Cote n° 69 · batch 6 · pages 101–119 · Transcription · Graphes cubiques : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

TEI P5 source — open the XML · download batch-06.fr.xml

101les numéros au crayon des archivistes portés sur les feuillets de ce lot vont de 103 à 121 : ils ont deux unités d'avance sur la numérotation des pages du fac-similé, qui est celle suivie ici

\[N_2 \times N_3 \hookleftarrow N_1 \qquad\qquad G \times G = \Gamma \hookleftarrow G\] à gauche, les indices de \(N_2\) et \(N_3\) sont repassés sur d'autres chiffres ; la flèche verticale de \(N_1\) et celle, à crochet, de \(G\) vers \(G \times G\) montent sur la page

\[G \times e = N_2 \qquad e \times G = N_3 \qquad \delta G = N_1\] le \(\delta\) de \(\delta G\) est écrit sur une autre lettre

\((g, h) =\)

\((g, e)\) \((e, h)\) \((k, k)\)

\[(g, h)(k, k)(g, h)^{-1} = (g k g^{-1}, h k h^{-1})\]

\[\begin{array}{ccc} G & & \\ \big\uparrow{\scriptstyle \mathrm{pr}_2} & & \\ G \times G & \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_3\ } & G \end{array}\] les indices des deux projections sont repassés ; lecture \(\mathrm{pr}_2\), \(\mathrm{pr}_3\) incertaine. Au-dessous, \(\mathrm{pr}_1\) est tracée comme un arc allant de \(G \times G\) vers \(G \times G/\delta G\)

\[G \times G/\delta G \simeq G \qquad \delta(g, h) = g h^{-1} \qquad (g, h) \mapsto g h^{-1}\] après \(g h^{-1}\), un signe biffé

\(g h^{-1} = g' h'^{-1} \iff\)

\[(g, h) \longmapsto (g, h, g h^{-1}) \qquad (g, h\] \[\hookrightarrow (g, h^{-1}, h g^{-1})\] la seconde flèche part, en crochet, de \((g, h)\) ; le « \((g, h\) » de droite reste inachevé

\(N_1\) — \(N_2\) \(N_2 \cdot N_1\) le trait qui joint \(N_1\) à \(N_2\) traverse \(N_2\) : biffure ou arête, la page ne tranche pas

\(N_2\) opère sur \(N_1\)

\(c : N_2 \to N_1\) 1-cocycle \(x_2 \mapsto x_2 \cdot c(x_2)\)

\(N_2 \to N_2 \cdot N_1\) \(\overset{\sim}{\longleftarrow}\) \(N_3\)

\(N_2 \cap N_3 = 1\) \(x_2\, c(x_2) = y_2\) […] \(\lbrace x_2 = y_2,\ c(x_2) = 1\) \(\Longrightarrow\) \(x_2 = 1,\ y_2 = 1\)

\(x \cdot y\, c(y)\) \(c(x) = 1 \Longrightarrow x = 1\)

\(= xy\) \(z\, c(y)\) \(z = xy\)

\(c\) surjectif 1-cocycle surjectif…

102\[\begin{array}{ccccc} P & \times & Q & \to & R \\ e & & e & & e \end{array} \qquad \begin{array}{l} Q \simeq R \\ P \simeq R \end{array}\]

\(G \times G \to G\)

un tripode : \(\Gamma\) au centre, avec \(\gamma\) à sa gauche, et trois flèches issues de \(\Gamma\), marquées \(p\) vers \(P\) (en haut, avec \(x\)), \(q\) vers \(Q\) (à droite, avec \(y\)), \(r\) vers \(R\) (à gauche, avec \(z\))

\(p(\gamma)\) \(q(\gamma)\) \(r(\gamma)\) \(Q \simeq R\)

\[\left\lbrace \begin{array}{l} y \underset{p(\gamma)}{\sim} z \\ z \underset{q(\gamma)}{\rightsquigarrow} x \end{array} \right. \iff \begin{array}{l} \exists\,(p(\gamma), y, z) \in \Gamma \\ (x, q(\gamma), z) \in \Gamma \end{array}\] \[\overset{?}{\Downarrow}\] \[x \underset{r(\gamma)}{\sim} y \qquad (x, y, r(\gamma)) \in \Gamma\] le \(y\) de la première ligne est écrit sur un \(x\), le \(z\) repassé ; le \(\exists\) est repassé ; la flèche entre \(z\) et \(x\) est courbe

\[\begin{array}{ccc} & \widetilde{P}_u/\sigma & \\ & \big\uparrow & \\ & \widetilde{\Gamma}/\sigma & \\ \swarrow & & \searrow \\ \widetilde{P}_w/\sigma & & \widetilde{P}_v/\sigma \end{array}\]

un grand triangle de sommets \(\tilde a = p(\tilde\gamma)\) (en haut), \(\tilde b = q(\tilde\gamma)\) (en bas à droite), \(\tilde c = r(\tilde\gamma)\) (en bas à gauche), avec en son centre un petit triangle dont les côtés portent \(u\), \(v\), \(w\) ; chaque sommet du grand est relié au petit par un trait

\[a y z^{-1} = 1 \qquad x^{-1} b z = 1 \qquad x y^{-1} = 1\] ces trois relations, dans la marge de droite, d'une lecture incertaine

\((a, b, c)\) \(abc = 1\) \(abc = 1\), \(c = b^{-1} a^{-1}\)

\[\left. \begin{array}{l} a y z = 1 \\ x b z = 1 \end{array} \right\rbrace \overset{?}{\Downarrow} \qquad a y = x b \qquad y = a^{-1} x b\] \(x y c = 1\) i.e. \(xy = x a^{-1} x b\)

\(x y z =\) \(z = (ay)^{-1}\) \(bca = 1\)

\(x = (bz)^{-1} = z^{-1} b^{-1} = a y b^{-1}\) \(= ayca\) \(x^{-1} a y c a = 1\)

\(y = x^{-1} c^{-1} = b y^{-1} a^{-1} c^{-1} = b (c a y)^{-1}\) ligne très surchargée, précédée à gauche d'un signe interrogatif et de traits ; plusieurs membres intermédiaires biffés, où se lisent \(x y^{-1} c\), \(aby\), \(byc^{-1}b\) ; lecture d'ensemble incertaine

\(= b y^{-1} b^{-1} = \operatorname{int}(b)\, y^{-1}\)

\(b(b y^{-1} b^{-1})\) \(c^{-1} y^{-1}\) \(a b y^{-1} = a y b^{-1}\)

\(\operatorname{int}(b) \bigl(\operatorname{int}(b)\, y^{-1}\bigr)^{-1}\)

\(\operatorname{int}(b)\, \bigl(\operatorname{int}(b)\bigr)(y)\) \(b (b y^{-1} b)^{-1} b\) \(b y^{-1} = y b^{-1}\) \((b y^{-1})^2 = 1\)

\(b b^{-1} y b^{-1} b\)

103\[\begin{array}{ccc} & G & \\ & \big\uparrow & \\ & \Psi(G) & \\ \swarrow & & \searrow \\ G & & G \end{array}\] devant \(\Psi(G)\), un mot biffé

à gauche, le tripode de la page 102 : \(\Gamma\), avec \(\gamma_0\), et ses trois flèches vers \(P\) (en haut), \(Q\) (à droite), \(R\) (à gauche). À côté de \(P\) sont écrits \(a_0, \bar r, \bar\pi, \bar r'\) ; à côté de \(Q\), \(b_0, \tilde r', \tilde r'', \tilde\sigma\) ; sous \(R\), \(c_0\) et une liste très surchargée où se lisent \(r, r', r''\), \(\pi\), \(\sigma\), \(r(r', r'')\)

[…], \(b_0\)

\((\bar r, b_0, r)\) \((\bar\pi, b_0, \pi)\) \((\bar r', b_0, r')\)

\((a_0, \tilde r', r')\) \((a_0, \tilde r'', r'')\) \((a_0, \tilde\sigma, \sigma)\) \(\Longrightarrow\)

\((\bar r, \tilde r', \pi)\) \((\bar\pi, \tilde r'', \rho)\) \((\bar r', \tilde r'', \sigma)\) \(\Big|\) \((\bar r, \tilde\sigma, \rho)\) \(\iff\) les biffures sont en croix ; devant \((a_0, \tilde\sigma, \sigma)\), un début biffé, et le \(a_0\) écrit au-dessus. Un trait vertical sépare les trois colonnes de gauche du triplet \((\bar r, \tilde\sigma, \rho)\) ; le triplet \((\bar\pi, \tilde r'', \rho)\) est entouré et relié par un trait courbe à la double flèche de droite

\[\begin{array}{l} a_0, \bar r, \bar\pi, \bar r' \\ b_0, \tilde r', \tilde r'', \tilde\sigma \\ r, r', r'', \pi, \sigma, \rho \end{array}\]

les six lettres \(\bar r\), \(\tilde r'\), \(\bar\pi\), \(\tilde r''\), \(\bar r'\), \(\tilde\sigma\) sur une ligne ; sous les paires, des flèches verticales vers \(r\), \(r'\), \(r''\), \(r'\), entre parenthèses, une double flèche horizontale au milieu, et deux arcs descendant vers la ligne \(\pi \quad \rho \quad \sigma\)

\[\begin{array}{ll} \alpha_1 = a_0 & \alpha_2 = \bar r \\ \beta_2 = \tilde r' & \beta_1 = \tilde\sigma \\ \gamma_2 = r' & \gamma_1 = \sigma \end{array}\]

\[\begin{array}{l} \underline{a_0}, \bar r, \bar\pi, \bar r' \\ \underline{b_0}, \underline{\tilde r'}, \tilde r'', \tilde\sigma \\ \underline{r'}, \underline{\pi}, \underline{\sigma}, \underline{\rho} \end{array} \qquad \left\lbrace \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \bar\pi & \bar r' & a_0 & a_0 & \bar r & \bar r' & \bar\pi & \bar r \\ b_0 & b_0 & \tilde r' & \tilde\sigma & \tilde r' & \tilde r'' & \tilde r'' & \tilde\sigma \\ \pi & r' & r' & \sigma & \pi & \sigma & \rho & \rho \end{array} \right.\] deux colonnes biffées par hachures entre les colonnes \((\bar r', \tilde r'', \sigma)\) et \((\bar\pi, \tilde r'', \rho)\), et entre celle-ci et la dernière ; les soulignements sont les siens. Une flèche courbe va de ce tableau vers la ligne « tels que l'on ait » ci-dessous

\(a_0, b_0, \bar r, \tilde r'', \bar r'\), […] \(\Big|\) \(\tilde r', r'\), \(\pi, \sigma, \rho, \bar\pi, \tilde\sigma\) les deux lettres \(\tilde r'', \bar r'\) sont entourées ensemble ; \(\tilde r', r'\) sont écrits au-dessus de la seconde liste

\[\forall\; \begin{array}{l} a_0, \bar r, \bar r' \in P \\ b_0, \tilde r'' \in Q \end{array} \quad \exists\; \begin{array}{l} \bar\pi \in P \\ \tilde r', \tilde\sigma \in Q \\ r', \pi, \sigma, \rho \in R \end{array}\] tels que l'on ait après \(\exists\), une première liste biffée par hachures, où se lisent \(r', \pi, \sigma, \rho\)

\[\begin{array}{l} \bar\alpha_0 \\ \Vert \\ \alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ \alpha_4 \\ \beta_1\ \beta_2\ \beta_3\ \beta_4 \\ \gamma_1\ \gamma_2\ \gamma_3\ \gamma_4 \end{array} \qquad \begin{array}{l} \alpha_1\ \alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_2\ \alpha_3\ \alpha_3\ \alpha_4\ \alpha_4 \\ \beta_1\ \beta_2\ \beta_1\ \beta_2 \\ \gamma_1\ \gamma_2\ \gamma_3\ \gamma_4 \end{array}\] dans la seconde colonne, les indices de \(\beta_1\), \(\beta_2\) (troisième et deuxième) et de \(\gamma_2\) sont repassés

105\(\dim E_7 = 133\) (126 racines)

\[\left. \begin{array}{llll} x_i\ y_i & 1 \leq i \leq 7 & 14 & \\ x_{ih} & 1 \leq i < h \leq 7 & 21 & x_{ih} = -x_{hi} \\ y_{ih} & 1 \leq i < h \leq 7 & 21 & y_{ih} = -y_{hi} \end{array} \right\rbrace \ 56 \text{ indéterminées}\]

\[\sum_{i,j,h,k=1}^{7} x_i y_j x_{ih} y_{jk} + \frac{1}{4} \sum_{\lambda,\mu,\nu,\rho=1}^{7} x_{\lambda\mu} x_{\nu\rho} y_{\mu\nu} y_{\lambda\rho} + \sum \bigl( x_i y_{\lambda\mu} y_{\nu\rho} y_{\sigma\tau} + y_i x_{\lambda\mu} x_{\nu\rho} x_{\sigma\tau} \bigr)\] les indices du premier terme sont d'une lecture incertaine (\(x_i y_j x_{ih} y_{jk}\) ou \(x_i y_j x_{ih} y_{jh}\)) ; un second signe \(\sum\) y est biffé

\(\lbrace i, \lambda, \mu, \nu, \rho, \sigma, \tau \rbrace\) permutation paire de \([1, 7]\)

\(\mathfrak{L}\) — \(\operatorname{End} V_{56}\) \[\sum (x_i\, dy_i - y_i\, dx_i) + \sum_{i,h=1}^{7} (x_{ih}\, dy_{ih} - y_{ih}\, dx_{ih})\] la forme est soulignée par lui. La lettre gothique devant « End » est lue \(\mathfrak{L}\) sous réserve

\(\mathfrak{g}\) —

12

107\(G\) groupe commutatif.

\(P_1\) \(P_2\) \(P_3\) trois \(G\)-torseurs, \(s : G \times G \times G \to G\) l'appl. somme

\(P_1 \times P_2 \times P_3 \supset \Gamma\) un sous-torseur sous \(\operatorname{Ker} s\)

[correspond à une trivialisation \(P_1 \wedge P_2 \wedge P_3 \overset{t}{\simeq} \mathbb{1}_{\mathrm{Tors}(G)}\)]

On va montrer que le foncteur \[\lbrace G, P_1, P_2, P_3, t \rbrace \longrightarrow (P_1, P_2, P_3, \Gamma)\] de la catégorie des systèmes d'un groupe \(G\), 3 torseurs sous ⌜\(P_i\)⌝ sous \(G\) et une trivialisation \(t\) de leur produit de Baer, vers les quadruplets de 3 ens \(P_1, P_2, P_3\) et d'une partie \(\Gamma\) de \(P_1 \times P_2 \times P_3\), est pl. fidèle. « \(G\) » est ajouté au-dessus de « groupe » ; « \(P_i\) » est écrit au-dessus de « torseurs » par-dessus un mot biffé

Notons \(p_i : \Gamma \to P_i\), \(p_{ij} : \Gamma \to P_{ij}\) \((i \neq j)\)

(1) Les \(p_{ij}\) sont des iso

Se donner \((P_1, P_2, P_3;\) […]\()\) et \(\Gamma \subset P_1 \times P_2 \times P_3\) satisfaisant (1), revient à se donner \[P_1 \times P_2 \xrightarrow{\ \pi_3\ } P_3\] satisfaisant \[\left\lbrace \begin{array}{lll} \forall x_1 \in P_1, & x_2 \mapsto \pi_3(x_1, x_2) & P_2 \xrightarrow{\sim} P_3 \\ \forall x_2 \in P_2, & x_1 \mapsto \pi_3(x_1, x_2) & P_1 \xrightarrow{\sim} P_3 \end{array} \right.\]

On trouve ainsi \[P_1 \xrightarrow{\ h_{23}\ } \operatorname{Isom}(P_2, P_3)\] et de \[P_1 \xrightarrow{\ h_{32}\ } \operatorname{Isom}(P_3, P_2)\] déduit du précédent par symétrie « Isom » est abrégé en un I suivi d'un trait ; « de » est suivi d'un signe d'égalité

108\(u, \alpha, \beta\)

\((u, 1, 1, 1)(1, \alpha, \beta, \gamma) = (u, u(\alpha), u(\beta), u(\gamma))(u^{-1}, 1, 1, 1)\) « \((u^{-1}, 1, 1, 1)\) » est aussi écrit au-dessus de la ligne, relié par un trait au membre de droite ; le premier \(1\) du second facteur est écrit sur une autre lettre

\((1, \alpha, \beta, \gamma)\) (— \(= (1, u(\alpha), u(\beta), u(\gamma))\)

\[\operatorname{Aut}(G) \cdot (G \times G \times G) \longrightarrow \mathfrak{S}_G \times \mathfrak{S}_G \times \mathfrak{S}_G\] \[(u, \alpha, \beta, \gamma) \longmapsto (\tau_\beta \tau'_\gamma u,\ \tau_\gamma \tau'_\alpha u,\ \tau_\alpha \tau'_\beta u)\] les indices du premier composant sont repassés et d'une lecture incertaine ; on les donne selon la permutation circulaire des deux autres

noyau formé des \((u, \alpha, \beta, \gamma)\) tels que

\(\alpha = \beta = \gamma\) \((= g^{-1})\), \(u = \operatorname{int}(g)\) \(N = \lbrace (\operatorname{int}(g), g^{-1}, g^{-1}, g^{-1}) \mid g \in G \rbrace\) la lettre du noyau, repassée, est lue \(N\) sous réserve

\((\operatorname{int}(g), g^{-1})(\operatorname{int}(g'), g'^{-1}) = (\operatorname{int}(g)\operatorname{int}(g'),\ g(g'^{-1}) g^{-1})\) membre de droite surchargé et barré d'un long trait oblique, avec au-dessous \((\operatorname{int}(g'g)^{-1}, g'g)\) ; lecture incertaine

\(G\).

\((u, \alpha, \beta, \gamma)(\operatorname{int}(g), g^{-1}, g^{-1}, g^{-1})(u^{-1}, u^{-1}(\alpha^{-1}), u^{-1}(\beta^{-1}), u^{-1}(\gamma^{-1}))\)

\((u \operatorname{int}(g), \alpha u(g)^{-1}, \beta u(g)^{-1}, \gamma u(g)^{-1})\ ( \quad )\)

\[\bigl(\underbrace{u \operatorname{int}(g) u^{-1}}_{\operatorname{int} u(g)},\ \alpha u(g)^{-1} (u \operatorname{int}(g))(u^{-1}(\alpha^{-1})), \dots \bigr)\] \[\alpha u(g^{-1})\, \underbrace{u(g u^{-1}(\alpha^{-1}) g^{-1})}_{\alpha\, \alpha^{-1} u(g)^{-1}}\] sous l'accolade, le premier \(\alpha\) est d'une lecture incertaine

\(G \cdot (G \times G \times G)\)

\[(\operatorname{Int} G) \cdot (G \times G \times G) \big/ \lbrace \operatorname{int}(g), g^{-1}, g^{-1}, g^{-1} \rbrace \simeq \Gamma(G)\] \[\operatorname{Aut} G \cdot (G \times G \times G) \big/ \lbrace \quad \rbrace \simeq \hat\Gamma(G)\] il écrit les quotients en soulignant le numérateur et en mettant le dénominateur au-dessous ; le second dénominateur est laissé vide. Dans la seconde ligne, un I majuscule est repassé sur « Aut » ; le \(\Gamma\) des deux membres de droite est repassé à l'encre plus foncée

109moyennant […] […], on peut […] […] au cas où les \(G_i\) sont \(=\) groupe \(G\), les \(P_i\) aux bitorseurs triviaux sous \(G\), \(G\), \(\Gamma\) à \[\Gamma_0 = \lbrace (x, y, z) \in G \times G \times G \mid xyz = 1 \rbrace\] (qu'on peut résoudre en \(x, y, z\) — \[\begin{array}{l} x = z^{-1} y^{-1} \\ y = x^{-1} z^{-1} \\ z = y^{-1} x^{-1} \end{array}\] )

La condition (A) signifie que \(\Gamma\) est linéaire […] […] \[\Gamma = \lbrace (g_2 g_3^{-1}, g_3 g_1^{-1}, g_1 g_2^{-1}) \in G \times G \times G \mid g_1, g_2, g_3 \in G \rbrace\] la condition (A) n'est pas énoncée sur cette page

Si \(\gamma\) \((= (a_1, a_2, a_3))\) est remplacé par \[\gamma' = \sigma(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)(\gamma) = (\alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1},\ \alpha_3 a_2 \alpha_1^{-1},\ \alpha_1 a_3 \alpha_2^{-1})\] les \(\alpha_i\) de cette formule sont écrits par-dessus des \(g_i\)

dans les iso. \(\tilde a_1, \tilde a_2, \tilde a_3\) sont remplacés par

\(\operatorname{int}(g_3)^{-1} \tilde a_1 \operatorname{int}(g_2)\) \[\left\lbrace \begin{array}{l} \tilde a'_1 = \operatorname{int}(\alpha_3)\, \tilde a_1\, \operatorname{int}(\alpha_2)^{-1} \\ \tilde a'_2 = \operatorname{int}(\alpha_1)\, \tilde a_2\, \operatorname{int}(\alpha_3)^{-1} \\ \tilde a'_3 = \operatorname{int}(\alpha_2)\, \tilde a_3\, \operatorname{int}(\alpha_1)^{-1} \end{array} \right.\]

110

\[\begin{array}{ll} x_2 \mapsto -x_2 - a_1 & \\ x_3 \mapsto -x_3 - a_2 & = x_2 + a_1 - a_2 \\ x_1 \mapsto -x_1 - a_3 & = -x_2 - a_1 + a_2 - a_3 \end{array} \qquad \left. \begin{array}{l} a_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + a_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + x_2 + a_3 = 0 \end{array} \right| \Downarrow\] les termes \(-a_1\) et \(-a_3\) de la dernière ligne sont soulignés par lui ; l'indice du \(x_2\) est repassé

\(= x_2\) ?

\(a_2 - x_2 = a_1 + x_2 + a_3\) \(a_1 + a_2 + a_3 = 0\)

\(2 x_2 = a_2 - a_1 - a_3 = a_2 + a_2 = 2 a_2\)

\(2(x_2 - a_2) = 0\) \(x + y + z = 0\)

\(-x\) \(y \mapsto -x - y\)

\(x\) \(-x\) \(y \to -y\) \(x \mapsto -x\)

\[\Delta \times \Delta \longrightarrow \Delta \qquad x \mapsto -x - y \qquad \begin{array}{l} x + y + z = 0 \\ -x - y - z = 0 \end{array}\] \((x, y) \mapsto -x, -y\) \(\Delta \subset \operatorname{Aut}(\Delta)\) les \(\Delta\) sont tracés à l'encre épaisse ; la ligne « \(-x - y - z = 0\) » est peut-être biffée

\((x, y)\) \(x \circ y = -x - y\)

\((x \circ y) \circ z = x + y - z\)

\(x \circ (y \circ z) = -x + y + z\)

\(x \circ x =\) \(2x\) […]

\[\begin{array}{c|cccc} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline u_0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ u_1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\ u_2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\ u_3 & 3 & 0 & 1 & 2 \end{array}\] plusieurs chiffres de ce tableau, dans l'en-tête et dans la ligne \(u_1\), sont repassés à l'encre épaisse

\(x \ast y\) \(u_1\), \(0\) \(x \circ y =\) \(x \ast y\)

\(0'\) \(x \ast y = z\) \(x \circ x' = 0\) \((x, x', 0)\)

\[u_1 \qquad \begin{array}{c|cccc} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 & 1 \end{array}\] les étiquettes des lignes sont données comme elles se lisent ; devant la deuxième, \(x \ast y\), et un \(x\) devant la troisième. Le « \(1\) » de la troisième ligne, troisième colonne, est repassé

\(x \ast y\) \(x \circ y\) \(x \circ \bar x = 0\) \(\overline{x \circ y} = x \ast y\) \(\bar x \ast \bar y = \overline{x \circ y}\) sous \(x \circ \bar x = 0\), « \(\bar 0 = 0\) » ; au-dessus de \(\bar x \ast \bar y\), un trait épais

\(x \ast y\) \(x \ast y\) \[\left\lbrace \begin{array}{l} x \ast y = y \ast x \\ 0 \ast y = y \\ x \ast 0 = x \\ \tau_x \text{ bijectif} \end{array} \right.\] entre \(\tau_x\) et « bijectif », quelques signes biffés

\(\tau_x\) […]

\(x \circ y = \overline{x \ast y}\) \(0 \circ y = \bar y\)

111

\[(a_1, a_2, a_3) \in \Gamma \qquad\qquad x_1 \quad x_2 \quad x_3\] la première lettre du triplet est repassée ; lecture des \(a_i\) incertaine

\[\begin{array}{ll} o_1 : & x_2 \in P_2 \xrightarrow[\sim]{\ \tilde o_1\ } P_3 \\ & \qquad o_2 \qquad\ o_3 \\ & x_1 \in P_1 \xrightarrow[\sim]{\ \tilde o_2\ } P_3 \\ & \qquad o_1 \qquad\ o_2 \end{array} \qquad \tilde o_1(x_1) = \xi_1\] le « \(o_1 :\) » de tête est repassé ; l'indice de \(\tilde o_2\) est d'une lecture incertaine

\(x_1 = \tilde o_1^{-1}(\)

\[\begin{array}{l} (o_1, o_2, o_3) \in \Gamma \\ (x_1, o_2, u_3) \in \Gamma \\ (o_1, x_2, v_3) \in \Gamma \\ \qquad w_3 \in P_3 \\ (x_1, x_2, y_3) \in \Gamma \\ (z_1, o_2, y_3) \in \Gamma \\ (z_1, w_3, p_3) \in \Gamma \\ (\ \cdot \end{array}\] devant \(w_3\), une lettre biffée ; le \(y_3\) de la cinquième ligne est écrit sur un autre signe

\[P_3 \times P_3 \longrightarrow P_3 \qquad P_3 \times P_3 \times \Gamma \qquad P_3 \times \Gamma\]

au crayon, un triangle dont les sommets sont \(P_1\) (en haut, avec \(o_1\)), \(P_2\) (à droite, avec \(o_2\)) et \(P_3\) (à gauche, avec \(o_3\)) ; les côtés portent \(G_2\) (entre \(P_1\) et \(P_3\)), \(G_3\) (entre \(P_1\) et \(P_2\)) et \(G_1\) (entre \(P_3\) et \(P_2\)). Chaque sommet est cerné d'un arc

\[P_1 \underset{G_3}{\wedge} P_2 \underset{G_1}{\wedge} P_3 \simeq \mathbb{1}_{G_2} \qquad P_2 \wedge P_3 \wedge P_1 \simeq\] sous le second membre, « \(G_2\) » ; la seconde ligne reste inachevée

\(0, 1, 4\) \(0\ 2\)

deux tableaux d'addition sur cinq éléments. Le premier, très repassé, porte en tête \(0\ 1\ 2\ 3\ 4\) et une première ligne \(0\ 1\ 2\ 3\ 4\) ; ses autres lignes, surchargées, ne se lisent pas sûrement. Au-dessous, un essai de colonnes inachevé (\(0\ 1\ 2\ 3\ 4\), puis \(1\ 2\ 3\ 4\) …), lui aussi surchargé. Dans la marge, « \(5\) : »

\[\begin{array}{c|ccccc} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\] les zéros de la diagonale secondaire sont reliés par un trait de crayon oblique

112à gauche, un premier triangle très surchargé, aux sommets \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\) et aux côtés marqués \(G_1\), \(G_2\), \(G_3\), \(G'_3\), dont les indices sont repassés, raturé de plusieurs traits ; à droite, le triangle mis au net : \(P_1\) en haut, \(P_3\) en bas à gauche, \(P_2\) en bas à droite, les côtés marqués \(G_2\) (entre \(P_1\) et \(P_3\)), \(G_3\) (entre \(P_1\) et \(P_2\)), \(G_1\) (entre \(P_3\) et \(P_2\))

\[\begin{array}{lll} P_1 & \text{bitorseur sous} & G_2, G_3 \\ P_2 & \text{———} & G_3, G_1 \\ P_3 & \text{———} & G_1, G_2 \end{array} \qquad \begin{array}{lll} \mathring{P}_1 & \text{bitorseur sous} & G_3, G_2 \\ \mathring{P}_2 & \text{———} & G_1, G_3 \\ \mathring{P}_3 & \text{———} & G_2, G_1 \end{array}\] une flèche relie \(\mathring{P}_1\) à la mention « opposé de \(P_1\) »

\(P_1 \wedge P_2 \wedge P_3\) bitorseur sous \(G_2, G_2\) // \(\mathring{P}_3 \wedge \mathring{P}_2 \wedge \mathring{P}_1\) bitors. sous \(G_2, G_2\) au-dessus du premier \(G_2\), un mot abrégé, peut-être « etc. »

\[\begin{array}{lcl} P_1 \wedge P_2 \wedge P_3 \overset{\varphi_2}{\simeq} \underset{G_2\ G_2}{\mathbb{1}} & & \mathring{P}_3 \wedge \mathring{P}_2 \wedge \mathring{P}_1 \overset{\mathring\varphi_2}{\simeq} \underset{G_2\ G_2}{\mathbb{1}} \\ P_2 \wedge P_3 \wedge P_1 \overset{\varphi_3}{\simeq} \underset{G_3\ G_3}{\mathbb{1}} & \Updownarrow & \mathring{P}_1 \wedge \mathring{P}_2 \wedge \mathring{P}_3 \overset{\mathring\varphi_3}{\simeq} \underset{G_3\ G_3}{\mathbb{1}} \\ P_3 \wedge P_1 \wedge P_2 \overset{\varphi_1}{\simeq} \underset{G_1\ G_1}{\mathbb{1}} & & \mathring{P}_2 \wedge \mathring{P}_1 \wedge \mathring{P}_3 \overset{\mathring\varphi_1}{\simeq} \underset{G_1\ G_1}{\mathbb{1}} \end{array}\] plusieurs indices sont repassés, et devant le premier \(\mathbb{1}\) de chaque colonne un signe biffé. Dans la colonne de droite, l'ordre des facteurs est celui de la page, qui ne suit pas une seule règle

\[\Gamma \subset P_1 \times P_2 \times P_3 \quad \text{tel que } \Gamma \neq \emptyset\] « \(\Gamma \neq \emptyset\) » est ajouté au-dessus de « tel que »

\[\left. \begin{array}{l} x = (x_1, x_2, x_3) \in P_1 \times P_2 \times P_3 \\ g_1 \in G_1,\ g_2 \in G_2,\ g_3 \in G_3 \end{array} \right. \Longrightarrow \left( \begin{array}{l} (x_1, x_2, x_3) \in \Gamma \\ \iff (g_2 x_1 g_3^{-1}, g_3 x_2 g_1^{-1}, g_1 x_3 g_2^{-1}) \in \Gamma \end{array} \right)\]

NB \(G_1 \times G_2 \times G_3\) opère sur \(P_1 \times P_2 \times P_3\) par \[\sigma(g_1, g_2, g_3) \cdot (x_1, x_2, x_3) = (g_2 x_1 g_3^{-1}, g_3 x_2 g_1^{-1}, g_1 x_3 g_2^{-1})\] et l'axiome ci-dessus signifie que \(\Gamma\) est une orbite sous \(G_1 \times G_2 \times G_3\) \[\Gamma \xrightarrow{\ p_i\ } P_i \quad \text{induit par } \mathrm{pr}_i\] sous la flèche \(p_i\), un mot biffé

Supposons fixé un pt \(\gamma \in \Gamma\), d'où des pts \(a_i = p_i(\gamma)\), d'où des iso. \[\begin{array}{ll} G_2 \xrightarrow{\ \tilde a_1\ } G_3 & g_2 \text{ et } g_3 \text{ se correspondent ssi } g_2 a_1 = a_1 g_3 \\ G_3 \xrightarrow{\ \tilde a_2\ } G_1 & g_3 \text{ et } g_1 \ \text{---} \qquad g_3 a_2 = a_2 g_1 \\ G_1 \xleftrightarrow{\ \tilde a_3\ } G_2 & g_1 \text{ et } g_2 \ \text{---} \qquad g_1 a_3 = a_3 g_2 \end{array}\] la troisième flèche porte une pointe à chaque bout ; le dernier exposant de la page, après \(g_2\), est surchargé

C'est une opér. transitive d'iso., […]

113Soit \(V\) vectoriel de dim 2 sur \(\mathbb{F}_2\)

\(I\) un ens de card. 3

\((P_i)_{i \in I}\) une famille de \(V\)-torseurs

\(\bigwedge_{i \in I} P_i \overset{\varphi}{\simeq} \mathbb{1}\) (torseur trivial) un isom.

\(\Gamma \subset \prod_{i \in I} P_i\) formé des \((x_i)_{i \in I}\) tels que \(\bigwedge_{i \in I} x_i = 0\)

(card. : 16 éléments)

\(\forall i \in I\), \(\tilde P_i \xrightarrow{\ \pi_i\ } P_i\) un rev. d'ordre 2 \(\Big|\) ou torseurs d'ordre 2 noté \(\sigma\)

\(\tilde\Gamma \xrightarrow{\ \pi\ } \Gamma\) un rev d'ordre 2

\(\forall i \in I\), un isom \(\tilde\Gamma \simeq \Gamma \times_{P_i} \tilde P_i\) de rev. de \(\Gamma\) […] (associé : \(\tilde p_i : \tilde\Gamma_i \to \tilde P_i\))

Soit \(\tilde P = \coprod_{i \in I} \tilde P_i\) (de cardinal \(3 \times 8 = 24\))

On introduit dans \(\tilde P\) une structure de graphe, \[\tilde x, \tilde y \text{ liés ssi } (x \neq y) \left| \begin{array}{l} \text{ou bien } \exists i \in I \text{ avec } x, y \in \tilde P_i,\ y = \sigma x \text{ i.e. } \pi_i(x) = \pi_i(y) \\ \text{ou bien } x \in \tilde P_i,\ y \in \tilde P_j \text{ avec } i \neq j, \text{ et } \exists \gamma \in \tilde\Gamma \text{ avec} \\ \qquad x = \tilde p_i(\gamma),\ y = \tilde p_j(\gamma) \end{array} \right.\] dans la seconde alternative, un début biffé, \(\exists \tilde\gamma \in \tilde\Gamma\) […], avant « \(x \in \tilde P_i\) », ajouté au-dessus

NB le \(\gamma\) est unique – déjà dit

Question

Soit \(i \neq j\). Soit \(x\) \(\forall \tilde x_i \in \tilde P_i\) et \(\forall y_j \in P_j\), \(\exists \tilde y_j \in \tilde P_j\) sur \(y_j\) lié \(= \tilde y_{ji}\) le dernier symbole, écrit sous la ligne, est surchargé ; lecture incertaine

\[\begin{array}{cc} \tilde P_i & \tilde P_j \\ \downarrow & \downarrow \\ P_i & P_j \end{array}\]

Axiome \(\tilde P_i \xrightarrow{\ \alpha_{ji}\ } \Gamma(\tilde P_j / P_j)\) est injectif, et fait son image est un torseur sous le sous-groupe \[\Gamma(P_j) = \operatorname{Ker}\bigl(\mathbb{F}_2^{P_j} \xrightarrow[\text{somme}]{} \mathbb{F}_2\bigr) \text{ de } \mathbb{F}_2^{P_j}\] (opérant sur \(\Gamma(\tilde P_j / P_j)\) qui devient un torseur sous celui-ci) et les deux images \(\alpha_{ji}\), \(\alpha_{jk}\) […] de \(\tilde P_i\) et \(\tilde P_k\) dans \(\Gamma(\tilde P_j / P_j)\) sont des images disjointes « somme » est lu sous la flèche, sous réserve

114\[\begin{array}{ccc} & P_3 & \\ & \big\uparrow & \\ & \Gamma & \\ \swarrow & & \searrow \\ P_1 & & P_2 \end{array} \qquad \begin{array}{ccc} & P_1 \times P_2 & \\ \swarrow & & \searrow \\ P_1 & & P_2 \\ a_1 & & a_2 \end{array} \qquad (x_1, x_2) \begin{array}{l} \xrightarrow{\ \sim\ } x_1 \\ \xrightarrow{\ \sim\ } x_2 \end{array}\]

\[\begin{array}{ccccc} & (x_1, x_2) & \xrightarrow{\ \sim\ } & (a_1, x_2) & \\ \swarrow{\scriptstyle \sim} & \big\downarrow{\scriptstyle \wr} & \swarrow & \big\downarrow{\scriptstyle \wr} & \\ x_1 & (x_1, a_2) & \xrightarrow{\ \sim\ } & (a_1, a_2) & \\ \Vert \ \swarrow{\scriptstyle \sim} & & & & \\ x_1 & & & & \end{array}\] la diagonale issue de \((a_1, x_2)\) porte \(x_2\), écrit sur une autre lettre ; le \(a_1\) du coin inférieur droit est repassé

\[\begin{array}{ccc} & X \times Y & \\ \swarrow & & \searrow \\ X & & Y \\ a & & b \end{array} \qquad x \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{x,y}\ } y \qquad \begin{array}{l} x \simeq b \\ y \simeq a \end{array} \qquad \begin{array}{l} E_a \simeq E_b \\ E_y \simeq E_a \end{array} \qquad E_a \simeq E_b \simeq E\] le \(X\) de \(X \times Y\) est repassé ; le \(E\) de \(E_y\) est écrit sur une autre lettre

\[\frac{\Gamma.16.2}{N} \qquad\qquad x \qquad\qquad \begin{array}{l} E_x \simeq E \\ E_y \simeq E \end{array}\] « \(\Gamma.16.2\) », souligné, au-dessus de « \(N\) » ; lecture du premier signe incertaine

\(\alpha_{xy}^{*} : E \to E\)

avec \(\alpha^{*}_{a,y} = \alpha^{*}_{x,b} = \mathrm{id}\) le premier mot est surchargé ; les indices du second membre sont d'une lecture incertaine

[…] […] […] […] pour \(\alpha^{*}_{xy}\) \((x, y) \in X \times Y - \lbrace a \rbrace \times Y - X \times \lbrace b \rbrace\) les \(X\) de la fin de ligne sont repassés

\[X \times Y \xrightarrow{\ \pi\ } Z \qquad E_{x,y} \simeq E_{\pi(x,y)} \qquad xy = x'y' = \pi\] devant \(xy = x'y'\), un signe biffé

\((e, \pi)\) \((\pi, e)\) \(y = x^{-1}\pi\)

\[\begin{array}{ccc} E_{e,\pi} & \overset{\varphi_{\pi;x}}{\simeq} & E_{x, x^{-1}\pi} \\ \wr & & \wr \\ E & & E \end{array} \qquad \notin \quad x \neq e\] le signe devant \(x \neq e\) est d'une lecture incertaine

\[\left. \begin{array}{r} n^2 - 2n + 1 \\ + (n-1) n \end{array} \right. = \underbrace{2n^2 - 3n + 1} \qquad\Big|\qquad \gamma \in \Gamma \qquad 21 / 42\] ces deux lignes sont encadrées par lui, en deux cases

\(\gamma \in \Gamma\) \(\alpha_i \in P_i\)

un petit triangle plein, tracé à l'encre épaisse

\(\bigl(\overline{x_1, a_2}\bigr)\)

\[\begin{array}{l} E_{x_1} \\ \ \wr \\ E_\gamma \end{array}\] après \(E_{x_1}\), \(= E_{x_2}\)

115\[\begin{array}{ccc} & P_3 & \\ & \big\uparrow & \\ & \Gamma \quad s & \\ \swarrow & & \searrow \\ P_1 & & P_2 \end{array} \qquad p_i(s) = a_i \qquad E = E_s \simeq E_{a_i}\]

\(x_1 \in P_1\)

\[\gamma \longmapsto (x_1, a_2) \qquad \begin{array}{c} E_\gamma \simeq E_{x_1} \\ \wr \\ E_{a_2} \\ \big\uparrow \wr \\ E = E_s \end{array} \qquad \begin{array}{l} E_{x_1} \simeq E \\ E_{x_2} \simeq E \\ E_{x_3} \simeq E \end{array}\]

\(E_\gamma \simeq E_{p_i(\gamma)}\)

\[E \xleftarrow{\ u\ } E_\gamma \xrightarrow{\ v\ } E \qquad E_\gamma \xrightarrow{\ w\ } E \qquad\qquad E_\gamma \to E \quad \ill{}\] les trois flèches issues de \(E_\gamma\) partent d'un même point, \(u\) vers la gauche, \(v\) vers le haut à droite, \(w\) vers le bas

\[\begin{array}{c} E_{x_2} \\ \nwarrow{\scriptstyle \sim} \\ E_\gamma \simeq E_{x_2} \\ \wr \\ E_{a_1} \\ \wr \\ E \end{array} \qquad \gamma \mapsto a_1, x_2, x_3\] le premier \(E_{x_2}\), en haut, est écrit sur une autre lettre ; un trait courbe relie le \(E\) du bas à la ligne \(E_\gamma \to E\)

\(\gamma \neq s\) \(\xi_1^\gamma + \xi_2^\gamma + \xi_3^\gamma = 0\) \(2n^2 - 1\)

\[\begin{array}{l} \tilde\Gamma \\ \big\downarrow \\ \Gamma \subset G \times G \times G \end{array} \qquad g_1 + g_2 + g_3 = 0 \qquad p_i^{-1}(a_i)\]

\[\Gamma = \underset{1}{\lbrace s \rbrace} \cup \underset{n^2 - 1}{\Gamma_1} \cup \Gamma_2 \cup \Gamma_3 \cup \Gamma^{*} \qquad n^2 - 3(n-1) - 1 = n^2 - 3n + 2\] le cardinal \(n^2 - 1\) est écrit au-dessus de \(\Gamma_1\) sur un chiffre biffé, et une flèche le reporte sur \(\Gamma_2\) ; le calcul de droite, avec une accolade, donne le cardinal de \(\Gamma^{*}\)

\[\Gamma_i = p_i^{-1}\lbrace a_i \rbrace - \lbrace s \rbrace \qquad \Gamma^{*} = \bigcap_i p_i^{-1}(P_i - \lbrace a_i \rbrace) = \Gamma - \bigcup \Gamma_i - \lbrace s \rbrace\]

\[\begin{array}{ll} x \xrightarrow{\ \sim\ } y & \\ 0 \to y - x & \\ 0 \to a & \\ 0 \to b & a \to a + b \end{array} \qquad \boxed{3 \cdot (n-1) + 2(n^2 - 3n + 2)}\] dans la case, un signe biffé après « \(3 \cdot\) » ; au-dessous, \(x^2\) […]

\(2n^2 - 3n + 1\) \(3n - 3 = 3(n - 1)\)

\(P_2^{*}, P_3^{*}, P_1^{*}\), \(\Gamma^{*}\)

\[\begin{array}{l} v u^{-1} = \xi \\ w u^{-1} = \eta \end{array} \qquad \left\lbrace \begin{array}{l} u v^{-1} = \xi^{-1} \\ w v^{-1} = \eta \xi^{-1} \end{array} \right.\]

116\(g_2 (\alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1}) g_3^{-1} = \alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1}\)

\((\alpha_2^{-1} g_2 \alpha_2)\, a_1\, (\alpha_3^{-1} g_3 \alpha_3)^{-1} = a_1\)

\(\alpha_3^{-1} g_3 \alpha_3 = \tilde a_1 (\alpha_2^{-1} g_2 \alpha_2)\)

\(\operatorname{int}(\alpha_3)\) \(g_3 = \bigl[\operatorname{int}(\alpha_3)\, \tilde a_1\, \operatorname{int}(\alpha_2)^{-1}\bigr](g_2)\)

\[\begin{array}{ccc} & P_1 & \\ & \big\uparrow & \\ & \Gamma & \\ \swarrow & & \nwarrow \\ P_2 & & P_3 \end{array} \qquad P_2 \times P_3 \text{ — } P_1 \qquad \begin{array}{ccccc} G & \times & G & \to & G \\ \big|{\scriptstyle \varphi} & & \big|{\scriptstyle \psi} & & \big|{\scriptstyle \chi} \\ e & \times & G & \to & G \end{array}\] les deux flèches latérales du tripode sont tracées l'une vers \(P_2\), l'autre vers \(\Gamma\) ; une croix de deux traits sépare \(P_2 \times P_3 \text{ — } P_1\) du diagramme de droite ; les traits verticaux, sans pointe, portent \(\varphi\), \(\psi\), \(\chi\) ; celui du milieu est surchargé (\(\varphi \cdot \psi\) ?) et le \(e\) de la dernière ligne repassé

\[\varphi(x) \psi(y) = \chi(xy) \qquad \varphi(1) = a,\ \psi(1) = b,\ \chi(1) = c \qquad ab = c\]

\(ab\) \(a\varphi(x)\) \(a\varphi\) \(\varphi(x)\psi(1)\)

\(\sigma(x)\varphi(x)\) \(xyz = 1\) \(\Longrightarrow\)

\(\varphi(x) \psi(y) \chi(z) = 1\) \(\varphi(1)\psi(1)\chi(1) = 1\) devant la première de ces égalités, une lettre, peut-être « \(t.\) »

\[\begin{array}{ccc} \beta\gamma^{-1} & \gamma\alpha^{-1} & \alpha\beta^{-1} \end{array} \qquad \begin{array}{l} abc = 1 \\ a = \beta\gamma^{-1} \quad b = \gamma\alpha^{-1} \\ abc = \beta\alpha^{-1} c \end{array}\] les trois produits de gauche sont surchargés ; au-dessus du premier, « \(H\) » ou un signe voisin. À droite, \(\beta\gamma^{-1} b\) devant la dernière ligne

\(\varphi'(1) = 1\), \(\psi'(1) = 1\), \(\chi'(1) = 1\) \(\operatorname{int}\varphi\) […]

\[\begin{array}{c|c|c} \tau_\beta^{-1} \varphi \tau_{\gamma^{-1}}' & \tau_{\gamma^{-1}} \psi \tau_\alpha' & \tau_{\alpha^{-1}} \chi \tau_\beta' \\ \Vert & \Vert & \Vert \\ \varphi' & \psi' & \chi' \end{array}\] les accents des \(\tau'\) sont surchargés, et leur lecture incertaine

\(xyz = 1 \Longrightarrow \varphi'(x)\psi'(y)\chi'(z) = 1\)

\(yz = 1 \Longrightarrow \psi'(y)\chi'(z) = 1\)

\(\chi'(z) = \psi'(y)^{-1}\)

\(\chi'(y^{-1}) = \psi'(y)^{-1}\)

\(\psi'(y) = \chi'(y^{-1})^{-1}\)

[…] \(\varphi' = \psi' = \chi'\)

\(\varphi\)

\[\bigl(\beta^{-1} \varphi(x) \gamma\bigr) \bigl(\gamma^{-1} \psi(y) \alpha\bigr) \bigl(\alpha^{-1} \chi(z) \beta\bigr) = 1\] la parenthèse ouvrante du premier facteur est de trop sur la page ; les deux derniers facteurs sont soulignés d'un trait

\[(u \times u \times u) \qquad (\tau_\beta u \tau_\gamma'^{-1},\ \tau_\gamma u \tau_\alpha'^{-1},\ \tau_\alpha u \tau_\beta'^{-1})\]

117

un triangle de sommets \(u\) (en bas à gauche), \(v\) (en bas à droite) et \(w\) (en haut) ; de chaque sommet partent quatre paires d'arêtes, dessinées comme des pointes effilées ouvertes vers l'extérieur. Autour de \(u\) : les paires \((\alpha_i, \alpha'_i)\), groupées par accolades en \(a_1, \dots, a_4\) ; autour de \(v\) : les paires \((\beta_i, \beta'_i)\), groupées en \(b_1, \dots, b_4\) ; autour de \(w\) : les paires \((\gamma_i, \gamma'_i)\), groupées en \(c_1, \dots, c_4\). Plusieurs étiquettes sont repassées

12 arêtes \[\left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 & \text{liés à} & \beta_4 \\ \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4 & \text{———} & \gamma_4 \\ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4 & \text{———} & \alpha_4 \end{array} \right.\] Le mot après « 12 », très abrégé, est d'une lecture incertaine, ici comme plus bas

\[12 \text{ arêtes} \left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_i \text{ lié à } \alpha'_i \\ \beta_i \text{ lié à } \beta'_i \\ \gamma_i \text{ lié à } \gamma'_i \end{array} \right. \quad 1 \leq i \leq 4 \qquad\qquad 12 \left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha'_i & \text{liés à} & \beta'_4 \\ \beta'_i & \text{———} & \gamma'_4 \\ \gamma'_i & \text{———} & \alpha'_4 \end{array} \right.\] la borne de « \(1 \leq i \leq 4\) » est surchargée. Dans la marge de droite, écrit en travers et relié par un trait : \(a_1 \wedge a_2 \wedge a_3 = 1\)

\[\left\lbrace \begin{array}{lll} \alpha_1 & \text{lié à} & \beta'_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4 \\ \alpha_2 & \text{———} & \beta_1, \beta'_2, \beta_3, \beta_4 \\ \alpha_3 & \text{———} & \beta_1, \beta_2, \beta'_3, \beta_4 \\ \alpha_4 & \text{———} & \beta'_1, \beta'_2, \beta'_3, \beta_4 \end{array} \right. \qquad \alpha_1 \text{ lié à } \beta_1, \beta'_2, \beta'_3, \beta'_4\] \(- - - -\)

\[\boxed{ \begin{array}{l} \alpha_1 \text{ lié à } \beta'_1 \\ \alpha_2 \text{ lié à } \beta_2 \end{array} } \quad \longleftarrow \quad \boxed{\alpha_1 \text{ lié à } \gamma'_4}\] la ligne de la dernière case est d'une lecture incertaine

\[\begin{array}{l} \alpha_1 \text{ lié à } \beta_4 \text{ et } \gamma'_4 \\ \beta_1 \text{ lié à } \gamma_4 \text{ et } \beta'_4 \\ \text{or} \ (\alpha_1 \text{ lié à } \beta_1) \Longrightarrow \end{array}\] l'indice du \(\beta_4\) de la première ligne est écrit sur une autre lettre ; le « or » de la dernière est lu sous réserve

deux sommets \(u\) et \(v\) reliés par une arête, avec \(w\) au-dessus de \(v\) ; de \(u\) partent deux arêtes, vers \(\alpha\) (marqué « \(-\alpha = \alpha\) ») et vers un sommet noté \(\alpha_2 = \alpha'_2\) ; de \(v\) partent trois arêtes, vers \(\beta'_1 = \beta''\), \(\beta'_1\) et \(\beta'' = \beta_2\) ; lecture des étiquettes incertaine

\[\left\lbrace \begin{array}{l} \alpha_1, \beta'_1, \gamma'_4 \\ \alpha_1, \beta_2, \gamma'_3 \\ \alpha'_2, \beta'_1, \gamma'_3 \\ \alpha'_2, \beta_2, \gamma_4 \end{array} \right.\] l'indice du \(\gamma'_3\) de la deuxième ligne est repassé

ce qui suit est écrit en travers de la page

\[P_1 \underset{G_3}{\wedge} (P_2 \underset{G_3}{\wedge} P_3)\] sous la formule, trois indices : \(G_3\), \(G_3\), \(G_2\) ; à côté, des colonnes de lettres (\(\alpha_4\), \(\beta_4\) …) liées par « liés à », trop surchargées pour être lues

\(g_2 a_1 g_3^{-1} = 1\)

\(g_2(\alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1}) g_3^{-1} = \alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1}\)

\((g_2 \alpha_2)(g_3 \alpha_3)^{-1} = \alpha_2 a_1 \alpha_3\) le second facteur est surchargé

\(g_3 \alpha_3 = \tilde a_1 (g_2 \alpha_2)\)

\(\tilde a_1(g_2)\, \tilde a_1(\alpha_2) = g_3 \alpha_3\)

\(g_3 =\)

un pentagone en forme de maison, partagé en triangles par des diagonales, quelques-unes fléchées

\[\tilde A_1(g_2)\, \alpha_3 = \tilde a_1(g_2)\, \tilde a_1(\alpha_2) \qquad \tilde A_1(g_2) = \tilde a_1(g_2)\, \tilde a_1(\alpha_2)\, \alpha_3^{-1}\] sous la seconde formule, une accolade vers un \(\Psi\), lu sous réserve

\[(g_1, g_2, g_3)(a_1, a_2, a_3) = (a_1, a_2, a_3)\] sous \((a_1, a_2, a_3)\), une accolade et « \(\in \Gamma\) »

deux lignes au bas de la page, écrites dans l'autre sens ; le dernier membre de la première ligne est surchargé et illisible : \[\left. \begin{array}{ll} g_2 a_1 = a_1 g_3 = \cdots & \text{i.e. } g_2 a_1 g_3^{-1} = a_1 \\ g_3 a_2 = a_2 g_1 = b_2 & \text{i.e. } g_3 a_2 g_1^{-1} = a_2 \\ g_1 a_3 = a_3 g_2 & \end{array} \right. \qquad \overset{?}{\Downarrow} \qquad a_1, a_2,\]

118\(u \in \operatorname{Aut} G\)

\(\tau_\beta u \tau_{\gamma^{-1}}'\) \(\tau_{\gamma'} u' \tau_{\gamma'}'^{-1}\) les indices de la seconde expression sont d'une lecture incertaine

\(\beta u(x) \gamma^{-1}\) \(u'(x \gamma'^{-1})\)

\(\beta u(x \gamma^{-1})\)

\(\beta' u'(\beta u(x \gamma^{-1}) \gamma'^{-1})\)

\(\beta' u'(\beta)\, \underline{u' u}(x)\) « \(u'u\) » est souligné par lui

\[\begin{array}{l} \varphi(1) = \beta\gamma^{-1} \\ \varphi'(x) = \beta^{-1} \varphi(x) \gamma \\ \psi'(x) = \gamma^{-1} \psi(x) \alpha \\ \chi'(x) = \alpha^{-1} \chi(x) \beta \end{array} \qquad \varphi'(x) \psi'(x) \chi'(x) = 0 \qquad \varphi = \beta u(x) \gamma^{-1}\] le \(\psi\) de la troisième ligne est écrit sur un \(\varphi\), le \(\alpha\) de la dernière sur une autre lettre ; les arguments de la ligne « \(= 0\) » sont d'une lecture incertaine

\(\operatorname{Aut}(G)\)

\(G \times G\)

\((u, \beta, \gamma, \beta\) \(u, \beta,\) \(u(x\gamma^{-1})\)

\((u, \alpha, \beta, \gamma)(x, y, z) =\) \(\tau_\beta \tau_\gamma'^{-1} u\) \((\tau_\beta \tau'_\gamma u)(\tau_{\beta'} \tau'_{\gamma'} u')\) au-dessus de la deuxième expression, un « \(u\) » ; son exposant est surchargé

\[(u, \alpha, \beta, \gamma) \begin{array}{l} \nearrow \\ \longrightarrow \tau_\gamma \tau'_\alpha u \\ \searrow \tau_\alpha \tau'_\beta u \end{array} \qquad \begin{array}{l} \beta u(x) \gamma^{-1} = x \\ \beta = \gamma \end{array}\] la flèche du haut, repassée à l'encre épaisse, ne porte rien

\(\beta u(\beta' u(x) \gamma'^{-1}) \gamma^{-1} =\) le premier facteur est surchargé et d'une lecture incertaine

\(\beta u(\beta') u u'(x) (\gamma u(\gamma'))^{-1}\) \(u(\alpha') = \alpha^{-1}\), \(\alpha' = u^{-1}(\alpha^{-1})\)

\[(u, \alpha, \beta, \gamma)(u', \alpha', \beta', \gamma') = (u u',\ \alpha u(\alpha'),\ \beta u(\beta'),\ \gamma u(\gamma'))\]

\[\bigl((u, \alpha, \beta, \gamma)(u', \alpha', \beta', \gamma')\bigr)(u'', \alpha'', \beta'', \gamma'') = (u u' u'',\ \alpha u(\alpha') u u'(\alpha''), \dots)\] \[(u, \alpha, \beta, \gamma)\bigl(\underbrace{\quad\quad\quad}_{u' u'',\ \alpha' u'(\alpha'') \dots}\bigr) \qquad (u u' u'',\ \alpha u(\alpha' u'(\alpha'')))\] dans la première ligne, l'accolade de la parenthèse intérieure est ajoutée d'un trait ; le \(\gamma\) du premier facteur est repassé

\((u, \alpha, \beta, \gamma)(u^{-1}, u^{-1}(\alpha)^{-1}, u^{-1}(\beta)^{-1}, u^{-1}(\gamma^{-1}))\)

119page de croquis et de formules éparses, sur un autre sujet ; on donne les formules dans l'ordre de la page et les croquis en bref

en haut, une courbe fermée allongée avec une double flèche ; un « \(V\) » dans un parallélogramme ; une ellipse traversée d'une courbe, hachurée sur un bord

\(\Gamma \to S^1\)

\(S^2 \times S^2 - \text{diag}\) \(S^2 \times S^2 / \pm 1\) \(\Delta\) ces deux lignes sont en partie couvertes d'encre répandue

\[S^2 \times S^2 - \text{diag} - \text{antidiag} = \mathbb{P} \qquad \begin{array}{c} \mathbb{C}^{*} \\ \big\downarrow \\ \mathbb{P} \\ \big\downarrow \\ S^2 \end{array} \qquad \begin{array}{c} \pi_1(S^1) = \mathbb{Z} \\ \big\downarrow{\scriptstyle 2} \\ \pi_1(\mathbb{C}^{*}) = \mathbb{Z} \\ \big\downarrow \\ \pi_1(\mathbb{P}) \\ \big\downarrow \\ \pi_1(S^2) = 0 \end{array}\] la lettre notée ici \(\mathbb{P}\) est repassée et d'une lecture incertaine

\((x, -y)\) \(y = x\) \(y = -x\) \(S^1 \to S^2\)

à gauche, plusieurs croquis en perspective : un cône de révolution avec une flèche de rotation ; un plan contenant une ellipse, des vecteurs \(a\), \(b\), \(-a\), \(u(t)\), \(v(t)\), \(\lambda(t)\) issus d'un même point ; une ellipse percée d'un axe vertical, hachurée. Au milieu, une sphère avec trois vecteurs issus du centre

\(\theta(t) : S^1 \to S^2\)

\(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1\) \(\to \mathbb{P}^1\)

\[X \times \qquad \begin{array}{l} E \to L \\ E \to L' \\ F \xrightarrow{\ \sim\ } L' \end{array} \qquad E \simeq L \oplus L' \qquad \boxed{p^2 = p \quad \operatorname{Tr} p = 1}\] un trait relie \(F\) à \(E\)

1-Hom\((L, F)\)

\[0 \to F \to E_p \to \mathcal{O}(1) \to 0 \qquad F \otimes \mathcal{O}(1) \simeq \mathcal{O} \qquad F \simeq \mathcal{O}(-1) \qquad \mathcal{O}(-2)\]

\(U^{+}\) \(U^{-}\) […] \(-U^{+} \subset U^{+}\) ? \(-U^{-}\)

en bas, plusieurs courbes fermées : un disque partagé en trois régions numérotées 1, 2, 3 ; deux ovales emboîtés, parcourus de flèches ; un petit cercle avec son centre, relié par un segment à un point \(a\)

\(\mathbb{R} u \neq \mathbb{R} a, \mathbb{R} b\)