Cote n° 7 · batch 2 · pages 21–40 · Transcription · Notes laïus novembre-décembre 1967 (Cristaux) : notes manuscrites (1966-1967)
Édition de démonstration

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21p. 2 de l'auteur ; suite de l'exposé ouvert p. 20

Je prouve dans papier bleu

Th. C'est un isom. (\(X\) […] schéma loc. de type fini […] sur \(\mathbb{C}\))

[Si \(X\) affine, c'est équivalent au :]ajouté au-dessus de la ligne

Corollaire […] Si \(X\) affine non sing., alors \(H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C})\) peut se calculer avec le complexe de De Rham « algébrique »

N.B. Le théorème résulte facilement des cas particuliers, par suite spectrale de Leray d'un recouvrement.

Indications sur démonstration. Si \(X\) est propre, cela résulte des suites spectrales de type \((*)\), algébrique et analytique, et de Gaga, […] […] […] […] […] […] termes initiaux. [C'est chose essentiellement connue depuis Gaga de Serre]

Le cas général […] ramène au cas affine, […] […] […] moyen plus puissant que Gaga, la résolution des singularités. Donner […] une idée des principes de la démonstration [du th. de comparaison.]ajouté au-dessous de la ligne et relié par un trait à ce qui suit

4) Conséquences métaphysiques : La cohomologie complexe (définie par voie transcendante), interprétée comme « cohomologie de De Rham »

22p. 3 de l'auteur

admet une description purement algébrique, valable [pour des schémas lisses] sur un corps de car. quelconque. Elle est filtrée, le gradué associé étant les termes \(E_\infty\) associés à une suite spectrale \((*)\). Voir pour des commentaires mon papier bleu…

5) Critique du point de vue : Cohomologie de De Rham.

a) […] théorie […] […] […] théorie des […] […] classes de cohomologie associées à des cycles (cf. p. ex. […] coh. de Hodge, dans mon ancien exp. Bourbaki) […] singularitéstoute la ligne a) est barrée de traits obliques ; au-dessus, une insertion à peine lisible, « Le cadre […] (non géom.) », elle aussi soulignée et barrée

b)la lettre est recouverte d'une tache d'encre : sans doute « b) » récrit en « a) » après la suppression de l'item précédent, puisque l'item suivant, p. 23, est « b) » récrit sur « c) » En car. \(0\), [pour coh. DR. des variétés complètes lisses.]dans la marge gauche, entouré donne des invariants excellents, donnant en particulier les « bons » nombres de Betti.Mais on sait qu'elle n'est pas à la hauteur des formalismes généraux en géom. alg. auquel on est maintenant habitué. Un tel formalisme, par rapport aux […] Hartshorne, devrait avoirdans la marge gauche, encadré et barré de deux traits obliques

Mais en car. \(p\), […] n'est aucunement raisonnable, car \(1^\circ\)) si \(X\) n'est pas propre, on trouve en général des modules de dim. infinie

voir \[H^{0}_{\mathrm{DR}}(X) \simeq H^{0}(X, \mathcal{O}_X)^{p} ;\] \(2^\circ\)) Même si \(X\) est propre, on ne trouve pas en général les « bons » nombres de Betti, par exemple on a \[\dim H^{1}_{\mathrm{DR}}(X) \geq 2 \dim \mathrm{Pic}_X ,\] et il y a des exemples où on a \(>\), (dû « moralement » à des phénomènes de \(p\)-torsion…).

Enfin \(3^\circ\)) Même dans des cas (tels celui des VA) où les \(\dim H^{i}_{\mathrm{DR}}(X)\) sont \(b_i(X)\) sont les « bons » \(b_i(X)\), un défaut majeur de ces espaces (déjà signalé par Serre) c'est que le corps de

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définition est de car \(p > 0\), et donc ils ne se prêtent pas à la détermination de nbs exacts de pts fixes par formules de Lefschetz (mais seulement les nbs mod \(p\)), donc non plus à une formulation satisfaisante des conjectures de Weil.

b)la lettre est récrite, sur un « c) » semble-t-il Le point de vue De Rham classique, [pour exprimer la coh. « complexe »,] est trop exclusivement lié aux variétés non singulières. Rien n'empêche évidemment de considérer aussi le complexe \(\Omega^{\cdot}_X\) et \(\mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_X)\) si \(X\) est quelconque. Mais si \(X\) est une courbe, affine ou projective ou complète, sur \(\mathbb{C}\), [p. ex. la droite affine ou projective avec un pt double ordinaire] intègre […] [[…] […] […] […] […]], on n'obtient déjà pas pour \(\dim H^{1}_{\mathrm{DR}}(X)\) le premier nb de Betti comme il faudrait. On peut décider qu'on ne s'intéresse qu'aux variétés algébriques non singulières — mais l'expérience apprend que […] pour étudier celles-ci, on ne peut éviter l'introduction de variétés singulières, p. ex. à titre de fibres intervenant dans des fibrations morphismes

24p. 5 de l'auteur

de schémas non lisses : […] \[f : X \to Y .\] Ainsi, connaissant déjà \(H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C})\) comme \(H^{*}_{\mathrm{DR}}(X)\), on aimerait une interprétation [construction] purement algébrique de la suite spectrale de Leray de \(f^{\mathrm{an}} : X^{\mathrm{an}} \to Y^{\mathrm{an}}\) : \[H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C}) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^{p}\bigl(Y^{\mathrm{an}}, R^{q} f^{\mathrm{an}}_{*}(\mathbb{C}_{X^{\mathrm{an}}})\bigr) .\] En fait, si \(f\) est lisse, donc à fibres non singulières, une telle description existe par des […] tout clair en termes de ce qui a été […] jusqu'à maintenant. [les \(R^{q} f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/\mathbb{C}})\)] [Nous y reviendrons en] […] […] : l'heure. Un formalisme […] des faisceaux […] sur \(Y\), par des [cohomologique]entouré, dans la marge, relié par un trait [vraiment] maniable devrait impliquer, tout comme dans le cadre classique, l'écriture de suites spectrales de Leray — ce qui n'est possible que s'il englobe des « faisceaux » de coefficients de nature plus générale que les complexes de De Rham \(\Omega^{\cdot}_X\), — [englobant, sans doute, également des complexes d'opérateurs différentiels de nature plus générale que De Rham.]

c) Du point de vue dualité et notions similaires,

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notons que pour des \(X\) lisses et propres, on a bien le formalisme de dualité habituel (autodualité de \(H_{\mathrm{DR}}(X)\), [d'où] th. de Gysin, classe de coh. associée à un cycle alg., compatibilité avec images directes, inverses, intersections)… la chose se faisant de façon tout analogue à ce que, dans le cadre de la « cohomologie de Hodge » j'avais fait au Sém. Bourbaki. Mais le « lecteur informé » au courant des histoires \(f_{!}\), \(f^{!}\) notera à quel point une [simple] dualité de ce type est étriquée et pauvre. On aimerait un formalisme \(f_{!}\), \(f^{!}\) du type de celui développé en long et en large dans le Sém. Hartshorne (Springer), […] pour des morphismes [disons propres, séparés de type fini,] quelconques, de schémas. Un tel formalisme [(impliquant des coeff. plus généraux que les complexes de DR.)] devrait […] automatiquement donner également une description de l'homologie singulière (comme il est suggéré par ailleurs dans mes papiers bleus…). Il y aurait lieu en particulier d'étendre ce formalisme, du cas de complexes à différentielles linéaires, au cas des complexes

26p. 7 de l'auteur

à op. différentiels.au-dessus, relié par un trait : « différentielles des », de sorte qu'on lit peut-être « complexes à différentielles des op. différentiels »

Dans b) et c) sont posées, essentiellement, la question de la définition de la bonne catégorie de coefficients, pour englober à la fois le formalisme des complexes […] « linéaires » cohérents, et des complexes du type De Rham. Les exposés que je fais doivent donner quelques des indications plus précises sur la une voie dans [suivie] dans laquelle il conviendrait de probablement de chercher des catégories de coefficients.

§ 2 Tour d'horizon sur la […] théories cohomologiques [\(\ell\)-adiques] pour les variétés algébriques abstraites.

[…]un mot biffé, noirci, après le titre

On peut évidemment se demander : pourquoi à tout prix […] des progrès sont dans nos programmes d'algébrisation [et de généralisation] à outrance de la cohomologie de De Rham. On dispose déjà des invariants cohomologiques \(\ell\)-adiques, qui se prêtent à des applications géométriques

27p. 8 de l'auteur

arithmétiques comme la formulation cohomologique des conjectures de Weil. Faisons un petit tour d'horizon […] […] on en est aussi à ce sujet.

Si \(X\) est une variété alg. sur un corps alg. clos \(k\), propre sur \(k\) […] […] […] […] les idées. [on associe pour […] […] \(\ell\) nb premier] \(\ell \neq \mathrm{car}\, k\) des modules sur \(\mathbb{Z}_\ell\) \[H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) = \varprojlim_{\nu} H^{i}(X_{\mathrm{ét}}, \mathbb{Z}/\ell^{\nu}\mathbb{Z}) ,\] dont les comportements pour \(\ell\) variable fixé, \(X\) variable, […] à peu près celui de la cohomologie [entière] traditionnelle dans le cadre transcendant. Ainsi, si \(k\) est le corps des complexes, le th. de comparaison nous fournit des isom. can., fonctoriels en \(X\) \[\boxed{\;H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) \simeq H^{i}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_\ell\;}\] Ceci montre que la connaissance de la cohomologie entière transcendante de \(X^{\mathrm{an}}\) (du moins du point de vue additif) est

28p. 9 de l'auteur

entièrement déterminée par [équivalente à] : la connaissance de tous les \(H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell)\).« tous » est entouré De façon plus précise, pour un \(\ell\) donné, la connaissance de \(H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell)\) équivaut à celle du rang [\(b_i(X)\)] de \(H^{i}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{Z})\), [égal à celui de \(H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell)\) sur \(\mathbb{Z}_\ell\))] et de la composante \(\ell\)-primaire du sous-groupe de torsion de \(H^{i}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{Z})\). On obtient, en passant, par voie transcendante, le fait que si le corps de base \(k\) est de car. \(0\), alors les [\(H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell)\) sont de t.f., leurs rangs] \(b_i(X, \mathbb{Z}_\ell)\) sont pour \(\ell\) variable est indépendant de \(\ell\), et que pour \(X\) fixé, sauf pour un nb fini de \(\ell\), le \(H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell)\) […] […] torsion. Et par la même voie, on trouve [p. ex.] que si on a un endom. \(f\) de \(X\), alors pour \(i\) fixé, les coeff. le polynôme caractéristique de l'endom. de \(H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell)\)

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induit par \(f\) est à coefficients entiers indépendants de \(\ell\).

Situation beaucoup moins bonne en car. \(p > 0\), où on ne dispose pas de « cohomologie entière » transcendante. Le fait que les \(H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell)\) sont de t.f. (résultat de ce que les \(H^{i}(X, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})\) le sont) n'est prouvé que si \(X\) est propre ou \(\dim X \leq 2\) — pour l'avoir en général, il semble qu'il faille la résolution des singularités. D'autre part, on si \(X\) est projectif et lisse, on ignore si p. ex. le rang de \(H^{2}(X, \mathbb{Z}_\ell)\) est indépendant de \(\ell\), et à fortiori si le résultat plus fort pour les coefficients des polynômes caractéristiques [sont] valable. Cela serait [d'ailleurs], actuellement, le premier […] plus important […] en direction d'une solution des conjectures de Weil. […] On peut commencer par tensoriser par \(\mathbb{Q}_\ell\),

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d'où des coefficients dans les \(\mathbb{Q}_\ell\), et un premier problème est s'ils sont dans \(\mathbb{Q}\). On sait (si \(X\) est projective non singulière) ramener ce pb à un pb de cycles algébriques du type Lefschetz.

Mais — c'est là le « point » que je désire faire — même si ce pb « […] » [i.e. « mod torsion »] est résolu par l'affirmative, on ne pourra aucunement conclure que les coeff. sont des entiers, mais seulement [qu'ils sont dans \(\mathbb{Z}[1/p]\) i.e.] des entiers \(\ell\)-adiques de la forme \(n/p^{s}\), avec \(n \in \mathbb{Z}\). Ceci provient de la restriction \[\ell \neq \mathrm{car}\, k ,\] et montre qu'il manque une théorie cohomologique \(p\)-adique pour les variétés algébriques en car. \(p\). Faute d'avoir une théorie de ce type, on ne saura

31p. 12 de l'auteur

ni plus comprendre les phénomènes de \(p\)-torsion cohomologique en var. alg. en car. \(p\). Des […] motivations [pour vouloir […] complète] ne manquent pas, cf p. ex. l'exposé de Tate sur Brauer, […] [on le établissait] par heuristique d'une formule pour ?[…] dans […] Brauer d'un […] sur un corps fini […] […] […] […] […] […] « […] \(p\)-adiques » […]…dans la marge gauche, écrit en oblique, relié au texte ; presque entièrement illisible En analogie avec le cas \(\ell\)-adique, on [[…] […]] espère trouver un foncteur \[X \longmapsto H^{\cdot}(X)\] de la catégorie des VA projectives lisses sur \(k\), dans celle des modules de t.f. sur \(\mathbb{Z}_p\), ou sur \(\mathbb{Q}_p\), ayant les propriétés habituelles cf (Künneth, dualité, « bons » nbs de Betti…). Un argument de Serre montre que déjà pour le \(H^{1}\), et en se bornant aux \(X\) de \(\dim \leq 2\), qui sont des VA de \(\dim \leq 2\), un tel foncteur n'existe pas. Il semble que l'anneau de coefficients naturel d'une coh. « \(p\)-adique », pour les var. sur un corps \(k\) de car. \(p > 0\), […] […] l'anneau

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\(W(k)\) des vecteurs de Witt sur \(k\), anneau de val. discrète dont le corps des fractions \(W(k)[\frac{1}{p}] \supset \mathbb{Q}_p\) est un corps de car. nulle.

Ceci devient clair […] […] […] […] un corps de base [parfait] quelconque, — par voie alg. […]…

§ 3 Revue des essais de définition d'une théorie [cohomologique] \(p\)-adique en car. \(p > 0\). Retour sur De Rham via Washnitzer-Monsky. [Lien avec les stratifications de Gauss-Manin.]

1) Utilisation des \(p\)-groupes éventuellement radiciels, pour comme coefficients pour la cohomologie (avec la topologie plate).

Heuristiquement, cela semble magnifique [[…] […] une variété] en dim. \(1\), et […] […] […] [considérablement moins, de nature géométrique,] […] […] […] en termes des théorèmes de dualité en cohomologie plate, en termes de classes […] […] géométriques (courbes sur un

33p. 14 de l'auteur

corps, éventuellement fini). On espère que Raynaud tirera au clair cette théorie, et ses analogues locaux — ce qui exigera d'ailleurs de surmonter des obstacles techniques considérables.

Mais en dim \(n \geq 2\), c'est sans espoir, car Artin a remarqué que tous les groupes de coh. de \(X\), à coeff. dans des groupes radiciels, s'annulent en dim \(> n+1\). Donc on […] les classes […], on renonce à construire les « bons » invariants cohomologiques par cette voie […] […] \(\dim X + 1\) (et non \(2 \dim X\), qui est la bonne). Il faudra donc (si \(X\) projective lisse) [[…] […] mais] compléter le tableau par heuristique par dualité de Poincaré… On voit donc qu'il faudrait

34p. 15 de l'auteur

une définition de la coh. \(p\)-adique indépendante de la coh. plate, quitte ensuite à étudier ses relations (sans doute fort intéressantes) avec cette dernière.

2) L'approche de Washnitzer-Monsky.

C'est dans cette l'approche W-M qu'on voit la cohomologie de De Rham qui montrer à nouveau le bout de l'oreille ! Nous allons expliquer [pour le moment] comment elle s'introduit dans l'approche de W-M., en […] simplifiant leur construction à l'extrême, (au risque de la défigurer… !). On part de \(X_0\) projectif lisse sur \(s\), on suppose [d'abord] qu'on puisse relever en \(X\) projectif propre et lisse sur \(S = \operatorname{Spec} W(k)\), Soit […] les point générique Considérons le complexe \(\Omega^{\cdot}_{X/S}\), et \[\boxed{\;H^{\cdot}_{\mathrm{DR}}(X/S) = \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X/S})\;}\] C'est un module de t.f. sur \(W(k)\).

\begin{tikzcd}
X_0 \arrow[r, hook] \arrow[d, no head] & X \arrow[d, no head] \\
s = \operatorname{Spec} k \arrow[r, hook] & S = \operatorname{Spec} W
\end{tikzcd}

ce carré est dessiné dans la marge gauche, en face de « On part de \(X_0\) … Considérons le complexe » ; les traits verticaux sont sans flèche, les inclusions notées \(\subset\)

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15.11.66en haut à droite ; le premier chiffre est récrit, un 1 et un 2 superposés. Cette date suggère que la date « Nov. Déc. 196? » de la p. 20 (batch 1) est bien 1966, bien que le titre du catalogue porte 1967

Nous avons montré que la cohomologie de DR. [complexe ordinaire] d'une variété algébrique non singulière sur \(\mathbb{C}\) se décrit par voie purement algébrique comme « cohomologie de De Rham » \[H_{\mathrm{DR}}(X) = \mathbb{H}^{*}(X ; \Omega^{\cdot}_X)\] Celle-ci a un sens pour n'importe quel schéma sur un corps quelconque. Cependant cette version de la cohomologie a de nombreux désavantages : liée aux formes diff. donc aux variétés non sing., [le corps de coefficients base de la théorie coh. peut être de car \(p > 0\)…] D'autre part, nous avons vu la désirabilité d'avoir une théorie de cohomologie « \(p\)-adique » pour les variétés en en car. \(p\), pour jouer le même rôle que les cohomologies \(\ell\)-adiques, \(\ell \neq p\). On veut les […] nbs de Betti etc…

Une remarque sur la définition de la c. de De Rham : \(\Omega^{1}_{X/S}\) est défini pour un préschéma relatif \(X/S\), et \(\bigwedge^{\cdot} \Omega^{1}_{X/S} = \Omega^{\cdot}_{X/S}\) est muni d'une op. diff. naturelle… On peut donc définir \[\left\lbrace \begin{array}{l} H_{\mathrm{DR}}(X/S) = \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X/S}) \\ \text{et les } Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) \end{array} \right.\] [[coh. si \(f\) propre et lisse, […]]]en bout de ligne, à droite de la seconde formule, en petits caractères […] qui sont comp. […] avec chgt de base si \(f\) lisse…en bas à gauche, encadré

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L'idée de W-M. serait [semble pouvoir s'exprimer] plus ou moins [en disant] que ce module est un invariant qui, à isom. canonique près, ne dépend pas du choix du relèvement \(X\) de \(X_0\), et qui serait donc un invariant intrinsèquement attaché à \(X_0\), qui serait alors par définition la cohomologie de « \(p\)-adique » cherchée. « Some properties of formal schemes » 63/64…dans la marge gauche, écrit en oblique

Remarques a) Cette construction marcherait aussi, mutatis mutandis, si on ne peut relever \(X_0\) qu'en un schéma formel lisse sur \(S\).

b) D'après le texte publié de W-M, il ne semble pas qu'il on pourrait […] être amené à penser que seul \(H^{\cdot}_{\mathrm{DR}}(X/S) \otimes_W K\) [\(K\) corps des fractions de \(W\)] devrait avoir la propriété d'invariance en question. De plus, la construction et la propriété invariance n'y est traitée que pour \(X_0\) affine

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(et non propre), en utilisant un relèvement de \(X_0\), non comme schéma ni comme schéma formel, mais en quelque chose qui ressemble à une variété rigide-analytique à la Tate. De ce fait, ils n'ont défini, [dans [ ]] que des invariants locaux. Par communication orale de W., il serait aisé de définir les invariants globaux (sur \(W\), et non seulement sur \(K\)), en travaillant [avec le complexe de De Rham] sur le site des relèvements de W.M […] des ouverts affines, et sans avoir à justifier les assertions que j'ai faites.

c) On sait, grâce au th. de comparaison, que par cette construction (quand \(X_0\) se admet un \(X\) lisse sur \(S\)) on trouve des \(H^{\cdot}(X_0)\) qui donnent les bons nbs de Betti — ce sont ceux ceux de la fibre générique \(X_t\) !

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L'idée de W.M.

Donnons quelques détails sur ce que font réellement W.M. Faute de pouvoir relever en général un \(X_0\) lisse quelconque, on travaille [d'abord] avec des \(X_0\) affines. On sait (SGA 1960/61, III) qu'un tel \(X_0\) se relève en un \(\mathfrak{X}\) formel [lisse] sur \(S = \operatorname{Spec} W(k)\), [unique à isom. (non unique) près.] La première idée serait de prendre \(\Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S}\) défini par passage à la limite en \(n\) à partir des \(\Omega^{\cdot}_{X_n/W_n}\), et de poser \[H(X_0) = \mathbb{H}^{*}(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S}) = H^{*}\bigl(\Gamma(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S})\bigr)\] Mais montrons que cela ne donne pas du tout ce qu'il faut, […] si \(X_0 = \operatorname{Spec} k[t]\) est la droite affine, donc \[\mathfrak{X} = \operatorname{Spf} W\{t\} , \qquad W\{t\} = \varprojlim W_n[t]\] sous \(W\{t\}\), relié par une accolade : « séries formelles restreintes, i.e. à coeff. \(\to 0\) » On voudrait trouver en effet que \[\mathbb{H}^{1}(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S}) = 0\] l'exposant \(1\) est récrit sur un autre chiffre

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ou tout au moins que le premier mb. soit de torsion. En fait, il est de rang infini sur \(W\) ! \[\begin{aligned} \mathbb{H}^{1}(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S}) &= \Omega^{1}(\mathfrak{X}/S) / d\bigl(\mathcal{O}(\mathfrak{X}/S)\bigr) \\ &\simeq W\{t\} / \mathrm{Im}\,(f \mapsto f') \end{aligned}\] sous \(\mathrm{Im}(f \mapsto f')\), relié par une accolade : « séries formelles restreintes dérivées »

Or pour que \(\sum a_n t^{n}\) soit une dérivée de \(\sum b_n t^{n}\), i.f. et s. que \[\sum \frac{1}{n+1}\, a_n t^{n+1} \quad \Bigl(\text{ou encore } \sum \frac{1}{n}\, a_{n-1} t^{n}\Bigr)\] soit encore une série formelle restreinte, i.e. que \[v_p(a_n) - v_p(n+1) \longrightarrow +\infty\] et comme \(v_p(n)\) (pour \(n\) variable) prend des valeurs arbitrairement grandes, on voit qu'il ne suffit pas que \[v_p(a_n) \longrightarrow +\infty\,!\] En notations multiplicatives, si \(|\ |_p\) est la valeur absolue \(p\)-adique, on veut que \[\frac{|a_n|_p}{|n+1|_p} \longrightarrow 0\] donc que \[|a_n|_p = \varepsilon_n\, |n+1|_p , \qquad \varepsilon_n \longrightarrow 0\]

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C'est là une condition [de divisibilité des coefficients] arithmétique assez biscornue. W.M. la remplacent par une condition plus forte, et plus maniable, savoir que \[|a_n| = O(1)\, \rho^{n} \qquad \text{pour un } \rho > 1\] convenable (dépendant de la suite \((a_n)\)).

Cela signifie qu'au lieu de regarder l'anneau \(W\{t\}\) des séries convergentes [dans \(\overline{K}\) (\(K\) corps des fractions de \(K\))]sic : on attendrait « de \(W\) » sur le disque unité, ils regardent l'anneau \(W^{\dagger}\{t\}\) des séries convergentes sur un disque de rayon \(\rho > 1\) ([…] […]) un peu plus grand (dépendant de la fonction envisagée). On définit de même \(W^{\dagger}\{t_1, \ldots, t_n\}\), et les […] W-M-algèbres, les W.M qui sont les quotients de tels anneaux par des idéaux quelconques […] quelconques […] (les idéaux sont-ilsla phrase se poursuit dans le batch suivant