Fonds Grothendieck, cote n° 71, pages 1–20

en haut à gauche, trois colonnes ; à droite d'un trait vertical, les bords

\begin{array}{ccc} V_1 & V_2 & V_3 \\ \Gamma''_1 & \Gamma''_2 & \Gamma''_3 \\ \Vert & \Vert & \Vert \\ \Gamma'_1 - \partial & \Gamma'_2 - \partial & \Gamma'_3 - \partial \end{array} \qquad \partial = \{x, y\}

V_1 bords \Gamma'_2, \Gamma'_3 ; \Gamma'_1 bord pour V_2, V_3

V_2 bords \Gamma'_3, \Gamma'_1 ; \Gamma'_2 — V_3, V_1

V_3 bords \Gamma'_1, \Gamma'_2 ; \Gamma'_3 — V_1, V_2

\begin{aligned} \Gamma_1 &= \Gamma_2 \cup \Gamma_3 = \Gamma'_2 \cup \Gamma'_3 = \Gamma''_1 \cup \Gamma''_2 \cup \partial \\ \Gamma_2 &= \Gamma_3 \cup \Gamma_1 = \Gamma'_3 \cup \Gamma'_1 = \Gamma''_3 \cup \Gamma''_1 \cup \partial \\ \Gamma_3 &= \Gamma_1 \cup \Gamma_2 = \Gamma'_1 \cup \Gamma'_2 = \Gamma''_1 \cup \Gamma''_2 \cup \partial \end{aligned} ainsi sur la page, où les deux premiers membres portent des \Gamma sans accent ; page 13 écrit \Gamma_1 = \Gamma'_2 \cup \Gamma'_3. Les indices du dernier membre de la première ligne sont d'une lecture incertaine

\Gamma^{*}_3 = \Gamma''_1 \cup \Gamma''_2 \cup \partial \quad\Big|\quad U_3 = V_1 \cup V_2 \cup \Gamma''_3 \quad\Big|\quad V_3

\dot{U}_3 = \Gamma_3 ; U_3 \cup

U, C, V

à gauche, un croquis : deux cercles sécants, hachurés obliquement, un petit cercle autour d'un des points d'intersection ; non redessiné

\mathcal{X} peut aussi s'identifier à la somme amalgamée des \overline{W} et des \coprod_{i \in I} \overline{U_i} (via \coprod_i B_i \hookrightarrow \overline{W}, \coprod_i B_i \to \coprod_i \overline{U_i}) :

~~L'application naturelle~~

~~\mathcal{X} \to X~~

\mathcal{X} \simeq \overline{W} \amalg_{(\coprod_i B_i)} \Bigl(\coprod_i \overline{U_i}\Bigr) \simeq \coprod_{i\,(W)} X_i \qquad X_i \simeq \mathcal{X}_i sous \mathcal{X}_i : « \Vert \operatorname{Im} X_i », relié par une flèche à « ouvert de \mathcal{X} »

\mathcal{X} \to X est étale en les pts de \mathcal{X} - \coprod_i C_i, i.e. une fermée en les pts de \coprod C_i.

à gauche, une figure : trois régions arrondies accolées autour d'un nœud à trois branches épaissies, marquées B_1, B_2, B_3 aux extrémités et C_1, C_2, C_3 près du centre ; sous la figure, « K » ; non redessinée

6) Lemme d'immersion de \mathcal{X}

remplaçant au voisinage de K par K^{*} \subset K (U_i, U'_i par U^{*}_i = U_i \cap K^{*}, U'^{*}_i = U'_i \cap K^{*}), on suppose que \dot{K}^{*} \subset U_i, et ~~\dot{K} \subset \bigcup U_i, et~~ ~~(K \setminus K')~~ = V_i, C_i \subset \overline{U^{*}_i} \cap \overline{U'^{*}_i} (il suffit que \operatorname{int} K' \supset \bigcup C_i.

— vérifier si dans les développements précédents, il n'y avait pas lieu d'exiger \bigcup C_i \subset \operatorname{int} K i.e. C_i \cap \dot{K} = \emptyset \forall i \in I…

vérifier …

page barrée d'un long trait oblique d'un bout à l'autre, et d'une croix dans le quart inférieur droit

\begin{array}{c} e \in E \\ \cup \\ M(e) = M(E_e) \subset E_0 = M(E) \\ \big\downarrow{\scriptstyle \varphi} \\ I \ \text{ordonné} \end{array} \qquad \begin{cases} |E| = X \supset |E_e| \\ X_i = \bigcup_{\varphi(M(e)) \leq i} |E_e| \end{cases} \qquad E_e = \{x \in E \mid x \leq e\}

e_0 \in E_0 \mapsto X_{e_0} = \bigcup_{M(e) \leq e_0} |E_e|

(i_0 > \cdots > i_k) = d \in \operatorname{Drap}(I), d \subset I

\Sigma_d(\mathcal{X}) ; \Sigma_{\{i\}}(X) = \Sigma(X_i, \partial X_i)

\begin{array}{ccccccc} \Sigma_{\{i_0, \dots, i_{k-1}\}}(\mathcal{X}) & \supset & \partial\Sigma_{\{i_0, \dots, i_{k-1}\}} & \supset & \Delta_{i_0 \dots i_k}(\mathcal{X}) & \supset & \partial\Delta_{i_0 \dots i_k} \\ \big\downarrow & & \big\downarrow & & \big\downarrow & & \big\downarrow \\ \Sigma_{i_{k-1}}(X)_{\ill{}} & & & & & & \\ \big\downarrow & & & & & & \\ X_{i_{k-1}} & \supset & \partial X_{i_{k-1}} & \longleftarrow & X_{i_k} & \supset & \partial X_{i_k} \end{array} les trois flèches verticales de droite descendent de la première ligne à la dernière ; le sens de la flèche entre \partial X_{i_{k-1}} et X_{i_k} est incertain

\Sigma_{\{i_0, \dots, i_k\}}(\mathcal{X}) = \Sigma(\Delta_{i_0 \dots i_k}, \partial\Delta_{i_0 \dots i_k})

\Sigma_{\{i_0, \dots, i_k\}} \to \Sigma_{d'}(\mathcal{X}) pour d' \subsetneq d ; en colonne, \partial X_{i_k} \subset X_{i_k} \to X_{i_{k-1}}.

\Sigma_d \to \Sigma_{\tilde{d}'} \to \Sigma_{d'}

\begin{tikzcd} \Sigma_{d \setminus \{i_k\}} \arrow[r] \arrow[d] & X_{i_{k-1}} \arrow[d, hook] \\ \Sigma_{d' \setminus \{i_k\}} \arrow[r] & X_{i_\alpha} \end{tikzcd}

sous \Sigma_{d' \setminus \{i_k\}}, une flèche surchargée et biffée vers \Sigma_{d'} ; après \Sigma_{d' \setminus \{i_k\}}, un indice biffé

\pi_0(\Sigma_d) = D(d)

5) Soit K un fermé de l'espace X, (U_i)_{i \in I} une famille d'ouverts relatifs de K, mutuellement disjoints, tels que \dot{K} \subset \bigcup_i U_i. Soit B_i = \dot{K} \cap U_i, de sorte que \dot{K} = \coprod B_i. (~~Supposons~~ Pour tt i, soit C_i = \overline{U_i} \setminus U_i la frontière relative de U_i dans K, supposons que C_i \subset (K - \overline{U_i})^{-} cf. …). Posons X_i = X \setminus U_i. Alors l'indice de U_i est surchargé à chaque occurrence de la page ; un accent ( U'_i ) est lisible par endroits et n'est pas retenu

\begin{cases} X_i \text{ est loc.\ fermé} \\ \operatorname{Int} X_i = X - \overline{U_i} = X_i \setminus C_i \\ \overline{X_i} = X_i \cup B'_i \qquad (B'_i = \dot{K} \setminus B_i) \end{cases} ~~i.e. C_i~~

\operatorname{Int} X_i et U_i \setminus C_i sont ~~deux~~ ouverts de X dont chacun est le complémentaire de l'adhérence de l'autre.

Soit W = X \setminus K, donc \dot{W} = \overline{W} \cap K = \dot{K} = \coprod B_i, l'inclusion W \subset X_i est une immersion ouverte et \dot{W} \cap X_i = \dot{K} \cap X_i = B_i, i.e. l'adh. de W dans X_i est W \cup B_i, dans la ~~bord~~ frontière de W dans X_i est B_i. On a X_i = \bigl(\overline{W} \cap X_i = W \cup B_i\bigr) \amalg_{B_i} \overline{U_i}

Alors la somme amalgamée des W est la dernière ligne, au bord inférieur du feuillet, n'est lue qu'en partie

1) X espace topologique, U, V ouverts, conditions équivalentes

a)U = \complement\overline{V}, V = \complement\overline{U} b)U \cap V = \emptyset, \complement(U \cup V) \subset \overline{U} \cap \overline{V} (d'où égalité) c)U \cap V = \emptyset, X = \overline{U \cup V}, \dot{U} = \dot{V} d)\overline{U} \cap \overline{V} = \dot{U} = \dot{V}.

U et V se déterminent mutuellement. Pour U fixé, il existe V ayant les propriétés précédentes ssi V = \complement\overline{U} est dense dans \complement U.

3) X espace topologique, K \subset X fermé, U_K et U'_K deux ouverts relatifs de K tels que \overline{U_K} \setminus U_K = \overline{U'_K} \setminus U'_K, \overline{U_K} = K \setminus U'_K, \overline{U'_K} = K \setminus U_K, C = \overline{U_K} \cap \overline{U'_K} = frontière commune (fermé dans X) de U_K et U'_K dans K , soit B = U_K \cap \dot{K}, ~~donc~~ donc B ouvert dans \dot{K} et fermé dans U_K donc relativement fermé dans X. Alors on a, puisque B \cap C = \emptyset.

\begin{cases} U = U_K \setminus B = \operatorname{Int}(U_K) \\ V = X \setminus \overline{U_K} = (X \setminus U_K) \setminus C = \operatorname{Int}(X_1), \qquad X_1 = X \setminus U_K \\ U = \complement\overline{V}, \quad V = \complement\overline{U}, \quad \dot{U} = \dot{V} = \overline{U} \cap \overline{V} = \complement(U \cup V) = B \cup C \\ \struck{U \cap K = U \subset K,\ V \cap K = V_K}\quad V \subset X_1 \subset \overline{V} \end{cases}

Cor. ~~Si B \cap C = \emptyset i.e. U_K \setminus U. Supposons, Pour B~~ Pour que X_1 = \complement U_K soit loc. fermé, il f. et s. que B = U_K \cap \dot{K} soit ~~fermé dans X, i.e. B soit ouvert et fermé~~ dans B \cup C dans X, on suppose que soit une somme topologique ~~de \dot{K}, et posons \dot{K} = B' \amalg B~~ ~~\dot{K}. Posant alors \dot{K} = B' \amalg B~~ qu'il soit fermé dans B \cup C, on suppose que \overline{B} \cap C = \emptyset. [Il suffit pour ceci que \dot{K} \cap C = \emptyset i.e. que U_K \cup V_K \supset \dot{K}] ~~i.e. U_K et V_K~~ fin de page très raturée ; seules les formules et les ratures lisibles sont données

feuillet plié, sans rapport visible avec le reste du dossier ; la moitié gauche est écrite tête-bêche, la moitié droite porte un croquis au crayon. Transcription condensée

t^2(\lambda_0) = \lambda_0, ; t^2(\lambda_1) = t(\uncertain{q_\nu})\, t(\lambda_\nu)\, t(\uncertain{q_\nu})^{-1} sous t(\lambda_\nu), une accolade « \lambda_1 »

\lambda_0 \ \lambda_1 \ \lambda_2 ; t^3 = \operatorname{int}(\lambda_0)

\begin{aligned} t(\lambda_0) &= \lambda_0 \\ t(\lambda_1) &= \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1^{-1} = \lambda_0^{-1} \lambda_2 \lambda_0 \\ t(\lambda_2) &= \lambda_1 \end{aligned}

\begin{aligned} t^3(\lambda_0) &= \lambda_0 \\ t^3(\lambda_1) &= (\lambda_1 \lambda_2 \lambda_1^{-1})\, \lambda_1\, (\lambda_1 \lambda_2^{-1} \lambda_1^{-1}) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1 \lambda_2^{-1} \lambda_1^{-1} \\ &= \operatorname{int}(\lambda_1 \lambda_2)\, \lambda_1 = \operatorname{int}(\lambda_0^{-1})\, \lambda_1 \\ t^3(\lambda_2) &= t(\lambda_1) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_1^{-1} = \struck{\operatorname{int}(\lambda_1)} \\ &= (\lambda_1 \lambda_2)\, \lambda_2\, (\lambda_2^{-1} \lambda_1^{-1}) = \operatorname{int}(\lambda_1 \lambda_2)\, \lambda_2\ \operatorname{int}\ill{} \end{aligned} dans la seconde ligne, deux facteurs \lambda_1^{-1} et \lambda_1 sont barrés d'un trait oblique, simplifiés ; le texte porte « \operatorname{int} » en abrégé

à droite, au crayon, pâle : un diagramme G/H \leftarrow E = G \times_H E \leftarrow G \times_H E, avec des flèches verticales vers E et E', puis B_H \to B_G (flèche f), f^{*}(E) \to E, f^{*} f_{!}(\ill{}) \to \ill{} et « \tilde{E} \simeq » ; lecture incertaine dans le détail

3) Supposons \dot{K} \cap C = \emptyset, et posons \begin{align*} B' &= U'_K \cap \dot{K} \\ U' &= U'_K \setminus B' = \operatorname{Int}(U'_K) \\ V' &= X \setminus \overline{U'_K} = (X \setminus U'_K) \setminus C = \operatorname{Int}(X'_1), \qquad X'_1 = X \setminus U'_K \end{align*} enfin W = V \cap V' = \complement K.

\begin{tikzcd} U' \arrow[rr, no head, "C"] \arrow[dr, no head, "B'"'] & & U \arrow[dl, no head, "B"] \\ & W & \end{tikzcd}

à droite, une figure : un anneau autour d'un disque, le bord intérieur coupé en B', C, B, les régions marquées U', U, W, V, V' ; une accolade désigne « \operatorname{Int} K » ; non redessinée

Alors on a : U, U', W ouverts disjoints, B, B', C fermés disjoints — U, U', W, B, B', C pseudo-partition de X \begin{cases} \overline{U} \cap \overline{U'} = C, \quad \overline{U} \cap \overline{W} = B, \quad \overline{W} \cap \overline{U'} = B' \\ \dot{U}' = \overline{U'} \setminus U' = B' \cup C, \quad \dot{U} = B \cup C, \quad \dot{W} = B \cup B' \\ K = \overline{U \cup U'} = \complement W = (U \cup U') \cup B \cup B' \cup C, \quad \operatorname{Int} K = U \cup U' \cup C \end{cases} la première égalité de la deuxième ligne commence par \overline{U^{*}} \cap \overline{W}, lapsus probable

4) Soient U, U', W trois ouverts d'un espace X. Conditions équivalentes :

a)U, U', W mutuellement disjoints, réunion dense, \dot{U} \subset \overline{U' \cup W}, \dot{U}' \subset \overline{U \cup W}, \dot{W} \subset \overline{U \cup U'}, \overline{U} \cap \overline{U'} \cap \overline{W} = \emptyset, b)Posant C = \overline{U} \cap \overline{U'}, B = \overline{U} \cap \overline{W}, B' = \overline{W} \cap \overline{U'}, les U, U', W, B, B', C forment une pseudo-partition de X.

On a alors les relations ci-dessus —

Je reviens données ( ) : U, U', W satisfaisant les conditions équ. a) b) — K, et U_K, U'_K (fermé de X ; ouverts de K) satisfaisant \begin{cases} \overline{U_K} = K \setminus U'_K, \quad \overline{\uncertain{U'_K}} = K \setminus U_K \\ C \cap \dot{K} = \emptyset \quad \text{car} \quad C = \overline{U_K} \cap \overline{U'_K} = K \setminus (U_K \cup U'_K) \end{cases}

page traversée d'un long trait oblique ; le calcul du bas est en outre barré de plusieurs traits

\begin{tikzcd} D(d) = \pi_0 \Sigma_d(\mathcal{X}) \arrow[r, "\alpha_d \sim"] \arrow[d, "\mathrm{P}_{d',d}"'] & E(d) \arrow[d, "r_{d',d}"] \\ D(d') \arrow[r, "\alpha_{d'} \sim"] & E(d') \end{tikzcd}

à gauche du diagramme, « d \supset d' » écrit en colonne ; l'étiquette de la flèche verticale de gauche est surchargée

E(d) \overset{\mathrm{df}}{=} \{e \in E \mid \varphi(M(e)) = d\}

D(\{i\}) = \pi_0 \Sigma(X_i, \partial X_i) \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_i\ } E(\{i\}) = \varphi^{-1}(\{i\}) avec, sous \Sigma(X_i, \partial X_i) : \bigcup_{\mu\varphi(M(e)) \leq i} |E_e|, \bigcup_{\mu\varphi(M(e)) < i} |E_e|.

\partial X_i = \bigcup_{\mu(\varphi(M(e))) < i} |E_e| \partial X_i \overset{\mathrm{df}}{=} \bigcup_{j < i} X_j = \bigcup_{j < i}\ \bigcup_{\substack{e \in E \\ \varphi M(e) \leq j}} |E_e| = \bigcup_{\substack{e \in E \\ \exists j \text{ tel que } \varphi(M(e)) \leq j < i}} |E_e|

|K| = (K_0, K) \supset (L_0, L) = |L|, \qquad \Sigma(|K|, |L|) = |\Delta|

\begin{cases} \tilde{K} \overset{\mathrm{df}}{=} \Sigma(K, L) = (\tilde{K}_0, \tilde{K}) \\ \tilde{K}_0 = \varinjlim_{\sigma \in K \setminus L} \sigma \ (\subset K_0) \xrightarrow{\ \pi\ } K_0 \\ \tilde{\Delta} = \operatorname{Im}\bigl((K \setminus L) \to \mathcal{P}(\Delta_0)\bigr) \end{cases}

\ill{}\,|\tilde{K}| \xrightarrow{\ ?\ } \Sigma(|K|, |L|), = \varinjlim_{\sigma' \in \Delta} |\sigma'| ; \sigma' = \operatorname{Im}(\sigma), \sigma \in K \setminus L ; |\sigma| \to |\sigma'| \to \Sigma la flèche porte un « \sim » surmonté d'un « ? »

\Gamma_1 = \Gamma'_2 \cup \Gamma'_3, \qquad \Gamma_2 = \Gamma'_3 \cup \Gamma'_1, \qquad \Gamma_3 = \Gamma'_1 \cup \Gamma'_2

a) v_1, v_2, v_3 ~~appartiennent~~ contenus dans des régions distinctes de E - \Gamma

\Updownarrow ; a') E - \Gamma a trois régions distinctes

b) \Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3 sont des courbes de Jordan

\Downarrow

c) \Gamma_1, \Gamma_2 sont des courbes de Jordan

la figure : deux grands arcs \Gamma'_1, \Gamma'_2 et l'arc médian \Gamma'_3 se rejoignant en x (en haut) et en bas ; un petit cercle autour de x, découpé en trois secteurs v_1, v_2, v_3 ; non redessinée

a) \Longleftrightarrow a')

b) \Rightarrow c) ~~\Longleftrightarrow~~ trivial

c) \Rightarrow a)

Or 2 pts de part et d'autre de \Gamma'_3 dans ~~\Gamma'_3 dit~~ a fortiori des régions distinctes de E - \Gamma_1 (E - \Gamma_2), donc a fortiori des régions distinctes de E - \Gamma_{\uncertain{2}} = E - \Gamma, donc v_1 et v_2 sont des régions distinctes. De même, deux pts de part et d'autre de \Gamma'_1 (\Gamma'_2) sont des régions distinctes de E - \Gamma_2 (E - \Gamma_1) donc sont des régions distinctes de E - \Gamma, OK.

a) \Rightarrow b) ; Prouvons que \Gamma_3 (p. ex.) est courbe de Jordan.

en haut à gauche, un croquis : deux points reliés par trois arcs \Gamma'_1, \Gamma'_3, \Gamma'_2, les régions V_2, V_1 entre eux et V_3 à l'extérieur, un petit cercle orienté autour de chaque point

\Gamma'_\alpha, \alpha \in \mathbb{I} ensemble : chemin simple joignant les deux points de \partial = \{x, y\}

\Gamma_\alpha = \bigcup_{\beta \in A - \{\alpha\}} \Gamma'_\beta ; déterminent B_\alpha de card. 2 (l'une des 2 origines, des pts x)

B = \coprod_{i \in \mathbb{I}} B_i ; ~~de 3~~

Si i \in I est donné, on lui associe U_i la région de \Gamma_i qui contient \Gamma'_i - \partial = \mathring{\Gamma}_i, d'où de la

B \simeq I \times \{0, 1\}, \quad V_i : \qquad U_i = \mathring{\Gamma}_i \cup \bigcup_{j \in I \setminus \{i\}} U_j, \qquad V_i = \bigcap_{j \in I \setminus \{i\}} V_j ces deux formules, telles qu'écrites, portent U_j et V_j sous les signes de réunion et d'intersection

U_i, U_j, U_k \left\{ \begin{array}{l} V_1, V_2, V_3 \\ \Gamma^{\circ}_1, \Gamma^{\circ}_2, \Gamma^{\circ}_3 \\ \partial \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} U_1 = V_2 \cup V_3 \cup \Gamma^{\circ}_1 \\ U_2 = V_3 \cup V_1 \cup \Gamma^{\circ}_2 \\ U_3 = V_1 \cup V_2 \cup \Gamma^{\circ}_3 \end{array} \right. \qquad \begin{array}{l} V_3 = U_1 \cap U_2 \\ V_2 = U_3 \cap U_1 \\ V_1 = U_1 \cap U_2 \end{array} \quad \left\{ \begin{array}{l} \Gamma_1 = \Gamma^{\circ}_2 \cup \Gamma^{\circ}_3 \cup \partial \\ \Gamma_2 = \Gamma^{\circ}_3 \cup \Gamma^{\circ}_1 \cup \partial \\ \Gamma_3 = \Gamma^{\circ}_1 \cup \Gamma^{\circ}_2 \cup \partial \end{array} \right. ainsi sur la page : V_1 = U_1 \cap U_2, comme V_3 ; on attend U_2 \cap U_3

C courbe simple fermée dans surface connexe E. Conditions équ. :

a)\operatorname{card} \pi_0(E - C) = 2 ; (NB on a tjs \operatorname{card} \pi_0(E - C) \leq 2) b)\exists ouvert U \subset C tel que \dot{U}\ (\overset{\mathrm{df}}{=} \overline{U} - U) = C et que \overline{U} \neq E i.e. V = U - \overline{U} \neq \emptyset i.e. \overline{U} \neq E \setminus C. c)(étant donné un disque D_x assez petit centré en x \in C), et un point x' et un point x'' \in D_x - D_x \cap C de part et d'autre de D_x \cap C…) x' et y n'appartiennent pas à la même composante connexe de X - C, i.e. \nexists arc dans X - C joignant x', y. (i.e. \{x, y\} \to \pi_0(X - C) est surjectif…)

(U est alors une composante connexe de X - C), en regard de b) et c) « U \subset C » et « V = U - \overline{U} » sont ainsi sur la page ; on attend U \subset E et V = E - \overline{U}

Proposition Soient \Gamma, \Gamma' deux J.-polygônes du plan E, tels que \Gamma \cap \Gamma' = I soit un arc polygonal non réduit à un point. Alors on est dans l'un des deux cas suivants (s'excluant mutuellement)

a)\Gamma - I \subset \operatorname{Ext}(\Gamma'), \Gamma' - I \subset \operatorname{Ext}(\Gamma) (\Leftrightarrow \operatorname{Int}\Gamma' \subset \operatorname{Ext}\Gamma, \operatorname{Int}\Gamma \subset \operatorname{Ext}\Gamma') b)\Gamma - I \subset \operatorname{Ext}\Gamma', \Gamma' - I \subset \operatorname{Int}\Gamma (ou inversement) (\Leftrightarrow \operatorname{Int}\Gamma' \subset \operatorname{Int}\Gamma, \operatorname{Ext}(\Gamma) \subset \operatorname{Ext}\Gamma' (ou inv.))

~~Dans les deux cas,~~ Soit \Gamma'' = (\Gamma \cup \Gamma') - (I - \partial I) = \overline{\Gamma - I} \cup \overline{\Gamma' - I}, qui est un polygône. C'est un J-polygône, et :

Cas a) \begin{align*} \operatorname{Int}\Gamma'' &= \operatorname{Int}\Gamma \cup \operatorname{Int}\Gamma' \cup (I - \partial I) \\ \operatorname{Ext}\Gamma'' &= \operatorname{Ext}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma' \end{align*} [E admet une partition en \operatorname{Int}\Gamma, \operatorname{Int}\Gamma', \Gamma - I, \Gamma' - I, I \setminus \partial I, \partial I, (\operatorname{Ext}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma')]

Cas b) \begin{align*} \operatorname{Int}\Gamma'' &= \operatorname{Int}\Gamma \setminus \operatorname{Int}\Gamma' \setminus (\Gamma' - I) \quad \bigl[= \operatorname{Int}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma'\bigr] \\ \operatorname{Ext}\Gamma'' &= \operatorname{Ext}\Gamma \cup \operatorname{Int}\Gamma' \cup (I \setminus \partial I) \end{align*} [E admet une partition en \operatorname{Ext}\Gamma, (\operatorname{Int}\Gamma \cap \operatorname{Ext}\Gamma'), \operatorname{Int}\Gamma', \Gamma - I, \Gamma' - I, I - \partial I, \partial I] « \operatorname{Ext}\Gamma » est écrit au-dessus de la parenthèse, en ajout

Page « I » d'un mémoire d'une autre main, à l'encre bleue, signé et daté du 15 juillet 1976, dont les pages XIV à XIX sont les pages 41 à 47 du dossier ; il n'est pas recomposé ici. Titre : « Le théorème de Jordan et l'existence de trois bons sommets pour un polygone de \mathbb{R}^2 ». Théorème 1 (Jordan) : tout polygone est un J-polygone (déf. 1). Théorème 2 (attribué avec un « ? » à Dehn, « non-publié ») : tout polygone a au moins trois bons sommets, dont deux au moins à triangle intérieur. § 1, Préliminaires : un polygone est la réalisation géométrique dans \mathbb{R}^2 d'un polygone abstrait connexe et non vide, de sommets S(\Gamma) et d'arêtes A(\Gamma) ; un arc de polygone \Gamma_{xy} est la réalisation d'un 1-complexe connexe dont chaque sommet est incident à une ou deux arêtes, exactement deux à une seule, ses extrémités x, y. Remarque 1 : deux points distincts x, y d'un polygone \Gamma le coupent en un seul couple d'arcs \Gamma^1_{xy}, \Gamma^2_{xy} ; l'énoncé se poursuit à la page suivante.

au crayon, d'une main non identifiée : « de \mathbb{R}^2 » du titre est entouré, et « plan » écrit à la suite

à l'encre noire, de la main de ses feuillets de travail, en regard de « d'un 1-complexe connexe » : « or. ? » ; un trait oblique suit « connexe » dans le texte

à l'encre noire, de la même main, au-dessus de « connexe » dans la définition du polygone : « et non vide », inséré ; au-dessus de « sous jacent à \Gamma » : « de \mathbb{R}^2 », inséré ; « aussi » et « couple » soulignés

à l'encre noire, des points dans la marge gauche en regard de plusieurs lignes du § 1 (« On entend par polygone », « Le terme arc de polygone », « Par \Gamma (resp. \Gamma_{xy}) », « Remarque 1 »)

au crayon, d'une main non identifiée : « Remarque 1 » est encadré d'un trait tireté

à l'encre noire, au pied de la page, en regard de la fin de « Remarque 1 » (« II) si… ») : « faux »