Cote n° 63 · batch 4 · pages 61–80 · Transcription · Formulaire courbes elliptiques : notes et copies de notes manuscrites (s.d.), tapuscrit (s.d.), copies d'articles (s.d.)
Datation de l’inventaire : [à partir de 1964-vers 1970]
Édition de démonstration

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61Les pages 61 à 63 terminent la copie du tapuscrit de A. O. L. Atkin, « Congruence Hecke operators », commencée page 56. Texte d'un autre auteur : il n'est pas recomposé ; chaque page reçoit une note. Comme au lot précédent, toutes les marques manuscrites font partie de l'image photocopiée (formules complétées par l'auteur, soulignements et signes d'un correcteur d'épreuves, corrections en anglais) ; aucune n'est de sa main. Page dactylographiée 6 (en-tête coupé) : §3 « The subgroup \(\Gamma_0(q)\) for \(q\) prime » : la théorie du §2 s'étend en remplaçant \(T_q\) par \(U_qF(z)=q^{-1}\sum_{\lambda=0}^{q-1}F\bigl(\frac{z+\lambda}{q}\bigr) =\sum a(nq)x^n\) ; formes « nouvelles » \(C^0\) ; propriétés (H1q)-(H4q) ; Théorème 2 : base de formes propres simultanées des \(T_p\) et de \(U_q\), équivalente aux relations \(a(np)-a(n)a(p)+p^{-k-1}a(n/p)=0\) (\(p\neq q\)) et \(a(nq)-a(n)a(q)=0\) ; pour \(k\) négatif, \(a(q)=\pm q^{-k/2-1}\) ; renvoi à un article de J. Lehner et de l'auteur pour \(\Gamma_0(m)\). Marques : le mot « entire » et « an extension » ajoutés à la machine au-dessus de la ligne, soulignements ondulés et droits, le signe \(\neq\) tracé à la main, un signe dièse dans la marge droite.

62Page « atkin page 7 » : Conjecture 3 (\(q\leq 23\) premier) : il existe des fonctions entières \(F_\alpha(x)=x+\sum_{n\geq 1}a_\alpha(n)x^n\) sur \(\Gamma_0(q)\), nulles en \(z=i\infty\), vérifiant (i) \(a_\alpha(np)-a_\alpha(n)a_\alpha(p)+p^{-1}a_\alpha(n/p)\equiv 0\), (ii) \(a_\alpha(nq)-a_\alpha(n)a_\alpha(q)\equiv 0\), (iii) \(a_{\alpha+1}(n)\equiv a_\alpha(n)\) modulo \(q^\alpha\), et (iv) toute fonction entière \(F\) à série de Fourier entière vérifie \(U_q^{\alpha+\beta}F(x)\equiv k+k_{\alpha\beta}F_\alpha(x)\pmod{q^\alpha}\) ; remarques sur l'unicité de \(F_\alpha\), l'attrait d'une fonction à coefficients \(q\)-adiques, et l'espoir d'une preuve par la géométrie algébrique. Corrections manuscrites en anglais, dans l'image photocopiée : « for all \(\alpha\geq 1\) » ajouté après « we have », « \(k\) and » inséré devant « \(k_{\alpha\beta}\) », « \(k+\) » ajouté dans la congruence, « is a constant » corrigé en « are constants » ; soulignements, un signe dièse.

63Page « atkin page 8 » : extension de la Conjecture 2 comme la Conjecture 3 étend la Conjecture 1 ; les deux difficultés (l'analogue de (H4q), qu'on ne sait obtenir que si \(\Gamma_0(q)\) est de genre 0, et un critère de diagonalisation simultanée) ; puis « References » 1 à 9 (Atkin 1967 ; Atkin, Blaricum 1966 ; Atkin et O'Brien 1967 ; Gunning 1962 ; Lehner 1949, deux articles ; Lehner 1965 ; Rankin 1964 ; Rankin et Rushforth 1954), et une ligne d'adresse dactylographiée à peine lisible. Marques : « for all \(\alpha\) » ajouté à la machine ; soulignements ondulés sous les numéros de volume ; dans la référence 5, une pagination biffée et remplacée à la main par « 136-148 » ; « Modular », « Functions », « Forms » corrigés à la main dans la référence 8 ; un signe dièse final.

65\[x_2,\ y_3,\ g_4,\ g_6 \qquad \boxed{y_3^2 = x_2^3 + g_4x_2 + g_6}\] \[\begin{cases} x = x_\omega = \omega^{-2}x_2\\ y = y_\omega = \omega^{-3}y_3\\ \gamma_4 = \gamma_{4\omega} = \omega^{-4}g_4\\ \gamma_6 = \gamma_{6\omega} = \omega^{-6}g_6 \end{cases} \qquad \text{i.e.}\quad y^2 = x^3 + \gamma_4x + \gamma_6\] \(\gamma_4\) est écrit sur un \(g_4\) biffé. \[\boxed{dx = 2y\,\omega}\quad \text{i.e.}\quad \boxed{d(\omega^{-2}x_2) = 2\omega^{-2}y_3}\] \[2y\,dy = (3x^2+\gamma_4)\,dx = 2y\,(3x^2+\gamma_4)\,\omega\] \[\boxed{dy = (3x^2+\gamma_4)\,\omega}\qquad \boxed{d(\omega^{-3}y_3) = (3x_2^2+g_4)\,\omega^{-3}}\] dans les deux cadres, un coefficient numérique en fraction est biffé devant la parenthèse, et dans le second deux facteurs devant \(x_2^2\) et \(g_4\) sont noircis : les formules se lisent comme données ici. \[\begin{cases} \omega = \dfrac12\,\dfrac{dx}{y}\\[2mm] \eta = \omega x = \dfrac12\,\dfrac{x\,dx}{y} \end{cases} \qquad [\,= \omega^{-1}x_2\,]\] un mot est noirci après \(\omega\) à la première ligne, et un autre avant \(\frac12\) à la seconde. \[\begin{cases} \int_{\gamma_1}\omega = \omega_1, & \omega_1 = \int_0^{\omega_1}dz\\[1mm] \int_{\gamma_2}\omega = \omega_2, & \omega_2 = \int_0^{\omega_2}dz \end{cases} \qquad X^{\mathrm{an}} \simeq \mathbf{C}/E(\omega_1,\omega_2)\] \[\begin{cases} x = \dfrac{1}{z^2} + \sum'_{a\in E(\omega_1,\omega_2)} \Bigl[\dfrac{1}{(z-a)^2} - \dfrac{1}{a^2}\Bigr]\\[3mm] y = -\dfrac{1}{z^3} - \sum_{a\in E(\omega_1,\omega_2)}\dfrac{1}{(z-a)^3} \end{cases}\] dans la formule de \(y\), le signe devant la seconde somme est surchargé ; nous lisons \(-\), sans certitude. \[\begin{cases} \omega = dz\\ \eta = x\,dz \end{cases} \qquad \eta_1 = \int_u^{u+\omega_1}x\,dz,\quad \eta_2 = \int_u^{u+\omega_2}x\,dz\] \[\gamma_4 = \qquad \gamma_6 =\] les deux dernières lignes sont laissées sans second membre.

66Passage du splitting standard des formes différentielles de 2\(^{\mathrm{e}}\) espèce en \(\omega,\eta\) au splitting transcendant (de Hodge) \(\omega,\bar\omega\), donc on aura \[\begin{cases} \eta + \alpha\omega = \beta\bar\omega\\[1mm] \alpha = -\dfrac{\bar\omega_1\eta_2 - \bar\omega_2\eta_1} {\bar\omega_1\omega_2 - \bar\omega_2\omega_1} \end{cases}\] NB. dénominateur \(= 2i\,|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau \neq 0\)

NB On a une 2-forme invariante canonique associée à la comparaison des deux splittings \[\pi = \alpha\,\omega^2 \in \Gamma\,\mathrm{Hom}(\underline{\omega}^{-1}, \underline{\omega}) = \Gamma\,\underline{\omega}^2\]

Questions a) Quand \(\alpha=0\) ?, i.e. \(\bar\omega\) proportionnel à \(\eta\) ??

b) Quand \(\alpha\) est-il algébrique sur \(\mathbf{Q}\) ?

68\[\eta_1 = \Bigl[-\frac1z\Bigr]_u^{u+\omega_1} + \sum_{a\neq 0}\Bigl[-\frac{1}{z-a} - \frac{1}{a^2}\,z\Bigr]_u^{u+\omega_1}\] \[= \Bigl(\frac1u - \frac{1}{u+\omega_1}\Bigr) + \sum_{a\neq 0}\Bigl[\frac{1}{u-a} - \frac{1}{u+\omega_1-a} - \frac{\omega_1}{a^2}\Bigr]\] \[= \omega_1\Bigl[\frac{1}{u(u+\omega_1)} + \sum_{a\neq 0}\Bigl(\frac{1}{(u-a)(u+\omega_1-a)} - \frac{1}{a^2}\Bigr)\Bigr]\] sous le terme de la somme, une accolade donne sa valeur : \(\frac{1}{a^3}\,\frac{(2u+\omega_1)-u(u+\omega_1)a^{-1}} {(1-ua^{-1})(1-(u+\omega_1)a^{-1})}\) ; une ligne commencée « \(=\omega\) » est biffée. \[= \omega_1\Bigl[\frac{1}{u(u+\omega_1)} + \frac{1}{(u-\omega_1)u} - \frac{1}{\omega_1^2} + \sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_1}}\cdots\Bigr]\] une flèche renvoie la somme au terme de l'accolade précédente ; sous les deux premiers termes, une accolade : \(\frac{2}{(u+\omega_1)(u-\omega_1)}\), un facteur \(u\) biffé au dénominateur.

faisons \(u\to 0\), on trouve \[\eta_1 = \omega_1\Bigl[-\frac{3}{\omega_1^2} + \sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_1}}\frac{1}{a^3}\, \frac{\omega_1}{1-\omega_1a^{-1}}\Bigr]\] accolade sous le terme : \(\frac{1}{a^3}\,\frac{1}{\omega_1^{-1}-a^{-1}}\). \[\eta_1 = -\frac{3}{\omega_1} + \omega_1\sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_1}} \Bigl(\frac{1}{a^3}\,\frac{1}{\omega_1^{-1}-a^{-1}}\Bigr) = -\frac{3}{\omega_1} + \omega_1^2\sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_1}} \frac{1}{a^2}\cdot\frac{1}{a-\omega_1}\] accolade sous le terme du milieu : \(\frac{1}{a^2}\,\frac{\omega_1}{a-\omega_1}\). \[a = m\omega_1 + n\omega_2\] \[\eta_2 = \qquad -\frac{3}{\omega_2} + \omega_2^2\sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_2}} \frac{1}{a^2}\,\frac{1}{a-\omega_2}\] la formule de \(\eta_2\) est écrite à droite, sous celle de \(\eta_1\) ; l'indice de la somme se lit « \(a\neq\omega_1\) », par report de la ligne précédente, sans doute pour \(a\neq\omega_2\). En bas à gauche, un mot biffé […].

70\[\eta_1 = -\frac{3}{\omega_1} + \omega_1^2 \sum_{\substack{(m,n)\neq(0,0)\\ (m,n)\neq(1,0)}} \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\,\frac{1}{(m-1)\omega_1+n\omega_2}\] \[\eta_2 = -\frac{3}{\omega_2} + \omega_2^2 \sum_{\substack{(m,n)\neq(0,0)\\ (m,n)\neq(0,1)}} \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\,\frac{1}{m\omega_1+(n-1)\omega_2}\] \[\bar\omega_1\eta_2 - \bar\omega_2\eta_1 = -3\Bigl(\frac{\bar\omega_1}{\omega_2} - \frac{\bar\omega_2}{\omega_1}\Bigr) + \sum_{(m,n)\neq(0,0),(1,0),(0,1)} \frac{N_{m,n}}{D_{m,n}}\] \[N_{m,n} = |\omega_1|^2\Bigl((m-1)\omega_2^2 + n\,\frac{\omega_2^3}{\omega_1}\Bigr) - |\omega_2|^2\Bigl((n-1)\omega_1^2 + m\,\frac{\omega_1^3}{\omega_2}\Bigr)\] \[D_{m,n} = (m\omega_1+n\omega_2)^2\,\bigl((m-1)\omega_1+n\omega_2\bigr) \bigl(m\omega_1+(n-1)\omega_2\bigr)\] \[+\ \bar\omega_1\omega_2^2\,\frac{1}{\omega_1^2(\omega_1-\omega_2)} - \bar\omega_2\omega_1^2\,\frac{1}{\omega_2^2(\omega_2-\omega_1)}\] la notation \(N_{m,n}/D_{m,n}\) est nôtre : il écrit la fraction d'un seul tenant, sur deux lignes. Un premier essai de somme après la parenthèse, avec les exclusions \((0,0)\), \((1,0)\), \((0,1)\), est biffé de hachures. Sous les deux derniers termes (les termes \((0,1)\) de \(\eta_1\) et \((1,0)\) de \(\eta_2\)), une accolade : \(\frac{\bar\omega_1\omega_2^4+\bar\omega_2\omega_1^4}{(\omega_1\omega_2)^2(\omega_1-\omega_2)}\), un exposant biffé sur \((\omega_1-\omega_2)\). \[= \frac{\bar\omega_1\omega_2^4+\bar\omega_2\omega_1^4}{\omega_1^2\omega_2^2(\omega_1-\omega_2)} - 3\,\frac{|\omega_1|^2-|\omega_2|^2}{\omega_1\omega_2} + \sum_{(m,n)\neq(0,0),(1,0),(0,1)}\cdots\] une flèche renvoie la somme à celle de la ligne précédente.

\[= \frac{|\omega_1|^2}{\omega_1^2}\,\frac{\tau^4+\bar\tau}{\tau^2(1-\tau)} - \frac{|\omega_1|^2}{\omega_1^2}\,\frac{1-|\tau|^2}{\tau}\] \[+ \sum_{(m,n)\neq(0,0),(0,1),(1,0)}\frac{|\omega_1|^2}{\omega_1^2}\, \frac{(m-1)\tau^2+n\tau^3-(n-1)|\tau|^2+m|\tau|^2\tau^{-1}} {(m+n\tau)^2\bigl((m-1)+n\tau\bigr)\bigl(m+(n-1)\tau\bigr)}\] ici \(\tau=\omega_2/\omega_1\), ce que la page ne dit pas. Le premier facteur est récrit sur une première version noircie, et l'exposant du dénominateur \(\tau^2(1-\tau)\) corrigé ; le dernier terme du numérateur de la somme (\(m|\tau|^2\tau^{-1}\)) est lu ainsi, sans certitude. \[= \frac{|\omega_1|^2}{\omega_1^2}\Bigl(\frac{\tau^5+|\tau|^2}{\tau^3(1-\tau)} - \frac{1-|\tau|^2}{\tau} + \sum_{(m,n)\neq(0,0),(0,1),(1,0)} \frac{n\tau^4+(m-1)\tau^3+(n-1)|\tau|^2\tau+m|\tau|^2} {\tau(m+n\tau)^2\bigl((m-1)+n\tau\bigr)\bigl(m+(n-1)\tau\bigr)}\Bigr)\] le signe devant \((n-1)|\tau|^2\tau\) est lu \(+\) ; la ligne précédente porte \(-(n-1)|\tau|^2\). \[\alpha = -\frac{\bar\omega_1\eta_2-\bar\omega_2\eta_1}{2i\,|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau} = -\frac{1}{2i\,\omega_1^2\,\mathrm{Im}(\tau)} \Bigl(\frac{\tau^5+|\tau|^2}{\tau^3(1-\tau)} - \frac{1-|\tau|^2}{\tau} + \sum_{(m,n)\neq(0,0),(0,1),(1,0)}\cdots\Bigr)\] un \(\bar\omega_1\) biffé précède \(\alpha\) ; une flèche renvoie la somme à la ligne précédente.

72\[V = L + L^{-1}\] \(L\) défini par \(\mathbf{T}\) sur \(\mathcal{U}=\lbrace z,\ |z|=1\rbrace\), \(P\) sur \(\mathbf{R}^{*+}\)

\(\varphi\colon \bar V \xrightarrow{\ \sim\ } V\) involution \[\bar L \to L + L^{-1} \qquad \alpha\in \bar L^{-1}\otimes L,\quad \beta\in(\bar L L)^{-1}\] sous \(\bar L^{-1}\otimes L\) : « défini par \(T^{(2)}\) sur \(\mathcal{U}\) » ; sous \(\bar L L\) : « défini par \(P^{(2)}\) sur \(\mathbf{R}^{*+}\) », et au-dessus de la ligne suivante, entre parenthèses, « ([…] ailleurs arbitraires) ».

\(\boxed{\beta\neq 0}\) Alors les conditions […] \(\alpha\) et \(\beta\) découlent […] l'involution […] […]. \[V = L + \varphi(L)\] H dual de \(V\) s'écrit \(z = x + \bar y\) […] (\(x\in L\), \(y\in L\) uniques) \[\alpha\,\bar z = y + \bar x\] \[\varphi(x) = \bar x = \alpha(\tilde x) + \beta(\tilde x)\] un mot biffé à droite de cette formule ; les tildes sur \(x\) sont lus ainsi, sans certitude.

si \(y\in L^{-1}\), on aura \[y = a + \varphi(b) \quad a\in L,\ b\in L;\qquad = \bigl(a+\alpha(b)\bigr) + \beta(b)\] donc \(a+\alpha(b)=0\), \(\beta(b)=y\), d'où \(b=\beta^{-1}y\), \(a=-\alpha(b)=-\alpha\beta^{-1}(y)\)

donc \[y = -\alpha\beta^{-1}(y) + \overline{\beta^{-1}(y)}, \quad\text{d'où}\] \[\bar y = \beta^{-1}(y) - \overline{\alpha\beta^{-1}(y)} = \bigl(\beta^{-1}(y) - \alpha^2\beta^{-1}(y)\bigr) - \beta\alpha\beta^{-1}(y)\] les deux lignes sont très surchargées : un « \(+\alpha\) » biffé dans la première, un « \(\varphi(y)\) » biffé au-dessus de \(\bar y\), des signes noircis et un facteur \(\alpha\) biffé devant \(\beta^{-1}(y)\) dans la seconde. Nous donnons l'état final lisible.

Sous quelle condition, pour la forme ⌜alternée⌝ canonique sur \(V\), a-t-on \(\langle\bar x,\bar y\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}\) ? Il suffit de l'écrire pour \(x\in L\), \(y\in L^{-1}\), on a alors \[\langle\bar x,\bar y\rangle = \langle\underbrace{\alpha(x)}_{L} + \underbrace{\beta(x)}_{L^{-1}},\ \bigl(\beta^{-1}(y)-\alpha^2\beta^{-1}(y)\bigr) - \beta\alpha\beta^{-1}(y)\rangle\] \[= -\langle\alpha(x),\beta\alpha\beta^{-1}(y)\rangle + \langle\beta^{-1}y-\alpha^2\beta^{-1}y,\ \beta(x)\rangle\] On trouve la condition : \(\beta+\bar\beta=0\) i.e. \(\beta\) purement imaginaire.

74[…]

Or dans le cas qui nous occupe, on aura (si \(\omega\) est une 1-forme invariante) \[\beta(\omega,\omega) = \int_X\omega\bar\omega = \int_X(dx+i\,dy)(dx-i\,dy) = -2i\int_X dx\wedge dy = -2i\,|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau = |\omega_1|^2(\bar\tau-\tau)\] sous l'intégrale du milieu : \(x=\mathrm{Re}\,z\), \(y=\mathrm{Im}\,z\).

La condition voulue exige donc que \[\beta = -2i\rho \quad\text{avec}\quad \rho>0, \qquad \rho = \int_X dx\wedge dy\] un premier terme est biffé après « \(\beta=\) ».

Quant à \(\alpha\), il vient a priori une classe arbitraire de \(\bar L^{-1}\otimes L\). Notons que « \(\alpha\) » est (indépendamment du choix d'une base \(\omega\) de \(L=\underline{\omega}\)) défini, qu'est-il ?

[NB. \(\gamma = -\alpha\beta^{-1}\in L^{\otimes 2}\) est l'objet qui fait passer du splitting « algébrique » de \(V\) au « splitting transcendant » ⌜de \(V\)⌝ (i.e. de \(x\mapsto\bar x\)). La connaissance de \((\alpha,\beta)\) équivaut à celle de \(\beta\) et \(\gamma\), i.e. de la forme volume \(\int_X\omega\bar\omega\) et des splittings.]

Posons, si \(\omega,\eta\) sont choisis [donc \(L\simeq\mathbf{C}\), \(L^{-1}\simeq\mathbf{C}\) isomorphismes donnés], en plus de \(\rho = \mathrm{Vol}(X)\), \[\rho = -\frac{1}{2i}\int\omega\bar\omega = \mathrm{Vol}(X),\] la forme \[\sigma = -\frac{1}{2i}\int\eta_0\bar\eta_0\] où \(\eta_0\) est une forme différentielle fermée dans la classe de celle de \(\eta\).

On trouve \[4\rho\sigma = (1-\alpha\bar\alpha)\]

75Feuillet dactylographié « - 3 - » d'un projet de l'« Avant-propos » de SGA 4, barré d'un seul trait oblique, au dos de la page 74 : fin du §2 (b) les travaux d'Igusa sur les « vanishing cycles » et l'inégalité de Picard ; c) les résultats d'Ogg et Chafarevitch) et §3 (plan des exposés I à VI, VII-VIII, IX-X, XII à XVI, XVII à XIX), avec les notes (2) « Obtenus entre Septembre 1962 et Mars 1963 par M. Artin et A. Grothendieck » et (3) « Obtenus en Février-Mars 1963 par A. Grothendieck […] ». Texte non recomposé. Ses corrections à l'encre, dans l'ordre de la page : au §2 c), après « à coefficient », « des » surchargé et un mot ajouté au-dessus, dans ; des virgules ajoutées après « algébriques » (même alinéa), après « La présentation » et après « contenus dans Artin », et après « coefficients de torsion » ; une croix dans la marge gauche en face de « contenus dans Artin » ; les numéros « VII et VIII » et « IX, X » repassés ou surchargés à la main ; en face de l'alinéa « Les résultats des exposés XII à XVI », dans la marge gauche, « XII » souligné, et plus à gauche, au crayon, « X.3.10 » et « X.3.4 » ; après « Théorèmes de changement de base" », « Nous avons pris soin de donner » écrit puis biffé, remplacé, à l'encre bleue sous la ligne, par « qui techniquement constituent le résultat central de ce séminaire. », un trait ondulé menant à la marge droite ; dans « Les exposés XVII à XIX », le dernier numéro surchargé ; « théorème des dualités globales » ramené à « théorème de dualité globale » par suppression des trois « s » ; dans la note (3), « dans 1965 » biffé après « qui sera exposé », et « SGA 1965 » écrit à la suite.

76Ainsi \[0\leq\alpha\bar\alpha\leq 1\] et de façon précise \[1-\alpha\bar\alpha = 4\rho\sigma, \quad\text{i.e.}\quad \alpha\bar\alpha = 1-4\rho\sigma\] Ainsi, \(\beta\) et \(\alpha\bar\alpha\) sont donnés en termes volumétriques. Il reste à donner (pour \(\alpha\bar\alpha\neq 0\)) \(\arg\alpha\) (qui dépend bien […] […] du choix de \(\omega\)). Normalisons \(\omega\) de façon que \(\omega^{12}=\Delta\), ce qui le détermine mod multiplication par \(\zeta\), \(\zeta^{12}=1\), on voit que \(\arg\alpha\in\mathcal{U}=\lbrace z\in\mathbf{C},\ |z|=1\rbrace\) se trouve déterminé à puissance mult. par \(\zeta\), avec \(\zeta^6=1\). Donc […] […] un invariant canonique, ([…] comment […] en fonction de \(j\) !) \[(\arg\alpha)^6\in\mathcal{U}.\] NB. \(\rho\) et \(\sigma\) sont déterminés mod rien du tout par la normalisation \(\omega^{12}=\Delta\)).

79Les pages 79 et 80 sont un tapuscrit de deux feuillets, paginés « X-1 » et « X-2 », « Liste des courbes elliptiques à multiplication complexe dont l'invariant modulaire \(j\) est rationnel ». L'auteur n'est pas nommé et le texte n'est pas de sa main ; la pagination est celle d'un exposé X d'une série ; la seule note rédigée au crayon est un commentaire de lecteur. Nous le traitons comme le texte d'un autre auteur : il n'est pas recomposé, chaque page reçoit une note, et les marques au crayon, d'une écriture qui paraît être la sienne (attribution incertaine, comme au lot 2), sont données en entier. Feuillet X-1 : ces courbes s'obtiennent à partir des ordres de corps quadratiques imaginaires de nombre de classes 1 : a) les corps \(\mathbf{Q}(\sqrt{-d})\) d'anneau des entiers principal, \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\) « plus peut-être une autre valeur \(d_?\) » ; b) les conducteurs \(f\) donnant un ordre de nombre de classes 1 : \(f=1,2\) pour \(d=1\), \(f=1,2,3\) pour \(d=3\), \(f=1,2\) pour \(d=7\), \(f=1\) pour les autres (et \(d_?\) s'il existe) ; c) pour chaque \((d,f)\), \(j(t)\) pour une base \((1,t)\) de l'ordre, valeurs tirées de H. Weber, Lehrbuch der Algebra, t. III, par \(j=(f^{24}-16)^3/f^{24}=(f_1^{24}+16)^3/f_1^{24}\) ; 1.1 \((d=1,f=1)\) : \(j(i)=2^63^3\) (groupe d'automorphismes d'ordre 4) ; 1.2 \((d=1,f=2)\) : \(j(2i)=(2\cdot3\cdot11)^3\). Au crayon : une accolade sur \(d=1,2,3,7,11\) surmontée de « euclidiens » entre guillemets, et dans la marge gauche : NB les \(d\) sont premiers !

80Feuillet X-2, suite de la liste : 2.1 \(j(\sqrt{-2})=(2^2\cdot5)^3\) ; 3.1 \(j\bigl(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\bigr)=0\) (groupe d'automorphismes d'ordre 6) ; 3.2 \(j(\sqrt{-3})=2^43^35^3\) ; 3.3 \(j\bigl(\frac{-1+3\sqrt{-3}}{2}\bigr)=-3\cdot2^{15}5^3\) ; 7.1 \(j\bigl(\frac{-1+\sqrt{-7}}{2}\bigr)=-3^35^3\) ; 7.2 \(j(\sqrt{-7})=(3\cdot5\cdot17)^3\) ; 11.1 \(j\bigl(\frac{-1+\sqrt{-11}}{2}\bigr)=-2^{15}\) ; 19.1 \(-(2^5\cdot3)^3\) ; 43.1 \(-(2^6\cdot3\cdot5)^3\) ; 67.1 \(-(2^5\cdot3\cdot5\cdot11)^3\) ; 163.1 \(-(2^6\cdot3\cdot5\cdot23\cdot29)^3\) ; \(d_?.1\) : \(j=\,?\) ; renvois à Weber (p. 721, 462, 460, 475). Le texte s'achève par « *** ». Aucune marque manuscrite, hormis une surcharge dactylographique (\(d=3\) en 3.3).