Fonds Grothendieck, cote n° 66, pages 1–4 — transcription Alexandre Grothendieck transcription automatique — première passe, non vérifiée contre les pages par une personne (2026-08-16) Opus 5 (claude-opus-5) procédure, outillage, export TEI grothendieck.commutator.io (Commutator, Paris) Édition de démonstration Commutator Paris 2026-09-25

Le fonds Alexandre Grothendieck est sous droits. Cette transcription est une édition de démonstration, non autorisée, produite par une machine et non vérifiée ; aucune image du fonds n'est reproduite. La source LaTeX dont ce fichier dérive est publiée sous https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project.

 https://grothendieck.commutator.io France Montpellier Université de Montpellier Fonds Alexandre Grothendieck (archives mathématiques, 1949–1991) 66 Problèmes : notes manuscrites (1964) Pages 1 à 4 de la cote, dans la numérotation des archivistes (crayon, en bas à gauche de chaque page) ; lot 1 de vingt pages. Les pages absentes de la transcription ne portent pas de mathématiques et sont omises ; le saut dans la numérotation en est le seul enregistrement. 1964Datation de l'inventaire de l'Université de Montpellier, reproduite telle quelle ; les crochets sont ceux des archivistes. https://grothendieck.umontpellier.fr/66.pdf Fac-similé numérique de l'Université de Montpellier. Sa première page est une feuille de garde générée par l'université : la page n des archivistes est la page n+1 du PDF, et l'attribut facs de chaque pb tient compte de ce décalage.

Transcription mathématique du fonds, une passe de vingt pages par conversation avec un grand modèle multimodal, sous la procédure transcribe-grothendieck du dépôt. Le fichier LaTeX est la source de référence ; ce TEI en est dérivé mécaniquement par scripts/tei.mjs et n'a pas été relu.

L'édition n'est pas diplomatique : elle encode les mathématiques et l'apparat, rien du support. Correspondance avec l'apparat de la source : \ill devient gap[@reason='illegible'] (jamais deviné) ; \uncertain devient unclear ; \add devient supplied ; \struck devient del (biffé par l'auteur) ; \note devient note[@type='editorial'] (du transcripteur) ; \marginal devient note[@type='authorial'][@place='margin'] (de l'auteur) ; \page devient pb.

Les mathématiques sont transportées en TeX dans formula[@notation='TeX'], les diagrammes commutatifs en formula[@notation='tikz-cd'], sans conversion. Une marque d'apparat située à l'intérieur d'une formule (un exposant illisible, un symbole biffé) reste dans le TeX de la formule, sous les mêmes macros.

Orthographe, ponctuation et lapsus de l'auteur sont conservés ; une faute évidente est signalée par une note, jamais corrigée.

 https://github.com/Commutator-IO/grothendieck-project français, avec la notation mathématique de l'auteur Première passe de transcription. Export TEI depuis la source LaTeX.

En haut à gauche, encadré : 1964.

En haut à droite : Numéros cerclés sont sans doute difficiles.

Travaux de thèses

sous le titre, un sous-titre a été rayé au point d'être illisible :

(NB Les sujets 1 à 10 et 20, 21, 26, 27, 28 sont de nature essentiellement cohomologique. 10, 19, 23, 24, 25 relèvent de la théorie des intersections ; 11, 12, 13 se rattachent à la th. de Néron. 14, 15, 22 th. des topos… 17, 18 yoga de représentabilité, formalisme général )

* [Relation avec cohomologie cristalline]

les numéros que Grothendieck a entourés sont donnés ici entre parenthèses, sous la forme (7) ; ce sont ceux qu'annonce la ligne de tête

Topologie et cohomologies fppf : formalisme général

(la ligne est laissée vide, un simple trait horizontal la tient) : dualité (locale, globale).

[subordonné à 1), 11)]

Partie p-primaire dans formule de Ogg–Chafarevitch

[subordonné à 2)) donc à 1) et 11)]

 Formule de RR en cohomologie étale, coeff. discrets. Relation avec représentations d'Artin supérieures. [Formule des \chi pour revêtement étale d'un schéma propre…] Formule des \chi pour V.A. avec anneau d'opérateurs (variante de Ogg–Chafarevitch). Formules de Lefschetz explicites (coeff. discrets étales, ou « continus » cohérents). Représentations d'Artin du point de vue cohérent… Cohomologie des schémas de type fini sur \mathbb{Z} ; théorèmes de dualité globale satisfaisants (améliorant Artin). Formalisme de dualité, du point de vue complexes opérateurs différentiels. Coefficients à connexion intégrable… Lien avec « cristaux ». Dualité analytique… Riemann–Roch et pb problèmes connexes (faisceaux de Modules), analytiques ou algébriques. (Cf. SGA 6) Structures et groupes de la catégorie des schémas normaux. Foncteur de Néron relatif à un anneau de val. discrète.

Mise au point, et extensions diverses, de la théorie des modèles de Néron.

commencé par Raynaud

Théorèmes asymptotiques pour les foncteurs de Greenberg, relatifs à un anneau local noethérien complet ou hensélien.

depuis les résultats d'approximation d'Artin

 Structures des Topos (questions d'existence de foncteurs fibres…). Structure des champs. champs représentables…

Théories du type d'homotopie des Topos, incluant une définition des \pi_{i} à coefficients morceaux infinitésimaux. Th. d'Hurewicz. Suites exactes d'homotopie. Th. de comparaison, « livrai »

fait partiellement par M. Artin. Réflexions de Quillen — en train

Théorie de spécialisation du gr. gr. p. fondamental, pour une famille de courbes.

contre-exemple de Artin, schéma

Séparation des foncteurs : classes de correspondance… Cas de représentabilité et de non-représentabilité du \underline{\mathrm{Pic}}_{X/S}, X de dim. relative 1 sur S.

résolu par Raynaud

 Question des passages aux quotients dans cas arbitraires et de l'effectivité de données de descente plates. Construction générale de corps de Théorie d'amplitude pour cycles de dim. quelconque. Vanishing theorems. Cas des espaces homogènes. H^{*}(X, F) \to H^{*}(X_{0}, F_{0}) (X_{0} fermé dans X coh. étale, quand est-ce un isom ? Suffit-il que ce soit vrai en dim 0 ? Cas X = \mathrm{Spec}\,A, X_{0} = \mathrm{Spec}\,A/J, A J-adiquement séparé complet. Cas de la localisation étale le long de X_{0} \subset X, X affine.

Structure des catégories abéliennes avec produit tensoriel \pm rigide, en termes de représentations linéaires de groupes proalgébriques, et de représentations de gerbes… (préliminaire algébrique à la théorie des motifs).

travail Saavedra en train

c'est le programme tannakien : la thèse de Saavedra Rivano, Catégories tannakiennes, est ici notée en cours

Encadré : Pour mémoire

Résolution des singularités. Pureté cohomologique.

Une accolade réunit ces deux lignes et deux flèches en partent : \Rightarrow dualité locale = bidualité, pour le top. étale ; \Rightarrow th. de finitude pour morphismes de type fini etc. etc.

Changement de base régulier en cohomologie.

Dimension cohomologique des morphismes affines.

Théorèmes de finitude genre Grauert. Théories type rigide-analytiques.
Questions dans SGA 1962 Théorie de Chow pour schémas réguliers ayant un faisceau inversible ample (équivalence rationnelle des cycles). L'image inverse par f : X \to Y doit être définie, sous seule condition que Y soit régulier.

1o Sur une variété projective lisse connexe de dim sur k corps algébriquement clos, un 1-cycle num. équiv. à 0 est-il équivalent à zéro ? En dim , quand équiv. num. \approx équiv. hom. ?

Réponse négative Griffiths pour

les deux dernières lignes de la page courent jusqu'au bord inférieur du cliché et n'y sont plus qu'en partie lisibles ; ce qui manque est signalé et non restitué

Le produit de deux cycles alg. équiv. à 0 est-il rat. équiv. à 0 ? (« Pb des courbes »). Un 0-cycle qui est alg. équiv. à 0 est-il rationnellement équivalent à 0 ? Question de l'équivalence rationnelle des 0-cycles sur une surface.

faux, cf Mumford…

 Théorie de Rosenlicht relative (sur base quelconque). Adèles des schémas de dim. quelconque. Jacobiennes locales. Construction d'une théorie abstraite des motifs sur préschémas de type fini sur \mathbb{Z} (construction catégorique générale).

la liste s'arrête à 28 et le reste de la page est vierge