Les pages 61 à 63 terminent la copie du tapuscrit de A. O. L. Atkin,
« Congruence Hecke operators », commencée page 56. Texte d'un autre auteur :
il n'est pas recomposé ; chaque page reçoit une note. Comme au lot
précédent, toutes les marques manuscrites font partie de l'image photocopiée
(formules complétées par l'auteur, soulignements et signes d'un correcteur
d'épreuves, corrections en anglais) ; aucune n'est de sa main.
Page dactylographiée 6 (en-tête coupé) : §3 « The subgroup
\Gamma_0(q) for q prime » : la théorie du §2 s'étend en remplaçant T_q
par U_qF(z)=q^{-1}\sum_{\lambda=0}^{q-1}F\bigl(\frac{z+\lambda}{q}\bigr)
=\sum a(nq)x^n ; formes « nouvelles » C^0 ; propriétés (H1q)-(H4q) ;
Théorème 2 : base de formes propres simultanées des T_p et de U_q,
équivalente aux relations a(np)-a(n)a(p)+p^{-k-1}a(n/p)=0 (p\neq q) et
a(nq)-a(n)a(q)=0 ; pour k négatif, a(q)=\pm q^{-k/2-1} ; renvoi à un
article de J. Lehner et de l'auteur pour \Gamma_0(m). Marques : le mot
« entire » et « an extension » ajoutés à la machine au-dessus de la ligne,
soulignements ondulés et droits, le signe \neq tracé à la main, un signe
dièse dans la marge droite.
Page « atkin page 7 » : Conjecture 3 (q\leq 23 premier) : il existe
des fonctions entières F_\alpha(x)=x+\sum_{n\geq 1}a_\alpha(n)x^n sur
\Gamma_0(q), nulles en z=i\infty, vérifiant (i)
a_\alpha(np)-a_\alpha(n)a_\alpha(p)+p^{-1}a_\alpha(n/p)\equiv 0, (ii)
a_\alpha(nq)-a_\alpha(n)a_\alpha(q)\equiv 0, (iii)
a_{\alpha+1}(n)\equiv a_\alpha(n) modulo q^\alpha, et (iv) toute
fonction entière F à série de Fourier entière vérifie
U_q^{\alpha+\beta}F(x)\equiv k+k_{\alpha\beta}F_\alpha(x)\pmod{q^\alpha} ;
remarques sur l'unicité de F_\alpha, l'attrait d'une fonction à
coefficients q-adiques, et l'espoir d'une preuve par la géométrie
algébrique. Corrections manuscrites en anglais, dans l'image photocopiée :
« for all \alpha\geq 1 » ajouté après « we have », « k and » inséré
devant « k_{\alpha\beta} », « k+ » ajouté dans la congruence, « is a
constant » corrigé en « are constants » ; soulignements, un signe dièse.
Page « atkin page 8 » : extension de la Conjecture 2 comme la
Conjecture 3 étend la Conjecture 1 ; les deux difficultés (l'analogue de
(H4q), qu'on ne sait obtenir que si \Gamma_0(q) est de genre 0, et un
critère de diagonalisation simultanée) ; puis « References » 1 à 9
(Atkin 1967 ; Atkin, Blaricum 1966 ; Atkin et O'Brien 1967 ; Gunning 1962 ;
Lehner 1949, deux articles ; Lehner 1965 ; Rankin 1964 ; Rankin et
Rushforth 1954), et une ligne d'adresse dactylographiée à peine lisible.
Marques : « for all \alpha » ajouté à la machine ; soulignements ondulés
sous les numéros de volume ; dans la référence 5, une pagination biffée et
remplacée à la main par « 136-148 » ; « Modular », « Functions »,
« Forms » corrigés à la main dans la référence 8 ; un signe dièse final.
x_2,\ y_3,\ g_4,\ g_6 \qquad \boxed{y_3^2 = x_2^3 + g_4x_2 + g_6}
\begin{cases}
x = x_\omega = \omega^{-2}x_2\\
y = y_\omega = \omega^{-3}y_3\\
\gamma_4 = \gamma_{4\omega} = \omega^{-4}g_4\\
\gamma_6 = \gamma_{6\omega} = \omega^{-6}g_6
\end{cases}
\qquad \text{i.e.}\quad y^2 = x^3 + \gamma_4x + \gamma_6
\gamma_4 est écrit sur un g_4 biffé.
\boxed{dx = 2y\,\omega}\quad \text{i.e.}\quad
\boxed{d(\omega^{-2}x_2) = 2\omega^{-2}y_3}
2y\,dy = (3x^2+\gamma_4)\,dx = 2y\,(3x^2+\gamma_4)\,\omega
\boxed{dy = (3x^2+\gamma_4)\,\omega}\qquad
\boxed{d(\omega^{-3}y_3) = (3x_2^2+g_4)\,\omega^{-3}}
dans les deux cadres, un coefficient numérique en fraction est
biffé devant la parenthèse, et dans le second deux facteurs devant
x_2^2 et g_4 sont noircis : les formules se lisent comme données
ici.
\begin{cases}
\omega = \dfrac12\,\dfrac{dx}{y}\\[2mm]
\eta = \omega x = \dfrac12\,\dfrac{x\,dx}{y}
\end{cases}
\qquad [\,= \omega^{-1}x_2\,]
un mot est noirci après \omega à la première ligne, et un autre
avant \frac12 à la seconde.
\begin{cases}
\int_{\gamma_1}\omega = \omega_1, & \omega_1 = \int_0^{\omega_1}dz\\[1mm]
\int_{\gamma_2}\omega = \omega_2, & \omega_2 = \int_0^{\omega_2}dz
\end{cases}
\qquad X^{\mathrm{an}} \simeq \mathbf{C}/E(\omega_1,\omega_2)
\begin{cases}
x = \dfrac{1}{z^2} + \sum'_{a\in E(\omega_1,\omega_2)}
\Bigl[\dfrac{1}{(z-a)^2} - \dfrac{1}{a^2}\Bigr]\\[3mm]
y = -\dfrac{1}{z^3} - \sum_{a\in E(\omega_1,\omega_2)}\dfrac{1}{(z-a)^3}
\end{cases}
dans la formule de y, le signe devant la seconde somme est
surchargé ; nous lisons -, sans certitude.
\begin{cases}
\omega = dz\\
\eta = x\,dz
\end{cases}
\qquad \eta_1 = \int_u^{u+\omega_1}x\,dz,\quad
\eta_2 = \int_u^{u+\omega_2}x\,dz
\gamma_4 = \qquad \gamma_6 =
les deux dernières lignes sont laissées sans second membre.
Passage du splitting standard des formes différentielles de 2^{\mathrm{e}}
espèce en \omega,\eta au splitting transcendant (de Hodge) \omega,\bar\omega,
donc on aura
\begin{cases}
\eta + \alpha\omega = \beta\bar\omega\\[1mm]
\alpha = -\dfrac{\bar\omega_1\eta_2 - \bar\omega_2\eta_1}
{\bar\omega_1\omega_2 - \bar\omega_2\omega_1}
\end{cases}
NB. dénominateur = 2i\,|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau \neq 0
NB On a une 2-forme invariante canonique associée à la comparaison
des deux splittings
\pi = \alpha\,\omega^2 \in \Gamma\,\mathrm{Hom}(\underline{\omega}^{-1},
\underline{\omega}) = \Gamma\,\underline{\omega}^2
Questions a) Quand \alpha=0 ?, i.e. \bar\omega proportionnel
à \eta ??
b) Quand \alpha est-il algébrique sur \mathbf{Q} ?
\eta_1 = \Bigl[-\frac1z\Bigr]_u^{u+\omega_1}
+ \sum_{a\neq 0}\Bigl[-\frac{1}{z-a} - \frac{1}{a^2}\,z\Bigr]_u^{u+\omega_1}
= \Bigl(\frac1u - \frac{1}{u+\omega_1}\Bigr)
+ \sum_{a\neq 0}\Bigl[\frac{1}{u-a} - \frac{1}{u+\omega_1-a}
- \frac{\omega_1}{a^2}\Bigr]
= \omega_1\Bigl[\frac{1}{u(u+\omega_1)}
+ \sum_{a\neq 0}\Bigl(\frac{1}{(u-a)(u+\omega_1-a)} - \frac{1}{a^2}\Bigr)\Bigr]
sous le terme de la somme, une accolade donne sa valeur :
\frac{1}{a^3}\,\frac{(2u+\omega_1)-u(u+\omega_1)a^{-1}}
{(1-ua^{-1})(1-(u+\omega_1)a^{-1})} ; une ligne commencée
« =\omega » est biffée.
= \omega_1\Bigl[\frac{1}{u(u+\omega_1)} + \frac{1}{(u-\omega_1)u}
- \frac{1}{\omega_1^2} + \sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_1}}\cdots\Bigr]
une flèche renvoie la somme au terme de l'accolade précédente ; sous
les deux premiers termes, une accolade :
\frac{2}{(u+\omega_1)(u-\omega_1)}, un facteur u biffé au
dénominateur.
faisons u\to 0, on trouve
\eta_1 = \omega_1\Bigl[-\frac{3}{\omega_1^2}
+ \sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_1}}\frac{1}{a^3}\,
\frac{\omega_1}{1-\omega_1a^{-1}}\Bigr]
accolade sous le terme : \frac{1}{a^3}\,\frac{1}{\omega_1^{-1}-a^{-1}}.
\eta_1 = -\frac{3}{\omega_1} + \omega_1\sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_1}}
\Bigl(\frac{1}{a^3}\,\frac{1}{\omega_1^{-1}-a^{-1}}\Bigr)
= -\frac{3}{\omega_1} + \omega_1^2\sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_1}}
\frac{1}{a^2}\cdot\frac{1}{a-\omega_1}
accolade sous le terme du milieu : \frac{1}{a^2}\,\frac{\omega_1}{a-\omega_1}.
a = m\omega_1 + n\omega_2
\eta_2 = \qquad -\frac{3}{\omega_2} + \omega_2^2\sum_{\substack{a\neq 0\\ a\neq\omega_2}}
\frac{1}{a^2}\,\frac{1}{a-\omega_2}
la formule de \eta_2 est écrite à droite, sous celle de \eta_1 ;
l'indice de la somme se lit « a\neq\omega_1 », par report de la ligne
précédente, sans doute pour a\neq\omega_2. En bas à gauche, un mot biffé
.
\eta_1 = -\frac{3}{\omega_1} + \omega_1^2
\sum_{\substack{(m,n)\neq(0,0)\\ (m,n)\neq(1,0)}}
\frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\,\frac{1}{(m-1)\omega_1+n\omega_2}
\eta_2 = -\frac{3}{\omega_2} + \omega_2^2
\sum_{\substack{(m,n)\neq(0,0)\\ (m,n)\neq(0,1)}}
\frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\,\frac{1}{m\omega_1+(n-1)\omega_2}
\bar\omega_1\eta_2 - \bar\omega_2\eta_1
= -3\Bigl(\frac{\bar\omega_1}{\omega_2} - \frac{\bar\omega_2}{\omega_1}\Bigr)
+ \sum_{(m,n)\neq(0,0),(1,0),(0,1)} \frac{N_{m,n}}{D_{m,n}}
N_{m,n} = |\omega_1|^2\Bigl((m-1)\omega_2^2 + n\,\frac{\omega_2^3}{\omega_1}\Bigr)
- |\omega_2|^2\Bigl((n-1)\omega_1^2 + m\,\frac{\omega_1^3}{\omega_2}\Bigr)
D_{m,n} = (m\omega_1+n\omega_2)^2\,\bigl((m-1)\omega_1+n\omega_2\bigr)
\bigl(m\omega_1+(n-1)\omega_2\bigr)
+\ \bar\omega_1\omega_2^2\,\frac{1}{\omega_1^2(\omega_1-\omega_2)}
- \bar\omega_2\omega_1^2\,\frac{1}{\omega_2^2(\omega_2-\omega_1)}
la notation N_{m,n}/D_{m,n} est nôtre : il écrit la fraction d'un
seul tenant, sur deux lignes. Un premier essai de somme après la
parenthèse, avec les exclusions (0,0), (1,0), (0,1), est biffé de
hachures. Sous les deux derniers termes (les termes (0,1) de \eta_1 et
(1,0) de \eta_2), une accolade :
\frac{\bar\omega_1\omega_2^4+\bar\omega_2\omega_1^4}{(\omega_1\omega_2)^2(\omega_1-\omega_2)},
un exposant biffé sur (\omega_1-\omega_2).
= \frac{\bar\omega_1\omega_2^4+\bar\omega_2\omega_1^4}{\omega_1^2\omega_2^2(\omega_1-\omega_2)}
- 3\,\frac{|\omega_1|^2-|\omega_2|^2}{\omega_1\omega_2}
+ \sum_{(m,n)\neq(0,0),(1,0),(0,1)}\cdots
une flèche renvoie la somme à celle de la ligne précédente.
= \frac{|\omega_1|^2}{\omega_1^2}\,\frac{\tau^4+\bar\tau}{\tau^2(1-\tau)}
- \frac{|\omega_1|^2}{\omega_1^2}\,\frac{1-|\tau|^2}{\tau}
+ \sum_{(m,n)\neq(0,0),(0,1),(1,0)}\frac{|\omega_1|^2}{\omega_1^2}\,
\frac{(m-1)\tau^2+n\tau^3-(n-1)|\tau|^2+m|\tau|^2\tau^{-1}}
{(m+n\tau)^2\bigl((m-1)+n\tau\bigr)\bigl(m+(n-1)\tau\bigr)}
ici \tau=\omega_2/\omega_1, ce que la page ne dit pas. Le premier facteur
est récrit sur une première version noircie, et l'exposant du dénominateur
\tau^2(1-\tau) corrigé ; le dernier terme du numérateur de la somme
(m|\tau|^2\tau^{-1}) est lu ainsi, sans certitude.
= \frac{|\omega_1|^2}{\omega_1^2}\Bigl(\frac{\tau^5+|\tau|^2}{\tau^3(1-\tau)}
- \frac{1-|\tau|^2}{\tau}
+ \sum_{(m,n)\neq(0,0),(0,1),(1,0)}
\frac{n\tau^4+(m-1)\tau^3+(n-1)|\tau|^2\tau+m|\tau|^2}
{\tau(m+n\tau)^2\bigl((m-1)+n\tau\bigr)\bigl(m+(n-1)\tau\bigr)}\Bigr)
le signe devant (n-1)|\tau|^2\tau est lu + ; la ligne précédente
porte -(n-1)|\tau|^2.
\alpha = -\frac{\bar\omega_1\eta_2-\bar\omega_2\eta_1}{2i\,|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau}
= -\frac{1}{2i\,\omega_1^2\,\mathrm{Im}(\tau)}
\Bigl(\frac{\tau^5+|\tau|^2}{\tau^3(1-\tau)} - \frac{1-|\tau|^2}{\tau}
+ \sum_{(m,n)\neq(0,0),(0,1),(1,0)}\cdots\Bigr)
un \bar\omega_1 biffé précède \alpha ; une flèche renvoie la
somme à la ligne précédente.
V = L + L^{-1}
L défini par \mathbf{T} sur \mathcal{U}=\lbrace z,\ |z|=1\rbrace,
P sur \mathbf{R}^{*+}
\varphi\colon \bar V \xrightarrow{\ \sim\ } V involution
\bar L \to L + L^{-1} \qquad \alpha\in \bar L^{-1}\otimes L,\quad
\beta\in(\bar L L)^{-1}
sous \bar L^{-1}\otimes L : « défini par T^{(2)} sur
\mathcal{U} » ; sous \bar L L : « défini par P^{(2)} sur
\mathbf{R}^{*+} », et au-dessus de la ligne suivante, entre parenthèses,
« ( ailleurs arbitraires) ».
\boxed{\beta\neq 0} Alors les conditions
\alpha et \beta découlent l'involution
.
V = L + \varphi(L)
H dual de V s'écrit z = x + \bar y
si y\in L^{-1}, on aura
y = a + \varphi(b) \quad a\in L,\ b\in L;\qquad
= \bigl(a+\alpha(b)\bigr) + \beta(b)
donc a+\alpha(b)=0, \beta(b)=y, d'où b=\beta^{-1}y,
a=-\alpha(b)=-\alpha\beta^{-1}(y)
donc
y = -\alpha\beta^{-1}(y) + \overline{\beta^{-1}(y)}, \quad\text{d'où}
\bar y = \beta^{-1}(y) - \overline{\alpha\beta^{-1}(y)}
= \bigl(\beta^{-1}(y) - \alpha^2\beta^{-1}(y)\bigr) - \beta\alpha\beta^{-1}(y)
les deux lignes sont très surchargées : un « +\alpha » biffé dans
la première, un « \varphi(y) » biffé au-dessus de \bar y, des signes
noircis et un facteur \alpha biffé devant \beta^{-1}(y) dans la
seconde. Nous donnons l'état final lisible.
Sous quelle condition, pour la forme alternée
canonique sur V, a-t-on
\langle\bar x,\bar y\rangle = \overline{\langle x,y\rangle} ? Il suffit de
l'écrire pour x\in L, y\in L^{-1}, on a alors
\langle\bar x,\bar y\rangle = \langle\underbrace{\alpha(x)}_{L}
+ \underbrace{\beta(x)}_{L^{-1}},\ \bigl(\beta^{-1}(y)-\alpha^2\beta^{-1}(y)\bigr)
- \beta\alpha\beta^{-1}(y)\rangle
= -\langle\alpha(x),\beta\alpha\beta^{-1}(y)\rangle
+ \langle\beta^{-1}y-\alpha^2\beta^{-1}y,\ \beta(x)\rangle
On trouve la condition : \beta+\bar\beta=0 i.e. \beta
purement imaginaire.
Or dans le cas qui nous occupe, on aura (si \omega est une 1-forme
invariante)
\beta(\omega,\omega) = \int_X\omega\bar\omega = \int_X(dx+i\,dy)(dx-i\,dy)
= -2i\int_X dx\wedge dy = -2i\,|\omega_1|^2\,\mathrm{Im}\,\tau
= |\omega_1|^2(\bar\tau-\tau)
sous l'intégrale du milieu : x=\mathrm{Re}\,z, y=\mathrm{Im}\,z.
La condition voulue exige donc que
\beta = -2i\rho \quad\text{avec}\quad \rho>0, \qquad \rho = \int_X dx\wedge dy
un premier terme est biffé après « \beta= ».
Quant à \alpha, il vient a priori une classe arbitraire de
\bar L^{-1}\otimes L. Notons que « \alpha » est
(indépendamment du choix d'une base \omega de L=\underline{\omega})
défini, qu'est-il ?
[NB. \gamma = -\alpha\beta^{-1}\in L^{\otimes 2} est l'objet qui fait
passer du splitting « algébrique » de V au « splitting transcendant »
de V (i.e. de x\mapsto\bar x). La connaissance de (\alpha,\beta)
équivaut à celle de \beta et \gamma, i.e. de la forme
volume \int_X\omega\bar\omega et des splittings.]
Posons, si \omega,\eta sont choisis [donc L\simeq\mathbf{C},
L^{-1}\simeq\mathbf{C} isomorphismes donnés], en plus de
\rho = \mathrm{Vol}(X),
\rho = -\frac{1}{2i}\int\omega\bar\omega = \mathrm{Vol}(X),
la forme
\sigma = -\frac{1}{2i}\int\eta_0\bar\eta_0
où \eta_0 est une forme différentielle fermée dans la classe
de celle de \eta.
On trouve
4\rho\sigma = (1-\alpha\bar\alpha)
Feuillet dactylographié « - 3 - » d'un projet de l'« Avant-propos »
de SGA 4, barré d'un seul trait oblique, au dos de la page 74 : fin du §2
(b) les travaux d'Igusa sur les « vanishing cycles » et l'inégalité de
Picard ; c) les résultats d'Ogg et Chafarevitch) et §3 (plan des exposés I
à VI, VII-VIII, IX-X, XII à XVI, XVII à XIX), avec les notes (2) « Obtenus
entre Septembre 1962 et Mars 1963 par M. Artin et A. Grothendieck » et (3)
« Obtenus en Février-Mars 1963 par A. Grothendieck […] ». Texte non
recomposé. Ses corrections à l'encre, dans l'ordre de la page : au §2 c),
après « à coefficient », « des » surchargé et un mot ajouté au-dessus,
dans ; des virgules ajoutées après « algébriques » (même
alinéa), après « La présentation » et après « contenus dans Artin », et
après « coefficients de torsion » ; une croix dans la marge gauche en face
de « contenus dans Artin » ; les numéros « VII et VIII » et « IX, X »
repassés ou surchargés à la main ; en face de l'alinéa « Les résultats des
exposés XII à XVI », dans la marge gauche, « XII » souligné, et plus à
gauche, au crayon, « X.3.10 » et « X.3.4 » ; après « Théorèmes de
changement de base" », « Nous avons pris soin de donner » écrit puis biffé,
remplacé, à l'encre bleue sous la ligne, par « qui techniquement
constituent le résultat central de ce séminaire. », un trait ondulé menant
à la marge droite ; dans « Les exposés XVII à XIX », le dernier numéro
surchargé ; « théorème des dualités globales » ramené à « théorème de
dualité globale » par suppression des trois « s » ; dans la note (3),
« dans 1965 » biffé après « qui sera exposé », et « SGA 1965 » écrit à la
suite.
Ainsi
0\leq\alpha\bar\alpha\leq 1
et de façon précise
1-\alpha\bar\alpha = 4\rho\sigma, \quad\text{i.e.}\quad
\alpha\bar\alpha = 1-4\rho\sigma
Ainsi, \beta et \alpha\bar\alpha sont donnés en termes
volumétriques. Il reste à donner (pour \alpha\bar\alpha\neq 0)
\arg\alpha (qui dépend bien du choix de \omega).
Normalisons \omega de façon que \omega^{12}=\Delta, ce qui le détermine
mod multiplication par \zeta, \zeta^{12}=1, on voit
que \arg\alpha\in\mathcal{U}=\lbrace z\in\mathbf{C},\ |z|=1\rbrace se trouve
déterminé à puissance mult. par \zeta, avec \zeta^6=1.
Donc un invariant canonique, (
comment en fonction de j !)
(\arg\alpha)^6\in\mathcal{U}.
NB. \rho et \sigma sont déterminés mod rien du tout par la
normalisation \omega^{12}=\Delta).
Les pages 79 et 80 sont un tapuscrit de deux feuillets, paginés
« X-1 » et « X-2 », « Liste des courbes elliptiques à multiplication
complexe dont l'invariant modulaire j est rationnel ». L'auteur n'est pas
nommé et le texte n'est pas de sa main ; la pagination est celle d'un
exposé X d'une série ; la seule note rédigée au crayon est un commentaire
de lecteur. Nous le traitons comme le texte d'un autre auteur : il n'est
pas recomposé, chaque page reçoit une note, et les marques au crayon, d'une
écriture qui paraît être la sienne (attribution incertaine, comme au lot 2),
sont données en entier.
Feuillet X-1 : ces courbes s'obtiennent à partir des ordres de corps
quadratiques imaginaires de nombre de classes 1 : a) les corps
\mathbf{Q}(\sqrt{-d}) d'anneau des entiers principal,
d=1,2,3,7,11,19,43,67,163 « plus peut-être une autre valeur d_? » ;
b) les conducteurs f donnant un ordre de nombre de classes 1 : f=1,2
pour d=1, f=1,2,3 pour d=3, f=1,2 pour d=7, f=1 pour les autres
(et d_? s'il existe) ; c) pour chaque (d,f), j(t) pour une base
(1,t) de l'ordre, valeurs tirées de H. Weber, Lehrbuch der
Algebra, t. III, par j=(f^{24}-16)^3/f^{24}=(f_1^{24}+16)^3/f_1^{24} ;
1.1 (d=1,f=1) : j(i)=2^63^3 (groupe d'automorphismes d'ordre 4) ; 1.2
(d=1,f=2) : j(2i)=(2\cdot3\cdot11)^3. Au crayon : une accolade sur
d=1,2,3,7,11 surmontée de « euclidiens » entre guillemets, et
dans la marge gauche :
NB les d sont premiers !
Feuillet X-2, suite de la liste : 2.1 j(\sqrt{-2})=(2^2\cdot5)^3 ;
3.1 j\bigl(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\bigr)=0 (groupe d'automorphismes
d'ordre 6) ; 3.2 j(\sqrt{-3})=2^43^35^3 ; 3.3
j\bigl(\frac{-1+3\sqrt{-3}}{2}\bigr)=-3\cdot2^{15}5^3 ; 7.1
j\bigl(\frac{-1+\sqrt{-7}}{2}\bigr)=-3^35^3 ; 7.2
j(\sqrt{-7})=(3\cdot5\cdot17)^3 ; 11.1
j\bigl(\frac{-1+\sqrt{-11}}{2}\bigr)=-2^{15} ; 19.1 -(2^5\cdot3)^3 ;
43.1 -(2^6\cdot3\cdot5)^3 ; 67.1 -(2^5\cdot3\cdot5\cdot11)^3 ; 163.1
-(2^6\cdot3\cdot5\cdot23\cdot29)^3 ; d_?.1 : j=\,? ; renvois à Weber
(p. 721, 462, 460, 475). Le texte s'achève par « *** ». Aucune marque
manuscrite, hormis une surcharge dactylographique (d=3 en 3.3).