Fonds Grothendieck, cote n° 7, pages 41–60

automatiquement fermés ?).suite de la phrase interrompue en bas de la p. 40 (batch 2) : « (les idéaux sont-ils automatiquement fermés ?) » ~~W.M. prouvent~~

Il semble que le théorème suivant soit vrai (dont W.M. prouvent une variante plus faible) :

a) Si A_0 de t.f. sur k et lisse sur k, \exists A W-Majouté au-dessus de la ligne algèbre sur W, plats sur W, et un k-isomorphisme \varphi : A \otimes_W k \simeq A_0 .

b) De plus, un tel couple (A, \varphi) est unique (à isom. (non unique) près), i.e. si on a deux (A', \varphi'), il existe un W-isom. u : A \to A' rendant commutatif le diagramme évident.

c) Définissons, pour une algèbre de W.M. A sur W, (\Omega^{1}(A/W) par la propriété universelle pour les dérivations de A/W dans les A-modules de type fini, d'où \Omega^{*}(A/W) = \textstyle\bigwedge^{*}(A/W) , ainsi sur la page : le \bigwedge porte l'étoile en exposant, et l'on attendrait \bigwedge^{*}\Omega^{1}(A/W) qui est un complexe de W-algèbres.

~~b) divisions~~ ~~Soient (A, \varphi) (A', \varphi') des~~deux lignes barrées ; au-dessus de la seconde, « Soient » et « A. A' », eux aussi barrés ~~: A \to A'~~

u : A \to A' un homom. de W.M.-d)la lettre, dans la marge gauche, se lit « b) » ou « d) » algèbres lisses sur W, d'où u^{*} : H^{\cdot}\bigl(\Omega^{\cdot}(A'/W)\bigr) \longrightarrow H^{\cdot}\bigl(\Omega^{\cdot}(A/W)\bigr) la flèche est un simple trait, sans pointe ; l'ordre A', puis A, est celui de la page

Cet homomorphisme ne dépend que de l'homomorphisme u_0 : A_0 \to A'_0, induit sur les algèbres réduites mod p.

Cor. Si A est un relèvement de W.M. de lisse dedans la marge gauche, deux mots reliés par un trait A_0 lisse sur k, alors H^{\cdot}\bigl(\Omega^{\cdot}(A/W)\bigr) ne dépend, à isom. canonique près, que de A_0.

En fait, W-M. ne prouvent ces résultats que pour des A_0 « spéciales », — mais il y a assez de celles-ci. De plus, dans leurs notes, ils ne prouvent la propriété d'invariance que mod torsion, i.e. en tensorisant par K.

(4)signe peu lisible en tête de l'alinéa, dans la marge Lorsque X_0 est un schéma lisse quelconque sur k, en utilisant ces résultats, W.M. définissent dans [ ]au-dessus de la ligne, crochets laissés vides pour une référence, et relié par un trait des « faisceaux de cohom. » ~~H^{*}(X~~ \mathcal{H}^{*}_{X_0} sur X_0, qui sont des faisceaux de W-modules.

Cela ne donne pas encore d'invariants

globaux, comme on va le voir en avançant. ~~Dernièrement~~ Récemment W.M. ont utilisé la notion de ~~topos~~ site pour définir des invariants globaux : le site des relèvements de W.M. des ouverts affines spéciaux, pour la « topologie de Zariski ». Sur ce site, les \Omega^{\cdot}_{A/W}l'indice se lit « A/k » ou « A/W » forment un complexe de faisceaux, et ils prennent l'hypercohomologie. Ils trouvent des invariants globaux , qui sont des modules sur W. Ils vérifient (?) que dans le cas envisagé au début, ils retrouvent bien \mathbb{H}^{*}(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S}), d'où la propriété d'invariance W.M. que j'y avais énoncée.les deux ajouts sont en interligne, serrés ; l'ordre des mots est reconstitué

3) Critique de W.M.

C'est une idée nouvelle importante, en ce qu'elle met en relation la coh. de D.R. en car. 0, avec la coh. algébrique p-adique hypothétique. Elle fournit une théorie cohomologique « p-adique en car. p », qui évite une des critiques principales qu'on avait faites à D.R. naïve : elle

a comme anneau de coeff. W(k), dont le corps des fractions K est de car. 0, et non k. De plus, ces W-modules ne (s'il est vrai qu'elle vit sur W(k), pas seulement K)en interligne ~~sont~~ fournit ~~des relations satisfaisantes~~ une notion de torsion p-adique, qui est peut-être la la bonne : est-ce la torsion p-adique de la fibre générique ? géométrique ? deux mots, en bout de ligne et au début de la suivante question, extrêmement importante et profonde, des relations entre la cohomologie de D.R. et la cohomologie p-adique, spécialisation de la car. 0 à la car. p > 0. Cette question déjà dans un langage différent,en interligne, au-dessus de « l'an… » envisagée par Tate, (dans l'année dernière, dans la tout au moins).le mot après « dans la » est entouré d'une courbe ; on y lit deux capitales, « HH » ou « IH »

Sur l'importance de cette question pour de certains pbs liés aux familles deau-dessus de la ligne, relié par un trait cycles algébriques, cf. aux Invariants [ ]crochets laissés vides, au-dessus de la ligne, reliés par un trait oblique parfaits, prochainement.

Il reste cependant des ~~graves~~ critiques : formelles, la plus importante étant fin de la ligne, sans doute « de voir » fournie par le différentielle, ce qui pratiquement limite la théorie aux X_0 lisses. Ne travaillant qu'avec les seuls complexes \Omega^{\cdot}_{X_k} de ~~différentielles~~ De Rham, il est sans espoir queen interligne, au-dessus de la ligne suivante, et relié à celle-ci ~~cette~~ « W- » ~~permet pas d'écrire~~ fournisse des suites spectrales ~~De Rham~~ type Leray pour un morphisme f_0 : X_0 \to Y_0, — si précieuses pour faire des dévissages dans les démonstrations.

Comme conséquences, de ~~cela~~ ceci, sans doute, W.M. n'ont pas été capables de prouver pour leur cohomologie les propriétés formelles les plus élémentaires, d'entre elles est certainement le fait que leurs H^{i}(X)_{\mathrm{WM}} sont des modules de t.f. sur W — donc sans doute

non plus le théorème de dualité, ni de Künneth. ~~Je d' (~~

(Il semble cependant par un , ils envisagent d'utiliser leur cohomologie pour donner une expression de la formule Lefschetz-Weil de la fonction \zeta d'un schéma projectif et lisse sur un corps fini, en que les Frobenius opèrent sur les H^{i}(X) des opérateurs : … ! Ce formalisme semble de celui de Dwork, que je ne connais pas…).

§ 3 4) Relations heuristiques de W.M. avec une idée de Gauss-Manin.

« heuristiques de W.M. » est écrit au-dessus et inséré par un trait entre « Relations » et « avec » ; le titre est souligné. Le « 4) » biffé est récrit en « § 3 »

1. Caractère assez surprenant à première vue de l'assertion d'invariance des W.M. Supposons p. ex. que l'on ait

une grosse variation de X_0, s'exprimant ~~disant~~ par le fait que X_0 est la fibre, en un point t_0 au dessus du pt fermé s_0 de S, d'un schéma propre et lisse Y /un trait oblique relie « Y », récrit au-dessus, à « sur » sur un M de type fini sur S. Les différentes sections de M sur S donnent différentes façons, de relever X_0 en un X propre et lisse sur S. Prenant (*) \qquad \mathcal{K}^{\cdot} = Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M}) on voit que pour toute telle section g de M sur S, définissant un X_g^{(\Sigma)}, et f_g^{(\Sigma)} : X_g^{(\Sigma)} \longrightarrow S l'exposant de X_g et de f_g est un petit signe entre parenthèses, lu \Sigma sous réserve ; sur f_g il est d'abord écrit, biffé, puis récrit on a Rf_{g*}(\Omega^{\cdot}_{X_g/S}) \xleftarrow{\ \simeq\ } g^{*}(\mathcal{K}^{\cdot}) sous la flèche : « isom. can. » (g^{*} au sens des catégories dérivées…). Il s'ensuit, du moins modulo torsion, que R^{i}f_{g*}(\Omega^{\cdot}_{X_g/S}) \xleftarrow{\ \simeq\ } g^{*}(\mathcal{H}^{i})

\begin{tikzcd}[column sep=large] Y \arrow[r, "f"] & M \arrow[r, "h"] & S = \operatorname{Spec} W \end{tikzcd}

croquis dans la moitié gauche de la page : un cube marqué Y, une flèche f vers un carré M traversé d'un trait vertical et d'un faisceau de droites passant par un point, puis une flèche verticale h vers un segment pointé, marqué « Spec W = S » ; redessiné ici en ligne. En haut à droite, au crayon très pâle, un petit calcul sans rapport apparent (« (k+1) … \frac{k}{2} »), illisible

Ainsi, on trouve que, (posant (*)), les complexes g^{*}(\mathcal{K}^{\cdot}), pour les différentes sections g de M sur S passant par t_0, sont canon. isomorphes entre eux (dans une des cat. dérivées), donc les g^{*}(\mathcal{H}^{i}) (où \mathcal{H}^{i} = \mathcal{H}^{i}(\mathcal{K}^{\cdot}) = R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M}))l'égalité = R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M}) est ajoutée au-dessus, en bout de ligne, et reliée par un trait sont canoniquement isomorphes entre eux, ~~pour~~ mod torsion.toute la phrase est soulignée, ligne à ligne La donnée d'un tel système transitif d'isomorphismes peut être considérée comme une structure sur \mathcal{K}^{\cdot} = Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M}) [en relativement, à la base S], resp. sur les \mathcal{H}^{i} = R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{Y/M}), ~~Une telle~~ ~~p. ex.~~ ligne biffée, avec un ajout au-dessus en partie illisible à une structure de descente. Une structure de sur un M-module \underline{E} disons,en interligne type, qui ses fibres , i.e. définissons un isom. \underline{E} \simeq h^{*}(\underline{E}_0) après \underline{E}, un \mathcal{H} biffé (\underline{E}_0 un M_0-module sur S], exprime un

tel système transitif d'isomorphismes entre les g^{*}(\underline{E}). Nous nous décrire des structures, plus fortes que celles ci-dessus, qui définissent encore un tel syst. transitif, disons : les structures de stratification relativement à S.

2. Définition générale d'une stratification. Relations avec connexions.en interligne, d'une encre plus pâle

3. Système transitif d'isom. qu'elle fournit, si est un local complet.

4. La ~~idée de~~ connexion de Gauss-Manin.le « 4 » est récrit sur un autre chiffre ; le bas de la page est blanc

la page commence au milieu d'un développement, sans titre ; le « 3.5 » qu'elle porte plus bas reprend la numérotation des points 1–4 annoncés p. 49, dont le début (l'exposé de Manin) ne figure pas sur les feuillets précédents

Dans le cas où k est de car. 0, cela se donne une connexion intégrable absolue sur \mathcal{H}^{*} (Manin n'utilise pas ce langage géométrique). Puis, dans le cas des H^{1}, et lorsque ~~K est~~ provient d'une variété propreau-dessus de la ligne lisse, Manin montre de façon assez compliquée que \mathbb{H}(X, \Omega^{\cdot}_{X/k}) (qui est \subset H_{\mathrm{DR}}(K/k)) est stable par les opérations \theta_X.la lettre sous \Omega, h ou k, n'est pas nette ; de même le « K » de H_{\mathrm{DR}}(K/k)

3.5. En fait, par des arguments très simples directs, ~~que~~ reposant sur la « formule d'homotopie » de Cartan d\, i_X + i_X\, d = \theta_X on peut montrer, pour un morphisme f : X \to S :

(i) Pour toute dérivation \xi de \underline{\mathcal{O}}_S qui se remonte, loc. au dessus de S, en une dérivation \overline{\xi} de \underline{\mathcal{O}}_X [condition toujours satisfaite si X est formellement lisse sur S et affine sur S] l'effet de (\overline{\xi}, \xi) opérant sur f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})le symbole devant f_{*} est noirci par une rature, ~~est~~ indépendant à une homotopie près du choix de \overline{\xi}, dans différent (si f formellement lisse et affine)ajout entouré, en interligne, en partie douteux, dépendant de \xi ; donc en particulier, les \mathcal{H}^{i}\bigl(f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S})\bigr) = R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) sont des Modules sur lesquels les dérivations de S opèrent, — et on vérifie la loi de linéarité et de crochet trivialement. Si S lisse sur un T, cela donne pour f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) et via les R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) une conn. intégrable rel/T.les deux dernières lignes sont serrées en bas de page : « crochet trivialement » et « donne pour » sont écrits l'un sous l'autre

(ii) Par une construction reposant sur le même principe, mais seulement un peu plus sophistiquée techniquement, (cf. appendice), on trouve que si f est lisse propre et qu.-sép., les Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) est muni d'une connexion absolue canonique [au sens des catégories dérivées]. Cela ne signifie pas tout à fait que les R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) sont munis individuellement de connexions absolues ; c'est pourtant vrai si S de car. 0, et f propre et lisse (car alors les formations des R^{i}f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) eux-mêmes commute à l'extension de la base…) — , bien sûr, dans le cas lisse affine envisagé en (i)… La vérification (pour f propre, lisse) que cette connexion est compatible avec la construction transcendante, est en fait triviale.

Remarques. On pourrait espérer que ces connexions canoniques proviennent en fait de stratifications canoniques, de façon que l'on aurait une

explication « à priori » de la ~~construction de~~ invarianceau-dessus du mot biffé affirmée par Washnitzer-Monsky. C'est bien vrai si S est de car. zéro, mais malheureusement c'est faux en car. p > 0, — si on considère par ex. des projections structurales de familles deen interligne, relié par un trait courbes elliptiques (schémas elliptiques) ! Il s'agit donc pour le moment d'une relation heuristique et sentimentale, entre deux idées différentes, dont les relations exactes ~~restant~~ laissentau-dessus de la ligne encore d'avoirau-dessus de « été », relié par un trait été bien élucidées……

Pour résumer, on se trouve conduit devant un puzzle, où il s'agit de reconstituer une théorie d'ensemble et combinant

a) Une théorie cohomologique des complexes d'opérateurs différentiels, ~~qui~~ (notamment en vue d'extension au complexe de D.R.)la parenthèse est en interligne

b) Une étude systématique des structures stratifiées, notamment en vueau-dessus de « …les » ~~souples~~ qui (recevront des explications conceptuelles )ajout entouré, en interligne, relié par un trait

c) La théorie de Washnitzer-Monsky.

§ 4 Topos stratifiant et topos cristallin.

4.1. Interprétation d'une stratification relative d'un Module \underline{F} sur X/S. Si une telle stratification, alors pour tt S-morphisme f : Y \to X, et tt voisinage infinitésimal Y' de Y, (sur S)au-dessus de la ligne ~~qui puisse~~ tels que f veuille bien se prolonger (localement au moins) en f' : Y' \to X, un système transitif d'isom. entre les f'^{*}(\underline{F}). On peut donc dire que la donnée d'uneen interligne, au-dessus du mot biffé stratification revient à la donnée , pour tt voisinage infinitésimal Y' d'un Y \xrightarrow{f} X, (sur S), soumis à la condition déjà énoncée (automatiquement si X/S formellement lisse)en interligne, en petits caractères d'un prolongement de \underline{F} en un Module sur Y', — avec des conditions de fonctorialité évidentes. Pour exprimer plus commodément ce point de vue, et ses variantes, on va introduire un site ad-hoc.

\begin{tikzcd} X \arrow[dd, no head] & Y \arrow[l, "f"'] \arrow[d, hook] \\ & Y' \arrow[ul, "f^{\prime}"] \\ S & \end{tikzcd}

croquis dans la marge gauche, en regard du texte ; les lettres Y et Y' y sont récrites en encre plus foncée, et l'inclusion Y \subset Y' est notée par un simple signe \subset vertical. Dans le texte, « f : Y \to X » est récrit sur une autre lettre

4.2. Définition du site et du topos cristallins de X sur S. Définition du site et du topos stratifiant de X sur S.

C'est pareil si X formellement lisse sur S.

Cas des topos annelés.en interligne, au-dessus d'une ligne biffée ~~Description d'un~~ Attention, le site n'a pas de générateur d'objet final !ce « Attention… » est lui-même écrit en interligne, au-dessus du « Description d'un » biffé Cas des et topos annelés.

Description dès faisceaux d'ensembles en termes de faisceaux habituels. Item pour faisceaux d'anneaux, faisceaux de Modules sur faisceaux d'anneaux etc.

Faisceaux spéciaux : les hom. de changement de base sont des isom.

Faisceaux de Modules spéciaux sur site stratifiant de X/S \simeqle signe est écrit verticalement entre les deux lignes Faisceaux de Modules : stratification sur X/S.

4.3. Énonçons de suite ces résultats et conjectures suivants, qui seront ~~étudiés~~ détaillés plus tard :

Th. Si S de car. 0 et X lisse sur S, alors H^{*}_{\substack{\text{cris}/S \\ \text{ou strat}}}(X/S, \mathcal{O}_X) \simeq H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S) sous H^{*}, en petits caractères, « cris/S ou strat », en partie biffé et douteux lisse car : ~~Rf_{*}(\mathcal{O}_X) \simeq Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) … (R f_{*}(\mathcal{O}_X))^{\mathrm{cub}} \simeq Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) \ldots~~deux lignes encadrées et biffées de traits obliques serrés ; lecture très incertaine

Ceci donnera une explicationen tête de page, au-dessus de la ligne suivante

Conj. Si X loc. de t.f. sur \mathbb{C}, alors H^{*}_{\substack{\text{strat} \\ \text{ou crist.}}}(X/\mathbb{C}, \mathcal{O}_X) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C}) l'indice « strat » est récrit, « ou crist. » est ajouté au-dessous

N.B. La conjecture se prouverait, grâce au th., ~~lorsque~~, et au th. de comparaison de l'exposé 1, dans le cas où X est lisse sur \mathbb{C}. Donc dans le cas lisse, on trouve d'une façon de car. 0, une nouvelle description de la coh. de D.R. sans utiliser de différentielles.la phrase est soulignée ligne à ligne ; « une nouvelle » est récrit, en partie biffé

6. 12. 1966date en haut à droite, dans un cadre ouvert ; le troisième chiffre est mal formé, lu 6. Elle s'accorde avec le « 15.11.66 » de la p. 35 (batch 2)

Laïustitre souligné, en haut à gauche

X \xrightarrow{f} Sécrit verticalement dans la marge gauche : X au-dessus de S, la flèche f descendante Soit \mathcal{F} un Module quasi-cohérent stratifié sur X/S. On a vu qu'il définit un module de X_{\mathrm{strat}}, et par là un faisceau cosimplicial \mathcal{F}^{*} = C^{*}(\mathcal{F})entouré, en interligne sur X_{\mathrm{zar}}, par C^{n}(\mathcal{F}) = \mathcal{F}^{(n)} = \varprojlim_{i} \mathcal{F}_{\Delta^{n}_{X/S}(i)} [par n'importe laquelle des n projections \Delta^{n}_{X/S}(i) \to X on peut définir l'image inverse, il y a des isom. canoniques entre eux, précisément à cause de la stratification de \mathcal{F}]. On a \boxed{\;H^{*}(X_{\mathrm{str}}, \mathcal{F}) \simeq \mathbb{H}^{*}\bigl(X_{\mathrm{zar}}, C^{*}(\mathcal{F})\bigr)\;} On voit donc deux théories cohomologiques ; ~~par~~ donnéesau-dessus du mot biffé ~~semble à première vue distinctes pas contenir l'autre~~deux lignes biffées:

a) Pour un \mathcal{F} quasi-cohérent sur X, les H^{i}(X_{\mathrm{zar}}, \mathcal{F}).

b) Si \mathcal{F} est stratifié, on forme les H^{i}(X_{\mathrm{strat}}, \mathcal{F}), qui s'explicitent par la formule plus haut.

À première vue, le lien entre ces deux théories cohomologiques semble donné exclusivement par

la formule ci-dessus ; ~~Il ne semble pas~~ ~~possible que~~ À prioriau-dessus des mots biffés, la cohomologie stratifiante d'un Module stratifié s'explicite comme une hypercohomologie zariskienne (et encore, dans un complexe dont les différentiellesrécrit sur « différentiels » n'est pas linéaire !), et mais l'inverse ne semble pas vrai. On va voir pourtant que, dans un certain sens, il en est bien ainsi. À peu de choses près, on associe à tt Module quasi-cohérent \mathcal{F} (sans stratification) un Module ~~quasi-cohérent~~ (plutôt, un pro-Module pro-quasi-cohérent)en interligne, relié par un trait \mathcal{Q}^{\cdot}(\mathcal{F}) stratifié, dont la cohomologie stratifiante est la coh. zariskienne ordinaire de X. De plus, \mathcal{Q}^{\cdot}(\mathcal{F}) est un foncteur en \mathcal{F}, non seulement par des homomorphismes linéaires \mathcal{F} \to \mathcal{G}, mais = (conoyaux ~~additifs,~~ de \mathcal{O}_X-modules) par des D : \mathcal{F} \to \mathcal{G} qui sont seulement des op. diff. rel/S.le passage « On va voir… rel/S » est marqué d'un trait vertical dans la marge gauche ; « conoyaux » est écrit au-dessus de la rature [Dans le cas trèsau-dessus d'une ligne biffée particulier où \mathrm{diag}_{X/S} : X \to X \times_S X est une immersion nilpotente, donc ~~\mathcal{Q}^{\cdot}(\ill{})~~ stratification \equiv donnée de descente : S, \mathcal{Q}^{\cdot}(\mathcal{F}) = f^{*}f_{*}(\mathcal{F})]. L'intérêt de ces… des uns voisinsajout entouré, en interligne, en partie illisible est que l'hypercoh. zariskienne ordinaireau-dessus de la ligne ~~d'un~~ complexe d'op. diff. peut s'interpréter comme la coh. stratifiante des complexes commutant de faisceaux stratifiés… !les deux dernières lignes sont serrées en bas de page ; la dernière est d'une autre encre, plus pâle

les op. diff. de M dans N (rel. à S), alors on trouve encore un foncteur exactau-dessus de la ligne M, mais non à valeurs dans les \mathcal{P}^{i}-Modules, (si i \geq 1)encadré, en interligne mais seulement dans les \mathcal{P}^{i-1}-Modules, si on considère \mathcal{P}^{i}[M] comme \mathcal{P}^{i-1}-Module par restriction des scalaires (On les note alors \mathcal{Q}^{i-1}[M])en interligne, avec un renvoi marqué d'un astérisque cerclé vers la formule encadrée du bas de page à l'aide de \alpha^{i-1} : \mathcal{P}^{i-1} \to \mathcal{P}^{i}. En particulier, \mathcal{Q}^{0}[M] est un foncteur, en M \in \mathrm{Ob}\,\mathrm{Mod}(X/S) \to [Modules sur \mathcal{O}_X, avec les op. diff. ~~d'ordre~~ rel. à S],ajout relié par une flèche à « \mathrm{Mod}(X/S) » à valeurs dans les pro-\mathcal{O}_X-Modules. Anti-Riesz X pro-objet ]note écrite verticalement dans la marge gauche, en quatre ou cinq lignes, reliée au texte par un trait terminé par un petit cercle ; seul « Anti-Riesz » se lit avec quelque sûreté

~~[\mathcal{P}^{0}[M] = M \mathrm{Ab}(X)]~~deux lignes entre crochets, encadrées et barrées de traits obliques

Notons que les \alpha^{\cdot} : \mathcal{P}^{*} \to (S\,\mathcal{P})^{*} = \mathcal{Q}^{*} permettent de considérer \mathcal{Q}^{*} comme algèbreau-dessus d'un mot biffé cosimpliciale« cosimplicial » est récrit sur un autre mot sur l' anneau cosimplicial \mathcal{P}^{*}, et que les opérations extérieures ducales \boxed{\;(*)\quad \mathcal{Q}^{i}[M] = \mathcal{P}^{i} \otimes_{\mathcal{O}_X} M\;} la formule, en bas de page, est encadrée et marquée d'un astérisque cerclé ; sur la page l'indice de \mathcal{Q} se lit « i{-}1 » ou « i » ; le mot avant la formule, « ducales », est très douteux

plan de l'exposé, en tête de page, séparé de la suite par un trait horizontal

§ 1Coh. de De Rham ordinaire § 2Tour d'horizon sur coh. \ell-adiques. Motivations pour le désir d'une coh. p-adique en car. p. § 3Topo de Washnitzer-Monsky. § 4Stratifications. Relation de W-M. avec connexions de Gauss-Manin sur coh. de De Rham § 5Le Site cristallin et site stratifiant. Énoncé d'un théorème et d'une conjecture en car. nulle. § 6Calculs Čechistes (car. quelconque). § 7Comparaison de la Coh. de De Rham et cristalline (car. ~~nulle~~).« nulle » est barré d'un trait § 8~~Comparaison~~ Retourau-dessus du mot biffé sur le cas de la car. p…

Coh. stratifiantedans la marge gauche, en face de 6.1, soulignée ; un premier titre y est noirci 6.1. Commençons à travailler sur le topos stratifiant de X/S. Il y a l'objet \widetilde{X} de ce topos : il couvre l'objet final (c'est ici qu'on utilise la restriction sur ces objets du site stratifiant parmi ceux du site cristallin). Donc suite spectrale de Leray H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^{p}\bigl(\nu \mapsto H^{q}(\widetilde{X}^{\nu+1}, F)\bigr) On a aussi que \widetilde{X}^{\nu+1} = \varinjlim_{i} \Delta^{(\nu)}_{X}(i) une rature noircit l'exposant de \widetilde{X} (récrit « \nu+1 ») et un symbole à droite de \Delta^{(\nu)}_X(i) ; une accolade relie ce dernier à une glose [\Delta^{(\nu)}_X(i) : voisinage inf. i-ième de la diagonale dans X^{\nu+1}, considéré comme prosimplicial au-dessus de X ; X \hookleftarrow U \to X', (U, X') ]la glose est écrite sous la formule, en petits caractères, avec un croquis X \leftarrow U \to X'

D'autre part, pour tt objet du site stratifiant, on a

H^{*}\bigl((U, X'), F\bigr) \simeq H^{*}(X', F_{(U, X')}) Supposons pour simplifier X affine, ~~et affine sur S,~~ donc les \Delta^{(\nu)}(i) affines. Supposons que les F_{\Delta^{(\nu)}(i)} soient quasi-cohérents et indépendants mutuellementen interligne, souligné, relié par un trait. Alors on trouve donc H^{q}\bigl(\widetilde{\Delta^{(\nu)}_X(i)}, F\bigr) = 0 \quad \text{si } q > 0 H^{0}\bigl(\widetilde{\Delta^{(\nu)}_X(i)}, F\bigr) pour i variable est un syst. proj. strict, d'où par les arguments : la M.L.sans doute la condition de Mittag-Leffler H^{q}(\widetilde{X}^{(\nu+1)}, F) = H^{q}\Bigl(\varinjlim_{i} \widetilde{\Delta^{(\nu)}_X(i)}, F\Bigr) = \varprojlim H^{q}\bigl(\widetilde{\Delta^{(\nu)}_X(i)}, F\bigr) donc \left\lbrace \begin{array}{l} H^{q}(\widetilde{X}^{(\nu+1)}, F) = 0 \quad \text{si } q > 0 \\ H^{0}(\widetilde{X}^{(\nu+1)}, F) = \varprojlim_{i} F\bigl(\Delta^{(\nu)}_X(i)\bigr) \end{array} \right. et par suite des isom. can. \boxed{\;H^{*}(X_{\mathrm{strat}}, F) \simeq H^{*}\bigl(\nu \mapsto F(X^{(\nu+1)}/X)\bigr)\;} sous X^{(\nu+1)}/X, une accolade : « complété formel » ; le dénominateur est récrit sur une rature si X affine, les F_{\Delta^{(\nu)}_X(i)} quasi-cohérents (p. ex. F = \mathcal{O}_{X_{\mathrm{strat}}}).

Dans le cas où on suppose seulement que les F_{\Delta^{(\nu)}_X(i)} sont qu.-coh. et indépendants mutuellementajout en interligne, au-dessus d'un passage biffé et en partie illisible, mais X pas nécessairement affine, on montre que pour tout entier \nu, a une