Cote n° 7, pages 1–20 — Transcription

Cote n° 7 · batch 1 · pages 1–20 · Transcription · Notes laïus novembre-décembre 1967 (Cristaux) : notes manuscrites (1966-1967)
Édition de démonstration

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Juillet-Août 1967au crayon, en haut à droite ; le troisième chiffre de l'année est à peine formé

Anneaux […] simpliciaux canoniques et modules stratifiés

[…] [Formellement, les développements qui suivent sont indépendants des […] histoires de sites cristallins ou stratifiants].

1. Soit \(X \to S\) un préschéma relatif. Pour tout entier \(n \geq 0\), soit \[X^{[n]} = \underbrace{X \times_S \cdots \times_S X}_{n+1},\] considéré comme objet […] de \((\mathrm{Sch})_{/S}\) […] […] diag l'immersion diag \(X \to X^{[n]}\)le mot « diag », d'abord écrit, est biffé deux fois, dans la phrase et au-dessus de la flèche. Soit \(X^{\widehat{[n]}}\) le complété formel […] le long de \(X\). Pour \(n \geq 0\) variable, on […] un objet simplicial : […] des […] un objet simplicial […] aux \(X^{\widehat{[n]}}\), […] dans \(\mathrm{Sch}f/X\), les espaces sous-jacents étant d'ailleurs tous égaux à \(\mathrm{esp}(X)\). Soit \(\mathcal{P}^n\) […] le faisceau structural de \(X^{\widehat{[n]}}\), Ann-pro-objet de […] […] considéré comme […] de la catégorie des faisceaux d'anneaux \(\mathrm{Pro}(\mathrm{Ann}(\mathrm{esp}(X)))\) […] \(\mathrm{esp}(X)\), […] Pour \(n\) variable, on trouve ainsi un Anneau cosimplicial \(\mathcal{P}^{*}\) sur \(\mathrm{esp}(X)\), avec \[\mathcal{P}^{0} = \mathcal{O}_X .\] Faire mention que certains

[…] un \(\mathcal{O}_X\)-Algèbre cosimpliciale, ainsi les deux […] \(\mathcal{O}_X = \mathcal{P}^{[0]} \rightrightarrows \mathcal{P}^{[1]}\) sont en général distincts, et mettent sur \(\mathcal{P}^{[1]}\) deux structures distinctes de \(\mathcal{O}_X\)-algèbres.

Considérons l'objet décalé \(\mathcal{SP}\), défini par \[(\mathcal{SP})^{i} = \mathcal{P}^{i+1}\] […] fonctoriellement […] \[(\mathcal{SP})(I) = \mathcal{P}(I \sqcup e)\] […] un ensemble […] à un élément. L'homomorphisme [fonctoriel] \(I \to I \sqcup e\) définit \(\mathcal{P}(I) \to \mathcal{P}(I \sqcup e)\), i.e. \[\alpha^{*} : \mathcal{P}^{*} \to (\mathcal{SP})^{*} \qquad \text{i.e.}\quad \alpha^{i} : \mathcal{P}^{i} \to \mathcal{P}^{i+1} .\] Si p. ex. \(S = \operatorname{Spec} k\) (\(k\) un anneau), \(X = \operatorname{Spec} A\), \(X\) étant tel que \(X \to X \times_S X\) soit une immersion nil-[…] [p. ex. \(X\) radiciel et […] sur \(S\)], alors, […] aux sections, \[\Gamma \mathcal{P}^{i} = \bigotimes_{k}^{i+1} A = \underbrace{A \otimes_k A \otimes \cdots \otimes_k A}_{i+1},\] les opérations simpliciales […] […] […], et l'homomorphisme \(\alpha\) étant donné par \[\underbrace{A \otimes \cdots \otimes A}_{i+1} \longrightarrow \underbrace{A \otimes \cdots \otimes A}_{i+2}, \qquad \alpha^{i}(x_0 \otimes \cdots \otimes x_i) = x_0 \otimes \cdots \otimes x_i \otimes 1 .\]

2. Soit \((M, \ill{})\) un Module sur \(X\). stratifié […] On pose pour \(i \geq 0\) \[\mathcal{P}^{i}[M] = \mathcal{P}^{i} \otimes_{\mathcal{O}_X} M ,\] où \(\mathcal{P}^{i}\) est considéré comme Algèbre sur \(\mathcal{O}_X\) par sa structure extrême-droite. Donc \(\mathcal{P}^{i}(M)\) est un Par définition, le produit tensoriel doit être interprété comme un pro-objet [de même que \(\mathcal{P}^{i}\)] — sauf dans des conditions exceptionnelles […] que […] […] \(X\) loc. noeth., […] [[…] \(M\) lisse de type fini, si \(X\) […] \(\Omega_{X/S}\) et \(M\) de type fini sur \(X\)] qui […] […] […] d'interpréter les \(\mathcal{P}^{i}\) et \(\mathcal{P}^{i}[M]\) comme des faisceaux au lieu de profaisceaux [car dans ces cas au lieu de […], on remplace les profaisceaux […] par leur […] \(\varprojlim\)]. On notera que les \(\mathcal{P}^{i}(M)\) est un \(\mathcal{P}^{i}\)-Module, dépendant fonctoriellement de \(M\) variable dans \(\mathrm{Mod}(\mathcal{O}_X)\). […] on prend comme […] de \(M\) […]

[…] \(\mathcal{O}_X\) sur les \(\mathcal{Q}^{i} = \mathcal{P}^{i+1}\) […] […] à cette structure. Il s'ensuit que les \[\mathcal{Q}^{i}[M] = \mathcal{Q}^{i} \otimes_{\mathcal{O}_X} M\] [str. ext. dr.]écrit sous le signe \(\otimes\), avec un trait qui l'y rattache : le produit tensoriel est pris pour la structure extrême-droite sont les composantes d'[…] […] cosimplicial, noté \(\mathcal{Q}^{*}[M]\), […] […] qui est en fait un Module cosimplicial sur l'anneau cosimplicial \(\mathcal{Q}^{*}\). Ce \(\mathcal{Q}^{*}[M]\) dépend également de façon fonctorielle de \(M\), quand \(M\) parcourt \(\mathrm{Mod}(X/S)\).

3. Notons une conséquence importante […] de […] des Modules cosimpliciaux […] \(\mathcal{Q}^{*}[M]\) sur \(\mathcal{P}^{*}\) : […] […] […] \(\mathcal{Q}^{i}[M]\) […] […] c'est que les […] […] […] autres […] […] […] […] les opérations […] […] changement de base […] les opérations simpliciales \(\mathcal{P}^{i} \to \mathcal{P}^{j}\) [[…] […] […] […] […] […] d'un \(\varprojlim\), non seulement

d'un [ ]. Formellement, [de façon précise […] cela plus […] […] des pro-Modules […] […] de Modules […] […]] on voit que \(\mathcal{Q}^{0}[M]\) est un (pro)Module stratifié sur \(X\) rel \(S\), et les \(\mathcal{Q}^{i}[M]\) sont les composantes des (pro)Modules […] cosimplicial correspondant.[…] […] […]le passage « on voit que … correspondant » est marqué d'un double trait vertical dans la marge gauche ; l'ajout au-dessus de la ligne suivante, entouré et relié à \(\mathcal{Q}^{0}[M]\), n'est pas lu Ce pro-Module stratifié \(\mathcal{Q}^{0}[M]\) […] […] fonctoriellement de \(M\) parcourant \(\mathrm{Mod}(X/S)\) [Modules sur \(X\) […] rel \(S\) […] ordre borné]« rel \(S\) » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; « ordre borné » est souligné, on […] […] […] […] […] comme […] […] […] Artin-Rees. De plus, on récupère \(M\) à partir de \(\mathcal{Q}^{0}[M]\) [[…] : stratification] […] […] […] […] le sous-faisceau des sections […] [[…] la structurele passage « Ce pro-Module stratifié … la structure » est lui aussi marqué d'un trait vertical dans la marge gauche

de \(\mathcal{O}_X\)-Module […] de l'extrême droite [N.B. Les structures extrême-droites des \(\mathcal{Q}^{i}[M]\) sont compatibles avec les op. simpliciales, i.e. \(\mathcal{Q}^{i}[M]\) est un Module cosimplicial sur \(\mathcal{O}_X\) […] […], […] […] […] extrême-droites ; mais […] […] […] […] […] structures […] […] […] conservée par les […] \(M \to N\) qui […] […] \(\mathcal{O}_X\)-[…] ([…] […] […] […] diff. rel \(S\) […])]. […] […] un […] \(\mathrm{Mod}(X/S) \to\) […] \(D : M \to N\) […] \(\mathcal{Q}^{0}[D] : \mathcal{Q}^{0}[M] \to \mathcal{Q}^{0}[N]\) […] […] […] […] comme l'[…] […] […] les sous-faisceaux des […] [sections] horizontales.

4. Une façon équivalente d'obtenir \(\mathcal{Q}^{*}[M]\) […] de considérer \[X^{\widehat{[2]}} \rightrightarrows X^{\widehat{[1]}} \xrightarrow{\widehat{\mathrm{pr}}_2} X^{\widehat{[0]}} = X\] et les images […], [dans les cat. […] […] formels sur \(X\)], […] c'est ainsi

[…] […] l'anneau [cosimplicial] \(\mathcal{Q}^{*}\), et \[\mathcal{Q}^{*}[M] = \mathcal{Q}^{*} \otimes_{\mathcal{O}_X} M .\] Comme \(X^{\widehat{[1]}}\) […] […] section sur \(X^{\widehat{[0]}}\), on obtient aussitôt que \(\mathcal{Q}^{*}[M]\) est une résolution de \(M\) [[…] […] […] […] les \(\mathcal{Q}^{i}[M]\) les structures extrêmes droites de \(\mathcal{O}_X\)-Modules]. Il faut […] […] cependant […] […] […] […] […] […] […] cette expression [les A.R.-pro-modules […] […] catégorie abélienne ? …] […]-il […] […] […] faut […] […] […] […] […] hypothèse de quasi-cohérence sur \(M\). En tout cas, […] désignant par […] […] […] le […] […] \(\varprojlim\) des […], […] […] projets, on trouve que \(l\mathcal{Q}^{*}[M]\) est une résolution de \(M\) […] \(M\) […].

et par suite on trouve un bon cas \[H^{*}(X, M) \simeq \mathbb{H}^{*}(X, l\mathcal{Q}^{*}[M]) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^{p}\bigl(i \mapsto H^{q}(X, l\mathcal{Q}^{i}[M])\bigr)\] [Sous des conditions convenables, […] aura \[H^{q}(X, l\mathcal{Q}^{i}[M]) = \varprojlim_{n} H^{q}(X, \mathcal{Q}^{i}_{\uncertain{n}}[M]_{(n)}) \;\bigl(\simeq H^{q}(X^{\widehat{[i+1]}}_{n}, M)\bigr)\] […] […] […] \[\mathcal{Q}^{i}[M] = \varprojlim_{n} \mathcal{Q}^{i}[M]_{(n)}, \quad \mathcal{Q}^{i}[M]_{(n)} = \mathcal{Q}^{i}_{(n)} \otimes_{\mathcal{O}_X} M, \quad \mathcal{Q}^{i}_{(n)} = \mathcal{P}^{i+1}_{(n)} = \cdots\;]\] la parenthèse \((\simeq H^{q}(X^{\widehat{[i+1]}}_n, M))\) est ajoutée au-dessus de la ligne et entourée ; en bout de ligne, un « \(= H^{q}(X^{[i]}, M)\) » est bifféMention […] \(+1\) […] ! \(X^{[i+1]}\) \(= [X/S]^{i+2}\) […] […] !)dans la marge gauche, entouré ; le « \(+1\) » est lui-même entouré

Si […] complexe \(M^{\cdot}\) […] […] […] \(M^{\cdot}\) de […] \(D^{+}(\mathrm{Mod}(X/S)) = D^{+}(X/S)\), on obtient un bicomplexe \(\mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}]\), tel que \(l\mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}]\) est une résolution de \(M^{\cdot}\), et par suite \[\mathbb{H}^{*}(X, M^{\cdot}) \simeq \mathbb{H}^{*}(X, \mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}]) \simeq \mathbb{H}^{*}(X_{\mathrm{str}}, \mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]) .\] [\(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]\) s'appelle la formalisation des complexes […] d'op. différentiels \(M\).]ce crochet est marqué d'un triple trait vertical dans la marge

5. Soit toujours \(M^{\cdot} \in \mathrm{ob}\, D^{+}(X/S)\), et considérons le complexe \(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]\) de \(l\mathcal{Q}^{0}[\) de (pro-\(\mathcal{O}_X\)-Modules) à stratifications, […] […] […] […] […] […] que celle de \(M^{\cdot}\) : […] […] […] […] […] complexe […] additif d'abord, en […] […] […] faisceaux de sections Artiniennes, puis […] […] \(\mathcal{O}_X\)-structures sur les \(M^{\cdot}\) comme […] des structures extrêmes droites des \(\mathcal{Q}^{0}[M^{i}]\) (lesquelles, rappelons-le, […], ne sont cependant pas respectées par l'op. diff. de \(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]\)). Considérons les \(\mathcal{H}^{i}(l\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}])\), et supposons que leur formation commute aux changements de base […] cosimpliciaux \(\mathcal{P}^{0} \to \mathcal{P}^{\uncertain{n}}\) ; ceci […] […] […] par des hypothèses

de [type] platitude sur les \(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]\) et les \(\mathcal{H}^{i}(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}])\), […] […] (plus économiques, […] […], […] que […] ne […] […] […] […] de platitude sur \(\mathcal{O}_X\) de \(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]\) […] […] de \(X^{\widehat{[1]}} \to X^{0}\)] […] un hypothèse […] « platitude infinitésimale de \(X/S\) », […] […] [sur platitude […]] \(X^{\widehat{[1]}} \to X\) — p. ex. \(X/S\) lisse … [critères : diagonale]. Alorsce passage est marqué d'un double trait vertical dans la marge

1°)Les \(V^{i} = \mathcal{H}^{i}(l\mathcal{Q}^{0}[M])\) sont de […] […] façon naturelle des \(\mathcal{O}_X\)-Modules (par la [\(\mathcal{O}_X\)-]structure produit) stratifiés.
2°)Dans le bicomplexe \(l\mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}]\), prenant la [première] cohomologie suivant l'op. diff. provenant de \(M^{\cdot}\), […] […] […] complexes […] […] fournissant les stratifications […] des \(V^{i}\), \(C^{\cdot}(V^{i})\) […] […]
3°)Par suite, on trouve une suite spectrale

\[\mathbb{H}^{*}(X, M^{\cdot}) \simeq \mathbb{H}^{*}(X, \mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}]) \Longleftarrow E_2^{pq} = \mathbb{H}^{p}(X, C^{\cdot}(V^{q}))\] (vérif. à EGA \(0_{\mathrm{III}}\) ?). On […] […] l'écrire, en […] la définition, […] […] Module stratifié \(\underline{V}\) relativement à \(S\), \[\mathbb{H}^{p}_{\mathrm{str}}(X/S, \underline{V}) = \mathbb{H}^{p}(X, C^{\cdot}_{\mathrm{str}}(\underline{V})) ,\] l'indice « str » est entouré et relié par un trait à la place d'un « \(X/S\) » biffé dans le premier membre sous la forme \[\boxed{\; \mathbb{H}^{*}(X, M^{\cdot}) \Longleftarrow E_2^{pq} = \mathbb{H}^{p}_{\mathrm{str}}(X, V^{q}(M^{\cdot})), \quad\text{où}\quad V^{q}(M^{\cdot}) = \mathcal{H}^{q}(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]) \;}\]

Corollaire. Supposons que l'on ait \[V^{q}(M^{\cdot}) = 0 \quad \text{pour } q \neq q_0 ,\] alors on […] […] des isom. canoniques \[\mathbb{H}^{n}(X, M^{\cdot}) \simeq \mathbb{H}^{n-q_0}_{\mathrm{str}}(X, V^{q_0}(M^{\cdot})) .\] Ceci montre, ([supposant p. ex. que \(q_0 = 0\),]ajouté au-dessus de la ligne) que le premier […]

ne dépend que du Module stratifié \(\underline{V} = V^{q_0}(M^{\cdot})\) et de […] \(q_0\), mais pas du complexe différentiel particulier choisi pour « résoudre » \(\underline{V}\).

6. Or, […] Soit […] […] […] […] […] d'un Module stratifié \(\underline{V}\) sur \(X\) rel \(/S\), […] […] […] lui associer de façon naturelle un complexe de De Rham, […] […] l'objet gradué sous-jacent est \[\Omega^{\cdot}_{X/S} \otimes \underline{V} = \Omega^{\cdot}(\underline{V})\] et on vérifie, lorsque ([\(X\) est lisse sur \(S\) et] \(S\) […] de […])la parenthèse est ajoutée au-dessus de la ligne, que ce complexe […], que […] […] « résolution différentielle » […] bien […] de \(\underline{V}\). Dans ce cas, on trouve donc une interprétation […] de la« Lemme de Poincaré formel »dans la marge gauche, entouré, avec un triple trait vertical ; plus bas, un second mot entouré, « différentielle », à demi couvert d'une tache d'encre

coh. de De Rham de \(X/S\) \[H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S, \underline{V}) \simeq H^{*}_{\mathrm{str}}(X/S, \underline{V})\] au […] […] […] que il […] plus question de cohomologie [formes] différentielles ! Si on ne fait plus d'hyp. de lissité […] de caractéristique, il […] […] […] […] […] un [homomorphisme […]] canoniques \[\underline{V} \to \mathcal{H}^{0}(l\mathcal{Q}^{0}[\Omega^{\cdot}(\underline{V})])\] l'insertion « un homomorphisme … », au-dessus de la ligne, est reliée par une accolade à cette formule […] […] […] complexes de Modules stratifiés \[\underline{V} \longrightarrow l\mathcal{Q}^{0}[\Omega^{\cdot}(\underline{V})]\] […] […] […] au Cstr des […] […] […], un hom. can. \[\boxed{\; H^{*}_{\mathrm{str}}(X, \underline{V}) \longrightarrow H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S, \underline{V}) \;}\] l'indice « str » est entouré et relié à la place d'un mot biffé après \(X\)

qui est dans un […] […] \(X/S\) est différentiellement lisse et \(S\) de car. nulle.

Je doute que ce soit […] […] […] (p. ex. une […] courbe elliptique)la parenthèse est ajoutée au-dessus de la ligne ; « doute » est entouré, et un long trait le relie à la marge […] […] \(X\) est lisse et projectif [sur \(S\) spectre d'un corps (alg. clos […] […]) de car. \(p > 0\), et \(\underline{V} = \mathcal{O}_X\) avec stratification canonique. Dans ce cas particulier,] il n'est pas […] clair à priori que les \(H^{i}_{\mathrm{str}}\) soient de dim. finie, ni qu'ils […] nuls pour \(i\) grand. Situation à éclaircir !

Remarque. L'intérêt de relier la cohomologie de De Rham : la […] \(H_{\mathrm{str}}\) […] que celle-ci, s'interprète comme […] […] tour, […] […] « site stratifiant » […] cohomologie d'un […] […] variante […] convenable, […] […] conduire à la « coh. p-adique en car. \(p\) » […]C'est sûrement faux ! (calculs […] […] […] \(X\) […] abélien !)dans la marge gauche, dans un cadre ; la première ligne au crayon, les suivantes à l'encre bleue, avec un triple trait vertical

§ – Commentaires sur la définition d'une cohomologie p-adique en car. \(p > 0\)

\(X_0\) schéma sur un corps parfait \(k\) de car. \(p > 0\), \(S = \operatorname{Spec} W(k)\). Alors \[H^{*}(X_0/S_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}_{X_0\,\mathrm{cris}})\] est un \(W\)-module gradué. […] Mon espoir initial était qu'il soit un « le » bon candidat pour une cohomologie p-adique. Une première […] […] en […], c'est que lorsque \(X_0\) [est lisse sur \(k\), […] bien […]] [se relève en un \(X\) […] [[…]] lisse sur \(k\), alors d'après l'exposé précédent, on trouve ainsi \[H^{*}((X_0/S)_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}) = \varprojlim_{n} H^{*}((X_n/S_n)_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O})\] et j'espérais qu'à la limite, on trouverait (pour certains modules tensoriels) la même chose que \(\varprojlim H^{*}_{\mathrm{DR}}(X_n/S_n) \simeq H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S)\). (Il y […] a un […] en tous cas !). C'est faux malheureusement. Par exemple si \(X_0/k\) est un schéma abélien « ordinaire » i.e. […] du point de vue formel est un tore, on trouve que \[H^{i}((X_0/S)_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}) = 0 \quad \text{si } i > \dim X_0\,!\] (Pourtant le \(\varprojlim\) des coh. de De Rham est excellent !) […] Quand on regarde dans le cas

affine, on constate que les ennuis proviennent du fait que le passage à la limite projective ne commute pas à la localisation par \(p\) \[W \longrightarrow W[1/p] = K\,! .\]

Je propose d'imaginer l'expédient suivant, consistant à remplacer le site cristallin par un site plus gros, formé avec des « épaississements » pas forcément infinitésimaux : objets les triples \((U_0, \mathcal{W}, i : U_0 \to \mathcal{W})\), où \(U_0\) un ouvert affine de \(X_0\), \(\mathcal{W}\) un […] affine [(d'anneau \(A_0\))] formel complet […], i.e. […] correspondant à une \(W\)-alg. \(B\) sur \(W\), \(U_0 \to \mathcal{W}\) une […] de \(W\)-alg. […] un morphisme […] induisant un […] isomorphisme nilpotent \(U_0 \to \mathcal{W} \times_S S_0\) (Cela correspond à un \(W\)-hom. surjectif \(B \to A_0\) tel que \(B/pB \to A_0\) soit à noyau nilpotent). Comme topologie, une variante convenable de la zariskienne (en […] […] : […] d'ensembles […] par les traces des ouverts sur \(X_0\)).

Tests décisifs : a) Si \(X_0\) lisse [affine] sur \(k\), on doit retrouver la définition de W.M.« affine » est ajouté au-dessus de la ligne b) Si \(X_0\) lisse et propre, et se relève en \(X\) lisse et propre, on doit retrouver (au moins modulo torsion) la cohomologie de De Rham \(H_{\mathrm{DR}}(X/S)\).

Il s'agit d'une première […]. […] Même si elle réussit, il faudra beaucoup l'accomplir, on […] désire une théorie cohomologique […] […] le projet, et […] […] puisse […] […] coup la […] des […]. Il y […] […] […] […] […] perspective !

Nov. Déc. 1966au crayon, en haut à droite ; le dernier chiffre est repassé à l'encre rouge et le chiffre sous-jacent n'est pas lu avec certitude

1. Cohomologie de De Rham des var. alg.

« 1. » est écrit au-dessus du titre [But : faire sentir un complexe de pbs gravitant autour de la coh. de De Rham des V.A., et proposer un point de vue qui […] me semble permettre de les grouper et de les étudier. D'où un (gros) programme de travail proposé.]ce paragraphe, à l'encre bleue, est ajouté entre le titre et le § 1, et encadré

§ 1. Yoga cohomologie de De Rham

1) Variétés différentiables. Énoncé du th. de De Rham. Son explication en termes de théorie des faisceaux : […] \(\Omega^{\cdot}_{X}\) est une résolution de \(\mathbb{C}_X\) (lemme de Poincaré), et les \(\Omega^{i}_{X}\) sont fins, donc à cohomologie nulle en dim \(> 0\) (N.B. \(X\) est supposé séparé…).

2) Variétés analytiques complexes. Ça […] […] tel quel pour les Stein : lemme de Poincaré (local) valable, mais il faut \(H^{j}(X, \Omega^{i}_{X}) = 0\) pour \(j > 0\). En général, il faut prendre l'hypercohomologie, on trouve \[H^{*}(X, \mathbb{C}) \overset{\text{12}}{=} \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X}) \Longleftarrow E_1^{pq} = H^{q}(X, \Omega^{p}_{X})\] « 12 » est écrit au-dessus d'une ligne verticale qui relie \(H^{*}(X,\mathbb{C})\) à \(\mathbb{H}^{*}(X,\Omega^{\cdot}_X)\) écrit au-dessous ; lecture du chiffre douteuse

3) Variétés algébriques (non singulières). Travaillons avec la top. de Zariski. Considérons \[\mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X}) \qquad \text{(hypercohomologie)}\] est-il isomorphe à \(H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C})\) ? On a en tous cas \[\mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X}) \longrightarrow \mathbb{H}^{*}(X^{\mathrm{an}}, \Omega^{\cdot}_{X^{\mathrm{an}}}) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C})\]