cap T \neq [s,s'] \cup [s,s''] et \Gamma \cap
\mathring{T} = \emptyset, ]s', s''[,
la page s'arrête là. Le \mathring{T} de (i) est récrit sur un mot
noirci ; T est le triangle de sommets s, s', s'', comme au lemme XI de
la page 35
p. VI du mémoire : démonstration du lemme VI (par un triangle T
contenant C et la connexité de (\partial T \cup
\operatorname{int}\partial T) - C). Puis, pour un polygone \Gamma et son
enveloppe convexe E(\Gamma) : a) E(\Gamma) = E(S(\Gamma)) ; b)
S(\partial(\Gamma)) \subset S(\Gamma). « On veut étudier le lien entre
\Gamma et son enveloppe convexe. »
en face de « Il est clair que E(\Gamma) vérifie », où il
souligne « clair » : « réf. int. »
sous « b) S(\partial(\Gamma)) » : « S(\partial(E(\Gamma))) »
de sa main, à l'encre noire, sur un feuillet séparé. À gauche, un
dessin : un polygone non convexe à six côtés, en éclair
Lemme. Soient \Gamma, \Gamma' deux polygones distincts,
tels que \Gamma \subset alors \Gamma \not\subset \Gamma',
\Gamma' \not\subset \Gamma, et \Gamma \cap \Gamma' est une réunion finie
d'arcs disjoints de \Gamma (et de \Gamma'), éventuellement réduits à un
point. Si \Gamma' = \partial E(\Gamma), où \Gamma est un polygone
non convexe (puisque \Gamma' \neq \Gamma), alors
les l'ens. \Phi des extrémités des arcs polygonaux
composantes connexes de \Gamma \cap \Gamma' sont des sommets est
\subset S(\Gamma)telle s \in
\Phi, \exists\, t \in \Phi, t \neq s, telle que ]s,t[\, \subset
\Gamma' NB t est unique, sauf si s point isolé de \Gamma
\cap \Gamma', auquel cas il existe exactement deux tels t.
Cor. Si \Gamma polygone non convexe, \exists\, s, s' sommets
distincts de \Gamma, tels que s
[NB \operatorname{Ext}(\Gamma) est défini pour tt
polygone, pas néc. un J-polygone…]
p. VII du mémoire. Lemme VII : si \Gamma est un J-polygone,
\operatorname{ext}\partial E(\Gamma) \subset \operatorname{ext}\Gamma.
Lemme VIII : si \Gamma est un J-polygone non convexe, il existe deux
sommets s, s' tels que s' soit visible de s de l'extérieur de \Gamma ;
la démonstration prend une arête \alpha = [s,s'] de \partial E(\Gamma)
non contenue dans \Gamma, et se poursuit page 33
en face de « Lemme VIII » : « inutile » ; il met entre
parenthèses le « J- » de « un J-polygone non-convexe »
en face de la démonstration du lemme VIII, une note verticale
partiellement lue : « E(\Gamma)^c E(\partial E(\Gamma)) =
E(\Gamma) »
p. VIII du mémoire : fin de la démonstration du lemme VIII
(]s,s'[\, \subset \operatorname{ext}\Gamma). Secteurs angulaires intérieur
et extérieur en un sommet d'un J-polygone. Lemme IX (« l'analogue
suivant de la positivité de la courbure des courbes convexes ») : en un
sommet d'un polygone convexe, l'angle du secteur intérieur est \leq \pi.
Lemme X : un J-polygone a au moins trois sommets où l'angle du
secteur intérieur est < \pi ; la démonstration part d'un sommet de
\partial E(\Gamma) et se poursuit page 35
à droite de « Mais D_t \cap \operatorname{ext}\partial E(\Gamma)
\neq \emptyset », encadré : « donc D_t \cap \operatorname{ext}\Gamma \neq
\emptyset (cf lemme VII) »
le « J- » de l'énoncé du lemme X est barré d'un trait de crayon, d'une
main non établie
p. IX du mémoire : fin de la démonstration du lemme X (l'angle
extérieur en un sommet de \partial E(\Gamma) est > \pi et reste dans
\operatorname{ext}\Gamma). Lemme XI : si \Gamma est un J-polygone,
il existe deux sommets s, s' tels que s' soit visible de s de
l'intérieur de \Gamma. La démonstration prend s comme au lemme VIII, ses
voisins s', s'' et le triangle T de sommets s, s', s'', et traite
d'abord le cas (T - ([s,s'] \cup [s,s''])) \cap \Gamma = \emptyset. Les
marques au crayon sont d'une main que la présente lecture ne distingue pas
avec certitude de celle de l'encre noire
en face de « Lemme XI », au crayon : « faux pour n = 3 ! » ;
à l'encre noire, il insère « à n \geq 3 côtés, » après « J-polygone » et
écrit sous l'énoncé : « OPS \Gamma non convexe (sinon c'est clair grâce à
…) »
en face de « Soit s un sommet satisfaisant la propriété
énoncée au lemme VIII » : « Lemme X » ; en face de « Si (T - ([s,s'] \cup
[s,s''])) \cap \Gamma = \emptyset » : « ambigu »
en face de « donc ]s',s''[\, \subset \operatorname{int}\Gamma » :
« faux » ; au crayon, à la suite : « il faut prendre s comme dans la
dém. du lemme VIII (pas son énoncé !) »
en face de « Si (T - ([s,s'] \cup [s,s''])) \cap \Gamma \subset\,
]s',s''[ », où il barre le \subset et souligne la ligne : «
au crayon, sous « \mathring{T} \subset \operatorname{int}\Gamma »
entouré : « dire avant ! ( au lemme VIII) »
p. X du mémoire : fin de la démonstration du lemme XI, dans le cas
\mathring{T} \cap \Gamma \neq \emptyset, par l'enveloppe convexe C de
(\mathring{T} \cup\, ]s', s''[) \cap \Gamma et les lemmes IV et V.
Corollaire à la démonstration du lemme VIII : tout polygone a deux
sommets distincts s, s' avec s' (\mathbb{R}^2 - \Gamma)-visible de s
et ]s', s[\, \subset \partial E(\Gamma)
en face de « Reste le cas \mathring{T} \cap \Gamma \neq
\emptyset » : « !! » ; au crayon, au-dessus de « l'enveloppe convexe C de
(\mathring{T} \cup\, ]s',s''[) \cap \Gamma » : « ce n'est pas un
“ens. convexe” ! » ; à l'encre noire, des crochets tracés par-dessus font
de ]s',s''[ un [s',s'']
au crayon, dans la marge gauche, en regard de « Soit \alpha \in
A(\partial C) » et de la suite, une longue note verticale : «
compliqué \in \Gamma (s', s'') »
après « Corollaire à la démonstration du lemme VIII », qu'une
main souligne au crayon : « !! » ; au crayon, « distincts » inséré avant
« s, s' \in S(\Gamma) »
p. XI du mémoire : « 3 — Preuve du théorème 1 ». On prend s, s' comme
au corollaire, les deux arcs \Gamma^1_{ss'}, \Gamma^2_{ss'} de \Gamma
reliant s à s', et les polygones \Lambda^1, \Lambda^2 obtenus en
recollant [s,s'] à chacun. Lemme XII : si \Lambda^1 est un
J-polygone, \Gamma^2_{ab} - \{a,b\} est contenu dans
\operatorname{int}\Lambda^1 ou dans \operatorname{ext}\Lambda^1 (et de
même en échangeant les indices). On suppose ensuite \Lambda^1, \Lambda^2
J-polygones. Lemme XIII : pour x \in \partial E(\Gamma) et un disque
D_x convenable, \operatorname{ext}\partial E(\Gamma) \cap D_x \subset
\operatorname{ext}\Lambda^i, i = 1, 2
au crayon, en face de « Lemme XII », qui écrit \Gamma^2_{ab} :
« a = s ? b = s' »
au crayon, en face de l'énoncé du lemme XIII, où le D_x de la
formule est barré, encadré : « \operatorname{Ext}(\partial E(\Gamma)) =
\mathbb{R}^2 - E(\Gamma) \subset \operatorname{Ext}(\Lambda^i) »
p. XII du mémoire, sans annotation. \Lambda^1 \cap \Lambda^2 =
[s,s']. Lemme XIV : pour un disque D_s convenable,
\operatorname{int}\Lambda^1 \supset \Lambda^2 \cap D_s - [s,s'] \cap D_s ou
\operatorname{int}\Lambda^2 \supset \Lambda^1 \cap D_s - [s,s'] \cap D_s.
D'où \operatorname{int}\Lambda^1 \supset \Lambda^2 - \{s,s'\} ou
\operatorname{int}\Lambda^2 \supset \Lambda^1 - \{s,s'\} ; on suppose le
premier cas. Lemme XV : \operatorname{int}\Lambda^2 \subset
\operatorname{int}\Lambda^1
p. XIII du mémoire, sans annotation. Démonstration du lemme XV ; puis
la récurrence sur \operatorname{card} S(\Gamma) - 2 (le cas du triangle
étant trivial), avec \operatorname{card} S(\Lambda^i) <
\operatorname{card} S(\Gamma), et les ensembles V =
\operatorname{ext}\Lambda^1 \cup \operatorname{int}\Lambda^2 \cup\, ]s,s'[
et U = \operatorname{int}\Lambda^1 - (\operatorname{int}\Lambda^2 \cup
(\Gamma^2_{ss'} \cap \operatorname{int}\Lambda^2)), U relativement
compact et V non, que reprend le lemme XVI de la page 41