Cote n° 7 · batch 4 · pages 61–71 · Transcription · Notes laïus novembre-décembre 1967 (Cristaux) : notes manuscrites (1966-1967)
Édition de démonstration

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61la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée p. 60

faisceaux \[\mathcal{F}^{(\nu)} : U \longmapsto F(U^{(\nu+1)}/U) = \varprojlim_{i} F\bigl(\Delta^{(\nu)}_{U}(i)\bigr)\] sur \(X_{\mathrm{zar}}\), soit \(\mathcal{F}^{(\nu)}\), et que pour \(\nu\) variable, ces faisceaux forment un faisceau cosimplicial sur \(X_{\mathrm{zar}}\). Ceci posé, on aura un isom \[H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \simeq \mathbb{H}^{*}(X_{\mathrm{zar}}, \mathcal{F}^{*}) , \qquad \mathcal{F}^{*} = (\nu \mapsto \mathcal{F}^{\nu})\] l'indice « strat » est ici récrit sur un autre mot et abrégé ; il l'est de même dans toute la suite (« str. », « strat »), et on l'écrit partout \(\mathrm{strat}\). L'égalité \(\mathcal{F}^{*} = (\nu \mapsto \mathcal{F}^{\nu})\) est écrite sous \(\mathcal{F}^{*}\), reliée par un signe \(=\) vertical qui impliquera une suite spectrale d'hypercoh. \[\boxed{\;H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(X_{\mathrm{zar}}, \mathcal{F}^{(\nu)})\bigr)\;}\] encadré par lui ; devant \(\nu\), un signe biffé généralisant l'isomorphisme trouvé plus haut.

Regardons le complexe \(\mathcal{F}^{*}\), prenons pour simplifier \(F = \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}\)ces deux lignes sont biffées, encadrées et hachurées

Coh. cristalline 6.2. Lorsque on travaille en cohomologie cristalline, […] […] peut (lorsque \(X\) n'est pas f[ormellemen]t lisse sur \(S\)) […] définir que \(\widetilde{X}\) comme l'objet final. Mais supposons que l'on puisse trouver une immersion

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\begin{tikzcd}
  X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[dl] \\
  S &
\end{tikzcd}

avec \(Y\) formellt. lisse sur \(S\) [toujours possible localement sur \(X\), […] si \(S\), \(X\) affines, […] si \(X\) est q.-projectif sur \(S\) […] alors […] […] […]]. Considérons le faisceau sur le site cristallin de \(X/S\) « représenté » par \((X, Y)\) ; de façon précise, si \(Y(i)\) est le \(i\)-ème voisinage inf. de \(X\) dans \(Y\), on trouve que ce faisceau est le faisceau \[\widetilde{Y} = \varinjlim_{i} \widetilde{Y(i)} .\] D'autre part l'hypothèse que \(Y\) est f[ormellemen]t lisse sur \(S\) implique que \(\widetilde{Y}\) couvre le faisceau final. D'où une \[H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(\widetilde{Y}^{\nu+1}, F)\bigr)\]

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Supposons de plus les \(F_{X'}\) qu.-coh., [et simultanément bien si \(X'' \hookrightarrow X'\) !]ajouté en haut à droite, relié par un trait De plus, supposons \(U\) dans \(X\) affines, donc les \(Y(i)\) affines. Comme […] Comme on a alors \[H^{*}(\widetilde{X'}, F) = H^{*}(X'_{\mathrm{zar}}, F_{X'})\] on trouve encore \(E_{2}^{pq} = 0\) si \(q \neq 0\) d'où \[H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \simeq H^{*}\bigl(\nu \mapsto F(Y^{\nu+1}/X)\bigr)\] sous \(Y^{\nu+1}/X\), relié par une accolade : « complété formel, [le] long de \(X\) » ; suivent quelques mots griffonnés et biffés, […]

Lorsque \(X\) n'est pas affine, on introduit encore les faisceaux \[\mathcal{F}^{(\nu)} : U \longmapsto \varprojlim F\bigl(U, U(i)^{\nu+1}\bigr)\] sur \(X_{\mathrm{zar}}\) [\(U(i)\) est le \(i\)-ème voisinage inf. de \(U\) dans \(Y^{\nu+1}\) ; si \(V\) est un ouvert de \(Y\) induisant \(U\), cela se réécrit […] \[\mathcal{F}^{(\nu)}(U) = F\bigl(V^{\nu+1}/U\bigr)\] sous \(V^{\nu+1}/U\), relié par une accolade : « complété formel le long de \(U\) » ] ;

Pour \(\nu\) variable, on trouve un faisceau cosimplicial, dit noté \(\mathcal{F}^{*}\), et on trouve

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\[H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \simeq \mathbb{H}^{*}(X_{\mathrm{zar}}, \mathcal{F}^{*})\] d'où \[H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \Longleftarrow H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(X, \mathcal{F}^{(\nu)})\bigr)\]

Applications aux […] canoniques 6.3. Cas particulier. Supposons que […]au-dessus du mot biffé, un ajout : « […] […] » \(X_0 \hookrightarrow X\) une immersion nilpotente, Alors […] et que \(F\) sur \(X_{\mathrm{cris}}\) provienne d'un \(F_0\) sur \(X_{0\,\mathrm{cris}}\) par « restriction ». Alors \(\forall\) entier \(\nu\), les complétés formels \(Y^{\nu+1}/X_0\) et \(Y^{\nu+1}/X\) sont identiques. On trouve donc \[\mathcal{F}^{(\nu)} \simeq \mathcal{F}_0^{(\nu)}\] […] sur \(X_{\mathrm{zar}} = X_{0\,\mathrm{zar}}\), d'où un isom. \[H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(X_{0\,\mathrm{cris}}, F_0) .\] Ceci a été établi lorsqu'on peut plonger \(X\) globalement dans un \(Y\) f[ormellemen]t lisse sur \(S\), mais […] localement utilisant un recouvrement de \(X\) par des ouverts affines, on voit que l'on peut se débarrasser de cette hypothèse. [Il faudrait regarder si on peut se débarrasser de l'hypothèse type quasi-cohérence faite sur \(F\) … ?]

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Supposons en particulier que \(X\) est lisse sur \(S\), (donc on peut prendre \(Y = X\), mais peu importe …) et \(S_0 \hookrightarrow S\) une imm. nilpotente, d'où \(X_0 = X \times_S S_0 \to X\) imm. nilpotente. Considérons \(X_0\) comme schéma sur \(S\) (pas sur \(S_0\)) pour définir \(X_{0\,\mathrm{cris}}\). On trouve alors \[H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}) = H^{*}(X_{0\,\mathrm{cris}}, \mathcal{O}_{X_{0\,\mathrm{cris}}})\] Cette relation prouve que le 1er membre ne dépend pas (à isom canonique) de la façon dont on a relevé la situation lisse \(X_0/S_0\) en une situation lisse sur \(S\). Lorsque \(S\) est de car. nulle, on trouve que le premier membre est aussi [can. isom. à] \(H^{*}(X_{\mathrm{zar}}, \Omega^{\cdot}_{X/S})\), ce qui nous donne une définition des […] com. de coh. de De Rham [pour un morphisme quelconque \(f : X \to S\)]ajouté sous la ligne, relié par un trait ; à la ligne suivante, un second ajout : « pour une […] […] […] » […] base \(S\) de car. nulle. [Même mieux, on […] […] avoir à définir \(Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\) comme un cristal absolu sur \(S\) …], [donc l'étendre à tt voisinage infinitésimal de \(S\), pas seulement ceux qui se rétractent sur \(S\)]].

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Cas de \(\mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}\) et \(\mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}\) 6.4. Cas \(F = \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}\) ou \(\mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}\). Alors \(\mathcal{F}^{*}\) est un anneau cosimplicial [sur \(X_{\mathrm{zar}}\)]. Dans le premier

Dans le cas de 6.2, c'est la limite projective des anneaux cosimpliciaux \(\mathcal{F}(i)^{*}\), où \(\mathcal{F}(i)^{*}\) est relatif à \(Y(i)\) (NB. \(Y(i)_{\mathrm{zar}} = X_{\mathrm{zar}}\) !). Ce qui est donc, pour l'étude de cet anneau, […] essentiellement au contexte stratifiant.

Chaque \(\mathcal{F}^{(\nu)}\) [sur \(X_{\mathrm{zar}}\)] est une \(\mathcal{O}_{X_{\mathrm{zar}}}\)-algèbre de \(\nu+1\) façons canoniques, qui viennent des \(\nu+1\) projections \(\mathrm{pr}_i\) (\(1 \leqslant i \leqslant \nu+1\)) de \(X^{\nu+1}\) sur \(X\) ou de \(X^{\nu+1}/X\) sur \(X\). Si on choisit p.ex. \(\mathrm{pr}_1\), [\(\mathcal{F}^{(\nu)}\) devient pro-quasi-cohérent.] les les opérations simpliciales, et par suite les opérateurs cobords doivent être considérés comme op. diff. d'ordre infini : si on désigne les \(\mathcal{F}^{(\nu)}\), on trouve des op. diff. ordinaires … C'est ici que complexes de cochaînes canoniques (plus fin que pour les complexes de De Rham), que les complexesla phrase se poursuit p. 68

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Cas de \(S = \operatorname{Spec} \mathbb{C}\) 6.4. Soit \(X\) un espace analytique. […]seule ligne de la page, biffée, avec sous la note marginale un petit croquis biffé : un premier départ de 6.5

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d'op. différentiels s'introduisent dans la théorie de façon vraiment naturelle.

Analogie avec les cochaînes de Čech-Alexander …

Cas \(S = \operatorname{Spec} \mathbb{C}\) 6.5 Supposons \(S = \operatorname{Spec} \mathbb{C}\). Regardons la suite spectrale de cohomologie stratifiante \[H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(\mathcal{O}_{X^{\nu+1}/X})\bigr)\] devant \(\mathcal{O}\), un symbole récrit, […] ; sous \(H^{q}(\ldots)\), relié par une accolade : « cohomologie formelle »

Si on suppose pour simplifier \(X\) propre, donc les \(H^{q}\bigl(\Delta^{(\nu)}(i), \mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(i)}\bigr)\) de dim finie, alors on trouve par M.L. \[H^{q}\bigl(X^{\nu+1}/X, \mathcal{O}_{X^{\nu+1}/X}\bigr) \simeq \varprojlim_{i} H^{q}\bigl(\Delta^{(\nu)}(i), \mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(i)}\bigr)\] et on peut aussi en écrire \[E_{2}^{pq} = \varprojlim_{i} H^{p}\Bigl(\nu \mapsto H^{q}\bigl(\Delta^{(\nu)}(i), \mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(i)}\bigr)\Bigr) .\] Or, grâce à GAGA, la cohomologie des \(\Delta^{(\nu)}(i)\) peut s'interpréter de façon analytique. On trouve ainsi \[H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X^{\mathrm{an}}_{\mathrm{strat}}}) \overset{\mathrm{déf}}{=} \mathbb{H}^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathcal{F}^{\mathrm{an}\,*}_{X^{\mathrm{an}}})\]

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où \(\mathcal{F}^{\mathrm{an}\,*}_{X}\) se […] définit à partir de \(X^{\mathrm{an}}\) par [de] façon analogue que dans le cas algébrique : \[\mathcal{F}^{\mathrm{an}\,*}_{X^{\mathrm{an}}} = \mathcal{F}^{*}_{X^{\mathrm{an}}} = (\nu \mapsto \mathcal{F}^{\nu}_{X^{\mathrm{an}}})\] la parenthèse \((\nu \mapsto \ldots)\) est lue sous une rature ; un premier essai est biffé \[\mathcal{F}^{\nu}_{X^{\mathrm{an}}} : U \longmapsto \Gamma\bigl(U^{\nu+1}/U, \mathcal{O}_{U^{\nu+1}/U}\bigr)\] (où \(U\) parcourt les ouverts de \(X^{\mathrm{an}}\)).

Conjecture. Pour tout espace analytique \(\mathfrak{X}\), le complexe \(\mathcal{F}^{*}_{\mathfrak{X}}\) est une résolution du faisceau \(\mathbb{C}_{\mathfrak{X}}\) (via l'augmentation évidente). \(\mathfrak{X}\) rend un X cursif qu'il trace comme une étoile barrée [Alors pour \(\mathfrak{X}\) propre, on a \(H^{*}(\mathfrak{X}_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{\mathfrak{X}_{\mathrm{strat}}}) = H^{*}(\mathfrak{X}, \mathbb{C})\)]

[…]une ligne entière raturée en boucles Cela semble plausible, en regardant les « fibres formelles » des faisceaux …

Th. Soit \(X\) propre sur \(\mathbb{C}\). Si la conjecture plus haut est vraie pour \(X^{\mathrm{an}}\), alors on a un isom. can. \[H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C})\]

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Supposons \(X\) contenu dans un schéma lisse \(Y\). Si la conjecture ci-dessus est vraie pour les \(Y(i)^{\mathrm{an}}\) (\(Y(i) = i\)-ème voisinage infinitésimal de \(X\) dans \(Y\)) alors l'homom. […] […] \[H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}) \longrightarrow H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}})\] est également un isom.les deux lignes « Supposons … » et « est également un isom. » sont marquées d'un trait vertical dans la marge ; le passage biffé est en outre encadré et hachuré

Le premier isom. résulte de l'isom. de comparaison plus haut, et de \[H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathcal{F}^{*}_{X^{\mathrm{an}}}) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C}) .\] Pour le deuxième, le dévissage du n° 2 […] aussitôt \[H^{*}_{\mathrm{cris}}(X, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}) = \varprojlim_{i} H^{*}_{\mathrm{cris}}\bigl(Y(i), \mathcal{O}_{Y(i)_{\mathrm{cris}}}\bigr)\] Or d'après la première partie, les homom. de transition sont des isom., et on gagne.

Cela donne […] des rapports à la conjecture de l'exposé précédent.

Pb. Supposons de façon générale \(X\) plat [(loc. de prés. finie)] sur \(S\), et \(F\) [sur \(X_{\mathrm{cris}}\)] satisfaisant aux hyp. habituelles (p. ex. provenant d'un Module […] stratifié) A-t-on […] […] \[H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F_{X_{\mathrm{cris}}}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F\ (\text{dite stratifiée}))\ .\]

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C'est aussi équivalent au pb suivant : si \(X\) est comme dessus, et \(X_0 \to X\) une imm. nilp. […], \(Y\) de prés. finie sur \(S\), a-t-on \[H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(X_{0\,\mathrm{strat}}, F)\] [De plus, on peut supposer \(S\), \(X\), \(X_0\) affines].

Remarques. Si \(S = \operatorname{Spec} k\), \(k\) corps valué complet non archimédien, il y a lieu de faire se poser la question de la validité de la conjecture [ci-dessus], pour les […] espaces rigides-analytiques de Tate […] sur \(k\), et algébriques, – mais c'est […] […] […]passage biffé, encadré et hachuré espaces analytiques […] « flasques » sur \(k\). Mais cela n'a […] pas d'indication globale […] vraisemblable …fin de la page et du dossier