Cote n° 66 · batch 1 · pages 1–4 · Transcription · Problèmes : notes manuscrites (1964)
Datation de l’inventaire : 1964
Édition de démonstration

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En haut à gauche, encadré : 1964.

En haut à droite : Numéros cerclés sont sans doute difficiles.

Travaux de thèses

sous le titre, un sous-titre a été rayé au point d'être illisible : […]

(NB Les sujets 1 à 10 et 20, 21, [26, 27, 28] sont de nature essentiellement cohomologique. 10, 19, 23, 24, 25 relèvent de la théorie des intersections ; 11, 12, 13 se rattachent à la th. de Néron. 14, 15, 22 th. des topos… 17, 18 yoga de représentabilité, formalisme général […])

\(*\) [Relation avec cohomologie cristalline]

les numéros que Grothendieck a entourés sont donnés ici entre parenthèses, sous la forme (7) ; ce sont ceux qu'annonce la ligne de tête

  1. 1)Topologie et cohomologies […] fppf : formalisme général […]
  2. (2)

    (la ligne est laissée vide, un simple trait horizontal la tient) : dualité (locale, globale).

    [subordonné à 1), 11)]

  3. (3)

    Partie \(p\)-primaire dans formule de Ogg–Chafarevitch

    [subordonné à 2)) donc à 1) et 11)]

  4. (4)Formule de RR en cohomologie étale, coeff. discrets. Relation avec représentations d'Artin supérieures. [Formule des \(\chi\) pour revêtement étale d'un schéma propre…]
  5. 5)Formule des \(\chi\) pour V.A. avec anneau d'opérateurs (variante de Ogg–Chafarevitch).
  6. 6)Formules de Lefschetz explicites (coeff. discrets étales, ou « continus » cohérents). Représentations d'Artin du point de vue cohérent…
  7. (7)Cohomologie des schémas de type fini sur \(\mathbb{Z}\) ; théorèmes de dualité globale satisfaisants (améliorant Artin).
  8. (8)Formalisme de dualité, du point de vue complexes [opérateurs] différentiels. Coefficients à connexion intégrable… Lien avec « cristaux ».
  9. (9)Dualité analytique…
  10. (10)Riemann–Roch et pb problèmes connexes (faisceaux de Modules), analytiques ou algébriques. (Cf. SGA 6)
  11. (11)Structures et groupes de la catégorie des schémas normaux. Foncteur de Néron relatif à un anneau de val. discrète.

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  1. 12)

    Mise au point, et extensions diverses, de la théorie des modèles de Néron.

    commencé par Raynaud

  2. (13)

    Théorèmes asymptotiques pour les foncteurs de Greenberg, relatifs à un anneau local noethérien complet ou hensélien.

    […] depuis les résultats d'approximation d'Artin

  3. 14)Structures des Topos (questions d'existence de foncteurs fibres…). Structure des champs. champs représentables…
  4. (15)

    Théories du type d'homotopie des Topos, incluant une définition des \(\pi_{i}\) à coefficients morceaux infinitésimaux. Th. d'Hurewicz. Suites exactes d'homotopie. Th. de comparaison, [« livrai »] […]

    fait partiellement par M. Artin. Réflexions de Quillen — en train

  5. (16)

    Théorie de spécialisation du [gr.] gr. p. fondamental, pour une famille de courbes.

    contre-exemple de Artin, schéma […]

  6. 17)

    Séparation des foncteurs : classes de correspondance… Cas de représentabilité et de non-représentabilité du \(\underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}\), \(X\) de dim. […] relative 1 sur \(S\).

    résolu par Raynaud

  7. (18)Question des passages aux quotients dans cas arbitraires et de l'effectivité de données de descente plates. Construction générale de corps de […]
  8. (19)Théorie d'amplitude pour cycles de dim. quelconque.

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  1. (20)Vanishing theorems. Cas des espaces homogènes.
  2. (21)\(H^{*}(X, F) \to H^{*}(X_{0}, F_{0})\) (\(X_{0}\) fermé dans \(X\) [coh. étale], quand est-ce un isom ? Suffit-il que ce soit vrai en dim 0 ? Cas \(X = \mathrm{Spec}\,A\), \(X_{0} = \mathrm{Spec}\,A/J\), \(A\) \(J\)-adiquement séparé complet. Cas de la localisation étale le long de \(X_{0} \subset X\), \(X\) affine.
  3. 22)

    Structure des catégories abéliennes avec produit tensoriel \(\pm\) rigide, en termes de représentations linéaires de groupes proalgébriques, et de représentations de gerbes… (préliminaire algébrique à la théorie des motifs).

    travail Saavedra en train

c'est le programme tannakien : la thèse de Saavedra Rivano, Catégories tannakiennes, est ici notée en cours

Encadré : Pour mémoire

Une accolade réunit ces deux lignes et deux flèches en partent : \(\Rightarrow\) dualité locale \(=\) bidualité, pour le top. étale ; \(\Rightarrow\) th. de finitude pour morphismes [de type fini] etc. etc.

Changement de base régulier [en cohomologie].

Dimension cohomologique des morphismes affines.

Questions dans SGA 1962

  1. 23)Théorie de Chow pour schémas réguliers ayant un faisceau inversible ample (équivalence rationnelle des cycles). L'image inverse par \(f : X \to Y\) doit être définie, sous seule condition que \(Y\) soit régulier.
  2. (24)

    1o Sur une variété projective lisse connexe de dim […] sur \(k\) corps algébriquement clos, un 1-cycle num. équiv. à 0 est-il […] équivalent à zéro ? En dim […], quand […] équiv. num. \(\approx\) équiv. hom. ?

    Réponse négative Griffiths pour […]

les deux dernières lignes de la page courent jusqu'au bord inférieur du cliché et n'y sont plus qu'en partie lisibles ; ce qui manque est signalé et non restitué

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  1. (25)

    Le produit de deux cycles alg. équiv. à 0 est-il rat. équiv. à 0 ? (« Pb des courbes »). Un 0-cycle qui est alg. équiv. à 0 est-il rationnellement équivalent à 0 ? Question de l'équivalence rationnelle des 0-cycles sur une surface.

    faux, cf Mumford…

  2. 26Théorie de Rosenlicht relative (sur base quelconque).
  3. 27Adèles des schémas de dim. quelconque. Jacobiennes locales.
  4. (28)Construction d'une théorie abstraite des motifs sur préschémas de type fini sur \(\mathbb{Z}\) (construction catégorique générale).

la liste s'arrête à 28 et le reste de la page est vierge