Fonds Grothendieck, cote n° 7, pages 21–40

p. 2 de l'auteur ; suite de l'exposé ouvert p. 20

Je prouve dans papier bleu

Th. C'est un isom. (X schéma loc. de type fini sur \mathbb{C})

Si X affine, c'est équivalent au :ajouté au-dessus de la ligne

Corollaire Si X affine non sing., alors H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C}) peut se calculer avec le complexe de De Rham « algébrique »

N.B. Le théorème résulte facilement des cas particuliers, par suite spectrale de Leray d'un recouvrement.

Indications sur démonstration. Si X est propre, cela résulte des suites spectrales de type (*), algébrique et analytique, et de Gaga, termes initiaux. [C'est chose essentiellement connue depuis Gaga de Serre]

Le cas général ramène au cas affine, moyen plus puissant que Gaga, la résolution des singularités. Donner une idée des principes de la démonstration du th. de comparaison.ajouté au-dessous de la ligne et relié par un trait à ce qui suit

4) Conséquences métaphysiques : La cohomologie complexe (définie par voie transcendante), interprétée comme « cohomologie de De Rham »

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admet une description purement algébrique, valable pour des schémas lisses sur un corps ~~de car.~~ quelconque. Elle est filtrée, le gradué associé étant les termes E_\infty associés à une suite spectrale (*). Voir pour des commentaires mon papier bleu…

5) Critique du point de vue : Cohomologie de De Rham.

a) ~~théorie théorie des classes de cohomologie associées à des cycles (cf. p. ex. coh. de Hodge, dans mon ancien exp. Bourbaki) singularités~~toute la ligne a) est barrée de traits obliques ; au-dessus, une insertion à peine lisible, « Le cadre (non géom.) », elle aussi soulignée et barrée

b)la lettre est recouverte d'une tache d'encre : sans doute « b) » récrit en « a) » après la suppression de l'item précédent, puisque l'item suivant, p. 23, est « b) » récrit sur « c) » En car. 0, pour coh. DR. des variétés complètes lisses.dans la marge gauche, entouré donne des invariants excellents, donnant en particulier les « bons » nombres de Betti.~~Mais on sait qu'elle n'est pas à la hauteur des formalismes généraux en géom. alg. auquel on est maintenant habitué. Un tel formalisme, par rapport aux Hartshorne, devrait avoir~~dans la marge gauche, encadré et barré de deux traits obliques

Mais en car. p, n'est aucunement raisonnable, car 1^\circ) si X n'est pas propre, on trouve en général des modules de dim. infinie

voir H^{0}_{\mathrm{DR}}(X) \simeq H^{0}(X, \mathcal{O}_X)^{p} ; 2^\circ) Même si X est propre, on ne trouve pas en général les « bons » nombres de Betti, par exemple on a \dim H^{1}_{\mathrm{DR}}(X) \geq 2 \dim \mathrm{Pic}_X , et il y a des exemples où on a >, (dû « moralement » à des phénomènes de p-torsion…).

Enfin 3^\circ) Même dans des cas (tels celui des VA) où les \dim H^{i}_{\mathrm{DR}}(X) ~~sont b_i(X)~~ sont les « bons » b_i(X), un défaut majeur de ces espaces (déjà signalé par Serre) c'est que le corps de

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définition est de car p > 0, et donc ils ne se prêtent pas à la détermination de nbs exacts de pts fixes par formules de Lefschetz (mais seulement les nbs mod p), donc non plus à une formulation satisfaisante des conjectures de Weil.

b)la lettre est récrite, sur un « c) » semble-t-il Le point de vue De Rham classique, pour exprimer la coh. « complexe », est trop exclusivement lié aux variétés non singulières. Rien n'empêche évidemment de considérer aussi le complexe \Omega^{\cdot}_X et \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_X) si X est quelconque. Mais si X est une courbe, affine ~~ou projective~~ ou complète, sur \mathbb{C}, p. ex. la droite affine ou projective avec un pt double ordinaire ~~intègre [ ]~~, on n'obtient déjà pas pour \dim H^{1}_{\mathrm{DR}}(X) le premier nb de Betti comme il faudrait. On peut décider qu'on ne s'intéresse qu'aux variétés algébriques non singulières — mais l'expérience apprend que pour étudier celles-ci, on ne peut éviter l'introduction de variétés singulières, p. ex. à titre de fibres intervenant dans des ~~fibrations~~ morphismes

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de schémas non lisses : f : X \to Y . Ainsi, connaissant déjà H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C}) comme H^{*}_{\mathrm{DR}}(X), on aimerait une ~~interprétation~~ construction purement algébrique de la suite spectrale de Leray de f^{\mathrm{an}} : X^{\mathrm{an}} \to Y^{\mathrm{an}} : H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C}) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^{p}\bigl(Y^{\mathrm{an}}, R^{q} f^{\mathrm{an}}_{*}(\mathbb{C}_{X^{\mathrm{an}}})\bigr) . En fait, si f est lisse, donc à fibres non singulières, une telle description existe par des tout clair en termes de ce qui a été jusqu'à maintenant. ~~[les R^{q} f_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/\mathbb{C}})]~~ Nous y reviendrons en : l'heure. Un formalisme ~~des faisceaux sur Y, par des~~ cohomologiqueentouré, dans la marge, relié par un trait vraiment maniable devrait impliquer, tout comme dans le cadre classique, l'écriture de suites spectrales de Leray — ce qui n'est possible que s'il englobe des « faisceaux » de coefficients de nature plus générale que les complexes de De Rham \Omega^{\cdot}_X, — englobant, sans doute, également des complexes d'opérateurs différentiels de nature plus générale que De Rham.

c) Du point de vue dualité et notions similaires,

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notons que pour des X lisses et propres, on a bien le formalisme de dualité habituel (autodualité de H_{\mathrm{DR}}(X), d'où th. de Gysin, classe de coh. associée à un cycle alg., compatibilité avec images directes, inverses, intersections)… la chose se faisant de façon tout analogue à ce que, dans le cadre de la « cohomologie de Hodge » j'avais fait au Sém. Bourbaki. Mais le « lecteur informé » au courant des histoires f_{!}, f^{!} notera à quel point une simple dualité de ce type est étriquée et pauvre. On aimerait un formalisme f_{!}, f^{!} du type de celui développé en long et en large dans le Sém. Hartshorne (Springer), pour des morphismes disons ~~propres,~~ séparés de type fini, quelconques, de schémas. Un tel formalisme (impliquant des coeff. plus généraux que les complexes de DR.) devrait automatiquement donner également une description de l'homologie singulière (comme il est suggéré par ailleurs dans mes papiers bleus…). Il y aurait lieu en particulier d'étendre ce formalisme, du cas de complexes à différentielles linéaires, au cas des complexes

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à op. différentiels.au-dessus, relié par un trait : « différentielles des », de sorte qu'on lit peut-être « complexes à différentielles des op. différentiels »

Dans b) et c) sont posées, essentiellement, la question de la définition de la bonne catégorie de coefficients, pour englober à la fois le formalisme des complexes « linéaires » cohérents, et des complexes du type De Rham. ~~Les~~ exposés que je fais doivent donner ~~quelques~~ des indications plus précises sur la une voie ~~dans~~ suivie dans laquelle il conviendrait de probablement de chercher des catégories de coefficients.

§ 2 Tour d'horizon sur la théories cohomologiques \ell-adiques pour les variétés algébriques abstraites.

un mot biffé, noirci, après le titre

On peut évidemment se demander : pourquoi à tout prix des progrès sont dans nos programmes d'algébrisation et de généralisation à outrance de la cohomologie de De Rham. On dispose déjà des invariants cohomologiques \ell-adiques, qui se prêtent à des applications ~~géométriques~~

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arithmétiques comme la formulation cohomologique des conjectures de Weil. Faisons un petit tour d'horizon on en est aussi à ce sujet.

Si X est une variété alg. sur un corps alg. clos k, ~~propre sur k les idées.~~ on associe pour \ell nb premier \ell \neq \mathrm{car}\, k des modules sur \mathbb{Z}_\ell H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) = \varprojlim_{\nu} H^{i}(X_{\mathrm{ét}}, \mathbb{Z}/\ell^{\nu}\mathbb{Z}) , dont les comportements pour \ell ~~variable~~ fixé, X variable, à peu près celui de la cohomologie entière traditionnelle dans le cadre transcendant. Ainsi, si k est le corps des complexes, le th. de comparaison nous fournit des isom. can., fonctoriels en X \boxed{\;H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) \simeq H^{i}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_\ell\;} Ceci montre que la connaissance de la cohomologie entière transcendante de X^{\mathrm{an}} (du moins du point de vue additif) est

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~~entièrement déterminée par~~ équivalente à : la connaissance de tous les H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell).« tous » est entouré De façon plus précise, pour un \ell donné, la connaissance de H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) équivaut à celle du rang b_i(X) de H^{i}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{Z}), égal à celui de H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) sur \mathbb{Z}_\ell) et de la composante \ell-primaire du sous-groupe de torsion de H^{i}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{Z}). On obtient, en passant, par voie transcendante, le fait que si le corps de base k est de car. 0, alors les H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) sont de t.f., leurs rangs b_i(X, \mathbb{Z}_\ell) ~~sont~~ pour \ell variable est indépendant de \ell, et que pour X fixé, sauf pour un nb fini de \ell, le H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) torsion. Et par la même voie, on trouve p. ex. que si on a un endom. f de X, alors pour i fixé, ~~les coeff.~~ le polynôme caractéristique de l'endom. de H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell)

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induit par f est à coefficients entiers indépendants de \ell.

Situation beaucoup moins bonne en car. p > 0, où on ne dispose pas de « cohomologie entière » transcendante. Le fait que les H^{i}(X, \mathbb{Z}_\ell) sont de t.f. (résultat de ce que les H^{i}(X, \mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z}) le sont) n'est prouvé que si X est propre ou \dim X \leq 2 — pour l'avoir en général, il semble qu'il faille la résolution des singularités. D'autre part, on si X est projectif et lisse, on ignore si p. ex. le rang de H^{2}(X, \mathbb{Z}_\ell) est indépendant de \ell, et à fortiori si le résultat plus fort pour les coefficients des polynômes caractéristiques sont valable. Cela serait d'ailleurs, actuellement, ~~le premier~~ plus important en direction d'une solution des conjectures de Weil. On peut commencer par tensoriser par \mathbb{Q}_\ell,

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d'où des coefficients dans les \mathbb{Q}_\ell, et un premier problème est s'ils sont dans \mathbb{Q}. On sait (si X est projective non singulière) ramener ce pb à un pb de cycles algébriques du type Lefschetz.

Mais — c'est là le « point » que je désire faire — même si ce pb « » i.e. « mod torsion » est résolu par l'affirmative, on ne pourra aucunement conclure que les coeff. sont des entiers, mais seulement qu'ils sont dans \mathbb{Z}[1/p] i.e. ~~des entiers \ell-adiques~~ de la forme n/p^{s}, avec n \in \mathbb{Z}. Ceci provient de la restriction \ell \neq \mathrm{car}\, k , et montre qu'il manque une théorie cohomologique p-adique pour les variétés algébriques en car. p. Faute d'avoir une théorie de ce type, on ne saura

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ni plus comprendre les phénomènes de p-torsion cohomologique en var. alg. en car. p. Des motivations pour vouloir complète ne manquent pas, cf p. ex. l'exposé de Tate sur Brauer, on le établissait ~~par~~ heuristique d'une formule pour ? dans Brauer d'un sur un corps fini « p-adiques » …dans la marge gauche, écrit en oblique, relié au texte ; presque entièrement illisible ~~En analogie avec le cas \ell-adique, on~~ espère trouver un foncteur X \longmapsto H^{\cdot}(X) de la catégorie des VA projectives lisses sur k, dans celle des modules de t.f. sur \mathbb{Z}_p, ou sur \mathbb{Q}_p, ayant les propriétés habituelles cf (Künneth, dualité, « bons » nbs de Betti…). Un argument de Serre montre que déjà pour le H^{1}, et en se bornant aux X ~~de \dim \leq 2~~, qui sont des VA de \dim \leq 2, un tel foncteur n'existe pas. Il semble que l'anneau de coefficients naturel d'une coh. « p-adique », pour les var. sur un corps k de car. p > 0, l'anneau

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W(k) des vecteurs de Witt sur k, anneau de val. discrète dont le corps des fractions W(k)[\frac{1}{p}] \supset \mathbb{Q}_p est un corps de car. nulle.

Ceci devient clair un corps de base parfait quelconque, — par voie alg. …

§ 3 Revue des essais de définition d'une théorie cohomologique p-adique en car. p > 0. Retour sur De Rham via Washnitzer-Monsky. Lien avec les stratifications de Gauss-Manin.

1) Utilisation des p-groupes éventuellement radiciels, ~~pour~~ comme coefficients pour la cohomologie (avec la topologie plate).

Heuristiquement, cela semble magnifique une variété en dim. 1, et considérablement moins, de nature géométrique, en termes des théorèmes de dualité en cohomologie plate, en termes de classes géométriques (courbes sur un

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corps, éventuellement fini). On espère que Raynaud tirera au clair cette théorie, et ses analogues locaux — ce qui exigera d'ailleurs de surmonter des obstacles techniques considérables.

Mais en dim n \geq 2, c'est sans espoir, car Artin a remarqué que tous les ~~groupes de~~ coh. de X, à coeff. dans des groupes radiciels, s'annulent en dim > n+1. Donc on les classes , on renonce à construire les « bons » invariants cohomologiques par cette voie \dim X + 1 (et non 2 \dim X, qui est la bonne). Il faudra donc (si X projective lisse) mais compléter le tableau par heuristique par dualité de Poincaré… On voit donc qu'il faudrait

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une définition de la coh. p-adique indépendante de la coh. plate, quitte ensuite à étudier ses relations (sans doute fort intéressantes) avec cette dernière.

2) L'approche de Washnitzer-Monsky.

C'est dans ~~cette~~ l'approche W-M qu'on voit la cohomologie de De Rham ~~qui~~ montrer à nouveau le bout de l'oreille ! Nous allons expliquer pour le moment comment elle s'introduit dans l'approche de W-M., en simplifiant leur construction à l'extrême, (au risque de la défigurer… !). On part de X_0 ~~projectif~~ lisse sur s, on suppose d'abord qu'on puisse relever en X ~~projectif~~ propre et lisse sur S = \operatorname{Spec} W(k), ~~Soit les~~ ~~point générique~~ Considérons le complexe \Omega^{\cdot}_{X/S}, et \boxed{\;H^{\cdot}_{\mathrm{DR}}(X/S) = \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X/S})\;} C'est un module de t.f. sur W(k).

\begin{tikzcd} X_0 \arrow[r, hook] \arrow[d, no head] & X \arrow[d, no head] \\ s = \operatorname{Spec} k \arrow[r, hook] & S = \operatorname{Spec} W \end{tikzcd}

ce carré est dessiné dans la marge gauche, en face de « On part de X_0 … Considérons le complexe » ; les traits verticaux sont sans flèche, les inclusions notées \subset

15.11.66en haut à droite ; le premier chiffre est récrit, un 1 et un 2 superposés. Cette date suggère que la date « Nov. Déc. 196? » de la p. 20 (batch 1) est bien 1966, bien que le titre du catalogue porte 1967

Nous avons montré que la cohomologie ~~de DR.~~ complexe ordinaire d'une variété algébrique non singulière sur \mathbb{C} se décrit par voie purement algébrique comme « cohomologie de De Rham » H_{\mathrm{DR}}(X) = \mathbb{H}^{*}(X ; \Omega^{\cdot}_X) Celle-ci a un sens pour n'importe quel schéma sur un corps quelconque. Cependant cette version de la cohomologie a de nombreux désavantages : liée aux formes diff. donc aux variétés non sing., le corps de ~~coefficients~~ base de la théorie coh. peut être de car p > 0… D'autre part, nous avons vu la désirabilité d'avoir une théorie de cohomologie « p-adique » pour les variétés en en car. p, pour jouer le même rôle que les cohomologies \ell-adiques, \ell \neq p. On veut les nbs de Betti etc…

Une remarque sur la définition de la c. de De Rham : \Omega^{1}_{X/S} est défini pour un préschéma relatif X/S, et \bigwedge^{\cdot} \Omega^{1}_{X/S} = \Omega^{\cdot}_{X/S} est muni d'une op. diff. naturelle… On peut donc définir \left\lbrace \begin{array}{l} H_{\mathrm{DR}}(X/S) = \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X/S}) \\ \text{et les } Rf_{*}(\Omega^{\cdot}_{X/S}) \end{array} \right. [coh. si f propre et lisse, ]en bout de ligne, à droite de la seconde formule, en petits caractères qui sont comp. avec chgt de base si f lisse…en bas à gauche, encadré

L'idée de W-M. ~~serait~~ semble pouvoir s'exprimer plus ou moins en disant que ce module est un invariant qui, à isom. canonique près, ne dépend pas du choix du relèvement X de X_0, et qui serait donc un invariant intrinsèquement attaché à X_0, qui serait alors par définition la cohomologie de « p-adique » cherchée. « Some properties of formal schemes » 63/64…dans la marge gauche, écrit en oblique

Remarques a) Cette construction marcherait aussi, mutatis mutandis, si on ne peut relever X_0 qu'en un schéma formel lisse sur S.

b) D'après le texte publié de W-M, ~~il ne semble pas qu'il~~ on pourrait être amené à penser que seul H^{\cdot}_{\mathrm{DR}}(X/S) \otimes_W K K corps des fractions de W devrait avoir la propriété d'invariance en question. De plus, la construction et la propriété invariance n'y est traitée que pour X_0 affine

(et non propre), en utilisant un relèvement de X_0, non comme schéma ni comme schéma formel, mais en quelque chose qui ressemble à une variété rigide-analytique à la Tate. De ce fait, ils n'ont défini, dans [ ] que des invariants locaux. Par communication orale de W., il serait aisé de définir les invariants globaux (sur W, et non seulement sur K), en travaillant avec le complexe de De Rham sur le site des relèvements de W.M des ouverts affines, et sans avoir à justifier les assertions que j'ai faites.

c) On sait, grâce au th. de comparaison, que par cette construction (quand X_0 se admet un X lisse sur S) on trouve des H^{\cdot}(X_0) qui donnent les bons nbs de Betti — ce sont ~~ceux~~ ceux de la fibre générique X_t !

L'idée de W.M.

Donnons quelques détails sur ce que font réellement W.M. Faute de pouvoir relever en général un X_0 lisse quelconque, on travaille d'abord avec des X_0 affines. On sait (SGA 1960/61, III) qu'un tel X_0 se relève en un \mathfrak{X} formel lisse sur S = \operatorname{Spec} W(k), unique à isom. (non unique) près. La première idée serait de prendre \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S} défini par passage à la limite en n à partir des \Omega^{\cdot}_{X_n/W_n}, et de poser H(X_0) = \mathbb{H}^{*}(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S}) = H^{*}\bigl(\Gamma(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S})\bigr) Mais montrons que cela ne donne pas du tout ce qu'il faut, si X_0 = \operatorname{Spec} k[t] est la droite affine, donc \mathfrak{X} = \operatorname{Spf} W\{t\} , \qquad W\{t\} = \varprojlim W_n[t] sous W\{t\}, relié par une accolade : « séries formelles restreintes, i.e. à coeff. \to 0 » On voudrait trouver en effet que \mathbb{H}^{1}(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S}) = 0 l'exposant 1 est récrit sur un autre chiffre

ou tout au moins que le premier mb. soit de torsion. En fait, il est de rang infini sur W ! \begin{aligned} \mathbb{H}^{1}(\mathfrak{X}, \Omega^{\cdot}_{\mathfrak{X}/S}) &= \Omega^{1}(\mathfrak{X}/S) / d\bigl(\mathcal{O}(\mathfrak{X}/S)\bigr) \\ &\simeq W\{t\} / \mathrm{Im}\,(f \mapsto f') \end{aligned} sous \mathrm{Im}(f \mapsto f'), relié par une accolade : « séries formelles restreintes dérivées »

Or pour que \sum a_n t^{n} soit une dérivée de \sum b_n t^{n}, i.f. et s. que \sum \frac{1}{n+1}\, a_n t^{n+1} \quad \Bigl(\text{ou encore } \sum \frac{1}{n}\, a_{n-1} t^{n}\Bigr) soit encore une série formelle restreinte, i.e. que v_p(a_n) - v_p(n+1) \longrightarrow +\infty et comme v_p(n) (pour n variable) prend des valeurs arbitrairement grandes, on voit qu'il ne suffit pas que v_p(a_n) \longrightarrow +\infty\,! En notations multiplicatives, si |\ |_p est la valeur absolue p-adique, on veut que \frac{|a_n|_p}{|n+1|_p} \longrightarrow 0 donc que |a_n|_p = \varepsilon_n\, |n+1|_p , \qquad \varepsilon_n \longrightarrow 0

C'est là une condition de divisibilité des coefficients arithmétique assez biscornue. W.M. la remplacent par une condition plus forte, et plus maniable, savoir que |a_n| = O(1)\, \rho^{n} \qquad \text{pour un } \rho > 1 convenable (dépendant de la suite (a_n)).

Cela signifie qu'au lieu de regarder l'anneau W\{t\} des séries convergentes dans \overline{K} (K corps des fractions de K)sic : on attendrait « de W » sur le disque unité, ils regardent l'anneau W^{\dagger}\{t\} des séries convergentes sur un disque de rayon \rho > 1 ~~( )~~ un peu plus grand (dépendant de la fonction envisagée). On définit de même W^{\dagger}\{t_1, \ldots, t_n\}, et les W-M-algèbres, ~~les W.M~~ qui sont les quotients de tels anneaux par des idéaux ~~quelconques~~ quelconques (les idéaux sont-ilsla phrase se poursuit dans le batch suivant