Cote n° 7, pages 41–60

Cote n° 7 · batch 3 · pages 41–60 · Transcription · Notes laïus novembre-décembre 1967 (Cristaux) : notes manuscrites (1966-1967)
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automatiquement fermés ?).suite de la phrase interrompue en bas de la p. 40 (batch 2) : « (les idéaux sont-ils automatiquement fermés ?) » W.M. prouvent

Il semble que le théorème suivant soit vrai (dont W.M. prouvent une variante plus faible) :

a) Si \(A_0\) de t.f. sur \(k\) et lisse sur \(k\), \(\exists\) \(A\) [W-M]ajouté au-dessus de la ligne algèbre sur \(W\), plats sur \(W\), et un \(k\)-isomorphisme \[\varphi : A \otimes_W k \simeq A_0 .\]

b) De plus, un tel couple \((A, \varphi)\) est unique (à isom. (non unique) près), i.e. si on a deux \((A', \varphi')\), il existe un \(W\)-isom. \(u : A \to A'\) rendant commutatif le diagramme évident.

c) Définissons, pour une algèbre de W.M. \(A\) sur \(W\), [(\(\Omega^{1}(A/W)\) par la propriété] universelle pour les dérivations de \(A/W\) dans les \(A\)-modules de type fini, d'où \[\Omega^{*}(A/W) = \textstyle\bigwedge^{*}(A/W) ,\] ainsi sur la page : le \(\bigwedge\) porte l'étoile en exposant, et l'on attendrait \(\bigwedge^{*}\Omega^{1}(A/W)\) qui est un complexe de \(W\)-algèbres.

b) […] […] divisions […] Soient \((A, \varphi)\) \((A', \varphi')\) […] […] […] desdeux lignes barrées ; au-dessus de la seconde, « Soient » et « \(A\). \(A'\) », eux aussi barrés […] : \(A \to A'\) […] […]

[…] \(u : A \to A'\) un homom. de W.M.-d)la lettre, dans la marge gauche, se lit « b) » ou « d) » algèbres lisses sur \(W\), d'où \[u^{*} : H^{\cdot}\bigl(\Omega^{\cdot}(A'/W)\bigr) \longrightarrow H^{\cdot}\bigl(\Omega^{\cdot}(A/W)\bigr)\] la flèche est un simple trait, sans pointe ; l'ordre \(A'\), puis \(A\), est celui de la page

Cet homomorphisme ne dépend que de l'homomorphisme \(u_0 : A_0 \to A'_0\), induit sur les algèbres réduites mod \(p\).

Cor. Si \(A\) est un relèvement de W.M. de [lisse de]dans la marge gauche, deux mots reliés par un trait \(A_0\) lisse sur \(k\), alors \(H^{\cdot}\bigl(\Omega^{\cdot}(A/W)\bigr)\) ne dépend, à isom. canonique près, que de \(A_0\).

En fait, W-M. ne prouvent ces résultats que pour des \(A_0\) « spéciales », — mais il y a assez de celles-ci. De plus, dans leurs notes, ils ne prouvent la propriété d'invariance […] que mod torsion, i.e. en tensorisant par \(K\).

(4)signe peu lisible en tête de l'alinéa, dans la marge Lorsque \(X_0\) est un schéma lisse quelconque sur \(k\), en utilisant ces résultats, W.M. définissent [dans [ ]]au-dessus de la ligne, crochets laissés vides pour une référence, et relié par un trait des « faisceaux de cohom. » \(H^{*}(X\) \(\mathcal{H}^{*}_{X_0}\) sur \(X_0\), qui sont des faisceaux de \(W\)-modules.

Cela ne donne pas encore d'invariants

globaux, comme on va le voir en avançant. Dernièrement [Récemment] W.M. ont utilisé la notion de topos site pour définir des invariants globaux : le site des relèvements de W.M. des ouverts affines spéciaux, pour la « topologie de Zariski ». Sur ce site, les \(\Omega^{\cdot}_{A/W}\)l'indice se lit « \(A/k\) » ou « \(A/W\) » forment un complexe de faisceaux, et ils prennent l'hypercohomologie. Ils trouvent des invariants globaux […], qui sont des modules sur \(W\). Ils [vérifient (?)] que dans le cas envisagé au début, [ils retrouvent bien] \(\mathbb{H}^{*}(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S})\), d'où la [propriété d'invariance] W.M. que j'y avais énoncée.les deux ajouts sont en interligne, serrés ; l'ordre des mots est reconstitué

3) Critique de W.M.

C'est une idée nouvelle importante, en ce qu'elle met en relation la coh. de D.R. en car. \(0\), avec la coh. algébrique \(p\)-adique hypothétique. Elle fournit une théorie cohomologique « \(p\)-adique en car. \(p\) », qui évite une des critiques principales qu'on avait faites à D.R. naïve : elle

a comme anneau de coeff. \(W(k)\), dont le corps des fractions \(K\) est de car. \(0\), et non \(k\). De plus, ces \(W\)-modules ne [(s'il est vrai qu'elle vit sur \(W(k)\), pas seulement \(K\))]en interligne sont fournit des relations satisfaisantes une notion de torsion \(p\)-adique, qui est peut-être […] la […] la bonne : est-ce la torsion \(p\)-adique de la fibre générique ? géométrique ? […] […]deux mots, en bout de ligne et au début de la suivante question, extrêmement importante et profonde, des relations entre la cohomologie de D.R. et la cohomologie \(p\)-adique, […] […] spécialisation de la car. \(0\) à la car. \(p > 0\). Cette question déjà [dans un langage différent,]en interligne, au-dessus de « l'an… » envisagée par Tate, (dans […] […] l'an[née] dernière, dans la […] tout au moins).le mot après « dans la » est entouré d'une courbe ; on y lit deux capitales, « HH » ou « IH »

Sur l'importance de cette question […] pour […] de certains pbs liés aux [familles de]au-dessus de la ligne, relié par un trait cycles algébriques, cf. […] […] aux Invariants [[ ]]crochets laissés vides, au-dessus de la ligne, reliés par un trait oblique […] parfaits, prochainement.

Il reste cependant des graves critiques : formelles, la plus importante étant […] […] […]fin de la ligne, sans doute « de voir » fournie par le différentielle, ce qui pratiquement limite la théorie aux \(X_0\) lisses. Ne […] travaillant qu'avec les seuls complexes \(\Omega^{\cdot}_{X_k}\) de différentielles De Rham, [il est sans espoir que]en interligne, au-dessus de la ligne suivante, et relié à celle-ci cette « W-[…] » permet pas d'écrire [fournisse] des suites spectrales De Rham type Leray pour un morphisme \(f_0 : X_0 \to Y_0\), — si précieuses pour faire des dévissages dans les démonstrations.

Comme conséquences, de cela ceci, sans doute, W.M. n'ont pas été capables de prouver pour leur cohomologie les […] propriétés formelles les plus élémentaires, […] […] […] d'entre elles est certainement le fait que leurs \(H^{i}(X)_{\mathrm{WM}}\) sont des modules de t.f. sur \(W\) — donc sans doute

non plus le théorème de dualité, ni de Künneth. Je […] d'[…] (

(Il semble cependant […] par un […], ils envisagent d'utiliser leur cohomologie pour donner une expression de la formule Lefschetz-Weil de la fonction \(\zeta\) d'un schéma projectif et lisse sur un corps fini, en […] que les Frobenius opèrent sur les \(H^{i}(X)\) […] des opérateurs : […] […]… ! Ce formalisme semble […] […] de celui de Dwork, que je ne connais pas…).

§ 3 4) Relations [heuristiques de W.M.] avec une idée de Gauss-Manin.

« heuristiques de W.M. » est écrit au-dessus et inséré par un trait entre « Relations » et « avec » ; le titre est souligné. Le « 4) » biffé est récrit en « § 3 »

1. Caractère assez surprenant à première vue de l'assertion d'invariance des W.M. Supposons p. ex. que l'on ait

une grosse variation […] de \(X_0\), s'exprimant disant par le fait que \(X_0\) est la fibre, en un point \(t_0\) au dessus du pt fermé \(s_0\) de \(S\), d'un schéma propre et lisse \(Y\) [/]un trait oblique relie « \(Y\) », récrit au-dessus, à « sur » sur un \(M\) de type fini sur \(S\). Les différentes sections de \(M\) sur \(S\) donnent différentes façons, de relever \(X_0\) en un \(X\) propre et lisse sur \(S\). Prenant \[(*) \qquad \mathcal{K}^{\cdot} = Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M})\] on voit que pour toute telle section \(g\) de \(M\) sur \(S\), définissant un \(X_g^{(\Sigma)}\), et \[f_g^{(\Sigma)} : X_g^{(\Sigma)} \longrightarrow S\] l'exposant de \(X_g\) et de \(f_g\) est un petit signe entre parenthèses, lu \(\Sigma\) sous réserve ; sur \(f_g\) il est d'abord écrit, biffé, puis récrit on a \[Rf_{g*}(\Omega^{\cdot}_{X_g/S}) \xleftarrow{\ \simeq\ } g^{*}(\mathcal{K}^{\cdot})\] sous la flèche : « isom. can. » (\(g^{*}\) au sens des catégories dérivées…). Il s'ensuit, du moins modulo torsion, que \[R^{i}f_{g*}(\Omega^{\cdot}_{X_g/S}) \xleftarrow{\ \simeq\ } g^{*}(\mathcal{H}^{i})\]

LaTeX source

\begin{tikzcd}[column sep=large]
Y \arrow[r, "f"] & M \arrow[r, "h"] & S = \operatorname{Spec} W
\end{tikzcd}

croquis dans la moitié gauche de la page : un cube marqué \(Y\), une flèche \(f\) vers un carré \(M\) traversé d'un trait vertical et d'un faisceau de droites passant par un point, puis une flèche verticale \(h\) vers un segment pointé, marqué « Spec \(W = S\) » ; redessiné ici en ligne. En haut à droite, au crayon très pâle, un petit calcul sans rapport apparent (« \((k+1)\) … \(\frac{k}{2}\) »), illisible

Ainsi, on trouve que, [(posant \((*)\)),] les complexes \(g^{*}(\mathcal{K}^{\cdot})\), pour les différentes sections \(g\) de \(M\) sur \(S\) passant par \(t_0\), sont canon. isomorphes entre eux (dans une des cat. dérivées), donc les \(g^{*}(\mathcal{H}^{i})\) (où \(\mathcal{H}^{i} = \mathcal{H}^{i}(\mathcal{K}^{\cdot})\) [\(= R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M})\)])l'égalité \(= R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M})\) est ajoutée au-dessus, en bout de ligne, et reliée par un trait sont canoniquement isomorphes entre eux, pour mod torsion.toute la phrase est soulignée, ligne à ligne La donnée d'un tel système transitif d'isomorphismes […] peut être considérée comme une structure […] sur \[\mathcal{K}^{\cdot} = Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M})\] [en […] relativement, à la base \(S\)], resp. sur les \(\mathcal{H}^{i} = R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M})\), Une telle […] […] […] p. ex. […] [[…] […]]ligne biffée, avec un ajout au-dessus en partie illisible à une structure de descente. Une structure de […] […] […] [sur un \(M\)-module \(\underline{E}\) disons,]en interligne type, […] […] […] qui […] ses fibres […], i.e. définissons un isom. \[\underline{E} \simeq h^{*}(\underline{E}_0)\] après \(\underline{E}\), un \(\mathcal{H}\) biffé (\(\underline{E}_0\) un \(M_0\)-module […] sur \(S\)], exprime un

tel système transitif d'isomorphismes entre les \(g^{*}(\underline{E})\). Nous nous […] décrire des structures, [plus] fortes que celles ci-dessus, qui définissent encore un tel syst. transitif, disons : les structures de stratification relativement à \(S\).

2. Définition générale d'une stratification. [Relations avec connexions.]en interligne, d'une encre plus pâle

3. Système transitif d'isom. qu'elle fournit, si […] est un […] […] local complet.

4. La idée de connexion de Gauss-Manin.le « 4 » est récrit sur un autre chiffre ; le bas de la page est blanc

50la page commence au milieu d'un développement, sans titre ; le « 3.5 » qu'elle porte plus bas reprend la numérotation des points 1–4 annoncés p. 49, dont le début (l'exposé de Manin) ne figure pas sur les feuillets précédents

Dans le cas où \(k\) est de car. \(0\), cela se donne une connexion intégrable absolue sur \(\mathcal{H}^{*}\) (Manin n'utilise pas ce langage géométrique). Puis, dans le cas des \(H^{1}\), et lorsque \(K\) est provient d'une variété [propre]au-dessus de la ligne lisse, Manin montre de façon assez compliquée que \(\mathbb{H}(X, \Omega^{\cdot}_{X/k})\) (qui est \(\subset H_{\mathrm{DR}}(K/k)\)) est stable par les opérations \(\theta_X\).la lettre sous \(\Omega\), \(h\) ou \(k\), n'est pas nette ; de même le « \(K\) » de \(H_{\mathrm{DR}}(K/k)\)

3.5. En fait, par des arguments très simples directs, que reposant sur la « formule d'homotopie » de Cartan \[d\, i_X + i_X\, d = \theta_X\] on peut montrer, pour un morphisme \(f : X \to S\) :

(i) Pour toute dérivation \(\xi\) de \(\underline{\mathcal{O}}_S\) qui se remonte, [loc. au dessus] […] de \(S\), en une dérivation \(\overline{\xi}\) de \(\underline{\mathcal{O}}_X\) [condition toujours satisfaite si \(X\) est […] formellement lisse sur \(S\) et affine sur \(S\)] l'effet de \((\overline{\xi}, \xi)\) opérant sur \(f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\)le symbole devant \(f_{*}\) est noirci par une rature, est indépendant à une homotopie […] près du choix de \(\overline{\xi}\), [dans différent (si \(f\) formellement lisse et affine)]ajout entouré, en interligne, en partie douteux, dépendant de \(\xi\) ; donc en particulier, les \[\mathcal{H}^{i}\bigl(f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\bigr) = R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\] sont des Modules sur lesquels les dérivations de \(S\) opèrent, — et on vérifie la loi de linéarité et de crochet trivialement. Si \(S\) lisse sur un \(T\), cela donne pour \(f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\) et via les \(R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\) une conn. intégrable rel/\(T\).les deux dernières lignes sont serrées en bas de page : « crochet trivialement » et « donne pour » sont écrits l'un sous l'autre

(ii) Par une construction reposant sur le même principe, mais seulement un peu plus sophistiquée techniquement, (cf. appendice), on trouve que si \(f\) est lisse propre et qu.-sép., les \[Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\] est muni d'une connexion absolue canonique [au sens des catégories dérivées]. Cela ne signifie pas tout à fait que les \(R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\) sont munis individuellement de connexions absolues ; c'est pourtant vrai si \(S\) de car. \(0\), et \(f\) propre et lisse (car alors les formations des \(R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\) eux-mêmes commute à l'extension de la base…) — […] […], bien sûr, dans le cas lisse affine envisagé en (i)… La vérification (pour \(f\) propre, lisse) que cette connexion est compatible avec la construction transcendante, est en fait triviale.

Remarques. On pourrait espérer que ces connexions canoniques proviennent en fait de stratifications canoniques, de façon que l'on aurait une

explication « à priori » de la construction de [invariance]au-dessus du mot biffé affirmée par Washnitzer-Monsky. C'est bien vrai si \(S\) est de car. zéro, mais malheureusement c'est faux en car. \(p > 0\), — si on considère par ex. des projections structurales de [familles de]en interligne, relié par un trait courbes elliptiques (schémas elliptiques) ! Il s'agit donc pour le moment d'une relation heuristique et sentimentale, entre deux idées différentes, dont les relations exactes restant […] [laissent]au-dessus de la ligne encore [d'avoir]au-dessus de « été », relié par un trait été bien élucidées……

Pour résumer, on se trouve conduit devant un puzzle, où il s'agit de reconstituer une théorie d'ensemble […] […] et combinant

a) Une théorie cohomologique des complexes d'opérateurs différentiels, qui (notamment en vue d'extension au complexe de D.R.)la parenthèse est en interligne

b) Une étude systématique des structures stratifiées, notamment [en vue]au-dessus de « …les » souples qui [(recevront des explications conceptuelles […])]ajout entouré, en interligne, relié par un trait […] […]

c) La théorie de Washnitzer-Monsky.

§ 4 Topos stratifiant et topos cristallin.

4.1. Interprétation d'une stratification relative d'un Module \(\underline{F}\) sur \(X/S\). Si […] […] une telle stratification, alors pour tt \(S\)-morphisme \(f : Y \to X\), et tt voisinage infinitésimal \(Y'\) de \(Y\), [(sur \(S\))]au-dessus de la ligne qui puisse tels que \(f\) veuille bien se prolonger (localement au moins) en \(f' : Y' \to X\), un système transitif d'isom. entre les \(f'^{*}(\underline{F})\). On peut donc dire que la […] [donnée d'une]en interligne, au-dessus du mot biffé stratification [revient à la] […] donnée […], pour tt voisinage infinitésimal \(Y'\) d'un \(Y \xrightarrow{f} X\), (sur \(S\)), [soumis à la condition déjà énoncée (automatiquement si \(X/S\) formellement lisse)]en interligne, en petits caractères d'un prolongement […] de \(\underline{F}\) en un Module sur \(Y'\), — avec des conditions de fonctorialité évidentes. Pour exprimer plus commodément ce point de vue, et ses variantes, on va introduire un site ad-hoc.

LaTeX source

\begin{tikzcd}
X \arrow[dd, no head] & Y \arrow[l, "f"'] \arrow[d, hook] \\
 & Y' \arrow[ul, "f^{\prime}"] \\
S &
\end{tikzcd}

croquis dans la marge gauche, en regard du texte ; les lettres \(Y\) et \(Y'\) y sont récrites en encre plus foncée, et l'inclusion \(Y \subset Y'\) est notée par un simple signe \(\subset\) vertical. Dans le texte, « \(f : Y \to X\) » est récrit sur une autre lettre

4.2. Définition du site et du topos cristallins de \(X\) sur \(S\). Définition du site et du topos stratifiant de \(X\) sur \(S\).

C'est pareil si \(X\) formell[ement] lisse sur \(S\).

[Cas des topos annelés.]en interligne, au-dessus d'une ligne biffée Description d'un Attention, le site n'a pas de générateur d'objet final !ce « Attention… » est lui-même écrit en interligne, au-dessus du « Description d'un » biffé Cas des […] et topos annelés.

Description dès […] faisceaux d'ensembles en termes de faisceaux habituels. Item pour faisceaux d'anneaux, faisceaux de Modules sur faisceaux d'anneaux etc.

Faisceaux spéciaux : les hom. de changement de base sont des isom.

Faisceaux de Modules spéciaux sur site stratifiant de \(X/S\) \(\simeq\)le signe est écrit verticalement entre les deux lignes Faisceaux de Modules : stratification sur \(X/S\).

4.3. Énonçons de suite ces résultats et conjectures suivants, qui seront étudiés détaillés plus tard :

Th. Si \(S\) de car. \(0\) et \(X\) lisse sur \(S\), alors \[H^{*}_{\substack{\text{cris}/S \\ \text{ou strat}}}(X/S, \mathcal{O}_X) \simeq H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S)\] sous \(H^{*}\), en petits caractères, « cris/\(S\) ou strat », en partie biffé et douteux lisse car : \(Rf_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\) … \((R f_{*}(\mathcal{O}_X))^{\mathrm{cub}} \simeq Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) \ldots\)deux lignes encadrées et biffées de traits obliques serrés ; lecture très incertaine

[Ceci donnera une explication]en tête de page, au-dessus de la ligne suivante

Conj. Si \(X\) loc. de t.f. sur \(\mathbb{C}\), alors \[H^{*}_{\substack{\text{strat} \\ \text{ou crist.}}}(X/\mathbb{C}, \mathcal{O}_X) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C})\] l'indice « strat » est récrit, « ou crist. » est ajouté au-dessous

N.B. La conjecture se prouverait, grâce au th., lorsque, et au th. de comparaison de l'exposé \(1\), dans le cas où \(X\) est lisse sur \(\mathbb{C}\). Donc dans le cas lisse, on trouve d'une façon de car. \(0\), une nouvelle description de la coh. de D.R. sans utiliser de différentielles.la phrase est soulignée ligne à ligne ; « une nouvelle » est récrit, en partie biffé

6. 12. 1966date en haut à droite, dans un cadre ouvert ; le troisième chiffre est mal formé, lu 6. Elle s'accorde avec le « 15.11.66 » de la p. 35 (batch 2)

Laïustitre souligné, en haut à gauche

\(X \xrightarrow{f} S\)écrit verticalement dans la marge gauche : \(X\) au-dessus de \(S\), la flèche \(f\) descendante Soit \(\mathcal{F}\) un Module quasi-cohérent stratifié sur \(X/S\). On a vu qu'il définit un module de \(X_{\mathrm{strat}}\), et par là un faisceau cosimplicial [\(\mathcal{F}^{*} = C^{*}(\mathcal{F})\)]entouré, en interligne sur \(X_{\mathrm{zar}}\), par \[C^{n}(\mathcal{F}) = \mathcal{F}^{(n)} = \varprojlim_{i} \mathcal{F}_{\Delta^{n}_{X/S}(i)}\] [par n'importe laquelle des \(n\) projections \(\Delta^{n}_{X/S}(i) \to X\) on peut définir l'image inverse, il y a des isom. canoniques entre eux, précisément à cause de la stratification de \(\mathcal{F}\)]. On a \[\boxed{\;H^{*}(X_{\mathrm{str}}, \mathcal{F}) \simeq \mathbb{H}^{*}\bigl(X_{\mathrm{zar}}, C^{*}(\mathcal{F})\bigr)\;}\] On voit donc deux théories cohomologiques ; par [données]au-dessus du mot biffé […] […] semble […] […] à première vue […] distinctes […] pas contenir l'autredeux lignes biffées:

a) Pour un \(\mathcal{F}\) quasi-cohérent sur \(X\), les \(H^{i}(X_{\mathrm{zar}}, \mathcal{F})\).

b) Si \(\mathcal{F}\) est stratifié, on forme les \(H^{i}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{F})\), qui s'explicitent par la formule plus haut.

À première vue, le lien entre ces deux théories cohomologiques semble donné exclusivement par

la formule ci-dessus ; Il ne semble pas possible que [À priori]au-dessus des mots biffés, la cohomologie stratifiante d'un Module stratifié s'explicite comme une hypercohomologie zariskienne (et encore, dans un complexe dont les […] différentiellesrécrit sur « différentiels » n'est pas linéaire !), et mais l'inverse ne semble pas vrai. On va voir pourtant que, dans un certain sens, il en est bien ainsi. À peu de choses près, on associe à tt Module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) (sans stratification) un Module quasi-cohérent [(plutôt, un pro-Module pro-quasi-cohérent)]en interligne, relié par un trait \(\mathcal{Q}^{\cdot}(\mathcal{F})\) stratifié, dont la cohomologie stratifiante est la coh. zariskienne ordinaire de \(X\). De plus, \(\mathcal{Q}^{\cdot}(\mathcal{F})\) est un foncteur en \(\mathcal{F}\), non seulement par des homomorphismes linéaires \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), mais \(=\) […] [(conoyaux] additifs, […] […] de \(\mathcal{O}_X\)-modules) par des D : \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) qui sont seulement des op. diff. rel/\(S\).le passage « On va voir… rel/\(S\) » est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche ; « conoyaux » est écrit au-dessus de la rature […] [[Dans le cas très]au-dessus d'une ligne biffée particulier où \(\mathrm{diag}_{X/S} : X \to X \times_S X\) est une immersion nilpotente, donc […] \(\mathcal{Q}^{\cdot}(\ill{})\) stratification \(\equiv\) donnée de descente : \(S\), \(\mathcal{Q}^{\cdot}(\mathcal{F}) = f^{*}f_{*}(\mathcal{F})\)]. L'intérêt [de ces… des uns voisins]ajout entouré, en interligne, en partie illisible […] est que l'hypercoh. [zariskienne ordinaire]au-dessus de la ligne d'un complexe d'op. diff. peut s'interpréter comme la coh. stratifiante des complexes commutant de faisceaux stratifiés… !les deux dernières lignes sont serrées en bas de page ; la dernière est d'une autre encre, plus pâle

[…] les op. diff. de \(M\) dans \(N\) (rel. à \(S\)), alors on trouve encore un foncteur [exact]au-dessus de la ligne […] \(M\), mais non à valeurs dans les \(\mathcal{P}^{i}\)-Modules, [(si \(i \geq 1\))]encadré, en interligne mais seulement dans les \(\mathcal{P}^{i-1}\)-Modules, si on considère \(\mathcal{P}^{i}[M]\) comme \(\mathcal{P}^{i-1}\)-Module par restriction des scalaires [(On les note alors \(\mathcal{Q}^{i-1}[M]\))]en interligne, avec un renvoi marqué d'un astérisque cerclé vers la formule encadrée du bas de page à l'aide de \(\alpha^{i-1} : \mathcal{P}^{i-1} \to \mathcal{P}^{i}\). En particulier, \(\mathcal{Q}^{0}[M]\) est […] un foncteur, en \(M \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Mod}(X/S)\) [\(\to\) [Modules sur \(\mathcal{O}_X\), avec les op. diff. d'ordre rel. à \(S\)],]ajout relié par une flèche à « \(\mathrm{Mod}(X/S)\) » […] […] à valeurs dans les pro-\(\mathcal{O}_X\)-Modules. […] […] […] […] […] […] […] Anti-Riesz […] […] […] […] \(X\) […] pro-objet […] […]]note écrite verticalement dans la marge gauche, en quatre ou cinq lignes, reliée au texte par un trait terminé par un petit cercle ; seul « Anti-Riesz » se lit avec quelque sûreté

[\(\mathcal{P}^{0}[M] = M\) […] […] […] […] […] \(\mathrm{Ab}(X)\)]deux lignes entre crochets, encadrées et barrées de traits obliques

Notons que les […] \(\alpha^{\cdot} : \mathcal{P}^{*} \to (S\,\mathcal{P})^{*} = \mathcal{Q}^{*}\) permettent de considérer \(\mathcal{Q}^{*}\) comme [algèbre]au-dessus d'un mot biffé […] cosimplicial[e]« cosimplicial » est récrit sur un autre mot sur l'[…] anneau cosimplicial \(\mathcal{P}^{*}\), et que les opérations extérieures ducales \[\boxed{\;(*)\quad \mathcal{Q}^{i}[M] = \mathcal{P}^{i} \otimes_{\mathcal{O}_X} M\;}\] la formule, en bas de page, est encadrée et marquée d'un astérisque cerclé ; sur la page l'indice de \(\mathcal{Q}\) se lit « \(i{-}1\) » ou « \(i\) » ; le mot avant la formule, « ducales », est très douteux

59plan de l'exposé, en tête de page, séparé de la suite par un trait horizontal

§ 1Coh. de De Rham ordinaire
§ 2Tour d'horizon sur coh. \(\ell\)-adiques. Motivations pour le désir d'une coh. \(p\)-adique en car. \(p\).
§ 3Topo de Washnitzer-Monsky.
§ 4Stratifications. Relation de W-M. avec connexions de Gauss-Manin sur coh. de De Rham
§ 5Le Site cristallin et site stratifiant. Énoncé […] d'un théorème et d'une conjecture en car. nulle.
§ 6Calculs Čechistes (car. quelconque).
§ 7Comparaison de la Coh. de De Rham et cristalline (car. nulle).« nulle » est barré d'un trait
§ 8Comparaison [Retour]au-dessus du mot biffé sur le cas de la car. \(p\)…

[…] Coh. stratifiantedans la marge gauche, en face de 6.1, soulignée ; un premier titre y est noirci 6.1. Commençons à travailler sur le […] topos stratifiant de \(X/S\). Il y a l'objet \(\widetilde{X}\) de ce topos : il couvre l'objet final (c'est ici qu'on utilise la restriction sur ces objets du site stratifiant parmi ceux du site cristallin). Donc suite spectrale de Leray \[H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(\widetilde{X}^{\nu+1}, F)\bigr)\] On a aussi que \[\widetilde{X}^{\nu+1} = \varinjlim_{i} \Delta^{(\nu)}_{X}(i)\] une rature noircit l'exposant de \(\widetilde{X}\) (récrit « \(\nu+1\) ») et un symbole à droite de \(\Delta^{(\nu)}_X(i)\) ; une accolade relie ce dernier à une glose [\(\Delta^{(\nu)}_X(i)\) : voisinage inf. \(i\)-ième de la diagonale dans \(X^{\nu+1}\), considéré comme prosimplicial au-dessus de \(X\) ; \(X \hookleftarrow U \to X'\), \((U, X')\) […]]la glose est écrite sous la formule, en petits caractères, avec un croquis \(X \leftarrow U \to X'\)

D'autre part, pour tt objet du site stratifiant, on a

\[H^{*}\bigl((U, X'), F\bigr) \simeq H^{*}(X', F_{(U, X')})\] Supposons pour simplifier \(X\) affine, et affine sur \(S\), donc les \(\Delta^{(\nu)}(i)\) affines. Supposons que les \(F_{\Delta^{(\nu)}(i)}\) soient quasi-cohérents [et indépendants mutuellement]en interligne, souligné, relié par un trait. Alors on trouve donc \[H^{q}\bigl(\widetilde{\Delta^{(\nu)}_X(i)}, F\bigr) = 0 \quad \text{si } q > 0\] \(H^{0}\bigl(\widetilde{\Delta^{(\nu)}_X(i)}, F\bigr)\) pour \(i\) variable est un syst. proj. strict, d'où par les arguments : la M.L.sans doute la condition de Mittag-Leffler \[H^{q}(\widetilde{X}^{(\nu+1)}, F) = H^{q}\Bigl(\varinjlim_{i} \widetilde{\Delta^{(\nu)}_X(i)}, F\Bigr) = \varprojlim H^{q}\bigl(\widetilde{\Delta^{(\nu)}_X(i)}, F\bigr)\] donc \[\left\lbrace \begin{array}{l} H^{q}(\widetilde{X}^{(\nu+1)}, F) = 0 \quad \text{si } q > 0 \\ H^{0}(\widetilde{X}^{(\nu+1)}, F) = \varprojlim_{i} F\bigl(\Delta^{(\nu)}_X(i)\bigr) \end{array} \right.\] et par suite des isom. can. \[\boxed{\;H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \simeq H^{*}\bigl(\nu \mapsto F(X^{(\nu+1)}/X)\bigr)\;}\] sous \(X^{(\nu+1)}/X\), une accolade : « complété formel » ; le dénominateur est récrit sur une rature si \(X\) affine, les \(F_{\Delta^{(\nu)}_X(i)}\) quasi-cohérents (p. ex. \(F = \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}\)).

Dans le cas où on […] [suppose] seulement que les \(F_{\Delta^{(\nu)}_X(i)}\) sont qu.-coh. [et indépendants mutuellement]ajout en interligne, au-dessus d'un passage biffé et en partie illisible, mais \(X\) pas nécessairement affine, on montre que pour tout entier \(\nu\), […] a une