Anneaux simpliciaux canoniques et modules stratifiés

[Formellement, les développements qui suivent sont indépendants des histoires de sites cristallins ou stratifiants].

1. Soit X \to S un préschéma relatif. Pour tout entier n \geq 0, soit X^{[n]} = \underbrace{X \times_S \cdots \times_S X}_{n+1}, considéré comme objet de (\mathrm{Sch})_{/S} diag l'immersion diag X \to X^{[n]}le mot « diag », d'abord écrit, est biffé deux fois, dans la phrase et au-dessus de la flèche. Soit X^{\widehat{[n]}} le complété formel le long de X. Pour n \geq 0 variable, on un objet simplicial : des un objet simplicial aux X^{\widehat{[n]}}, dans \mathrm{Sch}f/X, les espaces sous-jacents étant d'ailleurs tous égaux à \mathrm{esp}(X). Soit \mathcal{P}^n le faisceau structural de X^{\widehat{[n]}}, Ann-pro-objet de considéré comme de la catégorie des faisceaux d'anneaux \mathrm{Pro}(\mathrm{Ann}(\mathrm{esp}(X))) \mathrm{esp}(X), Pour n variable, on trouve ainsi un Anneau cosimplicial \mathcal{P}^{*} sur \mathrm{esp}(X), avec \mathcal{P}^{0} = \mathcal{O}_X . Faire mention que certains

un \mathcal{O}_X-Algèbre cosimpliciale, ainsi les deux \mathcal{O}_X = \mathcal{P}^{[0]} \rightrightarrows \mathcal{P}^{[1]} sont en général distincts, et mettent sur \mathcal{P}^{[1]} deux structures distinctes de \mathcal{O}_X-algèbres.

Considérons l'objet décalé \mathcal{SP}, défini par (\mathcal{SP})^{i} = \mathcal{P}^{i+1} fonctoriellement (\mathcal{SP})(I) = \mathcal{P}(I \sqcup e) un ensemble à un élément. L'homomorphisme fonctoriel I \to I \sqcup e définit \mathcal{P}(I) \to \mathcal{P}(I \sqcup e), i.e. \alpha^{*} : \mathcal{P}^{*} \to (\mathcal{SP})^{*} \qquad \text{i.e.}\quad \alpha^{i} : \mathcal{P}^{i} \to \mathcal{P}^{i+1} . Si p. ex. S = \operatorname{Spec} k (k un anneau), X = \operatorname{Spec} A, X étant tel que X \to X \times_S X soit une immersion nil- [p. ex. X radiciel et sur S], alors, aux sections, \Gamma \mathcal{P}^{i} = \bigotimes_{k}^{i+1} A = \underbrace{A \otimes_k A \otimes \cdots \otimes_k A}_{i+1}, les opérations simpliciales , et l'homomorphisme \alpha étant donné par \underbrace{A \otimes \cdots \otimes A}_{i+1} \longrightarrow \underbrace{A \otimes \cdots \otimes A}_{i+2}, \qquad \alpha^{i}(x_0 \otimes \cdots \otimes x_i) = x_0 \otimes \cdots \otimes x_i \otimes 1 .

2. Soit (M, \ill{}) un Module sur X. stratifié On pose pour i \geq 0 \mathcal{P}^{i}[M] = \mathcal{P}^{i} \otimes_{\mathcal{O}_X} M , où \mathcal{P}^{i} est considéré comme Algèbre sur \mathcal{O}_X par sa structure extrême-droite. Donc \mathcal{P}^{i}(M) est un Par définition, le produit tensoriel doit être interprété comme un pro-objet [de même que \mathcal{P}^{i}] — sauf dans des conditions exceptionnelles que X loc. noeth., [ M lisse de type fini, si X \Omega_{X/S} et M de type fini sur X] qui d'interpréter les \mathcal{P}^{i} et \mathcal{P}^{i}[M] comme des faisceaux au lieu de profaisceaux [car dans ces cas au lieu de , on remplace les profaisceaux par leur \varprojlim]. On notera que les \mathcal{P}^{i}(M) est un \mathcal{P}^{i}-Module, dépendant fonctoriellement de M variable dans \mathrm{Mod}(\mathcal{O}_X). on prend comme de M

\mathcal{O}_X sur les \mathcal{Q}^{i} = \mathcal{P}^{i+1} à cette structure. Il s'ensuit que les \mathcal{Q}^{i}[M] = \mathcal{Q}^{i} \otimes_{\mathcal{O}_X} M [str. ext. dr.]écrit sous le signe \otimes, avec un trait qui l'y rattache : le produit tensoriel est pris pour la structure extrême-droite sont les composantes d' cosimplicial, noté \mathcal{Q}^{*}[M], qui est en fait un Module cosimplicial sur l'anneau cosimplicial \mathcal{Q}^{*}. Ce \mathcal{Q}^{*}[M] dépend également de façon fonctorielle de M, quand M parcourt \mathrm{Mod}(X/S).

3. Notons une conséquence importante de des Modules cosimpliciaux \mathcal{Q}^{*}[M] sur \mathcal{P}^{*} : \mathcal{Q}^{i}[M] c'est que les autres les opérations changement de base les opérations simpliciales \mathcal{P}^{i} \to \mathcal{P}^{j} [ d'un \varprojlim, non seulement

d'un [ ]. Formellement, [de façon précise cela plus des pro-Modules de Modules ] on voit que \mathcal{Q}^{0}[M] est un (pro)Module stratifié sur X rel S, et les \mathcal{Q}^{i}[M] sont les composantes des (pro)Modules cosimplicial correspondant. le passage « on voit que … correspondant » est marqué d'un double trait vertical dans la marge gauche ; l'ajout au-dessus de la ligne suivante, entouré et relié à \mathcal{Q}^{0}[M], n'est pas lu Ce pro-Module stratifié \mathcal{Q}^{0}[M] fonctoriellement de M parcourant \mathrm{Mod}(X/S) [Modules sur X rel S ordre borné]« rel S » est écrit au-dessus d'un mot biffé ; « ordre borné » est souligné, on comme Artin-Rees. De plus, on récupère M à partir de \mathcal{Q}^{0}[M] [ : stratification] le sous-faisceau des sections [ la structurele passage « Ce pro-Module stratifié … la structure » est lui aussi marqué d'un trait vertical dans la marge gauche

de \mathcal{O}_X-Module de l'extrême droite [N.B. Les structures extrême-droites des \mathcal{Q}^{i}[M] sont compatibles avec les op. simpliciales, i.e. \mathcal{Q}^{i}[M] est un Module cosimplicial sur \mathcal{O}_X , extrême-droites ; mais structures conservée par les M \to N qui \mathcal{O}_X- ( diff. rel S )]. un \mathrm{Mod}(X/S) \to D : M \to N \mathcal{Q}^{0}[D] : \mathcal{Q}^{0}[M] \to \mathcal{Q}^{0}[N] comme l' les sous-faisceaux des sections horizontales.

4. Une façon équivalente d'obtenir \mathcal{Q}^{*}[M] de considérer X^{\widehat{[2]}} \rightrightarrows X^{\widehat{[1]}} \xrightarrow{\widehat{\mathrm{pr}}_2} X^{\widehat{[0]}} = X et les images , [dans les cat. formels sur X], c'est ainsi

l'anneau cosimplicial \mathcal{Q}^{*}, et \mathcal{Q}^{*}[M] = \mathcal{Q}^{*} \otimes_{\mathcal{O}_X} M . Comme X^{\widehat{[1]}} section sur X^{\widehat{[0]}}, on obtient aussitôt que \mathcal{Q}^{*}[M] est une résolution de M [ les \mathcal{Q}^{i}[M] les structures extrêmes droites de \mathcal{O}_X-Modules]. Il faut cependant cette expression [les A.R.-pro-modules catégorie abélienne ? …] -il faut hypothèse de quasi-cohérence sur M. En tout cas, désignant par le \varprojlim des , projets, on trouve que l\mathcal{Q}^{*}[M] est une résolution de M M .

et par suite on trouve un bon cas H^{*}(X, M) \simeq \mathbb{H}^{*}(X, l\mathcal{Q}^{*}[M]) \Longleftarrow E_2^{pq} = H^{p}\bigl(i \mapsto H^{q}(X, l\mathcal{Q}^{i}[M])\bigr) [Sous des conditions convenables, aura H^{q}(X, l\mathcal{Q}^{i}[M]) = \varprojlim_{n} H^{q}(X, \mathcal{Q}^{i}_{\uncertain{n}}[M]_{(n)}) \;\bigl(\simeq H^{q}(X^{\widehat{[i+1]}}_{n}, M)\bigr) \mathcal{Q}^{i}[M] = \varprojlim_{n} \mathcal{Q}^{i}[M]_{(n)}, \quad \mathcal{Q}^{i}[M]_{(n)} = \mathcal{Q}^{i}_{(n)} \otimes_{\mathcal{O}_X} M, \quad \mathcal{Q}^{i}_{(n)} = \mathcal{P}^{i+1}_{(n)} = \cdots\;] la parenthèse (\simeq H^{q}(X^{\widehat{[i+1]}}_n, M)) est ajoutée au-dessus de la ligne et entourée ; en bout de ligne, un « = H^{q}(X^{[i]}, M) » est bifféMention +1 ! X^{[i+1]} = [X/S]^{i+2} !)dans la marge gauche, entouré ; le « +1 » est lui-même entouré

Si complexe M^{\cdot} M^{\cdot} de D^{+}(\mathrm{Mod}(X/S)) = D^{+}(X/S), on obtient un bicomplexe \mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}], tel que l\mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}] est une résolution de M^{\cdot}, et par suite \mathbb{H}^{*}(X, M^{\cdot}) \simeq \mathbb{H}^{*}(X, \mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}]) \simeq \mathbb{H}^{*}(X_{\mathrm{str}}, \mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]) . [\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}] s'appelle la formalisation des complexes d'op. différentiels M.]ce crochet est marqué d'un triple trait vertical dans la marge

5. Soit toujours M^{\cdot} \in \mathrm{ob}\, D^{+}(X/S), et considérons le complexe \mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}] de l\mathcal{Q}^{0}[ de (pro-\mathcal{O}_X-Modules) à stratifications, que celle de M^{\cdot} : complexe additif d'abord, en faisceaux de sections Artiniennes, puis \mathcal{O}_X-structures sur les M^{\cdot} comme des structures extrêmes droites des \mathcal{Q}^{0}[M^{i}] (lesquelles, rappelons-le, , ne sont cependant pas respectées par l'op. diff. de \mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]). Considérons les \mathcal{H}^{i}(l\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]), et supposons que leur formation commute aux changements de base cosimpliciaux \mathcal{P}^{0} \to \mathcal{P}^{\uncertain{n}} ; ceci par des hypothèses

de type platitude sur les \mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}] et les \mathcal{H}^{i}(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]), (plus économiques, , que ne de platitude sur \mathcal{O}_X de \mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}] de X^{\widehat{[1]}} \to X^{0}] un hypothèse « platitude infinitésimale de X/S », sur platitude X^{\widehat{[1]}} \to X — p. ex. X/S lisse … [critères : diagonale]. Alorsce passage est marqué d'un double trait vertical dans la marge

1°)Les V^{i} = \mathcal{H}^{i}(l\mathcal{Q}^{0}[M]) sont de façon naturelle des \mathcal{O}_X-Modules (par la \mathcal{O}_X-structure produit) stratifiés. 2°)Dans le bicomplexe l\mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}], prenant la première cohomologie suivant l'op. diff. provenant de M^{\cdot}, complexes fournissant les stratifications des V^{i}, C^{\cdot}(V^{i}) 3°)Par suite, on trouve une suite spectrale

\mathbb{H}^{*}(X, M^{\cdot}) \simeq \mathbb{H}^{*}(X, \mathcal{Q}^{*}[M^{\cdot}]) \Longleftarrow E_2^{pq} = \mathbb{H}^{p}(X, C^{\cdot}(V^{q})) (vérif. à EGA 0_{\mathrm{III}} ?). On l'écrire, en la définition, Module stratifié \underline{V} relativement à S, \mathbb{H}^{p}_{\mathrm{str}}(X/S, \underline{V}) = \mathbb{H}^{p}(X, C^{\cdot}_{\mathrm{str}}(\underline{V})) , l'indice « str » est entouré et relié par un trait à la place d'un « X/S » biffé dans le premier membre sous la forme \boxed{\; \mathbb{H}^{*}(X, M^{\cdot}) \Longleftarrow E_2^{pq} = \mathbb{H}^{p}_{\mathrm{str}}(X, V^{q}(M^{\cdot})), \quad\text{où}\quad V^{q}(M^{\cdot}) = \mathcal{H}^{q}(\mathcal{Q}^{0}[M^{\cdot}]) \;}

Corollaire. Supposons que l'on ait V^{q}(M^{\cdot}) = 0 \quad \text{pour } q \neq q_0 , alors on des isom. canoniques \mathbb{H}^{n}(X, M^{\cdot}) \simeq \mathbb{H}^{n-q_0}_{\mathrm{str}}(X, V^{q_0}(M^{\cdot})) . Ceci montre, (supposant p. ex. que q_0 = 0,ajouté au-dessus de la ligne) que le premier

ne dépend que du Module stratifié \underline{V} = V^{q_0}(M^{\cdot}) et de q_0, mais pas du complexe différentiel particulier choisi pour « résoudre » \underline{V}.

6. Or, Soit d'un Module stratifié \underline{V} sur X rel /S, lui associer de façon naturelle un complexe de De Rham, l'objet gradué sous-jacent est \Omega^{\cdot}_{X/S} \otimes \underline{V} = \Omega^{\cdot}(\underline{V}) et on vérifie, lorsque (X est lisse sur S et S de )la parenthèse est ajoutée au-dessus de la ligne, que ce complexe , que « résolution différentielle » bien de \underline{V}. Dans ce cas, on trouve donc une interprétation de la« Lemme de Poincaré formel »dans la marge gauche, entouré, avec un triple trait vertical ; plus bas, un second mot entouré, « différentielle », à demi couvert d'une tache d'encre

coh. de De Rham de X/S H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S, \underline{V}) \simeq H^{*}_{\mathrm{str}}(X/S, \underline{V}) au que il plus question de cohomologie formes différentielles ! Si on ne fait plus d'hyp. de lissité de caractéristique, il un homomorphisme canoniques \underline{V} \to \mathcal{H}^{0}(l\mathcal{Q}^{0}[\Omega^{\cdot}(\underline{V})]) l'insertion « un homomorphisme … », au-dessus de la ligne, est reliée par une accolade à cette formule complexes de Modules stratifiés \underline{V} \longrightarrow l\mathcal{Q}^{0}[\Omega^{\cdot}(\underline{V})] au Cstr des , un hom. can. \boxed{\; H^{*}_{\mathrm{str}}(X, \underline{V}) \longrightarrow H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S, \underline{V}) \;} l'indice « str » est entouré et relié à la place d'un mot biffé après X

qui est dans un X/S est différentiellement lisse et S de car. nulle.

Je doute que ce soit (p. ex. une courbe elliptique)la parenthèse est ajoutée au-dessus de la ligne ; « doute » est entouré, et un long trait le relie à la marge X est lisse et projectif [sur S spectre d'un corps (alg. clos ) de car. p > 0, et \underline{V} = \mathcal{O}_X avec stratification canonique. Dans ce cas particulier,] il n'est pas clair à priori que les H^{i}_{\mathrm{str}} soient de dim. finie, ni qu'ils nuls pour i grand. Situation à éclaircir !

Remarque. L'intérêt de relier la cohomologie de De Rham : la H_{\mathrm{str}} que celle-ci, s'interprète comme tour, « site stratifiant » cohomologie d'un variante convenable, conduire à la « coh. p-adique en car. p » C'est sûrement faux ! (calculs X abélien !)dans la marge gauche, dans un cadre ; la première ligne au crayon, les suivantes à l'encre bleue, avec un triple trait vertical

§ – Commentaires sur la définition d'une cohomologie p-adique en car. p > 0

X_0 schéma sur un corps parfait k de car. p > 0, S = \operatorname{Spec} W(k). Alors H^{*}(X_0/S_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}_{X_0\,\mathrm{cris}}) est un W-module gradué. Mon espoir initial était qu'il soit un « le » bon candidat pour une cohomologie p-adique. Une première en , c'est que lorsque X_0 est lisse sur k, bien [se relève en un X lisse sur k, alors d'après l'exposé précédent, on trouve ainsi H^{*}((X_0/S)_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}) = \varprojlim_{n} H^{*}((X_n/S_n)_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}) et j'espérais qu'à la limite, on trouverait (pour certains modules tensoriels) la même chose que \varprojlim H^{*}_{\mathrm{DR}}(X_n/S_n) \simeq H^{*}_{\mathrm{DR}}(X/S). (Il y a un en tous cas !). C'est faux malheureusement. Par exemple si X_0/k est un schéma abélien « ordinaire » i.e. du point de vue formel est un tore, on trouve que H^{i}((X_0/S)_{\mathrm{cris}}, \mathcal{O}) = 0 \quad \text{si } i > \dim X_0\,! (Pourtant le \varprojlim des coh. de De Rham est excellent !) Quand on regarde dans le cas

affine, on constate que les ennuis proviennent du fait que le passage à la limite projective ne commute pas à la localisation par p W \longrightarrow W[1/p] = K\,! .

Je propose d'imaginer l'expédient suivant, consistant à remplacer le site cristallin par un site plus gros, formé avec des « épaississements » pas forcément infinitésimaux : objets les triples (U_0, \mathcal{W}, i : U_0 \to \mathcal{W}), où U_0 un ouvert affine de X_0, \mathcal{W} un affine (d'anneau A_0) formel complet , i.e. correspondant à une W-alg. B sur W, U_0 \to \mathcal{W} une de W-alg. un morphisme induisant un isomorphisme nilpotent U_0 \to \mathcal{W} \times_S S_0 (Cela correspond à un W-hom. surjectif B \to A_0 tel que B/pB \to A_0 soit à noyau nilpotent). Comme topologie, une variante convenable de la zariskienne (en : d'ensembles par les traces des ouverts sur X_0).

Tests décisifs : a) Si X_0 lisse affine sur k, on doit retrouver la définition de W.M.« affine » est ajouté au-dessus de la ligne b) Si X_0 lisse et propre, et se relève en X lisse et propre, on doit retrouver (au moins modulo torsion) la cohomologie de De Rham H_{\mathrm{DR}}(X/S).

Il s'agit d'une première . Même si elle réussit, il faudra beaucoup l'accomplir, on désire une théorie cohomologique le projet, et puisse coup la des . Il y perspective !

Nov. Déc. 1966au crayon, en haut à droite ; le dernier chiffre est repassé à l'encre rouge et le chiffre sous-jacent n'est pas lu avec certitude

1. Cohomologie de De Rham des var. alg.

« 1. » est écrit au-dessus du titre [But : faire sentir un complexe de pbs gravitant autour de la coh. de De Rham des V.A., et proposer un point de vue qui me semble permettre de les grouper et de les étudier. D'où un (gros) programme de travail proposé.]ce paragraphe, à l'encre bleue, est ajouté entre le titre et le § 1, et encadré

§ 1. Yoga cohomologie de De Rham

1) Variétés différentiables. Énoncé du th. de De Rham. Son explication en termes de théorie des faisceaux : \Omega^{\cdot}_{X} est une résolution de \mathbb{C}_X (lemme de Poincaré), et les \Omega^{i}_{X} sont fins, donc à cohomologie nulle en dim > 0 (N.B. X est supposé séparé…).

2) Variétés analytiques complexes. Ça tel quel pour les Stein : lemme de Poincaré (local) valable, mais il faut H^{j}(X, \Omega^{i}_{X}) = 0 pour j > 0. En général, il faut prendre l'hypercohomologie, on trouve H^{*}(X, \mathbb{C}) \overset{\text{12}}{=} \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X}) \Longleftarrow E_1^{pq} = H^{q}(X, \Omega^{p}_{X}) « 12 » est écrit au-dessus d'une ligne verticale qui relie H^{*}(X,\mathbb{C}) à \mathbb{H}^{*}(X,\Omega^{\cdot}_X) écrit au-dessous ; lecture du chiffre douteuse

3) Variétés algébriques (non singulières). Travaillons avec la top. de Zariski. Considérons \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X}) \qquad \text{(hypercohomologie)} est-il isomorphe à H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C}) ? On a en tous cas \mathbb{H}^{*}(X, \Omega^{\cdot}_{X}) \longrightarrow \mathbb{H}^{*}(X^{\mathrm{an}}, \Omega^{\cdot}_{X^{\mathrm{an}}}) \simeq H^{*}(X^{\mathrm{an}}, \mathbb{C})