Fonds Grothendieck, cote n° 7, pages 61–71

la page s'ouvre au milieu d'une phrase commencée p. 60

faisceaux \mathcal{F}^{(\nu)} : U \longmapsto F(U^{(\nu+1)}/U) = \varprojlim_{i} F\bigl(\Delta^{(\nu)}_{U}(i)\bigr) sur X_{\mathrm{zar}}, soit \mathcal{F}^{(\nu)}, et que pour \nu variable, ces faisceaux forment un faisceau cosimplicial sur X_{\mathrm{zar}}. Ceci posé, on aura un isom H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \simeq \mathbb{H}^{*}(X_{\mathrm{zar}}, \mathcal{F}^{*}) , \qquad \mathcal{F}^{*} = (\nu \mapsto \mathcal{F}^{\nu}) l'indice « strat » est ici récrit sur un autre mot et abrégé ; il l'est de même dans toute la suite (« str. », « strat »), et on l'écrit partout \mathrm{strat}. L'égalité \mathcal{F}^{*} = (\nu \mapsto \mathcal{F}^{\nu}) est écrite sous \mathcal{F}^{*}, reliée par un signe = vertical qui impliquera une suite spectrale d'hypercoh. \boxed{\;H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(X_{\mathrm{zar}}, \mathcal{F}^{(\nu)})\bigr)\;} encadré par lui ; devant \nu, un signe biffé généralisant l'isomorphisme trouvé plus haut.

~~Regardons le complexe \mathcal{F}^{*}, prenons pour simplifier F = \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}~~ces deux lignes sont biffées, encadrées et hachurées

Coh. cristalline 6.2. Lorsque on travaille en cohomologie cristalline, peut (lorsque X n'est pas formellement lisse sur S) définir que \widetilde{X} comme l'objet final. Mais supposons que l'on puisse trouver une immersion

\begin{tikzcd} X \arrow[r, hook] \arrow[d] & Y \arrow[dl] \\ S & \end{tikzcd}

avec Y formellt. lisse sur S [toujours possible ~~localement sur X~~, si S, X affines, si X est q.-projectif sur S alors ]. Considérons le faisceau sur le site cristallin de X/S « représenté » par (X, Y) ; de façon précise, si Y(i) est le i-ème voisinage inf. de X dans Y, on trouve que ce faisceau est le faisceau \widetilde{Y} = \varinjlim_{i} \widetilde{Y(i)} . D'autre part l'hypothèse que Y est formellement lisse sur S implique que \widetilde{Y} couvre le faisceau final. D'où une H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(\widetilde{Y}^{\nu+1}, F)\bigr)

Supposons de plus les F_{X'} qu.-coh., et simultanément bien si X'' \hookrightarrow X' !ajouté en haut à droite, relié par un trait De plus, supposons U dans X affines, donc les Y(i) affines. ~~Comme~~ Comme on a alors H^{*}(\widetilde{X'}, F) = H^{*}(X'_{\mathrm{zar}}, F_{X'}) on trouve encore E_{2}^{pq} = 0 si q \neq 0 d'où H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \simeq H^{*}\bigl(\nu \mapsto F(Y^{\nu+1}/X)\bigr) sous Y^{\nu+1}/X, relié par une accolade : « complété formel, [le] long de X » ; suivent quelques mots griffonnés et biffés,

Lorsque X n'est pas affine, on introduit encore les faisceaux \mathcal{F}^{(\nu)} : U \longmapsto \varprojlim F\bigl(U, U(i)^{\nu+1}\bigr) sur X_{\mathrm{zar}} [U(i) est le i-ème voisinage inf. de U dans Y^{\nu+1} ; si V est un ouvert de Y induisant U, cela se réécrit \mathcal{F}^{(\nu)}(U) = F\bigl(V^{\nu+1}/U\bigr) sous V^{\nu+1}/U, relié par une accolade : « complété formel le long de U » ] ;

Pour \nu variable, on trouve un faisceau cosimplicial, ~~dit~~ noté \mathcal{F}^{*}, et on trouve

H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \simeq \mathbb{H}^{*}(X_{\mathrm{zar}}, \mathcal{F}^{*}) d'où H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \Longleftarrow H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(X, \mathcal{F}^{(\nu)})\bigr)

Applications aux canoniques 6.3. Cas particulier. Supposons que au-dessus du mot biffé, un ajout : « » X_0 \hookrightarrow X une immersion nilpotente, ~~Alors~~ et que F sur X_{\mathrm{cris}} provienne d'un F_0 sur X_{0\,\mathrm{cris}} par « restriction ». Alors \forall entier \nu, les complétés formels Y^{\nu+1}/X_0 et Y^{\nu+1}/X sont identiques. On trouve donc \mathcal{F}^{(\nu)} \simeq \mathcal{F}_0^{(\nu)} sur X_{\mathrm{zar}} = X_{0\,\mathrm{zar}}, d'où un isom. H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(X_{0\,\mathrm{cris}}, F_0) . Ceci a été établi lorsqu'on peut plonger X globalement ~~dans un~~ Y formellement lisse sur S, mais ~~localement~~ utilisant un recouvrement de X par des ouverts affines, on voit que l'on peut se débarrasser de cette hypothèse. [Il faudrait regarder si on peut se débarrasser de l'hypothèse type quasi-cohérence faite sur F … ?]

Supposons en particulier que X est lisse sur S, (donc on peut prendre Y = X, mais peu importe …) et S_0 \hookrightarrow S une imm. nilpotente, d'où X_0 = X \times_S S_0 \to X imm. nilpotente. Considérons X_0 comme schéma sur S (pas sur S_0) pour définir X_{0\,\mathrm{cris}}. On trouve alors H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}) = H^{*}(X_{0\,\mathrm{cris}}, \mathcal{O}_{X_{0\,\mathrm{cris}}}) Cette relation prouve que le 1er membre ne dépend pas (à isom canonique) de la façon dont on a relevé la situation lisse X_0/S_0 en une situation lisse sur S. Lorsque S est de car. nulle, on trouve que le premier membre est aussi can. isom. à H^{*}(X_{\mathrm{zar}}, \Omega^{\cdot}_{X/S}), ce qui nous donne une définition des com. de coh. de De Rham pour un morphisme quelconque f : X \to Sajouté sous la ligne, relié par un trait ; à la ligne suivante, un second ajout : « pour une » base S de car. nulle. [Même mieux, on avoir à définir Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) comme un cristal absolu sur S …], donc l'étendre à tt voisinage infinitésimal de S, pas seulement ceux qui se rétractent sur S].

Cas de \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}} et \mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}} 6.4. Cas F = \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}} ou \mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}. Alors \mathcal{F}^{*} est un anneau cosimplicial sur X_{\mathrm{zar}}. ~~Dans le premier~~

Dans le cas de 6.2, c'est la limite projective des anneaux cosimpliciaux \mathcal{F}(i)^{*}, où \mathcal{F}(i)^{*} est relatif à Y(i) (NB. Y(i)_{\mathrm{zar}} = X_{\mathrm{zar}} !). Ce qui est donc, pour l'étude de cet anneau, essentiellement au ~~contexte~~ stratifiant.

Chaque \mathcal{F}^{(\nu)} sur X_{\mathrm{zar}} est une \mathcal{O}_{X_{\mathrm{zar}}}-algèbre de \nu+1 façons canoniques, qui viennent des \nu+1 projections \mathrm{pr}_i (1 \leqslant i \leqslant \nu+1) de X^{\nu+1} sur X ou de X^{\nu+1}/X sur X. Si on choisit p.ex. \mathrm{pr}_1, \mathcal{F}^{(\nu)} devient pro-quasi-cohérent. ~~les~~ les opérations simpliciales, et par suite les opérateurs cobords doivent être considérés comme op. diff. d'ordre infini : si on désigne les \mathcal{F}^{(\nu)}, on trouve des op. diff. ordinaires … C'est ici que complexes de cochaînes canoniques (plus fin que pour les complexes de De Rham), que les complexesla phrase se poursuit p. 68

~~Cas de S = \operatorname{Spec} \mathbb{C} 6.4.~~ ~~Soit X un espace analytique.~~ seule ligne de la page, biffée, avec sous la note marginale un petit croquis biffé : un premier départ de 6.5

d'op. différentiels s'introduisent dans la théorie de façon vraiment naturelle.

Analogie avec les cochaînes de Čech-Alexander …

Cas S = \operatorname{Spec} \mathbb{C} 6.5 Supposons S = \operatorname{Spec} \mathbb{C}. Regardons la suite spectrale de cohomologie stratifiante H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}) \Longleftarrow E_{2}^{pq} = H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(\mathcal{O}_{X^{\nu+1}/X})\bigr) devant \mathcal{O}, un symbole récrit, ; sous H^{q}(\ldots), relié par une accolade : « cohomologie formelle »

Si on suppose pour simplifier X propre, donc les H^{q}\bigl(\Delta^{(\nu)}(i), \mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(i)}\bigr) de dim finie, alors on trouve par M.L. H^{q}\bigl(X^{\nu+1}/X, \mathcal{O}_{X^{\nu+1}/X}\bigr) \simeq \varprojlim_{i} H^{q}\bigl(\Delta^{(\nu)}(i), \mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(i)}\bigr) et on peut aussi en écrire E_{2}^{pq} = \varprojlim_{i} H^{p}\Bigl(\nu \mapsto H^{q}\bigl(\Delta^{(\nu)}(i), \mathcal{O}_{\Delta^{(\nu)}(i)}\bigr)\Bigr) . Or, grâce à GAGA, la cohomologie des \Delta^{(\nu)}(i) peut s'interpréter de façon analytique. On trouve ainsi H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X^{\mathrm{an}}_{\mathrm{strat}}}) \overset{\mathrm{déf}}{=} \mathbb{H}^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathcal{F}^{\mathrm{an}\,*}_{X^{\mathrm{an}}})

où \mathcal{F}^{\mathrm{an}\,*}_{X} se définit à partir de X^{\mathrm{an}} ~~par~~ de façon analogue que dans le cas algébrique : \mathcal{F}^{\mathrm{an}\,*}_{X^{\mathrm{an}}} = \mathcal{F}^{*}_{X^{\mathrm{an}}} = (\nu \mapsto \mathcal{F}^{\nu}_{X^{\mathrm{an}}}) la parenthèse (\nu \mapsto \ldots) est lue sous une rature ; un premier essai est biffé \mathcal{F}^{\nu}_{X^{\mathrm{an}}} : U \longmapsto \Gamma\bigl(U^{\nu+1}/U, \mathcal{O}_{U^{\nu+1}/U}\bigr) (où U parcourt les ouverts de X^{\mathrm{an}}).

Conjecture. Pour tout espace analytique \mathfrak{X}, le complexe \mathcal{F}^{*}_{\mathfrak{X}} est une résolution du faisceau \mathbb{C}_{\mathfrak{X}} (via l'augmentation évidente). \mathfrak{X} rend un X cursif qu'il trace comme une étoile barrée [Alors pour \mathfrak{X} propre, on a H^{*}(\mathfrak{X}_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{\mathfrak{X}_{\mathrm{strat}}}) = H^{*}(\mathfrak{X}, \mathbb{C})]

une ligne entière raturée en boucles Cela semble plausible, en regardant les « fibres formelles » des faisceaux …

Th. Soit X propre sur \mathbb{C}. Si la conjecture plus haut est vraie pour X^{\mathrm{an}}, alors on a un isom. can. H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C})

Supposons X contenu dans un schéma lisse Y. ~~Si la conjecture ci-dessus est vraie pour les Y(i)^{\mathrm{an}} (Y(i) = i-ème voisinage infinitésimal de X dans Y)~~ alors l'homom. H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}) \longrightarrow H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}) est également un isom.les deux lignes « Supposons … » et « est également un isom. » sont marquées d'un trait vertical dans la marge ; le passage biffé est en outre encadré et hachuré

Le premier isom. résulte de l'isom. de comparaison plus haut, et de H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathcal{F}^{*}_{X^{\mathrm{an}}}) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C}) . Pour le deuxième, le dévissage du n° 2 aussitôt H^{*}_{\mathrm{cris}}(X, \mathcal{O}_{X_{\mathrm{cris}}}) = \varprojlim_{i} H^{*}_{\mathrm{cris}}\bigl(Y(i), \mathcal{O}_{Y(i)_{\mathrm{cris}}}\bigr) Or d'après la première partie, les homom. de transition sont des isom., et on gagne.

Cela donne des rapports à la conjecture de l'exposé précédent.

Pb. Supposons de façon générale X plat (loc. de prés. finie) sur S, et F sur X_{\mathrm{cris}} satisfaisant aux hyp. habituelles (p. ex. provenant d'un Module stratifié) A-t-on H^{*}(X_{\mathrm{cris}}, F_{X_{\mathrm{cris}}}) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F\ (\text{dite stratifiée}))\ .

C'est aussi équivalent au pb suivant : si X est comme dessus, et X_0 \to X une imm. nilp. , Y de prés. finie sur S, a-t-on H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \xrightarrow{\ \sim\ } H^{*}(X_{0\,\mathrm{strat}}, F) [De plus, on peut supposer S, X, X_0 affines].

Remarques. Si S = \operatorname{Spec} k, k corps valué complet non archimédien, il y a lieu de ~~faire~~ se poser la question de la validité de la conjecture ci-dessus, pour les ~~espaces rigides-analytiques de Tate sur k, et algébriques, – mais c'est~~ passage biffé, encadré et hachuré espaces analytiques « flasques » sur k. Mais cela n'a pas d'indication globale vraisemblable …fin de la page et du dossier