Cote n° 69, pages 81–100

Cote n° 69 · batch 5 · pages 81–100 · Transcription · Graphes cubiques : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.).
Datation de l’inventaire : [à partir de 1976]
Édition de démonstration

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81Un fragment de graphe cubique à faces pentagonales (six pentagones autour d'un pentagone central, à la manière d'un dodécaèdre déplié). Les arêtes portent les numéros 1 à 5 ; les trois arêtes numérotées 3 qui forment un couplage sont repassées en gras. Les sommets sont marqués : au pentagone central, $\xi_{12}$, $\xi_{45}$, $\xi_{23}$, $\xi_{51}$, $\xi_{34}$ ; à l'extérieur, $\xi_{35}$, $\xi_{4,12}$ , $\xi_{13}$, $\xi_{25}$, $\xi_{41}$, $\xi_{5,3}$, $\xi_{2,4}$, $\xi_{3,1}$, $\xi_{52}$, $\xi_{14}$. En haut à gauche, un petit pentagone raturé, une de ses arêtes en gras. En haut à droite, isolé, le nombre « 156 » (lecture douteuse : peut-être « 146 »).

82\[\delta'_1-\delta_1=\delta'_2-\delta_2 \qquad \delta_1\neq\delta_2,\ \delta_1\neq\delta'_1\] \[\underbrace{\delta'_1+\delta_2}=\underbrace{\delta'_2+\delta_1}\] $\delta'_1$ lié à $\delta_2$, $\delta'_2$ lié à $\delta_1$ ; $\delta'_1$ lié ni à $\delta'_2$ ni à $\delta_1$. \[\xi_{ij}=\eta-\xi_i-\xi_j \qquad \sum\xi_{ij}=15\eta-5\xi=5\lambda\]

Différences de sommetsLe mot est souligné. Les quatre alinéas qui suivent sont réunis par un trait vertical et ouverts chacun par un signe cerclé, qu'on lit « 0 », « 6 », « 1 » et « b » .

(0) sommets non liés se groupent par paquets de 6 parmi les $27\cdot16$ possibilités initiales, d'où $72$ « racines » (de carré $2$) ;

(6) sommets liés donnent $27\cdot10=270$ autres éléments distincts⌜ correspondant aux arêtes⌝, […] (de carré $-4$), […] en tout $342$Lecture douteuse : on peut lire aussi « 392 » ; $72+270=342$. éléments (de carré […]) ;

(1) sommets non liés (distincts) se groupent par paquets de $5$ parmi les $27\cdot10/2=135$ possib. initiales, […] d'où $27$ […] (de carré $2$) correspondant aux $27$ triangles sommets […] […] les […] triangles adjacents, et les autres […] \[\delta\longmapsto\lambda-\delta\]

(b) pointés sommets non liés (⌜correspondant aux bicycles pointés⌝) donnent $27\cdot16/2=216$ autres sommets distincts, formant avec les précédents $27+216=243$ éléments. \[\xi_i\longmapsto\underbrace{\xi'_j,\ \xi_{ij}}\qquad \xi'_j-\xi_{ij}=2\eta-\xi+\xi_h\] \[\struck{=\eta-\xi_i-\xi_j}\qquad \struck{\ill{}}\ -\xi_i\] \[\xi'_i\longmapsto\underbrace{\xi_j,\ \xi_{ij}}\qquad \xi_h+\xi_{ij}=\eta-\xi_j\] La ligne biffée du milieu est incertaine : les deux dernières égalités sont écrites en marge d'un trait vertical et les indices $h$ se lisent mal. […] […] ou $3$ sommets

83Page dactylographiée, recto de la feuille dont la page 82 est le verso ; rien de sa main n'y figure. C'est l'annonce d'un enseignement de l'Université des Sciences et Techniques du Languedoc, Mathématiques, D.E.U.G. A première année, option mathématique, 1976, intitulé « Polyèdres réguliers » : un « cours » pour étudiants « disposés à trouver de l'amusement en faisant des choses mathématiques très élémentaires et "visuelles" », sans travaux dirigés ni exercices notés, en deux parties développées l'une par A. Grothendieck, l'autre par C. Contou-Carrère. Programme : I) polyèdres — polygones plans, division du plan en deux parties (« th. de Jordan »), cas convexe, polyèdres convexes et leurs facettes, combinatoire d'un polyèdre convexe, dualité des polyèdres convexes ayant un point intérieur donné ; II) les cinq polyèdres réguliers (« solides platoniciens ») — descriptions métrique, combinatoire, éventuellement « projective » en termes de configurations de points, droites et plans, étude de leurs groupes de symétrie et liens avec les groupes symétriques $\mathfrak{S}_3$, $\mathfrak{S}_4$, $\mathfrak{S}_5$ et leurs sous-groupes. Les lettres des groupes symétriques semblent tracées à la main dans les blancs de la frappe.

84Feuille de listing tenue en largeur. En haut à gauche, une chaîne d'équivalences et d'inclusions, qu'on lit de bas en haut. \[\begin{array}{c} A_3\ \text{ép.}\\ \uparrow{\scriptstyle 4}\\ A_4\ \text{ép.}\sim A_5\ \text{ép.}\sim\text{hex.\ ép.}\sim \text{prisme épinglé}\sim\text{carrous.\ ép.}\\ \uparrow{\scriptstyle 3}\\ \text{carrousel ép.}\sim\text{pent.\ ép.}\\ \uparrow{\scriptstyle 2}\\ (\text{\uncertain{repère}}) \end{array}\] « ép. » abrège « épinglé » ; « carrousel » est lu d'après « bicarrousel », écrit en clair à la page 87.

Au milieu de la feuille, un grand dessin : un triangle dont les trois sommets sont marqués $\xi_{56}=\omega$ (en haut), $\xi_{12}=$ […] (en bas à gauche) et $\xi_{34}=$ […] (en bas à droite) ; de chacun part un éventail d'arêtes vers des sommets marqués d'indices doubles ou simples, primés ou non, certains cerclés, noircis ou encadrés. À gauche, les extrémités sont groupées par des accolades $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ et portent notamment $\xi_1=\alpha_4$ , $\xi'_2=\alpha'_1$, $\xi_{35}$, $\xi_{46}=\alpha'_3$ , $\xi_{36}$, $\xi_{45}=\alpha_4$ ; en haut, les accolades $c_1$, …, $c_4$, avec $\xi_{23}$, $\xi_{14}$, $\xi_{13}$, $\xi'_3$, $\xi_6$, $\xi'_6$, $\beta_1=\xi_5$ ; à droite et en bas, les accolades $b_1$, …, $b_4$, avec $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$, $\beta_4$, $\xi_{51}$, $\xi_{52}$, $\xi_{26}$, $\xi_3$, $\xi_4$, $\xi'_3$, $\xi'_4$. Beaucoup d'indices, écrits serré et surchargés, se lisent mal.

Sous le dessin, à gauche : \[a_1+a_4=\alpha_1,\qquad a_2+a_4=\alpha_2,\qquad a_3+a_4=\alpha_3\]

À droite, en haut, un prisme triangulaire de sommets $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$, quatre arêtes repassées en gras ; au-dessous, des lignes brisées de cinq, de trois et de deux points. Plus bas, deux croquis : un triangle posé sur un rectangle ouvert par le bas, avec une hauteur tracée ; un quadrilatère surmonté d'un triangle, ses sommets inférieurs reliés en croix.

À droite, en colonne : \[\begin{array}{ll} \text{\emph{prismes épinglés}}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot1=[W]:6 &\\ \text{prismes} & [W]:72\\[4pt] \text{A}_5\ \text{épinglés}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot1=[W]:6 &\\ \text{A}_5 & [W]:12\\[4pt] \text{A}_4\ \text{épinglé}\ \ 27\cdot10\cdot8^{\,4}=[W]:\uncertain{6} &\\ \text{A}_4 & [W]:12\\[4pt] \text{A}_3\ \text{épinglés}\ \ 27\cdot10\cdot8=[W]:24 &\\ \quad(\text{autres que les triangles épinglés}) &\\ \text{A}_3\ \text{ép.} & [W]:48\\[4pt] \text{carrousels}\ \text{\add{simples}}\ \text{épinglés}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot3=[W]:2 &\\ \text{carrousels}\ \text{\add{simples}} & [W]:12 \end{array}\] Dans « A$_4$ épinglé », un « 4 » est écrit au-dessus du $8$ (facteur ajouté ou exposant), le $6$ est surchargé, et le $12$ de la ligne suivante est repassé sur un autre chiffre ; dans « A$_3$ épinglés », l'expression entre crochets est surchargée et se lit mal : $[W]$ est la lecture probable. Les titres « prismes épinglés » et « carrousels … épinglés » sont soulignés et reliés par un trait à leur ligne.

85Feuille de listing, presque vide, dessins à l'encre bleue tracés la feuille tournée. En haut, deux bandes de triangles accolés (des « anneaux » de triangles, comme la ceinture d'un antiprisme), leurs sommets numérotés $1,2,3,4,5$ d'un côté et $1',2',3',4',5'$ de l'autre, certaines arêtes repassées en gras ; à côté, un carré avec ses deux diagonales. Au-dessous, une troisième bande analogue, sommets $1'',2',3',4',5'$ . En bas, un éventail : un triangle et quatre arêtes issues d'un même sommet, avec des marques d'indices illisibles.

86\[\xi_1\quad\xi_{14}\quad\xi_4\quad\xi'_2 \qquad\qquad \xi_1\ \big|\ \xi'_2\quad\xi'_3\quad\xi_{31}\quad\xi_{12}\] En haut à droite, un croquis de polyèdre en perspective (prisme ou antiprisme), quelques arêtes repassées. À gauche, des segments étiquetés $\delta$, $\delta'$, $\delta''$ (tracés en zigzag), puis $\delta'''$, $\delta^{IV}$. \[\delta=\xi_1,\ \delta'=\xi_2,\ \delta''=\xi'_2 ;\qquad \delta'''=\xi_{14},\ \delta^{IV}=\xi_{25}\] \[\delta\delta'=0\quad\delta\delta''=1\quad \delta\delta'''=1\quad\delta\delta^{IV}=0\] L'indice de $\delta'$ est surchargé. \[\delta\delta'\ \struck{\bmod 2}\equiv \operatorname{card}(\delta\cap\delta') +\operatorname{card}\bigl(\varepsilon(\delta)\cap\varepsilon(\delta')\bigr)\] Une rangée de croquis : un segment pointé en son milieu ; un éventail de trois traits ; deux barres qui encadrent une croix ($|\times|$) ; trois barres parallèles ; deux barres et un triangle allongé ; une barre, une diagonale, une barre. Au-dessous, à gauche, un triangle et un éventail dont les sommets sont marqués $x$, $1$, $2$, $3$, $3'$, $4$, et un hexagone de sommets $\xi_3$, $\xi_{23}$, $\xi_2$, $\xi_{12}$, $\xi_1$, $\xi_{31}$, repassé, avec des cordes ; à côté, un pentagone. \[\begin{array}{ll} \text{hex.\ pointés \add{orientés}}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot1\cdot1=2^6\cdot3^3\cdot5=[W]:6 &\\ \text{hexagones} & [W]:72\\[4pt] \text{pentagones pointés \add{orientés}}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot3=2^6\,3^4\,5=[W]:2 &\\ \text{pentagones} & [W]:20\\[4pt] \text{carr.\ pointés}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4=[W]:6 &\\ \text{carr.} & [W]:48 \end{array}\] « orientés » est ajouté au-dessus de la ligne aux deux premières entrées. Le $6$ de la première ligne et le $72$ de la deuxième sont repassés sur d'autres chiffres ; sous « $27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot1 \cdot1$ », de petites accolades groupent les facteurs deux à deux. À gauche, une étoile marquée $A$, et au-dessus $\mathbb{F}_2^{\,i}$ et un trait vertical. \[\mathbb{F}_2^{A}\quad P\qquad x,y\qquad x-y=u\in\mathbb{F}_2^{A}\simeq\mathfrak{P}(A)\] formé des $\alpha\in A$ sur lesquels […] […] \[x,y\ \text{liés}\iff \begin{cases} x\ \text{et}\ y\ \text{de même parité}\ (\text{i.e.\ card}\ u\ \text{pair}) :\ x-y=\mathbb{1}^{A}\\ \quad(\text{i.e.}\ E(x)\cap\tilde A\ \text{et}\ E(y)\cap\tilde A\ \text{sont complém.})\\ x\ \text{et}\ y\ \text{de parité contr.}\ (\text{i.e.\ card}\ u\ \text{impair}) :\ \struck{\ill{}}\ \operatorname{card}u=3 \end{cases}\] En face, reliés à la première ligne par une accolade, « $E(x)\cap\tilde A$ » et « $E(y)\cap\tilde A$ », suivis de « sont distincts » biffé ; devant « $x-y$ », un mot biffé […]. \[x,y\ \text{non liés}\iff \begin{cases} x\ \text{et}\ y\ \text{de même parité i.e.\ card}\ u\ \text{pair} :\ x-y\neq\mathbb{1}\\ \quad(\text{i.e.}\ \struck{\ill{}}\ E(x)\cap\tilde A\cap E(y)\cap\tilde A\neq\emptyset)\\ x\ \text{et}\ y\ \text{de parité contr.} :\ \operatorname{card}u=1 \end{cases}\] Sous la dernière ligne, un complément illisible commençant par « i.e. ». À gauche, au milieu, la mention « Conditions sur $\xi\in\tilde A$ » et « $\xi$ liés à […] », avec $\lambda_{12}$, $\lambda_{23}$, $\lambda_4$ ; au-dessous, une étoile dont le sommet central est relié à des sommets marqués $\lambda_{56}$, $\xi_1$, $\xi'_1$, $\xi_2$, $\xi'_2$, $\lambda_{34}$, $\lambda_{12}$, $\lambda_{35}$, $\lambda_{46}$, $\lambda$ . En bas, des segments parallèles joignant des points à des croix. \[x,y\ \text{liés}\iff\operatorname{card}u=3\ \text{ou}\ 4 \qquad x,y\ \text{non liés}\iff\operatorname{card}u=0,1\ \text{ou}\ 2\] Sous le « $0$ », un renvoi : « $x=y$ ». \[\begin{array}{l} \text{triangles pointés orientés}\ \ 27\cdot10=270=[W]: \uncertain{2^3\cdot3^4}\\ \text{triangles}:\ \dfrac{27\cdot10}{6}=45=[W]:\uncertain{2^7\cdot3^2} \end{array}\] Les exposants sont repassés et se lisent mal ; ceux de la première ligne sont rejetés dans la marge.

87En haut, quatre petits rectangles ouverts d'un côté, points et croix aux coins ; à gauche, un « i » et un croquis de triangles et de quadrilatère, un éventail en bas, quelques sommets marqués d'une croix. Au milieu, un « mobile » : un triangle de sommet $\xi_{56}$, de base $\xi_{12}$–$\xi_{34}$, d'où pendent des arêtes vers $\xi_1$, $\xi_2$, $\xi_6$, $\xi_5$, $\xi_3$, $\xi_4$, avec au centre, cerclé, $\xi_{24}$ . Plus bas, $\xi_{46}$ et $\xi_{62}$ (surchargé), et trois éventails de trois branches. \[\begin{array}{l} \text{bicarrousel épinglé}\\ \text{\ill{} du bicarrousel}\\ \quad\text{d'indice}\ 48=2^4\cdot3\\ \text{nb des bicarrousels}\ \ 2^3\,3^3\,5=6^3\cdot5=1080\\ \quad=\underbrace{72}_{\text{\uncertain{racines}}}\cdot \underbrace{15}_{\text{nb de \ill{} d'une \uncertain{racine}, 6}} \end{array}\] Le $15$ est repassé en gras. $\xi$ […] […] des paires […] $i>\ell$ Un petit croquis : des sommets $\xi_1$, $\xi_4$, $\xi_{62}$ et d'autres marqués d'indices illisibles, avec deux arêtes en croix, en partie biffé. \[\frac{8!}{2!\,\struck{\ill{}}\,2!}\cdot \binom{6}{2}\binom{4}{2}\,\frac{1}{3!} =\frac{15\cdot6}{6}=15\]

89Positions relatives de deux racines (ou de deux bases)

Soient $r,r'$ deux racines, correspondant à des bases […] $b,b'$ \[\begin{array}{lll} r'=r & \iff r\cdot r'=-2 & \iff b=b'\\ r'=-r & \iff r\cdot r'=2 & \iff b'\ \text{associé à}\ b\\ r'\ \text{orth.\ à}\ r & \iff rr'=0 & \iff \operatorname{card}(b\cap b')=1\\ \widehat{r,r'}=60^\circ & \iff rr'=-1 & \iff \operatorname{card}(b\cap b')=3\ \ \struck{\text{\ill{}}}\\ \widehat{r.r'}=120^\circ & \iff rr'=1 & \iff \operatorname{card}(b\cap b')=0\ \ \text{\add{et $b,b'$ non associés}} \end{array}\] Le $1$ de la troisième ligne est souligné ; le $3$ de la quatrième et le $0$ de la dernière sont repassés en gras, le $0$ sur un chiffre qui pourrait être $4$ ; après chacun, des mots biffés, le dernier remplacé par l'ajout, au-dessus, « et $b,b'$ non associés ».

Pour une racine $r$ donnée, il y a \[\begin{array}{ll} 1 & \text{racine égale à}\ r,\ \text{savoir}\ r\\ 1 & \text{racine opposée à}\ r,\ \text{savoir}\ -r\\ 30 & \text{racines orthogonales à}\ r\\ 20 & \struck{\text{\ill{}}}\ \text{faisant un angle de}\ 60^\circ\ \text{avec}\ r\\ 20 & \text{-----}\ \ 120^\circ\ \ \text{-----}\ \ r \end{array}\] \[\begin{array}{lll} \text{couples de racines} & \text{égales} & 72\\ & \text{opposées} & 72/2=36\\ \text{couples de racines orthogonales} && 72\cdot15=1080\\ \text{couples de racines} & 60^\circ & 72\cdot10=720\\ & 120^\circ & 72\cdot10=720 \end{array}\] Plans des ⌜paires de⌝ racines non orthogonales (= plans spéciaux) $720:6=120$ […]

90Le haut de la page est barré d'une grande croix et d'un trait ondulé ; on le donne tel qu'il se lit. $x$ — $W$ $x-s_r(x)$ \[s_r(x)=x+(r,x)\,r \qquad s_r(x)-x=(r,x)\,r \qquad (r,x)\in\lbrace0,1,-1\rbrace\] \[(\struck{x-y})\ \ s_rx-x=\qquad \struck{x=wx}\qquad wx=x+\rho\quad \rho\ \text{\uncertain{vecteur}}\] \[s_rwx=s_rx+s_r\rho=x+\underbrace{(x,r)}_{\varepsilon}\,r+s_r\rho\] a) $(x,r)=0$ i.e. $s_rx=x$ […]

b) $(x,r)=1$ […] $s_rwx-x=s_r\rho+r$ \[\struck{r_0-2r_1-r_2+r_6}\qquad r_1+2r_2+3r_3+2r_4+r_5+3r_6 \qquad \alpha_1\] La croix passe aussi sur la première de ces deux expressions, qui semble visée ; la seconde n'est touchée que par son bras. \[3\xi_i-\lambda=3\xi_i-3\eta+\xi=-3\eta+\sum_{\alpha\neq i}\xi_\alpha+4\xi_i \qquad 3\uncertain{\eta_i}-\lambda\] \[\tilde\xi_i=3\xi_i-\lambda= \underbrace{3(\xi_i-\xi_1)}_{-3(r_1+r_2+\cdots+r_{i-1})} +\underbrace{(\uncertain{3\xi_1-\eta})}_{-r_6+2r_1+r_2} +\underbrace{\eta-\lambda}_{-r_0}\] \[-\tilde\xi_i=3(r_1+\cdots+r_{i-1})\ \struck{\ill{}}\ -r_2+r_6 +(r_1+2r_2+3r_3)+2r_4+r_5+2r_6\] Cette ligne est très surchargée : le début de la parenthèse et les termes qui suivent $3(r_1+\cdots+r_{i-1})$ sont biffés et repris, avec un signe « $-$ » souscrit. \[\begin{aligned} -\tilde\xi_1&=-r_1+4r_2+3r_3+2r_4+r_5\ \struck{+r_6}\ +3r_6\\ -\tilde\xi_2&=2r_1+4r_2+3r_3+2r_4+r_5+3r_6\\ -\tilde\xi_3&=2r_1+4r_2+3r_3+2r_4+r_5+3r_6\\ -\tilde\xi_4&=2r_1+4r_2+6r_3+2r_4+r_5+3r_6\\ -\tilde\xi_5&=2r_1+4r_2+6r_3+5r_4+r_5+3r_6\\ -\tilde\xi_6&=2r_1+\uncertain{9}r_2+6r_3+5r_4+4r_5+3r_6 \end{aligned}\] Le coefficient de $r_2$ est, à chaque ligne, un chiffre repassé en gras sur un autre (on lit $4$, sur $1$ ou $2$ aux deux premières lignes, et plutôt $9$ à la dernière) ; au $2r_1$ des lignes 2 à 6, le $2$ est lui aussi repassé. \[\struck{-\tilde\eta=\ill{}\,r_1+(r_2+r_3)+6r_4+3r_5+9r_6}\] \[\struck{\tilde\eta=3\eta-3\lambda=-3(\lambda-\eta)=-3r_0}\] \[-\tilde\eta=+3r_1+6r_2+9r_3+6r_4+3r_5+6r_6\]

91Page entière barrée de deux longs traits ondulés ; elle se lit d'un bout à l'autre et on la donne sans marquer la rature ligne à ligne. \[\begin{array}{l} a+3b=-2\\ 3a+\uncertain{9}b=0\\ \struck{2a=}\quad a=-\tfrac{6}{3}\\ \uncertain{8}a=2\qquad a=\tfrac14\qquad b= \end{array} \qquad \begin{array}{l} a+3b+\\ a+3b+2,\ a+3b+3\\ a+3b,\ a+3b+1\\ \quad\parallel\\ a+3b'-3,\ a+3b'-2 \end{array}\] \[2\quad -1\qquad a+3b=-1\qquad \left.\begin{array}{l}a+3b=-1\\ 3a+b=0\end{array}\right\rbrace\quad x=b\bigl(\xi-\tfrac{\uncertain{5}}{3}\bigr)+\xi_i\] \[x=a\cdot\eta+b\xi+\xi_i\qquad \struck{\ill{}\,6b}\qquad x=a\eta+b'\xi-\xi_i\qquad a=2b\qquad \struck{3a+6b}\quad \underline{3a+6b=0}\]

(1) Les numéros (1) à (4) sont cerclés. \[x=a\eta+b\xi+\xi_i \qquad \begin{array}{l}3a+6b=0\\ a+2b=0\\ a=-2b\end{array} \qquad \begin{array}{ll} \alpha)\ a+3b=-1 & \text{i.e.}\ \boxed{b=-1,\ a=2}\quad 2\eta-\xi+\xi_i=\boxed{\xi'_i}\\ \beta)\ a+3b=0 & \text{i.e.}\ b=0,\ a=0\quad \boxed{\xi_i} \end{array}\]

(2) \[x=a\eta+b\xi-\xi_i\qquad \lambda_0=\eta-\frac{\xi}{3}\] \[\text{prenons}\ \ x'=2\lambda_0-x=\struck{\ill{}}\,2\eta-\tfrac23\xi -a\eta-b\xi+\xi_i =\underbrace{(2-a)}_{a'}\eta +\underbrace{\bigl(-\tfrac23-b\bigr)}_{b'}\xi+\xi_i\] on est donc ramené au cas précédent […]

(3) \[x=a\eta+b\xi-\xi_i-\xi_j\qquad 3a+6b=3\quad a+2b=1\quad a=1-2b\qquad a+3b=1\quad \boxed{b=0,\ a=1}\quad \boxed{\xi_{ij}}\]

(4) \[x=a\eta+b\xi+\xi_i+\xi_j\] on se ramène […] […] […] par \[\delta\sim-(\delta-\lambda_0)+\lambda_0=2\lambda_0-\delta =\tfrac23\lambda-\delta=\delta'\] \[\begin{array}{l} r_1\longmapsto-r_5\\ r_2\longmapsto-r_4\\ r_3\longmapsto-r_3\\ r_4\longmapsto-r_2\\ r_5\longmapsto-r_1\\ \hline r_6\longmapsto r_{456}=r_6+3(\ill{})+2r_4+r_5 \end{array}\] \[V_{ijh}=\eta-\xi_i-\xi_j-\xi_h \qquad \eta-\xi_3-\xi_5-\xi_{\uncertain{6}}=\eta-\xi_1-\xi_2-\xi_3 +(\xi_1-\xi_4)+(\xi_2-\xi_5)+\xi_{\ill{}}-\xi_{\ill{}}\] Au-dessus de $V_{ijh}$, une fraction $\tfrac23$ ; sous $r_6$, un renvoi « $r_{12}$ » . Le bas de la feuille est déchiré et la fin des deux dernières lignes est perdue.

92Le haut de la page est très raturé ; les deux premières lignes sont barrées de traits obliques. \[\xi'_i=\struck{\ill{}}\ r_0+\xi_i \qquad \tilde\xi'_i=\tilde r_0+\tilde\xi_i=3r_0+\tilde\xi_i \qquad \lbrace i\mapsto\ill{}\rbrace\qquad\lambda\] \[-\tilde\xi'_i=-\tilde\xi_i-3r_0=-\tilde\xi_i\ \struck{-3(r_1+r_2+r_3)-6r_4-3r_5-6r_6}\ =-\tilde\xi_i-\tilde\eta\] À droite, en colonne : « $\xi'_i-\xi_i=r_0$ », puis « $3\xi'_i=\struck{\xi_i}\,\ill{}\,3r_0$ », repris en « $3\xi'_i=3\xi_i+3r_0=3\tilde\xi_i-\tilde\eta$ » et « $-3\tilde\xi'_i=-\tilde\xi_i+\tilde\eta$ » ; les tildes et le coefficient $3$ de cette dernière ligne se lisent mal. \[\xi_{ij}=\eta-\xi_i-\xi_j\] \[\tilde\xi_{ij}=\tilde\eta-\tilde\xi_i-\tilde\xi_j =(-\tilde\xi_i)+(-\tilde\xi_j)-(-\tilde\eta)\] $-\tilde\xi_{ij}=\tilde\xi_i+\tilde\xi_j+\ill{}\,\tilde\eta$

[…]Un mot abrégé, souligné, au-dessus des deux colonnes de suites ; les deux colonnes sont traversées chacune d'un long trait oblique. \[\begin{array}{ll} 1,4,-8,-5,-4,-1 & -8,-5,-4,-1,1,4\\ 2,5,-7,-4,-5,-2 & -7,-5,-4,-2,2,5\\ 3,6,-6,-3,-3,0 & -6,-3,0,3,6\\ 2,5,-4,-1,-2,1 & -4,-2,-1,1,2,5\\ 1,4,-2,1,-1,2 & -2,-1,1,2,4\\ 3,-3,-3 & -3,3 \end{array} \qquad \begin{array}{c}6\\6\\5\\6\\5\\2\end{array}\] Le $-4$ de la quatrième ligne de gauche est repassé sur un autre chiffre. La colonne de droite (6, 6, 5, 6, 5, 2), séparée des suites, est écrite dans la marge. \[-\tilde\delta=-w(-\tilde\delta)\qquad \tilde\delta=\struck{\ill{}}-w(\tilde\delta)=-\widetilde{w(\delta)} =-\tilde\delta' \qquad \widetilde{\delta\cdot\delta'}=0\] \[\ill{}\ \delta+\delta'=2\lambda=\qquad \tilde\delta=-w(\tilde\delta)=-\widetilde{w(\delta)}=-\tilde\delta' \qquad \tilde\delta\cdot\tilde\delta'=0\] Le tableau des coefficients, en bas à gauche : \[\begin{array}{c|cccccc} & r_1 & r_2 & r_3 & r_4 & r_5 & r_6\\ \hline -\tilde\xi_1 & -1 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3\\ -\tilde\xi_2 & 2 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3\\ -\tilde\xi_3 & 2 & 4 & 3 & 2 & 1 & 3\\ -\tilde\xi_4 & 2 & 4 & 6 & 2 & 1 & 3\\ -\tilde\xi_5 & 2 & 4 & 6 & 5 & 1 & 3\\ -\tilde\xi_6 & 2 & 4 & 6 & 5 & 4 & 3\\ \hline -\tilde\xi'_1 & 2 & 7 & 12 & 8 & 4 & 9\\ -\tilde\xi'_2 & 5 & 7 & 12 & 8 & 4 & 9\\ -\tilde\xi'_3 & 5 & 10 & 12 & 8 & 4 & 9\\ -\tilde\xi'_4 & 5 & 10 & 15 & 8 & 4 & 9\\ -\tilde\xi'_5 & 5 & 10 & 15 & 11 & 7 & 9\\ -\tilde\xi'_6 & 5 & 10 & 15 & 11 & 10 & 9\\ \hline & -2 & -4 & -3 & -2 & -2 & 0\\ & 1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\] Plusieurs chiffres du tableau sont repassés en gras sur d'autres (le $6$ et le $2$ de la ligne $-\tilde\xi_4$, le $6$ de $-\tilde\xi_5$, les $10$, $12$, $15$ et $8$ des lignes $-\tilde\xi'_3$ et $-\tilde\xi'_4$) ; les étiquettes des lignes, écrites serré dans la marge, se lisent mal et sont données d'après leur ordre.

En bas à droite : \[-2,-1,1,2,5 \qquad -2,1,4,7,10\]

95Au crayon des archivistes, « 97 » ; voir l'en-tête pour le décalage de la numérotation à partir d'ici. La page est écrite presque entière à l'encre bleue pâle, avec des reprises à l'encre plus foncée. $R\subset E$ syst. de racines ($E$ $\mathbb{R}$-vectoriel engendré par $R$), produit scalaire invariant⌜ tel que $(r,r)=2$⌝ \[\mathfrak{S}=\bigl\lbrace x\in E^{*}\ \big|\ (x,r)\ \struck{\tfrac{2}{(r,r)}}\in\lbrace-1,0,1\rbrace\ \ \forall r\in R\bigr\rbrace\] (racines ⌜toutes⌝ de […] longueur…) $\to E^{*}=E-\lbrace0\rbrace$ \[\mathfrak{S}_0=\bigl\lbrace x\in E^{*}\ \big|\ wx-x\in R\ \ \forall w\in W\ \text{t.q.}\ wx\neq x\bigr\rbrace \qquad W=\text{groupe de Weyl}\] La lettre ronde de ces ensembles, une sorte de $\mathfrak{S}$ bouclé, est rendue $\mathfrak{S}$ partout ; « $W$ » a été écrit sur un « $E$ » repassé.

$\mathfrak{S}_0\subset\mathfrak{S}$, car ⌜$x\in\mathfrak{S}_0\Rightarrow$⌝ $\mathfrak{S}_0\in E^{*}$, et $s_rx-x=-2\dfrac{\langle x,r\rangle}{(r,r)}\,r \in R$, dans le cas où $s_rx\neq x$ i.e. $\langle x,r\rangle\neq0$, on a $-(x,r)\in\dfrac{(r,r)}{2}\lbrace\pm1\rbrace$, donc […] dans tous les cas $(x,r)\in\lbrace-1,0,+1\rbrace$. « $\mathfrak{S}_0\in E^*$ » est sur la page, pour « $\mathfrak{S}_0\subset E^*$ ».

$\ill{}\ \mathfrak{S}$

$\operatorname{card}\mathfrak{S}\leq3^r-1$ donc […] $\mathfrak{S}$ […] a fortiori $\mathfrak{S}_0$ fini. $\mathfrak{S}$, $\mathfrak{S}_0$ stables par $W$ […] $=$ […] $\hat W=\operatorname{Aut}(E,R)$, et $W$ a un nb fini d'orbites dans $\mathfrak{S}$ et […] fortiori dans $\mathfrak{S}_0$.

Cas $(A_r)$L'indice de $A$ est repassé en gras et se lit mal. \[E=\mathbb{R}^{r+1},\qquad E=\Bigl\lbrace(x_1,\ldots,x_{r+1})\ \Big|\ \sum_{1}^{r+1}x_i=0\Bigr\rbrace\] \[R=\lbrace\alpha_{ij}=\xi_i-\xi_j\mid i\neq j,\ 1\leq i,j\leq r+1\rbrace \qquad \operatorname{card}R=r(r+1)\] produit scalaire induit par $(\xi,\eta)=\sum_1^{r+1}\xi_i\eta_i$ sur $\mathbb{R}^{r+1}$ […] \[\xi_1\ \ldots\ \xi_r\qquad \sum\xi_i=0\] \[\underbrace{\xi_1=\cdots=\xi_{r_1}}_{\alpha_1}< \underbrace{\xi_{r_1+1}=\cdots=\xi_{r_1+r_2}}_{\alpha_2}\ \cdots\ \underbrace{\xi_{r_1+r_2+\cdots+r_{s-1}+1}=\cdots= \xi_{\underbrace{r_1+r_2+\cdots+r_s}_{r+1}}}_{\alpha_s}\] \[\begin{cases} r_1\alpha_1+r_2\alpha_2+\cdots+r_s\alpha_s=0\\ r_1+r_2+\cdots+r_s=r+1 \end{cases} \qquad \begin{array}{l} \alpha_1<\alpha_2<\cdots<\alpha_s\\ r_1,r_2,\ldots,r_s\geq1 \end{array}\] \[\alpha_i-\alpha_j\in\lbrace\pm1\rbrace\quad\forall i,j\ \neq\] Le « $\neq$ » final, isolé, précise sans doute « $i\neq j$ ».

Soit […] $s=1$, […] $r_1=r+1$, $r_1\alpha_1=(r+1)\alpha_1=0$, $\alpha_1=0$, absurde ($\xi=0$).

Soit $s=2$, $\alpha_2=\alpha_1+1$ \[\begin{cases} r_1\alpha_1+r_2\alpha_2=0\\ r_1+r_2=r+1\\ \alpha_2=\alpha_1+1 \end{cases} \Longrightarrow \begin{array}{l} (r_1+r_2)\alpha_1+r_2=0\\ \text{i.e.}\ (r+1)\alpha_1+r_2=0\\ \text{i.e.}\ \alpha_1=\dfrac{-r_2}{r+1} \end{array}\] \[\struck{\text{Il y a}\ r+}\quad \alpha_1=\frac{-r_2}{r+1},\quad\alpha_2=\frac{r_1}{r+1}\qquad r_1+r_2=r+1\] il y a $r+1$ classes de tels éléments, suivant la valeur de $1\leq r_1\leq r+1$Lecture douteuse de la fin de la phrase ; la borne supérieure est sur la page « $r+1$ ».

96Au crayon, « 98 ». Feuille de listing tenue en largeur, en deux colonnes : à gauche la fin du cas $A_r$ et le cas $B_r$ ; à droite les cas $C_r$ et $D_r$. La suite de la page 95. \[\underbrace{-\frac{r_2}{r+1},\ldots,-\frac{r_2}{r+1}}_{r_1},\ \underbrace{\frac{r_1}{r+1},\ldots,\frac{r_1}{r+1}}_{r_2} \qquad -\frac{r_1}{r+1}\ \ -\frac{r_2}{r+1}\qquad\pm1\] \[[1,r+1]=\underbrace{[1,r_1]}_{I_1}\cup \underbrace{[r_1+1,r+1]}_{I_2} \qquad \sigma I_1,\ \sigma I_2\] $\xi$ $\alpha_1$ sur $I_1$, $\alpha_2$ sur $I_2$

$\sigma\xi=\xi\circ\sigma^{-1}$ $\alpha_1$ sur $\sigma I_1$, $\alpha_2$ sur $\sigma I_2$ \[\xi-\sigma\xi\qquad \begin{array}{ll} 0 & \text{sur}\ (I_1\cap\sigma I_1)\cup(I_2\cap\sigma I_2)\\ \struck{-1} & \text{sur}\ I_1\cap\sigma I_2\\ & \text{sur}\ I_2\cap\sigma I_1 \end{array}\] On veut, $\forall\sigma$ tel que $\sigma I_1\neq I_1$ […] i.e. $\sigma I_1\cap I_2\neq\emptyset$ ⌜i.e. $\sigma I_2\cap I_1\neq\emptyset$⌝ et $\sigma I_2\neq I_2$ $I_1\cap\sigma I_2$ \[\begin{array}{ll} \operatorname{card}(I_1\cap\sigma I_2)=1 & \to\ \text{c'est possible (\uncertain{ssi}}\ \operatorname{card}I_1\leq1\ \text{ou}\ \operatorname{card}I_2\leq1\ \forall\sigma\ldots)\\ \operatorname{card}(I_2\cap\sigma I_1)=1 & \text{--- \,--- } \end{array}\] Donc OK ssi $r_1=1$ ou $r_2=1$ \[\underbrace{-\frac{1}{r+1},\ \frac{r}{r+1},\ldots,\frac{r}{r+1}}_{r} \qquad \underbrace{-\frac{r}{r+1},\ \struck{\ill{}},\ -\frac{r}{r+1}}_{r},\ \frac{1}{r+1}\] Les accolades sont sur la page ; le « $r$ » de la première ne couvre que les termes $\frac{r}{r+1}$. si $r\geq2$, 2 orbites sous $W$, qui sont […] ⌜échangées⌝ l'une de l'autre par […] l'élément […] […] de $E=\hat W/W$ i.e. par la symétrie !

($B_r$)Les étiquettes $B_r$, $C_r$, $D_r$ sont cerclées. $V=E=\mathbb{R}^r$ \[R=\lbrace\pm\varepsilon_i\ (1\leq i\leq r),\ \pm\varepsilon_i\pm \varepsilon_j\ (1\leq i<j\leq r)\rbrace \qquad 2r+4\,\frac{r(r-1)}{2}=2r+2r(r-1)=2r^2\] À droite de $V=E$, un croquis de matrice d'ordre $2r+1$ : des blocs $a_{ij}$ et $-a_{ij}$ de part et d'autre de la diagonale, un $0$ en bas. Produit scalaire habituel, longueurs $1$ et $2$ \[\xi=(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_r)\qquad \struck{\xi_i}\ \ 0\leq\xi_1\leq\xi_2\leq\cdots\leq\xi_r\] \[\underbrace{\xi_1=\cdots=\xi_{r_1}}_{\alpha_1}\ \underbrace{\xi_{r_1+1}=\cdots=\xi_{r_1+r_2}}_{\alpha_2}\ \cdots\ \underbrace{\xi_{r_1+\cdots+r_{s-1}+1}=\cdots= \xi_{r_1+\cdots+r_s=r}}_{\alpha_s}\] \[(\xi,\varepsilon_i)\in\struck{2}\lbrace-1,0,1\rbrace\ \ \text{d.c.}\ \ \boxed{\xi_i\ \text{égale}\ 0\ \text{ou}\ 2}\] Dans l'encadré, le mot « égale » est incertain et le « 2 » est peut-être la fin d'un « $\pm1$ » ; le $2$ de la ligne est biffé. La ligne suivante et la conclusion $\xi=(2,2,\ldots,2)$ ne sont pas cohérentes avec « $\xi_i=0$ ou $\pm1$ » : on transcrit tel quel. \[(\xi,\varepsilon_i\pm\varepsilon_j)=\xi_i\pm\xi_j\in\lbrace1,0,-1\rbrace \qquad \struck{\ill{}}\ \begin{array}{l}\alpha_i+\alpha_j=1\\ \alpha_i-\alpha_j=-1\end{array} \qquad \struck{\ill{}}\ \ \text{\uncertain{si}}\ 1\leq i<j\leq s\] Une seule donc impossible, donc $s=1$ \[\xi=(2,2,\ldots,2)\qquad \mathfrak{S}=\emptyset\]

($C_r$) $E=\mathbb{R}^r$ \[R=\lbrace\pm2\varepsilon_i\ (1\leq i\leq r),\ \pm\varepsilon_i\pm \varepsilon_j\ (1\leq i<j\leq r)\rbrace\] \[\struck{\xi_i\ \ldots}\ \ (\xi_i)_{1\leq i\leq r}\qquad \xi_i\in\tfrac24\lbrace-1,0,+1\rbrace=\lbrace\ \rbrace\] \[0\leq\xi_1\leq\cdots\leq\xi_r\quad\text{i.e.}\quad \xi_1\in\lbrace0,\tfrac12\rbrace\qquad \pm\xi_i\pm\xi_j\in\lbrace-1,0,+1\rbrace\] \[\struck{\ill{}}\ \bigl(\tfrac12,\tfrac12,\ldots,\tfrac12\bigr)\qquad \struck{r\geq3}\ \ r\geq3\] \[\mathfrak{S}=\struck{\ill{}}\ \struck{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\ \ill{}\,\lbrace\pm\tfrac12\rbrace^{r}\qquad \mathfrak{S}_0=\emptyset\]

($D_r$) $E=\mathbb{R}^r$, $R=\lbrace\pm\xi_i\pm\xi_j\ (1\leq i<j\leq r)\rbrace$ \[\struck{\ill{}}\ \xi_1\ \ldots\ \xi_r\qquad \xi_1\leq\xi_2\leq\cdots\leq\xi_r\qquad \pm\xi_i\pm\xi_j\in\lbrace-1,0,1\rbrace\] Sous $\xi_2$, un renvoi « $\geq0$ » . Au-dessous, un croquis de matrice diagonale $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_1^{-1},\ldots,\lambda_r,\lambda_r^{-1})$, entouré d'une courbe qui la relie à la colonne de droite. au plus deux valeurs distinctes des $\xi_i$, différant de $1$, soit $\alpha$ et $\alpha+1$, mais $\alpha+$ $2\alpha+1\in\lbrace-1,0,1 \rbrace$ i.e. […] […] les valeurs égales, égales : $\pm\frac12$ \[2\alpha+1=0\quad\alpha=-\tfrac12\quad\alpha+1=\tfrac12\qquad 2\alpha+1=1,\ \alpha=0\qquad 2\alpha+1=-1,\ \alpha=-1\] \[\left\lbrace \begin{array}{l} -\frac12,\ \underbrace{\frac12,\frac12,\ldots,\frac12}_{r-1}\\[4pt] (\underbrace{0,\ldots,0}_{r-1},1)\ \ \struck{\ill{}}\ \boxed{r_2=1}\ \longrightarrow r\\[4pt] (-1,\underbrace{0,\ldots,0}_{r-1})\ \ \struck{\ill{}}\ \text{\uncertain{conjugués}}\ (r_2=1)\\[4pt] (\frac12,\frac12,\ldots,\frac12) \end{array}\right.\] Une flèche descend de la deuxième ligne à la troisième ; à côté, biffés, des mots illisibles. \[\bigl(\tfrac12\ \struck{\ill{}}\bigr)\qquad \struck{\ill{}}\qquad \prod(\ill{})=1\qquad \prod(\ill{})=-1\qquad \struck{\ill{}\,\lbrace\pm\varepsilon_i\rbrace}\] il y a […] $\mathfrak{S}$ a trois orbites, $\mathfrak{S}_0=\emptyset$ […]

97Au crayon, « 99 ». Reprise des définitions de la page 95. \[\mathfrak{S}'_0=\bigl\lbrace x\in E\ \big|\ w\in W,\ w(\struck{\ill{}}\,\mathbb{R}x)\neq\mathbb{R}x\Longrightarrow wx-x\in R\bigr\rbrace\] \[x\in\mathfrak{S}'_0,\ r\in R\qquad s_rx-x=2\,\frac{(x,r)}{(r,r)}\,r\] \[s_r(\struck{\ill{}}\,\mathbb{R}x)=(\mathbb{R}x)\iff s_rx=x\ \text{ou}\ s_rx=-x\iff(x,r)=0\ \text{ou}\ x\in\mathbb{R}r\] \[(x,r)\neq0\ \text{et}\ x\notin\mathbb{R}r\Longrightarrow 2\underbrace{\frac{(x,r)}{(r,r)}}_{\uncertain{n_{x,r}}}=\pm1\] $(x,r)$ donc \[\mathfrak{S}'_0\subset\mathfrak{S}'=\Bigl\lbrace x\in E\ \Big|\ \forall r\in R\cap\complement\,\mathbb{R}x,\ \text{on a}\ (x,r)\in\frac{(r,r)}{2}\lbrace-1,0,+1\rbrace\Bigr\rbrace \qquad \begin{array}{ccc} \mathfrak{S}'_0&\subset&\mathfrak{S}'\\ \cup&&\cup\\ \mathfrak{S}_0&\subset&\mathfrak{S} \end{array}\] Le $\complement$ est une grande lettre repassée en gras. \[\mathfrak{S}'=\mathfrak{S}\cup\Bigl\lbrace\lambda s\ \Big|\ s\in R,\ \lambda\in\mathbb{R}^{*+},\ (\lambda s,r)\in\frac{(r,r)}{2} \lbrace-1,0,1\rbrace\ \ \forall r\in R-\lbrace s,-s\rbrace\Bigr\rbrace\] \[\text{i.e.}\ \ \forall r\in R-\lbrace s,-s\rbrace\ \struck{\ill{}}\ (R\cap s^{\perp})\qquad \struck{\text{i.e.}\ \lambda\in\frac{(r,r)}{2(s,r)}}\qquad \lambda\in\frac{(r,r)}{2(s,r)}\lbrace-1,0,1\rbrace\] \[\text{i.e.}\ \ \lambda=\pm\frac{(r,r)}{2(s,r)}\qquad \text{i.e.}\ \ \frac1\lambda=\pm\frac{2(s,r)}{(r,r)}=\pm n(s,r)\] La ligne « i.e. $\forall r\in R-\lbrace s,-s\rbrace$ » précise l'ensemble placé sous l'accolade ; le signe entre $\lbrace s,-s\rbrace$ et $(R\cap s^\perp)$ est surchargé, peut-être un « $-$ ». Un tel $\lambda$ existe (il est unique au signe près), pour $s$ donné, ssi les quantités $\Bigl|\dfrac{(s,r)}{(r,r)}\Bigr|$, pour $r$ racine non orthogonale ni proportionnelle à $s$, sont égales, i.e. ssi il n'y a ⌜qu'un seul⌝ […] angle de droites possible (savoir $\frac\pi3$) ⌜d'où $\uncertain{n}(s,r)=\pm1$, d'où $\lambda=\pm1$⌝ pour des racines distinctes non orth. C'est le cas ssi toutes les racines sont de même longueur, i.e. les types $A_r$, $D_r$, $E_i$ ($6\leq i\leq8$). Les deux ajouts sont écrits au-dessus de la ligne, reliés par un trait à « il y a » ; le second est en partie masqué.

98Au crayon, « 100 ». \[\mathfrak{S}'_0= \begin{cases} \mathfrak{S}_0 & \text{si toutes les racines ne sont pas de même longueur}\\ \mathfrak{S}_0\cup R & \text{si toutes les racines de même long.} \end{cases}\] Au-dessous, un bloc de trois lignes biffé de hachures et d'un cadre : « $\mathfrak{S}_0$ […] si toutes les […] », « $\mathfrak{S}'_0\ \ill{}\ \mathfrak{S}_0$ si toutes les racines sont de même longueur », « $\mathfrak{S}'_0\cap\mathfrak{S}$ ».

Cas de $A_r$ ($r\geq2$) $\mathfrak{S}'=\mathfrak{S}\cup R$ \[\text{\uncertain{rel.\ donnés}}\quad \struck{\underbrace{-\tfrac{r_2}{r+1},\ \ldots,\ -\tfrac{r_2}{r+1}}} \quad \left\lbrace \begin{array}{l} -\frac{r_2}{r+1}(e_1+\cdots+e_{r_1})+\frac{r_1}{r+1} (e_{r_1+1}+\cdots+e_{r_1+r_2})\\ \quad 1\leq r_2\leq r-1\\ e_1-e_2 \end{array}\right.\] \[\mathfrak{S}'_0= \begin{cases} \mathfrak{S}_0 & \text{si}\ r\neq3\ \text{i.e.}\ r+1\neq4\\ \struck{\ill{}}\ \mathfrak{S}_0\cup W.\bigl(-\tfrac12,-\tfrac12, \tfrac12,\tfrac12\bigr) \end{cases}\] Au-dessus de « $r\neq3$ », un segment coupé en deux, marqué $r_1$, $r_2$.

100Au crayon, « 102 ». Une page de théorie des groupes, sans lien apparent avec ce qui précède. \[G\qquad N_1\ N_2\ N_3\] Un petit diagramme : $G$ au centre, avec une flèche vers le haut vers $G/N_1$, une vers la droite vers $G/N_2$, et un trait vers le bas à gauche vers $G/N_3$. \[N_1\cap N_2=\lbrace e\rbrace\qquad \forall x_1\in G,\ x_2\in G\quad \exists x\in G,\quad x\in x_1N_1\cap x_2N_2\quad \text{i.e.}\ \begin{cases}x_1^{-1}x\in N_1\\ x_2^{-1}x\in N_2\end{cases}\] \[N_1\times N_2\to G\qquad(x_1,x_2)\mapsto x_1x_2\qquad \struck{N_1N}\ N_1.N_2=G\iff N_2N_1=G\] \[x_1x_2=y_1y_2\qquad(y_1^{-1}x_1)=(y_2x_2^{-1})\in N_1\cap N_2=\lbrace e\rbrace\qquad x_1=y_1,\ x_2=y_2\] \[\struck{x_1\in G}\qquad a_1b_2=x_1\quad d_2c_1=x_2\qquad a_1\ \ a\] \[N_1\times N_2\simeq G\qquad \begin{array}{l}N_1\simeq G/N_2\\ N_2\simeq G/N_1\end{array}\] De « $N_1\times N_2\simeq G$ » partent deux flèches croisées vers $N_1\simeq G/N_2$ et $N_2\simeq G/N_1$, et une longue flèche vers un $x$ isolé à droite. \[\struck{(x_1,x_2)\mapsto x_1x_2}\qquad \begin{array}{l} x=a_1a_2\ \longrightarrow\ a_1\in N_1\simeq G/N_2\qquad a_1=x_1\\ \phantom{x}=b_2b_1\ \longrightarrow\ \struck{\ill{}}\ \ N_2\simeq G/N_1 \end{array}\] Entre ces deux lignes, biffé, « $x_1x_2\to x_1$ ». \[x=x_1a_2\qquad x=x_2b_1\qquad x_1a_2=x_2b_1\qquad x_2^{-1}x_1=b_1a_2^{-1}=b_1a'_2\] \[\begin{cases} N_2\cap N_3=N_3\cap N_1=N_1\cap N_2=\lbrace e\rbrace\\ N_2N_3=N_3.N_1=N_1.N_2=G \end{cases} \qquad G\simeq N_2\rtimes N_1\simeq N_3\rtimes N_1\] Les deux produits semi-directs sont écrits comme un « $\cdot$ » surmonté d'un petit signe ; la lecture $\rtimes$ est incertaine. À droite, séparé par un trait : $G$ […], $N_1$ invariant, $G/N_1\simeq V$ ; $N_2$ $N_3$.