Cote n° 71, pages 1–20

Cote n° 71 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Théorème de Jordan : notes manuscrites (1976, s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

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2en haut à gauche, trois colonnes ; à droite d'un trait vertical, les bords

\[\begin{array}{ccc} V_1 & V_2 & V_3 \\ \Gamma''_1 & \Gamma''_2 & \Gamma''_3 \\ \Vert & \Vert & \Vert \\ \Gamma'_1 - \partial & \Gamma'_2 - \partial & \Gamma'_3 - \partial \end{array} \qquad \partial = \{x, y\}\]

\(V_1\) bords \(\Gamma'_2, \Gamma'_3\) ; \(\Gamma'_1\) bord pour \(V_2, V_3\)

\(V_2\) bords \(\Gamma'_3, \Gamma'_1\) ; \(\Gamma'_2\) — \(V_3, V_1\)

\(V_3\) bords \(\Gamma'_1, \Gamma'_2\) ; \(\Gamma'_3\) — \(V_1, V_2\)

\[\begin{aligned} \Gamma_1 &= \Gamma_2 \cup \Gamma_3 = \Gamma'_2 \cup \Gamma'_3 = \Gamma''_1 \cup \Gamma''_2 \cup \partial \\ \Gamma_2 &= \Gamma_3 \cup \Gamma_1 = \Gamma'_3 \cup \Gamma'_1 = \Gamma''_3 \cup \Gamma''_1 \cup \partial \\ \Gamma_3 &= \Gamma_1 \cup \Gamma_2 = \Gamma'_1 \cup \Gamma'_2 = \Gamma''_1 \cup \Gamma''_2 \cup \partial \end{aligned}\] ainsi sur la page, où les deux premiers membres portent des \(\Gamma\) sans accent ; page 13 écrit \(\Gamma_1 = \Gamma'_2 \cup \Gamma'_3\). Les indices du dernier membre de la première ligne sont d'une lecture incertaine

\[\Gamma^{*}_3 = \Gamma''_1 \cup \Gamma''_2 \cup \partial \quad\Big|\quad U_3 = V_1 \cup V_2 \cup \Gamma''_3 \quad\Big|\quad V_3\]

\(\dot{U}_3 = \Gamma_3\) ; \(U_3 \cup\)

\(U, C, V\)

à gauche, un croquis : deux cercles sécants, hachurés obliquement, un petit cercle autour d'un des points d'intersection ; non redessiné

5\(\mathcal{X}\) peut aussi s'identifier à la somme amalgamée des \(\overline{W}\) et des \(\coprod_{i \in I} \overline{U_i}\) (via \(\coprod_i B_i \hookrightarrow \overline{W}\), \(\coprod_i B_i \to \coprod_i \overline{U_i}\)) :

L'application naturelle

\(\mathcal{X} \to X\)

\[\mathcal{X} \simeq \overline{W} \amalg_{(\coprod_i B_i)} \Bigl(\coprod_i \overline{U_i}\Bigr) \simeq \coprod_{i\,(W)} X_i \qquad X_i \simeq \mathcal{X}_i\] sous \(\mathcal{X}_i\) : « \(\Vert\) \(\operatorname{Im} X_i\) », relié par une flèche à « ouvert de \(\mathcal{X}\) »

\(\mathcal{X} \to X\) est étale en les pts de \(\mathcal{X} - \coprod_i C_i\), i.e. une […] fermée en les pts de \(\coprod C_i\).

à gauche, une figure : trois régions arrondies accolées autour d'un nœud à trois branches épaissies, marquées \(B_1, B_2, B_3\) aux extrémités et \(C_1, C_2, C_3\) près du centre ; sous la figure, « \(K\) » ; non redessinée

6) Lemme d'immersion de \(\mathcal{X}\) […]

remplaçant au voisinage de \(K\) par \(K^{*} \subset K\) (\(U_i, U'_i\) par \(U^{*}_i = U_i \cap K^{*}\), \(U'^{*}_i = U'_i \cap K^{*}\)), on suppose que \(\dot{K}^{*} \subset U_i\), et \(\dot{K} \subset \bigcup U_i\), et \((K \setminus K')\) \(= V_i\), \(C_i \subset \overline{U^{*}_i} \cap \overline{U'^{*}_i}\) (il suffit que […] \(\operatorname{int} K' \supset \bigcup C_i\).

— vérifier si dans les développements précédents, il n'y avait pas lieu d'exiger \(\bigcup C_i \subset \operatorname{int} K\) i.e. \(C_i \cap \dot{K} = \emptyset\) \(\forall i \in I\)…

vérifier […] […]…

6page barrée d'un long trait oblique d'un bout à l'autre, et d'une croix dans le quart inférieur droit

\[\begin{array}{c} e \in E \\ \cup \\ M(e) = M(E_e) \subset E_0 = M(E) \\ \big\downarrow{\scriptstyle \varphi} \\ I \ \text{ordonné} \end{array} \qquad \begin{cases} |E| = X \supset |E_e| \\ X_i = \bigcup_{\varphi(M(e)) \leq i} |E_e| \end{cases} \qquad E_e = \{x \in E \mid x \leq e\}\]

\(e_0 \in E_0 \mapsto X_{e_0} = \bigcup_{M(e) \leq e_0} |E_e|\)

\((i_0 > \cdots > i_k) = d \in \operatorname{Drap}(I)\), \(d \subset I\)

\(\Sigma_d(\mathcal{X})\) ; \(\Sigma_{\{i\}}(X) = \Sigma(X_i, \partial X_i)\)

\[\begin{array}{ccccccc} \Sigma_{\{i_0, \dots, i_{k-1}\}}(\mathcal{X}) & \supset & \partial\Sigma_{\{i_0, \dots, i_{k-1}\}} & \supset & \Delta_{i_0 \dots i_k}(\mathcal{X}) & \supset & \partial\Delta_{i_0 \dots i_k} \\ \big\downarrow & & \big\downarrow & & \big\downarrow & & \big\downarrow \\ \Sigma_{i_{k-1}}(X)_{\ill{}} & & & & & & \\ \big\downarrow & & & & & & \\ X_{i_{k-1}} & \supset & \partial X_{i_{k-1}} & \longleftarrow & X_{i_k} & \supset & \partial X_{i_k} \end{array}\] les trois flèches verticales de droite descendent de la première ligne à la dernière ; le sens de la flèche entre \(\partial X_{i_{k-1}}\) et \(X_{i_k}\) est incertain

\[\Sigma_{\{i_0, \dots, i_k\}}(\mathcal{X}) = \Sigma(\Delta_{i_0 \dots i_k}, \partial\Delta_{i_0 \dots i_k})\]

\(\Sigma_{\{i_0, \dots, i_k\}} \to \Sigma_{d'}(\mathcal{X})\) pour \(d' \subsetneq d\) ; en colonne, \(\partial X_{i_k} \subset X_{i_k} \to X_{i_{k-1}}\).

\(\Sigma_d \to \Sigma_{\tilde{d}'} \to \Sigma_{d'}\)

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\begin{tikzcd}
\Sigma_{d \setminus \{i_k\}} \arrow[r] \arrow[d] & X_{i_{k-1}} \arrow[d, hook] \\
\Sigma_{d' \setminus \{i_k\}} \arrow[r] & X_{i_\alpha}
\end{tikzcd}

sous \(\Sigma_{d' \setminus \{i_k\}}\), une flèche surchargée et biffée vers \(\Sigma_{d'}\) ; après \(\Sigma_{d' \setminus \{i_k\}}\), un indice biffé

\(\pi_0(\Sigma_d) = D(d)\)

75) Soit \(K\) un fermé de l'espace \(X\), \((U_i)_{i \in I}\) une famille d'ouverts relatifs de \(K\), mutuellement disjoints, tels que \(\dot{K} \subset \bigcup_i U_i\). Soit \(B_i = \dot{K} \cap U_i\), de sorte que \(\dot{K} = \coprod B_i\). (Supposons Pour tt \(i\), soit \(C_i = \overline{U_i} \setminus U_i\) la frontière relative de \(U_i\) dans \(K\), supposons que \(C_i \subset (K - \overline{U_i})^{-}\) cf. …). Posons […] \(X_i = X \setminus U_i\). Alors l'indice de \(U_i\) est surchargé à chaque occurrence de la page ; un accent ( \(U'_i\) ) est lisible par endroits et n'est pas retenu

\[\begin{cases} X_i \text{ est loc.\ fermé} \\ \operatorname{Int} X_i = X - \overline{U_i} = X_i \setminus C_i \\ \overline{X_i} = X_i \cup B'_i \qquad (B'_i = \dot{K} \setminus B_i) \end{cases}\] i.e. \(C_i\)

\(\operatorname{Int} X_i\) et \(U_i \setminus C_i\) sont deux ouverts de \(X\) dont chacun est le complémentaire de l'adhérence de l'autre.

Soit \(W = X \setminus K\), […] donc \(\dot{W} = \overline{W} \cap K = \dot{K} = \coprod B_i\), l'inclusion \(W \subset X_i\) est une immersion ouverte et \(\dot{W} \cap X_i = \dot{K} \cap X_i = B_i\), […] i.e. […] l'adh. de \(W\) dans \(X_i\) est \(W \cup B_i\), dans la bord frontière de \(W\) dans \(X_i\) est \(B_i\). On a \[X_i = \bigl(\overline{W} \cap X_i = W \cup B_i\bigr) \amalg_{B_i} \overline{U_i}\] […]

Alors la somme amalgamée des […] […] […] \(W\) est […] la dernière ligne, au bord inférieur du feuillet, n'est lue qu'en partie

91) \(X\) espace topologique, \(U, V\) ouverts, conditions équivalentes

a)\(U = \complement\overline{V}\), \(V = \complement\overline{U}\)
b)\(U \cap V = \emptyset\), \(\complement(U \cup V) \subset \overline{U} \cap \overline{V}\) (d'où égalité)
c)\(U \cap V = \emptyset\), \(X = \overline{U \cup V}\), \(\dot{U} = \dot{V}\)
d)\(\overline{U} \cap \overline{V} = \dot{U} = \dot{V}\).

\(U\) et \(V\) se déterminent mutuellement. Pour \(U\) fixé, il existe \(V\) ayant les propriétés précédentes ssi \(V = \complement\overline{U}\) est dense dans \(\complement U\).

3) \(X\) espace topologique, \(K \subset X\) fermé, \(U_K\) et \(U'_K\) deux ouverts relatifs de \(K\) tels que \(\overline{U_K} \setminus U_K = \overline{U'_K} \setminus U'_K\), \(\overline{U_K} = K \setminus U'_K\), \(\overline{U'_K} = K \setminus U_K\), \(C = \overline{U_K} \cap \overline{U'_K}\) \(=\) frontière commune (fermé dans \(X\)) de \(U_K\) et \(U'_K\) dans \(K\) […], soit \(B = U_K \cap \dot{K}\), donc donc \(B\) ouvert dans \(\dot{K}\) et fermé dans \(U_K\) donc relativement fermé dans \(X\). Alors on a, puisque \(B \cap C = \emptyset\).

\[\begin{cases} U = U_K \setminus B = \operatorname{Int}(U_K) \\ V = X \setminus \overline{U_K} = (X \setminus U_K) \setminus C = \operatorname{Int}(X_1), \qquad X_1 = X \setminus U_K \\ U = \complement\overline{V}, \quad V = \complement\overline{U}, \quad \dot{U} = \dot{V} = \overline{U} \cap \overline{V} = \complement(U \cup V) = B \cup C \\ \struck{U \cap K = U \subset K,\ V \cap K = V_K}\quad V \subset X_1 \subset \overline{V} \end{cases}\]

Cor. Si \(B \cap C = \emptyset\) i.e. […] \(U_K \setminus U\). Supposons, Pour \(B\) Pour que \(X_1 = \complement U_K\) soit loc. fermé, il f. et s. que \(B = U_K \cap \dot{K}\) soit fermé dans \(X\), i.e. \(B\) soit ouvert et fermé dans \(B \cup C\) […] dans \(X\), […] on suppose que […] soit une somme […] topologique de \(\dot{K}\), et posons \(\dot{K} = B' \amalg B\) […] \(\dot{K}\). Posant alors \(\dot{K} = B' \amalg B\) qu'il soit fermé dans \(B \cup C\), on suppose que \(\overline{B} \cap C = \emptyset\). [Il suffit pour ceci que \(\dot{K} \cap C = \emptyset\) i.e. que \(U_K \cup V_K \supset \dot{K}\)] i.e. \(U_K\) et \(V_K\) […] fin de page très raturée ; seules les formules et les ratures lisibles sont données

10feuillet plié, sans rapport visible avec le reste du dossier ; la moitié gauche est écrite tête-bêche, la moitié droite porte un croquis au crayon. Transcription condensée

\(t^2(\lambda_0) = \lambda_0\), ; \(t^2(\lambda_1) = t(\uncertain{q_\nu})\, t(\lambda_\nu)\, t(\uncertain{q_\nu})^{-1}\) sous \(t(\lambda_\nu)\), une accolade « \(\lambda_1\) »

\(\lambda_0 \ \lambda_1 \ \lambda_2\) ; \(t^3 = \operatorname{int}(\lambda_0)\)

\[\begin{aligned} t(\lambda_0) &= \lambda_0 \\ t(\lambda_1) &= \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1^{-1} = \lambda_0^{-1} \lambda_2 \lambda_0 \\ t(\lambda_2) &= \lambda_1 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} t^3(\lambda_0) &= \lambda_0 \\ t^3(\lambda_1) &= (\lambda_1 \lambda_2 \lambda_1^{-1})\, \lambda_1\, (\lambda_1 \lambda_2^{-1} \lambda_1^{-1}) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1 \lambda_2^{-1} \lambda_1^{-1} \\ &= \operatorname{int}(\lambda_1 \lambda_2)\, \lambda_1 = \operatorname{int}(\lambda_0^{-1})\, \lambda_1 \\ t^3(\lambda_2) &= t(\lambda_1) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1^{-1} = \struck{\operatorname{int}(\lambda_1)} \\ &= (\lambda_1 \lambda_2)\, \lambda_2\, (\lambda_2^{-1} \lambda_1^{-1}) = \operatorname{int}(\lambda_1 \lambda_2)\, \lambda_2\ \operatorname{int}\ill{} \end{aligned}\] dans la seconde ligne, deux facteurs \(\lambda_1^{-1}\) et \(\lambda_1\) sont barrés d'un trait oblique, simplifiés ; le texte porte « \(\operatorname{int}\) » en abrégé

à droite, au crayon, pâle : un diagramme \(G/H \leftarrow E = G \times_H E \leftarrow G \times_H E\), avec des flèches verticales vers \(E\) et \(E'\), puis \(B_H \to B_G\) (flèche \(f\)), \(f^{*}(E) \to E\), \(f^{*} f_{!}(\ill{}) \to \ill{}\) et « \(\tilde{E} \simeq\) » ; lecture incertaine dans le détail

113) Supposons \(\dot{K} \cap C = \emptyset\), et posons […] \[\begin{align*} B' &= U'_K \cap \dot{K} \\ U' &= U'_K \setminus B' = \operatorname{Int}(U'_K) \\ V' &= X \setminus \overline{U'_K} = (X \setminus U'_K) \setminus C = \operatorname{Int}(X'_1), \qquad X'_1 = X \setminus U'_K \end{align*}\] enfin \(W = V \cap V' = \complement K\).

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\begin{tikzcd}
U' \arrow[rr, no head, "C"] \arrow[dr, no head, "B'"'] & & U \arrow[dl, no head, "B"] \\
& W &
\end{tikzcd}

à droite, une figure : un anneau autour d'un disque, le bord intérieur coupé en \(B'\), \(C\), \(B\), les régions marquées \(U'\), \(U\), \(W\), \(V\), \(V'\) ; une accolade désigne « \(\operatorname{Int} K\) » ; non redessinée

Alors on a : \(U, U', W\) ouverts disjoints, \(B, B', C\) fermés disjoints — \(U, U', W, B, B', C\) pseudo-partition de \(X\) \[\begin{cases} \overline{U} \cap \overline{U'} = C, \quad \overline{U} \cap \overline{W} = B, \quad \overline{W} \cap \overline{U'} = B' \\ \dot{U}' = \overline{U'} \setminus U' = B' \cup C, \quad \dot{U} = B \cup C, \quad \dot{W} = B \cup B' \\ K = \overline{U \cup U'} = \complement W = (U \cup U') \cup B \cup B' \cup C, \quad \operatorname{Int} K = U \cup U' \cup C \end{cases}\] la première égalité de la deuxième ligne commence par \(\overline{U^{*}} \cap \overline{W}\), lapsus probable

4) […] Soient \(U, U', W\) trois ouverts d'un espace \(X\). Conditions équivalentes :

a)\(U, U', W\) mutuellement disjoints, réunion dense, […] \(\dot{U} \subset \overline{U' \cup W}\), \(\dot{U}' \subset \overline{U \cup W}\), \(\dot{W} \subset \overline{U \cup U'}\), \(\overline{U} \cap \overline{U'} \cap \overline{W} = \emptyset\),
b)Posant \(C = \overline{U} \cap \overline{U'}\), \(B = \overline{U} \cap \overline{W}\), \(B' = \overline{W} \cap \overline{U'}\), les \(U, U', W, B, B', C\) forment une pseudo-partition de \(X\).

On a alors les relations ci-dessus —

Je reviens […] […] données ([…] […]) : \(U, U', W\) satisfaisant les conditions équ. a) b) — \(K\), et \(U_K, U'_K\) (fermé de \(X\) ; ouverts de \(K\)) satisfaisant \[\begin{cases} \overline{U_K} = K \setminus U'_K, \quad \overline{\uncertain{U'_K}} = K \setminus U_K \\ C \cap \dot{K} = \emptyset \quad \text{car} \quad C = \overline{U_K} \cap \overline{U'_K} = K \setminus (U_K \cup U'_K) \end{cases}\]

12page traversée d'un long trait oblique ; le calcul du bas est en outre barré de plusieurs traits

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\begin{tikzcd}
D(d) = \pi_0 \Sigma_d(\mathcal{X}) \arrow[r, "\alpha_d \sim"] \arrow[d, "\mathrm{P}_{d',d}"'] & E(d) \arrow[d, "r_{d',d}"] \\
D(d') \arrow[r, "\alpha_{d'} \sim"] & E(d')
\end{tikzcd}

à gauche du diagramme, « \(d \supset d'\) » écrit en colonne ; l'étiquette de la flèche verticale de gauche est surchargée

\(E(d) \overset{\mathrm{df}}{=} \{e \in E \mid \varphi(M(e)) = d\}\)

\[D(\{i\}) = \pi_0 \Sigma(X_i, \partial X_i) \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_i\ } E(\{i\}) = \varphi^{-1}(\{i\})\] avec, sous \(\Sigma(X_i, \partial X_i)\) : \(\bigcup_{\mu\varphi(M(e)) \leq i} |E_e|\), \(\bigcup_{\mu\varphi(M(e)) < i} |E_e|\).

\[\partial X_i = \bigcup_{\mu(\varphi(M(e))) < i} |E_e|\] \[\partial X_i \overset{\mathrm{df}}{=} \bigcup_{j < i} X_j = \bigcup_{j < i}\ \bigcup_{\substack{e \in E \\ \varphi M(e) \leq j}} |E_e| = \bigcup_{\substack{e \in E \\ \exists j \text{ tel que } \varphi(M(e)) \leq j < i}} |E_e|\]

\[|K| = (K_0, K) \supset (L_0, L) = |L|, \qquad \Sigma(|K|, |L|) = |\Delta|\]

\[\begin{cases} \tilde{K} \overset{\mathrm{df}}{=} \Sigma(K, L) = (\tilde{K}_0, \tilde{K}) \\ \tilde{K}_0 = \varinjlim_{\sigma \in K \setminus L} \sigma \ (\subset K_0) \xrightarrow{\ \pi\ } K_0 \\ \tilde{\Delta} = \operatorname{Im}\bigl((K \setminus L) \to \mathcal{P}(\Delta_0)\bigr) \end{cases}\]

\(\ill{}\,|\tilde{K}| \xrightarrow{\ ?\ } \Sigma(|K|, |L|)\), \(= \varinjlim_{\sigma' \in \Delta} |\sigma'|\) ; \(\sigma' = \operatorname{Im}(\sigma)\), \(\sigma \in K \setminus L\) ; \(|\sigma| \to |\sigma'| \to \Sigma\) la flèche porte un « \(\sim\) » surmonté d'un « ? »

13\[\Gamma_1 = \Gamma'_2 \cup \Gamma'_3, \qquad \Gamma_2 = \Gamma'_3 \cup \Gamma'_1, \qquad \Gamma_3 = \Gamma'_1 \cup \Gamma'_2\]

a) \(v_1, v_2, v_3\) appartiennent contenus dans des régions distinctes de \(E - \Gamma\)

\(\Updownarrow\) ; a') \(E - \Gamma\) a trois régions distinctes

b) \(\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3\) sont des courbes de Jordan

\(\Downarrow\)

c) \(\Gamma_1, \Gamma_2\) sont des courbes de Jordan

la figure : deux grands arcs \(\Gamma'_1\), \(\Gamma'_2\) et l'arc médian \(\Gamma'_3\) se rejoignant en \(x\) (en haut) et en bas ; un petit cercle autour de \(x\), découpé en trois secteurs \(v_1, v_2, v_3\) ; non redessinée

a) \(\Longleftrightarrow\) a')

b) \(\Rightarrow\) c) \(\Longleftrightarrow\) trivial

c) \(\Rightarrow\) a)

Or 2 pts de part et d'autre de \(\Gamma'_3\) dans […] […] \(\Gamma'_3\) […] dit […] […] a fortiori des régions distinctes de \(E - \Gamma_1\) (\(E - \Gamma_2\)), donc a fortiori des régions distinctes de […] \(E - \Gamma_{\uncertain{2}}\) \(= E - \Gamma\), donc \(v_1\) et \(v_2\) sont des régions distinctes. De même, deux pts de part et d'autre de \(\Gamma'_1\) (\(\Gamma'_2\)) sont des régions distinctes de \(E - \Gamma_2\) (\(E - \Gamma_1\)) donc sont des régions distinctes de \(E - \Gamma\), OK.

a) \(\Rightarrow\) b) ; Prouvons que \(\Gamma_3\) (p. ex.) est courbe de Jordan.

16en haut à gauche, un croquis : deux points reliés par trois arcs \(\Gamma'_1\), \(\Gamma'_3\), \(\Gamma'_2\), les régions \(V_2\), \(V_1\) entre eux et \(V_3\) à l'extérieur, un petit cercle orienté autour de chaque point

\(\Gamma'_\alpha\), \(\alpha \in \mathbb{I}\) ensemble […] […] : chemin simple joignant les deux points de \(\partial = \{x, y\}\)

\(\Gamma_\alpha = \bigcup_{\beta \in A - \{\alpha\}} \Gamma'_\beta\) ; déterminent […] […] \(B_\alpha\) de card. 2 (l'une des 2 origines, des pts \(x\))

\(B = \coprod_{i \in \mathbb{I}} B_i\) ; […] […] de 3 […]

Si \(i \in I\) est donné, on lui associe \(U_i\) la région de \(\Gamma_i\) qui contient \(\Gamma'_i - \partial = \mathring{\Gamma}_i\), d'où […] […] de la […]

\[B \simeq I \times \{0, 1\}, \quad V_i : \qquad U_i = \mathring{\Gamma}_i \cup \bigcup_{j \in I \setminus \{i\}} U_j, \qquad V_i = \bigcap_{j \in I \setminus \{i\}} V_j\] ces deux formules, telles qu'écrites, portent \(U_j\) et \(V_j\) sous les signes de réunion et d'intersection

\(U_i, U_j, U_k\) \[\left\{ \begin{array}{l} V_1, V_2, V_3 \\ \Gamma^{\circ}_1, \Gamma^{\circ}_2, \Gamma^{\circ}_3 \\ \partial \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} U_1 = V_2 \cup V_3 \cup \Gamma^{\circ}_1 \\ U_2 = V_3 \cup V_1 \cup \Gamma^{\circ}_2 \\ U_3 = V_1 \cup V_2 \cup \Gamma^{\circ}_3 \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} V_3 = U_1 \cap U_2 \\ V_2 = U_3 \cap U_1 \\ V_1 = U_1 \cap U_2 \end{array} \quad \left\{ \begin{array}{l} \Gamma_1 = \Gamma^{\circ}_2 \cup \Gamma^{\circ}_3 \cup \partial \\ \Gamma_2 = \Gamma^{\circ}_3 \cup \Gamma^{\circ}_1 \cup \partial \\ \Gamma_3 = \Gamma^{\circ}_1 \cup \Gamma^{\circ}_2 \cup \partial \end{array} \right.\] ainsi sur la page : \(V_1 = U_1 \cap U_2\), comme \(V_3\) ; on attend \(U_2 \cap U_3\)

\(C\) courbe simple fermée dans surface connexe \(E\). Conditions équ. :

a)\(\operatorname{card} \pi_0(E - C) = 2\) ; (NB on a tjs \(\operatorname{card} \pi_0(E - C) \leq 2\))
b)\(\exists\) ouvert \(U \subset C\) tel que \(\dot{U}\ (\overset{\mathrm{df}}{=} \overline{U} - U) = C\) et que […] \(\overline{U} \neq E\) i.e. \(V = U - \overline{U} \neq \emptyset\) i.e. \(\overline{U} \neq E \setminus C\).
c)(étant donné un disque \(D_x\) assez petit centré en \(x \in C\)), et un point \(x'\) et un point \(x''\) \(\in D_x - D_x \cap C\) de part et d'autre de \(D_x \cap C\)…) \(x'\) et \(y\) n'appartiennent pas à la même composante connexe de \(X - C\), i.e. \(\nexists\) arc dans \(X - C\) joignant \(x', y\). (i.e. \(\{x, y\} \to \pi_0(X - C)\) est surjectif…)

(\(U\) est alors une composante connexe de \(X - C\)), en regard de b) et c) « \(U \subset C\) » et « \(V = U - \overline{U}\) » sont ainsi sur la page ; on attend \(U \subset E\) et \(V = E - \overline{U}\)

18Proposition Soient \(\Gamma, \Gamma'\) deux J.-polygônes du plan \(E\), tels que \(\Gamma \cap \Gamma' = I\) soit un arc polygonal non réduit à un point. Alors on est dans l'un des deux cas suivants (s'excluant mutuellement)

a)\(\Gamma - I \subset \operatorname{Ext}(\Gamma')\), \(\Gamma' - I \subset \operatorname{Ext}(\Gamma)\) (\(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{Int}\Gamma' \subset \operatorname{Ext}\Gamma\), \(\operatorname{Int}\Gamma \subset \operatorname{Ext}\Gamma'\))
b)\(\Gamma - I \subset \operatorname{Ext}\Gamma'\), \(\Gamma' - I \subset \operatorname{Int}\Gamma\) (ou inversement) (\(\Leftrightarrow\) \(\operatorname{Int}\Gamma' \subset \operatorname{Int}\Gamma\), \(\operatorname{Ext}(\Gamma) \subset \operatorname{Ext}\Gamma'\) (ou inv.))

Dans les deux cas, Soit \(\Gamma'' = (\Gamma \cup \Gamma') - (I - \partial I) = \overline{\Gamma - I} \cup \overline{\Gamma' - I}\), qui est un polygône. C'est un J-polygône, et […] :

Cas a) \[\begin{align*} \operatorname{Int}\Gamma'' &= \operatorname{Int}\Gamma \cup \operatorname{Int}\Gamma' \cup (I - \partial I) \\ \operatorname{Ext}\Gamma'' &= \operatorname{Ext}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma' \end{align*}\] [\(E\) admet une partition en \(\operatorname{Int}\Gamma\), \(\operatorname{Int}\Gamma'\), \(\Gamma - I\), \(\Gamma' - I\), \(I \setminus \partial I\), \(\partial I\), \((\operatorname{Ext}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma')\)]

Cas b) \[\begin{align*} \operatorname{Int}\Gamma'' &= \operatorname{Int}\Gamma \setminus \operatorname{Int}\Gamma' \setminus (\Gamma' - I) \quad \bigl[= \operatorname{Int}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma'\bigr] \\ \operatorname{Ext}\Gamma'' &= \operatorname{Ext}\Gamma \cup \operatorname{Int}\Gamma' \cup (I \setminus \partial I) \end{align*}\] [\(E\) admet une partition en \(\operatorname{Ext}\Gamma\), \((\operatorname{Int}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma')\), \(\operatorname{Int}\Gamma'\), […] \(\Gamma - I\), \(\Gamma' - I\), \(I - \partial I\), \(\partial I\)] « \(\operatorname{Ext}\Gamma\) » est écrit au-dessus de la parenthèse, en ajout

20Page « I » d'un mémoire d'une autre main, à l'encre bleue, signé et daté du 15 juillet 1976, dont les pages XIV à XIX sont les pages 41 à 47 du dossier ; il n'est pas recomposé ici. Titre : « Le théorème de Jordan et l'existence de trois bons sommets pour un polygone de \(\mathbb{R}^2\) ». Théorème 1 (Jordan) : tout polygone est un J-polygone (déf. 1). Théorème 2 (attribué avec un « ? » à Dehn, « non-publié ») : tout polygone a au moins trois bons sommets, dont deux au moins à triangle intérieur. § 1, Préliminaires : un polygone est la réalisation géométrique dans \(\mathbb{R}^2\) d'un polygone abstrait connexe et non vide, de sommets \(S(\Gamma)\) et d'arêtes \(A(\Gamma)\) ; un arc de polygone \(\Gamma_{xy}\) est la réalisation d'un 1-complexe connexe dont chaque sommet est incident à une ou deux arêtes, exactement deux à une seule, ses extrémités \(x, y\). Remarque 1 : deux points distincts \(x, y\) d'un polygone \(\Gamma\) le coupent en un seul couple d'arcs \(\Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy}\) ; l'énoncé se poursuit à la page suivante.

au crayon, d'une main non identifiée : « de \(\mathbb{R}^2\) » du titre est entouré, et « plan » écrit à la suite

à l'encre noire, de la main de ses feuillets de travail, en regard de « d'un 1-complexe connexe » : « or. ? » ; un trait oblique suit « connexe » dans le texte

à l'encre noire, de la même main, au-dessus de « connexe » dans la définition du polygone : « et non vide », inséré ; au-dessus de « sous jacent à \(\Gamma\) » : « de \(\mathbb{R}^2\) », inséré ; « aussi » et « couple » soulignés

à l'encre noire, des points dans la marge gauche en regard de plusieurs lignes du § 1 (« On entend par polygone », « Le terme arc de polygone », « Par \(\Gamma\) (resp. \(\Gamma_{xy}\)) », « Remarque 1 »)

au crayon, d'une main non identifiée : « Remarque 1 » est encadré d'un trait tireté

à l'encre noire, au pied de la page, en regard de la fin de « Remarque 1 » (« II) si… ») : « faux »