les numéros au crayon des archivistes portés sur les feuillets de ce lot vont de 103 à 121 : ils ont deux unités d'avance sur la numérotation des pages du fac-similé, qui est celle suivie ici
N_2 \times N_3 \hookleftarrow N_1
\qquad\qquad
G \times G = \Gamma \hookleftarrow G
à gauche, les indices de N_2 et N_3 sont repassés sur d'autres chiffres ; la flèche verticale de N_1 et celle, à crochet, de G vers G \times G montent sur la page
G \times e = N_2 \qquad e \times G = N_3 \qquad \delta G = N_1
le \delta de \delta G est écrit sur une autre lettre
(g, h) =
(g, e) (e, h) (k, k)
(g, h)(k, k)(g, h)^{-1} = (g k g^{-1}, h k h^{-1})
\begin{array}{ccc}
G & & \\
\big\uparrow{\scriptstyle \mathrm{pr}_2} & & \\
G \times G & \xrightarrow{\ \mathrm{pr}_3\ } & G
\end{array}
les indices des deux projections sont repassés ; lecture \mathrm{pr}_2, \mathrm{pr}_3 incertaine. Au-dessous, \mathrm{pr}_1 est tracée comme un arc allant de G \times G vers G \times G/\delta G
G \times G/\delta G \simeq G \qquad \delta(g, h) = g h^{-1} \qquad (g, h) \mapsto g h^{-1}
après g h^{-1}, un signe biffé
g h^{-1} = g' h'^{-1} \iff
(g, h) \longmapsto (g, h, g h^{-1}) \qquad (g, h
\hookrightarrow (g, h^{-1}, h g^{-1})
la seconde flèche part, en crochet, de (g, h) ; le « (g, h » de droite reste inachevé
N_1 — N_2 N_2 \cdot N_1
le trait qui joint N_1 à N_2 traverse N_2 : biffure ou arête, la page ne tranche pas
N_2 opère sur N_1
c : N_2 \to N_1 1-cocycle x_2 \mapsto x_2 \cdot c(x_2)
N_2 \to N_2 \cdot N_1 \overset{\sim}{\longleftarrow} N_3
N_2 \cap N_3 = 1
x_2\, c(x_2) = y_2 x_2 = 1,\ y_2 = 1
x \cdot y\, c(y) c(x) = 1 \Longrightarrow x = 1
= xy z\, c(y) z = xy
c surjectif 1-cocycle surjectif…
\begin{array}{ccccc}
P & \times & Q & \to & R \\
e & & e & & e
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
Q \simeq R \\
P \simeq R
\end{array}
G \times G \to G
un tripode : \Gamma au centre, avec \gamma à sa gauche, et trois flèches issues de \Gamma, marquées p vers P (en haut, avec x), q vers Q (à droite, avec y), r vers R (à gauche, avec z)
p(\gamma) q(\gamma) r(\gamma) Q \simeq R
\left\lbrace
\begin{array}{l}
y \underset{p(\gamma)}{\sim} z \\
z \underset{q(\gamma)}{\rightsquigarrow} x
\end{array}
\right.
\iff
\begin{array}{l}
\exists\,(p(\gamma), y, z) \in \Gamma \\
(x, q(\gamma), z) \in \Gamma
\end{array}
\overset{?}{\Downarrow}
x \underset{r(\gamma)}{\sim} y \qquad (x, y, r(\gamma)) \in \Gamma
le y de la première ligne est écrit sur un x, le z repassé ; le \exists est repassé ; la flèche entre z et x est courbe
\begin{array}{ccc}
& \widetilde{P}_u/\sigma & \\
& \big\uparrow & \\
& \widetilde{\Gamma}/\sigma & \\
\swarrow & & \searrow \\
\widetilde{P}_w/\sigma & & \widetilde{P}_v/\sigma
\end{array}
un grand triangle de sommets \tilde a = p(\tilde\gamma) (en haut), \tilde b = q(\tilde\gamma) (en bas à droite), \tilde c = r(\tilde\gamma) (en bas à gauche), avec en son centre un petit triangle dont les côtés portent u, v, w ; chaque sommet du grand est relié au petit par un trait
a y z^{-1} = 1 \qquad x^{-1} b z = 1 \qquad x y^{-1} = 1
ces trois relations, dans la marge de droite, d'une lecture incertaine
(a, b, c) abc = 1
abc = 1, c = b^{-1} a^{-1}
\left.
\begin{array}{l}
a y z = 1 \\
x b z = 1
\end{array}
\right\rbrace
\overset{?}{\Downarrow}
\qquad a y = x b \qquad y = a^{-1} x b
x y c = 1 i.e. xy = x a^{-1} x b
x y z = z = (ay)^{-1} bca = 1
x = (bz)^{-1} = z^{-1} b^{-1} = a y b^{-1} = ayca x^{-1} a y c a = 1
y = x^{-1} c^{-1} = b y^{-1} a^{-1} c^{-1} = b (c a y)^{-1}
ligne très surchargée, précédée à gauche d'un signe interrogatif et de traits ; plusieurs membres intermédiaires biffés, où se lisent x y^{-1} c, aby, byc^{-1}b ; lecture d'ensemble incertaine
= b y^{-1} b^{-1} = \operatorname{int}(b)\, y^{-1}
b(b y^{-1} b^{-1}) c^{-1} y^{-1} a b y^{-1} = a y b^{-1}
\operatorname{int}(b) \bigl(\operatorname{int}(b)\, y^{-1}\bigr)^{-1}
\operatorname{int}(b)\, \bigl(\operatorname{int}(b)\bigr)(y)
b (b y^{-1} b)^{-1} b b y^{-1} = y b^{-1} (b y^{-1})^2 = 1
b b^{-1} y b^{-1} b
\begin{array}{ccc}
& G & \\
& \big\uparrow & \\
& \Psi(G) & \\
\swarrow & & \searrow \\
G & & G
\end{array}
devant \Psi(G), un mot biffé
à gauche, le tripode de la page 102 : \Gamma, avec \gamma_0, et ses trois flèches vers P (en haut), Q (à droite), R (à gauche). À côté de P sont écrits a_0, \bar r, \bar\pi, \bar r' ; à côté de Q, b_0, \tilde r', \tilde r'', \tilde\sigma ; sous R, c_0 et une liste très surchargée où se lisent r, r', r'', \pi, \sigma, r(r', r'')
(\bar r, b_0, r) (\bar\pi, b_0, \pi) (\bar r', b_0, r')
(a_0, \tilde r', r') (a_0, \tilde r'', r'') (a_0, \tilde\sigma, \sigma) \Longrightarrow
(\bar r, \tilde r', \pi) (\bar\pi, \tilde r'', \rho) (\bar r', \tilde r'', \sigma) \Big| (\bar r, \tilde\sigma, \rho) \iff
les biffures sont en croix ; devant (a_0, \tilde\sigma, \sigma), un début biffé, et le a_0 écrit au-dessus. Un trait vertical sépare les trois colonnes de gauche du triplet (\bar r, \tilde\sigma, \rho) ; le triplet (\bar\pi, \tilde r'', \rho) est entouré et relié par un trait courbe à la double flèche de droite
\begin{array}{l}
a_0, \bar r, \bar\pi, \bar r' \\
b_0, \tilde r', \tilde r'', \tilde\sigma \\
r, r', r'', \pi, \sigma, \rho
\end{array}
les six lettres \bar r, \tilde r', \bar\pi, \tilde r'', \bar r', \tilde\sigma sur une ligne ; sous les paires, des flèches verticales vers r, r', r'', r', entre parenthèses, une double flèche horizontale au milieu, et deux arcs descendant vers la ligne \pi \quad \rho \quad \sigma
\begin{array}{ll}
\alpha_1 = a_0 & \alpha_2 = \bar r \\
\beta_2 = \tilde r' & \beta_1 = \tilde\sigma \\
\gamma_2 = r' & \gamma_1 = \sigma
\end{array}
\begin{array}{l}
\underline{a_0}, \bar r, \bar\pi, \bar r' \\
\underline{b_0}, \underline{\tilde r'}, \tilde r'', \tilde\sigma \\
\underline{r'}, \underline{\pi}, \underline{\sigma}, \underline{\rho}
\end{array}
\qquad
\left\lbrace
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
\bar\pi & \bar r' & a_0 & a_0 & \bar r & \bar r' & \bar\pi & \bar r \\
b_0 & b_0 & \tilde r' & \tilde\sigma & \tilde r' & \tilde r'' & \tilde r'' & \tilde\sigma \\
\pi & r' & r' & \sigma & \pi & \sigma & \rho & \rho
\end{array}
\right.
deux colonnes biffées par hachures entre les colonnes (\bar r', \tilde r'', \sigma) et (\bar\pi, \tilde r'', \rho), et entre celle-ci et la dernière ; les soulignements sont les siens. Une flèche courbe va de ce tableau vers la ligne « tels que l'on ait » ci-dessous
a_0, b_0, \bar r, \tilde r'', \bar r',
\forall\;
\begin{array}{l}
a_0, \bar r, \bar r' \in P \\
b_0, \tilde r'' \in Q
\end{array}
\quad
\exists\;
\begin{array}{l}
\bar\pi \in P \\
\tilde r', \tilde\sigma \in Q \\
r', \pi, \sigma, \rho \in R
\end{array}
tels que l'on ait
après \exists, une première liste biffée par hachures, où se lisent r', \pi, \sigma, \rho
\begin{array}{l}
\bar\alpha_0 \\
\Vert \\
\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ \alpha_4 \\
\beta_1\ \beta_2\ \beta_3\ \beta_4 \\
\gamma_1\ \gamma_2\ \gamma_3\ \gamma_4
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
\alpha_1\ \alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_2\ \alpha_3\ \alpha_3\ \alpha_4\ \alpha_4 \\
\beta_1\ \beta_2\ \beta_1\ \beta_2 \\
\gamma_1\ \gamma_2\ \gamma_3\ \gamma_4
\end{array}
dans la seconde colonne, les indices de \beta_1, \beta_2 (troisième et deuxième) et de \gamma_2 sont repassés
\dim E_7 = 133 (126 racines)
\left.
\begin{array}{llll}
x_i\ y_i & 1 \leq i \leq 7 & 14 & \\
x_{ih} & 1 \leq i < h \leq 7 & 21 & x_{ih} = -x_{hi} \\
y_{ih} & 1 \leq i < h \leq 7 & 21 & y_{ih} = -y_{hi}
\end{array}
\right\rbrace
\ 56 \text{ indéterminées}
\sum_{i,j,h,k=1}^{7} x_i y_j x_{ih} y_{jk}
+ \frac{1}{4} \sum_{\lambda,\mu,\nu,\rho=1}^{7} x_{\lambda\mu} x_{\nu\rho} y_{\mu\nu} y_{\lambda\rho}
+ \sum \bigl( x_i y_{\lambda\mu} y_{\nu\rho} y_{\sigma\tau}
+ y_i x_{\lambda\mu} x_{\nu\rho} x_{\sigma\tau} \bigr)
les indices du premier terme sont d'une lecture incertaine (x_i y_j x_{ih} y_{jk} ou x_i y_j x_{ih} y_{jh}) ; un second signe \sum y est biffé
\lbrace i, \lambda, \mu, \nu, \rho, \sigma, \tau \rbrace permutation paire de [1, 7]
\mathfrak{L} — \operatorname{End} V_{56}
\sum (x_i\, dy_i - y_i\, dx_i) + \sum_{i,h=1}^{7} (x_{ih}\, dy_{ih} - y_{ih}\, dx_{ih})
la forme est soulignée par lui. La lettre gothique devant « End » est lue \mathfrak{L} sous réserve
\mathfrak{g} —
12
G groupe commutatif.
P_1 P_2 P_3 trois G-torseurs, s : G \times G \times G \to G
l'appl. somme
P_1 \times P_2 \times P_3 \supset \Gamma un sous-torseur sous \operatorname{Ker} s
[correspond à une trivialisation
P_1 \wedge P_2 \wedge P_3 \overset{t}{\simeq} \mathbb{1}_{\mathrm{Tors}(G)}]
On va montrer que le foncteur
\lbrace G, P_1, P_2, P_3, t \rbrace \longrightarrow (P_1, P_2, P_3, \Gamma)
de la catégorie des systèmes d'un groupe G, 3 torseurs
sous P_i sous G et une trivialisation t de leur produit
de Baer, vers les quadruplets de 3 ens P_1, P_2, P_3 et d'une
partie \Gamma de P_1 \times P_2 \times P_3, est pl. fidèle.
« G » est ajouté au-dessus de « groupe » ; « P_i » est écrit au-dessus de « torseurs » par-dessus un mot biffé
Notons p_i : \Gamma \to P_i, p_{ij} : \Gamma \to P_{ij} (i \neq j)
(1) Les p_{ij} sont des iso
Se donner (P_1, P_2, P_3;
On trouve ainsi
P_1 \xrightarrow{\ h_{23}\ } \operatorname{Isom}(P_2, P_3)
et de
P_1 \xrightarrow{\ h_{32}\ } \operatorname{Isom}(P_3, P_2)
déduit du précédent par symétrie
« Isom » est abrégé en un I suivi d'un trait ; « de » est suivi d'un signe d'égalité
u, \alpha, \beta
(u, 1, 1, 1)(1, \alpha, \beta, \gamma) = (u, u(\alpha), u(\beta), u(\gamma))(u^{-1}, 1, 1, 1)
« (u^{-1}, 1, 1, 1) » est aussi écrit au-dessus de la ligne, relié par un trait au membre de droite ; le premier 1 du second facteur est écrit sur une autre lettre
(1, \alpha, \beta, \gamma) (— = (1, u(\alpha), u(\beta), u(\gamma))
\operatorname{Aut}(G) \cdot (G \times G \times G) \longrightarrow
\mathfrak{S}_G \times \mathfrak{S}_G \times \mathfrak{S}_G
(u, \alpha, \beta, \gamma) \longmapsto
(\tau_\beta \tau'_\gamma u,\ \tau_\gamma \tau'_\alpha u,\ \tau_\alpha \tau'_\beta u)
les indices du premier composant sont repassés et d'une lecture incertaine ; on les donne selon la permutation circulaire des deux autres
noyau formé des (u, \alpha, \beta, \gamma) tels que
\alpha = \beta = \gamma (= g^{-1}), u = \operatorname{int}(g)
N = \lbrace (\operatorname{int}(g), g^{-1}, g^{-1}, g^{-1}) \mid g \in G \rbrace
la lettre du noyau, repassée, est lue N sous réserve
(\operatorname{int}(g), g^{-1})(\operatorname{int}(g'), g'^{-1}) = (\operatorname{int}(g)\operatorname{int}(g'),\ g(g'^{-1}) g^{-1})
membre de droite surchargé et barré d'un long trait oblique, avec au-dessous (\operatorname{int}(g'g)^{-1}, g'g) ; lecture incertaine
G.
(u, \alpha, \beta, \gamma)(\operatorname{int}(g), g^{-1}, g^{-1}, g^{-1})(u^{-1}, u^{-1}(\alpha^{-1}), u^{-1}(\beta^{-1}), u^{-1}(\gamma^{-1}))
(u \operatorname{int}(g), \alpha u(g)^{-1}, \beta u(g)^{-1}, \gamma u(g)^{-1})\ ( \quad )
\bigl(\underbrace{u \operatorname{int}(g) u^{-1}}_{\operatorname{int} u(g)},\
\alpha u(g)^{-1} (u \operatorname{int}(g))(u^{-1}(\alpha^{-1})), \dots \bigr)
\alpha u(g^{-1})\, \underbrace{u(g u^{-1}(\alpha^{-1}) g^{-1})}_{\alpha\, \alpha^{-1} u(g)^{-1}}
sous l'accolade, le premier \alpha est d'une lecture incertaine
G \cdot (G \times G \times G)
(\operatorname{Int} G) \cdot (G \times G \times G) \big/ \lbrace \operatorname{int}(g), g^{-1}, g^{-1}, g^{-1} \rbrace \simeq \Gamma(G)
\operatorname{Aut} G \cdot (G \times G \times G) \big/ \lbrace \quad \rbrace \simeq \hat\Gamma(G)
il écrit les quotients en soulignant le numérateur et en mettant le dénominateur au-dessous ; le second dénominateur est laissé vide. Dans la seconde ligne, un I majuscule est repassé sur « Aut » ; le \Gamma des deux membres de droite est repassé à l'encre plus foncée
moyennant , on peut au cas
où les G_i sont = groupe G, les P_i aux bitorseurs
triviaux sous G, G, \Gamma à
\Gamma_0 = \lbrace (x, y, z) \in G \times G \times G \mid xyz = 1 \rbrace
(qu'on peut résoudre en x, y, z —
\begin{array}{l}
x = z^{-1} y^{-1} \\
y = x^{-1} z^{-1} \\
z = y^{-1} x^{-1}
\end{array}
)
La condition (A) signifie que \Gamma est linéaire
\Gamma = \lbrace (g_2 g_3^{-1}, g_3 g_1^{-1}, g_1 g_2^{-1}) \in G \times G \times G \mid g_1, g_2, g_3 \in G \rbrace
la condition (A) n'est pas énoncée sur cette page
Si \gamma (= (a_1, a_2, a_3)) est remplacé par
\gamma' = \sigma(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)(\gamma)
= (\alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1},\ \alpha_3 a_2 \alpha_1^{-1},\ \alpha_1 a_3 \alpha_2^{-1})
les \alpha_i de cette formule sont écrits par-dessus des g_i
dans les iso. \tilde a_1, \tilde a_2, \tilde a_3 sont remplacés par
\operatorname{int}(g_3)^{-1} \tilde a_1 \operatorname{int}(g_2)
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\tilde a'_1 = \operatorname{int}(\alpha_3)\, \tilde a_1\, \operatorname{int}(\alpha_2)^{-1} \\
\tilde a'_2 = \operatorname{int}(\alpha_1)\, \tilde a_2\, \operatorname{int}(\alpha_3)^{-1} \\
\tilde a'_3 = \operatorname{int}(\alpha_2)\, \tilde a_3\, \operatorname{int}(\alpha_1)^{-1}
\end{array}
\right.
\begin{array}{ll}
x_2 \mapsto -x_2 - a_1 & \\
x_3 \mapsto -x_3 - a_2 & = x_2 + a_1 - a_2 \\
x_1 \mapsto -x_1 - a_3 & = -x_2 - a_1 + a_2 - a_3
\end{array}
\qquad
\left.
\begin{array}{l}
a_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
x_1 + a_2 + x_3 = 0 \\
x_1 + x_2 + a_3 = 0
\end{array}
\right| \Downarrow
les termes -a_1 et -a_3 de la dernière ligne sont soulignés par lui ; l'indice du x_2 est repassé
= x_2 ?
a_2 - x_2 = a_1 + x_2 + a_3 a_1 + a_2 + a_3 = 0
2 x_2 = a_2 - a_1 - a_3 = a_2 + a_2 = 2 a_2
2(x_2 - a_2) = 0 x + y + z = 0
-x y \mapsto -x - y
x -x y \to -y x \mapsto -x
\Delta \times \Delta \longrightarrow \Delta \qquad x \mapsto -x - y
\qquad
\begin{array}{l}
x + y + z = 0 \\
-x - y - z = 0
\end{array}
(x, y) \mapsto -x, -y \Delta \subset \operatorname{Aut}(\Delta)
les \Delta sont tracés à l'encre épaisse ; la ligne « -x - y - z = 0 » est peut-être biffée
(x, y) x \circ y = -x - y
(x \circ y) \circ z = x + y - z
x \circ (y \circ z) = -x + y + z
x \circ x = 2x
\begin{array}{c|cccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
u_0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
u_1 & 1 & 2 & 3 & 0 \\
u_2 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
u_3 & 3 & 0 & 1 & 2
\end{array}
plusieurs chiffres de ce tableau, dans l'en-tête et dans la ligne u_1, sont repassés à l'encre épaisse
x \ast y u_1, 0 x \circ y = x \ast y
0' x \ast y = z x \circ x' = 0 (x, x', 0)
u_1 \qquad
\begin{array}{c|cccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 3 & 2 \\
1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 0 & 1
\end{array}
les étiquettes des lignes sont données comme elles se lisent ; devant la deuxième, x \ast y, et un x devant la troisième. Le « 1 » de la troisième ligne, troisième colonne, est repassé
x \ast y x \circ y x \circ \bar x = 0
\overline{x \circ y} = x \ast y \bar x \ast \bar y = \overline{x \circ y}
sous x \circ \bar x = 0, « \bar 0 = 0 » ; au-dessus de \bar x \ast \bar y, un trait épais
x \ast y x \ast y
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x \ast y = y \ast x \\
0 \ast y = y \\
x \ast 0 = x \\
\tau_x \text{ bijectif}
\end{array}
\right.
entre \tau_x et « bijectif », quelques signes biffés
\tau_x
x \circ y = \overline{x \ast y} 0 \circ y = \bar y
(a_1, a_2, a_3) \in \Gamma
\qquad\qquad
x_1 \quad x_2 \quad x_3
la première lettre du triplet est repassée ; lecture des a_i incertaine
\begin{array}{ll}
o_1 : & x_2 \in P_2 \xrightarrow[\sim]{\ \tilde o_1\ } P_3 \\
& \qquad o_2 \qquad\ o_3 \\
& x_1 \in P_1 \xrightarrow[\sim]{\ \tilde o_2\ } P_3 \\
& \qquad o_1 \qquad\ o_2
\end{array}
\qquad
\tilde o_1(x_1) = \xi_1
le « o_1 : » de tête est repassé ; l'indice de \tilde o_2 est d'une lecture incertaine
x_1 = \tilde o_1^{-1}(
\begin{array}{l}
(o_1, o_2, o_3) \in \Gamma \\
(x_1, o_2, u_3) \in \Gamma \\
(o_1, x_2, v_3) \in \Gamma \\
\qquad w_3 \in P_3 \\
(x_1, x_2, y_3) \in \Gamma \\
(z_1, o_2, y_3) \in \Gamma \\
(z_1, w_3, p_3) \in \Gamma \\
(\ \cdot
\end{array}
devant w_3, une lettre biffée ; le y_3 de la cinquième ligne est écrit sur un autre signe
P_3 \times P_3 \longrightarrow P_3 \qquad
P_3 \times P_3 \times \Gamma \qquad
P_3 \times \Gamma
au crayon, un triangle dont les sommets sont P_1 (en haut, avec o_1), P_2 (à droite, avec o_2) et P_3 (à gauche, avec o_3) ; les côtés portent G_2 (entre P_1 et P_3), G_3 (entre P_1 et P_2) et G_1 (entre P_3 et P_2). Chaque sommet est cerné d'un arc
P_1 \underset{G_3}{\wedge} P_2 \underset{G_1}{\wedge} P_3 \simeq \mathbb{1}_{G_2}
\qquad
P_2 \wedge P_3 \wedge P_1 \simeq
sous le second membre, « G_2 » ; la seconde ligne reste inachevée
0, 1, 4 0\ 2
deux tableaux d'addition sur cinq éléments. Le premier, très repassé, porte en tête 0\ 1\ 2\ 3\ 4 et une première ligne 0\ 1\ 2\ 3\ 4 ; ses autres lignes, surchargées, ne se lisent pas sûrement. Au-dessous, un essai de colonnes inachevé (0\ 1\ 2\ 3\ 4, puis 1\ 2\ 3\ 4 …), lui aussi surchargé. Dans la marge, « 5 : »
\begin{array}{c|ccccc}
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 \\
3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2 \\
4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3
\end{array}
les zéros de la diagonale secondaire sont reliés par un trait de crayon oblique
à gauche, un premier triangle très surchargé, aux sommets P_1, P_2, P_3 et aux côtés marqués G_1, G_2, G_3, G'_3, dont les indices sont repassés, raturé de plusieurs traits ; à droite, le triangle mis au net : P_1 en haut, P_3 en bas à gauche, P_2 en bas à droite, les côtés marqués G_2 (entre P_1 et P_3), G_3 (entre P_1 et P_2), G_1 (entre P_3 et P_2)
\begin{array}{lll}
P_1 & \text{bitorseur sous} & G_2, G_3 \\
P_2 & \text{———} & G_3, G_1 \\
P_3 & \text{———} & G_1, G_2
\end{array}
\qquad
\begin{array}{lll}
\mathring{P}_1 & \text{bitorseur sous} & G_3, G_2 \\
\mathring{P}_2 & \text{———} & G_1, G_3 \\
\mathring{P}_3 & \text{———} & G_2, G_1
\end{array}
une flèche relie \mathring{P}_1 à la mention « opposé de P_1 »
P_1 \wedge P_2 \wedge P_3 bitorseur sous G_2, G_2 //
\mathring{P}_3 \wedge \mathring{P}_2 \wedge \mathring{P}_1 bitors. sous G_2, G_2
au-dessus du premier G_2, un mot abrégé, peut-être « etc. »
\begin{array}{lcl}
P_1 \wedge P_2 \wedge P_3 \overset{\varphi_2}{\simeq} \underset{G_2\ G_2}{\mathbb{1}}
& & \mathring{P}_3 \wedge \mathring{P}_2 \wedge \mathring{P}_1 \overset{\mathring\varphi_2}{\simeq} \underset{G_2\ G_2}{\mathbb{1}} \\
P_2 \wedge P_3 \wedge P_1 \overset{\varphi_3}{\simeq} \underset{G_3\ G_3}{\mathbb{1}}
& \Updownarrow & \mathring{P}_1 \wedge \mathring{P}_2 \wedge \mathring{P}_3 \overset{\mathring\varphi_3}{\simeq} \underset{G_3\ G_3}{\mathbb{1}} \\
P_3 \wedge P_1 \wedge P_2 \overset{\varphi_1}{\simeq} \underset{G_1\ G_1}{\mathbb{1}}
& & \mathring{P}_2 \wedge \mathring{P}_1 \wedge \mathring{P}_3 \overset{\mathring\varphi_1}{\simeq} \underset{G_1\ G_1}{\mathbb{1}}
\end{array}
plusieurs indices sont repassés, et devant le premier \mathbb{1} de chaque colonne un signe biffé. Dans la colonne de droite, l'ordre des facteurs est celui de la page, qui ne suit pas une seule règle
\Gamma \subset P_1 \times P_2 \times P_3 \quad \text{tel que } \Gamma \neq \emptyset
« \Gamma \neq \emptyset » est ajouté au-dessus de « tel que »
\left.
\begin{array}{l}
x = (x_1, x_2, x_3) \in P_1 \times P_2 \times P_3 \\
g_1 \in G_1,\ g_2 \in G_2,\ g_3 \in G_3
\end{array}
\right.
\Longrightarrow
\left(
\begin{array}{l}
(x_1, x_2, x_3) \in \Gamma \\
\iff (g_2 x_1 g_3^{-1}, g_3 x_2 g_1^{-1}, g_1 x_3 g_2^{-1}) \in \Gamma
\end{array}
\right)
NB G_1 \times G_2 \times G_3 opère sur P_1 \times P_2 \times P_3 par
\sigma(g_1, g_2, g_3) \cdot (x_1, x_2, x_3) = (g_2 x_1 g_3^{-1}, g_3 x_2 g_1^{-1}, g_1 x_3 g_2^{-1})
et l'axiome ci-dessus signifie que \Gamma est une
orbite sous G_1 \times G_2 \times G_3
\Gamma \xrightarrow{\ p_i\ } P_i \quad \text{induit par } \mathrm{pr}_i
sous la flèche p_i, un mot biffé
Supposons fixé un pt \gamma \in \Gamma, d'où des pts a_i = p_i(\gamma),
d'où des iso.
\begin{array}{ll}
G_2 \xrightarrow{\ \tilde a_1\ } G_3 & g_2 \text{ et } g_3 \text{ se correspondent ssi } g_2 a_1 = a_1 g_3 \\
G_3 \xrightarrow{\ \tilde a_2\ } G_1 & g_3 \text{ et } g_1 \ \text{---} \qquad g_3 a_2 = a_2 g_1 \\
G_1 \xleftrightarrow{\ \tilde a_3\ } G_2 & g_1 \text{ et } g_2 \ \text{---} \qquad g_1 a_3 = a_3 g_2
\end{array}
la troisième flèche porte une pointe à chaque bout ; le dernier exposant de la page, après g_2, est surchargé
C'est une opér. transitive d'iso.,
Soit V vectoriel de dim 2 sur \mathbb{F}_2
I un ens de card. 3
(P_i)_{i \in I} une famille de V-torseurs
\bigwedge_{i \in I} P_i \overset{\varphi}{\simeq} \mathbb{1} (torseur trivial) un isom.
\Gamma \subset \prod_{i \in I} P_i formé des (x_i)_{i \in I} tels que
\bigwedge_{i \in I} x_i = 0
(card. : 16 éléments)
\forall i \in I, \tilde P_i \xrightarrow{\ \pi_i\ } P_i un rev. d'ordre 2
\Big| ou torseurs d'ordre 2 noté \sigma
\tilde\Gamma \xrightarrow{\ \pi\ } \Gamma un rev d'ordre 2
\forall i \in I, un isom
\tilde\Gamma \simeq \Gamma \times_{P_i} \tilde P_i de rev. de \Gamma
Soit \tilde P = \coprod_{i \in I} \tilde P_i (de cardinal 3 \times 8 = 24)
On introduit dans \tilde P une structure de graphe,
\tilde x, \tilde y \text{ liés ssi } (x \neq y)
\left|
\begin{array}{l}
\text{ou bien } \exists i \in I \text{ avec } x, y \in \tilde P_i,\ y = \sigma x \text{ i.e. } \pi_i(x) = \pi_i(y) \\
\text{ou bien } x \in \tilde P_i,\ y \in \tilde P_j \text{ avec } i \neq j, \text{ et } \exists \gamma \in \tilde\Gamma \text{ avec} \\
\qquad x = \tilde p_i(\gamma),\ y = \tilde p_j(\gamma)
\end{array}
\right.
dans la seconde alternative, un début biffé, \exists \tilde\gamma \in \tilde\Gamma , avant « x \in \tilde P_i », ajouté au-dessus
NB le \gamma est unique – déjà dit
Question
Soit i \neq j. Soit x \forall \tilde x_i \in \tilde P_i et \forall y_j \in P_j,
\exists \tilde y_j \in \tilde P_j sur y_j lié = \tilde y_{ji}
le dernier symbole, écrit sous la ligne, est surchargé ; lecture incertaine
\begin{array}{cc}
\tilde P_i & \tilde P_j \\
\downarrow & \downarrow \\
P_i & P_j
\end{array}
Axiome \tilde P_i \xrightarrow{\ \alpha_{ji}\ } \Gamma(\tilde P_j / P_j) est injectif,
et fait son image est un torseur sous le sous-groupe
\Gamma(P_j) = \operatorname{Ker}\bigl(\mathbb{F}_2^{P_j} \xrightarrow[\text{somme}]{} \mathbb{F}_2\bigr)
\text{ de } \mathbb{F}_2^{P_j}
(opérant sur \Gamma(\tilde P_j / P_j) qui devient un torseur
sous celui-ci) et les deux images \alpha_{ji}, \alpha_{jk}
\begin{array}{ccc}
& P_3 & \\
& \big\uparrow & \\
& \Gamma & \\
\swarrow & & \searrow \\
P_1 & & P_2
\end{array}
\qquad
\begin{array}{ccc}
& P_1 \times P_2 & \\
\swarrow & & \searrow \\
P_1 & & P_2 \\
a_1 & & a_2
\end{array}
\qquad
(x_1, x_2)
\begin{array}{l}
\xrightarrow{\ \sim\ } x_1 \\
\xrightarrow{\ \sim\ } x_2
\end{array}
\begin{array}{ccccc}
& (x_1, x_2) & \xrightarrow{\ \sim\ } & (a_1, x_2) & \\
\swarrow{\scriptstyle \sim} & \big\downarrow{\scriptstyle \wr} & \swarrow & \big\downarrow{\scriptstyle \wr} & \\
x_1 & (x_1, a_2) & \xrightarrow{\ \sim\ } & (a_1, a_2) & \\
\Vert \ \swarrow{\scriptstyle \sim} & & & & \\
x_1 & & & &
\end{array}
la diagonale issue de (a_1, x_2) porte x_2, écrit sur une autre lettre ; le a_1 du coin inférieur droit est repassé
\begin{array}{ccc}
& X \times Y & \\
\swarrow & & \searrow \\
X & & Y \\
a & & b
\end{array}
\qquad
x \xrightarrow[\sim]{\ \alpha_{x,y}\ } y
\qquad
\begin{array}{l}
x \simeq b \\
y \simeq a
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
E_a \simeq E_b \\
E_y \simeq E_a
\end{array}
\qquad
E_a \simeq E_b \simeq E
le X de X \times Y est repassé ; le E de E_y est écrit sur une autre lettre
\frac{\Gamma.16.2}{N}
\qquad\qquad
x
\qquad\qquad
\begin{array}{l}
E_x \simeq E \\
E_y \simeq E
\end{array}
« \Gamma.16.2 », souligné, au-dessus de « N » ; lecture du premier signe incertaine
\alpha_{xy}^{*} : E \to E
avec \alpha^{*}_{a,y} = \alpha^{*}_{x,b} = \mathrm{id}
le premier mot est surchargé ; les indices du second membre sont d'une lecture incertaine
pour \alpha^{*}_{xy}
(x, y) \in X \times Y - \lbrace a \rbrace \times Y - X \times \lbrace b \rbrace
les X de la fin de ligne sont repassés
X \times Y \xrightarrow{\ \pi\ } Z
\qquad
E_{x,y} \simeq E_{\pi(x,y)}
\qquad
xy = x'y' = \pi
devant xy = x'y', un signe biffé
(e, \pi) (\pi, e) y = x^{-1}\pi
\begin{array}{ccc}
E_{e,\pi} & \overset{\varphi_{\pi;x}}{\simeq} & E_{x, x^{-1}\pi} \\
\wr & & \wr \\
E & & E
\end{array}
\qquad \notin \quad x \neq e
le signe devant x \neq e est d'une lecture incertaine
\left.
\begin{array}{r}
n^2 - 2n + 1 \\
+ (n-1) n
\end{array}
\right.
= \underbrace{2n^2 - 3n + 1}
\qquad\Big|\qquad
\gamma \in \Gamma \qquad 21 / 42
ces deux lignes sont encadrées par lui, en deux cases
\gamma \in \Gamma \alpha_i \in P_i
un petit triangle plein, tracé à l'encre épaisse
\bigl(\overline{x_1, a_2}\bigr)
\begin{array}{l}
E_{x_1} \\
\ \wr \\
E_\gamma
\end{array}
après E_{x_1}, = E_{x_2}
\begin{array}{ccc}
& P_3 & \\
& \big\uparrow & \\
& \Gamma \quad s & \\
\swarrow & & \searrow \\
P_1 & & P_2
\end{array}
\qquad
p_i(s) = a_i
\qquad
E = E_s \simeq E_{a_i}
x_1 \in P_1
\gamma \longmapsto (x_1, a_2)
\qquad
\begin{array}{c}
E_\gamma \simeq E_{x_1} \\
\wr \\
E_{a_2} \\
\big\uparrow \wr \\
E = E_s
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
E_{x_1} \simeq E \\
E_{x_2} \simeq E \\
E_{x_3} \simeq E
\end{array}
E_\gamma \simeq E_{p_i(\gamma)}
E \xleftarrow{\ u\ } E_\gamma \xrightarrow{\ v\ } E
\qquad
E_\gamma \xrightarrow{\ w\ } E
\qquad\qquad
E_\gamma \to E \quad \ill{}
les trois flèches issues de E_\gamma partent d'un même point, u vers la gauche, v vers le haut à droite, w vers le bas
\begin{array}{c}
E_{x_2} \\
\nwarrow{\scriptstyle \sim} \\
E_\gamma \simeq E_{x_2} \\
\wr \\
E_{a_1} \\
\wr \\
E
\end{array}
\qquad
\gamma \mapsto a_1, x_2, x_3
le premier E_{x_2}, en haut, est écrit sur une autre lettre ; un trait courbe relie le E du bas à la ligne E_\gamma \to E
\gamma \neq s \xi_1^\gamma + \xi_2^\gamma + \xi_3^\gamma = 0 2n^2 - 1
\begin{array}{l}
\tilde\Gamma \\
\big\downarrow \\
\Gamma \subset G \times G \times G
\end{array}
\qquad
g_1 + g_2 + g_3 = 0
\qquad
p_i^{-1}(a_i)
\Gamma = \underset{1}{\lbrace s \rbrace} \cup \underset{n^2 - 1}{\Gamma_1} \cup \Gamma_2 \cup \Gamma_3 \cup \Gamma^{*}
\qquad
n^2 - 3(n-1) - 1 = n^2 - 3n + 2
le cardinal n^2 - 1 est écrit au-dessus de \Gamma_1 sur un chiffre biffé, et une flèche le reporte sur \Gamma_2 ; le calcul de droite, avec une accolade, donne le cardinal de \Gamma^{*}
\Gamma_i = p_i^{-1}\lbrace a_i \rbrace - \lbrace s \rbrace
\qquad
\Gamma^{*} = \bigcap_i p_i^{-1}(P_i - \lbrace a_i \rbrace) = \Gamma - \bigcup \Gamma_i - \lbrace s \rbrace
\begin{array}{ll}
x \xrightarrow{\ \sim\ } y & \\
0 \to y - x & \\
0 \to a & \\
0 \to b & a \to a + b
\end{array}
\qquad
\boxed{3 \cdot (n-1) + 2(n^2 - 3n + 2)}
dans la case, un signe biffé après « 3 \cdot » ; au-dessous, x^2
2n^2 - 3n + 1 3n - 3 = 3(n - 1)
P_2^{*}, P_3^{*}, P_1^{*}, \Gamma^{*}
\begin{array}{l}
v u^{-1} = \xi \\
w u^{-1} = \eta
\end{array}
\qquad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
u v^{-1} = \xi^{-1} \\
w v^{-1} = \eta \xi^{-1}
\end{array}
\right.
g_2 (\alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1}) g_3^{-1} = \alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1}
(\alpha_2^{-1} g_2 \alpha_2)\, a_1\, (\alpha_3^{-1} g_3 \alpha_3)^{-1} = a_1
\alpha_3^{-1} g_3 \alpha_3 = \tilde a_1 (\alpha_2^{-1} g_2 \alpha_2)
\operatorname{int}(\alpha_3) g_3 = \bigl[\operatorname{int}(\alpha_3)\, \tilde a_1\, \operatorname{int}(\alpha_2)^{-1}\bigr](g_2)
\begin{array}{ccc}
& P_1 & \\
& \big\uparrow & \\
& \Gamma & \\
\swarrow & & \nwarrow \\
P_2 & & P_3
\end{array}
\qquad
P_2 \times P_3 \text{ — } P_1
\qquad
\begin{array}{ccccc}
G & \times & G & \to & G \\
\big|{\scriptstyle \varphi} & & \big|{\scriptstyle \psi} & & \big|{\scriptstyle \chi} \\
e & \times & G & \to & G
\end{array}
les deux flèches latérales du tripode sont tracées l'une vers P_2, l'autre vers \Gamma ; une croix de deux traits sépare P_2 \times P_3 \text{ — } P_1 du diagramme de droite ; les traits verticaux, sans pointe, portent \varphi, \psi, \chi ; celui du milieu est surchargé (\varphi \cdot \psi ?) et le e de la dernière ligne repassé
\varphi(x) \psi(y) = \chi(xy)
\qquad
\varphi(1) = a,\ \psi(1) = b,\ \chi(1) = c
\qquad
ab = c
ab a\varphi(x) a\varphi \varphi(x)\psi(1)
\sigma(x)\varphi(x) xyz = 1 \Longrightarrow
\varphi(x) \psi(y) \chi(z) = 1 \varphi(1)\psi(1)\chi(1) = 1
devant la première de ces égalités, une lettre, peut-être « t. »
\begin{array}{ccc}
\beta\gamma^{-1} & \gamma\alpha^{-1} & \alpha\beta^{-1}
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
abc = 1 \\
a = \beta\gamma^{-1} \quad b = \gamma\alpha^{-1} \\
abc = \beta\alpha^{-1} c
\end{array}
les trois produits de gauche sont surchargés ; au-dessus du premier, « H » ou un signe voisin. À droite, \beta\gamma^{-1} b devant la dernière ligne
\varphi'(1) = 1, \psi'(1) = 1, \chi'(1) = 1 \operatorname{int}\varphi
\begin{array}{c|c|c}
\tau_\beta^{-1} \varphi \tau_{\gamma^{-1}}' & \tau_{\gamma^{-1}} \psi \tau_\alpha' & \tau_{\alpha^{-1}} \chi \tau_\beta' \\
\Vert & \Vert & \Vert \\
\varphi' & \psi' & \chi'
\end{array}
les accents des \tau' sont surchargés, et leur lecture incertaine
xyz = 1 \Longrightarrow \varphi'(x)\psi'(y)\chi'(z) = 1
yz = 1 \Longrightarrow \psi'(y)\chi'(z) = 1
\chi'(z) = \psi'(y)^{-1}
\chi'(y^{-1}) = \psi'(y)^{-1}
\psi'(y) = \chi'(y^{-1})^{-1}
\varphi
\bigl(\beta^{-1} \varphi(x) \gamma\bigr) \bigl(\gamma^{-1} \psi(y) \alpha\bigr) \bigl(\alpha^{-1} \chi(z) \beta\bigr) = 1
la parenthèse ouvrante du premier facteur est de trop sur la page ; les deux derniers facteurs sont soulignés d'un trait
(u \times u \times u)
\qquad
(\tau_\beta u \tau_\gamma'^{-1},\ \tau_\gamma u \tau_\alpha'^{-1},\ \tau_\alpha u \tau_\beta'^{-1})
un triangle de sommets u (en bas à gauche), v (en bas à droite) et w (en haut) ; de chaque sommet partent quatre paires d'arêtes, dessinées comme des pointes effilées ouvertes vers l'extérieur. Autour de u : les paires (\alpha_i, \alpha'_i), groupées par accolades en a_1, \dots, a_4 ; autour de v : les paires (\beta_i, \beta'_i), groupées en b_1, \dots, b_4 ; autour de w : les paires (\gamma_i, \gamma'_i), groupées en c_1, \dots, c_4. Plusieurs étiquettes sont repassées
12 arêtes
\left\lbrace
\begin{array}{lll}
\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 & \text{liés à} & \beta_4 \\
\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4 & \text{———} & \gamma_4 \\
\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4 & \text{———} & \alpha_4
\end{array}
\right.
Le mot après « 12 », très abrégé, est d'une lecture incertaine, ici comme plus bas
12 \text{ arêtes}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\alpha_i \text{ lié à } \alpha'_i \\
\beta_i \text{ lié à } \beta'_i \\
\gamma_i \text{ lié à } \gamma'_i
\end{array}
\right.
\quad 1 \leq i \leq 4
\qquad\qquad
12
\left\lbrace
\begin{array}{lll}
\alpha'_i & \text{liés à} & \beta'_4 \\
\beta'_i & \text{———} & \gamma'_4 \\
\gamma'_i & \text{———} & \alpha'_4
\end{array}
\right.
la borne de « 1 \leq i \leq 4 » est surchargée. Dans la marge de droite, écrit en travers et relié par un trait : a_1 \wedge a_2 \wedge a_3 = 1
\left\lbrace
\begin{array}{lll}
\alpha_1 & \text{lié à} & \beta'_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4 \\
\alpha_2 & \text{———} & \beta_1, \beta'_2, \beta_3, \beta_4 \\
\alpha_3 & \text{———} & \beta_1, \beta_2, \beta'_3, \beta_4 \\
\alpha_4 & \text{———} & \beta'_1, \beta'_2, \beta'_3, \beta_4
\end{array}
\right.
\qquad
\alpha_1 \text{ lié à } \beta_1, \beta'_2, \beta'_3, \beta'_4
- - - -
\boxed{
\begin{array}{l}
\alpha_1 \text{ lié à } \beta'_1 \\
\alpha_2 \text{ lié à } \beta_2
\end{array}
}
\quad \longleftarrow \quad
\boxed{\alpha_1 \text{ lié à } \gamma'_4}
la ligne de la dernière case est d'une lecture incertaine
\begin{array}{l}
\alpha_1 \text{ lié à } \beta_4 \text{ et } \gamma'_4 \\
\beta_1 \text{ lié à } \gamma_4 \text{ et } \beta'_4 \\
\text{or} \ (\alpha_1 \text{ lié à } \beta_1) \Longrightarrow
\end{array}
l'indice du \beta_4 de la première ligne est écrit sur une autre lettre ; le « or » de la dernière est lu sous réserve
deux sommets u et v reliés par une arête, avec w au-dessus de v ; de u partent deux arêtes, vers \alpha (marqué « -\alpha = \alpha ») et vers un sommet noté \alpha_2 = \alpha'_2 ; de v partent trois arêtes, vers \beta'_1 = \beta'', \beta'_1 et \beta'' = \beta_2 ; lecture des étiquettes incertaine
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\alpha_1, \beta'_1, \gamma'_4 \\
\alpha_1, \beta_2, \gamma'_3 \\
\alpha'_2, \beta'_1, \gamma'_3 \\
\alpha'_2, \beta_2, \gamma_4
\end{array}
\right.
l'indice du \gamma'_3 de la deuxième ligne est repassé
ce qui suit est écrit en travers de la page
P_1 \underset{G_3}{\wedge} (P_2 \underset{G_3}{\wedge} P_3)
sous la formule, trois indices : G_3, G_3, G_2 ; à côté, des colonnes de lettres (\alpha_4, \beta_4 …) liées par « liés à », trop surchargées pour être lues
g_2 a_1 g_3^{-1} = 1
g_2(\alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1}) g_3^{-1} = \alpha_2 a_1 \alpha_3^{-1}
(g_2 \alpha_2)(g_3 \alpha_3)^{-1} = \alpha_2 a_1 \alpha_3
le second facteur est surchargé
g_3 \alpha_3 = \tilde a_1 (g_2 \alpha_2)
\tilde a_1(g_2)\, \tilde a_1(\alpha_2) = g_3 \alpha_3
g_3 =
un pentagone en forme de maison, partagé en triangles par des diagonales, quelques-unes fléchées
\tilde A_1(g_2)\, \alpha_3 = \tilde a_1(g_2)\, \tilde a_1(\alpha_2)
\qquad
\tilde A_1(g_2) = \tilde a_1(g_2)\, \tilde a_1(\alpha_2)\, \alpha_3^{-1}
sous la seconde formule, une accolade vers un \Psi, lu sous réserve
(g_1, g_2, g_3)(a_1, a_2, a_3) = (a_1, a_2, a_3)
sous (a_1, a_2, a_3), une accolade et « \in \Gamma »
deux lignes au bas de la page, écrites dans l'autre sens ; le dernier membre de la première ligne est surchargé et illisible :
\left.
\begin{array}{ll}
g_2 a_1 = a_1 g_3 = \cdots & \text{i.e. } g_2 a_1 g_3^{-1} = a_1 \\
g_3 a_2 = a_2 g_1 = b_2 & \text{i.e. } g_3 a_2 g_1^{-1} = a_2 \\
g_1 a_3 = a_3 g_2 &
\end{array}
\right.
\qquad \overset{?}{\Downarrow}
\qquad a_1, a_2,
u \in \operatorname{Aut} G
\tau_\beta u \tau_{\gamma^{-1}}' \tau_{\gamma'} u' \tau_{\gamma'}'^{-1}
les indices de la seconde expression sont d'une lecture incertaine
\beta u(x) \gamma^{-1} u'(x \gamma'^{-1})
\beta u(x \gamma^{-1})
\beta' u'(\beta u(x \gamma^{-1}) \gamma'^{-1})
\beta' u'(\beta)\, \underline{u' u}(x)
« u'u » est souligné par lui
\begin{array}{l}
\varphi(1) = \beta\gamma^{-1} \\
\varphi'(x) = \beta^{-1} \varphi(x) \gamma \\
\psi'(x) = \gamma^{-1} \psi(x) \alpha \\
\chi'(x) = \alpha^{-1} \chi(x) \beta
\end{array}
\qquad
\varphi'(x) \psi'(x) \chi'(x) = 0
\qquad
\varphi = \beta u(x) \gamma^{-1}
le \psi de la troisième ligne est écrit sur un \varphi, le \alpha de la dernière sur une autre lettre ; les arguments de la ligne « = 0 » sont d'une lecture incertaine
\operatorname{Aut}(G)
G \times G
(u, \beta, \gamma, \beta u, \beta, u(x\gamma^{-1})
(u, \alpha, \beta, \gamma)(x, y, z) = \tau_\beta \tau_\gamma'^{-1} u
(\tau_\beta \tau'_\gamma u)(\tau_{\beta'} \tau'_{\gamma'} u')
au-dessus de la deuxième expression, un « u » ; son exposant est surchargé
(u, \alpha, \beta, \gamma)
\begin{array}{l}
\nearrow \\
\longrightarrow \tau_\gamma \tau'_\alpha u \\
\searrow \tau_\alpha \tau'_\beta u
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
\beta u(x) \gamma^{-1} = x \\
\beta = \gamma
\end{array}
la flèche du haut, repassée à l'encre épaisse, ne porte rien
\beta u(\beta' u(x) \gamma'^{-1}) \gamma^{-1} =
le premier facteur est surchargé et d'une lecture incertaine
\beta u(\beta') u u'(x) (\gamma u(\gamma'))^{-1}
u(\alpha') = \alpha^{-1}, \alpha' = u^{-1}(\alpha^{-1})
(u, \alpha, \beta, \gamma)(u', \alpha', \beta', \gamma') = (u u',\ \alpha u(\alpha'),\ \beta u(\beta'),\ \gamma u(\gamma'))
\bigl((u, \alpha, \beta, \gamma)(u', \alpha', \beta', \gamma')\bigr)(u'', \alpha'', \beta'', \gamma'')
= (u u' u'',\ \alpha u(\alpha') u u'(\alpha''), \dots)
(u, \alpha, \beta, \gamma)\bigl(\underbrace{\quad\quad\quad}_{u' u'',\ \alpha' u'(\alpha'') \dots}\bigr)
\qquad
(u u' u'',\ \alpha u(\alpha' u'(\alpha'')))
dans la première ligne, l'accolade de la parenthèse intérieure est ajoutée d'un trait ; le \gamma du premier facteur est repassé
(u, \alpha, \beta, \gamma)(u^{-1}, u^{-1}(\alpha)^{-1}, u^{-1}(\beta)^{-1}, u^{-1}(\gamma^{-1}))
page de croquis et de formules éparses, sur un autre sujet ; on donne les formules dans l'ordre de la page et les croquis en bref
en haut, une courbe fermée allongée avec une double flèche ; un « V » dans un parallélogramme ; une ellipse traversée d'une courbe, hachurée sur un bord
\Gamma \to S^1
S^2 \times S^2 - \text{diag} S^2 \times S^2 / \pm 1 \Delta
ces deux lignes sont en partie couvertes d'encre répandue
S^2 \times S^2 - \text{diag} - \text{antidiag} = \mathbb{P}
\qquad
\begin{array}{c}
\mathbb{C}^{*} \\
\big\downarrow \\
\mathbb{P} \\
\big\downarrow \\
S^2
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\pi_1(S^1) = \mathbb{Z} \\
\big\downarrow{\scriptstyle 2} \\
\pi_1(\mathbb{C}^{*}) = \mathbb{Z} \\
\big\downarrow \\
\pi_1(\mathbb{P}) \\
\big\downarrow \\
\pi_1(S^2) = 0
\end{array}
la lettre notée ici \mathbb{P} est repassée et d'une lecture incertaine
(x, -y) y = x y = -x S^1 \to S^2
à gauche, plusieurs croquis en perspective : un cône de révolution avec une flèche de rotation ; un plan contenant une ellipse, des vecteurs a, b, -a, u(t), v(t), \lambda(t) issus d'un même point ; une ellipse percée d'un axe vertical, hachurée. Au milieu, une sphère avec trois vecteurs issus du centre
\theta(t) : S^1 \to S^2
\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1
X \times
\qquad
\begin{array}{l}
E \to L \\
E \to L' \\
F \xrightarrow{\ \sim\ } L'
\end{array}
\qquad
E \simeq L \oplus L'
\qquad
\boxed{p^2 = p \quad \operatorname{Tr} p = 1}
un trait relie F à E
1-Hom(L, F)
0 \to F \to E_p \to \mathcal{O}(1) \to 0
\qquad
F \otimes \mathcal{O}(1) \simeq \mathcal{O}
\qquad
F \simeq \mathcal{O}(-1)
\qquad
\mathcal{O}(-2)
U^{+} U^{-}
en bas, plusieurs courbes fermées : un disque partagé en trois régions numérotées 1, 2, 3 ; deux ovales emboîtés, parcourus de flèches ; un petit cercle avec son centre, relié par un segment à un point a
\mathbb{R} u \neq \mathbb{R} a, \mathbb{R} b