Cote n° 70 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Réalisations géométriques de structures combinatoires (n-polyèdres, n-hyperpolyèdres [2-polyèdres réguliers]…) (Vieilles rédactions) : notes manuscrites (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-03.fr.xml

41la page s'ouvre au milieu d'un argument commencé avant ce lot : \(E\), les \(\sigma_i\), les groupes \(G^{-}(i)\), \(G^{+}(j)\) et les \(D_{i,j}\) sont définis plus haut. \[E(i,j) = E/(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1};\ \sigma_{j+1},\dots,\sigma_n) = E/G^{-}(i)\times G^{+}(j) = D_{i,i+1,\dots,j}\] le dernier membre, \(D_{i,i+1,\dots,j}\), est ajouté par lui au-dessus de la ligne. et l'application \[E(i,j) \longrightarrow D_{i,j} .\] […] ⌜\(0\leq i\leq i+2\leq j\leq n+1\)⌝ Le groupe engendré par \(\sigma_{i+1},\dots,\sigma_{j-1}\) opère sur \(E(i,j)\), avec comme quotient \(D_{i,j}\). […], donc il opère cartographiquementsouligné par lui, et on trouve une \((j-i-2)\)-[…], dont les composantes connexes correspondent aux \(\Pi(d_{ij})\), avec \(d_{ij}\in D_{ij}\) ; les facettes de dim \(h\) (\(0\leq h\leq j-i-2\)) correspondent aux drapeaux de type \((i,\underline{i+h+1},j)\), \(i+1\leq\ \leq j-1\), au-dessus des drapeaux \(d_{ij}\).

Cas particuliers : \(j=i+2\) un pas idiotlecture très incertaine ;

\(j=i+3\) : on trouve un polygone, d'un invariant \(p(d_{ij})\in\overline{\mathbf{N}^{*}}\) (où \(1\leq p(d_{ij})\leq+\infty\)).

Des […] au Introduisons Formellement les \(\Pi^{*}(f_i)\) correspond[ent] […] […] \(\Pi(d_{-1,i})\), \(d_{-1,i}\) défini par \(f_i\) ([…]) (-1) […] et \(\Pi^{*}(f_i')\) […] à \(\Pi(d_{i,n+1})\), où \(d_{i,n+1}\) est défini par \(f_i\). Les invariants essentiels

42essentiels sont

1. a)Les \(\nu(\Pi^{-}_{f_2})\) — disons \(p_0(\Pi)\) si \(\Pi\) régulier ;
2. b)Les \(\nu(\Pi(d_{0,3}))\), \(\nu(\Pi(d_{1,4}))\), … (\(\nu(\Pi(d_{n-3,n}))\)) — notés \(p_1(\Pi)\), \(p_2(\Pi)\), …, \(p_{n-2}(\Pi)\) si \(\Pi\) régulier ;
3. c)Les \(\nu(\Pi^{\rightarrow}_{f_{n-2}})\), […] notés \(p_{n-1}(\Pi)\) si \(\Pi\) régulier.

Supposons \(\Pi\) régulier, je dis que \[\begin{cases} p_0 = \text{ordre de } \sigma_0\sigma_1\\ p_1 = \text{ordre de } \sigma_1\sigma_2\\ \quad\dots\\ p_{n-1} = \text{ordre de } \sigma_{n-1}\sigma_n \end{cases}\] vrai tout au moins dans le cas des géométries d'incidence (« polyèdres »…)

En effet, […] sur \(\Pi\) a régularité, \(\nu(\Pi^{\rightarrow}_{f_2})\) est l'ordre de \(\sigma_0\sigma_1\) opérant sur \[\bigl(E/G^{+}_{n}(2)\bigr)_{f_2} \quad\text{ou}\quad E^{-}(2)_{f_2}\] ou \(\Pi(d_{i,i+3})\) est l'ordredans le passage biffé, le premier indice de \(d\) est illisible ; \(i\) est une lecture par défaut. \[(\sigma_0\sigma_1)^{p}x = g_x x \qquad g_x\in G^{+}_{n}(2)\] petit schéma d'indices : \(i-1\) ; \(i\), \(i+1\leq\ \leq j-1\), \(j+1\) ; \(j\geq i+2\) ; puis un \(i\) isolé. le reste de la page est vide.

43\(\Pi\) une \(n\)-carte ⌜ou symb.⌝ ([…] […] \(R=\mathrm{Rep}(\Pi)\), […]le coin supérieur droit du feuillet manque ; la fin de la ligne est perdue. \(\mathfrak{G}_n\)-ensemble (où \[\mathfrak{G}_n = \bigl\{\sigma_0,\dots,\sigma_n \bigm| \sigma_0^2=\dots=\sigma_n^2=1,\ \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \text{ si } j\geq i+2\bigr\}\ )\] Une représentation géométrique \(\varphi\) de \(\Pi\) dans […] un espace affine \(E\) (sur un corps ordonné) […] est la donnée d'une application \[(1)\qquad R \xrightarrow{\ \varphi_R\ } \mathrm{Drap\,max}(E) = \bigl\{(E_0\subset E_1\subset\dots\subset E_i\subset\dots\subset E_n\subset E)\bigr\}\] sous-espace affine de \(E\) de rg \(i\) (renvoi sur \(E_i\)) telle que pour \(r\in R\), \(0\leq i\leq n\), on ait \[(2)\qquad \begin{cases} \pi_j(\varphi_R(\sigma_i r)) = \pi_j\varphi_R(r) \quad\text{si}\\ 0\leq i,j\leq n,\ i\neq j \end{cases}\] où \(\pi_j(d)\) désigne la composante de dim \(j\) d'un drapeau \(d\). Je veux […] ⌜dire par⌝ passage au quotient, \(\pi_j\varphi_R\) se factorise en \[(3)\qquad D_j(\Pi) \xrightarrow{\ \varphi_j\ } \mathrm{Grass\,aff}_j(E) \qquad (0\leq j\leq n)\]

44toute la page est barrée de deux grandes diagonales ; elle se lit néanmoins, et c'est un premier essai de la définition de la p. 43. Considérons une réalisation géom[étrique] \(\varphi\) de \(\Pi\) ⌜dans un espace affine \(E\) de dim \(n+1\)⌝ (régulière épingl.) ? (affine disons) sur un anneau \(k\), donnée par

\begin{tikzcd}
G=\mathrm{Aut}(\Pi) \arrow[r, "\varphi_G"] & \mathrm{Aff}(E) \\
R=\mathrm{Rep}(\Pi) \arrow[r, "\varphi_R"] \arrow[d] & \mathrm{Drap\,max}(E) \arrow[d, "\pi_i"] \\
D_i(\Pi) \arrow[r, "\varphi_{D_i}"] & \mathrm{Grass}_{i}(E)
\end{tikzcd}

sous \(R\) : « \(G\)-torseur », sous la flèche \(\varphi_R\) : « \(G\)-hom[omorphisme] » ; l'indice de \(\mathrm{Grass}_{i}\) est surchargé et douteux. \[\begin{cases} \varphi_R(r) = (E_0\subset E_1\subset\dots\subset E_n\subset E)\\ \sigma_i E_j = E_j \quad\text{si } i\neq j \qquad \dots \end{cases}\]

45Lorsque la \(n\)-carte \(\Pi\) est un polyèdre (une géométrie d'incidence), dans la donnée de \(\varphi_R\) satisfaisant (2) équivaut : à la donnée des \(\varphi_j\) (\(0\leq j\leq n\)), soumis[es] à la condition d'être compatibles aux relations d'incidence. Dans le cas ⌜encore⌝ général, on peut encore dire que (3) se généralise en des \[(4)\qquad D_{\{j_0,j_1,\dots,j_p\}}(\Pi) \xrightarrow{\ \varphi_{\{j_0,\dots,j_p\}}\ } \mathrm{Drap\,aff}_{\{j_0,j_1,\dots,j_p\}}(\Pi)\] le but de la flèche est écrit \(\mathrm{Drap\,aff}_{\{j_0,\dots,j_p\}}(\Pi)\) ; on attendrait \((E)\). pour toute partie \(\{j_0<j_1<\dots<j_p\}\) de \(\Delta_n=\{0,1,\dots,n\}\), ces applications étant compatibles aux applications de restriction évidentes par les inclusions de parties de \(\Delta_n\). La donnée de \(\varphi_R\) satisfaisant (2) équivaut à la donnée des applications (4) satisfaisant la condition de fonctorialité précédente […] les inclusions ⌜les \(\varphi_R\)⌝ (comme […] on peut donc les […] des hom. de géométries de drapeaux ⌜l'une et l'autre⌝ basées sur \(\Delta_n\), de \(D(\Pi)\) dans \(\mathrm{Drap\,aff}(E)\)).

46la première moitié de la page (jusqu'à « Fixons une telle composante connexe ») est barrée de deux diagonales ; elle reste lisible. Ceci dit, considérons la \(\nu=(j-i-2)\)-carte ⌜\(\Pi_{i,j}\)⌝ définie par le \(\mathfrak{G}\)-ensemble quotient (\(0\leq i\leq i+2\leq j\leq n\)) \[R_{ij} = R/(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1},\sigma_{j+1},\dots,\sigma_n)\] (NB \(R_{0j}=R/(\sigma_{j+1},\dots,\sigma_n)\), \(R_{i,n}=R/(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1})\)) avec les opérations induites par le groupe […] quotient par \[\begin{matrix} \sigma_{i+1}, & \dots, & \sigma_{j-1}\\ \shortparallel & & \shortparallel\\ \sigma'_0, & \dots, & \sigma'_{j-i-2=\nu} \end{matrix}\] qui en fait une \(\nu\)-carte, dont l'ensemble des composantes connexes s'identifie à \(D_{ij}(\Pi)\). Fixons une telle composante connexe, i.e. un

Ceci dit, soit \(f_i\in D_i(\Pi)\) ⌜(\(1\leq i\leq n\))⌝, \(E_i=\varphi_i(f_i)\), et considérons la ⌜\((i-1)\)-carte induite⌝ \(\partial f_i\) dont l'ensemble des repères est \(D_{01\dots i}(f_i)\) \[= \text{image réciproque de } \{f_i\} \text{ par } D_{0,1,\dots,i}(\Pi)\to D_i(\Pi).\] ⌜un bouquet de \(\varphi\)⌝ les données définissent une réalisation géom[étrique] canonique (dite « induite ») de \(\partial f_i\) dans \(E_i\).

Légèrement moins évident est la définition de la représentation induite de la \((n-i-1)\)-carte \(\delta f_i\) dans l'un des

47[…]mot de raccord incertain, la phrase continue la p. 46 dont l'ensemble des repères est \(D_{i,i+1,\dots,n}(f_i)=\) image inverse de \(\{f_i\}\) par \(D_{i,i+1,\dots,n}\to D_i\). En les sommets sont les […] \((i,i+1)\)-drapeaux de \(\Pi\) dont la \(i\)-composante est \(f_i\), et ils s'envoient sur les drapeaux de \(E\) de type \((i,i+1)\) dont la \(i\)-composante est \(E_i\), […] i.e. des couples \((E_i\subset E_{i+1})\), \(E_{i+1}\) de rg \(i+1\). Mais si \(V_i\) est l'espace des translations de \(E_i\), les \(E_{i+1}\) correspondent : aux droites de \(\overline{E}=E/V_i\) la page s'arrête ici ; le reste est blanc.

2 – Polyèdres réguliers. (Vieille rédaction)

titre de sa main, en haut à droite d'une feuille de chemise autrement vierge (p. 49) ; la p. 48 est vierge.

2-Polyèdres repérés en coordonnées universelles (vieille rédaction)

titre de sa main, au crayon, sur une seconde chemise (p. 50), précédé de « (18) ».

51il souligne les lettres désignant les ensembles de la structure (\(\mathrm{S}\), \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{F}\), \(\mathrm{R}\), …) et les éléments du repère ; on les rend ici en romain droit. \(X=(\mathrm{S},\mathrm{A},\mathrm{F},\mathrm{R},\mathrm{R}',\mathrm{R}'')\) polyèdre combinatoire ([…]), \(\mathrm{R}\) ens[emble] de ses repères.

\(E\) espace affine (proj.) sur \(k\) (corps).

Réalisation géom[étrique] de \(X\) : \[\begin{cases} \varphi_S : \mathrm{S}\to E\\ \varphi_A : \mathrm{A}\to \mathrm{Dr}(E)\\ \varphi_F : \mathrm{F}\to \mathrm{Pl}(E) \end{cases}\] 1°) compatible aux \(\mathrm{R}'\), \(\mathrm{R}''\), donc \(\mathrm{R}\). On suppose de plus que

2°) a) Si \(a\in\mathrm{A}\), \(s,s'\in\mathrm{S}\) les deux sommets incidents, \(f,f'\) les deux faces incidentes, on a \(\varphi_S(s)\neq\varphi_S(s')\), \(\varphi_F(f)\neq\varphi_F(f')\).

b) Si \(s<f\) avec \(s\in\mathrm{S}\), \(f\in\mathrm{F}\), et si \(a,a'\) sont les deux arêtes entre \(s\) et \(f\), on a \(\varphi_A(a)\neq\varphi_A(a')\).

\(\Longrightarrow\) \(\varphi_S\) détermine \(\varphi_A\), \(\varphi_F\) / dualement \(\varphi_F\) détermine \(\varphi_A\), \(\varphi_S\) / ⌜\(\varphi_A\) détermine \(\varphi_S\) dualement \(\varphi_F\)⌝

Si \(X\) est régulier, on appelle réalisation géom[étrique] régulière.

Prop. Soit \(r_0=(s_0,a_0,f_0)\) un repère de \(X\). Soit :

\(s_1\) le deuxième sommet de \(a_0\), \(s_2\) le deuxième sommet de la 1[ère] arête ⌜\(a_1\)⌝ entre \(s_0\) et \(f_0\), \(s_3\) le deuxième sommet de la 2[ème] arête entre \(s_0\) et \(f_1\), la 2[ème] face passant par \(a_0\).

Considérons les images \(s_0,s_1,s_2,s_3\) dans \(E\). Alors ces pts sont affinement indépendants

52Dém. \(s_1\neq s_0\) (par a) 1°) ⌜et \(s_2\neq s_0\)⌝ ; \(a_1\neq a_0\) par b), donc \(s_2\notin a_0\), donc \(s_0,s_1,s_2\) aff[inement] indép[endants], \(f_0\) est le plan qu'ils engendrent. De même [remplaçant \(r_0=(s_0,a_0,f_0)\) par \(r_1=(s_0,a_0,f_1)\)] on voit que \(f_1\) est le plan engendré par \(s_0,s_1,s_3\). Or \(f_1\neq f_0\) ([…] par a) 2°), donc \(s_3\notin f_0\), donc \(s_0,s_1,s_2,s_3\) aff[inement] indép[endants].

Cor. \[\left.\begin{aligned} a_0&=\mathrm{dr}(s_0,s_1)\\ f_0&=\mathrm{pl}(s_0,s_1,s_2) \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \varphi_A,\varphi_F \text{ connus quand on connaît } \varphi_S\] dualement \[\left.\begin{aligned} a_0&=f_0\cap f_1\\ s_0&=f_0\cap f_1\cap f_2 \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \varphi_S,\varphi_A \text{ connus quand on connaît } \varphi_F\] où \(f_2\) est la deuxième face passant par \(a_1\), et enfin \[\left.\begin{aligned} s_0&=a_0\cap a_1\\ f_0&=\mathrm{pl}(a_0,a_1) \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \varphi_S,\varphi_F \text{ connus quand on connaît } \varphi_A\] figure : le sommet \(s_0\) d'où partent les arêtes \(a_0\) (vers \(s_1\)), \(a_1\) (vers \(s_2\)), \(a_2\) (vers \(s_3\), vers le haut) et une quatrième arête vers le bas, aboutissant à un point marqué \(s_3\) (surchargé) ; les faces \(f_0\) (entre \(a_0\) et \(a_1\), hachurée), \(f_1\) (entre \(a_2\) et \(a_0\), hachurée), \(f_2\) (sous \(a_1\)) et \(f_3\) au-delà de \(s_1\) ; une arête \(a_2^0\) issue de \(s_1\).

Conclusion \(\varphi_S(\mathrm{S})\) engendre aff[inement] \(E\).

Réalisation géom[étrique] régulière (où \(X\) régulier) : \(\forall \mathrm{g}\in \mathrm{G}\overset{\mathrm{df}}{=}\mathrm{Aut}(X)\), \(\exists\, g\in\mathrm{Aut}_{\mathrm{aff\ ou\ proj}}(E)\) la phrase se poursuit en p. 53.

53tel que […] l'on ait \[\begin{cases} g\circ\varphi_S = \varphi_S\circ\mathrm{g}\\ g\circ\varphi_A = \varphi_A\circ\mathrm{g}\\ g\circ\varphi_F = \varphi_F\circ\mathrm{g} \end{cases}\] au-dessus de chaque \(\mathrm{g}\) souligné du membre de droite, un petit signe (accent ou flèche) que je ne sais pas interpréter.

NB l'une quelc[onque] de ces trois relations implique les deux autres. Dans le cas affine, \(g\) défini en fonction unique de \(\mathrm{g}\), et \(\mathrm{g}\mapsto g\) est un homomorphisme \(\mathrm{G}\to\) opérations sur \(E\). C'est encore vrai dans le cas projectif, pourvu que \(\exists\, s\in\mathrm{S}\) avec \(\varphi_S(s)=s\) non coplanaire avec trois des quatre pts \(s_0,s_1,s_2,s_3\) (condition à vérifier exception[nelle] : tétraèdre […] […] \(\mathrm{S}=\{s_0,s_1,s_2,s_3\}\) …) Si […] nous éliminons ce cas exceptionnel, il y a un donc \(\mathrm{g}\mapsto g\) faisant opérer \(\mathrm{G}\) sur \(E\) ….

Donnons-nous supposons \(X\) régulier, on choisit repère \(r_0=(s_0,a_0,f_0)\), d'où générateurs \(\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2\) de \(\mathrm{G}=\mathrm{Aut}(X)\), définis par la fin de la page est occupée par un mot surchargé sous « générateurs », illisible ; la définition des \(\sigma_i\) se poursuit en p. 54.

54\[\begin{cases} \sigma_0(s_0)\overset{\mathrm{df}}{=}s_1, & \sigma_0(a_0)=a_0,\quad \sigma_0(f_0)=f_0\\ \sigma_1(s_0)=s_0 & \sigma_1(a_0)\overset{\mathrm{df}}{=}a_1,\quad \sigma_1(a_0)=a_0\\ \sigma_2(s_0)=s_0 & \sigma_2(a_0)=a_0,\quad \sigma_2(f_0)\overset{\mathrm{df}}{=}f_1 \end{cases}\] deuxième ligne : il écrit bien \(\sigma_1(a_0)=a_0\) en troisième position ; on attendrait \(\sigma_1(f_0)=f_0\).

La donnée de \(\varphi\) régulière équivaut : à la donnée de \(\varphi_G:\mathrm{G}\to\mathrm{Aut}(E)\) et \(\varphi_R(r_0)=(s_0,a_0,f_0)\in\mathrm{Drap}_{012}(E)\), satisfaisant certaines conditions. La donnée de \(\varphi_G\) : équivaut en termes équivaut : à la donnée de \(\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2\in\mathrm{Aut}(E)\) satisfaisant certaines conditions, qu'on explicitera.

Notons qu'indépendamment de la condition de régularité et de l'épinglage donné de \(r_0\in\mathrm{R}\), la donnée de \(\varphi\) implique \[\varphi_R : \mathrm{R}\longrightarrow \mathrm{Drap}_{012}(E)\] qui, dans le cas régulier, devient une \(\mathrm{G}\)-application, et qui permet de récupérer \(\varphi_S,\varphi_A,\varphi_F\) par passage aux quotients. Dans le cas […] régulier, comme \(\mathrm{R}\) est un \(\mathrm{G}\)-torseur, la donnée de \(\varphi_R\) équivaut : à la donnée de \(\varphi_R(r_0)\in r_0=(s_0,a_0,f_0)\)). « \(\varphi_R(r_0)\in r_0=(s_0,a_0,f_0)\) » : ainsi sur la page ; le « \(\in\) » est peut-être un « \(=\) » surchargé.

55Pour que la […] \(\mathrm{G}\)-application […] \(\pi_E^{(i)}\circ\varphi_R\) passe au quotient ⌜par⌝ […] ⌜\(\mathrm{Fac}_i(X)\) (\(=\mathrm{S},\mathrm{A}\) ou \(\mathrm{F}\)), soit \(\mathrm{G}\)-équivariante⌝ i.e. qu'on ait

\begin{tikzcd}
\mathrm{R} \arrow[r, "\varphi_R"] \arrow[d, "\pi_X^{(i)}"'] & \mathrm{Drap}_{012}(E) \arrow[d, "\pi_E^{(i)}"] \\
\mathrm{Fac}_i(X) \arrow[r] & \mathrm{Fac}_i(E)
\end{tikzcd}

\(i=0,1,2\)

(\(s,a,f\Rightarrow\) l'image) le stabilisateur dans \(\mathrm{G}\) de \(f(i)_0\) contienne celui de \(f(i)_0\), ce qui s'écrit les deux « \(f(i)_0\) » sont ainsi écrits, l'un souligné (dans \(X\)), l'autre non (dans \(E\)). \[\begin{matrix} & \sigma_0(a_0)=a_0 & \sigma_0(f_0)=f_0\\ \sigma_1(s_0)=s_0 & & \sigma_1(f_0)=f_0\\ \sigma_2(s_0)=s_0 & \sigma_2(a_0)=a_0 & \end{matrix}\] au-dessus du tableau, un mot biffé ; le reste de la page est blanc.

56⌜[…],⌝ À vérifier : Cartes homogènes de type \((p,q)\)

a) ⌜Rep.⌝ est géom[étrie] d'incidence ssi \((p,q)=(1,2)\) ou \((2,1)\) (seuls cas où […] pour \((p,q)\geq(2,2)\)) deux petites figures : un segment à deux sommets marqués ; une courbe fermée portant un seul sommet.

b) est polyèdre combinatoire ssi \(p=2\) ou \(q=2\)

Alors

[C'est une géom[étrie] d'incidence ssi \((p,q)\geq(2,2)\) i.e. \(p\neq1\), \(q\neq1\) i.e. \((p,q)\neq(1,2),(2,1)\)]

[C'est un polyèdre combinatoire ssi \((p,q)\geq(3,3)\) i.e. ssi \(p\neq2\), \(q\neq2\), i.e. ssi \((p,q)\neq(2,q)\) (\(q\geq1\)) et \((p,q)\neq(p,2)\) (\(p\geq1\)).] les deux énoncés entre crochets corrigent visiblement a) et b), écrits d'abord : a) et b) disent l'inverse (« ssi \((p,q)=(1,2)\) ou \((2,1)\) », « ssi \(p=2\) ou \(q=2\) ») ; il n'a pas biffé a) et b).

58feuillet isolé, d'une autre encre, sans lien direct visible avec les pp. 51–56 : groupes d'automorphismes d'un groupoïde et d'un graphe. \(\mathcal{C}\) groupoïde, \(G\) ⌜\(\subset\mathrm{Aut}(\mathcal{C})\)⌝ transitif sur \(\mathrm{Ob}\,\mathcal{C}\), \(e\in\mathcal{C}_0\), \(H=G_e\), \(\mathcal{C}_0\simeq G/H\).

\(\Gamma\) normalisateur de \(G\)

\(\Gamma^0\) centralisateur de \(\mathcal{C}\) sic ; on attendrait « de \(G\) ». \[1\to\Gamma^0\to\Gamma\to\mathrm{Aut}(G)\] \(e\in\mathrm{Ob}\,\mathcal{C}=\mathcal{C}_0\)

\(\gamma\) ⌜\(\mathcal{C}_0\)⌝ connu quand on connaît \(\gamma(e)\)

\begin{tikzcd}
1 \arrow[r] & \Gamma^1 \arrow[r] \arrow[d, hook] \arrow[dr] & \Gamma^0 \arrow[r] & N(H)/H \\
 & H & \mathrm{Aut}_H(\pi_e) &
\end{tikzcd}

la flèche verticale \(\Gamma^1\to H\) est tracée barrée d'un petit trait ; on la rend par une inclusion, lecture incertaine. un sommet \(e\) d'où partent une arête vers un autre sommet et une flèche \(f\) ; à côté, l'image de la situation en \(\gamma e\).

[…]

\(K=(K_0,K_1,\ K_1\to K_0\ \text{surj})\) (graphe ⌜connexe⌝), \(G\) groupe, d'automorphismes de ⌜opérant sur⌝ \(K\), on suppose que \(G\) est transitif sur l'ens[emble] \(K_1\) des arêtes de \(K\). \[\begin{matrix} K_1\simeq G/H_1 \\ \downarrow \\ K_0=G/H_0 \end{matrix} \qquad \sigma\in N(H)/H \qquad \sigma^2=1\] \(C=(C_0,C_1\dots)\) groupoïde, \(G\) opère sur \(C_0\) \(K\hookrightarrow C\) \(G\)-morphisme ou 2-morph[isme], \(K_0\xrightarrow[\sim]{\text{bij}} C_0\) à gauche, trois petites figures : une arête orientée de \(e\) vers \(e'\) ; une arête issue de \(\gamma e\) ; une boucle en un sommet, avec une flèche sortante. \[\begin{matrix} 1\to\Gamma^0\to\Gamma\to\mathrm{Aut}(\mathcal{C})\\ *\\ \Gamma\to G \qquad 1\to\Gamma^1\to\Gamma^0\to N(H)/H_0\\ *\\ 1\to\Gamma^2\to\Gamma^1\hookrightarrow\mathrm{Aut}_G\,\pi_e\\ *\\ \pi_e,\ \mathrm{Hom}(e,e')\qquad \pi_e\\ \shortparallel\\ T_{e,e'} \qquad N_{F(\pi_e)}H_0 \end{matrix}\] dans la deuxième suite, un \(G\) entre \(\Gamma^0\) et \(N(H)/H_0\) est biffé ; la troisième suite (en \(\Gamma^2\)) est barrée de trois traits obliques.

le bas de la page est un brouillon de suites exactes superposées ; la disposition ci-dessus suit l'ordre des lignes, sans prétendre restituer l'alignement des étoiles, placées par lui sous \(\mathrm{Aut}(\mathcal{C})\). « \(N_{F(\pi_e)}H_0\) » est une lecture incertaine d'un groupe surchargé.

59page de figures seules, reprenant celle de la p. 52 : en haut, un digone hachuré (deux arêtes joignant deux sommets) et un triangle à trois sommets marqués ; à droite, le sommet \(s_0\) avec les arêtes \(a_0\) (vers \(s_1\)), \(a_1\) (vers \(s_2\)), \(a_2\) (vers \(s_3\)) et les faces \(f_0\), \(f_1\) ; au centre, la figure développée : de \(s_0\) partent \(a_0\) vers \(s_1\), \(a_1\) vers \(s_2\), \(a_2\) vers \(s_3\) et une quatrième arête vers le bas ; faces \(f_0\) (hachurée, entre \(a_0\) et \(a_1\)), \(f_1\) (entre \(a_2\) et \(a_0\)), \(f_2\) (sous \(a_1\)), \(f_3\) au-delà de \(s_1\), et en \(s_1\) l'arête \(a_2'\). Le reste de la page est blanc.