Un fragment de graphe cubique à faces pentagonales (six
pentagones autour d'un pentagone central, à la manière d'un dodécaèdre
déplié). Les arêtes portent les numéros 1 à 5 ; les trois arêtes
numérotées 3 qui forment un couplage sont repassées en gras. Les sommets
sont marqués : au pentagone central, \xi_{12}, \xi_{45}, \xi_{23},
\xi_{51}, \xi_{34} ; à l'extérieur, \xi_{35}, \xi_{4,12}
, \xi_{13}, \xi_{25}, \xi_{41}, \xi_{5,3},
\xi_{2,4}, \xi_{3,1}, \xi_{52}, \xi_{14}. En haut à gauche, un
petit pentagone raturé, une de ses arêtes en gras.
En haut à droite, isolé, le nombre « 156 » (lecture douteuse :
peut-être « 146 »).
\delta'_1-\delta_1=\delta'_2-\delta_2 \qquad
\delta_1\neq\delta_2,\ \delta_1\neq\delta'_1
\underbrace{\delta'_1+\delta_2}=\underbrace{\delta'_2+\delta_1}
\delta'_1 lié à \delta_2, \delta'_2 lié à \delta_1 ;
\delta'_1 lié ni à \delta'_2 ni à \delta_1.
\xi_{ij}=\eta-\xi_i-\xi_j \qquad
\sum\xi_{ij}=15\eta-5\xi=5\lambda
Différences de sommetsLe mot est souligné. Les quatre
alinéas qui suivent sont réunis par un trait vertical et ouverts chacun
par un signe cerclé, qu'on lit « 0 », « 6 », « 1 » et
« b » .
(0) sommets non liés se groupent par paquets de 6 parmi les 27\cdot16
possibilités initiales, d'où 72 « racines » (de carré 2) ;
(6) sommets liés donnent 27\cdot10=270 autres éléments
distincts correspondant aux arêtes, (de carré
-4), en tout 342Lecture douteuse : on peut lire aussi
« 392 » ; 72+270=342. éléments (de carré ) ;
(1) sommets non liés (distincts) se groupent par paquets de 5 parmi
les 27\cdot10/2=135 possib. initiales, d'où 27 (de
carré 2) correspondant aux 27 triangles sommets
les
(b) pointés sommets non liés (correspondant aux
bicycles pointés) donnent 27\cdot16/2=216 autres
sommets distincts, formant avec les précédents 27+216=243 éléments.
\xi_i\longmapsto\underbrace{\xi'_j,\ \xi_{ij}}\qquad
\xi'_j-\xi_{ij}=2\eta-\xi+\xi_h
\struck{=\eta-\xi_i-\xi_j}\qquad \struck{\ill{}}\ -\xi_i
\xi'_i\longmapsto\underbrace{\xi_j,\ \xi_{ij}}\qquad
\xi_h+\xi_{ij}=\eta-\xi_j
La ligne biffée du milieu est incertaine : les deux dernières
égalités sont écrites en marge d'un trait vertical et les indices h
se lisent mal. ou 3 sommets
Page dactylographiée, recto de la feuille dont la page 82 est le
verso ; rien de sa main n'y figure. C'est l'annonce d'un enseignement de
l'Université des Sciences et Techniques du Languedoc, Mathématiques,
D.E.U.G. A première année, option mathématique, 1976, intitulé
« Polyèdres réguliers » : un « cours » pour étudiants « disposés à
trouver de l'amusement en faisant des choses mathématiques très
élémentaires et "visuelles" », sans travaux dirigés ni exercices notés,
en deux parties développées l'une par A. Grothendieck, l'autre par
C. Contou-Carrère. Programme : I) polyèdres — polygones plans, division
du plan en deux parties (« th. de Jordan »), cas convexe, polyèdres
convexes et leurs facettes, combinatoire d'un polyèdre convexe, dualité
des polyèdres convexes ayant un point intérieur donné ; II) les cinq
polyèdres réguliers (« solides platoniciens ») — descriptions métrique,
combinatoire, éventuellement « projective » en termes de configurations
de points, droites et plans, étude de leurs groupes de symétrie et liens
avec les groupes symétriques \mathfrak{S}_3, \mathfrak{S}_4,
\mathfrak{S}_5 et leurs sous-groupes. Les lettres des groupes
symétriques semblent tracées à la main dans les blancs de la frappe.
Feuille de listing tenue en largeur. En haut à gauche, une
chaîne d'équivalences et d'inclusions, qu'on lit de bas en haut.
\begin{array}{c}
A_3\ \text{ép.}\\
\uparrow{\scriptstyle 4}\\
A_4\ \text{ép.}\sim A_5\ \text{ép.}\sim\text{hex.\ ép.}\sim
\text{prisme épinglé}\sim\text{carrous.\ ép.}\\
\uparrow{\scriptstyle 3}\\
\text{carrousel ép.}\sim\text{pent.\ ép.}\\
\uparrow{\scriptstyle 2}\\
(\text{\uncertain{repère}})
\end{array}
« ép. » abrège « épinglé » ; « carrousel » est lu d'après
« bicarrousel », écrit en clair à la page 87.
Au milieu de la feuille, un grand dessin : un triangle dont
les trois sommets sont marqués \xi_{56}=\omega (en haut), \xi_{12}=
(en bas à gauche) et \xi_{34}= (en bas à droite) ; de
chacun part un éventail d'arêtes vers des sommets marqués d'indices
doubles ou simples, primés ou non, certains cerclés, noircis ou encadrés.
À gauche, les extrémités sont groupées par des accolades a_1, a_2,
a_3, a_4 et portent notamment \xi_1=\alpha_4 ,
\xi'_2=\alpha'_1, \xi_{35}, \xi_{46}=\alpha'_3 ,
\xi_{36}, \xi_{45}=\alpha_4 ; en haut, les accolades c_1, …,
c_4, avec \xi_{23}, \xi_{14}, \xi_{13}, \xi'_3, \xi_6,
\xi'_6, \beta_1=\xi_5 ; à droite et en bas, les accolades b_1,
…, b_4, avec \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4,
\xi_{51}, \xi_{52}, \xi_{26}, \xi_3, \xi_4, \xi'_3,
\xi'_4. Beaucoup d'indices, écrits serré et surchargés, se lisent
mal.
Sous le dessin, à gauche :
a_1+a_4=\alpha_1,\qquad a_2+a_4=\alpha_2,\qquad a_3+a_4=\alpha_3
À droite, en haut, un prisme triangulaire de sommets a, b,
c, a', b', c', quatre arêtes repassées en gras ; au-dessous, des
lignes brisées de cinq, de trois et de deux points. Plus bas, deux
croquis : un triangle posé sur un rectangle ouvert par le bas, avec une
hauteur tracée ; un quadrilatère surmonté d'un triangle, ses sommets
inférieurs reliés en croix.
À droite, en colonne :
\begin{array}{ll}
\text{\emph{prismes épinglés}}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot1=[W]:6 &\\
\text{prismes} & [W]:72\\[4pt]
\text{A}_5\ \text{épinglés}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot1=[W]:6 &\\
\text{A}_5 & [W]:12\\[4pt]
\text{A}_4\ \text{épinglé}\ \ 27\cdot10\cdot8^{\,4}=[W]:\uncertain{6} &\\
\text{A}_4 & [W]:12\\[4pt]
\text{A}_3\ \text{épinglés}\ \ 27\cdot10\cdot8=[W]:24 &\\
\quad(\text{autres que les triangles épinglés}) &\\
\text{A}_3\ \text{ép.} & [W]:48\\[4pt]
\text{carrousels}\ \text{\add{simples}}\ \text{épinglés}\ \
27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot3=[W]:2 &\\
\text{carrousels}\ \text{\add{simples}} & [W]:12
\end{array}
Dans « A_4 épinglé », un « 4 » est écrit au-dessus du 8
(facteur ajouté ou exposant), le 6 est surchargé, et le 12 de la
ligne suivante est repassé sur un autre chiffre ;
dans « A_3 épinglés », l'expression entre crochets est surchargée et
se lit mal : [W] est la lecture probable. Les titres « prismes
épinglés » et « carrousels … épinglés » sont soulignés et reliés
par un trait à leur ligne.
Feuille de listing, presque vide, dessins à l'encre bleue
tracés la feuille tournée. En haut, deux bandes de triangles accolés
(des « anneaux » de triangles, comme la ceinture d'un antiprisme),
leurs sommets numérotés 1,2,3,4,5 d'un côté et 1',2',3',4',5' de
l'autre, certaines arêtes repassées en gras ; à côté, un carré avec ses
deux diagonales. Au-dessous, une troisième bande analogue, sommets
1'',2',3',4',5' . En bas, un éventail : un triangle et
quatre arêtes issues d'un même sommet, avec des marques d'indices
illisibles.
\xi_1\quad\xi_{14}\quad\xi_4\quad\xi'_2 \qquad\qquad
\xi_1\ \big|\ \xi'_2\quad\xi'_3\quad\xi_{31}\quad\xi_{12}
En haut à droite, un croquis de polyèdre en perspective
(prisme ou antiprisme), quelques arêtes repassées.
À gauche, des segments étiquetés \delta, \delta',
\delta'' (tracés en zigzag), puis \delta''', \delta^{IV}.
\delta=\xi_1,\ \delta'=\xi_2,\ \delta''=\xi'_2 ;\qquad
\delta'''=\xi_{14},\ \delta^{IV}=\xi_{25}
\delta\delta'=0\quad\delta\delta''=1\quad
\delta\delta'''=1\quad\delta\delta^{IV}=0
L'indice de \delta' est surchargé.
\delta\delta'\ \struck{\bmod 2}\equiv
\operatorname{card}(\delta\cap\delta')
+\operatorname{card}\bigl(\varepsilon(\delta)\cap\varepsilon(\delta')\bigr)
Une rangée de croquis : un segment pointé en son milieu ; un
éventail de trois traits ; deux barres qui encadrent une croix
(|\times|) ; trois barres parallèles ; deux barres et un triangle
allongé ; une barre, une diagonale, une barre. Au-dessous, à gauche, un
triangle et un éventail dont les sommets sont marqués x, 1, 2,
3, 3', 4, et un hexagone de sommets \xi_3, \xi_{23}, \xi_2,
\xi_{12}, \xi_1, \xi_{31}, repassé, avec des cordes ; à côté, un
pentagone.
\begin{array}{ll}
\text{hex.\ pointés \add{orientés}}\ \
27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot1\cdot1=2^6\cdot3^3\cdot5=[W]:6 &\\
\text{hexagones} & [W]:72\\[4pt]
\text{pentagones pointés \add{orientés}}\ \
27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot3=2^6\,3^4\,5=[W]:2 &\\
\text{pentagones} & [W]:20\\[4pt]
\text{carr.\ pointés}\ \ 27\cdot10\cdot8\cdot4=[W]:6 &\\
\text{carr.} & [W]:48
\end{array}
« orientés » est ajouté au-dessus de la ligne aux deux premières
entrées. Le 6 de la première ligne et le 72 de la deuxième sont
repassés sur d'autres chiffres ; sous « 27\cdot10\cdot8\cdot4\cdot1
\cdot1 », de petites accolades groupent les facteurs deux à deux.
À gauche, une étoile marquée A, et au-dessus
\mathbb{F}_2^{\,i} et un trait vertical.
\mathbb{F}_2^{A}\quad P\qquad x,y\qquad
x-y=u\in\mathbb{F}_2^{A}\simeq\mathfrak{P}(A)
formé des \alpha\in A sur lesquels
x,y\ \text{liés}\iff
\begin{cases}
x\ \text{et}\ y\ \text{de même parité}\ (\text{i.e.\ card}\ u\
\text{pair}) :\ x-y=\mathbb{1}^{A}\\
\quad(\text{i.e.}\ E(x)\cap\tilde A\ \text{et}\ E(y)\cap\tilde A\
\text{sont complém.})\\
x\ \text{et}\ y\ \text{de parité contr.}\ (\text{i.e.\ card}\ u\
\text{impair}) :\ \struck{\ill{}}\ \operatorname{card}u=3
\end{cases}
En face, reliés à la première ligne par une accolade,
« E(x)\cap\tilde A » et « E(y)\cap\tilde A », suivis de « sont
distincts » biffé ; devant « x-y », un mot biffé .
x,y\ \text{non liés}\iff
\begin{cases}
x\ \text{et}\ y\ \text{de même parité i.e.\ card}\ u\ \text{pair} :\
x-y\neq\mathbb{1}\\
\quad(\text{i.e.}\ \struck{\ill{}}\ E(x)\cap\tilde A\cap
E(y)\cap\tilde A\neq\emptyset)\\
x\ \text{et}\ y\ \text{de parité contr.} :\ \operatorname{card}u=1
\end{cases}
Sous la dernière ligne, un complément illisible commençant par
« i.e. ».
À gauche, au milieu, la mention « Conditions sur \xi\in\tilde
A » et « \xi liés à », avec \lambda_{12}, \lambda_{23},
\lambda_4 ; au-dessous, une étoile dont le sommet central est relié à
des sommets marqués \lambda_{56}, \xi_1, \xi'_1, \xi_2,
\xi'_2, \lambda_{34}, \lambda_{12}, \lambda_{35}, \lambda_{46},
\lambda . En bas, des segments parallèles joignant des
points à des croix.
x,y\ \text{liés}\iff\operatorname{card}u=3\ \text{ou}\ 4 \qquad
x,y\ \text{non liés}\iff\operatorname{card}u=0,1\ \text{ou}\ 2
Sous le « 0 », un renvoi : « x=y ».
\begin{array}{l}
\text{triangles pointés orientés}\ \ 27\cdot10=270=[W]:
\uncertain{2^3\cdot3^4}\\
\text{triangles}:\ \dfrac{27\cdot10}{6}=45=[W]:\uncertain{2^7\cdot3^2}
\end{array}
Les exposants sont repassés et se lisent mal ; ceux de la
première ligne sont rejetés dans la marge.
En haut, quatre petits rectangles ouverts d'un côté, points et
croix aux coins ; à gauche, un « i » et un croquis de triangles et de
quadrilatère, un éventail en bas, quelques sommets marqués d'une croix.
Au milieu, un « mobile » : un triangle de sommet \xi_{56}, de base
\xi_{12}–\xi_{34}, d'où pendent des arêtes vers \xi_1, \xi_2,
\xi_6, \xi_5, \xi_3, \xi_4, avec au centre, cerclé,
\xi_{24} . Plus bas, \xi_{46} et \xi_{62}
(surchargé), et trois éventails de trois branches.
\begin{array}{l}
\text{bicarrousel épinglé}\\
\text{\ill{} du bicarrousel}\\
\quad\text{d'indice}\ 48=2^4\cdot3\\
\text{nb des bicarrousels}\ \ 2^3\,3^3\,5=6^3\cdot5=1080\\
\quad=\underbrace{72}_{\text{\uncertain{racines}}}\cdot
\underbrace{15}_{\text{nb de \ill{} d'une \uncertain{racine}, 6}}
\end{array}
Le 15 est repassé en gras.
\xi des paires i>\ell
Un petit croquis : des sommets \xi_1, \xi_4, \xi_{62} et
d'autres marqués d'indices illisibles, avec deux arêtes en croix, en
partie biffé.
\frac{8!}{2!\,\struck{\ill{}}\,2!}\cdot
\binom{6}{2}\binom{4}{2}\,\frac{1}{3!}
=\frac{15\cdot6}{6}=15
Positions relatives de deux racines (ou de deux bases)
Soient r,r' deux racines, correspondant à des bases
Pour une racine r donnée, il y a
\begin{array}{ll}
1 & \text{racine égale à}\ r,\ \text{savoir}\ r\\
1 & \text{racine opposée à}\ r,\ \text{savoir}\ -r\\
30 & \text{racines orthogonales à}\ r\\
20 & \struck{\text{\ill{}}}\ \text{faisant un angle de}\ 60^\circ\
\text{avec}\ r\\
20 & \text{-----}\ \ 120^\circ\ \ \text{-----}\ \ r
\end{array}
\begin{array}{lll}
\text{couples de racines} & \text{égales} & 72\\
& \text{opposées} & 72/2=36\\
\text{couples de racines orthogonales} && 72\cdot15=1080\\
\text{couples de racines} & 60^\circ & 72\cdot10=720\\
& 120^\circ & 72\cdot10=720
\end{array}
Plans des paires de racines non orthogonales (= plans spéciaux)
720:6=120
Le haut de la page est barré d'une grande croix et d'un trait
ondulé ; on le donne tel qu'il se lit.
x — W x-s_r(x)
s_r(x)=x+(r,x)\,r \qquad s_r(x)-x=(r,x)\,r \qquad
(r,x)\in\lbrace0,1,-1\rbrace
(\struck{x-y})\ \ s_rx-x=\qquad \struck{x=wx}\qquad
wx=x+\rho\quad \rho\ \text{\uncertain{vecteur}}
s_rwx=s_rx+s_r\rho=x+\underbrace{(x,r)}_{\varepsilon}\,r+s_r\rho
a) (x,r)=0 i.e. s_rx=x
b) (x,r)=1 s_rwx-x=s_r\rho+r
\struck{r_0-2r_1-r_2+r_6}\qquad
r_1+2r_2+3r_3+2r_4+r_5+3r_6 \qquad \alpha_1
La croix passe aussi sur la première de ces deux expressions,
qui semble visée ; la seconde n'est touchée que par son bras.
3\xi_i-\lambda=3\xi_i-3\eta+\xi=-3\eta+\sum_{\alpha\neq i}\xi_\alpha+4\xi_i
\qquad 3\uncertain{\eta_i}-\lambda
\tilde\xi_i=3\xi_i-\lambda=
\underbrace{3(\xi_i-\xi_1)}_{-3(r_1+r_2+\cdots+r_{i-1})}
+\underbrace{(\uncertain{3\xi_1-\eta})}_{-r_6+2r_1+r_2}
+\underbrace{\eta-\lambda}_{-r_0}
-\tilde\xi_i=3(r_1+\cdots+r_{i-1})\ \struck{\ill{}}\ -r_2+r_6
+(r_1+2r_2+3r_3)+2r_4+r_5+2r_6
Cette ligne est très surchargée : le début de la parenthèse et
les termes qui suivent 3(r_1+\cdots+r_{i-1}) sont biffés et repris,
avec un signe « - » souscrit.
\begin{aligned}
-\tilde\xi_1&=-r_1+4r_2+3r_3+2r_4+r_5\ \struck{+r_6}\ +3r_6\\
-\tilde\xi_2&=2r_1+4r_2+3r_3+2r_4+r_5+3r_6\\
-\tilde\xi_3&=2r_1+4r_2+3r_3+2r_4+r_5+3r_6\\
-\tilde\xi_4&=2r_1+4r_2+6r_3+2r_4+r_5+3r_6\\
-\tilde\xi_5&=2r_1+4r_2+6r_3+5r_4+r_5+3r_6\\
-\tilde\xi_6&=2r_1+\uncertain{9}r_2+6r_3+5r_4+4r_5+3r_6
\end{aligned}
Le coefficient de r_2 est, à chaque ligne, un chiffre repassé en
gras sur un autre (on lit 4, sur 1 ou 2 aux deux premières lignes,
et plutôt 9 à la dernière) ; au 2r_1 des lignes 2 à 6, le 2 est
lui aussi repassé.
\struck{-\tilde\eta=\ill{}\,r_1+(r_2+r_3)+6r_4+3r_5+9r_6}
\struck{\tilde\eta=3\eta-3\lambda=-3(\lambda-\eta)=-3r_0}
-\tilde\eta=+3r_1+6r_2+9r_3+6r_4+3r_5+6r_6
Page entière barrée de deux longs traits ondulés ; elle se lit
d'un bout à l'autre et on la donne sans marquer la rature ligne à
ligne.
\begin{array}{l}
a+3b=-2\\
3a+\uncertain{9}b=0\\
\struck{2a=}\quad a=-\tfrac{6}{3}\\
\uncertain{8}a=2\qquad a=\tfrac14\qquad b=
\end{array}
\qquad
\begin{array}{l}
a+3b+\\
a+3b+2,\ a+3b+3\\
a+3b,\ a+3b+1\\
\quad\parallel\\
a+3b'-3,\ a+3b'-2
\end{array}
2\quad -1\qquad a+3b=-1\qquad
\left.\begin{array}{l}a+3b=-1\\ 3a+b=0\end{array}\right\rbrace\quad
x=b\bigl(\xi-\tfrac{\uncertain{5}}{3}\bigr)+\xi_i
x=a\cdot\eta+b\xi+\xi_i\qquad \struck{\ill{}\,6b}\qquad
x=a\eta+b'\xi-\xi_i\qquad a=2b\qquad \struck{3a+6b}\quad
\underline{3a+6b=0}
(1) Les numéros (1) à (4) sont cerclés.
x=a\eta+b\xi+\xi_i \qquad
\begin{array}{l}3a+6b=0\\ a+2b=0\\ a=-2b\end{array}
\qquad
\begin{array}{ll}
\alpha)\ a+3b=-1 & \text{i.e.}\ \boxed{b=-1,\ a=2}\quad
2\eta-\xi+\xi_i=\boxed{\xi'_i}\\
\beta)\ a+3b=0 & \text{i.e.}\ b=0,\ a=0\quad \boxed{\xi_i}
\end{array}
(2)
x=a\eta+b\xi-\xi_i\qquad \lambda_0=\eta-\frac{\xi}{3}
\text{prenons}\ \ x'=2\lambda_0-x=\struck{\ill{}}\,2\eta-\tfrac23\xi
-a\eta-b\xi+\xi_i
=\underbrace{(2-a)}_{a'}\eta
+\underbrace{\bigl(-\tfrac23-b\bigr)}_{b'}\xi+\xi_i
on est donc ramené au cas précédent
(3)
x=a\eta+b\xi-\xi_i-\xi_j\qquad
3a+6b=3\quad a+2b=1\quad a=1-2b\qquad
a+3b=1\quad \boxed{b=0,\ a=1}\quad \boxed{\xi_{ij}}
(4)
x=a\eta+b\xi+\xi_i+\xi_j
on se ramène par
\delta\sim-(\delta-\lambda_0)+\lambda_0=2\lambda_0-\delta
=\tfrac23\lambda-\delta=\delta'
\begin{array}{l}
r_1\longmapsto-r_5\\
r_2\longmapsto-r_4\\
r_3\longmapsto-r_3\\
r_4\longmapsto-r_2\\
r_5\longmapsto-r_1\\ \hline
r_6\longmapsto r_{456}=r_6+3(\ill{})+2r_4+r_5
\end{array}
V_{ijh}=\eta-\xi_i-\xi_j-\xi_h \qquad
\eta-\xi_3-\xi_5-\xi_{\uncertain{6}}=\eta-\xi_1-\xi_2-\xi_3
+(\xi_1-\xi_4)+(\xi_2-\xi_5)+\xi_{\ill{}}-\xi_{\ill{}}
Au-dessus de V_{ijh}, une fraction \tfrac23 ; sous r_6, un
renvoi « r_{12} » . Le bas de la feuille est déchiré et la
fin des deux dernières lignes est perdue.
Le haut de la page est très raturé ; les deux premières lignes
sont barrées de traits obliques.
\xi'_i=\struck{\ill{}}\ r_0+\xi_i \qquad
\tilde\xi'_i=\tilde r_0+\tilde\xi_i=3r_0+\tilde\xi_i
\qquad \lbrace i\mapsto\ill{}\rbrace\qquad\lambda
-\tilde\xi'_i=-\tilde\xi_i-3r_0=-\tilde\xi_i\
\struck{-3(r_1+r_2+r_3)-6r_4-3r_5-6r_6}\ =-\tilde\xi_i-\tilde\eta
À droite, en colonne : « \xi'_i-\xi_i=r_0 », puis
« 3\xi'_i=\struck{\xi_i}\,\ill{}\,3r_0 », repris en
« 3\xi'_i=3\xi_i+3r_0=3\tilde\xi_i-\tilde\eta » et
« -3\tilde\xi'_i=-\tilde\xi_i+\tilde\eta » ; les tildes et le
coefficient 3 de cette dernière ligne se lisent mal.
\xi_{ij}=\eta-\xi_i-\xi_j
\tilde\xi_{ij}=\tilde\eta-\tilde\xi_i-\tilde\xi_j
=(-\tilde\xi_i)+(-\tilde\xi_j)-(-\tilde\eta)
-\tilde\xi_{ij}=\tilde\xi_i+\tilde\xi_j+\ill{}\,\tilde\eta
Un mot abrégé, souligné, au-dessus des deux colonnes de
suites ; les deux colonnes sont traversées chacune d'un long trait
oblique.
\begin{array}{ll}
1,4,-8,-5,-4,-1 & -8,-5,-4,-1,1,4\\
2,5,-7,-4,-5,-2 & -7,-5,-4,-2,2,5\\
3,6,-6,-3,-3,0 & -6,-3,0,3,6\\
2,5,-4,-1,-2,1 & -4,-2,-1,1,2,5\\
1,4,-2,1,-1,2 & -2,-1,1,2,4\\
3,-3,-3 & -3,3
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}6\\6\\5\\6\\5\\2\end{array}
Le -4 de la quatrième ligne de gauche est repassé sur un autre
chiffre. La colonne de droite (6, 6, 5, 6, 5, 2), séparée des suites,
est écrite dans la marge.
-\tilde\delta=-w(-\tilde\delta)\qquad
\tilde\delta=\struck{\ill{}}-w(\tilde\delta)=-\widetilde{w(\delta)}
=-\tilde\delta' \qquad \widetilde{\delta\cdot\delta'}=0
\ill{}\ \delta+\delta'=2\lambda=\qquad
\tilde\delta=-w(\tilde\delta)=-\widetilde{w(\delta)}=-\tilde\delta'
\qquad \tilde\delta\cdot\tilde\delta'=0
Le tableau des coefficients, en bas à gauche :
\begin{array}{c|cccccc}
& r_1 & r_2 & r_3 & r_4 & r_5 & r_6\\ \hline
-\tilde\xi_1 & -1 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3\\
-\tilde\xi_2 & 2 & 1 & 3 & 2 & 1 & 3\\
-\tilde\xi_3 & 2 & 4 & 3 & 2 & 1 & 3\\
-\tilde\xi_4 & 2 & 4 & 6 & 2 & 1 & 3\\
-\tilde\xi_5 & 2 & 4 & 6 & 5 & 1 & 3\\
-\tilde\xi_6 & 2 & 4 & 6 & 5 & 4 & 3\\ \hline
-\tilde\xi'_1 & 2 & 7 & 12 & 8 & 4 & 9\\
-\tilde\xi'_2 & 5 & 7 & 12 & 8 & 4 & 9\\
-\tilde\xi'_3 & 5 & 10 & 12 & 8 & 4 & 9\\
-\tilde\xi'_4 & 5 & 10 & 15 & 8 & 4 & 9\\
-\tilde\xi'_5 & 5 & 10 & 15 & 11 & 7 & 9\\
-\tilde\xi'_6 & 5 & 10 & 15 & 11 & 10 & 9\\ \hline
& -2 & -4 & -3 & -2 & -2 & 0\\
& 1 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0
\end{array}
Plusieurs chiffres du tableau sont repassés en gras sur d'autres
(le 6 et le 2 de la ligne -\tilde\xi_4, le 6 de -\tilde\xi_5,
les 10, 12, 15 et 8 des lignes -\tilde\xi'_3 et
-\tilde\xi'_4) ; les étiquettes des lignes, écrites serré dans la
marge, se lisent mal et sont données d'après leur ordre.
En bas à droite :
-2,-1,1,2,5 \qquad -2,1,4,7,10
Au crayon des archivistes, « 97 » ; voir l'en-tête pour le décalage
de la numérotation à partir d'ici. La page est écrite presque entière à
l'encre bleue pâle, avec des reprises à l'encre plus foncée.
R\subset E syst. de racines (E \mathbb{R}-vectoriel engendré par
R), produit scalaire invariant tel que (r,r)=2
\mathfrak{S}=\bigl\lbrace x\in E^{*}\ \big|\
(x,r)\ \struck{\tfrac{2}{(r,r)}}\in\lbrace-1,0,1\rbrace\ \
\forall r\in R\bigr\rbrace
(racines toutes de
\mathfrak{S}_0\subset\mathfrak{S}, car x\in\mathfrak{S}_0\Rightarrow
\mathfrak{S}_0\in E^{*}, et s_rx-x=-2\dfrac{\langle x,r\rangle}{(r,r)}\,r
\in R, dans le cas où s_rx\neq x i.e. \langle x,r\rangle\neq0, on a
-(x,r)\in\dfrac{(r,r)}{2}\lbrace\pm1\rbrace, donc
\ill{}\ \mathfrak{S}
\operatorname{card}\mathfrak{S}\leq3^r-1 donc \mathfrak{S}
a fortiori \mathfrak{S}_0 fini.
\mathfrak{S}, \mathfrak{S}_0 stables par W =
\hat W=\operatorname{Aut}(E,R), et W a un nb fini d'orbites dans
\mathfrak{S} et fortiori dans \mathfrak{S}_0.
Cas (A_r)L'indice de A est repassé en gras et se lit mal.
E=\mathbb{R}^{r+1},\qquad
E=\Bigl\lbrace(x_1,\ldots,x_{r+1})\ \Big|\ \sum_{1}^{r+1}x_i=0\Bigr\rbrace
R=\lbrace\alpha_{ij}=\xi_i-\xi_j\mid i\neq j,\ 1\leq i,j\leq r+1\rbrace
\qquad \operatorname{card}R=r(r+1)
produit scalaire induit par
(\xi,\eta)=\sum_1^{r+1}\xi_i\eta_i sur \mathbb{R}^{r+1}
Soit
Soit s=2, \alpha_2=\alpha_1+1
\begin{cases}
r_1\alpha_1+r_2\alpha_2=0\\
r_1+r_2=r+1\\
\alpha_2=\alpha_1+1
\end{cases}
\Longrightarrow
\begin{array}{l}
(r_1+r_2)\alpha_1+r_2=0\\
\text{i.e.}\ (r+1)\alpha_1+r_2=0\\
\text{i.e.}\ \alpha_1=\dfrac{-r_2}{r+1}
\end{array}
\struck{\text{Il y a}\ r+}\quad
\alpha_1=\frac{-r_2}{r+1},\quad\alpha_2=\frac{r_1}{r+1}\qquad
r_1+r_2=r+1
il y a r+1 classes de tels éléments, suivant la valeur de
1\leq r_1\leq r+1Lecture douteuse de la fin de la phrase ; la
borne supérieure est sur la page « r+1 ».
Au crayon, « 98 ». Feuille de listing tenue en largeur, en deux
colonnes : à gauche la fin du cas A_r et le cas B_r ; à droite les
cas C_r et D_r. La suite de la page 95.
\underbrace{-\frac{r_2}{r+1},\ldots,-\frac{r_2}{r+1}}_{r_1},\
\underbrace{\frac{r_1}{r+1},\ldots,\frac{r_1}{r+1}}_{r_2}
\qquad
-\frac{r_1}{r+1}\ \ -\frac{r_2}{r+1}\qquad\pm1
[1,r+1]=\underbrace{[1,r_1]}_{I_1}\cup
\underbrace{[r_1+1,r+1]}_{I_2}
\qquad \sigma I_1,\ \sigma I_2
\xi \alpha_1 sur I_1, \alpha_2 sur I_2
\sigma\xi=\xi\circ\sigma^{-1} \alpha_1 sur \sigma I_1, \alpha_2
sur \sigma I_2
\xi-\sigma\xi\qquad
\begin{array}{ll}
0 & \text{sur}\ (I_1\cap\sigma I_1)\cup(I_2\cap\sigma I_2)\\
\struck{-1} & \text{sur}\ I_1\cap\sigma I_2\\
& \text{sur}\ I_2\cap\sigma I_1
\end{array}
On veut, \forall\sigma tel que \sigma I_1\neq I_1 I_1\cap\sigma I_2
\begin{array}{ll}
\operatorname{card}(I_1\cap\sigma I_2)=1 &
\to\ \text{c'est possible (\uncertain{ssi}}\
\operatorname{card}I_1\leq1\ \text{ou}\ \operatorname{card}I_2\leq1\
\forall\sigma\ldots)\\
\operatorname{card}(I_2\cap\sigma I_1)=1 & \text{--- \,--- }
\end{array}
Donc OK ssi r_1=1 ou r_2=1
\underbrace{-\frac{1}{r+1},\ \frac{r}{r+1},\ldots,\frac{r}{r+1}}_{r}
\qquad
\underbrace{-\frac{r}{r+1},\ \struck{\ill{}},\ -\frac{r}{r+1}}_{r},\
\frac{1}{r+1}
Les accolades sont sur la page ; le « r » de la première ne
couvre que les termes \frac{r}{r+1}.
si r\geq2, 2 orbites sous W, qui sont
(B_r)Les étiquettes B_r, C_r, D_r sont
cerclées. V=E=\mathbb{R}^r
R=\lbrace\pm\varepsilon_i\ (1\leq i\leq r),\ \pm\varepsilon_i\pm
\varepsilon_j\ (1\leq i<j\leq r)\rbrace
\qquad 2r+4\,\frac{r(r-1)}{2}=2r+2r(r-1)=2r^2
À droite de V=E, un croquis de matrice d'ordre 2r+1 : des
blocs a_{ij} et -a_{ij} de part et d'autre de la diagonale, un 0
en bas.
Produit scalaire habituel, longueurs 1 et 2
\xi=(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_r)\qquad
\struck{\xi_i}\ \ 0\leq\xi_1\leq\xi_2\leq\cdots\leq\xi_r
\underbrace{\xi_1=\cdots=\xi_{r_1}}_{\alpha_1}\
\underbrace{\xi_{r_1+1}=\cdots=\xi_{r_1+r_2}}_{\alpha_2}\ \cdots\
\underbrace{\xi_{r_1+\cdots+r_{s-1}+1}=\cdots=
\xi_{r_1+\cdots+r_s=r}}_{\alpha_s}
(\xi,\varepsilon_i)\in\struck{2}\lbrace-1,0,1\rbrace\ \ \text{d.c.}\ \
\boxed{\xi_i\ \text{égale}\ 0\ \text{ou}\ 2}
Dans l'encadré, le mot « égale » est incertain et le « 2 » est
peut-être la fin d'un « \pm1 » ; le 2 de la ligne est biffé. La
ligne suivante et la conclusion \xi=(2,2,\ldots,2) ne sont pas
cohérentes avec « \xi_i=0 ou \pm1 » : on transcrit tel quel.
(\xi,\varepsilon_i\pm\varepsilon_j)=\xi_i\pm\xi_j\in\lbrace1,0,-1\rbrace
\qquad \struck{\ill{}}\
\begin{array}{l}\alpha_i+\alpha_j=1\\ \alpha_i-\alpha_j=-1\end{array}
\qquad \struck{\ill{}}\ \ \text{\uncertain{si}}\ 1\leq i<j\leq s
Une seule donc impossible, donc s=1
\xi=(2,2,\ldots,2)\qquad \mathfrak{S}=\emptyset
(C_r) E=\mathbb{R}^r
R=\lbrace\pm2\varepsilon_i\ (1\leq i\leq r),\ \pm\varepsilon_i\pm
\varepsilon_j\ (1\leq i<j\leq r)\rbrace
\struck{\xi_i\ \ldots}\ \ (\xi_i)_{1\leq i\leq r}\qquad
\xi_i\in\tfrac24\lbrace-1,0,+1\rbrace=\lbrace\ \rbrace
0\leq\xi_1\leq\cdots\leq\xi_r\quad\text{i.e.}\quad
\xi_1\in\lbrace0,\tfrac12\rbrace\qquad
\pm\xi_i\pm\xi_j\in\lbrace-1,0,+1\rbrace
\struck{\ill{}}\ \bigl(\tfrac12,\tfrac12,\ldots,\tfrac12\bigr)\qquad
\struck{r\geq3}\ \ r\geq3
\mathfrak{S}=\struck{\ill{}}\ \struck{\varepsilon_1,\varepsilon_2}\
\ill{}\,\lbrace\pm\tfrac12\rbrace^{r}\qquad
\mathfrak{S}_0=\emptyset
(D_r) E=\mathbb{R}^r,
R=\lbrace\pm\xi_i\pm\xi_j\ (1\leq i<j\leq r)\rbrace
\struck{\ill{}}\ \xi_1\ \ldots\ \xi_r\qquad
\xi_1\leq\xi_2\leq\cdots\leq\xi_r\qquad
\pm\xi_i\pm\xi_j\in\lbrace-1,0,1\rbrace
Sous \xi_2, un renvoi « \geq0 » . Au-dessous, un
croquis de matrice diagonale \operatorname{diag}(\lambda_1,
\lambda_1^{-1},\ldots,\lambda_r,\lambda_r^{-1}), entouré d'une courbe
qui la relie à la colonne de droite.
au plus deux valeurs distinctes des \xi_i, différant de 1, soit
\alpha et \alpha+1, mais \alpha+ 2\alpha+1\in\lbrace-1,0,1
\rbrace i.e. les valeurs égales, égales : \pm\frac12
2\alpha+1=0\quad\alpha=-\tfrac12\quad\alpha+1=\tfrac12\qquad
2\alpha+1=1,\ \alpha=0\qquad 2\alpha+1=-1,\ \alpha=-1
\left\lbrace
\begin{array}{l}
-\frac12,\ \underbrace{\frac12,\frac12,\ldots,\frac12}_{r-1}\\[4pt]
(\underbrace{0,\ldots,0}_{r-1},1)\ \ \struck{\ill{}}\
\boxed{r_2=1}\ \longrightarrow r\\[4pt]
(-1,\underbrace{0,\ldots,0}_{r-1})\ \ \struck{\ill{}}\
\text{\uncertain{conjugués}}\ (r_2=1)\\[4pt]
(\frac12,\frac12,\ldots,\frac12)
\end{array}\right.
Une flèche descend de la deuxième ligne à la troisième ; à côté,
biffés, des mots illisibles.
\bigl(\tfrac12\ \struck{\ill{}}\bigr)\qquad \struck{\ill{}}\qquad
\prod(\ill{})=1\qquad \prod(\ill{})=-1\qquad
\struck{\ill{}\,\lbrace\pm\varepsilon_i\rbrace}
il y a \mathfrak{S} a trois orbites,
\mathfrak{S}_0=\emptyset
Au crayon, « 99 ». Reprise des définitions de la page 95.
\mathfrak{S}'_0=\bigl\lbrace x\in E\ \big|\ w\in W,\
w(\struck{\ill{}}\,\mathbb{R}x)\neq\mathbb{R}x\Longrightarrow
wx-x\in R\bigr\rbrace
x\in\mathfrak{S}'_0,\ r\in R\qquad
s_rx-x=2\,\frac{(x,r)}{(r,r)}\,r
s_r(\struck{\ill{}}\,\mathbb{R}x)=(\mathbb{R}x)\iff
s_rx=x\ \text{ou}\ s_rx=-x\iff(x,r)=0\ \text{ou}\ x\in\mathbb{R}r
(x,r)\neq0\ \text{et}\ x\notin\mathbb{R}r\Longrightarrow
2\underbrace{\frac{(x,r)}{(r,r)}}_{\uncertain{n_{x,r}}}=\pm1
(x,r) donc
\mathfrak{S}'_0\subset\mathfrak{S}'=\Bigl\lbrace x\in E\ \Big|\
\forall r\in R\cap\complement\,\mathbb{R}x,\ \text{on a}\
(x,r)\in\frac{(r,r)}{2}\lbrace-1,0,+1\rbrace\Bigr\rbrace
\qquad
\begin{array}{ccc}
\mathfrak{S}'_0&\subset&\mathfrak{S}'\\
\cup&&\cup\\
\mathfrak{S}_0&\subset&\mathfrak{S}
\end{array}
Le \complement est une grande lettre repassée en gras.
\mathfrak{S}'=\mathfrak{S}\cup\Bigl\lbrace\lambda s\ \Big|\ s\in R,\
\lambda\in\mathbb{R}^{*+},\ (\lambda s,r)\in\frac{(r,r)}{2}
\lbrace-1,0,1\rbrace\ \ \forall r\in R-\lbrace s,-s\rbrace\Bigr\rbrace
\text{i.e.}\ \ \forall r\in R-\lbrace s,-s\rbrace\ \struck{\ill{}}\
(R\cap s^{\perp})\qquad
\struck{\text{i.e.}\ \lambda\in\frac{(r,r)}{2(s,r)}}\qquad
\lambda\in\frac{(r,r)}{2(s,r)}\lbrace-1,0,1\rbrace
\text{i.e.}\ \ \lambda=\pm\frac{(r,r)}{2(s,r)}\qquad
\text{i.e.}\ \ \frac1\lambda=\pm\frac{2(s,r)}{(r,r)}=\pm n(s,r)
La ligne « i.e. \forall r\in R-\lbrace s,-s\rbrace » précise
l'ensemble placé sous l'accolade ; le signe entre \lbrace s,-s\rbrace
et (R\cap s^\perp) est surchargé, peut-être un « - ».
Un tel \lambda existe (il est unique au signe près), pour
s donné, ssi les quantités \Bigl|\dfrac{(s,r)}{(r,r)}\Bigr|, pour
r racine non orthogonale ni proportionnelle à s, sont
égales, i.e. ssi il n'y a qu'un seul
Au crayon, « 100 ».
\mathfrak{S}'_0=
\begin{cases}
\mathfrak{S}_0 & \text{si toutes les racines ne sont pas de même
longueur}\\
\mathfrak{S}_0\cup R & \text{si toutes les racines de même long.}
\end{cases}
Au-dessous, un bloc de trois lignes biffé de hachures et d'un
cadre : « \mathfrak{S}_0 si toutes les »,
« \mathfrak{S}'_0\ \ill{}\ \mathfrak{S}_0 si toutes les racines sont
de même longueur », « \mathfrak{S}'_0\cap\mathfrak{S} ».
Cas de A_r (r\geq2) \mathfrak{S}'=\mathfrak{S}\cup R
\text{\uncertain{rel.\ donnés}}\quad
\struck{\underbrace{-\tfrac{r_2}{r+1},\ \ldots,\ -\tfrac{r_2}{r+1}}}
\quad
\left\lbrace
\begin{array}{l}
-\frac{r_2}{r+1}(e_1+\cdots+e_{r_1})+\frac{r_1}{r+1}
(e_{r_1+1}+\cdots+e_{r_1+r_2})\\
\quad 1\leq r_2\leq r-1\\
e_1-e_2
\end{array}\right.
\mathfrak{S}'_0=
\begin{cases}
\mathfrak{S}_0 & \text{si}\ r\neq3\ \text{i.e.}\ r+1\neq4\\
\struck{\ill{}}\ \mathfrak{S}_0\cup W.\bigl(-\tfrac12,-\tfrac12,
\tfrac12,\tfrac12\bigr)
\end{cases}
Au-dessus de « r\neq3 », un segment coupé en deux, marqué r_1,
r_2.
Au crayon, « 102 ». Une page de théorie des groupes, sans lien
apparent avec ce qui précède.
G\qquad N_1\ N_2\ N_3
Un petit diagramme : G au centre, avec une flèche vers le
haut vers G/N_1, une vers la droite vers G/N_2, et un trait vers le
bas à gauche vers G/N_3.
N_1\cap N_2=\lbrace e\rbrace\qquad
\forall x_1\in G,\ x_2\in G\quad \exists x\in G,\quad
x\in x_1N_1\cap x_2N_2\quad
\text{i.e.}\ \begin{cases}x_1^{-1}x\in N_1\\ x_2^{-1}x\in N_2\end{cases}
N_1\times N_2\to G\qquad(x_1,x_2)\mapsto x_1x_2\qquad
\struck{N_1N}\ N_1.N_2=G\iff N_2N_1=G
x_1x_2=y_1y_2\qquad(y_1^{-1}x_1)=(y_2x_2^{-1})\in N_1\cap N_2=\lbrace
e\rbrace\qquad x_1=y_1,\ x_2=y_2
\struck{x_1\in G}\qquad a_1b_2=x_1\quad d_2c_1=x_2\qquad a_1\ \ a
N_1\times N_2\simeq G\qquad
\begin{array}{l}N_1\simeq G/N_2\\ N_2\simeq G/N_1\end{array}
De « N_1\times N_2\simeq G » partent deux flèches croisées vers
N_1\simeq G/N_2 et N_2\simeq G/N_1, et une longue flèche vers un
x isolé à droite.
\struck{(x_1,x_2)\mapsto x_1x_2}\qquad
\begin{array}{l}
x=a_1a_2\ \longrightarrow\ a_1\in N_1\simeq G/N_2\qquad a_1=x_1\\
\phantom{x}=b_2b_1\ \longrightarrow\ \struck{\ill{}}\ \
N_2\simeq G/N_1
\end{array}
Entre ces deux lignes, biffé, « x_1x_2\to x_1 ».
x=x_1a_2\qquad x=x_2b_1\qquad x_1a_2=x_2b_1\qquad
x_2^{-1}x_1=b_1a_2^{-1}=b_1a'_2
\begin{cases}
N_2\cap N_3=N_3\cap N_1=N_1\cap N_2=\lbrace e\rbrace\\
N_2N_3=N_3.N_1=N_1.N_2=G
\end{cases}
\qquad
G\simeq N_2\rtimes N_1\simeq N_3\rtimes N_1
Les deux produits semi-directs sont écrits comme un « \cdot »
surmonté d'un petit signe ; la lecture \rtimes est incertaine.
À droite, séparé par un trait : G , N_1 invariant,
G/N_1\simeq V ; N_2 N_3.