Fonds Grothendieck, cote n° 70, pages 41–60

la page s'ouvre au milieu d'un argument commencé avant ce lot : E, les \sigma_i, les groupes G^{-}(i), G^{+}(j) et les D_{i,j} sont définis plus haut. E(i,j) = E/(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1};\ \sigma_{j+1},\dots,\sigma_n) = E/G^{-}(i)\times G^{+}(j) = D_{i,i+1,\dots,j} le dernier membre, D_{i,i+1,\dots,j}, est ajouté par lui au-dessus de la ligne. et l'application E(i,j) \longrightarrow D_{i,j} . 0\leq i\leq i+2\leq j\leq n+1 Le groupe engendré par \sigma_{i+1},\dots,\sigma_{j-1} opère sur E(i,j), avec comme quotient D_{i,j}. , donc il opère cartographiquementsouligné par lui, et on trouve une (j-i-2)-, dont les composantes connexes correspondent aux \Pi(d_{ij}), avec d_{ij}\in D_{ij} ; les facettes de dim h (0\leq h\leq j-i-2) correspondent aux drapeaux de type (i,\underline{i+h+1},j), i+1\leq\ \leq j-1, au-dessus des drapeaux d_{ij}.

Cas particuliers : j=i+2 un pas idiotlecture très incertaine ;

j=i+3 : on trouve un polygone, d'un invariant p(d_{ij})\in\overline{\mathbf{N}^{*}} (où 1\leq p(d_{ij})\leq+\infty).

~~Des au~~ ~~Introduisons~~ Formellement les \Pi^{*}(f_i) correspondent \Pi(d_{-1,i}), d_{-1,i} défini par f_i () ~~(-1)~~ et \Pi^{*}(f_i') à \Pi(d_{i,n+1}), où d_{i,n+1} est défini par f_i. Les invariants essentiels

essentiels sont

a)Les \nu(\Pi^{-}_{f_2}) — disons p_0(\Pi) si \Pi régulier ; b)Les \nu(\Pi(d_{0,3})), \nu(\Pi(d_{1,4})), … (\nu(\Pi(d_{n-3,n}))) — notés p_1(\Pi), p_2(\Pi), …, p_{n-2}(\Pi) si \Pi régulier ; c)Les \nu(\Pi^{\rightarrow}_{f_{n-2}}), notés p_{n-1}(\Pi) si \Pi régulier.

Supposons \Pi régulier, je dis que \begin{cases} p_0 = \text{ordre de } \sigma_0\sigma_1\\ p_1 = \text{ordre de } \sigma_1\sigma_2\\ \quad\dots\\ p_{n-1} = \text{ordre de } \sigma_{n-1}\sigma_n \end{cases} vrai tout au moins dans le cas des géométries d'incidence (« polyèdres »…)

En effet, sur \Pi a régularité, \nu(\Pi^{\rightarrow}_{f_2}) est l'ordre de \sigma_0\sigma_1 opérant sur \bigl(E/G^{+}_{n}(2)\bigr)_{f_2} \quad\text{ou}\quad E^{-}(2)_{f_2} ~~ou \Pi(d_{i,i+3}) est l'ordre~~dans le passage biffé, le premier indice de d est illisible ; i est une lecture par défaut. (\sigma_0\sigma_1)^{p}x = g_x x \qquad g_x\in G^{+}_{n}(2) petit schéma d'indices : i-1 ; i, i+1\leq\ \leq j-1, j+1 ; j\geq i+2 ; puis un i isolé. le reste de la page est vide.

\Pi une n-carte ou symb. ( R=\mathrm{Rep}(\Pi), le coin supérieur droit du feuillet manque ; la fin de la ligne est perdue. \mathfrak{G}_n-ensemble (où \mathfrak{G}_n = \bigl\{\sigma_0,\dots,\sigma_n \bigm| \sigma_0^2=\dots=\sigma_n^2=1,\ \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \text{ si } j\geq i+2\bigr\}\ ) Une représentation géométrique \varphi de \Pi dans un espace affine E (sur un corps ordonné) est la donnée d'une application (1)\qquad R \xrightarrow{\ \varphi_R\ } \mathrm{Drap\,max}(E) = \bigl\{(E_0\subset E_1\subset\dots\subset E_i\subset\dots\subset E_n\subset E)\bigr\} sous-espace affine de E de rg i (renvoi sur E_i) telle que pour r\in R, 0\leq i\leq n, on ait (2)\qquad \begin{cases} \pi_j(\varphi_R(\sigma_i r)) = \pi_j\varphi_R(r) \quad\text{si}\\ 0\leq i,j\leq n,\ i\neq j \end{cases} où \pi_j(d) désigne la composante de dim j d'un drapeau d. Je veux dire par passage au quotient, \pi_j\varphi_R se factorise en (3)\qquad D_j(\Pi) \xrightarrow{\ \varphi_j\ } \mathrm{Grass\,aff}_j(E) \qquad (0\leq j\leq n)

toute la page est barrée de deux grandes diagonales ; elle se lit néanmoins, et c'est un premier essai de la définition de la p. 43. Considérons une réalisation géométrique \varphi de \Pi dans un espace affine E de dim n+1 (régulière épingl.) ? (affine disons) sur un anneau k, donnée par

\begin{tikzcd} G=\mathrm{Aut}(\Pi) \arrow[r, "\varphi_G"] & \mathrm{Aff}(E) \\ R=\mathrm{Rep}(\Pi) \arrow[r, "\varphi_R"] \arrow[d] & \mathrm{Drap\,max}(E) \arrow[d, "\pi_i"] \\ D_i(\Pi) \arrow[r, "\varphi_{D_i}"] & \mathrm{Grass}_{i}(E) \end{tikzcd}

sous R : « G-torseur », sous la flèche \varphi_R : « G-homomorphisme » ; l'indice de \mathrm{Grass}_{i} est surchargé et douteux. \begin{cases} \varphi_R(r) = (E_0\subset E_1\subset\dots\subset E_n\subset E)\\ \sigma_i E_j = E_j \quad\text{si } i\neq j \qquad \dots \end{cases}

Lorsque la n-carte \Pi est un polyèdre (une géométrie d'incidence), dans la donnée de \varphi_R satisfaisant (2) équivaut : à la donnée des \varphi_j (0\leq j\leq n), soumises à la condition d'être compatibles aux relations d'incidence. Dans le cas encore général, on peut encore dire que (3) se généralise en des (4)\qquad D_{\{j_0,j_1,\dots,j_p\}}(\Pi) \xrightarrow{\ \varphi_{\{j_0,\dots,j_p\}}\ } \mathrm{Drap\,aff}_{\{j_0,j_1,\dots,j_p\}}(\Pi) le but de la flèche est écrit \mathrm{Drap\,aff}_{\{j_0,\dots,j_p\}}(\Pi) ; on attendrait (E). pour toute partie \{j_0<j_1<\dots<j_p\} de \Delta_n=\{0,1,\dots,n\}, ces applications étant compatibles aux applications de restriction évidentes par les inclusions de parties de \Delta_n. La donnée de \varphi_R satisfaisant (2) équivaut à la donnée des applications (4) satisfaisant la condition de fonctorialité précédente les inclusions les \varphi_R (comme on peut donc les des hom. de géométries de drapeaux l'une et l'autre basées sur \Delta_n, de D(\Pi) dans \mathrm{Drap\,aff}(E)).

la première moitié de la page (jusqu'à « Fixons une telle composante connexe ») est barrée de deux diagonales ; elle reste lisible. ~~Ceci dit, considérons la \nu=(j-i-2)-carte \Pi_{i,j} définie par le \mathfrak{G}-ensemble quotient (0\leq i\leq i+2\leq j\leq n)~~ R_{ij} = R/(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1},\sigma_{j+1},\dots,\sigma_n) ~~(NB R_{0j}=R/(\sigma_{j+1},\dots,\sigma_n), R_{i,n}=R/(\sigma_0,\dots,\sigma_{i-1})) avec les opérations induites par le groupe quotient par~~ \begin{matrix} \sigma_{i+1}, & \dots, & \sigma_{j-1}\\ \shortparallel & & \shortparallel\\ \sigma'_0, & \dots, & \sigma'_{j-i-2=\nu} \end{matrix} ~~qui en fait une \nu-carte, dont l'ensemble des composantes connexes s'identifie à D_{ij}(\Pi). Fixons une telle composante connexe,~~ i.e. un

Ceci dit, soit f_i\in D_i(\Pi) (1\leq i\leq n), E_i=\varphi_i(f_i), et considérons la (i-1)-carte induite \partial f_i dont l'ensemble des repères est D_{01\dots i}(f_i) = \text{image réciproque de } \{f_i\} \text{ par } D_{0,1,\dots,i}(\Pi)\to D_i(\Pi). un bouquet de \varphi les données définissent une réalisation géométrique canonique (dite « induite ») de \partial f_i dans E_i.

Légèrement moins évident est la définition de la représentation induite de la (n-i-1)-carte \delta f_i dans l'un des

mot de raccord incertain, la phrase continue la p. 46 dont l'ensemble des repères est D_{i,i+1,\dots,n}(f_i)= image inverse de \{f_i\} par D_{i,i+1,\dots,n}\to D_i. En les sommets sont les (i,i+1)-drapeaux de \Pi dont la i-composante est f_i, et ils s'envoient sur les drapeaux de E de type (i,i+1) dont la i-composante est E_i, i.e. des couples (E_i\subset E_{i+1}), E_{i+1} de rg i+1. Mais si V_i est l'espace des translations de E_i, les E_{i+1} correspondent : aux droites de \overline{E}=E/V_i la page s'arrête ici ; le reste est blanc.

2 – Polyèdres réguliers. (Vieille rédaction)

titre de sa main, en haut à droite d'une feuille de chemise autrement vierge (p. 49) ; la p. 48 est vierge.

2-Polyèdres repérés en coordonnées universelles (vieille rédaction)

titre de sa main, au crayon, sur une seconde chemise (p. 50), précédé de « (18) ».

il souligne les lettres désignant les ensembles de la structure (\mathrm{S}, \mathrm{A}, \mathrm{F}, \mathrm{R}, …) et les éléments du repère ; on les rend ici en romain droit. X=(\mathrm{S},\mathrm{A},\mathrm{F},\mathrm{R},\mathrm{R}',\mathrm{R}'') polyèdre combinatoire (), \mathrm{R} ensemble de ses repères.

E espace affine (proj.) sur k (corps).

Réalisation géométrique de X : \begin{cases} \varphi_S : \mathrm{S}\to E\\ \varphi_A : \mathrm{A}\to \mathrm{Dr}(E)\\ \varphi_F : \mathrm{F}\to \mathrm{Pl}(E) \end{cases} 1°) compatible aux \mathrm{R}', \mathrm{R}'', donc \mathrm{R}. On suppose de plus que

2°) a) Si a\in\mathrm{A}, s,s'\in\mathrm{S} les deux sommets incidents, f,f' les deux faces incidentes, on a \varphi_S(s)\neq\varphi_S(s'), \varphi_F(f)\neq\varphi_F(f').

b) Si s<f avec s\in\mathrm{S}, f\in\mathrm{F}, et si a,a' sont les deux arêtes entre s et f, on a \varphi_A(a)\neq\varphi_A(a').

\Longrightarrow \varphi_S détermine \varphi_A, \varphi_F / dualement \varphi_F détermine \varphi_A, \varphi_S / \varphi_A détermine \varphi_S dualement \varphi_F

~~Si X est régulier, on appelle réalisation géométrique~~ régulière.

Prop. Soit r_0=(s_0,a_0,f_0) un repère de X. Soit :

s_1 le deuxième sommet de a_0, s_2 le deuxième sommet de la 1ère arête a_1 entre s_0 et f_0, s_3 le deuxième sommet de la 2ème arête entre s_0 et f_1, la 2ème face passant par a_0.

Considérons les images s_0,s_1,s_2,s_3 dans E. Alors ces pts sont affinement indépendants

Dém. s_1\neq s_0 (par a) 1°) et s_2\neq s_0 ; a_1\neq a_0 par b), donc s_2\notin a_0, donc s_0,s_1,s_2 affinement indépendants, f_0 est le plan qu'ils engendrent. De même [remplaçant r_0=(s_0,a_0,f_0) par r_1=(s_0,a_0,f_1)] on voit que f_1 est le plan engendré par s_0,s_1,s_3. Or f_1\neq f_0 ( par a) 2°), donc s_3\notin f_0, donc s_0,s_1,s_2,s_3 affinement indépendants.

Cor. \left.\begin{aligned} a_0&=\mathrm{dr}(s_0,s_1)\\ f_0&=\mathrm{pl}(s_0,s_1,s_2) \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \varphi_A,\varphi_F \text{ connus quand on connaît } \varphi_S dualement \left.\begin{aligned} a_0&=f_0\cap f_1\\ s_0&=f_0\cap f_1\cap f_2 \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \varphi_S,\varphi_A \text{ connus quand on connaît } \varphi_F où f_2 est la deuxième face passant par a_1, et enfin \left.\begin{aligned} s_0&=a_0\cap a_1\\ f_0&=\mathrm{pl}(a_0,a_1) \end{aligned}\right\}\Longrightarrow \varphi_S,\varphi_F \text{ connus quand on connaît } \varphi_A figure : le sommet s_0 d'où partent les arêtes a_0 (vers s_1), a_1 (vers s_2), a_2 (vers s_3, vers le haut) et une quatrième arête vers le bas, aboutissant à un point marqué s_3 (surchargé) ; les faces f_0 (entre a_0 et a_1, hachurée), f_1 (entre a_2 et a_0, hachurée), f_2 (sous a_1) et f_3 au-delà de s_1 ; une arête a_2^0 issue de s_1.

Conclusion \varphi_S(\mathrm{S}) engendre affinement E.

Réalisation géométrique régulière (où X régulier) : \forall \mathrm{g}\in \mathrm{G}\overset{\mathrm{df}}{=}\mathrm{Aut}(X), \exists\, g\in\mathrm{Aut}_{\mathrm{aff\ ou\ proj}}(E) la phrase se poursuit en p. 53.

tel que l'on ait \begin{cases} g\circ\varphi_S = \varphi_S\circ\mathrm{g}\\ g\circ\varphi_A = \varphi_A\circ\mathrm{g}\\ g\circ\varphi_F = \varphi_F\circ\mathrm{g} \end{cases} au-dessus de chaque \mathrm{g} souligné du membre de droite, un petit signe (accent ou flèche) que je ne sais pas interpréter.

NB l'une quelconque de ces trois relations implique les deux autres. Dans le cas affine, g défini en fonction unique de \mathrm{g}, et \mathrm{g}\mapsto g est un homomorphisme \mathrm{G}\to opérations sur E. C'est encore vrai dans le cas projectif, pourvu que \exists\, s\in\mathrm{S} avec \varphi_S(s)=s non coplanaire avec trois des quatre pts s_0,s_1,s_2,s_3 (condition à vérifier exceptionnelle : ~~tétraèdre~~ \mathrm{S}=\{s_0,s_1,s_2,s_3\} …) Si nous éliminons ce cas exceptionnel, il y a un donc \mathrm{g}\mapsto g faisant opérer \mathrm{G} sur E ….

Donnons-nous supposons X régulier, on choisit repère r_0=(s_0,a_0,f_0), d'où générateurs \sigma_0,\sigma_1,\sigma_2 de \mathrm{G}=\mathrm{Aut}(X), définis par la fin de la page est occupée par un mot surchargé sous « générateurs », illisible ; la définition des \sigma_i se poursuit en p. 54.

\begin{cases} \sigma_0(s_0)\overset{\mathrm{df}}{=}s_1, & \sigma_0(a_0)=a_0,\quad \sigma_0(f_0)=f_0\\ \sigma_1(s_0)=s_0 & \sigma_1(a_0)\overset{\mathrm{df}}{=}a_1,\quad \sigma_1(a_0)=a_0\\ \sigma_2(s_0)=s_0 & \sigma_2(a_0)=a_0,\quad \sigma_2(f_0)\overset{\mathrm{df}}{=}f_1 \end{cases} deuxième ligne : il écrit bien \sigma_1(a_0)=a_0 en troisième position ; on attendrait \sigma_1(f_0)=f_0.

La donnée de \varphi régulière équivaut : à la donnée de \varphi_G:\mathrm{G}\to\mathrm{Aut}(E) et \varphi_R(r_0)=(s_0,a_0,f_0)\in\mathrm{Drap}_{012}(E), satisfaisant certaines conditions. La donnée de \varphi_G : équivaut en termes équivaut : à la donnée de \sigma_0,\sigma_1,\sigma_2\in\mathrm{Aut}(E) satisfaisant certaines conditions, qu'on explicitera.

Notons qu'indépendamment de la condition de régularité et de l'épinglage donné de r_0\in\mathrm{R}, la donnée de \varphi implique \varphi_R : \mathrm{R}\longrightarrow \mathrm{Drap}_{012}(E) qui, dans le cas régulier, devient une \mathrm{G}-application, et qui permet de récupérer \varphi_S,\varphi_A,\varphi_F par passage aux quotients. Dans le cas régulier, comme \mathrm{R} est un \mathrm{G}-torseur, la donnée de \varphi_R équivaut : à la donnée de \varphi_R(r_0)\in r_0=(s_0,a_0,f_0)). « \varphi_R(r_0)\in r_0=(s_0,a_0,f_0) » : ainsi sur la page ; le « \in » est peut-être un « = » surchargé.

Pour que la \mathrm{G}-application \pi_E^{(i)}\circ\varphi_R passe au quotient par \mathrm{Fac}_i(X) (=\mathrm{S},\mathrm{A} ou \mathrm{F}), soit \mathrm{G}-équivariante i.e. qu'on ait

\begin{tikzcd} \mathrm{R} \arrow[r, "\varphi_R"] \arrow[d, "\pi_X^{(i)}"'] & \mathrm{Drap}_{012}(E) \arrow[d, "\pi_E^{(i)}"] \\ \mathrm{Fac}_i(X) \arrow[r] & \mathrm{Fac}_i(E) \end{tikzcd}

i=0,1,2

~~(s,a,f\Rightarrow l'image)~~ le stabilisateur dans \mathrm{G} de f(i)_0 contienne celui de f(i)_0, ce qui s'écrit les deux « f(i)_0 » sont ainsi écrits, l'un souligné (dans X), l'autre non (dans E). \begin{matrix} & \sigma_0(a_0)=a_0 & \sigma_0(f_0)=f_0\\ \sigma_1(s_0)=s_0 & & \sigma_1(f_0)=f_0\\ \sigma_2(s_0)=s_0 & \sigma_2(a_0)=a_0 & \end{matrix} au-dessus du tableau, un mot biffé ; le reste de la page est blanc.

, À vérifier : Cartes homogènes de type (p,q)

a) Rep. est géométrie d'incidence ssi (p,q)=(1,2) ou (2,1) (seuls cas où pour (p,q)\geq(2,2)) deux petites figures : un segment à deux sommets marqués ; une courbe fermée portant un seul sommet.

b) est polyèdre combinatoire ssi p=2 ou q=2

~~Alors~~

[C'est une géométrie d'incidence ssi (p,q)\geq(2,2) i.e. p\neq1, q\neq1 i.e. (p,q)\neq(1,2),(2,1)]

[C'est un polyèdre combinatoire ssi (p,q)\geq(3,3) i.e. ssi p\neq2, q\neq2, i.e. ssi (p,q)\neq(2,q) (q\geq1) et (p,q)\neq(p,2) (p\geq1).] les deux énoncés entre crochets corrigent visiblement a) et b), écrits d'abord : a) et b) disent l'inverse (« ssi (p,q)=(1,2) ou (2,1) », « ssi p=2 ou q=2 ») ; il n'a pas biffé a) et b).

feuillet isolé, d'une autre encre, sans lien direct visible avec les pp. 51–56 : groupes d'automorphismes d'un groupoïde et d'un graphe. \mathcal{C} groupoïde, G \subset\mathrm{Aut}(\mathcal{C}) transitif sur \mathrm{Ob}\,\mathcal{C}, e\in\mathcal{C}_0, H=G_e, \mathcal{C}_0\simeq G/H.

\Gamma normalisateur de G

\Gamma^0 centralisateur de \mathcal{C} sic ; on attendrait « de G ». 1\to\Gamma^0\to\Gamma\to\mathrm{Aut}(G) e\in\mathrm{Ob}\,\mathcal{C}=\mathcal{C}_0

\gamma \mathcal{C}_0 connu quand on connaît \gamma(e)

\begin{tikzcd} 1 \arrow[r] & \Gamma^1 \arrow[r] \arrow[d, hook] \arrow[dr] & \Gamma^0 \arrow[r] & N(H)/H \\ & H & \mathrm{Aut}_H(\pi_e) & \end{tikzcd}

la flèche verticale \Gamma^1\to H est tracée barrée d'un petit trait ; on la rend par une inclusion, lecture incertaine. un sommet e d'où partent une arête vers un autre sommet et une flèche f ; à côté, l'image de la situation en \gamma e.

K=(K_0,K_1,\ K_1\to K_0\ \text{surj}) (graphe connexe), G groupe, ~~d'automorphismes de~~ opérant sur K, on suppose que G est transitif sur l'ensemble K_1 des arêtes de K. \begin{matrix} K_1\simeq G/H_1 \\ \downarrow \\ K_0=G/H_0 \end{matrix} \qquad \sigma\in N(H)/H \qquad \sigma^2=1 C=(C_0,C_1\dots) groupoïde, G opère sur C_0 K\hookrightarrow C G-morphisme ou 2-morphisme, K_0\xrightarrow[\sim]{\text{bij}} C_0 à gauche, trois petites figures : une arête orientée de e vers e' ; une arête issue de \gamma e ; une boucle en un sommet, avec une flèche sortante. \begin{matrix} 1\to\Gamma^0\to\Gamma\to\mathrm{Aut}(\mathcal{C})\\ *\\ \Gamma\to G \qquad 1\to\Gamma^1\to\Gamma^0\to N(H)/H_0\\ *\\ 1\to\Gamma^2\to\Gamma^1\hookrightarrow\mathrm{Aut}_G\,\pi_e\\ *\\ \pi_e,\ \mathrm{Hom}(e,e')\qquad \pi_e\\ \shortparallel\\ T_{e,e'} \qquad N_{F(\pi_e)}H_0 \end{matrix} dans la deuxième suite, un G entre \Gamma^0 et N(H)/H_0 est biffé ; la troisième suite (en \Gamma^2) est barrée de trois traits obliques.

le bas de la page est un brouillon de suites exactes superposées ; la disposition ci-dessus suit l'ordre des lignes, sans prétendre restituer l'alignement des étoiles, placées par lui sous \mathrm{Aut}(\mathcal{C}). « N_{F(\pi_e)}H_0 » est une lecture incertaine d'un groupe surchargé.

page de figures seules, reprenant celle de la p. 52 : en haut, un digone hachuré (deux arêtes joignant deux sommets) et un triangle à trois sommets marqués ; à droite, le sommet s_0 avec les arêtes a_0 (vers s_1), a_1 (vers s_2), a_2 (vers s_3) et les faces f_0, f_1 ; au centre, la figure développée : de s_0 partent a_0 vers s_1, a_1 vers s_2, a_2 vers s_3 et une quatrième arête vers le bas ; faces f_0 (hachurée, entre a_0 et a_1), f_1 (entre a_2 et a_0), f_2 (sous a_1), f_3 au-delà de s_1, et en s_1 l'arête a_2'. Le reste de la page est blanc.